（计算数学专业论文）组合恒等式与发生函数方法.pdf

摘要 本文利用发生函数理论建立了一系列新的组合恒等式，并且利用发 生函数方法讨论了一些级数的取整值问题以及某些多项式在有理点的 取值问题。本文主要工作可概括如下： 1 第二章：到目前为止，涉及二项式系数的倒数的恒等式并不多。 本章利用定积分的方法和常见的发生函数，结合一些运算技巧，建立 了一些与二项式系数的倒数有关的恒等式。特别，我们建立的恒等式 寻 1 “，1 l n 1 一t ”( 1 t ) d t 备矸霸一百厶1 f 矿一 推广了人们熟知的结果 早上：! 鲁n 2 f 2 。n ) 1 8 2 第三章：我们利用发生函数及其它知识讨论r o g e r s - r a m a n u j a n 型 恒等式问题： ( 1 ) r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式在众多学科中的广泛应用，促使人们 研究如何发现并证明这类恒等式。关于这类恒等式的研究一直是非常 活跃的问题，并产生了许多证明方法( 见文献【1 8 ，2 2 - 2 3 ，2 9 ，4 1 ，5 6 ，7 0 _ 7 1 ， 7 8 】) 在文献【4 1 】中，g e s s e l 与s t a n t o n 利用l a g r a n g e 反演的q 一模拟推 导出一个优美的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式 ，+ 薹器+ 1 ) = 地址掣糌世盟 本章将这个恒等式的证明归结为如何计算级数l + 妻i ! ；竽口( ；) + n 。( 其 中s 为整数) ，给出了计算该级数的递推公式此外还从另一角度推广 了上面提到的恒等式 ( 2 ) 我们对a g a r w a l 与s i n g h ( 见文献 1 】) 推导出的一个新的r o g e r s _ l ：r 1 2 a l l l l j a d 型恒等式 o ( 1 一q n + 1 ) ( 一q 2 ；q 2 ) 。q “2 + “ ( q 3 ，q 9 ，q 1 2 ；q 1 2 ) q ( q ，q “2q 1 2 ；q 1 2 ) 。 刍弋而医i 一一1 而f 一i 瓦- 给出了一个新的、更为简单的证法，并得出一系列新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。 ( 3 ) 本章借助一个基本超几何函数的变换公式、已知的恒等式以及 j a c o b i 三重积，建立了一些新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。 3 第四章：利用发生函数理论以及一些运算技巧，讨论与广义f i b o n a c c i ，l u c a s 数有关的问题； ( 1 ) 利用发生函数原理，建立了一系列涉及广义f i b o n a c c i ，l u c a s 数 的幂的恒等式，并由这些恒等式得到了新的同余关系。 ( 2 ) 与广义f i b o n a c c i ，l u c a s 数的倒数有关的级数的计算问题，难度 很大，很难给出精确值在本章第二节中，我们将l a m b e r t 级数法与 t h e t a 函数法结合起来，计算出一些与广义f i b o n a c c i ，l u c a s 数的倒数有 关的级数的近似值 ( 3 ) 利用发生函数理论和p e l l 方程的有关知识，我们解决了下列级 数在有理点的取整值问题： 。o 7 7 t ， 疋( z ) = v ，k “( k o ) ，k ( z ) = i u n ( o ) ，k ( z ) = ( 七o ) n = 04n = k 山= k 山 其中 ) ， k ) 分别为广义f i b o n a c c i ，l u c a s 序列 4 第五章：由于b e r n o u l l i 多项式与h u r w i t z sz e t a 函数之间存在紧 密联系，因此b e r n o u l l i 多项式与e u l e r 多项式在有理点的取值问题引起 了人们的关注( 见文献【3 ，3 8 ，7 4 一t s ) 。本章利用发生函数原理研究与 b e r n o u l l i 数、e u l e r 数关系密切的高阶e u l e r 多项式、g e n o c c h i 多项式、 s a l i f i 多项式、n s r l u n de u h r 多项式以及n s r l u n db e r n o u l l i 多项式在有理 点的取值问题 关键词；组合恒等式，发生函数，二项式系数，r o g e r s - r a m a n u j a n 型 恒等式，基本超几何函数，分拆恒等式，f i b o n a c c i 数，l u c a s 数，e u l e r 数，b e r n o u l l i 数，g e a o c c h i 数，s a l i 6 数，l a m b e r t 级数，t h e t a 函数 1 l