（计算数学专业论文）非线性反应扩散方程组的高阶紧有限差分方法.pdf

摘要 本文对一类两维非线性反应扩散方程组建立了一种紧有限差分方法，该方法在空间 和时间上具有四阶精度。用上下解方法讨论了解的存在唯一性，存在唯一性结果不需要 非线性项的任何单调性。为了有效地解离散方程组，我们设计了三种单调迭代格式，证 明了迭代序列单调收敛于方程组的唯一解，且给出了不同单调序列的比较结果。证明了 方法的收敛性，采用了r i c h a r d s o n 外推技巧使得时间方向上的精度提高到四阶。对一个 酶反应扩散问题给出了具体的应用，数值结果显示了方法的高效性及其优点。 关键词：非线性反应扩散方程组，紧有限差分格式，高精度，单调迭代算法。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hac o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rs o l v i n gs y s - t e 培o ft w o _ d i m e i l s i o n a ln o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s t h i sm e t h o dh a st h e a c c u r a c yo ff o u r t ho r d e ri nb o t hs p a c ea n dt i m e t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e 曲i t ed i m 姐e n c es o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e db yt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ， w i t h o u ta n ym o n o t o n er e q u i r e m e n to nt h en o n l i n e a rt e r m t h r e em o n o t o n ei t e r a t i o np r o - c e s s e sa u r ep r o v i d e df o rs o l v i n gt h er e s u l t i n gd i s c r e t es y s t e m se f f i c i e n t l y ，a n dt h es e q u e n c e s o fi t e r a t i o u sc o n v e r g em o n o t o n i c a l l yt oau n i q u es o l u t i o no ft h es y s t e m at h e o r e t i c a l c o m p a r i s o nr e s u l tf o rt h ev a r i o u sm o n o t o n es e q u e n c e s i sg i v e n t h ec o n v e r g e n c eo ft h e p r o p o e dm e t h o di sp r o v e d ，a n dr i c h a r de x t r a p o l a t i o na r eu s e dt oa c h i e v ef o u r t ho r d e r a c c u r a c yi nt i m e a na p p l i c a t i o ni sg i v e n t oa ne n z y m e - s u b s t r a t er e a c t i o n - d i r u s i o np r o b l e m a n d8 0 m en u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h eh i ：g he f f i c i e n c ya n d a d v a n t a g e so ft h i sn e wa p p r o a c h k e y w o r d s ：s y s t e m so fn o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，h i g h - o r d e ra c c u r a c y , m o n o t o n ei t e r a t i o n s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其 他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：么这i 奁 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定 学位论文作者签名：张嵌波导师签名：工心h 5 j 日期：川孑。 