（计算数学专业论文）非结构网格生成技术与流场的数值模拟.pdf

a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d yt h et e c h n i q u eo fu n s t r u c t u r e d 鲥d g e n e r a t i o n 、n u m e r i c a ls i m u l a t i o no ff l o wf i e l do nu n s t n l c t u r e dg r i da n da d a p t i v eg r i d g e n e r a t i o n f i r s t l y , a n u n s t r u c t u r e d g r i dg e n e r a t i o np r o c e s sb a s e do nd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n m e t h o d ，i sp r e s e n t e d ，w h i c hi sac o m b i n a t i o no f k e a n o n sa l g o r i t h ma n da u t o m a t i cp o i n t g e n e r a t i o nt e c h n i q u e s e c o n d l y , an e ws t r a t e g y f o ru n s t r u c t u r e dg r i d g e n e r a t i o n i s p r e s e n t e d ，w h i c hi s n a m e dn e wd e l a u n a yt r i a n g l u a t i o nm e t h o db e c a u s et h ee l e m e n tg e n e r a t e db yt h en e w m e t h o ds a t i s f yt h ep r o p e r t yo f d e l a u n a yt r i a n g l e t h en e wm e t h o do v e r c o m e s s u c c e s s f u l l y a l ld i f f i c u l t i e so ft r a d i t i o n a ld e l a u n a yt r i a n g u l a t i o na l g o r i t h m ，s u c ha st h el o s so f e d g eo n b o u n d a r i e sa n dt h eg e n e r a t i o no f u n w a n t e dt r i a n g l e s t h en e w a l g o r i t h m c a l lg e n e r a t eh i g h q u a l i t yt r i a n g l e s w h i c h w i l ln o t p e n e t r a t et h r o u g h b o u n d a r i e s t h i r d l y , t h r e ed i f f e r e n tk i n d so fs o f t w a r e ，w h i c ha r ec a p a b l eo fh a n d l i n ga r b i t r a r y d o m a i nw i t hm i n i m u mu s e r i n t e r v e n t i o n s ，a r e a c h i e v e d s u c c e s s f u l l yb y m e a n so f c o m b i n i n gs e p a r a t e l yt h en e w m e t h o dw i t ha u t o m a t i cp o i n tg e n e r a t i o nt e c h n i q u e ，i t e r a t i v e p o i n ti n s e r t i o na n da d v a n c i n g f r o n tm e t h o d i nt h ep r o c e s so f p r o g r a m ，r e a s o n a b