（计算数学专业论文）（21）维孤子方程的精确解与可积系统.pdf

2 0 0 8 上海大学博士学位论文 摘要 本文的主要内容包括四部分：首次得到k p 方程、三个( 2 + 1 ) 维孤子方程及 ( 2 + 1 ) 维等谱破裂a k n s 方程广义的双w r o n s k i a n 解；首次推导出( 2 + 1 ) 维非等谱 破裂a k n s 方程，并分别用h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧求解；分析解的动力学特 征；首次导出混合k d v - m k d v 方程族的递推算子并证明其强遗传对称性，给出混 合k d v m k d v 方程族的h a m i l t o n 结构并证明其l i o u v i l l e 可积性，利用两类向量l i e 代数得到混合k d v m k d v 方程族两类新的可积耦合系统；在离散可积系统下首次 提出广义迹恒等式，由一类半直接和l i c 代数得到t o d a 链和a b l o w i t z l a d i k 族一类 新的可积耦合系统，利用广义迹恒等式构造可积耦合系统的h a m i l t o n 结构，并证明 其l i o u v i l l c 可积性 第三章中，首先首次给出k p 方程较广泛的双w r o n s k i a n 条件方程组，由此得到 k p 方程广义的双w r o n s k i a n 解，进而通过解双w r o n s k i a n 条件方程组系统的得到其 孤子解、有理解、m a t v c c v 解、c o m p l e x i t o n 解及混合解，其中有理解和c o m p l c x i t o n 解中分别包含了类l u m p 解和周期解然后研究2 阶a k n s 方程和3 阶a k n s 方 程的相容解与三个( 2 + 1 ) 维孤子方程的解之间的关系，并利用w r o n s k i a n 技巧得到 它们的孤子解、有理解、m a t v c e v 解、c o m p l c x i t o n 解及混合解，特别从有理解和 c o m p l e x i t o n 解中分别得到类l u m p 解和周期解，分析单孤子的性质及二孤子的共振 第四章首次得到( 2 + 1 ) 维等谱破裂a k n s 方程广义的双w r o n s k i a n 解，其中包 括孤子解、m a t v e e v 解、c o m p l e x i t o n 解及混合解，并分析不同解之间的关系。从一 个新的谱问题出发首次推导出( 2 + 1 ) 维非等谱破裂a k n s 方程，给出其双线性导数 形式，并分别利用h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧求出其h i r o t a 形式的孤子解以 及双w r o n s k i a n 解，同时分析解的动力学性质，包括单孤子的特性及二孤子的弹性 散射将( 2 + 1 ) 维等谱、非等谱破裂a k n s 方程约化为相应的( 2 + 1 ) 维等谱、非等 谱破裂非线性s c h r 6 d i n g e r 方程并给出其h i r o t a 形式的孤子解以及双w r o n s k i a n 解 第五章首次导出混合k d v - m k d v 方程族的递推算子并证明它是强遗传对称算 子，由此给出混合k d v m k d v 方程族的h a m i l t o n 表示并证明它是l i o u v i l l c 可积的， 利用两类向量l i e 代数得到混合k d v m k d v 方程族两类新的可积耦合系统 第六章首次在离散可积系统下推广迹恒等式，使其在一般双线性形式下成立 利用一类半直接和l i c 代数构造一个新的谱问题，由此得到t o d a 链一类新的可积 耦合系统，进而利用所推广的迹恒等式得到t o d a 链的可积耦合系统的h a m i l t o n 结 i i偿十】j 维孤子方程的精确解与可积系统 构，并证明其l i o u v i l l c 可积性利用相同的方法和步骤得到a b l o w i t z - l a d i k 族一类 新的可积耦合系统及可积耦合系统的h a m i l t o n 结构 关键词：精确解；h i r o t a 方法；w r o n s k i a n 技巧；破裂孤子方程；非等谱孤子方 程；动力学特征；遗传对称算子；可积系统；可积耦合系统；h a m i l t o n 结构；l a x 可积性；l i o u v i l l c 可积性 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rp a r t s t h ef i r s to n ei st op r e s e n tt h eg e n e r a l i z e d d o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o n so ft h ek pe q u a t i o n ，t h r e e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n