（运筹学与控制论专业论文）lurie时滞控制系统的绝对稳定与控制.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 l u r i e 控制系统是一类非常典型的非线性控制系统，其非线性项被 约束在无限的或有限的霍尔维茨角域里。l u r i e 控制系统的绝对稳定性 研究在非线性控制系统的分析和设计中占有重要的意义，但在实际的 l u r i e 控制系统中，滞后现象往往会使系统的性能变差甚至会导致系统 的振动和不稳定，还有在建模过程中的一些不确定因素，以及各种各样 的误差等等，所有以上这些现象在实际的l u r i e 控制系统中的存在，同 时，还影响l u r i e 控制系统的性能指标，这些都使得研究带有时滞的和 存在不确定性的l u r i e 控制系统具有十分重要的理论意义和应用价值。 本文研究了l u r i e 时滞系统的指数稳定性和控制问题。基于 l y a p u n o v r a z u m i k h i n 稳定性定理和矩阵的相关理论，采用矩阵测度， 时滞微分不等式以及线性矩阵不等式( l m i ) 等工具。研究了区间l u r i e 控制系统的指数稳定性，l u r i e 控制系统的以控制器的设计问题。主要 研究内容包括以下的几个方面： 1 研究了两类具有时滞的区间l u r i e 间接控制系统的指数稳定性问 题。利用矩阵测度和时滞微分不等式方法，得到了该系统指数稳定的一 些判别准则，并通过一个实例验证了所得结果的有效性，推广和改进了 已有的研究成果。 2 讨论了两类状态和控制输入同时存在的l u r i e 时滞控制系统的 玑控制器的设计问题。利用l y a p u n o v 泛函和线性矩阵不等式( l m i ) 方 法，研究了该系统的渐近稳定和日。反馈控制器的分析和设计，给出系 统无记忆渐近稳定且具有日。性能的一个l m i 条件，并通过对受条件约 束的线性矩阵不等式的描述，给出系统存在y 次优状态反馈。控制律 的设计方法，最后利用m a t l a b 工具箱给出了一个算例，验证了设计方 法的优越性和有效性。 3 研究了一类不确定l u r i e 时滞系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒h 。 状态反馈控制器设计问题，针对一类具有参数不确定、末矢| j 时滞的系统， 得出了该系统鲁棒稳定和鲁棒。状态反馈控制器设计存在的充分条 内蒙古师范大学硕士学位论文 件，而且还得出了基于线性矩阵不等式( l m i ) 的鲁棒h 。状态反馈控制器 设计方法，使得闭环系统具有鲁棒稳定性和鲁棒以性能，最后用一个 算例验证了设计方法的优越性和有效性。 关键词：l u r i e 控制系统，指数稳定，l y a p u n o v 泛函，矩阵测度，线性。 矩阵不等式( l m i ) ，鲁棒风控制 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t l u r i ec o n t r o ls y s t e mi sac l a s so fv e r yt y p i c a ln o n l i n e a rs y s t e mt h a t n o n l i n e a rt e r m sa r ec o n s t r a i n e di nt h ef i n i t eh u r w i t zs e c t o ro ri n f i n i t e h u r w i t zs e c t o r t h er e s e a r c ho fa b s o l u t es t a b i l i t yf o rl u r i ec o n t r o ls y s t e mi s v e r yi m p o r t a n tf o rt h ea n a l y s i sa n dd e s i g no fn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m i n t h er e a ll u r i ec o n t r o ls y s t e m ，t i m e d e l a yp h e n o m e n au s u a l l yc a u s et h a tt h e r e s p o n s ep r o p e r t yo ft h es y s t e m sb e c o m ew o r s e ，o re v e nc a u s ev i b r a t i o na n d u n s t a b l e _ p h e n o m e n a al o to fu n c e r t a i nf a c t o r i np r o c e s so fe s t a b l i s h i n g m o d e l s ，a n dv a r i o u se r r o r sa