l ed a t a s t r u c t u r ea n df a s ts e a r c ha l g o r i t h ma r ee m p l o y e dt oi m p r o v et h ee f f i c i e n c yo f c o m p u t a t i o n a n ds a v e g r e a t l y t h ec o m p u t e rt i m e a p p l i c a t i o no ft h e s em e s hg e n e r a t o r st o m a n y p r o b l e m ss h o w s t h e mt ob et h em o s t p o w e r f u l f i n a l l y ，j a m e s o nf i n i t ev o l u m es c h e m ea n df o u r - s t a g er u n g e - k u t t at i m e - s t e p p i n g m e t h o da r ea p p l i e dt on u n l e r i c a ls i m u l a t i o n so ff l o wf i l e d l o c a lt i m es t e pa n dr e s i d u a l s m o o t h i n gt e c h n i q u ea r ei n t r o d u c e d t oa c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n c ea n dr e d u c et h ec o m p u t e r t i m ee f f e c t i v e l y t h ed e r i v a t i v eo fd e n s i t yi st a k e n 如c r i t e r i o nt od e t e c th i g hg r a d i e n t r e g i o n so f t h ef l o wf i e l dw h e r es h o c k so c c l r , w ec a l lg e n e r a t eh i g l lq u a l i t y a d a p t i v eg r i d s t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r em a d ew i t hm e t h o d sm e n t i o n e da b o v e t h er e s u l t ss h o w c o m p l e xi n v i s c i df l o wf i e l dc a l lb es i m u l a t e ds u c c e s s f u l l yb y u s eo f a d a p t i v e 鲫d s k e yw o r d s ：g r i dg e n e r a t i o n ，s t r u c t i l r e dg r i d ，u n s t r u c t u r e dg r i d ，a d a p t i v eg a d ， n u m e r i c a ls i m u l 撕o no f f l o wf i e l d f i n i t ev o l u m e s c h e m e j i 。：墅亟墅壅塑丝垄丝璺二一 l ! ! ! e ! i 目。! | ! ! l 自l $ ! e ! s ! l e j - e 自目_ _ i ! = 目! l = e j l ! l = = = = = 一 1 1 引言 第一章绪论 在计算流体力学( c f d ) 、计算数学领域，从有限元、有限差分到现在较为流行 的有限体积，所有的方法都离不开网格。网格质量的好坏直接影响数值结果的精度， 甚至影响数值计算的成败。最初，因为主要从事理论研究，求解的方程通常是比较简 单的模型方程。对于二维问题，常在比较规则的区域内研究问题，此时针对具体的问 题可用较简单的代数方法生成网格，并做简单的自适应，网格问题并不突出。但是对 于有实际应用价值背景的问题，如航空航天飞行中的高超声速流动、跨音速流动以及 其它多介质、高温高压系统的计算流体力学问题。这些问题所涉及的流场十分复杂， 会出现各种形式的间断，必须采用非常密的网格才能对间断有较高的分辨，从而达到 需要的计算精度。