（计算数学专业论文）非线性微分方程精确解及振动性.pdf

摘要 本文主要作了以下二方面的研究：首先，借助于符号计算和吴方法研究了非线性发 展方程的精确解( 定量) ，提出和改进了一些求解非线性发展方程的方法，并在符号计算系 统m a p l e 上予以机械化实现其次，利用p d c c a t i 变换和积分平均技巧研究了几类非线性 微分方程的振动性( 定性) 第一章主要介绍了本文所涉及到的学科( 包括孤立子理论、数学机械化、微分方程 的振动性等) 的起源及发展过程，以及国内外学者在这些方面所做的工作和已经取得的 一些成果最后介绍了本文的主要工作 第二章介绍了求解非线性发展方程的a c = b d 模式，给出了g d 对和g d 可 积系统的基本理论以及构造g d 对的方法，并通过实例说明了这一模式的使用方式 第三章基于非线性发展方程求解代数化、算法化、机械化的指导思想，以吴方法和符 号计算为工具，首先提出一种新的广义t a n h 函数方法，并将其应用于( 2 + 1 ) 维k a d o m t s e v - p e t v i s 目h v i l i 方程的精确解构造其次，利用q 一变形双曲函数，提出广义的q 变形双曲 函数方法，以浅水长波近似方程为例验证了该算法的有效性最后，通过给出辅助方程 更多形式的j a c o b i 椭圆函数解，进一步改进了求解非线性发展方程的j a c o b i 椭圆函数展 开法，并用其求解了广义i t o 方程组、z a k h a r o v - k u z n e t s o v 方程、耦合d r i n f e l ，d s o k o l o v w i l s o n 方程和( 2 + 1 ) 维d a v e y - s t e w a r t s o n 方程，得到了丰富的有理形式双周期锯，在退 化情况下，又可得到有理孤波解 第四章利用推广的r i c c a t i 变换及积分平均技巧，首先，研究了一类二阶非线性微分 方程在一般假设条件下的振动性，所得结果推广和改进了前人的相关结果其次，研究了 一类广泛的二阶非线性强迫微分方程的振动性，得到若干区间振动准则这些准则仅依 赖于方程在，o 。) 的一个子区问序列上的信息，且避免了前人结果中可能出现的同题， 所得结果更有效最后，借助于核函数由( t ，8 ，z ) 和算子，t 】研究了一类二阶阻尼泛函 微分方程的振动性，得到若干新的振动准则及区间振动准则这些准则有别于以往的结 果，更加简单且易于应用 关键词：数学机械化；符号计算；直接假设法；精确解；孤立子 大连理工大学博士学位论文 e x a c ts o l u t i o n sa n do s c i l l a t i o no fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nh a sm a i n l yd o n et h ef o l l o w i n gt w oa s p e c t sr e s e a r c h ：f i r s t ，w i t ht h ea i d o fs y m b o u cc o m p u t a t i o na n dw um e t h o d ，t h ee x a c ts o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e d s o m em e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n gt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sa r ep r e s e n t e da n di m p r o v e d t h e s ep r e s e n t e dm e t h o d sa r er e a l i z e do ns y m 一 b o l i cc o m p u t a t i o ns y s t e mm a p e s e c o n d b yu 8 eo fr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n di n t e g r a la v e r a g e t e c h n i q u e ，o s c i l l a t i o no fs e v e r a ln o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e ns t u d i e d c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e st h eo r i g i na n dd e v e l o p m e n to fs e v e r a ls u b j e c t sr e l a t e dt ot h i s d i s s e r t a t i o n ( i n c l u d i n gs o h t o nt h e o r y , m e c h a n i z a t i o n ，o s c i l l a t i o ne