n ds oo n ，a l la b o v ep h e n o m e n am a y o c c u ri nt h e r e a ll u r i ec o n t r o l s y s t e m s ，a tt h e s a m et i m e ，i tw o u l di n f l u e n c et h e p e r f o r m a n c ei n d e xo fl u r i e c o n t r o ls y s t e m s t h e r e f o r e ，i ta l s oh a sa n i m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et os t u d yt h eu n c e r t a i nl u r i e c o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e m so fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dc o n t r o lf o r l u r i ec o n t r o l s y s t e m s w i t h t i m e d e l a y h a v eb e e ns t u d i e d b a s e do n l y a p u n o v r a z u m i k h i ns t a b i l i t yt h e o r y , m a t r i xt h e o r y , m e a s u r eo fm a t r i c e s ； d e l a yd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya r ee m p l o y e di n t h i st h e s i s t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rc r i t e r i al u r i ec o n t r o ls y s t e m s ，t h e d e s i g n i n go fh 。c o n t r o l l e r s f o rl u r i ec o n t r o l s y s t e m sa r es t u d i e d t h e m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rt w oc l a s s e so fc r i t e r i al u r i ei n d i r e c t c o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a ya r es t u d i e di nt h et h e s i s e m p l o y e dm a t r i x m e a s u r ea n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ym e t h o d ，s o m ec r i t e r i ao fe x p o n e n t i a l s t a b i l i t yf o rt i m e d e l a yl u r i ei n d i r e c tc o n t r o ls y s t e m sa r eo b t a i n e d ，w h i c h g e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ep r e v i o u sr e s u l t s a ne x a m p l ei sp r e s e n t e dt o i l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so fo u rr e s u l t s 2 t h ep r o b l e m so fa n a l y z i n ga n dd e s i g n i n g h 。s t a t ef e e d b a c k 内蒙古师范大学硕士学位论文 c o n t r o l l e r sf o rt w oc l a s so fl u r i ec o n t r o ls y s t e m sw i t hb o t ht i m e d e l a ya n d s t a t ea n dc o n t r o li n p u tw i t hn o r m b o u n d e db yu s i n gl a y p u n o vf u n c t i o n a l m e t h o da n dl m ia p p r o a c h i na d d i t i o n ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eg i v e n s y s t e m sw i t hm e m o r y l e s sa s y m p t o t a ls t a b i l i z a b l ea n d h 。