l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b ye m p l o y i n gg e n e r a t i n gf u n c t i o nt e c h n i q u e ，s o m en e w c o r n - b i n a t o r i a li d e n t i t i e sh a v eb e e ne s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ，t h ei n t e g r a lv a l u e so f s o m ek i n d so fs e r i e si n v o l v i n gg e n e r a l i z e df i b o n a c c ia n dl u c a sn u m b e r sa t r a - t i o n a ln u m b e r sa r eg i v e na n dt h ev a l u e so fs o m ep o l y n o m i a l sa tr a t i o n a lp o i n t s h a ，eb e e ns t u d i e da sw e l l t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sc a nb es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： 1 i nc h a p t e r2 ，b ym e a n so ft h ei n t e g r a lt h e o r y , an u m b e r o fr e c i p r o c a ls e r i e s i n v o l v i n gb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sh a v eb e e n e s t a b l i s h e da n ds o m er e s u l t sr e l a t e dt o b i n o m i a lc o e 伍c i e n t sh a v eb e e ne x t e n d e d i np a r t i c u l a r ，w eo b t a i n ! 呈【! 二竺! ! 二! 芝坐 t ( 1 一t ) w h i c h g e n 盯柚k 池础y 至碉2 西 2 r o g e r s - r a m a n u j a nt y p e i d e n t i t i e sp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nm a n y f i e l d s a n dh a v eb e e nr e c e i v i n gm u c ha t t e n t i o ni nt h el i t e r a t u r e w es t u d yt h i sk i n do f i d e n t i t i e si nc h a p t e r3 ( 1 ) m a k i n gu s eo fg a n a l o go fl a g r a n g ei n v e r s i o n ，g e s s e la n ds t a n t o n 【4 1 】 g i v eag r a c e f u li d e n t i t y + 耋譬一十1 ) = 也她糍警 w eh a v es h o w nt h a tt h ei d e n t i t yc a nb eo b t a i n e db yc a l c u l a t i n gt h es e r i e s 1 + 量譬字g ( ；) w e f u r t h e rd e r t h er e c u r r e n c ef o r m u l a 。fc o m p u t i n gt h i s 篙s e r i e s 躐m h o r e o v e r t h ei d e n t i t ym e n t i o n e da b o v e 。h a sa l s o 。b e e ng e n e r a h z e d 】 。 ( 2 ) a g a r w a la n ds i n g h 【1 】o b t a i n e d 蛆i d e n t i t y 导! ! 二! ：丛二亟! ! ：( q a , q 。g , q 。i 2 一；q 1 2 ) 。- 。一q ( q , q n , q l 2 ；q 1 2 ) 。n 厶= 0 ( 口；q ) 2 n + 2 ( g ；q ) 。( g ；g j o 。 w eh a v ef o u n das i m p l e rp r o o fo ft h ea b o v ei d e n t i t y i na d d i t i o n ，w e d e r i v ea n u m b e ro fn e wi d e n t i t i e s ， 一 r 七m 一2 i l 一、， 。