（运筹学与控制论专业论文）不确定非线性系统的有限时间镇定问题.pdf

摘要 本文主要讨论了两类不同类型的非线性系统的有限时间镇定问题对于一类带有不 确定项的非完整系统，利用加幂积分器的方法设计了一个非光滑的状态反馈控制器，使得 闭环系统的平衡点在任意给定的停息时间内是全局有限时间稳定的对于一类带有动态 不确定参数的非线性系统，本文利用加幂积分器和输入状态稳定的技巧，设计了一个部分 状态反馈控制律，保证了这类不确定非线性系统的有限时间稳定性 关键词：非线性系统，非完整系统，有限时间稳定，反馈 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d i e dt h ef i n i t et i m es t a b i l i z a t i o np r o b l e m so ft w od i f f e r e n tt y p e n o n l i n e a rs y s t e m s f i r s t l y , w ec o n s i d e r e dt h ef i n i t et i m es t a b i l i z a t i o no fu n c e r t a i nn o n h o l o - n o m i cs y s t e m s b ye x t e n d i n gt h ea d d i n g - a - p o w e r - i n t e g r a t o rt e c h n i q u e ，an o n s m o o t hs t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ri se x p l i c i t l yc o n s t r u c t e dt or e n d e rt h es y s t e m sg l o b a l l yf i n i t et i m es t a - b l ew i t ha n yg i v e ns e t t l i n g 。t i m e s e c o n d l y , f o ran o n l i n e a rs y s t e mw i t hd y n a m i ca n c e r - t a i n t i e s ，ap a r t i a l - s t a t ec o n t r o ld e s i g ni sp r o p o s e di nac o n s t r u c t i v ew a y w i t ht h ea d d i n g - a - p o w e r - i n t e g r a t o ra n di n p u t t o - s t a t es t a b i l i t yt e c h n i q u e ，f i n i t e t i m es t a b i l i z a t i o no fac l a s s o fu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m si so b t a i n e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m ，n o n h o l o n o m i cs y s t e m ，f i n i t et i m es t a b i l i t y , f e e d b a c k 2 引言 在鲁棒控制理论的研究中，人们所关心的系统的稳定性主要是l y a p u n o v 稳定性而 l y a p u n o v 稳定性刻画的是一个系统的稳态性能，它并不能反映系统的暂态性能一个在 l y a p u n o v 意义下稳定的系统，可能具有很坏的暂态性能( 例如超调量过大) ，因而在工程中 造成很坏的影响，甚至根本无法应用这样，在实际工程中，人们除了对系统的l y a p u n o v 意义下的稳定性感兴趣外，更关心的常常是系统应满足一定的暂态性能要求，例如满足系 统轨线对于平衡点的一定偏离范围的要求 为了研究系统的暂态性能，p e t e rd o r a t o 于1 9 6 1 年提出了短时间稳定性( s h o r tt i m e s t a b i l i t y ) j 1 】( 即有限时间稳定性) 的概念，进而提出了有限时闭控制问题文献【2 】 3 】也 给出了关于有限时间稳定性早期的结果近几十年来，有限时间镇定问题得到了广泛研 究，如【4 卜 1 0 】这些文章都论证了有限时间稳定系统不仅收敛到原点的速度更快，而且 具有更好的鲁棒性和抗干扰性其中，【6 j 给出了一个连续自治系统的有限时间稳定判定 定理，这个定理为研究非线性系统的有限时间稳定性提供了依据b h a t 和b e r n s t e i n 运 