（运筹学与控制论专业论文）n策略mg1排队系统的推广研究.pdf

摘要 摘要 目前对于可修排队系统和休假排队系统的研究，大多数文献都假设满足休假 或可修其中一个方面，并且已得到了深入的研究，而把这两者结合起来进行研究 的文献还比较少。在可修系统的研究当中，一般都假设修理设备是完全可靠的， 但在实践中经常会碰到修理设备在修理故障部件时其本身也可能发生失效，这时 只有将修理设备更换后它才能继续修理故障部件。 在本文中首先考虑的是修理设备可更换的n 策略m g 1 可修排队系统。首先， 研究了队长的瞬态和稳态性质。通过引进“服务员忙期”和使用全概率分解技术， 导出了在任意时刻t 瞬态队长分布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态队长分布 的递推表达式，以及平稳队长的随机分解。其次，考虑的是该系统的可靠性指标。 通过引入服务台的“广义忙期 和修理设备的“广义忙期”，采用随机分解法，得 到了服务台以及修理设备的一些重要的可靠性指标。 另外，系统的输入率与服务员是否在岗是有关的，即在服务员假期中到达系 统的顾客不一定要进入系统。基于此，在本文中又考虑了另一类n 策略m g 1 排 队系统，其中在服务员休假中到达的顾客以概率p ( 0 ps 1 ) 进入系统。采用一种 较简单的分析方法，得到了队长瞬态分布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态分 布的递推表达式。 关键词：n 策略，m g 1 ，队长分布，可靠性指标 a b s t r a c t a b s t r a c t t h er e s e a r c ha b o u to n ea s p e c to ft h er e p a i r a b l eq u e u e i n gs y s t e ma n dt h ev a c a t i o n s y s t e mh a sb e e n d o n eb ym a n y r e f e r e n c e sa n do b t a i n e di n - d e p t hr e s e a r c h b u tt h e r eh a s b e e nl i t t l eo ft h er e s e a r c ha b o u tt h eu n i o no ft h e m d u r i n gt h er e s e a r c ho f t h er e p a i r a b l e s y s t e m ，i ti su s u a l l ya s s u m e dt h a tt h er e p a i rf a c i l i t yi sr e l i a b l ec o m p l e t e l y b u t i ti su s u a l t h a tt h er e p a i rf a c i l i t ym a yb ei n v a l i dd u r i n gr e p a i r i n gt r o u b l eu n i ti np r a c t i c e i tw i l ln o t k e e po nr e p a i r i n ga t r o u b l eu n i tu n t i lt h er e p a i rf a c i l i t yh a sb e e nc h a n g e d i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h em g 1r e p a i r a b l eq u e u i n gs y s t e mw i t hn - p o l i c ya n da r e p l a c e a b l er e p a i rf a c i l i t y f i r s t ，w es t u d y t h et r a n s i e n ta n de q u i l i b r i u mp r o p e r t i e so ft h e q u e u el e n g t h b yi n t r o d u c i n gt h es e r v e rb u s yp e r i o da n du s i n gt h et o t a lp r o b a b i l i t y d e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u ew ed e r i v et h er e c u r s i o ne x p r