t a 1 ) ，a sw e l la st h ew o r ka n d a c h i e v e m e n t so ft h ed o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r sw h i c hh a v eb e e no b t a i n e di nt h e s ea s p e c t s o u rm a i nw o r k sa r ep r e s e n t e da tl a s t c h a p t e r2i sd e v o t e dt oa c = b d m o d e la n di t sa p p l i c a t i o n si ns o l v i n go fn o n l i n e a re q u a - t i o n s b a s i cn o t a t i o n s ，b a s i ct h e o r yo fc - dp a i ra n dc - di n t e g r a b l es y s t e m sa n dm e t h o do f c o n s t r u c t i n gc - dp a i ra r eg i v e no u t s o m ei u l n s t r a t i v ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt os h o wh o wt o u s et h er o o d e l b a s e do nt h ei d e ao fs o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，a l g e b r a i cm e t h o d ，a l g o r i t h m r e a l i t ya n dm e c h a n i z a t i o n ，i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t l yp r e s e n tt h en e wg e n e r a l i z e dt a n hf u n c t i o n m e t h o d ，a n da p p l yi tt 0c o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk a d o m t s o v - p e t v i a s h v i l ie q u a t i o n s e c o n d ，t h eg e n e r a l i z e dq _ d e f o r m e dh y p e r b o l i cf u n c t i o n sm e t h o di sd e - v e l o p e db a s e do nt h eq - d e f o r m e dh y p e r b o l i cf u n c t i o n s 耽ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o dc b e d e m o n s t r a t e do nt h es h a l l o wl o n g 咖ea p p r o x i m a t ee q u a t i o n s a tl a s t w ee x t e n dj a c o b ie l l i p - t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d w i t hw h i c hm o l ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n so fa d x i l i a q r e q u a t i o n sa r eo b t a i n e d t h e nb yu s eo ft h em e t h o d ，m o r en o wd o u b l y p e r i o d i cs o l u t i o n so fa c l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss u c ha st h eg e n e r a l i z e di t os y s t e m | z a k h a r o v - k n s n e t s o v e q u a t i o n ，t h ec o u p l e dd r i n f e l d s o k o l o v w i l s o ne q u a t i o n sa n dt h e ( 2 + 1 ) - d i m e a s i o n a ld a v e y - s t e w a r t s o ne q u a t i o na r eo b t a i n e d t h e s es o l u t i o n sa r ed e g e n e r a t e dt os o l i t i o