s a n dt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a li s o s p c c t r a lb r e a k i n ga k n se q u a t i o nf o rt h ef i r s tt i m e t h e s e c o n do n ei st od e d u c et h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln o n i s o s p e c t r a lb r e a k i n ga k n se q u a t i o n a n ds o l v ei tb yh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e w h a t sm o r e ，t h ed y n a m i c sa r e i n v e s t i g a t e da n a l y t i c a l l y t h et h i r do n ei st od e d u c et h er c c u r s i o no p e r a t o ro ft h em i x e d k d v m k d vh i e r a r c h ya n dp r o v et h a ti t i st h es t r o n gh e r e d i t a r ys y m m e t r yo p e r a t o r t h e h a m i l t o ns t r u c t u r eo ft h em i x e dk d v m k d vh i e r a r c h yi sp r e s e n t e da n dt h el i o u v i l l e i n t e g r a b i l i t yi sd e m o n s t r a t e d t w ot y p e so fn e wi n t e g r a b l ec o u p l i n g so ft h em i x e dk d v - m k d vh i e r a r c h yi sp r e s e n t e d t h ef o u r t ho n ei st og e n e r a l i z et h et r a c ei d e n t i t yi nt h e d i s c r e t es y s t e m sa n da p p l yt h eg e n e r a l i z e dt r a c ei d e n t i t yt ot h ei n t e g r a b l ec o u p l i n g so ft h e t o d ah i e r a r c h ya n da b l o w i t z l a d i kh i e r a r c h y c o n c r e t e l y , i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s tg i v et h er e l a t i v ep o s s i b l yw i d ec o n d i t i o no f t h ed o u b l ew r o n s k i a nc o n d i t i o ne q u a t i o n sf o rt h ek pe q u a t i o na n do b t a i ni t sg e n e r a l i z e d d o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o u f u r t h e r ，w ed e r i v e t h es o l i t o ns o l u t i o n s ，r a t i o n a ls o l u t i o n s ， m a t v e e vs o l u t i o n ，c o m p l c x i t o ns o l u t i o n sa n dm i x e ds o l u t i o n sb ys o l v i n gt h ed o u b l ew r o n - s k i a nc o n d i t i o ne q u a t i o n s w h a t sm o r e ，a ss p e c i a lc a s e so ft h er a t i o n a ls o l u t i o n sa n d t h ec o m p l e x i t o ns o l u t i o n s ，t h el u m p - l i k es o l u t i o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n sa r co b t a i n e d ， r e s p e c t i v e l y t h e nw ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e c o n s i s t e n ts o l u t i o n so ft h e 2 - o r d e ra n d3 - o r d e ra k n se q u a t i o n sa n dt h es o l u t i o n so ft h r e e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ls o l i t o n e q u a t i o n s f a r t h e r ，w eo b t a i nt h es o l i t o ns o l u t i o n s ，r a t i o n a ls o l u t i o n s ，m a t v c c vs o l u t i o n ， c o m p l c x i t o ns o l u t i o n sa n dm i x e ds o l u t i o n sb ym a k i n gu s eo ft h ew r o n s k i a nt e c h n i q u e t h el u m p l i k es o l u t i o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ca l s oo b t a i n e df r o mt h er a t i o n a ls o l u - t i o n sa n dt h ec o m p l c x i t o ns o l u t i o n s ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , w ca n a l y z et h ec h a r a c t e r so f t h eo n e s o l i t o ns o l u t i o n sa n dt h er c s o n a n c c so ft h et w o - s o l i t o ns o l u t i o n s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ef i r s tp r e s e n tt h eg e n e r a l i z e dd o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o n s o ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a li s o s p e c t r a lb r e a k i n ga k n se q u a t i o n s ，w h i c hi n c l u d e ss o l i t o n s o l u t i o n s ，m a t v e c vs o l u t i o n ，c o i n p l e x i t o ns o l u t i o n sa n dm i x e ds o l u t i o n s l i m i tr e l a t i o n s 1 ) e t w e e nt h e s ed i f l c r e n ts o l u t i o n sa r ed e s c , + i b e d t h e nw ed e d u c et h e ( 2 + 1 ) 一d i m c n s i o n m n o n i s o s p e c t r a lb r e a k i n ga k n se q u a t i o nf r o man e ws p e c t r a lp r 0 1 ) l e m sf o rt h ef i r s t t i n m a n dw es o l v ei tb yh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e ，r e s p e c t i v e l y t h ed y n a m i c s ， i i i i v 侣+ j j 维孤子方程的精确解与可积系统 i n c l u d i n go n c - s o l i t o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dt w o - s o l i t o n ss c a t t e r i n ga r ei n v e s t i g a t e da n a l y t i - c a l l y a st h e i rr e d u c t i o n ，w ew o r ko u tt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a li s o s p e c t r a l ( n o n i s o s p e c t r a l ) b r e a k i n gn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n