（计算数学专业论文）非负矩阵perron根上下界的估计(1).pdf

摘要 摘要 对于阶数较高的矩阵，要计算出其特征值的精确值是相当困难的。因此，能 由“的行和和列和的简单关系式便可估计出的特征值所在位置的范围( 即所谓 特征值估计) ，就显得尤其重要。本文主要应用f r o b e l l i u s 定理，并在参考文献【1 】 的基础上，通过选取更好的变换矩阵，得到不可约非负矩阵的相似变换，产生出 不同于原矩阵的行和和列和，从而把不可约非负矩阵的p e n d n 根的上下界得到了 优化。 第二章主要描述了现有的矩阵谱半径估计方法，圆盘定理特征值的区域，矩 阵特征值和迹的关系，所有的这些方法有可以应用到不同的矩阵类，比如幂正矩 阵，循环矩阵，本原矩阵，随机矩阵，对称矩阵等。介绍了矩阵的特征值和迹的 相互关系，矩阵特征值和各阶主子式的关系，还介绍了矩阵特征值的几个算法以 及非亏损矩阵的最大特征值的两种算法。 第三章主要利用著名的f r o b e n i u s 定理。讨论不可约非负矩阵p e r r d n 根的下 界。研究出了一个矩阵的相似变换矩阵，并利用变换矩阵得到了矩阵p e n 根的 下界估计并说明了得到的p e n 伽根估计的正确性和优越性。 第四章在f r o b e l l i u s 定理的基础上，利用第三章的方法选取了一个不同的变换 矩阵，得到了优化的p e h 根上界，从而对p e 玎o n 根上下界都进行了优化，使得 矩阵p e r r o n 根估计空间缩小。 关键词：非负矩阵，p e 肿n 根，估计 电子科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t f o rm 砌c e so f h i 曲o r d e r s ，i ti sv e r yd i 伍c u l tt oo b t a i nt h e i re x a c te i g e n v a l u e s ，s o i t i sp a n i c u l 孤l yi m p o r t 舭tt ol o c a lm ee i g e n v a l u e sb yr o 、聘，c o l 咖so rm i n o r so f m a m c e s i nm yp a p e bb yu s i n g 也e 也e o r yo ff r d b e 血s ，w eo b t a i nt h ek 毗e r 廿a n s f 0 加a t i o nb ys e l e c t i n g 订a n s f 0 衄a t i o no f m a t r i xt og e td i 丘b r e n tm w sa n dc o l l l i i m s ， a n dg e tb e 仕c re s t i m a t i o nf o ru p p e ra i l dl o wb o u n d so f p e r m nr o o t i nc h 印t e r2 ，、v em a i l l l yd i s c u s s e st 1 1 eg e n e r a lm e t h ( ) d st ol o c a lt h ee i g e n v a l u e so f m 埘c e s ，a 1 1 di n l d u c ea c h i e v e m e n t sa b o u tu p p e ra n dl o wb o u n d so fp e n d nr o o tb y m 撕xe x p e n sa b 舢e ，o t a u s s k y ，r s v e r g a a n da o s 的w s k ie t c m a n yt e c 城q u e s c 觚b ei n 怕d u c e dt h ee s t i i n a t i o no f e i g e n v a l u e so f d e f b r e n ti i l a 伍c e s ，f o ri 1 1 9 咖t ，血e o r y o fp l a i l e 锄dt h er e l 撕o no f 舰c ea n de i g c n v a l u e so fm a t r i x w ea l s oi i l 虹o d u c e 盯“h m e 廿ct 