（计算数学专业论文）若干孤子方程的精确解与galilean变换.pdf

工 他 本 即 借 上海大学理学硕士学位论文 若干孤子方程的精确解与g a l i l e a n 变换 作者：胡六锋 导师：张大军教授 专业：计算数学 上海大学理学院 二零一零年五月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e e x a c ts o l u t i o n sa n dg a l i l e a nt r a n s f o r m a t i o n s o fs o m es o l i t o ne q u a t i o n s m d c a n d i d a t e ：h ul i u f e n g s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gd a - j u n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s s c h o o lo fs c i e n c e s ，s h a n g h a iu n i v e r s i t y m a y ，2 0 1 0 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 摘要 本文研究的主要问题包括： 1 利用h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 元素的构造技巧研究了等谱与非等谱b u r g e r s 方程族的精确解两类方程族都可以通过c o l e - h o p f 变换化为线性形式，利用w r o n s k i a n 方法中w r o n s k i a n 元素的构造技巧给出其若干不同形式的精确解，然后研究一 些解之间的关系 2 3 阶b u r g e r s 方程并不存在保持不变性的g a l i l e a n 变换通过引入无穷坐标 和重新定义高阶系统，我们获得了任意阶b u r g e r s 系统的g a l i l e a n 变换，该变换保 持原系统不变作为应用，我们还讨论了高阶k d v 系统 3 分析几类m k d v 类方程的呼吸子解的性质从谱问题出发，分别讨论了 m k d v 、非等谱m k d v i ( a t = a ) 、非等谱m k d v i i ( a t = 入3 ) 与带自容源m k d v 、非 等谱带自容源m k d v i ( a t = a ) 、非等谱带自容源m k d v i i ( a t = 入3 ) 等方程的l a x 可积性，并求得各个方程的双孤子解及呼吸子解分析各个非等谱m k d v 方程呼吸 子与带自容源m k d v 方程呼吸子的性质及源的作用 关键词：精确解；b u r g e r s 方程族；g a l i l e a n 变换；m k d v 类方程；呼吸子 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep a p e rm a i n l yf o c u s e so nt h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： f i r s t l y w ei n v e s t i g a t es o l i t o n s o l u t i o n st oi s o s p e c t r a la n dn o n i s o s p e c t r a lb u r g e r s e q u a t i o nh i e r a r c h i e st h r o u g hh i r o t am e t h o da n dt h et e c h n i q u ef o rs e l e c t i n gw r o n s k i a n e n t r i e s t h et w oh i e r a r c h i e sc a nb el i n e a r i z e dt h r o u g ht h ec o l e - h o p ft r a n s f o r m a t i o n s o l u t i o n sa r eg i v e nb ym e a d so ft h et e c h n i q u ef o rs e l e c t i n gw r o n s k i a ne n t r i e s r e l a t i o n s h i p b e t w e e ns o m es o l u t i o n sa n dt h e i rd y n a m i c so fo b t a i n e ds o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d s e