sa n dp r e s e n tt h e i rn s o l i t o ns o l u t i o n si nh i r o t a f o r ma n dd o u b l ew o n s k i a ns o l u t i o n s h tt h ef i f t hc h a p t e r ，w ef i l s td e d u c et h er e c u r s i o no p e r a t o ro ft h em i x e dk d v - m k d v h i e r a r c h ya n dp r o v et h a ti ti st h es t r o n gh e r e d i t a r ys y m m e t r yo p e r a t o r f r o mi tw ep r e s e n t t h eh a m i l t o ne x p r e s s i o no ft h em i x e dk d v o m k d vh i e r a r c h ya n dp r o v ei t i si n t e g r a b l ci n l i o u v i l l es e n s e f u r t h e r ，w ec o n s t r u c tt w ok i n d so fn e wi n t e g r a b l ec o u p l i n g so fi tb y m a k i n gu s eo ft w ot y p e so fv e c t o rl i ea l g e b r a s t h es i x t hc h a p t e ri sm a i n l yf o c u s e do nt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h et r a c ei d e n t i t yi nt h e d i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o n s w ef i r s tp r o v et h a tt h et r a c ei d e n t i t y h o l d su n d e rt h eg e n e r a lb i l i n c a rf o r mi nt h ed i s c r e t ei n t e g r a b l es y s t e m s t h e nak i n d o fn e wi n t e g r a b l ec o u p l i n g so ft h et o d ah i c r a r c h yi so b t a i n e d s e m i d i r e c ts u ml i ca l g e b r a f u r t h e r ，t h eh a m i l t o ns t r u c t u r e b y o ft t a k i n gu s eo fat y p eo f h ei n t e g r a b l ec o u p l i n g s i sp r e s e n t e da n dt h el i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t yi sd e m o n s t r a t e d w i t ht h es a m em e t h o d ，w e a l s og i v et h ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o no ft h ea b l o w i t z l a d i kh i e r a r c h y k e yw o r d s ： e x a c ts o l u t i o n ；h i r o t am e t h o d ；w r o n s k i a nt e c h n i q u e ；b r e a k i n gs o l i t o n e q u a t i o n ；n o n i s o s p c c t r a ls o l i t o ne q u a t i o n ；d y n a m i c s ；h e r e d i t a r ys y m m c - t r yo p e r a t o r ；i n t e g r a b l es y s t e m ；i n t e g r a b l ec o u p l i n g s ；h a m i l t o ns t r u c t u r e ； l a xi n t e g r a b i l i t y ；l i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 签名：挫垂孽 f t 期：丝竺丕! 兰! ! 