e s s i o no ft h el - t r a n s f o r m a t i o no f t h et r a n s i e n tq u e u el e n g t hd i s t r i b u t i o na ta n yt i m et ，a n da l s ot h ee x p r e s s i o n so ft h e d i s t r i b u t i o na n ds t o c h a s t i cd e c o m p o s i t i o no ft h eq u e u el e n g t ha tar a n d o mp o i n ti n e q u i l i b r i u m e s p e c i a l l yw eo b t a i ns o m ec o r r e s p o n d i n g r e s u l t su n d e rs o m es p e c i a lc a s e s s e c o n d ，w ec o n s i d e rs o m ei m p o r t a n tr e l i a b i l i t yi n d e x e so ft h i ss y s t e m t h eg e n e r a l i z e d b u s yp e r i o d so ft h es e r v i c es t a t i o na n dr e p a i rf a c i l i t ya r ed e f i n e d ，a n dt h es t o c h a s t i c d e c o m p o s i t i o ni sp r o v i d e dt oo b t a i ns o m ei m p o r t a n tr e l i a b i l i t yi n d e x e so ft h es e r v i c e s t a t i o na n dt h er e p a i rf a c i l i t y i na d d i t i o n ，t h ei m p o r t - r a t eo ft h es y s t e mi su s u a l l yr e l a t e dw i t hw h e t h e rt h es e r v e r i so ng u a r do rn o t c u s t o m e r sw h oa r r i v e dt h es y s t e md i dn o ta l w a y se n t e rt h es y s t e m d u r i n gt h ev a c a t i o no fs e r v e r b a s e do nt h ea b o v e ，i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e ra n o t h e r m g 1q u e u ew i t hn - p o l i c yi nw h i c ht h ec u s t o m e r sw h oa r r i v ed u r i n gs e r v e rv a c a t i o n e n t e rt h es y s t e mw i t hp r o b a b i l i t yp ( 0 p 1 ) b yu s i n gas i m p l em e t h o d ，t h e r e c u r s i o ne x p r e s s i o no ft h el a p l a c et r a n s f o r mo ft h et r a n s i e n tq u e u e l e n g t hd i s t r i b u t i o n a n de q u i l i b r i u mq u e u e - l e n g t hd i s t r i b u t i o na r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：n p o l i c y , m g 1 ，q u e u el e n g md i s t r i b u t i o n ，r e l i a b i l i t yi n d e x i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：珥越鼓一日期：瓣占月哆日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盖蝉导师签名：囊逸 日期：洳p 年量月乡日 第一章绪论 1 1 排队系统概述 第一章绪论 排队论( q u e u e i n gt h e o r y ) 也称随机服务系统理论，是运筹学的一个分支。 