用l y a p u n o v 有限时问稳定定理，在 4 】中得到了双积分器的连续的有限时间状态反馈控 制器不久， 9 】将l y a p u n o v 有限时间稳定定理与齐次系统理论( 见【1 1 一 1 4 】) 结合起 来，特别是结合齐次系统的鲁棒稳定定理和近似齐次的技巧，得到了双积分器的有限时间 输出反馈控制器在【15 】中，结合l y a p u n o v 控制函数和万有公式设计出了仿射系统的 连续控制器 【1 2 】将这个方法运用在了二维系统，但它很难被运用在三维或更高维的系 统在研究有限时间镇定问题的文章中，大部分方法只适用于二维或三维的控制系统，如 【4 】一 6 】，i s ，【9 】而且由于运用了近似齐次的技巧，得到的都是局部有限时间镇定的结论 关于高维的情况， 1 0 】给出了三角形系统和一类非线性系统的连续状态反馈控制律，使 得这些系统达到局部有限时间稳定 有限时间控制问题最初出现在最优控制理论和可控性方面尽管关于有限时间收敛 和镇定的一些结果已经通过不同的方式给了出来，但是它们还没有形成一个完整的理论 事实上，即使对于一些特殊形式的非线性系统，渐近镇定和可镇定性仍然引起了相当多的 讨论【2 9 】 1 本文讨论的两类非线性系统来自【1 6 】， 2 2 】对于一类带有不确定项的非完整系统， 本文利用加幂积分器的方法设计了一个非光滑的状态反馈控制器，使得闭环系统的平衡点 在任意给定的停息时间内是全局有限时间稳定的对于一类带有动态不确定参数的非线性 系统，本文利用加幂积分器和输入状态稳定的技巧，设计了一个部分状态反馈控制律，保 证了这类不确定非线性系统的有限时间稳定性 2 第一章预备知识 这一部分介绍了一些后面用到的有关概念和结论 定义1 1 ：考虑系统 圣= f ( x ，t ) ， f ( o ，t ) = 0 ， 童r n ( 1 1 ) 其中f ：砜x r 舻在砺r 上连续，而砺是原点茁= 0 的一个开邻域系统的平衡点 x = o ( 局部) 有限时间收敛，是指对任意初始时刻t o 给定的初始状态z ( t o ) = 蜘u ，存在 一个依赖于x o 的停息时间t 0 ，使得方程( 1 1 ) 以x o 为初始状态的解x ( t ) = 妒( t ；t o ，z o ) 有定义( 可能不唯0 ，并且 啡l i m 一。钏( 1 2 ) l 如果 t ( x o ) ，贝0 妒o ；t o ，z o ) = o ， 及当t 【t o ，t ( x o ) ) 时，妒( t ；t o ，x o ) w o ) 另外，此系统的平衡点z = o ( 局部) 有限 时间稳定，是指它是l y a p u n o v 稳定和在原点的一个领域ucu o 里有限时间收敛如果 u = 舻，则原点是全局有限时间稳定的平衡点 定义1 2 ：非线性系统 虫= ，( z ) + 9 ( z ) ，z 俨， u r “ ( 1 3 ) 的平衡点z = 0 通过时不变状态反馈( 局部) 有限时间稳定，是指存在一个连续反馈“= ( z ) ，使得闭环系统的原点z = 0 是( 局部) 有限时间稳定的平衡点，其中，和g 光滑并 且f ( o ) = 0 这样的反馈u = u 0 ) ，叫做有限时间镇定控制器 下面给出一个自治系统有限时间稳定的充要条件 定理1 1 6 】：考虑非线性系统 圣= ，( 名) ，f ( o ) = 0 ， z r “ ( 1 4 ) 假定存在一个定义在原点的邻域dcj p 上的c 1 光滑的函数y ( x ) ，并且存在实数c 0 和0 q 0 次的， 如果 y ( e 1 x l ，f 他z 2 ，一，e “z n ) = f o v ( x l ，x 2 ，z n ) 注释2 1 ：在某些情况下，运用齐次性的概念便于分析因为有时候，它可以将讨论限制 在一个紧集上( 例如，一个定义在彤上的单位球面上= 秽r j ：ij ( y l ，y 1 ) f i xl ，) 特别的，考虑一个关于( r l ，巧) 是盯次的齐次函数矿( z 1 ，x j ) 如果对于v y s j ， y ( 可) 0 成立，那么对于v 0 z 印，y ( z ) 0 ，y s j ，使 得魏= p 虢“= 1 ，) ，因此y ( z ) = ，v ( y ) 2 3主要结论 在这部分，我们给出一个设计方法，使得系统( 2 1 ) 在任意给定的停息时间t 内是 状态反馈镇定的我们首先讨论x o ( o ) 0 的特殊情况，然后将我们的结果推广到x o ( o ) 为任意值的情况 a 当x o ( o ) o 时 对于z o 子系统，既圣o = q o u o ，取下列控制律 “o = 一k o $ ； 0 o ：a _ 2 0 ，屈一l 0 ，i = 1 ，n ， k = ：一1 0 ，q 0 为奇数) 是 实数，满足 r l = l ，以= 堡二坐， 以 一是 0 ，i = 1 ，nr 12 1 ，以2 ；云二， 以 一七 。