c o n d l y , w ef i n dt h a tt h e r ei sn og a l i l e a nt r a n s f o r m a t i o nf o rt h e3 r d - o r d e rb u r g e r s e q u a t i o nt ok e e pt h ee q u a t i o ni n v a r i a n t t og e tad e s i r e dg a l i l e a nt r a n s f o r m a t i o n ，w e i n t r o d u c ei n f i n i t et e m p o r a lc o o r d i n a t e 熔a n dr e d e f i n eh i i g ho r d e rb u r g e r ss y s t e m i nt h i s w a yw et h e nc a nc o n s t r u c tag a l i l e a nt r a n s f o r m a t i o nw h i c hk e e p st h eh i g ho r d e rs y s t e m i n v a r i a n t a sa p p l i c a t i o na n da ne x a m p l e ，w ea l s oc o n s i d e rg a l i l e a nt r a n s f o r m a t i o nf o r h i g ho r d e rk d vs y s t e m f i n a l l y , b r e a t h e rs o l u t i o no fs o m em k d v - t y p ee q u a t i o n sa r es t u d i e d t h em k d v e q u a t i o n ，n o n i s o s p e c t r a lm k d v - ie q u a t i o n ，a n dn o n i s o s p e c t r a lm k d v - i ie q u a t i o n ( w h i c h c o r r e s p o n dt ot h et i m e - d e p e n d e n ts p e c t r a lp a r a m e t e ras a t i s f y i n ga t = = aa n da t = a 3 ， r e s p e c t i v e l y ) ，t h em k d ve q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ，n o n i s o s p e c t r a lm k d v - 1 w i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s a n dn o n i s o s p e c t r mm k d 、r - 1 1w i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa r e i n v e s t i g a t e di nt e r m so fl a xi n t e g r a b i l i t y t h e i rt w os o l i t o n sa n db r e a t h e r sa r eo b t a i n e d d y n a m i c so ft h e s eo b t a i n e db r e a t h e r sa r ei l l u s t r a t e d k e yw o r d s ： e x a c ts o u t i o n ；b u r g e r sh i e r a r c h y ；g a l i l e a nt r a n s f o r m a t i o n s ；m k d v - t y p e e q u a t i o n ；b r e a t h e r s 目录 第一章引言 1 1 1 背景 1 1 2 论文的主要工作 3 第二章预备知识4 2 1 双线性导数的定义及其性质4 2 2w r o n s k i 行列式 5 2 2 1w r o n s k i 行列式的定义 5 2 2 2 w r o n s k i 行列式的若干个基本性质 5 2 3m k d v 方程的w r o n s k i a n 条件及其解的讨论 6 第三章b u r g e r s 方程族的精确解 1 2 3 1b u r g e r s 方程族1 2 3 2b u r g e r s 方程族的基本解与一般解1 4 3 2 1 基本解与一般解的形式1 4 3 2 2 基本解之间的关系一：1 6 3 3b u r g e r s 