0c a l c u l a t ep e r r o nr o o t m c h 印t e r3 ，、v em a i n l yd i s c l l s st 1 1 el o wb o u i l do fp e d nr o o to fi r r e d u c i b l e n o n n e g a t i v em 删xa 1 1 do b t a i nab e t t e rl o wb o u n do fp e r r o nm o to fi m d l l c i b i e n o l l l l e g a t i v e 瑚t r i xb yu s i n gs i r n i l 盯t r a n s f o i m a t i o no fm 删xa n dt 1 1 et h e o r yo f f r o b e l l i u s i nc h a p t e r4 ，w em 血l yo b t a i nab e n e ru p p e rb o l l n do fp e 玎0 nr o o to fi r r e d u c i b l e n o n n e g a t i v em a 啊xb yu s i n gd e f b 玎e n tt r a l l s f o m l a t i o no fm 删xmc h a p t e r3a 1 1 dm c 也e o r yo f f r o b e l l i u s k 句w o r d s ：n o l l l l 础em a t r i c e s ，p nr o o t ，e i g e n v a l u e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：日期：绛- 月嘶 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 虢丝一名：堑坠生 日期：娜舛( t - 月2 珀 第一章引言 第一章引言 非负矩阵的研究是p e f i | o n 在1 9 0 7 年从研究正矩阵的谱性质开始的。通过本 世纪中期以来著名矩阵理论专家a b m u o 1 1 a u s s 姆，r s i r g a ，a o s t r o w s 姑等的 卓有建树的工作，现在已经逐步形成比较完美的理论。 非负矩阵的理论在各类矩阵的谱分析中的广泛的应用，尤其是对于m a r k o v 链理论，偏微分方程数值解的一般理论的应用，一直是人们十分关注的热点课题。 而正矩阵，非负矩阵最大特征值的估计问题，不仅在数学理论方面是重要的，并 且在需要用最大特征值的一个初始估算值的迭代计算过程方面也是重要的。如果 其上，下界可以表示为矩阵元素的易于计算的函数，例如行和，列和等，此种估 算值尤为有用。 矩阵谱的估计被广泛应用于数值分析、图论、稳定性理论等相关学科，是矩 阵理论研究中相当活跃的一个研究课题，近年来，不断有新的研究成果涌现出来， 特别是，非负矩阵的p e i r o n 根的估计。非负矩阵的基本理论，是以p e n d n - f r o b e n i u s 理论为基础，现在已经形成比较完美的理论。而非负矩阵的基本理论是p e n 伽在 从研究正矩阵的谱性质开始。1 9 1 2 年由f m b e i l i u s 首先推广到非负不可约矩阵类。 正矩阵为所有的元素都为正数的矩阵，是非负矩阵的子类，因而具有非负矩阵的 所有性质但由于其特殊性，对于正矩阵而言，p 咖n 根的估计有更加简单，优美 的形式。 在本文中，第一章主要对于非负矩阵的基本概念和已有定理进行概述；第二， 章介绍了本文要用到的已有的方法和他们的基本思想；第三，四章是本文得出的 主要结论和举例说明，以及与参考文献【1 】的方法相比较；第五章是全文的主要结 论和p e r r o n 根在这方面的发展趋势。 1 1p e i r o n 根上下界估计的基本思想 目前许多新的研究方法已经应用于p e 玎o n 根的估计当中去了。我们可以利用 矩阵的相似变化来估计p e n d n 根的取值范围，我们可以利用圆盘定理在二维的空 阃中画出特征值的区域，还可以利用矩阵特征值和迹的关系进行大小估计，所有 的这些方法可以应用到不同的矩阵类，比如幂正矩阵，循环矩阵，本原矩阵，随 电子科技大学硕士学位论文 机矩阵，对称矩阵等，就可以得到更特殊的结论。 