露 一以 ( 3 ) w i t ht h eh e l po fat r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao fb a s i ch y p e r g e o m e t r i cf u n d t i o n s k n o a r ni d e n t i t i e s ，a n dj a c o b it r i p l e ，w eh a v ee s t a b l i s h e ds o m en e w r o g e r s r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s 3 p i b o n a e c ia n dl u c a sn m n b e r sa r ev e r yi m p o r t a n ti nm a n ys u b j e c t ss u c h a sn a m b e rt h e o r ng e o m e t r y , a n da l g e b r a i c w ei n v e s t i g a t et h i sk i n do fn u m b e r s i nc h a p t e r4a n dg i v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 1 ) b yg e n e r a t i n g f u n c t i o n st h e o r y , w eh a v ee s t a b h s h e dan u m b e ro fi d e n t i t i e s i n v o l v i n gt h ep o w e r so fg e n e r a l i z e df i b o n a c c ia n dl u c a sn u m b e r s f r o mt h e s e i d e n t i t i e s ，w ec 目l d - o b t a i ns o m en e wc o n g r u e n c e s ( 2 ) i ti sd i f f i c u l tt oc o m p u t er e c i p r o c a ls e r i e si n v o l v i n gg e n e r a l i z e df i b o n a c c i a n dl u e a sn u m b e r s w ea r ec o n c m m e dw i t ht h i sp r o b l e m b yc o m b i n i n gw i t h t h em e t h o d so ft h e t af u n c t i o n sa n dl a m b e r ts e r i e s ，w ec o m p u t es o m er e c i p r o c a l s e r i e sr e l a t e dt og e n e r a l i z e df i b o n a c c ia n dl u c a sn u m b e r s ( 3 ) b yg e n e r a t i n gf u n c t i o nt h e o r ya n dk n o w l e d g eo fp e ue q u a t i o n s ，w e c o m p u t e t h ei n t e g r a lv a l u e so ft h ef o l l o w i n gs e r i e sa tr a t i o n a ln u m b e r s ： 珏( z ) ：萎告( o ) ，兔。( 。) ：曼坠( o ) ，氏。( z ) ：妻堡( o ) ，x nxnun 珏( z ) = 等( o ) ，兔k ( z ) = 一( o ) ，氏女( z ) = 翌( o ) ， n = o4n = k n = 七 w h e r e a n d k ) s t a n d f o rg e n e r a l i z e df i b o n a c c ia n dl u c a ss e q u e n c e s ，r e _ s p e e t i v e l y 4 b e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa n de u l e rp o l y n o m i a l sa r ev e r yu s e f u li nn u m b e r t h e o r ya n ds p e c i a lf u n c t i o n s i nc h a p t e r5 ，b yg e n e r a t i n gf u n c t i o nt h e o r ya n d s k i l l so fc o