方程解的动力学特征1 7 3 4 非等谱b u r g e r s 方程解的动力学特征1 9 第四章高阶b u r g e r s 方程族的g a l i l e a n 变换 2 l 4 1 引言j 一2 1 4 2 高阶b u r g e r s 系统的广义g a l i l e a n 变换2 3 4 3 高阶k d v 系统的g a l i l e a n 变换与不变性2 6 4 4 结论2 8 第五章修正k d v 类方程的呼吸子 2 9 5 1m k d v 型方程的l a x 可积性2 9 5 1 1m k d v 、非等谱m k d v - i 与非等谱m k d v - i i 方程j 2 9 5 1 2 带自容源的m k d v 、非等谱带自容源的m k d v i 与非等谱带自容源的m k d v - i i 方程。：3 1 5 2 等谱m k d v 方程的呼吸子3 3 5 3 非等谱m k d v 方程3 4 5 4 等谱带自容源m k d v 方程3 7 i 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 i i 5 5 非等谱带自容源m k d v 方程3 8 参考文献 硕士期间科研成果 致谢 4 1 4 5 4 6 第一章引言 1 1 背景 孤子( s o l i t o n ) 是最早在自然界观察到，并且可以在实验室产生的非线性现象 从发现孤子到现在已经有一百多年的历史，大致经历了四个方面的发展，即t 由一 维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化方程组；由经典到量子；由单学科到 多学科交叉；由理论研究到实际应用 孤子的发现可追溯到1 8 3 4 年，苏格兰科学家约翰斯科特- 罗素观察到的一 个现象【1 1 ：在一条窄河道中，迅速拉一条船前进，在船突然停下时，在船头形成 的一个孤立的水波迅速离开船头，以每小时1 4 1 5 k i n 的速度前进，而波的形状不 变，前进了2 3 k m 才消失他称这个波为平移波( 现在我们称为孤波) ，并得出了 关于平移波的主要结论【2 】：流体中存在着一种波动，它的规律与迄今为止所知道的 波的规律不同；这种波动是局域的动力学实体，它以确定的形状与速度运动；如果 波在未被扰动的水面上的高度为h ，未被扰动的的水的深度为d ，则这种波的运动速 度为t ，= v r b 雨+ d 一) ，其中g 为重力加速度；波速t ，与产生它的模式无关；波的形状 是旋轮线；如果水的初始质量足够大，有可能产生两个或更多的平移波；平移波碰 撞时，彼此互相穿透，速度没有任何改变”罗素的上述结论说明他对孤波性质的理 解是深刻的，唯一的不足是他认为波的形状是旋轮线之后，g b a i r y 与g e o r g e s t o k e s 提出了怀疑t 一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面 上，一部分在水面下? 波在传播的过程中，为什么波幅不会衰减；波的运动速度和 他们的研究结果不符这一争议最终由d j k o r t e w e g 与g d ev r i e s 于1 8 9 5 年解 决，他们回答了a i r y 和s t o k e s 提出的反对意见，并从流体力学的研究得到浅水波 方程( k d v 方程) ，并得到这一方程的行波解，描述了罗素所发现的孤波的运动，其 波形是s e c h 2 至此，孤波才为学术界普遍接受 1 9 6 5 年，美国数学家m a r t i nd k r u s k a l 和n o r m a nj z a b u s k y 【3 】3 为了揭示f p u 的实验结果，进行了计算机数值模拟，发现了k d v 孤波与众不同的碰撞特点，并首 次引入“孤子”( s o l i t o n ) 这一术语，用它来描述具有粒子性质的孤波此后，人们承 认孤波是稳定的，两个或更多的孤波碰撞之后，各自保持原来的波形和速度继续向 前传播而固体物理、非线性电磁学和神经动力学所揭示的与孤波有关的问题，也 促使人们考虑在流体以外的领域，孤波是否存在 1 9 6 7 年，c s g a r d n e r ，j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m m i u r a 提出了逆 散射方法f 4 ，5 】，解决了k d v 方程的求解问题它不仅为应用数学开拓了一个新领 域，而且也为孤子物理学的研究提供了数学工具，是应用数学的一次重大突破随 1 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 后p d l a x 于1 9 6 8 年通过引入l a x 对，将孤子演化方程的求解问题和求l a x 对的 问题联系起来，从而使逆散射方法的数学表述更加简洁此后几年逆散射方法被推 广应用于其他孤子方程的求解【6 