21 n 7 ( 2 9 ) 岛= r 2 ， ( f l i m i + 1 ) r i + l = ( 屈一1 m i 一1 + 1 ) r i 0 ，i = 1 ，n 一1 ( 2 1 0 ) m o = 1 ，在( 2 7 ) 式对于t 0 成立的条件下，系统( 2 8 ) 的有限时间状态反馈控制律为 。：一。葶耘一蒜( 甄； 。)(211)vnyl w i ) s g n ( w 1 1 u = = 一。一p 一1 一三羔( k 。)( 2 y ni = l 其中，岫。定义如下， 羔一，以啮、二卅斡踟名，n ( 2 1 2 ) 证明 1 i 0 ，i = 1 ，n 是适当的常数 定义 鐾：m j 篓! ! 竺硝。眨均 妒一1 岛“1 +一【岛一1 i 岢 岛一。 p m j l i b l + 1 。1 w a x ) 是非负定的，且当妒一1 v 1 一。( z i ，巧一1 ) 时是正定的，易见如果v ，：j - 。1 是g 1 的 则嵋是c 1 的 下面用递推法来证明： 步骤1 ：取齐次函数k ( z 1 ) = 备l + i r 2 “( z - ) = z ：。圣 = 口1 z ? ，札o z j z ( 2 1 4 ) = q 1 ( z ? 1 一v x ) u o z ：2 + q l v l u o x r l 2 对v 给定z ， 0 ，取口。：一f 。叫。9 几( 。) ， 则 q l v l u o x ；2 = - q l l ：w i ”护oi u o i 旦生皿 一7 口p 1 n f l 叫：1 m 卅o 一罢q 伽# 麓 8 ( 2 1 5 ) v l ( z 1 ) s 一2 硼m n ! l 伽i 1 护。+ g l “o 埘l ( 霹1 一机) 】+ + r 显然，。f 1 是c 1 的，因为由( 29 ) 口1 = 志= 七 递推假设；假设j 一1 步后，对于系统 我们已经有 圣1 = g l z ? 1 “o 年- = 劬一l 铲。蛳 ( 2 1 6 ) 一喜w 带+ q j - l u o u g - 1 ( 矿1 叶) ( 2 1 7 ) 其中，k 一- = 磁 j l t = 1 步骤j ( o “= 1 ，j 一1 ) 为适当常数 南一l = 口j 一1 妒。“o 巧= 劬o j ；i “o ( 2 1 8 ) 设巧( z ) = w g z ) + 码一( z ) = 圭是关于饥，巧的正定函数，是g 1 的取q 如( 2 1 2 ) 式所给形式，的取值将在后面决定 1 + t r 口1 + t + 2 我们由o ”q = 一秽1 “* 1 i t o l得到目s u o w j v j 兰一1 妒“w 1 。呼 那么，我们就有 b 口( z ) + 啦咖哟( 毋- 一町) + 劬u 。叼 ( 2 1 9 ) e + q j u o 屿( 。髯l t 。) 其中， 哼( z ) = 蔓i 磐西一z 葬。卜蓦i 妒t n 仲f 篙+ 啦警l 嘶一。( 垆一1 9 巧= 垮一7 妒协如掣夕一1 0 一1 ， 只需确定2 j 0 的值，使得髟是负定的 当w j = o ( 即垆= v s 一1 ) 时，= 0 此时， 1 一l1 + t + 7 谚= 哼= 一；妒抽如夕石右 麓0 ，结合( 2 2 0 ) 式有； k ( z ) 丢舻m l f 埘”“一1 o ，y ，使得墨= r t 弘“：1 ，力 因此够( z ) = e l + k + r 2 髟( y ) ，则当对v y 9 ，髟( ) 0 成立时，有髟( z ) 0 知岛( q + k ) = 吩+ l 叻岛 勺叻一1 岛一1 步骤1 1 ：由递推，我们有k = 量暇，且 识善警吼蠕时崛懒) 一n 圣- 1 妒t + q n - ，u o 伊 1 0 。v n 一1 ) ( 2 2 3 ) 取u 如( 2 1 1 ) 式所示，且利用第j 步的分析，我们得到f n 0 ，使得 亿讫：一1 n f 。叫尚一1 三声( 2 2 4 )亿讫= 一。n k t j 亭鬲：= 南一1 一f i 蕊 ( 2 2 4 ) 因为( 谚1 一地一i ) 2 ，易得 q 3 m t i w v o 7 q m 0 型生纽 k 1 + 2 = 互，我们将重新建立一个有限时间控制器，使得闭环系统存在一个 1 】 修正的停息时间t t s 瓦 取f = k t ，牙l = k 2 2 1 ， 互= k 石_ 石i 二_ z i = 2 ，扎且k21 我们由( 2 8 ) 式得到 鲁= k 2 2 i k 一1 = q l x 2 k u o = g l 孟o 对于i = 2 ，n 一1 ，有 又 则我们有 鲁= = = k 4 1 m l l 2 i k 一1 1 1 1m 一1 k 1 币瓦= _ 一吼z 霉l 铷 l 1 1 m l 一1 吼( k 丽_ 可一以+ 1 ) 州 o 吼牙髯l u o ( 2 2 9 ) 鲁：k 坚赫裂塑圣。