p r o p e r t i e s c o n t r o l l e ri sp r e s e n t e di nt e r mo fac e r t a i nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , a n dt h e d e s i g n i n gm e t h o do ft h ey s u b o p t i m a ls t a t ef e e d b a c kh 。c o n t r o l l e r si s o b t a i n e db ys o l v i n gt h el m i f i n a l l y , a ne x a m p l ei sp r e s e n t e di l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s sa n ds u p e r i o r i t yo ft h ed e s i g nm e t h o db yu s i n gm a t l a bt o o l b o x 3 t h ea n a l y s i so fr o b u s ts t a b i l i t ya n dd e s i g no fr o b u s t h 。s t a t e f e e d b a c kf o rac l a s so fl u r i es y s t e m sw i t hb o t ht i m e d e l a ya n dp a r a m e t e r s u n c e r t a i n t i e sa r es t u d i e d f o rt h el u r i e s y s t e m ss u b je c tt op a r a m e t r i c u n c e r t a i n t i e sa n du n k n o w nt i m e ：d e l a yt e r m s ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e g i v e ns y s t e m sw i t hr o b u s ts t a b i l i t y 矗n dt h ed e s i g n i n gm e t h o do ft h er o b u s t h 。s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r ep r o p o s e d f u r t h e r m o r e ，a nl m ib a s e d r o b u s t h 。s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e v e l o p e dt og u a r a n t e eb o t ht h e r o b u s t s t a b i l i t ya n dt h eh 。p e r f o r m a n c ef o rt h e r e s u l t a n tc l o s e d 1 0 0 p s y s t e m s f i n a l l y , a ne x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n d s u p e r i o r i t yo ft h ed e s i g nm e t h o d k e yw o r d s ：l u r i ec o n t r o l s y s t e m s ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , l y a p u n o v f u n c t i o n ，m e a s u r eo fm a t r i c e s ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , r o b u s th 。c o n t r o l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。本人保证所呈交的论文不侵犯国家机密、商业秘 密及其他合法权益。