】极大地推动了孤子理论的发展 在这样的背景下，寻求非线性发展方程的精确解成为孤立子理论研究中的一项 重要内容到目前为止，有很多方法可获得非线性发展方程的精确解，例如：反散射 变换、h i r o t a 方法【z 1 1 8 j 、w r o n s k i a n 技巧( 9 】 1 2 】、d a r b o u x 变换【1 3 卜 1 8 j 、b 洳k l u n d 变换【1 6 1 7 】等下面主要介绍h i r o t a 方法与w r o n s k i a n 技巧 1 9 7 1 年，日本物理学家h i r o t a 引入双线性方法并应用于求解非线性孤子方程 其一般步骤：引入位势u 的一个变换，使原方程改写为双线性导数方程，将扰动展 开式直接代入到双线性导数的方程中去，在一定的条件下该展开式可以被截断，由 此构造出多孤子解的表达式其优点在于：它是一种代数方法，而且求解仅与方程 有关，不依赖于方程的谱问题或l a x 对，因此具有广泛的使用范围，几乎可解所有 逆散射变换可解的方程 w r o n s k i a n 技巧【9 】作为求解孤子方程的一种系统方法，是由英国学者f r e e m a n 和n i m m o 于1 9 8 3 年提出并建立起来的他们利用行列式的性质与l a p l a c e 展开定 理给出了k p 方程存在着表示为w r o n s k i 行列式的孤子解的严格论证，从而使孤 子方程的解的表示步入一个新阶段该方法以h i r o t a 双线性形式为基础，即首先要 得到孤子方程的双线性形式或双线性b i c k l u n d 变换【1 8 1 9 】，然后选择适当的函数 构成w r o n s k i 行列式，再代入到双线性形式或双线性中利用w r o n s k i 行列式的性质 和线性代数中的l a p l a c e 定理进行验证 除了孤子解可表示为w r o n s k i a n 形式之外，其他形式的解，例如有理解，p o s i - t o n 解，n e g a t o n 解，c o m p l e x i t o n 解以及混合解等也可用w r o n s k i a n 表示有理解的 w r o n s k i a n 形式是由n i m m o 和f r e e m a n 2 0 】根据a b l o w i t z 和s a t s u m a 2 1 】提出的长波 求极限的观点首先给出的1 9 8 8 年s i r i a n u n p i b o o n ，h o w a r d 以及r o y ( s h r ) 2 2 】首先 将w r o n s k i a n 元素满足的条件进行推广，再由标准w r o n s k i a n 过程，得到k d v 方程更 多的解，包括p o s i t o n 解，n e g a t o n 解，混合解p o s i t o n 解是1 9 9 2 年由m a t v e e v 2 3 】 2 4 】 命名的，这种解是由稳态s c h r s d i n g e r 方程的特征值取为正值时得到的解类似的，稳 态s c h r s d i n g e r 方程的特征值为负时得到的解称为n e g a t o n 解k d v 方程的c o m p l e x i - t o n 解的w r o n s k i a n 表示是2 0 0 2 年由马文秀 2 5 】提出的，它是稳态s c h r s d i n g e r 方程 的特征值为复数时得到的解，这种解本质上是呼吸子【2 6 】或高阶的呼吸子 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 2 论文的主要工作 本文研究的主要问题包括： 1 利用h k o t a 方法和w r o n s k i a n 元素的构造技巧研究了等谱与非等谱b u r g e r s 方程族的精确解两类方程族都可以通过c o l e - h o p f 变换化为线性形式，利用w r o n s k i a n 方法中w r o n s k i a n 元素的构造技巧给出其若干不同形式的精确解，然后研究一 些解之间的关系 2 3 阶b u r g e r s 方程并不存在保持不变性的g a l i l e a n 变换通过引入无穷坐标 和重新定义高阶系统，我们获得了任意阶b u r g e r s 系统的g a l i l e a n 变换，该变换保 持原系统不变作为应用，我们还讨论了高阶k d v 系统 3 分析几类m k d v 类方程的呼吸子解的性质从谱问题出发，分别讨论了 m k d v 、非等谱m k d v i ( a t = 入) 、非等谱m k d v i i ( 九= a 3 ) 与带自容源m k d v 、非 等谱带自容源m k d v - i ( 九= 入) 、非等谱带自容源m k d v i i ( a f = 入3 ) 等方程的l a x 