m p u t a t i o n w es t u d yt h ev a l u e so fe u l e rp o l y n o m i a l so fh i g h e ro r _ d e r o e n o c c h ip o l y n o m i a l s ，s a l i 6p o l y n o m i a l s ，n s r l u n de u l e rp o l y n o m i a l sa n d n s r l u n db e r n o u l l ip o l y n o m i a l sa tr a t i o n a ln u m b e r s a n do b t a i nt h ev a l u e so ft h e s e p o l y n o m i a l s k e y - w o r d s ：c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ，g e n e r a t i n gf u n c t i o n ，b i n o m i a l c o e f f i - c i e n t s ，r o g e r s - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s ，b a s i ch y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s ，p a r - t i t i o ni d e n t i t i e s ，f i b o n a c e in u m b e r s ，l u e a sn u m b e r s ，e u l e rn u m b e r s ，b e r n o u l l i n u m b e r s ，g e n o c c h in u m b e r s ，s a l i 6n u m b e r s ，l a m b e r ts e r i e s ，t h e t af u n c t i o n s 常用符号 为避免后文叙述繁琐，这里先介绍一些常用的符号( 若无特别声明， 这些符号适用于全文) ： ( 三) 表示二项式系数：对任意正整数m 与n ，当n 2 m 时，( 二) 2 丽兰丽；当n m 时，( 三) = o z 表示整数集合 ( t ) 。= t ( t 一1 ) 0 一n + 1 ) ，其中t 为实数 t ) 。= t + 1 ) 0 + n 一1 ) ，其中t 为实数 当i q o ) ，兔 ( z ) = 等( 七o ) ，k ( 。) = 署( o ) n = 04n = k 咿n = k 却 其中 n ，则有 蓥：( 篙) = m z l 筹一l l n 卜即叫一叩t ，皿a ， 善* ( 篙) - 1 = z 1 箐鬻+ f 0 1f2mr2-研(1-t)2(”-)dt朋固 扣r - 1 = j ( 1 赤一上1 篙器箨氓江e ， 望三堂涉及二项式系数的一些恒等式 静m n t 。、 。- f 0 1 箐鬻 证明：这里只给出恒等式( 2 4 ) 和( 2 7 ) 的详细证明过程。 由公式( 2 3 ) 可知： 薹；( 篙) = 蓥坐z 1 一c ，一彬，m = m 薹”t ，( m - n ) k d t + 薹业学 而当t 【0 ，1 】时， “f l t ”f l 一 一啪= 高杀杀 且这两个幂级数均是一致收敛的，于是恒等式( 2 4 ) 成立 用类似方法可得式( 2 5 ) 成立 现在证明式( 2 7 ) 当f 0 ，l 】时， 薹( 。m 一( 卜冲一高糯， r o o 、，、r 、k护( 1 一t ) 删2 t 2 “( 1 一t ) 2 ( m n ) ( 一1 ) k k 2 t k k = l ( 1 一) = 一_ = ；斋+ i ：f ；罱【j 下o 1 一oj -【j 十l 1 一，j ” 而且这两个级数是一致收敛的，因此式( 2 7 ) 成立 口 如果在恒等式( 2 4 ) 和( 2 6 ) 中令m = 2 ，礼= 1 ，则有 随。l 1 西2 。0 1 端 蓦岩2 鼍铲一 一z 1 h ( 1 - - t + t 2 ) 班= 蠡， 型煎二! 1 3 7 7 个心 一n 0蔫 ，尼 + 等脚 很显然( 2 4 ) 是( 2 1 ) 的广义形式。 定理2 3 ：设m 是正整数，则 子l 一：一竺f x 堕 ! 二! ：! ! 二1 2 ：生 鲁。( 禁) 一2 0 t ( 1 一t ) 薹描2 一甜半篙掣 薹丽褊一叫2 j o 台。( + 1 ) ( 嚣) l l n 1 一t m ( 1 一t ) “l d t + 詈z 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) t ( 1 一t ) 盟型t 兰m + l 粤11 t ) m + 坠l 塑出f 一 ( 2 1 0 ) 茎茄褊2 一甜艺器产 一署z 1 坐等岽铲出 ( 2 1 1 ) 证明：由二项式系数的定义可知 三o o 嘲1 。百m 备。