ns o l u t i o n su n d e r i 赵雪芹t 非线性微分方程精确解及振动性 d e g e n e r a t e dc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，u s i n gg e n e r a lr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n di n t e g r a la v e r a g et e c h n i q u e ，w ef i r s t i n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o no fa c l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su n d e rq u i t eg e n e r a la s - s u m p t i o n s t h er e s u l t st h a tw eo b t a i n e dg e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m ek n o w n0 6 c i l l a t i o nc r i t e r i & s e c o n d ，i n t e r v a lo s c i l l a t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hf o r c i n gt e r mi sc o n - c e m e d t h e s eo b t a i n e dr e u l t sa r eb a s e do nt h ei n f o r m a t i o no n l yo nas e q u e n c eo fs u b i n t e r v a l so f ，。) r a t h e rt h a no nt h ew h o l e h a l f - f i n ea n da v o i dt h ep r o b l e mo fo l do n e s s ot h e s er e s u l t sa r e m o r ep o w e r f u l a tl a s t ，s o m en e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e df o rt h en o n l i n e a rd a m p e d f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i o n a le q u a t i o n s ，w h i c h8 x ed i f f e r e n tf r o mk n o w no i i e si nt h es e n s et h a tt h e y a r eb a s e do nac l a e so ff i m c t i o n s 圣( t ，占，r ) a n do p e r a t o ra p ( ；z ，t ) d e f i n e d o u rr e s u l t sa r es h a r p e r t h a ns o m ep r e v i o u sr e s u l t sa n de a s yt oa p p l y k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ；d i r e c ta n s 置t zm e t h o d ；e x a c t s o l u t i o n ；s o l i t o n ； i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：日期： 大连理i 大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 奉学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”， 同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借闵本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名： 导师签名 年月日 1 2 8 学罡子 莺一“趁趟缎 一盘上 大连理工大学博士学位论文 第一章绪论 本章简要地综述了孤立子研究的历史和发展，非线性发展方程的求解，数学机械化 和符号计算的发展和应用，微分方程振动性理论的发展及现状最后介绍了本文的主要 工作 1 1孤立子研究的历史和发展概况 孤立子( s o l i t i o n ) 现象最初是由英国科学家s c o t tr u s s e l l 于1 8 3 4 年发现的1 8 4 4 年， r u s s e l l 在英国科学促进会上如下报告了他的发现【l j ： “我想我最好是通过形容我和它第一次相识的环境来介绍这一现象我正在观察一 只船的运动：这条船被马拉着沿狭窄的运河迅速前进着突然船停了下来，然而被船所 推动的那一大片水并未停止，他们聚集在船头周围剧烈地扰动着，接着水浪突然呈现出 个滚圆而平滑，轮廓分明的巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滚动着，急速地离开 了船头在行进中它的形状和速度没有明显的改变我骑在马上紧跟着它，它以每小时 约八、九公里的速度滚滚向前，并保持着长约3 0 英尺、高约1 - 1 5 英尺的原始形状渐渐 地它的高度下降了当我跟至1 - 2 英里后，它终于消失在逶迤的河道中这是在1 8 3 4 年 八月的一天，是我第一次见到如此美丽而独特的现象一。 