事实上，计算流体力学的发展除了依赖于计算机和数值计算方法的 发展以外，还在很大程度上依赖于网格技术的发展i l l ”。因此，近几十年来网格生成 技术已受到越来越多的计算数学家、计算流体力学家的重视，并已经成为计算流体力 学发展的一个重要分支。 1 2 国内外研究概况、水平和发展趋势 数值计算所采用的网格分为三类：结构网格、非结构网格和笛卡儿网格( 矩形网 格) ，我们分别加以介绍。 1 2 1 结构网格 自8 0 年代开始，各国计算流体和工业界都十分重视网格生成技术的研究。首先发 展了结构网格方法。在结构网格上运用多块对接网格技术和多域重叠技术成功地对复 杂几何形状( 如整架飞机) 生成了空间流场网格。结构网格方法能保证生成的网格具有 较好的正交性，网格质量较好。在结构网格上能够实旅多重网格加速收敛算法来加快 计算的收敛速度，并且在存取网格单元时无须一个特别的指针系统，可以节约大量的 内存，这些特点使得结构网格在进行流场计算时具有省时、节约内存的优点。但是结 构网格也有致命的弱点。一是对于具有复杂外形的飞行器，构造结构网格是非常耗时 并且是难度相当大的工作，如果复杂外形的物体需作局部修改或需改变其构型，则必 须重新划分区域和构造网格，从而耗费了大量的人力和计算时间，面对当今外形日益 复杂的飞行器，结构网格显得力不从心。二是在结构网格上很难进行网格的自适应。 结构网格所覆盖的计算域一般要求在拓扑结构上与一矩形域等价，它实际上是作 1 。：墅亟墅壅塑丝垄丝璺二一 l ! ! ! e ! i 目。! | ! ! l 自l $ ! e ! s ! l e j - e 自目_ _ i ! = 目! l = e j l ! l = = = = = 一 1 1 引言 第一章绪论 在计算流体力学( c f d ) 、计算数学领域，从有限元、有限差分到现在较为流行 的有限体积，所有的方法都离不开网格。网格质量的好坏直接影响数值结果的精度， 甚至影响数值计算的成败。最初，因为主要从事理论研究，求解的方程通常是比较简 单的模型方程。对于二维问题，常在比较规则的区域内研究问题，此时针对具体的问 题可用较简单的代数方法生成网格，并做简单的自适应，网格问题并不突出。但是对 于有实际应用价值背景的问题，如航空航天飞行中的高超声速流动、跨音速流动以及 其它多介质、高温高压系统的计算流体力学问题。这些问题所涉及的流场十分复杂， 会出现各种形式的间断，必须采用非常密的网格才能对间断有较高的分辨，从而达到 需要的计算精度。事实上，计算流体力学的发展除了依赖于计算机和数值计算方法的 发展以外，还在很大程度上依赖于网格技术的发展i l l ”。因此，近几十年来网格生成 技术已受到越来越多的计算数学家、计算流体力学家的重视，并已经成为计算流体力 学发展的一个重要分支。 1 2 国内外研究概况、水平和发展趋势 数值计算所采用的网格分为三类：结构网格、非结构网格和笛卡儿网格( 矩形网 格) ，我们分别加以介绍。 1 2 1 结构网格 自8 0 年代开始，各国计算流体和工业界都十分重视网格生成技术的研究。首先发 展了结构网格方法。在结构网格上运用多块对接网格技术和多域重叠技术成功地对复 杂几何形状( 如整架飞机) 生成了空间流场网格。结构网格方法能保证生成的网格具有 较好的正交性，网格质量较好。在结构网格上能够实旅多重网格加速收敛算法来加快 计算的收敛速度，并且在存取网格单元时无须一个特别的指针系统，可以节约大量的 内存，这些特点使得结构网格在进行流场计算时具有省时、节约内存的优点。但是结 构网格也有致命的弱点。一是对于具有复杂外形的飞行器，构造结构网格是非常耗时 并且是难度相当大的工作，如果复杂外形的物体需作局部修改或需改变其构型，则必 须重新划分区域和构造网格，从而耗费了大量的人力和计算时间，面对当今外形日益 复杂的飞行器，结构网格显得力不从心。二是在结构网格上很难进行网格的自适应。 结构网格所覆盖的计算域一般要求在拓扑结构上与一矩形域等价，它实际上是作 1 。垄塑型丝墼坠墅塑塑墅坠一 了一坐标变换，将仅在拓扑上与矩形域等价的区域变换为真正的矩形区域，控制方程 也要做相应的变换，然后在交换后的矩形区域内作计算。目前生成结构贴体网格的常 用方法有： ( 1 ) t t m 法1 3 1 1 q ( 采用求解椭圆型方程生成流场的空间网格分布) ； ( 2 ) 通过求解双曲型方程或抛物型方程生成空间网格f q ； ( 3 ) 用代数方法生成结构网格。 随着航空航天事业的发展，所需解决问题的外形也越来越复杂，如何有效地处理 复杂的物面边界，生成高质量的计算网格是c f d 所面临的一个重要课题。