第一章引言 应用科学领域中的许多问题都可用非线性反应扩散方程组来描述，对这样的方程组 已有许多定性分析( 见【1 7 】) ，也有许多数值方法方面的工作( 见【7 ，1 2 ，1 5 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ， 2 1 ，2 4 ，2 5 ，2 7 ，2 8 1 ) 。本文我们主要利用高阶紧有限差分方法对一类非线性反应扩散方程 组给出一些数值处理，包括离散格式的定性分析和几种计算有限差分解的基本单调迭代 格式。本文考虑如下形式的反应扩散方程组 巨差 ( z ，y ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，t 0 ， y 【o ，1 】，t 0 ， z 【0 ，1 】，t 0 ， ( z ，y ) 【0 ，1 】x 【0 ，1 】，l = 1 ，2 ， ( 1 1 ) 这里，u = ( 札( ，札( ) ) ，对于每一个z = l ，2 ，d y 和d 为正常数。同时假 定对于每一个z = 1 ，2 ，函数) ，夕：l ，9 5 l ， ：， g 和咖( 。) 在其各自定义域内连 续，( 1 ) ( ，1 1 ) 关于分量u 是非线性的。 对方程组( 1 1 ) 有许多差分近似。在通常的有限差分方法中，时间导数让：l j 用 e u l e r 向后差分法近似，对空间方向上的二阶导数项u ：；1 2 和础，用二阶中心差商近 似( 见8 ，1 5 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】) 。用这样的方法，离散方程组保持了连续方程组的一些定性 性质( 见1 9 ，2 0 1 ) 。然而，这种差分格式，在时间方向和空间方向上分别只有一阶精度和 二阶精度( 见【1 3 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 2 】) 。也就是说，我们必须使步长尽量小才能达到要 求的精度，因此需要更大的计算工作量。众所周知，用c r a n k n i c o l s o n 格式离散时间导 数，既可以达n - 阶精度，又不要对初始值进行额外的处理( 见【6 ，1 4 ，2 2 】) 。对空间方向 上精度的改进，传统的方法就是利用更多的点来近似空n - 阶导数( 见【6 】) 。然而这种方 法不仅增加了计算复杂性，而且由于在边界附近需要引进虚拟点，从而给边界条件的处 理带来了困难( 见 6 】) 。另外一个改进空间方向上精度的方法就是所谓的紧方法。这种方 法在保持二阶方法五点格式的前提下达到了四阶精度，而且不需要在边界引进虚拟点( 见3 ，4 ，6 ，1 3 】) 。因此，为了在合理的计算量下获得满意的数值结果，一个合理的方法就 是发展高阶紧有限差分方法。这种方法不仅提供了精确的数值结果，节省计算工作量， 而且易于处理边界条件。 k q 引一 鲥 ，h 仉 q 味一 协协咿 一硝 第一章引言 2 最近，廖文远等人( 【1 2 1 ) 对( 1 1 ) 提出了一种紧有限差分方法。这种方法用c r a n k - n i c o l s o n 格式离散时间导数u ，用四阶p a 拍近似离散空间方向导数让豁和础。和 标准的二阶方法一样( 例如c r a n k - n i c o l s o n 格式) ，这种方法是一个五点差分格式，因 而具有紧性质，而且截断误差阶为d ( r 2 + 磋+ 砩) ，这里，7 为时间步长，h z 和h 分别为空间z 方向和! ，方向上的步长。因此这种方法在时间方向和空间方向上分别 具有二阶精度和四阶精度。为了消除截断误差的低阶项，正如在1 2 1 中讨论的那样， 可以用r i c h a r d s o n 外推算法。这样，数值解在时间方向和空间方向上都具有四阶精 度( 见f 1 2 1 ) 。然而，据我们所知，对这种方法还没有任何理论分析。另一方面，因为函数 ) ( ，u ) 关于分量u 是非线性的，所以离散后的方程组为非线性代数方程组。对这样的 方程组，一个最重要的问题就是如何发展精确有效的迭代格式来计算其数值解。