他凭借物理学家敏锐的观察力意识到这种现象绝菲一般的水波运动后来，为了更 仔细地研究这一现象，r u s s e l l 在个实验室规模的水箱中做了大量的实验，用多种方法 激发，也观察到了同样的现象，他称这种波为孤立波但限于当时的数学理论和科学水 平，人们无法从理论上给予这种现象一个圆满的解释，科学家们甚至怀疑孤立波现象是 否真正存在 在随后的几年中，m 巧阁，b o u s s i n e s q 【3 】和r a y l e i g h1 4 1 等人相继对孤立波进行了研 究m r y 得出结论zr u s s e l l 所提到的孤立波根本不存在；b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 分别从 数学角度证明了孤立波的存在性b o u s s i n e s q 为近似描述孤立波，提出了一个非线性发 展方程，后来被命名为b o u s s i n e s q 方程但是，b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 的工作仍然没有 使那些对孤立波怀疑的科学家们完全信服 从r u s s e l l 观察到浅水孤立波到形成关于这种现象的理论之间的时间间隔不下6 0 年 1 8 9 4 年1 2 月1 日，g u s t a vd ev r i e s 在阿姆斯特丹大学发表了他在d i e d e r i kj o h a n n e sk o - r t e w e g 的指导下撰写的博士论文论文是在荷兰写的他们在那里得到了那个著名的方 程t 现在被称为k d v 方程一在浅水的自由表面上单向传播的形式 l 赵雪芹：非线性微分方程精确解及振动性 塑0 t = i 、；嘉( 知+ 矿12 + 矿1 筹) ， ( 1 1 1 ) 这里町为波峰高度，z 为水深，g 为重力加速度，啦a 均为物理常数，他们对孤立波现象 做了较为完整的的分析，并从方程中求出了与r u s s e l l 描述一致，即具有形状不变的脉冲 状的孤立波解k d v 方程的解，准确地描述了浅水波的非线性特性：行波速度依赖其本 身的振幅；当两个这样的脉冲波沿着同一方向运动时，波峰高的脉冲波的行进速度快， 因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞 然而，这种波是否是稳定的，两个波碰撞后是否变形? 这些问题长期没有得到解答 以至于有些人怀疑，既然方程是非线性偏微分方程，解的叠加原理不再成立，碰撞后解 的形状很可能破坏持这种观点的人认为这种波不稳定，因而研究它没有物理意义，于 是孤立波的研究乃告搁浅到了“山穷水尽疑无路”的地步 直到2 0 世纪5 0 年代，著名的物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 嘲提出了著名的f p u 问题，即将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦初始时，这些谐振子的所 有能量都集中在一质点上，即其他6 3 个质点的初始能量为零经过相当长的时间后，几 乎全部能量又回到了原来的初始分布，这与经典的理论相矛盾当时，由于只在频率空 间来考虑问题，未能发现孤立波解，因此该问题未能得到正确的解释该文在f e r m i 生 前也没有发表后来人们发现可以把晶体看成是有质量的弹簧拉成的链条，这恰如f e r m i 所研究的情况t o d a 研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使得问题得 到了正确的解答，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴趣| 6 | 1 9 6 2 年，p e t t i n g 和s k y r m e1 7 1 在研究基本粒子模型时，对s i n e - g o r d o n 方程作了研 究，结果表明：这个方程产生的孤波解也分不开，即使碰撞后两个孤立波也保持着原来 的形状和速度 为了解释f p u 问题中的现象，1 9 6 5 年，美国著名物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y 从 连续统一的观点来考虑f p u 问题，在连续的情况下，f p u 问题近似可用k d v 方程来描 述他们对k d v 方程两个波速不同的孤波解进行了研究若这两个孤立波解开始分开且 波速大的在左边，那么相互碰撞后，波速大的在右边且保持最初的速度和高度，发生的 变换仅仅是相的变化这进一步证实了这些孤立波相互作用后不改变波形的论断，他们 的结果令人们感到意外由于这种孤立波具有类似粒子碰撞的不变性质，因此他们称它 为孤立子( s o l i t o n ) 7 。