在生产活动和日常生活中有各种各样的随机服务系统，经常会遇到许多有形或无 形的排队现象。例如，到火车站售票口买票的旅客，到医院就诊的患者，常常都 需要排队等候才能得到或接受服务。工厂里修理工到各车间去修理机床，计算机 中心处理来自各终端的上机作业等，还有电话的传呼与交换台占线问题，车站、 码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导问题等等，都可以作为排队问题进行研究。 排队论把请求服务的对象称之为“顾客 ，实现服务的工具或入员统称为“服 务机构”( 或服务台) ，顾客和服务机构便构成了服务系统。通过研究各种排队系 统的概率规律性，建立适当的排队模型，根据排队论进行分析，即可对随机服务 系统进行最优设计和控制。因此，深入研究排队论具有重要现实意义。 排队论的研究源于2 0 世纪初丹麦电信工程师爱尔朗对电信系统的研究。在第 二次世界大战以前，其研究多侧重于电话以及远距离通信领域，当时发展较为缓 慢。二战后，由于排队论渗透到军事国防、经济生产与服务管理等诸多领域，于 是在理论和应用上得到了较大发展，成为随机运筹学与应用概率论中最有活力的 研究课题之一。特别是上个世纪7 0 年代以来，由于电子计算机技术的不断更新与 发展，通信网的建立和完备，信息科学、生命科学及控制理论等学科的蓬勃崛起 均涉及到最优设计和最佳服务问题，从而使排队论在理论和应用上获得了质和量 的飞速发展。 1 1 1 排队系统的基本组成 排队系统是各种各样的，从决定排队系统进程的主要因素看，它主要由三部 分组成：输入过程，排队规则和服务机构。下面分别加以说明： ( 1 ) 输入过程 输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统，包括： ( a ) 顾客总体数：顾客的来源可能是有限的也可能是无限的。例如工厂内发生 故障待修的机器是有限的；到达窗口购票的顾客总体可以看成是无限的。 1 电子科技大学硕士学位论文 ( b ) 到达的类型：顾客是单个到达或是成批到达。例如工厂内发生故障待修的 机器是单个到达；在库存问题中，进货看成顾客到达就是成批到达的例子。 ( c ) 相继顾客到达的间隔时间服从什么样的概率分布，分布的参数是什么，到 达的间隔时间之间是否独立。 在排队论研究中，一般假定到达间隔时间序列是相互独立、同分布、有定长 输入，即顾客是等距时间到达。 ( 2 ) 排队规则 排队规则是指服务允许不允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待的情形 下，又将服务顺序分为： ( a ) 损失制：顾客到达时，若所有服务台被占，服务机构又不允许顾客等待， 此时该顾客就自动离去。 ( b ) 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队等待服务。在等 待制系统中，服务顺序又分为：先到先服务( f c f s ) ，后到先服务( l c f s ) ，随机 服务，有优先权的服务。 ( c ) 混合制：损失制与等待制的混合。分为队长有限的混合制系统，等待时间 有限的混合制系统，以及逗留时间有限的混合制系统。 ( 3 ) 服务机构 刻画服机构的主要方面为：( a ) 服务台的数目：在多个服务台的情况下，是串 联或是并联；( b ) 顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布：每个顾客所需的服 务时间是否相互独立，是成批服务或是单个服务等。 由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性，形成了各种各样的排队 模型，因此在研究一个排队系统之前，首先要弄清这三部分的具体结构。 1 1 2 描述排队系统的主要指标 ( 1 ) 队长与等待队长 队长是指在系统中的顾客数( 包括正在接受服务的顾客) ，而等待队长是指系 统中排队等待的顾客数。它们都是随机变量，是顾客和服务机构双方都十分关心 的数量指标，通常应确定出它们的分布及有关矩( 至少期望平均值) 。显然，队长 等于等待队长加上正在被服务的顾客数。 ( 2 ) 顾客在系统中的等待时间与逗留时间 顾客的等待时间是指从顾客进入系统的时刻起，直到开始接受服务止这段时 2 第一章绪论 间，而逗留时间是指顾客在系统中的等待时间与服务时间之和。在假定到达与服 务是彼此独立的条件下，等待时间与服务时间是相互独立的。 ( 3 ) 系统的忙期与闲期 从顾客到达空闲的系统服务立即开始，直到系统再次变空闲，这段时间是系 统连续繁忙的时间，称为系统的忙期，它反应了系统中服务员的工作强度。与忙 期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时间长度。在排队系统中，统计 平衡下忙期与闲期是交替出现的。 ( 4 ) 输出过程 输出过程也称离去过程，是指接受服务完毕的顾客相继离开系统的过程。刻 画一个输出过程的主要指标是相继离去的间隔时间和在一段以知时间内离去顾客 的数目，这些指标从一个侧面也反映了系统的工作效率。 1 2n 一策略排队系统及可修排队系统的研究状况 1 2 1n 一策略排队系统的研究状况 2 0 世纪中期以来，随着计算机通讯网络、柔性制造系统( f m s ) 、异步转换模 式( a t m ) 等高新技术领域的发展，提供了大量复杂系统设计和控制问题。这些 系统的行为通常依赖于状态而变化的参数，经典排队模型在处理这类问题是表现 出极大的局限性。休假( v a c a t i o n ) 排队研究正是在这种背景下开始于2 0 世纪7 0 年代。一方面，休假排队反映了服务过程可能因某种理由发生中断这一客观事实； 另一方面，各种休假机制为系统的优化设计和运行控制提供了极大的灵活性。因 此，休假排队立即受到了广泛的关注并成为个研究热点。 经典排队论假定服务台在任何时候都可用于接待顾客，休假( v a c a t i o n ) 排队 泛指服务台在某些时候不能被顾客利用的排队系统。导致服务台暂时中断的理由 可以有多种多样的解释，而暂时不能接待顾客的那些时间统称为休假。下面介绍 一下一些常见的休假规则。 ( 1 ) 多重休假( m u l t i p l ev a c a t i o n ) 规则 若休假结束时仍然无顾客到达，就开始另一次休假；若休假结束时系统内至 少有一个顾客等待，就开始新的忙期【l 】。多重休假规则的特点是服务员只有忙期和 假期两种状态。 ( 2 ) 单重休假( s i n g l ev a c a t i o n ) 规则 3 电子科技大学硕士学位论文 若休假结束时系统中已有顾客等待，就开始新的忙期，否则，就进入通常的 闲期 2 。3 1 。单重休假规则下服务员可处于忙期，闲期和假期三种状态之一。 ( 3 ) 门限式( t h r e s h o l dv a c a t i o n ) n 策略休假规则 当系统变空时，服务员就进入闲期。直到系统中到达顾客数累计达到大于或 等于n 个，服务员才为顾客服务，直到系统再次变空；若系统中顾客数小于n 个， 则服务员就待在系统中处于空闲状态，直到系统累计有n 个顾客时才开始服务， 直到系统再次变空时服务员进入新的闲期状态【4 6 。 ( 4 ) 伯努利( b e r n o u l l i ) 休假规则 每一服务完成后，若系统空出，必定休假；否则，以概率p 休假，以概率1 - p 为下一个顾客服务，一次休假结束，若系统中仍然无顾客，就接着一次新的休假， 直到某次休假后至少有一个顾客等待则恢复服务。 n 策略也是诸多休假策略中的一种，曾由b a l a c h a n d r a n ( 1 9 7 3 ) ，h e y m a n 与 s o b e l ( 1 9 8 2 ) ，s h a n t h k u m a r ( 1 9 8 1 ) 等使用不同的方法研究。n 策略有许多的变 体们，带有启动和关闭时间的n 策略模型由y a d i n 与n a o r ( 1 9 6 3 ) ，s o b e l ( 1 9 6 9 ) 研 究，得到稳态对长的概率母函数和等待时间的l s t 变换表达式；n 策略多重休假 模型首先由h o f r i ( 1 9 8 6 ) 年引入，k e l l a ( 1 9 8 9 ) ，田乃硕【1 1 】( 1 9 8 9 ) 使用不同的方 法也讨论的这一种排队系统，l e e 与t e g h e m ( 1 9 8 9 ) 研究了有多重和单重休假的 阈值策略；l e e 与s r i n i v a s a n ( 1 9 8 9 ) 研究了n 策略多重休假的成批到达m x g 1 排队 系统；l e e 与y o o n 等( 1 9 9 4 ) 分析了批到达n 一策略单重休假排队模型，研究队长分 布，得到队长分布的随机分解，同时使用c o n w a y ( 1 9 6 7 ) ，k l d n r o c k ( 1 9 7 5 ) ，n a i r 与 n e u t s ( 1 9 6 9 ) 等的“延迟忙期”分析方法，分析了忙期内到达顾客的条件等待时间 的随机分解性质。