可积性，并求得各个方程的双孤子解及呼吸子解分析各个非等谱m k d v 方程呼吸 子与带自容源m k d v 方程呼吸子的性质及源的作用 具体安排如下： 1 第一章简要概述孤立子的发展过程及两种重要的求解方法； 2 第二章介绍双线性导数法及w r o n s k i 行列式的几个性质，作为参考，介绍了m k d v 方程的w r o n s l d a n 条件及其解的讨论； 3 第三章研究了b u r g e r s 方程族的精确解，讨论了b u r g e r s 方程族某些基本解之间 的关系，分析等谱与非等谱b u r g e r s 方程解的动力学分析； 4 第四章建立了高阶b u r g e r s 系统和高阶k d v 系统的g a l i l e a n 变换 5 第五章讨论了等谱与非等谱m k d v 方程、等谱与非等谱带自容源m k d v 方程呼 吸子解的运动形式，分析了带不同自容源的方程对呼吸子解的不同作用 第二章预备知识 2 1双线性导数的定义及其性质 下面简要叙述一下双线性导数的定义与性质 2 7 设( t ，。) 与g ( t ，z ) 是变量t 与z 的可微函数，引进微分算子d 。与仇，使得对 任意的非负整数m 和n 有 d 职，g = ( 侥一色，) m ( 巩一吃，) “( t ，z ) 9 ( ，。，) l t t = t , x n ：善， ( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数，与9 对t 施行m 次d t ，对z 施行n 次现的双线性导数这 种导数具有以下性质： 性质2 1 1 函数( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零即m + n 为奇数时， d 瑶，= 0 ( 2 1 2 ) 性质2 1 2 交换函数f ( t ，z ) 与9 ( t ，z ) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其 值不变，而导数是奇次时要改变符号 刀d ：，9 = ( 一1 ) m + n 刀磷9 ，( 2 1 3 ) 性质2 1 3 函数( t ，。) 与数1 的双线性导数是通常的导数，即 刀磁，1 = 卵霹， ( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与z 的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 性质2 1 4两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的 适当倍数，即设 白= t + b z + 5 0 u = 1 ，2 ) ， ( 2 1 5 ) 其中吻，磅及g o 均为实数，则有 刀瑶e 自e 缸= ( u l 一忱) m ( 蠡1 一k 2 ) n e f l + 缸( 2 1 6 ) 由此推得相同线性指数函数的双线性导数为零 d 瑶喾1 - = 0 ( 2 1 7 ) 4 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 2 2w r o n s k i 行列式 2 2 1 w r o n s k i 行列式的定义 定义2 2 1 设如( t ，z ，y ) o = 1 ，2 ，) 为一组可微函数，其阶w r o n s k i 行 列式定义为 ( l ，西2 ，) = l 庐i 咖i 一1 ) 如庐始- 1 ( 2 2 1 ) 其中硝= 伊九a 它常可写为一种紧凑格式 ：i 咖，咖( 1 1 ，砂( 一1 ) l = i o , 1 ，n 一1 i = i 矿= - - - x 1 ( 2 2 2 ) 更一般地，我们用i 五，1 2 ，知i 表示i 咖，咖( ，咖( 。，( 。) ，( o l ，用i 五，1 2 ，l p i 表示i 妒( ，妒( 1 ，咖( 1 2 j ，毋( 1 p ) i ，用i 五，1 2 ，知l 表示i 妒( ，( 引，( h ) ，咖( 。2 ) ，( 。一i 2 2 2w r o n s k i 行列式的若干个基本性质 成立 命题2 2 1 例若记m 为n ( 一2 ) 矩阵，口，b ，c 和d 都是n 维列向量，则 m ，n ，b l m ，c ，d i i m ，口，c h m ，6 ，d i + i m ，口，d l i u ，6 ，c l = 0 ( 2 2 3 ) 命题2 2 2 俐设矩阵a = ( ) n = a l ，a 2 ，n 】，叼为a 的列向量，向量 b = ( 6 1 ，6 2 ，b n ) t ，则成立 其中吻表示( 6 l 口1 j ，6 2 口巧，口晰) t = i a i b i ， ( 2 2 4 ) i = 1 命题2 2 3 胆研设i a i 是n n 行歹q 式，p = ( ) 是算子矩阵。