单纯用传 统的结构网格，是很难满足实际需要的，即使能够勉强生成网格，网格质量也得不到 保证。在此情形下，很多的计算流体力学家开始致力于分区网格技术和非结构网格生 成技术，常用的分区技术有对接m 和分区重叠技术7 l 【”。 1 2 2 非结构网格 为了适应现代航空航天事业的需求，一种适合于任意形状的网格生成技术在2 0 世纪8 0 年代应运而生，这就是非结构网格。非结构网格的基本思想基于如下假设： 四面体是三维空间最简单的形状，任何空间区域都可以被四面体单元所填满，即任何 空间都可以被以四面体为单元的网格所划分。由于非结构网格含去了网格节点的结构 性限制，节点和单元的分布是任意的，易于控制网格单元的大小、形状和网格点的位 置，因而比结构网格具有更大的灵活性，对复杂外形的适应能力强，能较好地处理物 面边界。网格中一个点周围的点数和单元数是不固定的，可以方便的作自适应计算， 合理分布网格的疏密，提高计算精度。正因为有这一系列优点，非结构网格技术在 8 0 年后得到了迅速的发展。非结构网格的生成方法有： ( 1 )规则划分法。此方法借用差分法中规则网格的生成方法，差分网格可看作四 边形网格，将四边形一分为二，得到三角形网格。在三维时将六面体一分为 六，得到四面体单元。对于规则区域，这是种十分常见而且有效的方法， 这种方法直观简单，数值粘性分布均匀，易于湍流模式理论的使用，但对区 域限制大。 ( 2 )三角形细化法。首先把区域划分成几个大的三角形网格，然后对每个三角作 进一步的划分，具体的划分方法可以有增加三个边界点一分为四州，亦有增 加一个中心点一分为三 i o l 。 ( 3 ) 修正四叉数、八叉数法。修正四叉数法是基于四叉数编码技术的完全自动的 2 。垄塑型丝墼坠墅塑塑墅坠一 了一坐标变换，将仅在拓扑上与矩形域等价的区域变换为真正的矩形区域，控制方程 也要做相应的变换，然后在交换后的矩形区域内作计算。目前生成结构贴体网格的常 用方法有： ( 1 ) t t m 法1 3 1 1 q ( 采用求解椭圆型方程生成流场的空间网格分布) ； ( 2 ) 通过求解双曲型方程或抛物型方程生成空间网格f q ； ( 3 ) 用代数方法生成结构网格。 随着航空航天事业的发展，所需解决问题的外形也越来越复杂，如何有效地处理 复杂的物面边界，生成高质量的计算网格是c f d 所面临的一个重要课题。单纯用传 统的结构网格，是很难满足实际需要的，即使能够勉强生成网格，网格质量也得不到 保证。在此情形下，很多的计算流体力学家开始致力于分区网格技术和非结构网格生 成技术，常用的分区技术有对接m 和分区重叠技术7 l 【”。 1 2 2 非结构网格 为了适应现代航空航天事业的需求，一种适合于任意形状的网格生成技术在2 0 世纪8 0 年代应运而生，这就是非结构网格。非结构网格的基本思想基于如下假设： 四面体是三维空间最简单的形状，任何空间区域都可以被四面体单元所填满，即任何 空间都可以被以四面体为单元的网格所划分。由于非结构网格含去了网格节点的结构 性限制，节点和单元的分布是任意的，易于控制网格单元的大小、形状和网格点的位 置，因而比结构网格具有更大的灵活性，对复杂外形的适应能力强，能较好地处理物 面边界。网格中一个点周围的点数和单元数是不固定的，可以方便的作自适应计算， 合理分布网格的疏密，提高计算精度。正因为有这一系列优点，非结构网格技术在 8 0 年后得到了迅速的发展。非结构网格的生成方法有： ( 1 )规则划分法。此方法借用差分法中规则网格的生成方法，差分网格可看作四 边形网格，将四边形一分为二，得到三角形网格。在三维时将六面体一分为 六，得到四面体单元。对于规则区域，这是种十分常见而且有效的方法， 这种方法直观简单，数值粘性分布均匀，易于湍流模式理论的使用，但对区 域限制大。 ( 2 )三角形细化法。首先把区域划分成几个大的三角形网格，然后对每个三角作 进一步的划分，具体的划分方法可以有增加三个边界点一分为四州，亦有增 加一个中心点一分为三 i o l 。 ( 3 ) 修正四叉数、八叉数法。修正四叉数法是基于四叉数编码技术的完全自动的 2 南京航空航天大学硕士学位论文 i l l l l l 二维有限元网格生成方法i “l “，推广到三维就是修正八叉数法。这种方法比 较有效，但它是一种十分复杂的方法。 ( 4 ) d e l a u n a y 三角化法【1 3 l 【l 】。这种方法要求事先知道区域内点的分布，然后用 这些已知的点作顶点，根据区域中任意点到这些顶点的距离，将区域分为与 顶点数相同的小区域。