k 一1 l - - m l 1t ，n 一1 = k ：1 要1 ：1 = 1 世1 1 鬯一。1 ( z s o ) 一n 一 一，一”l ”n 一 o ， = 骱丽焉i _ 乱+ 可五i _ 如扛) = 面+ 审。 ) 鲁= q 1 牙? 1 7 t o ! 等：螂h 。 跚) 鲁= q n f t + 民( 牙) m k i。 其中，牙= ( 牙l ，) t ，注意l 玩i5 呵而等f 干z sm 量阮i 仍满足( 2 , 2 ) 式，因此 ( 2 3 1 ) 式与( 2 8 ) 式形式相同，则( 2 3 1 ) 式的有限时间镇定控制律面= ( 牙) 与( 2 1 1 ) 式 的形式相同，且如，i = 1 ，礼也相同 在这儿，我们只需要使得( 2 7 ) 式在f 【o ，露】时也成立，或者说在t 1 0 ，朝时成 立其中，元( 孟) 是系统( 2 8 ) 在时间刻度f 下的停息时间，且满足 磊一掣饰( 0 ) ) 两- k ( 2 3 2 ) 下面，只需要证明存在一个适当的k 使得系统( 2 8 ) 的修正停息时间7 = 癸t ， 注意到，由于k 的连续性，对于任意确定x ( o ) 和k 1 ，可以得到k ( g o ) ) 的上界 s u pv n ( k 2 x l ( o ) ，k 击x 2 ( o ) ，坚着舞竽土z 。( o ) ) ( 2 3 3 ) x t 因此，由( 2 3 2 ) 式得露是有界函数，那么0 骢警= 0 因此，存在个适当的常数k 1 ， 使得停息时间警正 皈结论得证 b 控制列表 在上一节中给出了在x o ( o ) 0 的条件下，系统( 2 1 ) 的控制律u o 和t l 的表达式 ( 2 4 ) 和( 2 1 1 ) 式，下面我们考虑z o ( o ) 为任意值时的有限时间控制律 定理2 3 ：下面的反馈控制律使得系统( 2 1 ) 在任意给定的有限时间t 内是全局有限 时间状态反馈镇定的 ( 1 ) 当x o ( o ) = 0 时， 一心。：耋 吣，屯耋 。如( 2 4 ) 式中所给，t 。= m i n ；，l i x ( o ) h ，且 k o2 圳j z ( o ) | | ) 时，( 2 3 4 、 t t 8 ( 1 l x ( o ) 1 1 ) 时 。 0 ，使得 那么在t 0 时，有 ( z o ( t ) ，z ( t ) ) 0 p 0 ( z o ( t 。) ，x ( t 。) ) i i ， t t 。 ( 2 3 8 ) ( z o ( t ) ，茁( t ) ) l j m a 。x p l i ( z o ( o ) ，z ( o ) ) l ，p l l ( x o ( t ，) ，z ( 以) ) 0 )( 2 3 9 ) 贝4 系统( 2 1 ) 在t 0 时是l y a p u n o v 稳定的 综上所述，系统( 2 1 ) 在任意给定的有限时间内是有限时间稳定的 1 4 第三章一类带有动态不确定参数的非线性系统的 有限时间镇定问题 3 1引言 为了满足实际工程的需要，不确定非线性系统的控制分析变得越来越重要由于许 多控制工程设施中存在动态不确定因素，带有动态不确定参数的非线性控制系统已经得 到了广泛的研究，如 2 3 】- 【2 5 】与此同时，非线性系统中非光滑控制的研究也引起了人们 的注意非光滑有限时问控制的一个最主要的优点是它可以使得控制系统在有限时间内 达到控制目标，这个方法最先在最优控制领域得到研究近几年来，已经建立了一些非线 性系统的有限时间镇定控制器，如【4 】【9 】 1 0 】 本章在文【2 2 】的基础上继续讨论这类带有动态不确定参数的非线性系统的有限时间 稳定问题通过利用加幂积分器和输入状态稳定的技巧，设计出了部分状态反馈控制律， 保证了这类不确定非线性系统的有限时间稳定性 3 2问题的描述 考虑一类具有如下形式的非线性系统的有限时间状态反馈镇定问题 未= 妒( z ，f 1 ) f l = 锣1 - i - 妒1 ( f l ，名t ) 龟= 毋2 - t - 如( f l ，已，z ，t ) 岛= ”+ 如( l ，矗，z ，) ( 3 1 ) 其中，u r 为系统输入，f = ( t ，矗) t 尼为可量测状态向量，z r - o 是不可量 测状态向量，称为动态不确定参数【2 3 】，m l ，m n l 是正奇数，咖是未知的l i p s i c h i t z 连续函数，妒是关于z 分段连续且关于ll i p s i c h i t z 连续的函数，且妒( o ，0 ) = 0 1 5 因为妒关于z 可能不连续。对任意给定f 1 ，记妒( z ，f 1 ) = 咴，( 2 ) j = 妒( z ，f 1 ) = 畎。( z ) ( 3 2 ) 哦。( z ) 是一个分段连续向量场，畎，( z ) 的所有不连续点组成的集合定义为o g ，是零测度 集，足。( z ) 是包含o _ + z ( 2 不属于o g ) 时，哦。