孤立子”没有明确的定义，但是它可用来描述一个菲线性方程或非线性体系的任 意解若此解满足t1 可表示成个固定形式的波；2 是局部的，衰变的或在无穷大时 变为常数；3 可与其他的孤子进行强烈的相互作用，在相互作用后叠加原理成立，其波 形不会改变 孤立波可以更普通地来定义一作为方程的双曲平方解我们可以把它当作一个非线 2 大连理工大学博士学位论文 性体系的可表示成一个固定形式的隆起性波的任何一个解，而不管它是否是一个孤子 总之，k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重 要的里程碑此后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情便一发难收，在很多学科领域 都发现了孤立于运动形态相应地，在数学上也发现了一大批具有孤立子解的非线性发 展方程，而且已逐渐建立起较系统的研究孤立子的数学物理方法，较为完整的孤立子理 论体系正在逐步形成，国内外在这方面出版了很多专著矧1 4 孤立子的发展大致分为以下三个阶段：第一阶段从1 8 3 4 年到1 9 5 5 年，主要的成就 为s ( 1 ) r u s s e l l 发现孤立波( 1 8 3 4 年) ；( 2 ) s i n e - g o r d o n 方程的b n c k l u n d 变换的发现( 1 8 8 5 年) ；( 3 ) k d v 方程及其孤立波解的提出( 1 8 9 5 年) ；( 4 ) c o l e - h o p f 变换( 1 9 5 0 - 1 9 5 1 年) 第二 阶段从1 9 5 5 年到1 9 7 0 年，主要贡献为：( 1 ) f p u 问题的提出( 1 9 5 5 年) ；( 2 ) 孤立子的命 名( 1 9 6 5 年) ；( 3 ) 反散射法( 1 9 6 7 年) ；( 4 ) m i u r a 变换( 1 9 6 8 年) ；( 5 ) l a x 对( 1 9 6 8 年) 第三阶 段从1 9 7 0 年，至今，这个阶段发展得特别迅速 1 2 非线性发展方程的精确解 对自然科学中许多问题的研究大致分为两大类：一是定量研究；二是定性研究在 定量研究中可细分为数值近似研究和精确构造性研究寻找方程的解( 包括精确解和数 值解) 是一个古老而又重要的课题多年来，许多数学家和物理学家做了大量工作，。但由 于非线性方程自身的复杂性，对大多数方程而言用现有的方法无法求出其显式精确解 即使获得了某些方程的精确解，也只是少数的一些解，无法求出其全部解，并且对不同 类型的方程，用的方法可能也不一样，至今还没有任何一种方法可以囊括四海，包罗万 象正如k l e i n 所说：“微分方程求解只是技巧的汇编”然而，值得庆幸的是，经过数 学家和物理学家们的不断努力，发现了孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确解的有效方 法，如反散射方法、b i c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、齐次平衡法t a n h 函数方法等等 随着各种求解方法的出现，不但过去难于求解的方程得到解决，而且新的、具有重要物 理意义的解也不断被发现和应用，出现了一个层出不穷的势头 b j i c l d u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b i c k l u n di 1 5 在研究负曲率曲面时，发现s i n e - g o r d o n 方程 3 ( 1 2 2 ) 赵雪芹：非线性微分方程精确解及振动性 的两个不同解u 和u 7 之间有如下的关系式 一? 恤2 彳l n z 渤 ， 7 + 乱、 、1 一。， “i 亍毗+ s i n ( r j ， 其中q 是参数这就是著名的b i d d u n d 变换其特点是；已知s i n e - g o r d o n 方程的一个 解通过解上述一阶方程组，就可以得到其另一个新解u 7 根据上述结果还可以得到一 个非线性叠加公式 n 3 = 4 a r c t a n ( 群t a n 兰学) 椭 ( 1 删 这样，如果已知方程( 1 2 2 ) 的三个解“o ，u ，和“2 ，就可以通过叠加公式求得新解，而 不必再求解方程组( 1 2 3 ) 【6 ，9 1 b a 嘲衄d 变换当时并没有引起人们的足够重视在被冷落 了近百年以后，到了2 0 世纪6 0 年代，由于非线性光学和晶体位错等许多领域的研究都 和s i n e - g o r d o n 方程有关，这个变换才重新受到重视1 9 7 3 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 发现k d v 方程【l 6 】 u t - - 6 u t z + t z z z = 0( 1 2 5 ) 也具有b i i e k l u n d 变换令u = 厶u d z ，它满足 咄+ 舢：+ w x x 。