r c ( j ) l a i 表示p 的第j 列只作用于i a i 的第歹列，辟u ) i a i 表示p 的第j 行只作用于i a i 的 第歹行，则有 nn 砭。i a i = p 。( j ) l a i = r r f f ) l a i = 砟。i a i ( 2 2 5 2 ) 命题2 2 4 ( 2 2 6 ) n + 叼彬 一 吁 眦 触 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 6 是一个j o r d a n 块，k 是任意的非零复数，4 是一个s s 阶复数矩阵，那么 么j s = j s a( 2 2 7 ) 当且仅当a 是一个下三角t o e p l i t z 矩阵，即，一4 的形式如下： a = 其中 澍是任意复数 命题2 2 5 假设如如( 2 2 6 ) 所给，并且令 西= a s s la j s = j s a ) = s 阶下三角t o e p l i t z 矩阵) ， ( 2 2 9 ) g s = ( 4 ia g s ，川o ) ， 那么，g s 关于矩阵乘法和逆形成一个a b e l i a n 群，否s 是一个含单位元的a b e l i a n 半群r 么正半群j 2 3m k d v 方程的w r o n s k i a n 条件及其解的讨论 本节给出了m k d v 方程w r o n s k i a n 条件( 包括呼吸子的w r o n s k i a n 条件) 与 w r o n s k i a n 条件的元素的表示形式本节内容主要来自文献 2 9 ，3 0 ，为第三章求出 b u r g e r s 方程族不同形式的解提供知识基础 m k d v 方程 3 2 】 撕+ 6 u 2 t k + 竹= 0 ，( 2 3 1 ) 在变换 “= t ( h 手) 童= 半产 仁3 脚 下，可化为 6 】： ( 现+ 珑) ，= 0 ， 哦 = 0 ， 其中i 是虚数单位，是，的复共轭函数 ( 2 3 3 a ) ( 2 3 3 b ) 822 ss 、l-、 o o o 哪 0 0 0 m3 o o 知 啦 。 如 叽 啦 知 m 眈 噼 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 定理2 3 1 假设 _ _ _ _ - - - - ，= l n t l ， 其中，元素向量= ( 咖l ? 咖2 ，c n ) r 满足 丸= 口( f ) 西 仇= - 4 c x 以+ c ( t ) 咖 其中b ( t ) 和c ( t ) 是n xn 阶的函数矩阵且满足 i b ( t ) i 0 ， b t ) + b ( t ) c ( t ) 一c ( t ) b ( t ) = 0 ， 则，是双线性方程( 2 3 3 ) 的解 为了给出w r o n s k i a n 条件( 2 3 6 ) 的解，我们增加了一个自然条件t 九z = b ( t ) b ( ) = a ( t ) 则定理2 3 1 变为： 定理2 3 2 假设 ，= i 一t l ， 其中，元素向量= ( 咖l ，屯，c n ) t 满足 = a ( t ) ， 咖霉= b ( t ) 咖， 也= - 4 九托+ c ( t ) 以 a ( t ) 、b ( t ) 和c ( t ) 是nxn 阶且只与时间t 有关的函数矩阵，且满足 a ( t ) t “a ( ) ，c ( t ) 】= 0 ， b ( t ) t + 【b ( t ) ，c ( t ) 】= 0 ， c ( t ) r n n ( t ) ， b c t ) b ( t ) 一a ( t ) = 0 其中陋( t ) ，c ( t ) 】= a ( t ) c ( t ) 一c ( ) a ( t ) ，则，是双线性方程阻舅砂的解 在引出m k d v 方程相同的解的前提下，上述条件可以简化为 丸。= a ， 丸= b 西， 西2 4 西z z z ， 7 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 a ) ( 2 3 5 b ) ( 2 3 6 a ) ( 2 3 6 b ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 a ) ( 2 3 9 b ) ( 2 3 9 c ) ( 2 3 1 0 a ) ( 2 3 1 0 b ) ( 2 3 1 0 c ) ( 2 3 1 l a ) ( 2 3 1 l b ) ( 2 3 1 l c ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 8 其中 b 面= a ( 2 3 1 2 ) 而a 与a 的标准型引出的m k d v 方程的解是一样的 这样，选取若干个满足条件方程( 2 3 1 1 ) 的a ，就可求出对应的通解 c a s ei a = d i a g ( a a l ，入i ，) ， 