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 关于论文使用授权的说明 年月 日 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 撩砷 f 导师签名：榔易 日期：w f d 年么月67 日 第一章绪论 1 1l u r i e 控制系统概述 1 1 1 历史背景 第一章绪论 自动控制理论的产生和发展只有六七十多年的历史，最早是以m a x w a l l 对w a t t 离心调速器的稳定性分析开始的。从离心调速器的工作原理中抽象出形如下列的微 分方程1 l ： 出l d t d x ， d t 玉3 d t 出。 d c 2 a l i x l + a 1 4 工4 2 工3 2 a 3 l 石i + a 3 2 x 2 + a 3 3 x 3 = f ( c r ) 仃= q x i + c 2 x 2 ，f ( o ) = 0 ，f ( c r ) 盯 0 ，盯0 其中厂连续但不确切知道。这一微分方程提出后，即自动控制系统模式提出以后， 控制系统技术与理论的研究开始兴起。 l u f i e 控制系统是由苏联数学控制论专家a i l u r i e 在二十世纪四十年代研究 飞机自动驾驶的控制问题时提出的。苏联著名学者a i l u r i e 和vn p o s t n i k o v 对 各方面的实际控制系统进行了研究，其方法是将系统的非线性部分孤立出来，视为 反馈控制，使系统具有闭环系统形式，并且建立更为一般的非线性控制系统模型 2 1 lj ( f ) = a x ( t ) + b f ( a ( t ) ) 伽) = c t x ( f ) ：窆叩， o 2 l i = 1 其中x ( t ) r ”是状态变量，c ，b r ”是已知向量，仃是反馈控制输出变量， a = ( a i j ) 是已知系数矩阵，f ( c r ) 属于某类非线性连续函数但具体形式未知，即非 线性函数厂( ) 位于有限扇形区间内或者位于无限的开平面内( 非线性函数厂( ) 的定 义见第二章) 。 在非线性控制系统( 1 1 2 ) 中，非线性f ( c r ) 不是完全确定的，即其具体特性 内蒙古师范大学硕士学位论文 不是很清楚，或者存在许多不确定的干扰而难以掌握这类非线性控制系统，但这类 系统都可以总结归纳为l u r i e 型系统，这种非线性控制系统的稳定性统称为绝对稳 定性。 m a x w a l l 在研究系统( 1 1 1 ) 时，要求其系统在平衡位置x = 0 是全局稳定的， 因此，满足系统( 1 1 1 ) 在平衡位置x = 0 全局稳定的条件是什么? 在1 9 4 4 年左右， 苏联数学控制论专家l u r i e 提出飞机自动驾驶仪数学模型( 1 1 2 ) 后，同样也是寻 找系统( 1 1 2 ) 式平凡解全局稳定的条件，这就是著名的鲁里叶问题。美国数学家 列夫赫斯l e f s c h i t z 的专著1 3 1 给出了l u r i e 问题确切的数学提法：所谓l u r i e 问题， 即寻找使l u r i e 系统的平衡位置绝对稳定充要条件。谢惠民教授的专著 4 1 也提到 l u r i e 问题即寻找这个数学模型关于一定范围绝对稳定的充要条件。l u r i e 问题的提 出为不确定系统或多值微分系统r o b u s t 控制的发展奠定了扎实的基础。 2 0 世纪6 0 年代，由于航空航天飞行器和电子计算机的高速发展等高端技术的 推动，产生了基于状态空间数学模型的现代控制理论。其主要研究控制对象是多输 入一多输出的，它用状态方程( 即一阶微分方程组) 代替经典控制理论中的高阶微 分方程来进行系统描述，有利于计算机进行控制和计算。1 9 6 5 年，苏联学者克拉索 夫斯基基于状态空间重新描述了l u r i e 控制系统，此时，l u r i e 标称控制系统描述成 如下的方程 l2 ( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) + b f ( c r ( t ) ) = c r x ：主 “ l i = 1 为了研究整个l u r i e 标称控制系统的稳定性，需要什么样的约束条件来保证系统的 稳定性呢? 即使找到了这样的约束条件，又怎样在理论上去证明，求解保证该l u r i e 标称控制系统稳定性的条件。这些问题需要国内外学者去探索，去研究。 1 i 2l u r i e 控制系统的稳定性发展概况 自从l u r i e 提出数学模型( 1 1 2 ) 后，国内外许多学者开始对l u r i e 控制系统 ( 1 1 2 ) 平衡位置x = 0 绝对稳定的条件进行了研究。在研究稳定性问题中，俄国著 名的数学家l y a p u n o v 起到了不可低估的作用，在他的巨著“运动稳定性的一般问题” 中提出了两种处理稳定性问题的方法：第一种方法要利用微分方程的级数解，在他 提出以后此方法并没有得到很大的发展；第二种方法是用l y a p u n o v 函数来直接判 断解的稳定性，称为l y a p u n o v 直接法，此方法则巧妙地运用一个与微分方程有关 第一章绪论 联的、所谓的l y a p u n o v 函数来直接判断解的稳定性，而且此方法在状态空间的研 究中得到了很大的发展。