o 而磊碉1 奠2 耋两k 而高2 m 高1 焉丽 岛( + 1 ) ( 2 m 七+一) ( 2 m ：黯2 ) 再由式( 2 3 ) 可得 薹南2 罟薹击j ( i t r e k + m _ 1 卜矿枷- l d ( 2 1 2 ) = 一i n 1 一t ”( 1 一t ) ”1 ， ( 2 1 3 ) ，一 时 l0 当于由 而且这个幂级数是一致收敛的，从而式( 2 8 ) 成立。 现在给出式( 2 1 0 ) 的证明很显然， 虽 1 鲁k 2 ( k + 1 ) ( 2 。m 。k ) m 暑 1 = 一，- - ? _ 2 台k ( k + 1 ) ( 2 m k 一1 ) ( 搿) = 詈耋志z 0 1 t r e k - l ( ，叫“t 罟( 耋1 业半一薹、k = 女= 1 篮! ：! ：! ! 二! 上! ：坐 七+ 1 再由式( 2 1 3 ) 可得结论正确。 由于式( 2 9 ) 和式( 2 1 1 ) 的证明雷同于式( 2 8 ) 和式( 2 1 0 ) ，因而略 去。 口 最后，我们给出上述定理的一些特倒。 在式( 2 8 ) 中设m = 1 ，且设 ，( n ) = 一；z 1 里旦。= 吾掣，( 。s ，) 则当0 a 1 时， m ) = ；1 志 经计算得 以垆i 压压 于是 m 问( a x c t a n 压) 2 + c ， 又由于她m ) = 0 ，籼。) _ 2 ( a r c t a n 圆2 ，从而 量南刈1)_西7r2k=l - j 丽= m ) = t 孬 一lkj。 塑一 盔垄堡王盔兰擅圭堂焦鲨塞! 塑盒垣箜塞量苤生夔塾立鎏 因此，式( 2 8 ) 是恒等式( 2 2 ) 的广义形式 同理，还可以由式( 2 9 2 1 0 ) 计算出其它一些特殊恒等式，如： 薹错一( ，n 竿) 2 江 # 1 。101r- 1 薹丽百两一3 + 丽v = l 盯一1 月十1j ikj oo 我们再计算式( 2 1 1 ) 的特例。 设m ) ：f zj 0 时， 1 盟名幕掣出t 2 f 1 一曲2 荆= 一搿矗 ( 0sa 1 ) 贝h 当0 1 = 一篇 1 ( 厚小n ( 浮+ - ) 经过仔细计算，可得 + i n ( 嬲 + 宰箬芒+ 。 佣+ 撕一 由式( 2 1 4 ) 及溉j ( 。) = 0 可得 佣+ 面 以再疆一面 ) 2 一筹蒜f a h ( 筹蒜)j 、而+ 、， 承+ 扣 薹未褊一i n ( 筝) 2 胡n ( 学) 一i n ( 学) 2 - 1 国虢笔器 墨三望差王堡2 曼! ! 曼曼垒翌璺翌当呈旦型堡差茎塑= ：些缝墨! ! 第三章关于r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式的一些结果 十九世纪九十年代，英国数学家r o g e r s 在他发表的几篇论文 6 2 6 4 中，证明了几个变换公式。他根据这些变换公式以及j a c o b i 三重积， 导出了许多无穷乘积的特殊级数表示，其中包括两个著名的恒等式 子生： ! 鲁( 口；q ) k ( g ；q s ) 。( q 4 ；q 5 ) 。 o q 舻+ 1 乞( g ；g ) 女 ( q 2 ；口5 ) 。( 9 3 ；口5 ) 。 ( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) 1 9 1 3 年印度天才数学家r a i i l a x l u j a i l 也独立地发现了这两个恒等式事 实上，早在1 8 9 4 年，r o g e r s 就给出了这两个恒等式的证明，可惜当时未 引起人们的注意。1 9 1 6 年r o g e r s 6 5 】与r a m a n u j a n 几次通信后，发表文 章，对他的证明方法进行简短叙述后，人们开始关注这两个恒等式， 并把他们命名为r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式( 到目前为止，关于这两个著 名恒等式的证明，已经出现多种方法) 。后人继续r o g e r s 的工作，又陆 续发现许多新的类似于( 3 0 1 3 0 2 ) 的恒等式，这些与( 3 0 1 3 0 2 ) 相类 似的恒等式被统称为r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。 如今，许多学科，象统计学、代数学、数论等都涉及到r o g e r s - a a m a n u j a n 型恒等式。特别地，r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式在分拆理论中占有重要 地位，许多分拆恒等式都与这类恒等式有关关于r o g e r s - r a m a n u j a n 型 恒等式在各门学科中的应用，相关文献颇多，见【1 0 _ 1 1 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，2 4 ， 3 9 ，6 9 。