式中，= i l k j l l ( 1 1 i i 代表复数的模) ，b 为任意互不相等的数 ( 1 ) 如果b r ，即有 a = d i a g ( k ，砖，砖) ， 则可取 b = d i a g ( k l ，k 2 ，) ， w r o n s k i a n 条件( 2 3 1 1 ) 的通解为 = 品= ( 1 ，屯，) t ， 其中 呜= 哼商+ 町e 一白， 白= b z 一4 碍t + 0 1 ，j = l ，2 ， ( 2 3 1 3 ) 哼，可，弓r 取适当的o ，使得 i c j = t 扫+ ( 一1 ) 歹一1 e 一， ( 2 3 1 4 ) 可以引出h i r o t a 形式的m k d v 方程的孤子解【3 3 】 ( 2 ) b 为复数时，取b = k j l + i k j 2 ，即有 a = d i a g ( x ，a ；，入知) ，碍= 磅l + 硗， 可以取 b = d i a g ( k l ，k 2 ，h ) ， w r o n s k i a n 条件( 2 3 1 1 ) 的通解为 = ；= ( 1 ，晚，c n ) t ， 其中 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 特别的，当 b = d i a g ( i k l ，i k 2 ，i k n ) ， 即特征值为纯虚数，这是文献【3 钏给出的条件此种情况的通解为 啦= ( 1 + i ) ( 哼e 白+ i 町e 一白) ， 白= 幻z - 4 k 3 t + g m ，j = l ，2 ， 哼，町和铲r 9 ( 2 3 1 6 ) 综上，比较解( 2 3 1 3 ) 和( 2 3 1 5 ) ，无论b 取实数还是虚数，即无论b 是实数矩 阵还是复数矩阵，得到的m k d v 方程的解的形式是一致的 c a s ei i ( 1 ) 若 a 岁= ，k l r( 2 3 1 7 ) b多=(罢妻三；手三)， c 2 3 - 8 ， 其中 ( 2 ) a = = a q 击+ s q o - ，a ，b g n ， ( 2 3 1 9 ) 蝣= ( q 3 ：。，瞄l 一，q 麦一1 ) t ，罐。= 五1 罐。e 蝠 ( 2 3 2 0 ) 七 1 + 七恐 2 七 1 l o 0 七 l + 南2 2 2 后 1 0 0 南 1 + 后乞 0o 00 00 o o o o 1 2 七 l 磕+ k 2 2 ( 2 3 2 1 ) o o o 砖 o o o h 2 o 0 o 一 1 0 0研oo砰撕o 砰撕l ；| o 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 b=(三三三；三、七一c c 2 3 2 2 ， 妒= _ 付+ 召巧，么，1 3 o n ， ( 2 3 2 3 ) 其中 礤= ( 碲，瞄l 一，一1 ) t ，硫2 ；1 ：0 。f , 。e 士6 ， ( 2 3 2 4 ) l = 妇一4 a 3 t + ? ，入= 、，j 5 石确 、 但是，( 2 3 1 9 ) 与( 2 3 2 3 ) 引出的m k d v 方程的解本质是一致的 c a s ei i i a 采= d i a g ( k 2 ，砰，砖，碍) 2 ， 其中幻0 = 1 ，) 为n 个不同的复数，且r m ( 七j ) 0 ( 1 ) 可取 。 b 刍= d i a g ( k l ，j 5 1 ，h ) 2 ， 但这种情况引出的是平凡解 ( 2 ) 也可取 b = d i a g ( 0 1 , 0 2 , - - - , o n ) 2 n , 岛= ( 三b 0 ) ， 仁3 筋， 这样的b 引出呼吸子在此情况下，方程( 2 3 1 1 ) 的通解可以表示为： 其中 c a s ei v = 咖知= ( 西1 l ，1 2 ，咖2 l ，痧2 2 ，0 n 1 ，2 ) r ， ( 2 3 2 6 ) 奶l = 西+ b e 一白，奶2 = 奶e 白一- j e 一白， 白= b z 一4 k 3 t + f j ，a j b j c ( 2 3 2 7 a ) ( 2 3 2 7 b ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 其中 此时， a = a 氛= 玢牙= 2 k l2 0 石。) ， b=b；=(喜晏；主 其中 = 0 。1 ) b - = 0 。 ( 2 3 1 1 ) 的通解可以取为： 以j 被定义为 其中 h 0 1 1 ( 2 3 2 8 ) ( 2 3 2 9 ) ( 2 3 3 0 ) ( 2 3 3 1 ) 氛一( 惋l ，惋2 ，九 1 ，l ，2 ，“- l l ，4 ) n 一1 ，2 ) t ，( 2 3 3 2 ) + = ( 如，l ，毋1 ，1 ， r l ，1 ) t ，咖一= ( 加，2 ，毋l ，2 ，一l ，2 ) r ， 矿= 4 q 手+ b 簖，一= 4 对+ 8 巧， ( 2 3 3 3 a ) ( 2 3 3 3 b ) 醋= ( q 麦o ，q 麦1 ，q 麦一1 ) t ，礤= ( 昧，瑶l 一，僻o , n 一。) t ， q 南= j 1 痍a e k l z - 4 k 队i o j = 圭a ：l 。