从6 0 年代起，l y a p u n o v 直接法分别用于研究线性系统的 控制问题和时滞系统的分析设计中，在研究许多非线性的系统时，l y a p u n o v 直接法 也能很好地分析研究其系统稳定性的问题。因此，l y a p u n o v 方法逐渐成为研究者研 究系统稳定性的常规方法，其优点具体表现在两个方面，首先是方法统一，所有问 题几乎最后都可以转化成一个类r i c c a t i 方程的求解；其次在于处理范围广泛，不管 是时滞系统还是变时滞系统，还是不确定系统，还是参数摄动，l y a p u n o v 直接法都 能方便研究其系统的稳定性。近二十年来，l u f i e 控制系统的绝对稳定性分析的主 要文献都是基于l y a p u n o v 直接法。到目前为止，在自动控制理论中，随着l u f i e 控 制系统的绝对稳定性研究的迅速发展，己成为完整理论体系的一个重要分支。从而， l u f i e 控制系统的稳定性问题受到了国内外许多学者的重视，并对其进行了广泛的 研究，取得了许多丰硕的成果p ”1 。 2 0 0 1 年，孙继涛，邓飞其，刘永清8 1 用区间向量不等式、l y a p u n o v 函数法和 r i c c a t i 方程法分别研究了具有单滞后的区间l u f i e 型直接控制系统 j ( ) = 【彳，彳k ( ) + b , b p ( f r ) + 尺，r 】厂( 盯)( 1 1 4 ) l 仃= c 1 x ，厂( 盯) k 0 ，) 和具有单滞后的区间l u f i e 型间接控制系统 戈( ) = 彳，彳】x ( ) + b , b k ( f f ) + 足r 】厂( 仃)( 1 1 5 ) 【彦= c 7x 一( 仃) ，f ( a ) x 0 ，) 的鲁棒绝对稳定性问题，得到了具有单滞后的区间l u f i e 型控制系统鲁棒绝对稳定 性的判别条件。 2 0 0 3 年，宋乾坤 2 7 1 用矩阵测度和时滞微分不等式研究了多滞后时变区间l u r i e 直接控制系统 r月 _ p ，q k ( f ) + 善【以吐q i ( d m f - 。) + b f ( 以d ) ( 1 1 6 ) i a ( t ) = c 。x ( t ) 的指数稳定性问题，并给出了该系统指数稳定性的一些判据。 2 0 0 4 年，宋乾坤1 2 8 1 又将上述系统( 1 1 6 ) 推广到多滞后完全时变区i n jl u r i e 直接 控制系统 rn _ p ( f ) q ( f ) k o ) + 善 以f ) ，q f ( ”m 卜。) + b y ( 叫d ) ( 1 1 7 ) i 盯( f ) = c 。工( f ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 同样利用矩阵测度和时滞微分不等式的理论知识，给出了该系统指数稳定性的一些 判别条件。 2 0 0 8 年，樊冲、包俊东在文【3 8 】研究了更为广泛的一类具有多滞后时变区间 l u f i e 间接控制系统，并给出了该系统指数稳定性的一些判据；同年，樊冲、包俊 东在文 3 9 1 研究了更为广泛的一类具有多滞后完全时变区间l u r i e 间接控制系统，同 时也给出了该系统指数稳定性的一些判据，这两类l u n e 间接控制系统分别是系统 ( 1 1 6 ) 和系统( 1 1 7 ) 的更深层次的推广( 具体内容详见本文的第三章) 。 1 1 3l u n e 控制系统的鲁棒。控制理论概况 2 0 世纪8 0 年代以来，随着鲁棒控制理论的兴起，产生了使系统具有较强鲁棒 性的。控制理论。1 9 8 1 年，加拿大学者z a m e s 提出了以控制系统的某些信号的传 递函数的日。范数作为优化性能指标的设计思想。1 9 8 2 年美国学者d o y l e 针对。性 能指标发展了一种称为结构奇异值的有力工具来检验鲁棒性，这种方法极大的促进 了以无穷范数性能指标的控制理论的发展。由于y o u l a 等人的控制器参数化，z a m e s 的。性能指标及d o y l e 的奇异值理论揭开了反馈控制系统理论的新篇章。1 9 8 4 年， d o y e l 提出了h 。控制问题的求解方法，此方法是将一个巩控制问题依次转换成一 个模型匹配问题、广义距离问题，再通过一个n e h a r i 问题的求解来解决，但是这种 方法涉及的计算非常复杂，计算量也很大。1 9 8 8 年，g l o v e 和d o y e l 提出了“2 一 r i c c a t i 方程”的较简便的方法，它是h 。控制理论发展的一个重要的里程碑，只需要 对两个非耦合的代数r i c c a t i 方程去求解，便可以得到阶次不超过广义对象阶次的 以控制器。1 9 8 9 年，d o y e l 等人在美国控制年会上发表了著名的d f k f 论文f 4 0 1 对 h 。控制问题的状态空问分析法进行了总结，这样也控制问题在概念和算法两个方 面都被大大地简化了。随后在。