笙 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 第一章绪论 1 1 孤立子的产生与发展 随着科学技术的发展进步，越来越多客观世界的变化规律需要用非线性模型来 反映孤立子理论作为非线性科学的一个重要分支，已被广泛应用于非线性光学、 流体力学、等离子物理、凝聚态物理、生物物理等 孤子的发现最早应追溯到1 8 3 4 年的夏日，英国科学家r u s s e l l 1 】偶然发现了一 种奇妙的水波，这种水波在行进过程中波形和速度并无明显的变化后来他在“论 波动”一文中称其为孤立波，并认为这种孤立波是流体力学方程的一个稳定解限 于当时数学理论和科学条件的限制，r u s s e l l 当时未能从理论上证明并使物理学家 相信他的发现直到六十年后的1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t c w c g 和d cv r i e s 在研究 浅水波的运动时，认为这种波可以近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动 方程 象= v 罢委c 埘善盯= 筹 ， 经过g a l i e a n 和尺度变换后可写为 u t + 6 u u z + t b 。? = 0 ，( 1 1 2 ) 这就是著名的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程 2 】，简称k d v 方程 k o r t c w c g 和d cv r i e s 进 而求得了k d v 方程的行波解 u ( x ，t ) = - 一- 5 - s c c h 2 后( z k 2 t + ( o ) ) 其动力学性质与r u s s c l l 的描述完全一致，从而为r u s s c l l 的观察提供了完美的理论 解释。然而这种波是否稳定? 两个波碰撞之后是否会变形? 长期以来没有得到解 答 直到1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 3 】三人在研究非线性弹簧联结下 的质点系统时，再次发现了类似孤立波的性质，之后t o d a 继续研究该问题提出t o d a 链方程，并由此得到了孤立波解【4 】，从而进一步激发起人们对孤立波的兴趣 1 9 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 用数值模拟的方法详细分析了等离子体 中的孤立波碰撞的非线性相互作用过程，发现孤立波在相互作用后仍保持原来的形 状和速度而呈现出完全弹性散射的性质，亦即两个孤立波在相互碰撞后具有粒子般 的行为和特性因此k r u s k a l 和z a b u s k y 将这种孤立波命名为“孤立子”( s o l i t o n ) 5 k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作是孤立子理论发展史上的一个重要里程碑孤 2 偿+ 】j 维孤子方程的精确解与可积系统 立子概念的正式引入标志着建立孤子理论的开始从此以后，在世界范围内一个研 究非线性发展方程与孤立子理论的热潮蓬勃的开展起来 1 2 孤子方程的求解 在孤立子理论研究中有许多重要的研究课题，其中寻找孤子方程的精确解并讨 论解的性质不但在理论上有助于进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且 在应用上可以合理地解释相关的自然现象，因此是该领域中一直倍受关注的问题 目前已有许多成功的方法：如反散射方法 6 卜【1 0 】、对称分析方法 1 l ，1 2 】、b i c k l u n d 变换 1 3 卜【2 1 1 、d a r b o u x 变换 2 2 卜【3 1 】、p a i n l e v 6 分析法 3 2 】_ 3 4 】、h i r o t a 方法 【3 5 ，3 6 】、w r o n s k i a n 技巧 3 7 ，3 8 】、齐次平衡法【3 9 卜【4 3 】、变量分离法 4 4 卜【4 6 】、 双曲函数法等等 4 7 】一【5 5 1 h i r o t a 方法【3 5 】是h i r o t a 于1 9 7 1 年提出的一种获得孤子解简单直接的方法 其一般步骤为：首先通过引入位势钆的适当变换，将孤子方程化为双线性导数方 程，然后把扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下该展开式可以截断 至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解，二孤子解和三孤子解等具体表 达式，并由此猜测出孤子解的一般表达式对于一般表达式可利用数学归纳法验 证其成立【7 】，但过程比较复杂这种方法的优点在于，它是一种代数而非解析的方 法；而且求解仅与方程有关，不依赖于方程的谱问题或l a x 对；具有广泛的适用范 围，几乎遍及所有反散射变换可解的方程三十余年来，许多学者致力于h i r o t a 方 法的各种推广和应用如o i s h i 推得孤子与波纹的碰撞解 5 6 】；h i r o t a ，i t o 求得孤子 的共振解 5 7 】；s a t s u m a ，a b l o w i t z ，胡星标和m a t s u n o 都以h i r o t a 方法为基础，分别 以不同的技术求得k p 方程的l u m p 解【5 8 】一 6 0 】，这种解在各个方向上以代数幂次 衰减，而不是通常的指数方式衰减；h i c t a r i n t a 和h i r o t a 构造出d s 方程的d r o m i o n 解，即在所有方向都呈指数衰减的一类相干结构 6 1 】；刘青平将h i r o t a 方法应用到 超对称方程 6 2 卜( 6 4 】；陈登远、张大军、邓淑芳和张翼等又直接推广h i r o t a 方法， 构造出许多孤子方程一类新的具奇性的精确解【6 5 】一【7 3 】等等近年利用规范不变 性又将双线性推广到三线性甚至多线性【7 4 ，7 5 j 另一种有效而直接的求解方法是w r o n s k i a n 技巧该方法以h i r o t a 方法为基 础，即首先要得到孤子方程的双线性导数形式或双线性b 自i c k l u n d 变换，然后选择适 当的函数妒，构成w r o n s k i a n 形式的行列式彬( 妒1 。妒2 ，妒) ，再代入到双线性导数 方程或双线性b 苞e k l u n d 变换中利用w r o n s k i a n 行列式的性质和l a p l a c e 定理进行验 证在w r o n s k i a n 解的验证中最终都化归为p l i i c k c r 关系式或j a c o b i 恒等式等行列 式等式，其证明过程非常简洁能够进行解的直接验证，这恰是w r o n s k i a n 技巧的 2 0 0 8 上海大学博士学位论文 一 一一一! 优势所在，因此w r o n s k i a n 技巧是一种应用广泛且直接有效的孤子求解方法此后 f r e e m a n 和n i m m o 应用w r o n s k i a n 技巧获得了一系列发展方程和方程的b i i c k l u n d 变换的w r o n s k i a n 解【1 9 ，3 8 1 ，【7 6 】一【7 9 1 9 7 2 年d a r b o u x 提出双w r o n s k i a n 的概念 【8 0 1 9 8 3 年，n i m m o 证明非线性s c h r 5 d i n g c r 方程具有双w r o n s k i a n 解 1 9 】后来 发现许多方程，如2 维t o d a 方程【8 1 1 ，d a v c y - s t c w a r t s o n 方程【6 l 】，a k n s 方程族以 及经典的b o u s s i n e s q 方程 8 2 】等都具有双w r o n s k i a n 解 孤子解可以通过w r o n s k i a n 行列式来表示【3 7 ，8 3 】，这一点已通过d a r b o u x 变换 2 2 】、s a t o 理论 8 4 ，8 5 】、w r o n s k i a n 技巧【3 8 ，7 9 】等多种途径得以体现除孤子 解外，其它许多类型的解也可用w r o n s k i a n 行列式表示，例如有理解、p o s i t o n 解、 n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解等有理解的w r o n s k i a n 形式是由n i m m o 和f r e e m a n 8 6 】根据a b l o w i t z 和s a t s u m a 8 7 】提出的长波求极限的观点首先给出的 1 9 8 8 年s i r i a n u n p i b o o n ，h o w a r d 以及r o y ( s h r ) 8 8 】将w r o n s k i a n 元素满足的条件进 行推广，由标准w r o n s k i a n 过程得到k d v 方程的p o s i t o n 解、n c g a t o n 解和混合解等 许多解p o s i t o n 解是由m a t v e e v 8 9 ，9 0 1 9 9 2 年引入的，这种解是由稳态s c h r s d i n g c r 方程的特征值取正值时得到的解类似的，稳态s c h r 6 d i n g e r 方程的特征值取负值时 得到的解称为n c g a t o n 解2 0 0 2 年马文秀 9 1 】提出了k d v 方程的c o m p l c x i t o n 解，它 是稳态s c h r s d i n g c r 方程的特征值为复数时得到的解，这种解本质上是呼吸子 9 2 】或 高阶的呼吸子此外，在离散情形，张大军根据n i m m o 和f r e e m a n s 6 1 提出的方法， 得到t o d a 链的c a s o r a t i a n 形式的有理解 9 3 】；对于一些带自相容源的孤子方程及非 等谱发展方程，胡星标、陈登远、张大军等成功的得到其p f a f f 形式或w r o n s k i a n 形 式的n 孤子解 9 4 】一 1 0 6 马文秀【1 0 7 】按w r o n s k i a n 条件中系数矩阵的规范形式， 利用常数变易法，给出所有w r o n s