现在，由于m 矩阵在1 9 8 2 年后的兴起，矩阵的谱半径的研究又进入了一个 新的领域，下面介绍几种常用的矩阵特征值的估计方法。这几种方法还是基于了 f r o b e n i u s 定理为基础，但应用了新的研究成果的结论，比如，矩阵的相似变化特 征值不改变的性质，矩阵韵特征值和迹的相互关系，矩阵特征值和各阶主子式的 关系，特殊矩阵和特征值的关系，转置矩阵特征值的不变性等。 在文献【1 】中提出了非负矩阵最大特征值的一个新界值，在特征值区间估计 中，他主要利用了著名的q f r o b e n i u s 界值定理为文章的基础。通过矩阵的初等变 化得到一个新的上下界的表达形式，由于它适用于任何非负矩阵，与f r o b e n j u s 定理相比，它的理论证明更简单，精确度更高。 下面是非负矩阵p e 盯0 n 根上下界的又一个估计表达形式，它应用的定理是基 于相似矩阵p e r r o n 根的不变性讨论的，也就是说，两个相似矩阵的特征值都是相 等的这个原理。在本文献中，我们将对满足某些性质的非负矩阵，通过选择简单 的相似变化来增大它的最小行和或者减小它的最大行和来改进不等式。而且，如 果相似变化煎后的矩阵都是正矩阵，那么我 f 1 还可以结会b l 飘e r 不等式，得到么 的p e r r d n 根更好的估计。这篇文献的方法给以我们这样的提示，如果能让矩阵 的形式发生改变，而特征值的大小不发生改变的话，这样的变化就可以应用到特 征值大小估计中去，变化后的矩阵满足行和或者列和比原矩阵小或大的条件。 构造比较实用的p 町d n 根的估计，一直是矩阵谱的估计的重要的研究的重要 内容，用算法实现p e r r o n 根的估计，应该是最实用的方法。文献【3 】和【4 】分别构造 了不同的算法来进行p e n 臼n 根的估计。 l i n 出a n g n 用p e n 余和p e r r d n 根匏关系构遣了比较有效懿算法，对某些 矩阵类f r o n 余。p e r r o n 余的概念是m e y e r 提出并用于非负不可约矩阵的唯 一标准化特征向量的计算，l i n z h 缸gl u 推广了这一概念。我们将在后面作一定的 介绍。 1 2p e r r o n 根上下界估计的发展方向 矩阵特征值用迹来表示是矩阵谱论的一个很大的章节，从2 d 世纪8 0 年代以 来，国内外已经有很多的成果。在用迹来估计特征值中有以下几种主要的方法。 从矩阵特征值的均值的标准差与矩阵迹的关系来确定特征值的简单适用的上下 2 第一章引言 界：从矩阵的迹与秩的关系来讨论矩阵的最大特征值；由于前者没有后者那么多 限制条件，因而其结果的适用范围很广在用矩阵的迹估计矩阵特征值的方法中， 我们要注意许多的关系式，特别是矩阵迹与对角元素，秩的关系，从这样的方法 中能够提炼出很好的结果。许多的文献对于这种估计都有详细的介绍，现阶段的 讨论中大多数的研究也基于这样的方法。 1 3 本文需要解决的主要问题 非负矩阵的理论在各类在各类矩阵的谱分析中的广泛的应用，尤其是对于 m a r k o v 链理论，偏微分方程数值解的一般理论的应用，一直是人们十分关注的热 点课题。而正矩阵，非负矩阵最大特征值的估计问题，不仅在数学理论方面是重 要的，并且在需要用最大特征值的一个初始估算值的迭代计算过程方面也是重要 的。如果其上，下界可以表示为矩阵元素的易于计算的函数，例如行和，列和等， 此种估算值尤为有用。 本文研究的课题就是p e r r o n 根的上下界估计问题。所用的方法也主要是利用 矩阵的p e 疗d n 根处于最大行和和最小行和之间的估算，并且利用矩阵的相似变化， 把初始矩阵相似变化为p e r r o n 根相同的特殊矩阵，在这样的变化后能得到一个更 小的估计空间。并且在这样的基础上，还通过对矩阵行和，列和的转变，使得到 的p e 蝴估计空间更小。p e n 如根上下界的估计还可以应用许多方法来实现，圆 盘定理的形成也为p e r r o n 根的估计提供了有力的工具，h 阶复矩阵4 的疗个特征 值的几何意义是复平面上的n 个点，用这样的方法，能由爿的元素的简单关系 式便可以估计出4 的特征值所在位置的范围。 