无论在理论上还是在实际应用中，n 策略休假排队系统都更为 重要。 1 2 2 可修排队系统的研究状况 以前研究的排队系统( 包括经典的和休假的排队系统) ，都是假定服务台不发生 故障的【1 2 - 1 8 1 ，但在实际中却经常遇到服务台发生故障而不能为顾客服务的情形。 此时需要修理工人对发生故障的服务台进行修理( 或更换) ，修理完成后在继续为顾 客服务，这里把这类服务台可能发生故障且可修复的排队系统称为可修排队系统。 显然可修排队系统是从服务台的性能角度提出来的，与休假排队有很大的差别， 而且人们对这类可修排队系统提出了新的课题，即不仅要研究系统的排队问题， 4 第一章绪论 同时还要研究因故障而产生的可靠性问题，例如系统的不可用度和故障频度等。 因此，对于可修排队系统，无论从排队论的角度，还是从可靠性理论的角度都是 值得研究的。自从1 9 8 2 年曹晋华和程侃研究了服务台( 服务设施) 可能发生故障 且可修理的排队系统【1 9 】以来，一些研究服务台可能发生故障且可修理的排队系统 文献相继出现【2 0 - 2 4 1 。这些文献不仅讨论了系统的排队指标，更重要的是还讨论了 服务台的有关可靠性指标【2 5 2 9 1 。 1 9 8 2 年曹晋华和程侃研究了服务台可修的m g 1 排队系统，不仅求得了系统 的各种排队指标，并且首次从可靠性理论的角度讨论了该系统中服务台的各种可 靠性数量指标。1 9 8 5 年曹晋华又讨论了服务设备可修的机器服务模型，即带有限 顾客源情形的服务台可修的m g 1 排队系统，文章既讨论了排队指标，又讨论了 服务台的可靠性指标。唐应辉、唐小我、赵玮考虑了服务员具有单重延迟休假的 可修排队系统【3 0 。3 1 j ，把休假时间、服务时间、修理时间和延误休假时间都推广到 有任意分布，采用了一种简洁明了的分析方法，讨论了队长的瞬态解和稳态解避 免了使用过分复杂的高维马尔可夫状态分析法。近几年来，对服务台可修的排队 系统的研究又开始成为一个热点。史定华、唐应辉、李伟等发表了一系列的关于 可修排队系统的论文【3 2 啪】。至今，国外研究可修排队系统的论文仍然大都只是从 排队论的角度来讨论，很少讨论系统中出现的可靠性问题，可修排队系统的结构 是排队模型和可靠性模型的有机结合。显然，研究这类系统的难度要超过同类的 排队系统和可靠性系统，至今对这类系统的研究成果相对还较少，一方面是发表 的文章数量还较少，另一方面是绝大多数成果都是研究m g 1 型排队模型，尚有 大量可修排队系统的模型和问题有待于进一步研究。 在实践中经常会遇到服务设备本身发生实效而不能为发生故障的服务台服务 ( 修理) ，此时需要将实效的服务设备修理好以后，服务设备才能继续为有故障的服 务台服务【3 。显然，这是一类更广泛的可靠性问题。 1 3 本文研究的依据和研究意义 作为经典排队系统模型的推广，休假排队系统中允许服务台采取各种在某些 时候不接待顾客的策略，这些暂时中断服务的时间统称为休假，采取这种策略的 系统即休假排队系统。其中，休假时间的长短可独立于到达过程，而事实上，休 假时间大多依赖于到达过程的实现，n 策略排队系统就是这样一种休假机制。在 n 策略m g 1 排队系统中，每当系统变空时，服务员就开始休假，直到累积发生 5 电子科技大学硕士学位论文 n 次到达时才开始一个新的忙期。n = i 时就是经典的m g 1 排队系统【3 8 】。现在休 假时间恰好等于n 个到达间隔之和，因此，休假时间不再独立于到达间隔。n 策 略是诸多统称为“控制排队”策略中的一种，曾由b a l a c h a n d r a n ( 1 9 7 3 ) ，h e y m a n 与s o b e l ( 1 9 8 2 ) ，s h a n t h i k u m a r ( 1 9 8 1 ) 等使用不同方法研究。n 策略有明确的应 用背景。设想从休假到忙期的状态转换需要一定的转换费用，这样一来，系统中 只有一个或少数几个顾客就频繁实施转换，从经济效益的观点来看未必是明智的。 选择使系统收益最大的阀值n ，当累积达到n 个顾客时才实现从假期到忙期的转 换，就是一个典型的排队控制问题。 在经典排队系统中，服务台都是被假定不会发生故障的。但在实践中，这种 理想状态是不可能实现的，系统服务台总会以一定的概率分布发生故障。为了改 善系统的可靠性，现实中经常采取维修手段。修理设备对故障的服务台进行修理， 修复后的服务台可继续执行其使命。 机器修理模型是排队论所研究的基本模型之一，有许多文献曾研究过这类模 型。但在这些文献中作者都假定服务设备( 又称修理设备) 是不会发生失效的， 可在实际中却经常碰到服务设备本身发生失效而不能为故障的机器修理，此时需 要将服务设备本身修好后，服务设备才能继续为故障的机器修理。