k i a n 元素的递推计算公式，使得解的w r o n s k i a n 表示在一定程度上得以完备化最近，张大军利用线性常微分方程组解的结构理论 及t o e p l i t z 矩阵的性质给出一种构造w r o n s k i a n 解的系统的方法 1 0 8 l 一 1 1 0 ( 2 + 1 ) 维破裂孤子方程是一类具有重要物理意义的方程这类方程通常用来描 述( 2 + 1 ) 维的沿y - 轴传播的r i c m a n n 波与沿x - 轴传播的长波的相互作用 1 9 8 0 年，z a k h a r o v 导出( 2 + 1 ) 维破裂a k n s 方程 1 1 1 ，后来b o g o y o v l e n s k i i 1 1 2 】给出该方 程最简单的一种破裂孤子解，研究其h a m i l t o n 结构，并指出这类方程可用反散射方 法求解1 9 9 3 年，李翊神、张友金讨论了该方程的对称【1 1 3 同年，s t r a c h a n 1 1 4 】 构造出( 2 + 1 ) 维破裂非线性s c h r s d i n g c r 方程，并从几何的角度证明其可积性后 来，r a d h a 和l a k s h m a n a n 1 1 5 1 研究了该方程的奇异性结构，并且直接从p 一分析 给出双线性导数方程近年来，田畴等推得( 2 + 1 ) 维破裂孤子方程的d a r b o u x 变换 f 1 1 6 ；张解放、耿献国用h i r o t a 直接法分别得到( 2 + 1 ) 维破裂k d v 方程的多孤子解 4 ( 2 4 - 1 ) 维孤子方程的精确解与可积系统 1 1 7 ，1 1 8 1 ；斯仁道尔吉等得到了某些破裂孤子方程的类孤子解 1 1 9 非等谱方程是相对于等谱方程而言的，其相应的l a x 对中谱参数随时问按一定 规律演化般来说，若谱参数满足a t = a j ，当j = 0 或l 时，得到的非等谱方程在 数学上来说是甲凡的，因为此时等谱方程与非等谱方程之间存在规范变换然而， 若j 1 ，这种规范变换难以找到1 2 0 非等谱发展方程一般可描述非均匀介质中孤 立波的运动1 9 7 6 年，h h c h e n 和c s l i u 1 2 1 1 推出非等谱非线性s c h r s d i n g e r 方 程并用反散射方法求解；同年，h i r o t a 和s a t s u m a 1 2 2 】给出一个非等谱的k d v 方程 并用h i r o t a 方法求解；随后人们又相继用反散射变换法讨论更广义的非等谱非线性 s c h r s d i n g e r 方程和非等谱k d v 方程【1 2 3 】_ 【1 2 6 这些工作都说明非均匀介质中存 在孤立波，并且可从实验中得以证实【1 2 7 最近，上海大学孤子小组分别用h i r o t a 方法以及w r o n s k i a n 技巧求出一些非等谱方程的精确解 1 0 3 】- 【1 0 6 ， 1 2 8 ，1 2 9 1 3 可积系统 几乎在孤波现象被发现的同时，人们在研究经典力学中的运动方程时，构造出 j a c o b i 关于椭球面上的测地线方程，n e u m a n n 关于约束到球面上的协振子等l i o u v i l l e 意义下完全可积的力学系统然而到了1 9 世纪末，以p o i n c a r e 为代表的数学家意 识到多数h a m i l t o n 系统并不是完全可积的，特别是日地月三体问题后来又发现完 全可积系统在小扰动下也不再可积了这使得可积系统的研究进入低潮 直到2 0 世纪6 0 年代，发现许多不同背景下与孤立子有关的非线性偏微分方程 都是l i o u v i l l e 意义下完全可积的而且还发现虽然完全可积性在小扰动下被破坏， 但原问题的不变环面的一个大子集却保存下来，组成一个具有正测度的c a n t o r 子 集，这就是著名的k a m 理论1 3 0 之后进一步研究发现在w h i t n e y 可微意义下扰 动系统在上述c a n t o r 集上仍然是完全可积的因此，对可积系统的研究再度兴起 对有限维h a m i l t o n 系统，其优美的几何理论已被建立，其中经典力学中著名 的l i o u v i u e - a r n o l d 定理【1 3 1 j 给出了h a m i l t o n 系统可积的一个充分条件对于无 限维h a m i l t o n 系统，无穷多个彼此对合的首次积分的存在并不足以引出显式解因 此，对无穷维h a m i l t o n 可积系统至今还没有一个确切的定义但是对一些具有广泛 应用背景的非线性偏微分方程( 如k d v 方程) ，及场论中的一些基本模型( 如自对偶 y a n g - m i l l s 场) ，已经证明它们有无穷多个相互对合的首次积分，并已找到它们丰富 多采的特解这类方程有许多美妙的代数和几何性质，其中最根本的是它们都是一 对线性问题的可积条件即都满足l a x 方程，也称这类方程是l a x 可积的判断一个 方程是否l a x 可积是非常困难的，迄今比较成功的方法是延拓结构法，需要大量的 运算 1 9 8 3 年，d r i n f e l d 