一个行 之有效的方法就是单调迭代和上下解法，这种方法已被用于各种非线性问题的数值求 解( 见【1 ，9 ，1 0 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 4 ，2 6 】) 。 本文对1 2 】中提出的紧方法给出了更进一步的理论分析。首先，我们对该紧有限差 分方法进行定性分析，包括有限差分解的存在性和唯一性，数值解对相应连续解的收敛 性。其次，我们以上下解为初始迭代，给出三种计算有限差分解的单调迭代格式，并对 这三种迭代格式产生的迭代序列在理论上进行收敛速度的比较。序列的单调收敛性给出 了数值解改进的上下界，因而从计算的角度说，单调收敛性优于通常的收敛性。另外， 上下解的定义及单调迭代格式不需要函数，( 1 ) ( ，u ) 的单调性，因此有很大的适应范围。 本文的结构如下：下一章，我们利用文 1 2 】中的紧有限差分方法将问题( 1 1 ) 离散 为非线性代数方程组。第三章，我们给出一些有用的引理。第四章，我们利用上下解方 法，证明有限差分解的存在性和唯一性。第五章，我们给出三种以上下解为初始迭代值 的单调收敛格式，证明迭代序列的单调收敛性，并在理论上比较三种迭代序列的收敛速 度。在第六章和第七章中，我们证明紧有限差分方法的收敛性，证明有限差分解在时间 方向上和空间方向上分别具有二阶精度和四阶精度。利用r i c h a r d s o n 外推算法，我们可 以证明在时间方向上也可以达到四阶精度。第八章，我们对一个酶反应扩散问题给出一 些应用，利用一些具体的数值结果来证实迭代格式的单调收敛性以及数值解的高精度。 第二章紧有限差分方法的建立 令q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，我们将其在z 方向和y 方向进行等距分割，并设步长分 别为h 王和h l ，令整数尥，m y 分别为尥= 1 h z ，坞= 1 h 可，离散点记做( z ，协) = ( 犰z ，j h 掣) ( 0 i 尥，0 j i 坞) 。为t t y 便起见，我们也用数对( i ，j ) 来表示离散点 ( x i ，珊) 。令1 三t n t n - 1 为时间方向上的步长。对于每一个f = 1 ，2 ，n ，我们定义 u 叱c t 囊) n = 乱( d ( 忍，协，t n ) ，u 4 n = ( 钍坦n ，钍g 乙) ，艘n ( 珥j ，n ) = ( 以，协，t n ，啦j n ) ， 9 恐，n = 9 7 ( 协，t n ) ，粥，n = 夕5 l ( 协，t n ) ， 班，n = h i ( 祝，t n ) ，唧h ( o ，毛n = g ( 戤，t n ) ， 粥= ( y j ) ( 2 1 ) t i 碱q 将用【1 2 1 中提到的紧有限差分法将方程组( 1 1 ) 离散。我们先用c r a n k - n i c o l s o n 格式将时间导数项离散( 见【2 2 】) ： 粒卅。瑙卜譬( ( u 丝b + l + ( u 墨k ，n ) 一譬( ( u y ，j 、y 、i i , j , n + l - f ( 缸n ) = 丢。+ l ( n + 1 ) + 般n ( 一) + o ( 下2 ) ，( 幻) q ，n o ( 2 2 ) 为了近似心霉z 和u 坩，我们令 鹾t 正i j = 危；2 ( t 正件1 j 一2 u t , j + 地一l j ) ，霹j = i 2 ( 蛳j + 1 2 u i d + u i , j 一1 ) 引入有限差分算子 由n u m e r o v 公式( 见【2 】) ， 或者形式上写为 否2 u i j = ( 1 + 鲁磋) a 毯可 ( 2 3 ) 醒u t j = 砣( 也) i j + d ( 醒) ， q = z ，y ( 2 4 ) 露2 醒u i j = ( u q 口) t j + d ( ：) ， q = z ，可 ( 2 5 ) 荨昙耋2 兰( 琵) _ 表示琵的逆算子。用以上的四阶近似代替( 2 2 ) 中的二阶导数项，可 以得到 、一”一”一 ( 卜竽张一竽张冲州：( 1 + 竿硼+ 掣张n ， + 三( 艘州( u 二州) + i f ) 一) + 0 ( 7 3o ) ，哗坩 在乎里，o ( h 4 ) 表示d ( 圮+ ；) 。上式两端同时乘以差分算子髦矗，我们可以得到 一掣联一譬鼋司娠旷 鹫+ 竿霹鹾+ 譬霹鳄、 + 二2 铲- 。铲- u ( 艘仃+ z ( q 肼t ) + 趱n ( 啦囊n ) ) + d ( f 3 + 7 4 ) ，一 舍弃o ( 7 - 3 + 7 4 ) 项，我们得到以下有限差分格式： td(i)td、(t)，t=降竿静-趔-v-t-鹾咖吒删 + 弘2 。