电子科技大学硕士学位论文 第二章p e r m n 根上下界估计相关定理 2 1 经典结果及其概念 非负矩阵的基本理论，是以p e n d n f r o b e n j u s 理论为基础，通过本世纪中期以 来著名矩阵论专家a b r a u e ，o 1 a u s s 时，n s v e r g a ，a o s 昀w s h 等的卓有建树的 工作，现在已经形成比较完美的理论。而非负矩阵的基本理论是p e n d n 在1 9 0 7 年从研究正矩阵的谱性质开始的。1 9 1 2 年由f m b e n i l l s 首先推广到非负不可约矩 阵类，下面介绍的经典结果是五，六十年代中由w i e l a n m ，b r a u e r 等人完善后所 得劐的。 2 1 1 非负矩阵和不可约非负矩阵基本概念和定理 定理l 设么c “”是非负矩阵，则，0 ) 是a 的特征值，旦存在菲负向量x o ， x o ， 使得出= ，0 h 定理2 设4 c ，爿o ，工e c “，苫0 ，算o ，若有口r ，使得叙简， 则 r 似) 口 推论设爿c “”，一o ，贝0 ，o ) 2 1 嚣粤? 专蔷口，善，j 0 一o j 2 1 定义1 设爿= k ) c ”，若爿为一阶零矩阵或者对门2 有置换矩阵尸，使 得 n p = 身 其中，b 和d 为阶数大于等于1 的方阵，则称为可约的( r e d u c b l e ) ，若4 为不 是可约的，就称爿为不可约的( 岫d u c i b l e ) 。 定理3 设彳= ) c ”，珂2 ，则爿为不可约矩阵的充要条件是对集合 第二章p e r r o n 根上下界估计相关定理 的任意分割1 与2 ( l n 2 = 妒，l u 2 = ) ，一有元素吩o 使得f l ， ，2 。 定理4 设4 = ( 口f ) c ”，珂2 ，则4 为不可约矩阵的充要条件为爿的有向 图d 0 ) 强连通。 定理54 c “”不可约的充要条件是 伍+ h ) 1 o 引理a c ，五，屯为4 的特征值( 计重特征值) ，则 + 1 ，t + 1 是 e + 爿的特征值且 ，( ，+ 一) l + ，0 ) ； 若还有4 o ，则r 仁+ 一) = 1 + ，0 ) 定理6 设爿c ，4 o ，且对某个七l 有一。 o ，则，0 ) 是爿的代数单 重特征值。 定理7 ( f m b e n i l l s ) 设4 c 为非负不可约矩阵，则 1 ) r 0 ) o ； 2 ) r 0 ) 是一的特征值； 3 ) 存在正向量x ，使得 血= ，0 h ； 4 ) r 0 ) 是爿的代数( 因而为几何) 单重特征值。 定理8 设4 ，b c ”“，若一是非负不可约矩阵，4 i 矧，则 ，0 ) r p ) ； 若，0 ) = ，p ) ，又兄= e 佃) 是占的特征值，则存在q ，岛，最r ，使得 曰= e ”d d d ， 其中，d = 慨1 ，e 蜩2 ，e “) 。 电子科技大学硕士学位论文 推论设一是非负不司约矩阵，b 4 ，b 彳，则 r p ) ，0 ) 2 1 2 非负矩阵谱半径性质 定理1 设一，b c ，若h b ，则 ，0 ) r ) ，p ) 推论1 设4 ，b c “”，o 彳茎b ，则 ，0 ) ， 定理2 设么c ，么o ，若4 为4 的任一主子阵，则 r 0 。) sr 0 ) ； 特别地， 懋r 乜) 引理设彳c ，爿0 ，若的所有行和都相等，则 ，= 。， 若一的所有列和都相等，则 r 0 ) = 定理3 ( f r o b e n j l l s ) 设4 c ，一o ，则 胁酗s r o ) 茎髂荟吩， 啤善口 ，s r o ) 踹善 l 纠e ”台。”、7 埘e 急o f 推论设4 c ，4 o ，且对所有的j = 1 ，刀有窆 o ，则，o ) o ， 司 特别地，若“ o ，则r 0 ) o 。 6 第二章p e r r o n 根上下界估计相关定理 和 则 定理4 设爿c ，4 o ，且对任意正向量x c “，有 嬲委_ sr 。) 器吉喜_ ， 嘞x 专喜詈，o ) s 踹x 蔷詈 推论1 设爿e c ，x 盖“，o ，x o ，口，0 使得僦爿x 摩， 若僦 出出) ，则 若一x 摩( 爿x 肛) ，贝0 口，0 ) d p 则 则 户+ 1 7 咭曲s ，r 吲t 一而，其中占2 搿号 定理2 鼬 o ，一j 嚣棚u p + 叩( _ 二一1 ) 5 ，胄一，7 ( 1 一盯) 1 仃 定理3 ( b r a u e r ) 设彳 0 ，令 矗一2 口+ 足2 4 1 7 ( r 一户) 舻咳万方一 = 二旦兰翌旦：兰翌! 