= 0 ( 1 2 6 ) 作方程组 = 卢一一i p u ) 2 ， f 1 2 7 ) “：= 一恍+ ( u u 7 ) 0 k 。一吖幺) 一2 ( + u 扣艺+ u 2 ) 、 容易验证，当u 满足k d v 方程时，方程( 1 2 7 ) 完全可积，其解u 7 的导数u = u ：也是 ( 1 2 5 ) 的解不仅如此，对k d v 方程也有类似的可换性定理，其非线性叠加公式为； = w o + 2 鲁杀 ( 1 z 8 ) 1 9 7 6 年，他们提出了求非线性方程b i c _ k l u n d 变换的延拓结构法，将b d d d 变换，守恒 律及反散射变换统一在一个拟位势中1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a m e v a l e 1 7 ，1 8 推广 了常微分方程的p a i n l e v 6 可积的判定方法，提出了偏微分方程的p & i n l e v 6 可积的判定方 法，并用其获得了一些可积方程的b i i c k l u n d 变换 与b a d c l l l n d 变换具有同等重要地位的是d a r b o u x 变换1 8 8 2 年，d a r b o u x 研究了 个一维s c h r s d i n g e r 方程的征特值问题( a t = o ) ： 一咖。一“( ，t ) = 入妒( 1 2 9 ) 4 大连理工大学博士学位论文 d a r b o u x 发现：若和毋是满足( 1 2 9 ) 的两个函数，对任意给定的常数a o ，令，( 。) = ( 。，a 0 ) ，即，是( 1 2 9 ) 当a = a 0 时的一个解，则由 = u + 2 ( 1 n ，) 。，妒7 p ，a ) = 丸0 ，a ) 一( 如l n ，) 毋扛，a ) ，f 0 ( 1 2 1 0 ) 所定义的函数“，一定满足( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) 就称为原始的d a r b o u x 变换d a r b o u x 变换 的基本思想为；利用非线性方程的个解及其l a t e x 对相应的解，用代数算法及微分运算 来获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解有时人们将d a r b o u x 变换也称为b 娩k l u n d 变换，或者称为求b i c k l u n d 变换的d a r b o u x 方法关于b 苔c _ k l u n d 变换的早期工作可参考 文献1 19 1 1 9 8 6 年，中科院院士谷超豪等人f 8 ，2 0 ，2 1 将d a r b o u x 推广到k d v 族、a k n s 族 和高维方程组，并将这个变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中胡星标研究员在 这方面作了深入的工作1 2 2 ，2 3 ，鹚目前，b z k l u n d 变换已成为研究非线性发展方程的有 力工具在这方面，我国数学家曾云波教授也作了许多的研究工作1 2 6 】王明亮教授和李志 斌教授【2 6 ，2 7 ，2 8 1 提出了求b i c k l u n d 变换的简洁而有效的方法范恩贵教授进一步发展了 这一方面的工作【2 9 ，3 0 1 闰振亚博士【3 l l 、陈勇博士【3 2 l 和李彪博士【3 3 】也做了许多工作 反散射方法 反散射方法是当前求解可积非线性系统的重要方法它的基本思想是将非线性问题 通过常微分算子与本征值转化为线性问题来求解1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和 m i u r a ( 简称g g k m ) 【删在研究k d v 方程时，利用量子力学中s c h r s d i n g e r 方程的反散射 论证( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问 题，得到了孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法由于求解过程用到f o u r i e r 变 换及逆变换，有时该方法也被称为f o u r i e r 变换法1 9 6 8 年，l a x 3 5 1 分析了g g k m 用于 求解k d v 方程初值问题的上述思想，并加以扩充、提高，提出了用反散射方法求解其它非 线性发展方程的更般的框架，并且指出，用反散射方法求解方程的前提是找到该方程的 l a x 表示( l a x 对) 1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s t m b a t 【洲j 利用l a x 的思想，用反散射方法求解非 线性s c h r 6 d i n g e r 方程，高阶k d v 方程，第一次用实例证明了反散射方法的更一般性同 年，w a d a t if 3 7 l 用类似方法求解了m k d v 方程，k r u s k a l 