b l e - k l z + 4 k 沁i m ， ( 2 3 3 3 c ) 乒如= 刍，a l e k z z - ( 舡 ) 件皤) ，7 瓦= 未罐。5 l e 一矗z + ( 4 碍) f - 皤。h ， 4 和b 是两个任意下三角复t o e p l i t z 矩阵， 子解的极限形式 七1 ，o l 和b l 是任意复常数这是呼吸 2 、l o o o 疋 o o o 疋 o o 0 ， 0 o 一 o 0 瓦【 一 0 厄c ， 一 o 、l o l o 拼 ，、 l i o o 一吼 k o o 研 留0 = 取 石 以盯 第三章b u r g e r s 方程族的精确解 b u r g e r s 方程是流体力学中基本的偏微分方程之一，它最初是由b a t e m a n 【3 5 】 给出并得到它的一个特解，后来b u r g e r s 3 6 】把它作为湍流理论中的简单模型来研 究，l i g h t h i l l 3 7 】和b l a c k s t o c k 3 8 】利用b u r g e r s 方程来描述声信号的传播此外， b u r g e r s 方程还用于流体中的气体动力学模型、交通流等【3 9 ，4 0 】该方程可通过c o l e - h o p f 变换线性化，这种线性化直接导致其孤子的特殊碰撞行为t 分解( 或融合，当 t 一一t ) 【4 1 ，4 2 由l a x 的可积性可知，b u r g e r s 方程与谱问题以= ( t t + 入) 、l e v i 族【4 3 密切相关 考虑线性问题【2 7 ，4 3 】s 3 1b u r g e r s 方程族 丸。+ t 屯+ u z = 入以， 也= a + b 屯， ( 3 1 1 a ) ( 3 1 1 b ) ( u 牡x 、lt = 工( 三) + a0 - ：，) ( 三) + a t ( ：) ， c 3 2 ， 其中 k ( 舡- 2 0 0 2 卅+ u a + u 。) 小未 慨132u ， 工= l。i ，a = ( 3 ) 护一t a 。a + u a z 在此定义：a _ 1 = d z ，且假设u 及其所需各阶导数在z 一一处趋向于0 ，则 a a 一1 = a l a = 1 令a ，b 可按入展成n 次多项式： ( b a ) = i 妻= o ( 叼b j ) a n 。 c 3 4 ， 当九= 0 且取( a o ，b o ) = ( a ，1 ) ( 这里，o 为任意常数，在递推过程中没有意义) ，比较 ( 3 1 2 ) 中a 的同次幂系数。可得 fu 、) ：三。r 霉、) ， t 王 1 2 ( 3 1 5 ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 其中三= ( - o + u + u z o - lm 2 2 u 0 、 a + t 正 由此得到等谱b u r g e r s 方程族： 其中 u t = t “u 。( n = 0 1 ，2 ) ， ( 3 1 6 ) t = a + ”+ u x o 一1 = a ( a + u ) o 一1 ( 3 。1 7 ) 如果取九= a n + 1 和( a o ，b o ) = ( n ，z ) ，由( 3 1 2 ) 得到非等谱方程族： u t = p ( z t l ) ，( n 号0 ，1 ，2 ，) ( 3 1 8 ) 特别地，当n = 1 时，( 3 1 6 ) 给出b u r g e r s 方程 u t 。牡z - 4 - 2 u u 王， 而( 3 1 8 ) 给出了非等谱b u r g e r s 方程 t h = z 让z z + 2 x u b x + 2 u x + u 2 ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) 它们的l a x 对都可以由( 3 1 1 ) 表示其中与( 3 1 9 ) 对应的l a x 对中a = 口入一，b = 入- 4 - t ，与( 3 1 1 0 ) 对应的l a x 对中a = a a z 一让，b = x ( x + u ) 接下来，我们说明两类等谱与非等谱b u r g e r s 方程均可化为线性方程 4 4 1 由 c o l e - h o p f 变换【4 5 ，4 6 】 及( 3 1 6 ) 得 或 进而有 其中我们利用了 = ( i n ，) 王， ( i n ，) n = o ( a + t ) ”u ， ( 1 n ，儿= ( 0 + n ) ( a + ) “一1 “ 五= o f ( a