墨二旦! 户+ 玎( 一1 ) s ，r 一刁( 1 一! ) g 2 2p e 玳m 根上下界估计的当前研究结果 基于上面经典结果的基础上，目前许多新的研究方法已经应用于p e n d n 根的 估计当中去了。我们可以利用矩阵的相似变化来估计p e 肋n 根的取值范围，我们 可以利用圆盘定理在二维的空间中画出特征值的区域还可以利用矩阵特征值和 第二章p e r r o n 根上下界估计相关定理 迹的关系进行大小估计，所有的这些方法有可以应用到不同的矩阵类，比如幂正 矩阵，循环矩阵，本原矩阵，随机矩阵，对称矩阵等，就可以得到更特殊的结论。 现在，由于肘矩阵在1 9 8 2 年后的兴起，矩阵的谱半径的研究又进入了一个 新的领域，下面我主要介绍几种常用的矩阵特征值的估计方法。这几种方法还是 基于了f r d b e n i u s 定理，但应用了新的研究成果的结论，比如，矩阵的相似变换而 其特征值不改变的性质，矩阵的特征值和迹的相互关系，矩阵特征值和各阶主子 式的关系，特殊矩阵和其特征值的关系以及转置矩阵特征值的不变性等等。 在文章中我们还介绍了达到矩阵特征值的几个算法的研究，在算法中应用了 p e “d n 根和p e n d n 余之间的关系，还介绍了非亏损矩阵的最大特征值的两种算法。 2 2 1 非负矩阵最大特征值的新界值 提出了非负矩阵最大特征值的一个新界值，在特征值区间估计中，他主要利 用了著名的g f r o b e n i u s 界值定理为文章的基础。通过矩阵的初等变化得到一个 新的上下界的表达形式，由于它适用于任何非负矩阵，与f r o b e n i u s 定理相比，它 的理论证弱更简单，精确度更高。 定理4 设，是撑阶非负不可分矩阵4 的最大特征值，f 0 ) ，c ，0 ) 分别为4 的 第f 行行和与f 列列和，并且占= 0 十，r - 1 ( ，为单位矩阵) ，则对于任意的正整数k ， 有 叩鬻甲鬻， ， ( ) 一 佃) 中鬻峄糌 r c f ( b ) c ( ) 在定理的证明过程中，首先应用了矩阵的转置变化形式一，一7 把它们的行 和与列和表示成为以下的形式 ，五= 邵。0 ) ， l - l互1 ，咒2 y ；i 通过这样的变化后，矩阵的行和和列和再相加，就可以表示成为一种新的形式， 由于应用的一的转置矩阵，所以矩阵的最大特征值不会发生变化，在这样的基础 9 电子科技大学硕士学位论文 上设定丑= 以+ j r ，保证了丑是正矩阵。满足非负矩阵的所有条 牛，通过，的变 化，把特征值表示成为了一个共有的形式 ，：型! 坐：! ! 一+ 1 ) ( “一1 ) 最后，在这个基础上进行了一系列的计算得出了结论。 这种方法的思路比较清晰，它基于的基础也比较简单，主要的难点在于四的 取值上，不仅要保证曰满足非负矩阵，而且要让曰的表达形式更利于后面的计算。 在这个结论上还可以进行优化和修改，第一，在口的取值上。第二，在不等式的 表达上还可以进行进一步的改进。 2 2 2 非负矩阵p e 啪n 根的上下界 提出了非负矩阵p e i r o n 根上下界的又一个估计表达形式，它应用的定理是基 于相似矩阵p e n 蚰根的不变性讨论的，也就是说，两个相似矩阵的特征值都是相 等的这个原理。在本文献中。我们将对满足某些性质的非负矩阵通过选择简单 的相似变化来增大它的最小行和或者减小它的最大行和来改进不等式。而且，如 果相似变化前后的矩阵都是正矩阵，那么我们还可以结合b r a u e r 不等式，得到一 的p c r r o n 根更好的估计， 弓i 理l 设_ - ( 口。) 8 是弛x 行矩阵。”2 。骰设存在一个下标对( 女，s ， 使得 ( 吼。4 ) 口j 。 0 ，女- rj 0 ， 砒 警，m m 侩 ， 【吼，r 【口uj d = 咯一q 。一川吼。， 则对于任意的o s 研m 。，以下不等式成立； p 0 ) m a ) ( k + 朋j ，m a ) 【以一删d 。 ) 这个等式的得到就是利用了矩阵的相似变化不改变特征值大小的定理。在这 个基础上文章的作者经过计算得到了下面的主要定理： 引理2 设爿= ( 口u ) 0 是满足上面条件的矩阵，埘。如引理中所定义，如果 1 0 苎三童! ! 望! ! 塑占! 墨焦生塑萎塞望 对于任意的，y = h = k ) ，q ， o ，那么存在o m m 。