- f 2 ( 织n + - ( u h , j 卅。) + 磁靠( 吨n ) ) ，j = 1 ，2 ，力， p 7 芋里咚? 2 ( 乱垮羔 冀芝羔) ，其中甥，h n 表示 ( 1 ) 在点慨，协，) 的近似值。定义 2 7 蛭，勺= 7 - 弼，引进算子 4。 c f ) ：- 2 - 2 一譬粥一等r n ( o 弼， 通过简单计算可得 叩- 2 - 矿2 + 竿霹鹾+ 亍t d ( t ) 霹霹， c ，( t ) u ? h l ，_ ( 1 - ，、2 a d _ 2 6 d + 4 ) 吃+ ( 。( 1 ) 2 c ) ( 、边i t + t u - 世i t - - l l j l 。去甲一，2 d d ) ( 静+ 哆_ i ) + c ( f ( 峻。+ 缸。+ u ，+ u ，) ， 硝吃，= o - ，2 a d 一2 + 铆) 让订h + ( q ( f ) 一2 7 ) ( 峻1 j + i 1 ，) “ ，+ 。2 ，y o ：( 略z + 吃一) + 7 ( 1 ) ( “。 l - u hl d + 1 + 让i 缸。) ， 札乞27 ( 5 0 吃+ 5 ( 乱红，j + 让生。j + 让。+ 吃一。) ) 1 4 4 。 ”一。 + 丁( h + 1 j + 1 + t 正是1 j 十l + 牡生1 ，j 一1 + 乱锋1 ，一1 ) 2 s s ， 一d ， + d ) 一删) ，c ( 岵刍( 丢 + 飞硝) “峡甄1 ( 丢 三僻 ( 2 9 ) 一。i n 一勺硝) ， + 。! 。+ 勺砂) ( 2 1 0 ) 1 6 1 6 ，l 1 2 1 2 = j i ) i ：詈 l 一6 1 6 一 1 2 1 2 = = m 0 口 第二章紧有限差分方法的建立5 因此，式子( 2 8 ) 可以写成如下形式： fc u u 试( o 1 = 硝c o h ，+ 7 - t i l ( 瑶n + 1 ( u 锄hn + 1 ) + 堤n ( 吨，n ) ) ，( i ，j ) q ，n o ， ju 纪k ，= 夕扎u 卅。= 端，州，歹= o ，1 ，坞，n o ， lu 5 2 乞+ 。= 九撄，n + 。，u ! 讫，n + 。= 危爨，n + 。，i = o ，1 ，尬，礼o ， 【乱5 2 ，：= 旌2 ，( i ，j ) qua q ，f = 1 ，2 ，n ( 2 1 1 ) 为了便于分析，我们考虑以上格式的矩阵形式。我们将离散点按照从z 方向从左至 右，剪方向从下到上的字典顺序排列，相应于该顺序，定义向量： 嘴，n 叫u l q 加) h + 1 ，u 纪k ”u 罂l 舢+ 1 ) t ，u n = 。t r ( 1 ) u h 2 ) n u h n ) n ，t ， 碟( u n ) = ( 艘n ( u b ，n ) ，以n ( 吃n ) ，理- l d , n ( u 勉枷，n ) ) t ， 蟛= ( 咒，端，勉山) t ，j = 1 2 坞一1 ( 2 1 2 ) 定义一1 阶对称三对角矩阵： a f = t r i d i a g ( a ( 。) 一2 c ( n ，1 2 a ( ) 一2 b ( 2 ) + 4 c ( n ，o ( ) 一2 c ( ) ) ， 答三t t r r i 试d i i a g a g ( c ( ：二2 n 2 c ( ：) i 茗l 器。二t r 4 i - d i n a g 一( 7 。( 2 葛j 二知，c 2 m ， a ( 1 =n ，6 ( 2 ) 一1 ) ，c ( d ) ，b i l = 1 ) ，p ( ) 一2 7 ( n ，7 ( 1 ) ， 、_ 7 q o = t r i d i a g ( 5 1 4 4 ，2 5 7 2 ，5 1 4 4 ) ， q 1 = t r i d i a g ( 1 2 8 8 ，5 1 4 4 ，1 2 8 8 ) 则方程组( 2 1 1 ) 的矩阵形式可以写为： fa p 嘴- 1 n + 1 + 掣噶卅l + a 乳u 聃a q ) 1 卅1 = b 阢u 峥h q ) l ，n + 磁u a o ，n + b f ) 嘴+ l n l+ 丁( q - 掣l ，n + 。( u h j - l , n + 1 ) + q o 巧2 + 。( u h j ，n + - ) + q 。礤。，州。( u _ i ，j + ，n + 。) ) i+ 7 ( q l 掣1 ，n ( u i j 一1 ，n ) + q o c 黢( u j i 囊n ) + q l a “ j + n 。，n ( u 幻+ 1 ，n ) ) + g 羔乙， l 。