因此，考虑修 理设备可发生故障且可更换的可修排队系统十分必要，它与实际系更接近，具有 重要的理论意义和实用价值。 总结上述的实际需要，在第三章中提出了修理设备可更换的n 一策略m g 1 可 修排队系统模型。n 策略m g 1 排队系统是所讨论的休假排队系统模型中的一个 基本模型之一，但修理设备可失效且可更换的n 策略m g 1 排队系统至今还未见 有人研究。该模型不但包括了n 策略，而且同时实现了服务台可修和修理设备可 更换的实际要求。 另外，系统的输入率与服务员是否在岗是有关的，即在服务员假期中到达系 统的顾客不一定要进入系统。基于此，在第四章中考虑了另一类n 策略m g 1 排 队系统，其中在服务员休假中到达的顾客以概率p ( 0 p 1 ) 进入系统，得到了队 长瞬态分布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态分布的递推表达式。 6 第一章绪论 1 4 本论文的主要内容及拟采取的主要理论方案 1 4 1 主要内容 本文首先研究的是修理设备可更换的n 策略m g 1 可修排队系统，主要探讨 该排队系统的瞬时队长等排队指标，以及服务台和修理设备的一系列可靠性指标。 具体包括以下内容： ( 1 ) 该系统队长的瞬态分布和稳态分布情况； 研究该排队系统的概率规律，主要包括系统的队长( 系统中的顾客数) 、顾客 的等待时间和逗留时间，以及忙期等的概率分布，包括它们的瞬时性质和统计平 衡下的性态。 ( 2 ) 服务台的可靠性指标： 在实践中，系统服务台总会以一定的概率分布发生故障，需要修理设备对其 进行维修，修复后的服务台可继续执行其使命。一般，可修系统的主要可靠性指 标有很多，对不同的实际问题，人们感兴趣的可靠性指标不完全相同，在本文所 研究的系统中，主要讨论以下几个可靠性指标： ( a ) 时刻t 服务台处于“广义忙期 的概率； ( b ) 时刻t 服务台处于失效状态的概率( 不可用度) ； ( c ) 服务台在其“广义忙期 中的平均失效次数； ( d ) ( 0 ，t 】内服务台的平均失效次数； ( 3 ) 修理设备的可靠性指标： 同服务台的可靠性指标一样，本文讨论的修理设备的可靠性指标主要有以下 两个： ( a ) 时刻t 修理设备处于失效状态的概率； ( b ) ( o ，t 】内修理设备的平均失效次数； 另外，在第四章中讨论了另一类n 策略m g 1 排队系统，其中在服务员休假 中到达的顾客以概率p ( 0 p 1 ) 进入系统。采用类似的方法，得到了队长瞬态分 布的拉普拉斯变换的递推表达式和稳态分布的递推表达式。 1 4 2 拟采取的主要理论、技术路线和实施方案 采用的主要理论和技术方法有：全概率分解技术，更新过程理论，马尔可夫 过程，可靠性的数学理论等。 7 电子科技大学硕士学位论文 先讨论修理设备可更换的n 策略m g 1 可修排队系统的队长分布。定义服务 台的“广义修理时间 ，“广义忙期 和“系统闲期，利用分解法、嵌入马尔可夫 链及全概率分解技术讨论在服务台的“广义忙期中队长瞬态分布的l 变换表达 式，进而得出其系统的瞬态队长分布的l 变换表达式、稳态队长分布及其概率母 函数。 讨论服务台可更换的n 策略m g 1 可修排队系统的可靠性指标：通过引入服 务台的“广义忙期”，利用马尔柯夫更新过程理论及可靠性的数学理论等，从任意 初始状态出发，研究服务台处于“广义忙期”的概率、服务台的瞬态和稳态不可 用度、( o ，f 】时间内的平均失效次数等一系列有重要理论意义和应用价值的新的可 靠性指标。 最后，对假期中顾客以概率p ( o p 1 ) 进入的n 策略m g 1 排队系统的对长 也做了一定的分析，得到了相应的瞬态队长分布的l - 变换表达式、稳态队长分布 及其概率母函数。 8 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 更新过程及马尔可夫链 2 1 1 更新过程 定y 2 1 【3 明设瓴，i21 ) 是相互独立的、取非负值的随机变量序列，有共同的分 布函数f ( t ) 。假定，( 0 ) 1 ，且令 s o = o ，鼠= 乃，刀1 ， i = l ( f ) = s u p n ；最f ) 则称 ( f ) ，t 0 ) 为相应于分布函数f ( t ) 的更新过程，乞，t n ，称为寿命或更 新间隔时间，墨，足，最，称为更新时刻，( f ) 称为( 0 ，f 】内的更新次数。 对固定的t o ，令m ( t ) = 目( f ) 】，则m ( t ) 表示( o ，t 】内的平均更新次数，称 为更新函数，它是更新理论的一个重要研究对象。易知 n ( t ) = k ) 等价于 最t 疋+ ，) ，所以 m ( f ) = k 尸 ( f ) = 埘= f 。