满足 p 0 ) s m a x m a x o ，k 一删 1 1 洫q ， o ，那么上述的m ，使得 p 0 ) s ，。一拼i n i n 吩， 得到这样的结论我们可以比较一下f r o b e n i l l s 定理，可以看出特征值的区域比 原来小了许多，在这样的条件下矩阵的p e r m n 根的区域缩小了，其结果在实际应 用中也是很好用的。 这篇文献的方法给以我们这样的提示，如果能让矩阵的形式发生改变，而特 征值的大小不发生改变的话，这样的变化就可以应用到特征值大小估计中去，变 化后的矩阵满足行和或者列和比原矩阵小的条件。 2 2 3 用算法实现p e r r o n 根的估计 构造比较实用的p e n d n 根的估计，一直是矩阵谱的估计的重要的研究的重要 内容，用算法实现p e r t d n 根的估计，应该是最实用的方法。文献 3 】和【4 】分别构造 了不同的算法来进行p e 0 n 根的估计。 在文献 3 】中，l i n 吐a n gl u 用p e r r o n 余和p e r r o n 根的关系构造了比较有效的 算法，对某些矩阵类来p e n 口n 余说。p e d n 余的概念是m e y e r 提出并用于非负不 可约矩阵的唯一标准化特征向量的计算，l i z h a n gl u 推广了这一概念，矩阵4 对 于爿 口】广义p e r r d n 余为 只( 彳爿 口】) = 爿 】+ 彳【，口】( 盯一一【口】) _ 1 4 口，用，f 烈一【口】) a b l 理3 1 设4 为非负不可约矩阵，那么 i p ( 4 ) 户( 只( 4 一 口】) ) = 以一) ，f = p ( 4 ) 反一) ，p ( 爿p 】) f p ) 引理3 2 设一为非负不可约矩阵，设口= ( ”) 、 j ，构造函数 9 0 ) = 口船一f + 爿p ，睇】( 盯一一陋】) 叫爿 口，s 】， 如果p ( 4 【d 】) 6 p ( 爿) c ，那么 电子科技大学硕士学位论文 f o ，r ( 6 ，p ( 4 ) ) 也就是说，g ( r ) 在( 6 ，c ) 有唯一根p ( 彳) ，由于g ( f ) o 这样对于某些矩阵类就可以用二分法来求p e r r d n 根，并且得到的结果可以达 很高的精度。 2 2 4 收敛于矩阵爿的p e n d n 根 d l l r s 啪和硒越a n d 构造了一序列收敛于矩阵爿的p e n 口n 根，都是一些较 好的结果。我们先设 m ( 4 ) = 0 + 爿7 ) 2 和= 【r ( m 2 ) ) 】2 ， 引理3 _ 3 设4 为非负方阵，对任意七有 盯l 吒吼r ( 一) 引理3 4 设一为非负方阵，那么吒一r 即) 引理3 5 设一为甩一非负矩阵，并且有正的特征值半径，设4 一。是4 的 f r o b c n i u s 的标准型中谱半径等于，( 一) 的对角块，那么存在唯一个七对于占。= r ( 爿) 当且仅当以下条件成立： 1 ) 在一的f r o b e l l i u s 标准型中，每一个4 都是直和； 2 ) 对于每一个1 f s 聊，都有特定的t 和一个正的向量v 。，这些正的向量 都是群对应的左右特征值谱半径的特征向量。 2 2 5 同步向量正矩阵的最大特征值的上，下界的确定问题 作者应用了同步向量这样一个概念，讨论了正矩阵的最大特征值的上，下界 的确定问题，并且获得了这类矩阵最大特征值的较为精确的包含定理，又与文献 【1 3 】相结合，给出了非亏损正矩阵的最大特征值的两种算法。然后，把它应用于 工程上的震荡矩阵。 他的定理主要应用f r o b e 血u s 等式为基础，通过等式极限 基爨叫d m2 p ( 4 ) 2 墨爨叫p 。 第二章p e r r o n 根上下界估计相关定理 得到p ( 4 ) 的值，并构造了相应得算法步骤。 算法一设有非亏损的正矩阵4 ， 1 ) 对任意给定的正向量x ，令所= l ，y ( ”) = j ； 2 ) 计算y ( ”+ 1 ) = 爿y ，d 。= m i n ( z “厶t ) ，d 。