用它求解s i n e - g o r d o n 方程1 9 7 3 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u rl 瑚编制了用反散射方法求解大批偏微分方程的软件 包1 9 7 5 年，w a h l p u i s t 和e s t a b r 0 0 k 【3 9 】提出了只有两个独立变量的非线性p d e 的延拓 法但是，用w - e 方法求解太复杂利用陆启铿教授建立的非线性联络理论，吴可教授，郭 汉英【加，4 1 】教授等人简化了w - e 方法，完整地建立了非线性方程主延拓结构的理论和方 法屠规彰教授、李翊神教授、曹策问教授1 4 2 ，4 3 ，4 4 】等为发展这一方法做了很好的工作 5 赵雪芹，非线性微分方程精确解及振动性 对称和微分方程约化法 自从n e w t o n 时代以来，寻找微分方程的精确解是对自然的数学描述中的一个重要的 课题三百多年来，很多有效的方法用于解微分方程，如变量分离法，p o i s s o n 法，f o u r i e r 级数法，b 苴c k l u n d 变换等若从群论的观点来研究这些方法，不难发现它们都是基于“对 称”关于微分方程的对称性质，很多大数学家都曾使用过，如b e r n o u l l i ，e u l e r ，l a p l a c e ， d a l e m b e r t ，f o u r i e r ，l a m e ，r i e m a n n 及l i o u v i l l e 等但是直到1 9 世纪后期，l i e 受前人工 作的启发，引进了连续群的概念( 即l i e 群，也称为不变群和对称群) ，使令人迷惑的微分 方程求解，尤其是常微分方程的求解方法得到了统一和扩充l i e 证明：一个常微分方 程若在点变换的单参数l i e 群的作用下保持不变，则其阶次可降低一阶l i e 还做了与常 微分方程有关的其他工作，如积分因子、可分方程、齐次方程、线性方程的阶次约化、待 定系数法和参数变易法、e u l e r 方程的解及l a p l a c e 变换的应用对于线性偏微分方程， l i e 指出线性偏微分方程在l i e 群作用下的不变性，并且通过变换直接导出了解的叠加公 式，由此建立了热传导方程的局部变换群，从此开创了l i e 群理论在偏微分方程中的应 用 1 9 0 5 年，著名的法国数学家p o i n c a r e 首次证明了l o r e n t z 变换构成m a x w e l l 方程的 对称群，并且m a x w e l l 方程在此变换下保持不变，这一工作开辟了l i e 群的新局面1 9 0 9 年，b a t e m a n 4 5 】和c u n n i n g h a m 4 6 l 证明了m a x w e l l 方程在以l o r e n t z 群作用为子群的共 形群作用下保持不变，从而推广了p o i n c a r e 的结论1 9 1 8 年，女数学家n o t h e r 4 7 1 之 后，k i e v ，e r m a k o v ，p f e i f e r 和k u r e n s k y 发展了l i e 群1 9 5 8 年，l i e 群的研究进入了 新的发展时期，主要代表是o v s i a n n i k o v 和v e n i 】o r 等前苏联数学家 4 8 ，4 9 ，5 0 的出色工 作若将上面用l i e 群来研究方程的方法称为经典l i e 群法，那么1 9 6 9 年，b l u m a n 和 c o l e 5 1 】推广了l i e 群法，提出了非经典l i e 群方法( 也称为条件对称【5 2 】或第一型的偏 对称1 5 3 ) 1 9 7 7 年，o l v e r 5 4 】证明了如何使用递推算子来获得偏微分方程的无穷多个对 称1 9 8 0 年o l v e r1 5 5 1 又发现k d v 方程存在以方程的解“及自变量0 ，t ) 组合成的两个 对称1 9 8 1 年，1 9 8 2 年，f a k e s ，f u c h s s e i n e rf 5 6 j 及c h e ni 5 7 1 等人分别用不同的方法得到 了k d v 方程更多新的对称及其l i e 代数结构李翊神教授，田畴教授等人系统地研究了 很多发展方程的对称，强对称，遗传对称及其l i e 代数结构，获得了一系列的重要研究成 果 5 8 ，5 9 1 1 9 8 9 年，c l a r k s o n 和k r u s k a l 0 0 ，6 1 提出了约化微分方程的直接法，该方法没有用 到群论思想且简单易操作，将它应用于b o u s s i n e s q 方程时发现了新的对称约化，而l i e 群 方法的结果只是直接法的特殊情形接着，楼森岳教授等在这方面做了工作【6 2 ，6 3 1 总 之，“l i e 对现代科学和数学的贡献是难以估量的”【哟 6 大连理工大学博士学位论文 p a i n l e v 6 奇性分析 给定一个非线性发展方程，是否可用反散射方法求解是孤立子理论中的一个基本而 尚未解决的问题我们知道，用反散射法求解方程的初值问题的前提是寻找该方法的l a x 对，但拥有l a x 