( 2 ) 的极限值的最小凸闭集合，方程( 3 2 ) 的解称为微分包含j 尽。( z ) 的解( 见【2 6 】) 如果k ( z ) 关于。是c 1 的，那么，我们定 义 2 ；器磐2 ) ( 3 - 3 ) 矩以( z ) 如果惦( z ) 是连续的，则k ( z ) 可以理解为常规情况下的定义 下面关于系统( 3 1 ) 做如下假设： ( a 1 ) 对于i = 1 ，竹，存在在原点为零的g 1 函数一- ，k 幽使得 也( - ，靠，z ，t ) l k ( i | 。0 ) + n i 2 ( l - ，矗1 1 ) 对所有( f - ，靠，z ，t ) 成立 ( a 2 ) 系统2 = 妒( 。，1 ) 有一个i s s l y a p u n o v 函数( z ) ( 见【2 7 “2 8 】) ，即存在一个正定 和适定函数满足 = 筵s 州u p o 比v 0 5 一一c o 铲+ 绯z i ) c o ，a o 是正常数，且0 o o ，伯是一个j r o o 函数，令互，膏为j 氏函数，使得 互( 1 lz i f ) v oz ) 曼亓( f lz l f ) ( a 3 ) 假设 l i r as u p 掣 + o o a - - 0 + l i 删m s u + p 错 佃 ( 3 4 ) 和( 3 5 ) 称为小增益条件( 见【2 3 ， 2 4 1 ) 1 6 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 我们的研究目标是找一个连续动态，部分状态反馈律 = “( ) ( 3 6 ) 使得系统( 3 1 ) 的平衡点z = z t , 7 1 ) r = 0 形。押是全局有限时间稳定的 令一1 k 0 是具有器一1 形式的实数，0 0 对于i = 2 ，礼成立 下面给出一些重要引理，这些引理在后面的分析中非常有用： 引理3 _ 1 定义孟。( 。) ：曼托。( 。) 币爿笔+ 墨k t ( s ) 毒帑i 那么我们有 l i m s u p 描 仡( 因n l + h k ：+ 蚪r ：。- l r 2 = 訾= 1 十舌藩+ l + 者 2 q 。 又因n 一k ， 则j l + k + 苤r 2 k - r i l + 旦k + 量r 2 - ( l - k ) = 卫l + 2 ：堕k 坦+ r 2 1 2 咖 结合( 3 t 5 ) 式得到：l i m s u p 器 0 和0 啦 0 对于所有s 0 都成立 求k 得导数：亿一厶惦可矿一舶( i f 。i ) 眦( 。) + 1 】+ 孟，( 1 1zi i ) + p ( k ( z ) ) ( z ) 由kz ) 一c 0 昭o + 7 0 ( 1 6 i ) ， 得 优一三。v - 讦矿一伽( i f l l ) l “( f 。) + 1 】+ 惫l ( i izi i ) 一p c v o ( z ) ) 昭。+ p ( v o ( z ) ) 7 0 ( 1 6 1 ) 根据h m。“、 + o 。，我们可以找到一个适当的函数和一个 1 函数p ( 见, s u p ( , ) - o p c 【2 3 ，【2 4 】) 使得 ( 1 一e ) p ( 互( i iz w o 2 孟l ( 忪i i ) p ( f 1 ) + 1 p ( ( 2 d 缈) 亩) 在这儿0 e 1 1 4 - i t + r o 因此，我们有 优一厶1 r 霄一；p ( k ( z ) ) v 铲。，这表示系统( 3 1 ) 是有限时间稳 定的，而且关于( f ，2 ) = ( 0 ，0 ) 是全局渐近稳定的 下面考虑有限时间收敛性 不难看出，在o = 0 附近有 肚li忙m。盟p(vo)vo(z)。o 2 l l ! 赢2 南 o 。 表示 k ( z ) “= d ( p ( v o ) ( z ) 劬) ， 另一方面，由k ( o ) 的定义 l i 忙r a 。躐2l | ! 糟。p ( v o ( 2 ) ) 0 。 表示k ( z ) = d ( k ) 因此，当i lzi l - 0 时，k ( z ) m = 0 ( v o ( z ) n o ) = o ( p ( k ) k ( 2 ) m ) 因而，当0 。0 充分小时，存在一个常数& ，使得”。s 丢p ( k ) k ( z ) “， 或者说 - p ( ) k ( z ) n o 一& 1 ， 取o r 2 = 咖，o l l = 1 擎，那么在( ，z ) = ( 0 ，0 ) 附近，我们有 k 一l 。i 管1 一譬i ? 