= m a x ( i ”1 厶i ) ： 3 ) = 污- 盯； 4 ) 在小于预先给定的足够小的正数3 时转5 ) ，否则令坍增加l ，重复步 骤2 ) ，3 ) ，4 ) ； 5 ) p ( 4 ) = ( 扣：+ 扣_ ) 2 ，以= 】，“枷 算法二设有非亏损的正矩阵4 ， 1 ) 对任意给定的正向量】，计算z = 4 y ； 2 ) 计算矾，d l 和= d 1 一面； 3 ) 如果小于预先给定的足够小的正数时转到第4 ) 步，否则以k 代替y 重 复步骤1 ) ，2 ) ，3 ) ； 4 ) p ( 爿) 2 ( 吐+ d 1 ) 2 ，爿1 2 五 上述两个方法稍加修改后还可以用来计算任意非亏损矩阵的最大特征对，首 先对所给的矩阵以平移变换将其最大特征值改造为绝对值占优特征值，再将起始 向量取为一7 的最大特征值所对应的特征向量的同步向量，即可以应用改造后的占 优特征值，求得结果后再还原为原矩阵的最大特征值。 2 2 6 矩阵的迹来表示矩阵特征值的上下界的估计 在以下的文献中主要通过矩阵的迹来表示矩阵特征值的上下界的估计。在这 里，也给出几个较好的定理。 矩阵特征值用迹来表示是矩阵谱论的一个很大的章节，从2 0 世纪8 0 年代以 来，国内外已经有很多的成果。在用矩阵的迹来估计矩阵的特征值有以下几种主 要的方法。 从矩阵特征值的均值的标准差与矩阵迹的关系来确定特征值的简单适用的 上、下界；从矩阵的迹与秩的关系来讨论矩阵的最大特征值：由于前者没有后者 电子科技大学硕士学位论文 那么多限制条件，凼而其结果的适用范围很厂。 下面给出几个基本的定理条件。 定理1 设爿c “，1 ，2 0 五= 删b = ( a 。) ，i n ， 也是非负矩阵。 证明：由于彳为不可约，的行和和列和必不为0 ，那么 证明：由于彳为不可约，的行和和列和必不为0 ，那么 一= 删曰= ( 二，) ，l ，j en ， 经计算得 a “= 二雩：；上，f 。，七， 。 ( 一) 缸t = 等+ 器一s ， 第三章p e r r o n 根下界估计的证明 舀：哗一型堕一，_ j ， 口t ，2 前一；赫，七， 以t = 等+ c 南一糟删一蒜- 变换后的矩阵要为非负矩阵那么它的各个元素都必须非负， t ，= 哿一篙蔫砒 丸t = 等+ 岛一茜胪蒜兆 得到 所鱼垒塑。 口； 聊s 亟 生匕塑 n 降，衅学碍 a = lo 2 0 1 o t 3 l ， - r o 5 o 1 o 2 l 拈纰隶，志南一赢叩；， lo 5 6 2 50 2 1 6 7o 0 9 8 双 五= z h b ：o ，1 5 0 0 o 1 0 0 0o 2 8 5 0j 【o 1 2 5 0 o 1 6 6 7 o 0 3 ”f 由于一矩阵是非负不可约的，变换后的矩阵五也为非负不可约， 证毕。 所以行和和 电子科技大学硕士学位论文 夕u 口卅、为0o 下面讨论在什么样的条件下，变换后的矩阵的行和会在原有基础上增大。 定理2 设彳= ( 口“) o 是玎即不可约非负矩阵，h 2 ，五矩阵同定理1 ，若 赤喜州h 赤喜州h 舢， 则存在o o 则定理证明成立。 如果厂沏o ) 0 知道当o 删 0 5 2 5 ，这说明定理3 改进了文献 1 】的结果。 薹坚主! ! ! ! 竺塑圭墨堕盐堕垩塑 第四章p e r r o n 根上界估计的证明 通过选取不同的变换矩阵，可以得到相似的结果。以下通过相似交换，对 p e 啪n 根上界进行估计。 定理1 设一= ( 口“) o 是疗x 刀不可约非负矩阵，胛2 ，矩阵b 是一个相似变 换矩阵，且 b = 钕c 去，赤南+ 赢印：， m 为一正数。s ，_ j 当满足以下2 个条件时 。兰聊垫二塾堕! 丝 口女5 ，一嚷。i 。， 则存在 第四章p e r r o n 根上界估计的证明 o m s 垫! 二鱼堡塑 五( 爿) 只( 一) ， 其中五( 4 ) 和t ( 一) 是变换后矩阵第j 行和第七行的行和。 证明：由第s 行和第| 】 行的元素相加得到第j 行和第七行行和的表达式 秘，= 志喜忡蹦+ 高喜俐”一赢 设 砌，2 去喜忡叫一稀， 厂( m ) = 最( 4 ) 一毫( 爿) ， 肋，2 高+ 斋+ 赢括喜喇盱需 。、7 ( 彳) ( 4 )( 4 )( o ) 噍( 一) 智n 7 气( 彳) 我们知道 一击喜俐+ 志喜似 ，( 。) 2 轰击喜t ( 一) 一最吾喜( 一) 。 证毕。 根据著名的f r o b e l l i u s 定理以及p e r r o n 根下界估计结果产生相同性质的p e r r o n 根上界估计定理3 。 定理3 设爿= ( 口。) 