控制理论研究中，引进有界实引理以及和h 。控制 之间关系的建立为以控制的研究提供理论上的新的工具，使得可以更加有效地证 明d f k f 论文的主要结论1 4 l l 。到2 0 世纪9 0 年代后，在控制理论与工程实际中，随 着m a t l a b 等系统软件分析包的广泛应用，特别是线性矩阵不等式( l m i ) 的兴起，在 之前一些复杂的控制问题，求解非常困难的系统通过线性矩阵不等式( l m i ) 去处理 这些系统得出了的鲁棒稳定性条件，而且求解也简单容易。1 9 9 4 年，b o y d t 4 2 1 提出 了用线性矩阵不等式求解h 。控制问题，使得算法更加简化。随后出现了h 。控制问 题的线性矩阵不等式( l m i ) 处理方法【4 3 叫引。其优点主要体现在两个方面：第一是可 以将标准的h 。控制问题和非标准的。控制问题统一来处理，第二是可以给出h 。 4 第一章绪论 控制问题所有解的一个参数化表示，且这一参数化表示方法的好处在于用来设计具 有给定的风性能和其他性能要求的多目标控制器1 4 钉。直到现在，线性矩阵不等式 已经成为国内外许多学者分析系统稳定性的必不可少的重要工具。 线性系统的日。控制理论日渐成熟，目前已经形成了一套比较完整的频域设计 理论和方法，而时域状态空间的方法，其优点具有能解释系统内部结构，易于计算 机辅助设计，正因为时域状态空间的方法具有众多优点，故得到众多学者的关注。 m a t l a b 已开发出各种日。控制的工具箱，为实现控制系统的分析和设计提供了极大 方便。近几十年来，h 。性能分析成为自动控制界最活跃的研究领域之一，并取得 了许多好的研究成果【4 6 。5 引。其中在文献 4 6 5 0 1 中，采用r i c c a t i 方程方法和r i c c a t i 不等式方法研究了h 。反馈控制器的分析与设计，但在求解r i c c a t i 不等式或方程时 需要提前调整大量的参数和正定矩阵，而使用l m i 方法可以弥补上述的不足。正因 为如此，随着求解凸优化问题的提出，l m i 方法以其求解的高效性引起了控制界领 域的高度关注，成为日。反馈控制器设计的重要方法1 5 1 - 5 5 】。在过去近3 0 年的发展中， 学者们在鲁棒控制器的设计方面以及在鲁棒性能分析方面对不确定时滞系统的鲁 棒日。控制问题进行了深层次的研究，针对不确定系统中的多种结构形式和时滞的 多种情况，提出了各种鲁棒稳定性条件和鲁棒控制器设计方法，但关于l u f i e 时滞 控制系统的h 。控制器的设计问题学者们做的研究并不多1 6 3 - 6 9 1 。 2 0 0 4 年，曹丰文，鲁仁全，苏宏业，褚健【6 3 i 研究了一类不确定l u r i e 时滞控制 系统鲁棒h 。输出反馈控制问题，同时，得出了基于线性矩阵不等式( l m i ) 的鲁 棒h 。输出反馈控制器的设计方法。 2 0 0 4 年，鲁仁全，苏宏业，褚健【蛆】研究了执行器与传感器故障的一类不确定 l u r e 系统可靠h 。控制 j o ) = a ( o ) x ( t ) + b i ( o ) u ( t ) + d ( 乡) w ( f ) + e 厂( 仃o ) ) y 2 2 c - ! p x ( f ：+ d z p ) 7 7 ?，凸、，、 ( 1 1 8 ) z ( f ) = c 2 ( o ) x ( t ) + b 2 ( o ) u ( t ) + d 3 ( p ) w ( f ) 、 c r ( t ) = c x ( t ) 且给出了基于线性矩阵不等式( l m i ) 的可靠日。控制存在的充分条件和提出了可 靠h 。控制器的设计方法。 2 0 0 8 年，俞立等人【6 5 1 考虑了一类不确定时滞l u r i e 控制系统 妒) = ( 彳+ a a ( ) ) x ( ) + ( 4 + 幽俐工( 卜 ) + ( 口+ 衄( ，) ) “( ) + d ( ( 1 1 9 ) iz ( f ) = ( c + a c ( t ) ) x ( t ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 并给出了基于线性矩阵不等式( l m i ) 的保成本控制的设计方法。 2 0 0 9 年，樊冲、包俊东在文 6 7 6 9 】总结上述文 5 1 - 5 8 的研究结果，研究了l u r i e 时滞控制系统的日。状态反馈控制问题，并利用l y a p u n o v 泛函和线性矩阵不等式 ( l m i ) 方法，得出了基于线性矩阵不等式( l m i ) 的h 。状态反馈控制器的设计方法。 同时这几类控制系统是系统( 1 1 3 ) 的进一步推广( 具体内容详见本文的第四、五 章) 。 1 2 论文结构 本论文主要针对几类l u r i e 间接控制系统的指数稳定性与l u r i e 时滞控制系统的 。状态反馈控制器的设计问题。