鉴于r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式在各门学科中的广泛应用， 人们一直关注如何发现并证明这类恒等式关于r o g e r s - r a m a n u j a n 型 恒等式的发现与证明始终是非常活跃的问题，并产生了许多方法其 中有些方法在发现新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式时比较引人注目， 如：1 9 4 7 年，b a r l e y 2 2 1 对r o g e r s 的工作进行了简化，增加一些适当条 件，给出一个极为有用的获得基本超几何级数变换的方法，并用该方 法得到几个变换1 9 4 9 年，b a i l e y 2 3 1 将【2 2 中得到的变换中的参数取 特殊值，推导出一些新的r o g e r s - k a m a n u j a n 型恒等式。1 9 5 1 至1 9 5 2 年 间，s l a t e r 7 0 - 7 1 1 利用b a i l e y 的方法，得到多达1 3 0 个r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。1 9 8 4 年，g e a n d r e w s 1 7 利用b a i l e y 的方法，导出了一 些r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式的多重形式1 9 2 9 年，w a t s o n 7 8 】证明 恒等式( 3 0 1 0 2 ) 可由两个基本超几何级数的变换求极限后得到。以 后，g e a n d r e w s 等人的工作大大丰富了该方法。关于用基本超几何函 数方法证明r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式的详细论述，见文献f 瑚1 2 1 3 ， 4 7 。1 9 8 3 年，g e s s e l 4 1 1 与s t a n t o n 利用q - l a g r a n g e 反演证明了一些已 知的恒等式，同时又得出新的r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式。 关于r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式的发现与证明，还有其它一些方法， 这里不再一一赘述，有兴趣的读者可阅读文献 2 9 ，5 6 。到目前为止， 还没有发现一个证明r o g e r s - r o a n a n u j a n 型恒等式的有效方法前面列 举的几种方法各有优缺点，与此同时，它们也不是相互独立的。事实 上，几种方法都涉及发生函数理论。本章的目的就是讨论如何利用发 生函数理论证明r o g e r 争r a m a n u j a n 型恒等式，并建立一些新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式，得到某些已知恒等式的广义形式，同时，对一些 已知的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式，给出新证法 5 3 1 一些r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式的广义形式 在文献 4 1 中，g e s s e l 与s t a n t o n 利用q - l a g r a n g e 反演，推导出一个 极其优美的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式 ，十耋器，+ 1 ) = 地址鼍挎笋巡盟( 3 ) 不久，g e a n d r e w s 在文献【1 9 】中给出了恒等式( 3 1 1 ) 的组合解释： 设 舳) = n 量= l 磐一十1 ) 矧= 尘罟券盟g ( “抄 l ，y ，n 设，表示由元素是正的奇数或者是属于剩余类一4 ，一6 ，一8 ，一1 0 ( r o o d3 2 ) 的正整数组成的集合设。表示由元素是奇数或者是属于剩余类一2 一8 ，1 2 ，1 4 ( m o d3 2 ) 的整数组成的集合。则有恒等式 1 + ( g ) = i i ( 1 一旷) 一1 ， ( a ) n e l 垂( q ) = ( 1 一q ”) ( b ) n e 2 g a n d r e w s 从va l e b e s g u e 的1 8 4 0 个恒等式以及j a c o b i 三重积的应用 中推导出恒等式( a ) 和( b ) ga n d r e w s 为解释恒等式( a ) 和( b ) ，引入“两色分拆”的概念：将 正整数n 分成部分拥有两种颜色的分拆。设g ( n ) 表示n 的最大部分是 红色、部分互不相同、且每个部分比下一个最大部分至少小于2 。设 s 。( n ) 和岛( n ) 分别表示n 的部分属于。和。的普通分拆的个数。则 由恒等式( a ) 和( b ) 可以导出着c ( n ) = 毋n ) = 岛一1 ) 。 文 9 0 】得到( 3 1 1 ) 的广义形式： 】+ 子堡1 2 1 二! 