0 是”以不可约非负矩阵，狞2 ，矩阵b 同定理l ，则 剐脚i n 棚胁t n 砌m m i n 耘 证明：由相似变换特征值的不变性知道 p ( a ) = 户( 二) m a x ( 一) 电子科技大学硕士学位论文 由于 所以 2 m a x o ( 一) q 。 卜1 ( 4 ) 定理证明成立。 o ( 4 ) 口“ ，f ( 4 ) m 口。 ( 4 ) 一竺坠 竺竺生! 兰堡! 生一竺生 ( 4 ) 一 ( 一)( a ) 2 一御一焘， “伊砌胁吲矿瑟， 第五章结论 第五章结论 本文主要以矩阵相似变换特征值不变为理论依据，利用著名的f r o b e m u s 定理 讨论不可约非负矩阵p e d n 根的上下界 第二章主要讨论了现有的矩阵谱半径估计方法，讨论了矩阵的相似变化而其 特征值不改变的性质，矩阵的特征值和迹的相互关系，矩阵特征值和各阶主子式 的关系，特殊矩阵和其特征值的关系以及转置矩阵特征值的不变性，还介绍了达 到矩阵特征值的几个算法的研究，以及非亏损矩阵的最大特征值的两种算法。 第三章利用改变了的行和和列和的值和著名的f r o b e n i u s 定理讨论不可约非 负矩阵p e r r o n 根的下界研究出了一个矩阵的相似变换矩阵，并利用变换矩阵得到 了矩阵p e r r o n 根的下界估计。例子也说明了得到的p e n 蚰根估计的正确性和优越 性。 第四章在f r o b e n i u s 定理的基础上，利用第三章的方法选取了一个不同的变换 矩阵，得到了优化的p e r r o n 根上界，从而对p e n d n 根上下界都进行了优化，使得 矩阵p e h d n 根估计空间缩小。 电子科技大学硕士学位论文 致谢 感谢我的导师黄廷祝教授对我的关心和帮助，正是黄老师的引导，让我慢慢 进入了研究的方向，学到了科学的研究方法。他的谆谆教导和严格要求，让我勇敢 地面对前面的困难和挫折。在生活和学习上，黄老师都提供了无微不至的关心， 严谨的工作态度让我学到很多的东西。 感谢电子科大应用数学学院的全体老师，你们辛苦了，谢谢你们六年来的关 心和帮助，让我走上了社会的舞台。 感谢我的同学们，朋友们，让我度过了愉快而又充实的大学生活。谢谢l 参考文献 参考文献 1 】卢琳璋，马飞非负矩阵p e h d n 根的上下界，计算数学，2 0 0 3 ，5 ：5 7 - 6 5 2 】殷剑宏非负矩阵最大特征值的新界值，数值计算与计算机应用，2 0 0 2 ，1 2 ：1 1 2 - 1 1 8 3 】l i n 吐锄g l u p e n 吼c o m p l 锄e n t 锄d p e h d n r o o l i 眦盯a l g e b m 如d a p p l i c a t i o i l s 2 0 0 2 ，3 4 1 ： 2 3 9 - 2 4 8 4 】a l b e r t ob o m b i aa n dj u l i om o 她o nn o 衄e g a t i v em a 埘c 船s i m i l 盯t op o s i 廿v em a 廿i c e s l i n e a r a 1 9 e b r a dn s a p p l i c a t i o i l s ，1 9 9 7 ，2 6 6 ：3 6 5 3 7 9 【5 】王其申关于正矩阵的最大特征值的包含定理及其应用，高等学校计算数学学报，2 0 0 0 ，6 【6 】j o n n ak 叫1 0m e r 蜘s k j ，a r iv i r t a n 钮n eb e s tp o 船i b l e1 0 、v e rb o u n df o rt l l ep a 埘lr 0 0 tu s i n g t r e s l i n e 盯a 1 9 e b i a 越l dn s a p p l i c 砒i o n s2 0 0 4 ，3 8 8 ：3 0 1 - 3 1 3 7 】周惊雷，李国庆矩阵特征值的包含域应用数学学报2 0 0 3 ，2 6 ( 2 ) 8 】杨忠鹏关于用矩阵的迹表示的特征值的界福建师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 2 ，1 8 ( 4 ) ：1 6 - 2 1 9 】o r 0 j oa n dr s o t o ，p e r r d nr o o tb o u n d i n gf o r l l 0 衄e g a t v ep e r s y m m e 饿