2 注意，k = k + k 那么由引理3 4 得到局部有限时间收敛性则由局部有限时间收敛 性和全局渐近稳定性可以得到全局有限时间稳定性 参考文献 1 】1d o r a t o p ，s h o r tt i m es t a b i l i t yi nl i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e m s ，i np r o c e e d i n g so ft h e i r ei n t e r n a t i o n a lc o n v e n t i o nr e c o r dp a r t4 p p 8 3 8 7 1 9 6 1 【2 】w e i s s ，l ，a n di n f a n t e ，e f ，f i n i t et i m es t a b i l i t yu n d e rp e r t u r b i n gf o r c e sa n d o np r o d u c t s p a c e s ，i e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r o l ，1 2 ，p p 5 4 - 5 9 ，1 9 6 7 【3 】d a n g e l o ，h ，l i n e a rt i m e v a r y i n gs y s t e m s ：a n a l y s i sa n ds y n t h e s i s n e w t o n ：a l l y n a n d b a c o n 【4 jb h a t ，s p ，a n db e r n s t e i n ，d s ，c o n t i n u o u s f i n i t e - t i m es t a b i l i z a t i o no ft h et r a n s l a t i o n a n dr o t a t i o n a ld o u b l ei n t e g r a t o r s ，i e e et r a n s a c t i o n so na u t o m a t i cc o n t r o l ，4 3 ，p p 6 7 8 - 6 8 2 ，1 9 9 8 【5 】b h a t ，s p ，a n db e r n s t e i n ，d s ，f i n i t e - t i m es t a b i l i t yo fh o m o g e n e o u ss y s t e m s ，i np r o - c e e d i n go fa m e r i c a nc o n t r o lc o n f e r e n c e ，p p 2 5 1 3 - 2 5 1 4 ，1 9 9 7 【6 】b h a t ，s pa n db e r n s t e i n ，d s ，f i n i t e t i m es t a b i l i t yo fc o n t i n u o u sa u t o n o m o u ss y s t e m s ， s i a mj o u r n a lo nc o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，3 8 ，p p 7 5 1 7 6 6 ，2 0 0 0 【7 】r y a n ，e p ，s i n g u l a ro p t i m a lc o n t r o l sf o rs e c o n d o r d e rs a t u r a t i n gs y s t e m ，i n t e r n a t i o n a l j o u r n a lo fc o n t r o l ，3 6 ，p p 5 4 9 - 5 6 4 ，1 9 7 9 f 8 】h a i m o ，v t ，f i n i t e - t i m ec o n t r o l l e r s ，s i a mj o u r n a lo i lc o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，2 4 ， p p 7 6 0 - 7 7 0 ，1 9 8 6 【9 】h o n g ，y ，h u a n g ，j ，a n dx u ，y ，o na no u t p u tf e e d b a c kf i n i t e - t i m es t a b i l i z a t i o np r o b l e m ， i e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r o l ，4 6 ，p p 3 0 5 3 0 9 ，2 0 0 1 【1 0 h o n g ，y ，f i n i t e - t i m es t a b i l i z a t i o na n ds t a b i l i z a b i l i t yo fa c l a s so fc o n t r o l l a b l es y s t e m s ， s y s t e ma n dc o