u | i l h ( t j ) o = 蟛， j = 1 ，2 ，坞一1 ，f = l ，2 ， ( 2 1 4 ) 其中，对于每一个f ，n ，j i ，u ( t ) 0 ，n = 鹾k ，n = 硝： i ( u 枷，n ) = 磁，n ( u ，n ) = 0 ，g _ ；：乙 第二章紧有限差分方法的建立 6 为了将( 2 1 4 ) 写成更紧的形式，我们设m = ( 尥一1 ) ( 坞一1 ) ，然后定义向量： 鹾乙= ( 曜l ，n ，蠼0 ，残吐n ) t ，u h ，n = 、飞r r ( 1 n ) ，曜：一u h o v ) 、t ， 碟( u 咖) = ( 础：( u ，n ) ，磋：( u 啦，n ) ，磁1 n ( u h ， n ) ) t ， ( 2 1 5 ) g ) _ ( g ，g ，。g ( 0 _ 1 n ) t ， 圣d = ( 圣；，虫g ，圣一1 ) t 同样定义朋阶块矩阵a ( n ，b ( n ，q ： a ( 2 ) = t r i d i a g ( a i 0 ，硝，a ? ) ，b ( 。) = t r i d i a g ( b i n ，b 5 f ，b ) ，q = t r i d i a g ( q 1 ，q o ，q 1 ) ( 2 1 6 ) 则( 2 1 4 ) 可以写为 j 鹾o - 2 创蝼) n + r q 礤( u h , n + 1 ) + f n i ( u 咖) + 雠( 2 1 7 ) i - 鹾) 0 = 圣( 1 ) ， l = 1 ，2 ，礼= 0 ，1 ，2 、 第三章一些引理 本章我们对( 2 1 7 ) 中所提到的矩阵a ( n ，b ( n ，q 给出一些基本结论，这些结论在以 后的证明中将起到重要作用。对于一个矩阵s ，它的所有元素都是正的( 或者非负的) ， 我们就称矩阵s 为正矩阵( 或非负矩阵) ，记做s 0 ( 或s 0 ) 。同样，我们可以类似地 定义正向量( 或非负向量) 。 引理3 1 令m 为非负常数，如果 r m 1 2 m i n r 。卜亏1 咿扎石1 ，勺d 5 ；f ) 一百1 。卜批 ( 3 1 ) 则逆矩阵( a ( ) + r m q ) 一1 存在，且为正矩阵 i i e r g ：由( 2 1 6 ) 和( 2 1 3 ) a ( + 丁m q = t r i d i a g ( a i 0 + r m q l ，硝+ r m q o ，a ? + r m q l ) ， a ? + r m q l = t r i d i a g ( c ( + r m 2 8 8 ，6 ( ) 一2 c ( + 5 r m 1 4 4 ，c ( + v m 2 8 8 ) ， 硝+ r m q o = t r i d i a g ( a ( 1 ) 一2 c ( + 5 t m 1 4 4 ， 1 2 a ( ) 一2 b ( + 4 c ( 。) + 2 5 r m 7 2 ，o ( ) 一2 c ( + 5 t m 1 4 4 ) 条件( 3 1 ) 确保了 1 2 a ( 。) 一2 b ( 。+ 4 c ( 。) + 2 5 t m 7 2 0 ，o ( ) 一2 c ( 1 ) + 5 r m 1 4 4 0 ， c ( 1 ) + t m 2 8 8 0 ，6 ( ) 一2 c ( ) + 5 r m 1 4 4 硝勺 一 l d z r 足 5 l 满 0 可得到程；一蠼l 0 ，即对于每一个l = 1 2 ，鹾j 吲：。 通过类似的证明还可以得到对于每一个l = 1 ，2 ，鹾j2 鹾；。这就证明了 u h ，l ( o h ，1 ，寸 ，1 ) 。由b r o w e r 不动点定理，存在u ：，l ( o _ i | ，1 ，o 1 ) 使得五u ，1 = u ：，l ， 或者： p 嘴掣啪川p ( u i ，) + 砒u ：0 ) + g 5 f ) ，( 4 8 ) i 吒苫= 垂( n ，l = 1 2 、。 利用u l 。= ( p ，) t 我们定义新的映射正：( o ，2 ，d ，2 ) 一r q 正，2 三( 曩1 删，曩m 皑) t = 、。! - 7 - k ( 1 2 ) ，玩) ) rv v h ，2 ( d ，2 ，o k z ) ， 其中u k 2 = 。t t k l 2 ) ，唾) ) r 为如下线性问题的唯一解： ( a ( 1 ) + 丁叫d q ) 曜) 2 = b ( d p + r qi d ( v ) + 趔d 皑：+ f f n ( u i ，。) l + g i l ) ( 4 9 ) 与五的讨论类似，我们可以得到存在u ：，2 ( o l ，2 ，o ，2 ) 使得互u ：2 = u t , ，2 ，或者： a ( d = b ( d ( f ) + 丁ql 砖d ( u ：，2 ) + f f d ( u i ，1 ) i + g ( 1 ( 4 1 0 ) 继续上述过程可以得到存在u ：n ( o _ h ，n ，o ，n ) ，使得 p ( 0 m z r * 州( 0 = b ( 0 u * h ( 0 丁q 隅( u h + - ) + 硝慨n ) 卜g 乳 ( 4 1 1 ) 【g = 圣( f ) ， f _ 1 ，2 ，n = 0 ，1 ，2 、。 