每个顶点对应一个区域，其原则是处于一个顶点的区 域内的点，到该顶点的距离比到其它任意顶点的距离都小。如果两个顶点的 区域相邻，那么，将所有的这样的两顶点连接起来，便得到了整个区域的三 角形剖分或四面体剖分。 ( 5 )阵面推进法”l 【“”】【l q ”i i 。这种方法是在已知边界的基础上，根据给定的网格 尺度分布，在区域内生成网格。计算区域的边界是由一系列有向线段构成的 闭和环路，外边界为逆时针走向，内边界为顺时针走向，这样计算区域永远 位于边界左侧。所有的边晃线段，构成初始阵面，阵面上的边都可以作为新 三角形的边，这样的边成为活动边。在阵面上，选择一条边为基边，向区域 内生成三角形单元，也可以用基边与阵面上的点构成新的三角形单元，然后 作阵面更新，再选择基边，继续生成新的三角形，如此反复直到阵面上无活 动边为l 匕。 1 2 3 笛卡儿网格 笛卡儿网格( 矩形网格) 是c f d 计算中最早使用，也是最易生成的一种网格， 但是它比较难处理物面边界，因而不易较准确地满足边界条件。近几年来，人们开始 采用自适应的笛卡儿网格来计算复杂几何形状的流场1 3 i l l ”i i ”i ，即在原始的均匀笛卡 儿网格基础上根据物形特点或流场特点在局部区域内不断进行网格的细化，实现精度 符合要求、分布又是最合理的一种非均匀的笛卡儿网格。相比结构网格和非结构网格， 对笛卡儿网格实现自适应具有如下的优点： 1 不必先生成表面网格再生成空间网格，可以一次性生成计算所需的网 格，使网格生成过程简单、省时。 2 相比贴体结构网格，不需要从物理空间到计算空间的转换，因而流场 计算中不再需要计算雅可比矩阵，通量计算简单，节约计算时间，流 场计算中实现自适应也较容易，较简单。 3 相比非结构网格，数据结构和网格生成过程都相对简单，比较容易作 自适应计算 采用这种网格生成方法作流场计算，网格生成简单、省时，网格容易加密，可 1 南京航空航天大学硕士学位论文 i l l l l l 二维有限元网格生成方法i “l “，推广到三维就是修正八叉数法。这种方法比 较有效，但它是一种十分复杂的方法。 ( 4 ) d e l a u n a y 三角化法【1 3 l 【l 】。这种方法要求事先知道区域内点的分布，然后用 这些已知的点作顶点，根据区域中任意点到这些顶点的距离，将区域分为与 顶点数相同的小区域。每个顶点对应一个区域，其原则是处于一个顶点的区 域内的点，到该顶点的距离比到其它任意顶点的距离都小。如果两个顶点的 区域相邻，那么，将所有的这样的两顶点连接起来，便得到了整个区域的三 角形剖分或四面体剖分。 ( 5 )阵面推进法”l 【“”】【l q ”i i 。这种方法是在已知边界的基础上，根据给定的网格 尺度分布，在区域内生成网格。计算区域的边界是由一系列有向线段构成的 闭和环路，外边界为逆时针走向，内边界为顺时针走向，这样计算区域永远 位于边界左侧。所有的边晃线段，构成初始阵面，阵面上的边都可以作为新 三角形的边，这样的边成为活动边。在阵面上，选择一条边为基边，向区域 内生成三角形单元，也可以用基边与阵面上的点构成新的三角形单元，然后 作阵面更新，再选择基边，继续生成新的三角形，如此反复直到阵面上无活 动边为l 匕。 1 2 3 笛卡儿网格 笛卡儿网格( 矩形网格) 是c f d 计算中最早使用，也是最易生成的一种网格， 但是它比较难处理物面边界，因而不易较准确地满足边界条件。近几年来，人们开始 采用自适应的笛卡儿网格来计算复杂几何形状的流场1 3 i l l ”i i ”i ，即在原始的均匀笛卡 儿网格基础上根据物形特点或流场特点在局部区域内不断进行网格的细化，实现精度 符合要求、分布又是最合理的一种非均匀的笛卡儿网格。相比结构网格和非结构网格， 对笛卡儿网格实现自适应具有如下的优点： 1 不必先生成表面网格再生成空间网格，可以一次性生成计算所需的网 格，使网格生成过程简单、省时。 2 相比贴体结构网格，不需要从物理空间到计算空间的转换，因而流场 计算中不再需要计算雅可比矩阵，通量计算简单，节约计算时间，流 场计算中实现自适应也较容易，较简单。 3 相比非结构网格，数据结构和网格生成过程都相对简单，比较容易作 自适应计算 采用这种网格生成方法作流场计算，网格生成简单、省时，网格容易加密，可 1 非结构网格生成技术与流场的数值模拟 以提高计算精度。笛卡儿网格的缺点是较难处理物面边界，相对于贴体的结构网格和 菲结构网格，它在描述外形的精度上要低一些，不可能做到完全贴体，为实现贴体， 还必须对贴近物面的网格作特殊处理。 