口( n j ) ：( 二堡必出盥盟竺垫! 生d( 3 1 2 ) 同时，文【9 0 】还碍剑与式( 3 1 2 ) 干甘荚似明但，寺式t ，+ 薹器口g ， ；(-q；q)ooq(t；q2)oo+(tq；q2)oo-t(q；q2)oo+(tq；q2)c。f 3 13 1 口一c 后来，文 9 1 】又推出一系列与式( 3 1 1 ) 相类似的恒等式： - + 耋势水卜= c 刊。 ( 1 + _ _ q 2 ；q 2 胁竿 + ( _ _ q l o ；q 1 6 ) c c ( ( _ 阳q 8 ；。q ) 1 。6 ) o 。( q 1 6 ；q 1 6 ) c 。 j ，( q 。) ( 3 1 ，4 ) ，+ 薹譬水胁响娜刊卜型塑絮筹监盟 + 耋磐水舾= c 刊m 挚一( - + o 。 + 邕盥锈学 ( 口0 ) ( 3 16 ) 我们注葸到恒等式( 3 1 1 316 ) 的证明可以归结为如何计算级数 + 薹揣水卜s ， ( 3 ) 其中s 为整数。现在我们就来讨论怎样计算级数( 3 1 7 ) 在叙述本节主要内容之前，先介绍一些预备知识。 引理3 1 1 ：若川 1 ，则 n 曼= o 糍粉水k 繁薹志糯 引理趴2 若川 z ，则尹= o 粤t q 宰q ) n 护= 篆尝 弓l 理3 1 3 ：( q ；q 2 ) 。( _ 一口：g ) 。：1 引理3 1 4 ：若z 0 ，贝z n q 一= ( 矿；9 2 ) 。( 一z 鲥矿) 。( 一z 1 “9 2 ) 。 有关引理( 3 1 1 - 3 1 4 ) 的证明，见文献f 9 ，1 扣1 4 ，1 8 】引理3 1 4 通常 也被称为j a c o b i 三重积，可以理解为广义发生函数 现在我们给出本节主要结果 定理3 1 1 ：设8 为整数且i t i 1 ，则 ，+ 薹器水) + m = 姓q - t 胁l 。耋志 一妒一1 ( 叫+ l ；g k 。、刚m t n 严而卜i t ( 3 1 8 ) 证明：设冬= - + 薹高 水) m ，则有 墨一咒+ z = 矿n 曼= o 篆寰水) 州” 墨一咒+ l = 矿告警口( n ) “扣+ 1 、y ，yj n 箜兰童 差王璺殳曼! ! ! ：些垒堡垒望四璺翌型垣簦塞丝= 些堕墨! i 诬引埋3 11 中，设a = 0 ，c = q ，则有 薹瓣水卜8 卟n 蝴_ g ) 。n 妻= 0 纛 同理， 薹涨水) + 吣+ 1 ) _ ( _ 矿h m 啦黑丽志咏 因此，式( 3 1 8 ) 成立。 口 我们注意到式( 3 18 ) 推广了前面已知的恒等式( 3 1 1 - 3 1 6 ) ，在式( 3 1 8 ) 中根据t 和s 的取值，结合引理3 1 2 - 3 1 4 ，可计算出恒等式( 3 1 1 3 1 6 ) 。 例如，在式( 3 1 8 ) 中令t = 一q ，s = 1 ，则有 x t 叫+ 耋挚 k 学忙啦薹器 + g ( 柏) 。妻盟紧熹螋h 1 n = oi n 1l ￥，y十 冰舞撬+ 虹警盛， 而( - q ；9 ) 。= ( 一g ；q 2 ) 。( 一q 2 ；q 2 ) 。，故 五= 赭怒hn 小q 3 ；q 4 ) 尉；执+ ( q k ( q 3 ；q 4 ) 。( q a ；q 4 ) 。 再多次应用引理3 ，1 4 ，就得到恒等式( 3 1 1 ) 若在式( 3 1 8 ) 中令s = 一1 ，则有 ，+ 薹精g g ) _ n = 咎 ( - - q - 1 _ ；q ，。 z + 耋丽寿甄 _ t q - 2 ( 刊* 1 + ( q ；q ) n ( 一- 1 ；q ) n j 一再t w 为 “ 蒜m 1 墨溉 和 由引理3 1 2 知 又由于 于是，我们得到 ，+ 耋器扣卜 q ( t ；q ) 了。( j - q 一；q ) o o 口一【 i 1t 十而丽一 1 ( t q 2 ；9 2 ) 。 t q t ( ；9 ) 。= ( t ；q 2 ) 。( 幻；q 2 ) 。，( 3 ，1 9 ) 等字 ( 1 + 了1 - t 一珈删2 ) 。 + ( ，+ ：一孝) n 爿一再t ，( a 0 ) t q ) ( 3 1 1 0 ) 类似地，我们可以得出 等字 宰c t q ；q 2 ) 。一( ，+ ；+ 挑9 2 ) 叫 一南，( 口。，f o ，t n z + 薹镟口( n 扣= 絮字+ 字) ( t q ；q 2 卜去( - + 秒1 哪2 ，卅 一妄i 琶窨t ，+ c ，一t ，( ；+ q 1 2 + 嘉) c t 。；。2 ，。t 2 ( 口一) h ”口 1 9 3 r ”。 一1 4 - 百1 + 1 十1 - 。t q 弘、；口2 ) 。) _ 老， ( q 0 ，t 0 ，t g ) ( 3 1 1 2 ) 羞。差凳= 厮善辩 一辛8 她。 博一“彤 蔫一 _ 查一 扫去 q 扣 器 卜 水 镟 喊 显然，恒等式( 3 1 1 肚3 1 1 2 ) 是( 3 1 4 3 1 6 ) 的广义形式 从引理3 1 1 ，我们还可以得到下面的结果： 定理3 1 2 ：若i t i 1 ，且口0 ，则 h 。