用矩阵测度和时滞微分不等式，研究了l u r i e 直接 控制系统的指数稳定性问题；针对不同的l u r i e 控制系统，构造合适的l y a p u n o v 泛 函，利用线性矩阵不等式( l m i ) 和is c h u r 补引理以及相关的结论这些工具，研究了 l u r i e 时滞控制系统的h 。状态反馈控制器的设计问题。 论文共分六章，第一章，叙述了l u r i e 控制系统的历史背景并且介绍与本论文 有关的问题的国内外最新的研究进程。第二章，介绍本文所需要的相关的定义、定 理和引理。第三章，讨论了l u r i e 间接控制系统的指数稳定性问题，并给出了该系 统指数稳定性的判据。第四章，讨论了l u r i e 时滞控制系统的。状态反馈控制问题， 得出了基于线性矩阵不等式( l m i ) 的闭环系统的稳定性的充分条件，分析和设计 了日。状态反馈控制器。第五章，讨论一类不确定l u r i e 变时滞控制系统，研究了该 系统的鲁棒稳定性和鲁棒日。状态反馈控制问题，提出了鲁棒何。状态反馈控制器的 设计方法。第六章，对本文所做工作进行了简单总结和思考。 6 第二章基本概念及相关引理 令 第二章基本概念及相关引理 首先，介绍一般的l u f i e 控制系统( 1 1 2 ) 的非线性函数厂( ) 。朋= 扩( ) l 厂( o ) = 0 ；0 o f ( o - ) k a z , 仃o ，f 连续 f t 。= 扩( ) i 厂( o ) = o ；o 可( 仃) o ，仃o , f 连续 定义2 1 若vf 瓦( 厂。朋) ， 厂鼻。朋】，系统( 1 1 2 ) 的平凡解是全局 稳定的，则称系统( 1 1 2 ) 的平凡解是绝对稳定的( 在霍尔维茨角域 0 ，k 】内，或在 o ，k ) 内是绝对稳定的) 。 定义2 2 设么( f ) = ( a ，( f ) ) 。，尸o ) = ( p 矿o ) ) 。，q ( f ) = ( g 仃( f ) ) 。，尸o ) 彳( f ) q ( f ) 表示f t o 时，岛( f ) a i ( f ) g 口( f ) ，。i ，= l ，2 ，刀 p ( f ) ，q ( f ) 】_ 彳o ) ip o ) 彳( f ) q o ) ) 定义2 3 觇= ( _ ，x 2 ，一，工。) r ”，w = ( a 驴) r ，则挑x l = m k a 引xx ：= ( k i ) j ，俐，= z i g ，1 分别称为向量工的o o - g 数，2 一范数，1 - g 数。 o a l l 。= 氍荨挚扩爿i | 2 = ( 允。( 几，i i a l l = 氍势扩1 分别称为矩阵彳的 一范数，2 一范数，i 一范数。 定义2 4 设a 是n 阶矩阵，e 是盯阶单位矩阵，则 。(4)：。1+im。+掣：(爿)：。1im。+兰二=-竽(彳)：。1+im。+竺二=。薏掣l二!，分 别称为a 的o o 一测度，2 一测度，1 一测度。 为 由定义2 3 和定义2 4 不难得到 引理2 1 设a = ( 口口) 是胛阶矩阵，则a 的0 0 一测度，2 一测度，1 一测度分别 内蒙古师范大学硕士学位论文 特别地，当a 是对称矩阵时，怕i 。- - m ，。( 彳) = 。( 4 ) 。 证明只给出( 彳) 2 嘴( 以+ 善k 1 ) 的证明，其他同理可证。 由定义2 和定义3 得 。( 彳) = l i 啦螳 _ o 。 占 “盛型l 一m a x e ：!：聚!：一：m。；，a；x。(、口+喜in，li，。 ：l i m l j 蔓一： 玑+ 亨k h 。 f _ + 旷 占 i s b h 耋，j 州 引理2 2 2 7 1 彳，b 是实对称矩阵，若4 一口是半正定的，则兄腿。( 爿) 五。( b ) 。 引理2 3 【6 0 j ( 溉阱性质) 对给定的对称矩阵s = 鼢其呐。是 维的。以下三个条件是等价的： ( 1 )s 0 ： ( 2 ) s l i 0 ，s 2 2 一s i t 2 ) l - 1 1 s 1 2 0 ； ( 3 ) s 2 2 0 ，s l i s , 2 s 2 - 2 i o i r 2 0 ，有l f e + e7 f r l r 吐，+ 一1e r e 口 。吵w + 一盯 口 嚣 j j 4 、乃 4 +4 兄 l 一2 = 4 、凡 口 。川 +口x h傻 = 4 第三章区间l u r i e 间接控制系统的指数稳定性 第三章区间l u r i ef a - jj s 妾控制系统的指数稳定性 3 1 引言 在实际控制问题中，许多系统由于模型的误差、测量的误差和线性化近似等原 因，不确定性就会出现控制系统中，时间滞后现象是经常发生的，它常常是导致系 统不稳定的根源。因此，关于不确定系统和不确定时滞系统的鲁棒稳定性研究，具 有重要的理论意义和实际应用价值。在自动控制理论中，l u f i e 控制系统是一类非常 重要的控制系统，近年来国内外学者对l u r i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性给予了研 究【6 - 8 1 ，同时，关于区间矩阵的稳定性和带有滞后的不确定动力系统的稳定性问题 也受到了国内外许多学者的重视，并对其进行了广泛的研究，但对于具滞后的非线 性区间动力系统的稳定性研究不多ol u f i e 间接控制系统的稳定性研究在非线性区 间系统的设计中具有十分重要的意义。 