和s o k o l o v 以k a c m o o d y 代数为工具系统地构造了k d v 2 0 0 8 上海大学博士学位论文， 方程的l a x 表示1 9 8 5 年，谷超豪、胡和生基于曲面论中的基本方程提出一类方 程的可积性判别准则，是这一方向上的一项重要进展 2 3 1 9 8 9 年，曹策问提出保 谱发展方程换位表示的新框架，促进换位表示的发展f 1 3 2 1 9 8 8 年，屠规彰等提供了建立孤立子方程h a m i l t o n 结构的简单途径f 1 3 3 后 来，屠规彰又运用约束形式变分技巧给出著名的迹恒等式 1 3 4 ，1 3 5 ，运用这一迹恒 等式，可以十分有效地建立相应方程族的h a m i l t o n 结构1 1 3 6 】一【1 4 5 马文秀称这 一格式为屠格式胡星标将屠格式由l o o p 代数a ，推广到a 2 上，给出迹恒等式的 推广表示，从而扩大屠格式及其应用范围f 1 4 6 作为可积系统的进一步研究是其可 积耦合系统，可积耦合系统的概念产生于无中心v i r a s o r o 对称代数的研究f 1 4 7 后 来，张玉峰与郭福奎在文献f 1 4 8 l 一 1 5 3 1 中提出许多行之有效的构造可积耦合系统 的方法当进一步研究可积耦合系统的h a m i l t o n 结构时发现此时的k i l l i n g 型是退 化的，因此无法用迹恒等式来构造其h a m i l t o n 结构为了解决这个问题，张玉峰、 郭福奎、马文秀等在连续可积系统下提出二次型恒等式和一般双线性形式下的变分 恒等式 1 5 4 ，1 5 5 1 ；我们则在离散可积系统下提出广义迹恒等式【1 5 6 一 研究h a m i l t o n 结构的另一系统的方法足由f u c h s s t e i n e r ，f o k a s 和a n d e r s o n 等人 提出的1 5 7 ，1 5 8 该方法中，递推算子l 发挥着关键作用确切的说，这一算子具 有由谱问题导出的发展方程族的遗传强对称性质，并且可以分解为两个与h a m i l t o n 算子有关的算子针对具有遗传强对称性质的递推算子l 的等谱发展方程族，陈登 远 1 5 9 ，1 6 0 】给出该方程族具有h a m i l t o n 结构的一个条件：工具有逆辛一辛分解 我们将该方法应用到混合k d v m k d v 方程族f 1 6 1 ，张大军对f u c h s s t c i n c r ，f o k a s 和 a n d a r s o n 等人的结论进行了改进使其适用于离散系统 7 1 】 对称约束在可积系统的约化和求解中有非常重要的应用从上世纪7 0 年代开 始，已有多种研究可积系统约化的方法1 9 8 9 年，曹策问提出“非线性化l a x 对” 的约化方法 1 6 2 曾云波、李翊神将这种方法推广到高阶约束情形f 1 6 3 ，1 6 4 这种 方法实质上是把原系统的位势约束到其相空间的不变子流形上后来称用这种方法 得到的约束为对称约束其后人们发现许多经典的有限维可积系统都可通过( i + i ) 维l a x 可积系统的对称约束得到如g a r n i e r 系统f 1 6 5 ，b a r g m a n n 系统和球面上的 n c u m a n n 系统【1 6 6 】等等约束系统的l a x 表示，r 一矩阵 1 6 7 卜 1 6 9 】等也可由原系 统的可积性得到后来，曹策问，耿献国，周汝光等将非线性化l a x 对方法与相关 的约束推广应用于求孤子方程的代数几何解【1 7 0 】一 1 7 3 之后，许多学者把( i + i ) 维可积系统的对称约束思想推广到( 2 + 1 ) 维可积系 统k o n o p e l c h e n k o ，s t r a m p p ，程艺，李翊神，张友金等研究了k p 方程的对称约束 1 7 4 】1 7 6 楼森岳和胡星标给出了k p 方程的无穷多非局部的对称，构造了一些 6 口+ j ) 维孤子方程的精确解与可积系统 新的对称约束得到一些( 1 + 1 ) 维，( 2 + 1 ) 维的可积系统【1 7 7 我们从k p 系统的对 称约束与a k n s 系统的关系找到k p 方程的双w r o n s k i a n 条件方程组，并由此证明 k p 方程具有标准的双w r o n s k i a n 解【1 7 8 此外，刘青甲研究了k p 方程族约束系统 的修正系统及m i u r a 变换 1 7 9 ，m k p 方程族约束系统的m i u r a 变换并证明该系统的 第二个h a m i l t o n 结构在此变换下有简单形式f 1 8 0 程艺和张友金给出了k p 方程族 约束系统的双线性导数方程和w r o n s k i a n 解等1 7 6 ，1 8 1 如果将位势函数看成多分量或矩阵形式，那么一般情况下，可得到多分量或矩 阵形式的孤立子方程，这类方程具有重要的物理和几何意义，近年来受到越来越多 的关注1 9 8 0 年，z a k h a r o v 和w a d a t i 分别证明了s c h r 6 d i n g e r 谱问题可推广到矩阵 谱问题，a k n s 谱问题也可推广到矩阵谱问题，