( - c 叭) ( t p ；q 川) n - 。1 水k 击+ 掣栋+ 淼， ，+ 薹勰水卜n = 者+ 蔫+ 蔫， ，+ 耋磐 盟掣笋+ 而q 一丽q ( - - q 2 ；q 2 ) c 。 ( 3 1 1 5 ) + 量磐一州，= 盟掣磐+ 南 一 ! ! 二i ! 竺 一巫翌! ! ：2 竺! ! 竺i ! 1 2 苎! ! ! j ! ! ：! 笠 ( 1 + q ) ( 口；q 2 ) 。( q ；口) 。 ( 3 1 1 6 ) 证明：在引理3 1 1 中令n c ，再利用引理3 1 2 ，则有 曼勰水k涨(3117z-, c t ； ) 。：o ( q ；g ) n ( 砖q ) n (q ) 。 设 h 一薹畿g g ) ，k 一歪o o 微水卜n 由式( 3 1 1 7 ) 知： 一蚝= 篙警，m 一；蚝= 器一； 因此式f 3 1 1 3 3 ，1 1 4 ) 成立 塑一 盔蓬堡王盔堂鲎主堂垡坌塞!塑盒垣笠垄量叁圭亘墼查鲨 如果在式( 3 11 4 ) 中将q 用g z 代替，就会有 ，+ 薹勰 t 一口2 q 2 ( ；q 2 ) 。 ( q 2 一t ) ( c ；9 2 ) 。 c q 2 ( c q 2 ；q 2 ) 。 4 ( q 2 - t ) ( c t ；q 2 ) o o 在式( 3 1 1 8 ) 中令t = 一q ，c = 一1 ，则有 ，+ 薹磐q n ( n + d = 而1 一箍，( 3 1 1 9 ， 另一方面，s l a t e r 7 1 曾证明过一个恒等式 ，+ 耋煦警 型麓竽盟，( 3 地。) 于是，由式( 3 1 1 9 门1 2 0 ) 可推出式( 3 1 1 5 ) 成立。 设 则有 y 3 ：】+ 子( 二! 望! 二! d 。 。1 + 蚤1 繁矿2n =，k n 妻= l 锪擎一一2 ， k 一虼= 薹溉矿协+ 1 再由s l a t e r 7 1 】得到的一个恒等式 薹黯q n ( n + 2 ) 些鳖糕半盟 我们可得到式( 3 1 1 6 ) 成立。 口 现在我们给出定理3 ，1 2 的一些特殊形式 例如，在恒等式( 3 1 1 3 3 1 ，1 4 ) 中令t = 一q ，则有 1 + 子( - - q ；q ) , - 1 口( ；) ：一1 + ! l = g i9 2 竺 1 + 三百万i nq g k j + 鬻器 1 1n = 1 、1 ，y 。 “、y ， 。o 和 + 量挚，f k 互1 + 滋 箜三童羞王曼2 墨! ! ! ：堡垒里! 墨坦璺塾型堡簦塞塑二些堕墨! ! 如果在式( 31 1 3 ) 中将q 换成q 2 ，就会有 - + 薹箍q n ( n - - 1 ) 可t 蔫 在式( 3 1 2 1 ) 中令c tq ，可得 ，+ 三糌矿= 而1 + 口( 一g iq 2 ) 。 ( 1 + g ) ( 9 2 ；q 2 ) 。( 1 口( 一 口2 ) 。 + g ) ( 9 2 ；q 2 ) 。 我们还可以从另一角度推广式( 3 1 1 ) 。 定理3 1 3 ：对于每个整数k 1 ，当i t i 1 时， 】+ 子生j ! ! ! ! = ! ! ! ! ! 一上+ ( 二! i 1 2 苎( 生! 1 2 苎子 ! ： 蠹三( g ；口) 。t q 1 一幻一毒磊( q k ；q k ) 。( 一q ；q ) k 。 + 妞辫盎r 圭n = l 。“墨而甄t n ， ( 3 1 2 2 ) + 手地生= ! ! 望：l 一鲁( g ；q ) 。t q + ( ，+ 击) ( 刊* ( t ；q k ) 。墨而毒磊 + 塑辫tq k 盐圭矿薹而最( - - q ； 一三1 圭：( 驴；口) 。们k 。+ 。 ( 3 1 2 3 ) 证明：已知广义h e i n e 变换( 见【1 4 】) 子! i 贮! ! ( 生1 2 曼竺：f 堡1 2 竺( 壁! ! 1 2 竺子i ! 堡! ! ! 壁i 芷2 1 竺 岛( q k ；矿) 。( c ；q ) k 。( c ；g ) 。( t ；矿) 。高( g ；口) 。( n t ；q k ) 。 ( 3 1 2 4 ) 存苦3 12 4 ) 中合b 。0 刚右 s ( 一c p ( t ；矿) 。口【孙 ( c ；口) 。( t ；q k ) 。 幺百而而i 五百2 面矿 导! ! 型2 1 竺 名( q k ；矿) 。( c ；口) k 。 m 糍 设 则 于是 耻，+ 薹噜# ，+ 薹缫 一+ 耋警， 导( t ；q ) 。一1 口( 4 j 1 ) ( 1 一q n 。) 名( g ；q ) 。 壁i 2 1 1 1 1 ：! f ! ：! ! ：! 竺： n 。= o ( q ；口) n a “k 一。“+ 曼罐掣 咄n 萎- - - - o 学i n an 妻= o l y y 。薹警吖薹 。薹紫f 口0 、y ，1 ，n ( 3 1 2 5 ) ( t ；q k ) 。g ( ”1 ) 1 而j = _ ( t ；口) 。口( 4 吉1 ) + 3 n 雨一 由式( 3 1 2 4 ) 可知； m k = ( 嗡机( t ；q k ) 。壹矿薹两两际t n k = 击+ 掌些n