对的方程不一定可用反散射法求解1 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g u r 和r a m a n 发现；对于可以用反散射方法求解的非线性演化方程来说，其相似约化的所有常微分方 程都有p a i n l e v 性质，因此他们给出一个猜测一p a i n l e v $ 猜测：一个完全可积的偏微分 方程的每个相似约化的常微分方程具有p a i n l e v e 型，或者约化的o d e 经过变量变换 之后具有p a i n l e v 6 型这个猜测提供了证明一个p d e 是否完全可积的必要条件 1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a m e v a l e 【1 7j 引入了p d e 的p a i n l e v 性质( 或称p a i n l e v p d e 检 验) 的概念并且提出了一个与a b l o w i t z 6 5 1 用于判定o d e 的p a i n l e v e 性质类似的算法， 利用p d e 的p a i n l e v 检验可导出l a x 对和b i c & l u n d 变换1 9 8 4 年，w e i s s | 6 6 】又推广 了p d ep a i n l e v 4 检验的使用范围，引入条件p a i n l e v 6 性质的概念1 9 8 2 年，k r u s k a l 等人将奇异流形上的函数( 不妨设两个变量。，t ) 假设为其中一个变量的线性关磊即 ，p ，t ) = 尘+ 妒 ，这大大简化了计算的复杂性1 9 9 1 年，j i m b o1 6 7 ，f o r d y 和p i c k - e r i n g 【6 均研究了负共振点的重要意义，并且指出c h a z y 方程具有负共振点( 一1 , - 2 ，3 ) 曾云波教授1 6 9 ，。硼改进了p a i n l e v d 截尾展开，导出了t o d a 方程的b 址k l u n d 变换，给出 了从给定具有p a i n l e v 性质的方程出发去构造具有p a i n l e v 性质的族方程的一般方法 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 7 1 】提出了双线性方法，用于构造许多方程的多孤子解和b 自i c k l u n d 变换 近年来，许多学者致力于双线性方法的推广和应用，使得双线性法有了进一步的发 展胡星标教授等人【7 2 ，7 3 ，7 4 】很好地发展了该方法，并且给出了解的互换定理和解的非 线性叠加公式1 9 8 8 年，b o i t i 等人【7 5 】研究了( 2 + 1 ) 维模型，提出了孤立子解的一种特 例d r o m i o n 结构随后，人们证明了其他( 2 + 1 ) 维方程也拥有d r o m i o n 结构【7 6 ，7 7 ，7 8 】 1 9 9 5 年，楼森岳教授用h i r o t a 方法研究了一个( 3 + 1 ) 一维k d v 型方程，证明了该方 程拥有丰富的类d r o m i o n 结构1 9 9 3 年，r d s e i l a u 和h y m a n1 7 9 为了研究非线性色散 模型的影响，提出了k ( m ，1 ) 模型，并且给出了该方程在分段连续情况下的c o m p a c t i o n 解，该解具有弹性碰撞等有趣的类似于孤立子解的性质该方程的其他性质已被广泛研 究 8 0 ，8 1 ，8 2 上述事实说明，通过双线性方法可以求得孤子方程丰富的精确解类型和双线性b i c k l u n d 变换，并且此方法适用的范围很广泛此外，利用规范不变性还可以将双线性推广到三 7 赵雪芹：非线性微分方程精确解及振动性 线性甚至多线性f 8 3 】最近，刘青平教授等畔，8 5 】又用双线性方法研究了超对称非线性 发展方程的b 址k l u n d 变换及非线性叠加公式 其他方法 由于非线性发展方程自身的复杂性，使用现有的方法可能无法求出其全部的非平凡 解，即使获得了方程的精确解，也只是少数一些特解，并且对不同的方程，用的方法也 可能不一样，至今还没有任何一种方法可以包容其他方法，这就需要人们发现更新更有 效的方法来研究非线性方程的求解问题 1 9 9 5 年，王孵亮教授等人 8 6 t8 7 】提出了齐次平衡法，用来求非线性偏微分方程的精 确解，1 9 9 6 年，高以天教授和田播教授嗍改进了该方法，来研究( 2 + 1 ) 一维方程的解 随后，他们又给出了非线性偏微分方程的更一般形式的解1 9 9 8 年，范恩贵教授和张鸿 庆教授 3 0 ，8 9 ，9 0 t 进一步发展了齐次平衡法，不仅得到了更多类型的精确解，也找到了给 出b ；c 2 d u n d 变换的另外一种途径2 0 0 1 年，田播教授和高以天教授提出了变系数均衡 作用法【9 l l ，这一方法是对齐次平衡法的改进和推广【9 2 ，9 3 1 利用这一方法，不但可以求 解常系数非线性发展方程组也可以求解变系数非线性发展方程组最近，吕卓生博士， 陈勇博士和李彪博士分别提出变系数广义t a n h 函数法 3 2 ，3 3 ，9 4 ，扩展了上述方