3 2 具有多滞后时变区间l u r i e 间接控制系统的指数稳定性 3 2 i 问题描述及引理 考虑如下一类具有多滞后时变区间l u f i e 间接控制系统 m = n p ，q 】工( f ) 十n p i ( t ) ，q i ( t ) x ( t f ，) + 6 厂( 盯( f ) ) f = i d r ( t ) = c t x p f ( a ) ( 3 2 1 ) x o ) = ( f ) ，f _ f ，o 】，r = m g a ；。x f r 其中实向量函数石( f ) r ”，实区问矩阵n p ，q 】，【只( f ) ，q i ( t ) c 7 _ r “”，i = 1 , 2 ，m ， 厂( ) 鼻。川= 扩( ) i ( ) 连续且厂( o ) = 0 , 0 o ，i = 1 , 2 ，胍 定义3 2 1 设口是某个正数，如果存在一个正常数忌，使得对任意给定的 a n p ，q 】和彳以) e ( f ) ，q ( f ) 】及( f ) c ( - r ，0 】，r ”) ，总能使系统 内蒙古师范大学硕士学位论文 j ( f ) = 彳工( f ) + 彳沁h ( 卜r i ) + 可( 盯( f ) ) i = i 方( f ) = c t x p f ( a ) x ( f ) = ，f 【_ r ，o l 仁i 旧i l a ；。x v ， ( 3 2 2 ) 的解工( r ) 满足忙( f ) 0 k e 叫恻，f 0 ，则称系统( 3 2 1 ) 是口指数稳定的。其中( f ) 是 系统( 3 2 2 ) 的连续向量值初始函数。 引理3 2 1 2 7 1 设p ( f ) 是在区间 t 。一f ，佃) 上的非负连续函数，满足t t 。， d + p ( f ) 一印( f ) + 6 心) 慨k ，这里i i p , i ，= s u p 、 p ( t + 谚) ，口 0 的常数， k i一f 岛s o rm1 啪) 连l | 卖又喾卜酗o p 0 则稚正数po ，使得 p ( f ) 慨l | r e x p ( - r ( t - t 。) ) ： 引理3 2 2 瞄1 设旯是，l 阶对称矩阵a 的任意特征值，贝j j l ；t ( a ) l 2 2 ( 彳) 。 下面假设h o ，l 】，矗，【0 , 1 】- a n i p ，q 】，a ) n p i ( t ) ，q f ( f ) 】，i = 1 , 2 ，；m 记a = h p + ( 1 一h ) q ，彳= a a = ( a a f ，) 。，m = q p = ( a 盯) 。，a i ( t ) = h i p i i ( t ) + ( 1 一h ，) q ( f ) ，a a f ( d = 爿，o ) 一a i ( t ) = ( 衄譬o ) ) 。，m f o ) = q o ) 一p i ( t ) = ( 口譬( f ) ) 。 h 。( 4 ) 足1 1 6 l | 1 i c i i + 七2 a p l l b l l 。 ：( 。( j ) + m a x ( 1 一h ，办) 从( m ) ) k be l l 。+ 七2 a p b h ，( ：i ( j ) + 圭m a x ( 1 一办，】 1 ) p ：( m + m 7 ) ) 州i 。i c l l 。+ 尼2 a ；b 1 1 3 2 2 主要结论 定理3 2 1 对任意的a n p ，q 】，a f ( f ) 【e ( f ) ，q 心) 】，f - 1 , 2 ，m ，如果 h ( 叫 x ( 圳l 。，f l ( t ) 0 ，s u p f l ( t ) = 口，口是正常数，h l 方( f ) i 和 i - t 0 s u p z l l a 以) l | 一划吼l l c 1 一k2 a p l l b l i 。一。( 爿) ，其中i l | l 。表示范数，车= l ，2 或者o 。，则 l o 第三章区间l u f i e 间接控制系统的指数稳定性 系统( 3 2 1 ) 是指数稳定的。 证明对任意给定的a n p ，q 】，a i ( f ) n p i ( t ) ，q ( f ) 】，i = 1 , 2 ，m ，设x ( f ) 是系 统( 3 2 2 ) 的解，则由d i n i 导数的定义及定理的条件，当t 0 时有 d + i i 石( f ) 0 。- i x 。( a ) i l x ( t ) 0 。j l 彳，( f ) l i i l x ( f r ，) l i 。- i b 1 1 i cl 。l l z ( f ) 1 - k2 46 1 。p ( ox ( t ) 1 i = i = 。l i m1 ( 1 1 石( i 卜i e + 别i if ) 1 1 + 1 1 刊1