n t r o ll e t t e r s ，4 6 ，p p 2 3 1 2 3 6 ，2 0 0 2 【1 1 】c o r o n ，j m ，a n dp r a l y , l a d d i n ga ni n t e g r a t o rf o rt h es t a b i l i z a t i o np r o b l e m ，s y s t e m a n dc o n t r o ll e t t e r s ，1 7 ，p p 8 9 - 1 0 4 ，1 9 9 1 【1 2 】k a w s k i ，m ，s t a b i l i z a t i o no fn o n l i n e a rs y s t e m si nt h ep l a n e ，s y s t e ma n dc o n t r o ll e t t e r s ，1 2 ，p p 1 6 9 - 1 7 5 ，1 9 8 9 【1 3 】k a w s k i ，m ，h o m o g e n e o u ss t a b i l i z i n gf e e d b a c kl a w s ，c o n t r o lt h e o r ya n da d v a n c e d t e c h n o l o g y , 6 ，p p 4 9 7 - 5 1 6 ，1 9 9 0 ， 1 4 jr o s i e r ，l ，h o m o g e n e o u sl y a p u n o vf u n c t i o nf o rh o m o g e n e o u sc o n t i n u o u sv e c t o rf i e l d s y s t e ma n dc o n t r o ll e t t e r s ，1 9 ，p p 4 6 7 - 4 7 3 ，1 9 9 2 1 5 1p r a l y , l ，a n d r e a - n o v e l ，b ，a n dc o r o n ，j ，l y a p u n o vd e s i g no fs t a b i l i z i n gc o n t r o l l e r sf o r c a s c a d e ds y s t e m s ，i e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r o l ，3 6 ，p p ，1 1 7 7 - 1 1 8 1 ，1 9 9 1 【1 6 y i g u a n gh o n g ，j i a n k u iw a n g ，a n dz a i r o n gx i ，s t a b i l i z a t i o no fu n c e r t a i nc h a i n e df o r m s y s t e m sw i t h i nf i n i t es e t t l i n gt i m e ，i e e et r a n s a c t i o n so na u t o m a t i cc o n t r 0 1 v 0 1 5 0 n o ，9 ，p p 1 3 7 9 - 1 3 8 4 ，s e p t e m b e r2 0 0 5 1 7 1s g e ，z w a n g ，a n dt l e e ，a d a p t i v es t a b i l i z a t i o no fu n c e r t a i nn o n h o l o n o m i c s y 8 t e m sb v s t a t ea n do u t p u tf e e d b a c k ，a u t o m a t i c a ，v 0 1 3 9 ，p p 1 4 5 1 1 4 6 0 ，2 0 0 3 【1 8 】a b l o c h ，m r e y h a n o g l u ，a n dn m c c l a m r o c h ，c o n t r o la n ds t a b i l i z a t i o no fn o n h o l o n o m i c d y n a m i cs y s t e m s ，i e e et r a i l s a u t o m c o n t r o l ，v 0 1 3 7 ，n o 1 1 ，p p 1 7 4 6 - 1 7 5 7 ，n o v 1 9 9 2 f 1 9 z p j i a n g ，r o b u s te x p o n e n t i a lr e g u l a t i o no fn o n h o l o n o m i cs y s t e m sw i t hu n c e lt a i n t i e s a u t o m a t i c a ，v o l ，3