这就证明存在u ：。( o h ，n ，o l i i ，n ) 是方程组( 2 1 r ) 的解。 口 由定理4 1 可知，由方程组的一对上下解至少可以确定( 2 1 7 ) 的一个解，并且上下 解给出了解的上下界。为了保证解的唯一性，我们假设 7 - 磺 0 ，b ( n ，q 非负以及l i p s c h i t z 条件( 4 5 ) 可得，对于每一个l = 1 ，2 ， w h ( 0 n + 。i ( a ) 一1 b 1w ) 5 ：乙i + 丁( a ) 一1 q 域。1 w 咖+ i 。+ 磺) 1 w 咖i 。 ， 将以上不等式对2 求和可得 ， i w h , n + l lo ( a ( 。) 。1 b ( ) l 叫+ 丁( a ) 。1 ql 碑。i w h , + l io + 珊) 1 w 咖1 0 - ( 4 1 4 ) 考虑n = 0 的情况。由于对于每一个z 都有叫：= 0 ，上面不等式在仃= 0 时变为 wior侯卿广、)qlwh，1101=1 w l rl 耐d ( 。)， i 由引理3 3 ，l l ( a ( ) ) _ 1 l i 1 ，再由i i q i i 1 可得 w h 川o u 一睡砷、) i i i w h 川i 怯 1 1 0 i i 丁l 砷) 川怯 f = l 由以上式子以及( 4 1 2 ) 可得1 w _ f i ，1 1 0 = 0 。 对于( 4 1 4 ) 中n = 1 的情形，利用1 w ，1 1o = 0 ，我们可以得到 n、 。 i i i w h ，2 1 0 i i 丁( 趔d w 岫 1 = 1 再次利用条件( 4 1 2 ) 可得1 w _ l l ，2 l0 = 0 。依此类推即得，对于每一个n ，1 w ，l ，n io = 0 。这 就证明了u _ l ，n = u ；i n ，因此方程组有唯一解。 口 第四章紧有限差分格式的定性分析 1 4 当= 1 时，反应扩散方程组( 1 1 ) 退化为一个方程，即 牡t d 1 霉一d 2 u 删= ，( z ，y ，t ，u ) ， ( z ，y ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，t 0 ， 0 ，y ，t ) = g l ( y ，t ) ，u ( 1 ，y ，t ) = 9 2 ( y ，亡) ，y 【0 ，1 】，t 0 ， z ，0 ，t ) = h l ( x ，) ，( z ，1 ，t ) = h 2 ( x ，t ) ，z 【0 ，1 1 ，t 0 ， z ，y ，0 ) = ( z ，! ，) ， ( z ，y ) 【0 ，1 】【0 ，1 】，1 = 1 ，2 ， ( 4 1 5 ) 相应的，方程组( 2 1 7 ) 变为 j a 巩，n + l2b 巩，n + 7 q r + l ( 玩，n + 1 ) + r ( ，n ) 】+ g n ， ( 4 1 6 ) 【巩，o2 西， n = 0 ，l 2 、。 这里，矩阵a ，b ，q ，向量巩r ( 巩，n ) ，g n ，圣分别由( 2 1 6 ) 和( 2 1 5 ) 定义，区别在于 没有上标。相应的我们也可以如下定义方程( 4 1 6 ) 的上下解。 定义4 2 对于每一个n = 0 ，1 ，2 ，若r m 中的向量瓯，n ，以，n 满足玩，n 瓯，n 和 a 魄，n 4 - 1 b u h ，n + 7 q a 巩，n 4 - 1 b u h n + 7 - q u h ，o 圣u h ，o 则称瓯瓯，n 为方程( 4 1 6 ) 的一对上下解。 同样条件( 研) 可以写成 ( q ) ：对于每一个礼= 0 ，1 ，2 ，存在正常数使得 l r ( ，竹) 一r ( 坛，n ) i i 巩，n y h ，n 10 ，vu h ，n ，n ( u h ，n ，u h ，n ) 其中瓯巩。