( f ) ，f o ( 2 - 1 ) k = o七= i 这里，。( f ) 是f ( t ) 的k 重卷积。 定义2 2 【3 9 】称形如 彳( f ) = 口( f ) + i ：a ( t x ) d f ( x ) ，t 0 ( 2 - 2 ) 的积分方程为更新方程，其中a ( t ) 为在任意有限区间上有界的已知函数，( 功是 已知分布函数，而么( f ) 为未知函数。 在更新理论中更新方程是一种重要的工具，更新方程的推导要用到所谓的“更 新推理 ，即使用更新过程的如下特征：从任意一个更新点处向前看，过程未来发 展的概率特征都与过程刚开始一样。“更新推理 在本论文第三章的讨论中会反复 加以使用，它对解决某些排队问题十分有效。 定理2 1 【3 卅对更新方程( 2 2 ) ，若口( f ) 是有界函数，则在有限区间上，存在惟 9 电子科技大学硕士学位论文 一的有界函数么( f ) 满足 其中m ( t ) 由( 2 1 ) 给出。 2 1 2 马尔可夫链 彳o ) = 口( f ) + j ：口( t - x x 浙( 功 马尔可夫链( m a r k o vc h a i n s ) 是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或 可数无限的。经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当 前出发的状态而与以前的历史无关。马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队 系统的重要工具，因此有必要先介绍它的基本概念。 定义2 3 【3 9 1 设 x ( 咒) ，n = o ，l ，2 ，) 是一个随机过程，状态空间e = 0 ，1 ，2 ，) ， 如果对于任意的一组整数时间0 n 2 0 ，f e - s t a ( f 坳是收敛的，j t j o 照l ，一i m 口( f ) 存在，则 l i m 口( f ) - l i m sj ：e - t a ( t ) d t( 2 10)t - - - c t s - o + 1 0 、 引理2 4 ( 关于拉普拉斯一斯蒂尔切斯变换的阿贝尔定理1 3 9 】 设对t 0 ，a ( t ) 在每个有限区间上是有界变差的，如果对孵( j ) 0 ， 是收敛的，且极限l i m 口( f ) 存在，则 躲口( f ) 2 蜘i e-da(t)+a(o)s-+oso f - + 2 4 系统的主要可靠性数量指标 2 4 1 可靠度 j ：e - d a ( t ) ( 2 1 1 ) 定义2 9 删产品在规定的条件下，在规定的时间内，完成规定功能的概率称 为该产品的可靠度。 通常用一个非负随机变量z 来描述产品的寿命，石相应的分布函数为 ，( f ) = 尸 x f ) ，t 0 有了寿命分布f ( t ) ，就知道产品在时刻f 以前都正常( 不失效) 的概率，即产品在 时刻f 的生存概率 尺( f ) = p x 略= l 一，( f ) = ，( f ) 其中，户( f ) = l f ( f ) ，r ( f ) 表示产品的可靠度或可靠度函数，即产品在时间 0 ，t 内不失效的概率。 对于不可修产品，一旦失效便永远停留在失效状态。不可修产品的平均寿命 ( 记为m t t f ) 为 e a t 2j ot d f ( t ) 1 4 第二章预备知识 2 4 2 首次故障前时间分布 对可修产品，由于有修理因素，其故障后是可予以修复的。此时产品的运行 随时间的进程是正常与故障交替出现的。若五和1 分别表示第i 个周期的开工时间 和停工时间，f = 1 ，2 ，。在开工时间内产品处于正常状态，在停工时间内产品处于 故障状态。如果一个可修产品一旦发生故障将要产生灾难性后果的情形，则首次 故障前时间分布及其均值就是该产品最重要的可靠性数量指标柏1 。 产品首次故障前时间x 的分布为 e ( f ) = 尸 五f ) 首次故障前平均时间( 记为m t t f f ) 是 膨唧f = e x l = i 。t a f l ( t ) 2 4 3 可用度 对于一个只有正常和故障两种可能状态的可修产品，可以用一个二值函数来 描述它【4 0 1 。对t 0 ，令 x c r ，= f 童喜筹翥：喜盆轰薹 产品在时刻t 的瞬时可用度定义为 彳( f ) = p x ( f ) = 1 ) 即时刻f 产品处于正常状态的概率。瞬时可用度a ( t ) 只涉及时y 么l j t 产品是否正常， 对t 以前产品是否发生过故障并不关心。 