n 为方程( 4 1 6 ) 的一对上下解，且 ( 瓯，n ，玩，n ) = 【v r m ：瓯，n v 以，n ) 作为定理4 1 和定理4 2 的推论，我们有如下结论： ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 推论4 1 设巩，n ，瓯，n 为方程组“_ f 矽的一对上下解，令假设( 叫) 成立若对于每 一个n = 0 ，1 ，2 ，条件似矽成立儆有上标，) ，则方程似 f 砂至少有一个解n ( 瓯，n ，魄，n ) 若进一步，条件p 剀和条件“f 剀成立陋有上标，则方程组似f 砂有唯 一的解n ( 以，n ，矾，n ) n n g g + + 1j 1j 0 0 魄魄 ，ii、，f r r + + d d 叶 叶。巩玩 ，f，i “ r r 第五章单调迭代格式 定理4 2 表明，若d k n ，o i ，n 为方程组( 2 1 7 ) 的一对上下解，则方程组有唯一解 u z ，n = ( “，甓，“，0 ) t ( o ，n ，d _ i l ，n ) 。为了计算u 乏，n ，下面我们将以o ，l ，竹，o _ f l ，n 为一对初始迭代值，给出三种单调迭代格式，并证明迭代序列不仅单调收敛于唯一解 u ：而且每一步迭代都给出了解的改进的上下界。 第一种单调格式为p i c a r d 单调迭代格式： ( a ( 1 ) + 7 a 啦! q ) ( 可+ 1 ) + 1 ) 趔嘲k l ( 域，n 黜v ) ) 删慨。) 删) ， ( a ( ) + 一l v l ，n n _ 1 _ 1 q ) ( 卫罂n + 1 ) + 1 ) ( 5 1 ) 圳嘲k j ( 嘏。小麟v ) ) + 耿叫 删) ， ( 移) ( m - 4 - 1 ) = ( 型2 0 ) ( m + 1 ) = 西( n ， z = 1 ，2 ，亿= o ，1 ，2 ， 这里，鲅。= o h , n + l 域0 。= o 咖巾且 s 磐；= 【v r q ：墅删+ l v 矗h m , n + 1 ( 5 2 ) 在上面的迭代格式中，求向量的最大最小值是在分量意义上的求值。下面的引理将证 明由( 5 1 ) 定义的迭代序列是良定的，且对于每一个m ，礼，序列 旦躁) ，【u 躁都满足 可躁蜊。 引理5 1 设0 7 i o ，l ，n 为方程组偿1 7 ) 的一对上下解，令假设( 日1 ) 成立。若对于每 一个f = 1 ，2 ，和佗= 0 ，1 ，2 条件心砂成立，则由p 砂和p 砂定义的序列 【堕鼎) ，j _ 存v h ”, n j 、以及集合s ( m 1 是良定的，且对于每一个m ，n = 1 ，2 都有 o i ，n 羔西= 1 王攻之司镙司鬈= 1 o ，n ，m ，矗= 1 ，2 ， ( 5 3 ) 证明：对于任何固定的n = o ，1 ，2 ，令( 5 1 ) 中的m = 0 ，因为。0 0 l = u h , n + l , 鲅_ + 1 = o l i l ，竹+ 1 以及d 九n + 1 o ，l ，n + l ，所以集合螋1 是良定的，因此当m = 0 时，( 5 1 ) 的等号 第五章 单调迭代格式 1 6 右边是已知的。由引理3 1 ，逆矩阵( a m + r 一1 。( 0 + 1 q ) 一1 存在且为正矩阵。因此第一次迭 代值u h i ，0 。和娥0 。存在。且 ( a ( 1 ) + 丁m 州n ( 0q ) ( 礴+ 。) ( 1 ) 一( 酸n + 。) ) 0 因为( a ( f ) + 下础。q ) 一l 0 ，则对于每一个f ，都有( 谚奠+ 1 ) ( ( 必：i ? ，l + 。) ( 1 ) 成立，即证 明了醒0 l 鲅乙+ 1 。由假设( 研) ，对于任何v o h , n + lv h , n + 1 ) ，函数1 1 n ( t + l y ( 。) + 艘1 ( v ) 关于y ( ) 是非减的，则不等式( 4 2 ) 等价于 ( a ( ) + 7 - 朋僻1 w q ，、。f r k ( o 竹+ 1 b ( 。娥乙 k 。( 碑。y + 麟v ) ) 棚( 嗽】l 叫删) ， ( a ( 1 ) + r a 织1 w q 、，。f r k ( o n + l b ( ) 皑乙 ( 5 4 ) v 受。( 蛾。叭黜v ) ) + 黜啦】f ，叫删) ， 蠼) 0 垂( 2 痧h , 0 f = 1 ，2 ， 则当m = 0 时，对于每一个z = 1 ，2 ，由( 5 4 ) ，( 5 1 ) 和( 4 5 ) ， ( a ( 1 ) + 下埠。q ) ( 程。一( 观+ 。) ) ( b ( 1 ) 一丁榔) q ) ( 嗽一皈，：) ) 不等式左边( a ( 1 ) + 7 m 磐1 q ) 一1 0 ，蠼乙+ l 一( - - u ( 0 n + 1 ) ( 1 0 ，而右边o ( t 乙一“，5 ：0 ， 由引理( 3 2 ) - 7 得( b ( ) 一7 - 刎q ) 0 ，则有联j n + 1 o ，n + 1 。利用下解不等式可以得 到相似的结论o _ l ，n + l 鲅0 l 。这就证明了当m = 1 时( 5 3 ) 成立。最后只要利用归纳 法即可证明引理。 由单调性质( 5 3 ) ，极限 存在且有关系 l i e 铡= 玩，n ， m - - 0 0 l a m 蜊= 蜴，n m _ ，“一 口 ( 5 5 ) o l i i ，n 堕踮1 堕黑蜴，n _ ，n 可黑可啬1 d ，i ，n ，m ，n = 1 ，2 ， ( 5 6 ) 第五章单调迭代格式 1 7 在( 5 1 ) 中m _ o o ，利用证明【2 8 】中附录的引理a 的方法，我们知道极限 ，竹，弘n 满 足 卜觅圹瓯馏k 。( 麟礴扎帆川螂( u h ) 删) ， p 鳃+ 1 _ 恢口川m a x 八p ( 0 。( 鳃m _ 1 ) ) + 黜u ) 删) ， i - 砾= 酸。= 妒) ，l 一1 ，2 ，n = o 1 ，2 ， ( 5 7 ) 其中 & + l = v r q ：甄。n + 1 v u h ，n + 1 ) ( 5 8 ) 下面我们将证明蜴。n = 矾，n 三u 。n 且为方程组( 2 1 7 ) 在区间( d ，i ，。，o _ i l ，n ) 的唯一解。 定理5 1 令引理5 0 中的条件成立，再设条件p 剀和“j 矽成立，则由p 纠确定的 迭代序列 蜊) ， 铡) 分别单调递增或递减收敛于方程组俾j 砂在区间( o l i l ，n ，d ，n ) 内的唯一解u ：n 且满足 o l l ，n 羔攻= 1 三u _ u 现a ( m ，n ) u ：，n 矗h m , n 司鬈= 1 so ，n ，m ，n = 1 ，2 ， ( 5 9 ) 证明：只需要证明蜴，n = 瓦，n = u 盖，n 。由( 5 7 ) 可得 + g ) ， + g ) ， ( 5 1 0 ) 其中e ， 为& + 1 中的值。由此结论和定理4 2 的证明方法，我们可以得到对于每个n ， 弘，n = 玩，n = u i ，n ，再由( 5 6 ) ，关系( 5 9 ) 即证。 口 p i c a r d 迭代( 5 1 ) 在每一步迭代时都产生一个九对角的线性方程组( 对于每个凡来 说) 。为了简化计算并保持单调性质，下面我们将提出两种迭代格式：块j a c o b i 迭代和 块g a u s s - s e i d e l 迭代。分解矩阵a ( n ，q 如下： a ( ) = d ( 2 ) 一c ( 。) 一“( n ，q = 口+ c + “， 这里口( n ，c ( n ，“( n ，口，c ，“为( 3 5 ) 中定义的m 阶块三对角矩阵。 坫州 疃嚣印印 + + 0 以 ：、 肌 名 f-i，l 卧m 叭 二 ” = 叶 n 卿m ，碟鲻m 1 1d “d h k r k r 乏 q q l r 丁 = k n n 左磊，畈鳞d ， d d 矿 聃 舶 = = ，m 卅 u m 蚧 = 碟鳄i | 。 们脚碟 第五章单调迭代格式 1 8 ( 1 ) 块j a c o b i 迭代。 令o l l l ，n ，o ，n 为方程组( 2 1 7 ) 的一对上下解，令鲻 l ，n = o l i l ，n ，o _ ：l ，n = o ，n ，我 们可以利用以下迭代构造序列l 剐t t ( m ) ，n ) 八t - - 。( tj 1 ) ，n ) ： ( 刃( 。) + 丁域1 d ) ( 魂，n + 1 ) m + 1 ) = b ( 1 ) v i ，0 + ( c ( j ) + “( f ) 一7 - m ，( o r 1 ( c + 甜) ) ( t 。g r 正o | l l ，n + 1 ) m ) q k j t m ( ov ( o 州f 州n 0 ( v ) ) 卅) ( w j + 雠， ( 刃( + 1 础1 d ) ( u ( o n + 1 ) ( m + 1 ) = j e i ( d 畎，( 二) + ( c ( f ) + 甜( 1 ) 一7 a 织l ( c + 甜) ) ( 型，n + 1 ) m ) + 丁q l i v v r a 。i 二n + j m ，( o r - v ( o + i f n ( o + ( v ) ) + 。( u 盖，n ) j + g g ， ( 刁魏，o ) m + 1 ) = ( 型苏，o ) m + 1 ) = 圣( n ， 1 = 1 ，2 ，仃= 0 ，1 ，2 ， 其中m 墨。为( 4 5 ) 中的l i p s c h i t z 常数，蹴l 由( 5 2 ) 定义，并将其中的堕躁，可黑 相应改为堕锹守j 川, h ，n 。 ( 2 ) 块g a u s s - s e i d e l 迭代。