在瞬时可用度彳( f ) 的基础上，进一步定义 o ，t 】时间内平均可用度为 j ( f ) = i 1j 0 t 么( “) 出 若极限 a = l i m a ( t ) 存在，则称五为极限平均可用度。而若极限 a = l i m a ( t ) 1 5 电子科技大学硕士学位论文 存在，则称其为稳态可用度。显然，稳态可用度么存在，则极限平均可用度必存 在，且j = 彳。 可用度是可修产品重要的可靠性指标之一。在工程应用中特别感兴趣的是稳 态可用度。它表示产品经长期运行，大约有彳的时间比例处在正常状态。 2 4 4 ( o ，f 时间内产品故障次数分布 可修产品随时间的进程是一串正常和故障交替出现的过程。因此，对于t 0 ， 产品在( o ，f 】时间内故障次数( f ) 是一个取非负整数值的随机变量【4 0 1 。产品在( o ，f 】 时间内故障次数的分布为 p k ( t ) = p n ( t ) = k ) ，k = o ，1 ，2 ， 产品在( o ，t 】时间内平均故障次数为 m ( f ) = 删( f ) = k p k ( t ) 当m ( f ) 微商存在时，称 聊( f ) = d m ( f ) 为产品的瞬时故障频度。在工程应用中，最感兴趣的是产品的稳态故障频度 m ：l i i i l 型 f 。t 如果极限存在的话。 m ( t ) 和m 也是重要的可靠性指标。例如，在更换问题的研究中，它告诉系统 大约需要准备多少个备件。 1 6 第三章修理设备可更换的n 策略m g 1 可修排队系统 第三章修理设备可更换的n 一策略m g 1 可修排队系统 本章针对修理设备可更换的n 策略m g 1 可修排队系统，首先通过引入服务 台的“广义修理时间”，顾客的“广义服务时间 和服务台的“广义忙期 等概念， 可以从任意时刻队长过程 ( f ) ，t 0 ) 出发，直接研究队长的瞬态分布，不仅可得 到系统瞬态队长分布的拉普拉斯变换( 简称l 变换) 表达式，而且还可以计算队 长稳态分布的递推公式。此外，由于服务台和修理设备都是可能发生故障的，因 此除以上引入的概念外，本章还引入了修理设备的“广义忙期”的概念，采用一 种随机分解法以及利用拉普拉斯变换，进一步求得了服务台和修理设备的一些重 要的可靠性指标。 3 1 模型描述 本苹研究的修理设备司更换的n 一策略m g 1 可修排队系统的模型如f ： 考虑一个m g 1 排队系统，其到达过程为参数五( 五 0 ) 的p o i s s o n 流，即顾客 到达的间隔时间 l ，n 0 ) 独立同分布 ，o ) = p r 。t - - l e m ，t o ，珂= 1 , 2 ， 顾客所需的服务时间序列娩。，以1 是相互独立、同一般分布 g o ) = 尸如。f ) ，t o ，刀= 1 , 2 ， 且平均服务时间记为o 1 p = j ：o t d g ( o 0 0 。系统中只有一个服务台，服务台的寿 命为x ，且服从参数为口( 0 口 o o ) 的负指数分布 z o ) = p x f ) = 1 一p 一讲，t 0 服务台失效后立即进行修理，修理时间y 的分布函数是任意分布 y ( f ) = p y f ) ，t o 且平均修理时间为o = g t a r ( t ) 0 1 7 电子科技大学硕士学位论文 修理设备故障后立即进行更换，它的更换时间y 的分布函数是任意分布 矿( f ) = p 矿f ，t o 且平均更换时间为o 6 ：f t a v ( t ) ， k 0 ，以l ， 1 8 第三章修理设备可更换的n 策略m g i 可修排队系统 i 卜_ i 卜一一一 - 一一斗 - 一一+ _ 一 矾吒巩吒u巧矾 卜i 一修理设备正常工作 一一一修理设备散障 图3 1 如上图，有【1 9 】 霹。1 ( ，) = 尸辑+ 窆巧厶窆艺 k + 1 ) ：j ：p z + 圭巧f ，k k k + 1 l 艺：x a p y 。石) ：j ：p 杰巧r 一而k x o ，捌， 与，z 无关。其中艺表示服务台第，1 次修理所用的实际修理时间；巧，分别表示 修理设备第次更换所需时间和第，次寿命；当尼on ，巧= 0 ，于是 y ( t ) = r a t ) = p e 0 = 薹眇”妒“譬m ， 其中矿( f ) 表示服务台“广义修理时间 穸的分布函数，其l s 变换为 夕( s ) 2j ：e - t d y ( t ) = 孙o o 珈。p 删譬m )七= o 。 ； 2 y ( s + a 一口v ( s ) ) ， 吼( s ) 0 1 9 ( 3 - 1 ) ( 3 2 ) 电子科技大学硕士学位论文 其中y o ) = j ；es t d y ( t ) 为】，( f ) 的l s 变换，y o ) 为矿( f ) 的l s 变换。以下文中都会用 相应的小写