1 3 网格生成技术的发展趋势 一个好的网格生成方法应当具有以下特点： ( 1 ) 首先该算法应当具有较高的自动性，也就是说尽可能减少人为的干预。 ( 2 ) 该算法应当尽可能减少人工输入，要求输入简单，使用方便灵活。 ( 3 ) 该算法应当具有较高通用性和可靠性。 ( 4 ) 该算法应当具有计算的高效性。 ( 5 ) 网格质量要尽可能满足计算要求。 ( 6 ) 数据结构的组织和编程应尽可能的简单。 迄今为止，许多计算流体力学家开始致力于研究满足以上六个特点的网格生成技 术，并取得了丰硕的成果。 1 4 本文的工作 基于非结构网格对计算流体力学的重要意义，在前人工作的基础上，本文主要作 了以下几方面的工作： 1 讨论了结构网格的生成方法，并编制了结构网格的生成程序。 2 研究了s r k e n n o n i 捌算法和内插点自动生成技术，提出了s rk e n n o n 算 法与内插点自动生成技术相结合的方法生成二维非结构阚格，并编制了适用 于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构网 格生成软件。 3 提出了一种能够有效生成适用于任意复杂外形的高质量的二维非结构网格生 成技术，即新d e l a u n a y 三角化方法。 4 利用本文提出的新d e l a u n a y 三角化方法与内插点自动生成技术相结合编制适 用于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构 网格生成软件。 5 利用本文提出的新d e l a u n a y 三角化方法结合传统的阵面推进法编制了适用于 非结构网格生成技术与流场的数值模拟 以提高计算精度。笛卡儿网格的缺点是较难处理物面边界，相对于贴体的结构网格和 菲结构网格，它在描述外形的精度上要低一些，不可能做到完全贴体，为实现贴体， 还必须对贴近物面的网格作特殊处理。 1 3 网格生成技术的发展趋势 一个好的网格生成方法应当具有以下特点： ( 1 ) 首先该算法应当具有较高的自动性，也就是说尽可能减少人为的干预。 ( 2 ) 该算法应当尽可能减少人工输入，要求输入简单，使用方便灵活。 ( 3 ) 该算法应当具有较高通用性和可靠性。 ( 4 ) 该算法应当具有计算的高效性。 ( 5 ) 网格质量要尽可能满足计算要求。 ( 6 ) 数据结构的组织和编程应尽可能的简单。 迄今为止，许多计算流体力学家开始致力于研究满足以上六个特点的网格生成技 术，并取得了丰硕的成果。 1 4 本文的工作 基于非结构网格对计算流体力学的重要意义，在前人工作的基础上，本文主要作 了以下几方面的工作： 1 讨论了结构网格的生成方法，并编制了结构网格的生成程序。 2 研究了s r k e n n o n i 捌算法和内插点自动生成技术，提出了s rk e n n o n 算 法与内插点自动生成技术相结合的方法生成二维非结构阚格，并编制了适用 于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构网 格生成软件。 3 提出了一种能够有效生成适用于任意复杂外形的高质量的二维非结构网格生 成技术，即新d e l a u n a y 三角化方法。 4 利用本文提出的新d e l a u n a y 三角化方法与内插点自动生成技术相结合编制适 用于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构 网格生成软件。 5 利用本文提出的新d e l a u n a y 三角化方法结合传统的阵面推进法编制了适用于 非结构网格生成技术与流场的数值模拟 以提高计算精度。笛卡儿网格的缺点是较难处理物面边界，相对于贴体的结构网格和 菲结构网格，它在描述外形的精度上要低一些，不可能做到完全贴体，为实现贴体， 还必须对贴近物面的网格作特殊处理。 1 3 网格生成技术的发展趋势 一个好的网格生成方法应当具有以下特点： ( 1 ) 首先该算法应当具有较高的自动性，也就是说尽可能减少人为的干预。 ( 2 ) 该算法应当尽可能减少人工输入，要求输入简单，使用方便灵活。 ( 3 ) 该算法应当具有较高通用性和可靠性。 ( 4 ) 该算法应当具有计算的高效性。 ( 5 ) 网格质量要尽可能满足计算要求。 ( 6 ) 数据结构的组织和编程应尽可能的简单。 迄今为止，许多计算流体力学家开始致力于研究满足以上六个特点的网格生成技 术，并取得了丰硕的成果。 1 4 本文的工作 基于非结构网格对计算流体力学的重要意义，在前人工作的基础上，本文主要作 了以下几方面的工作： 1 讨论了结构网格的生成方法，并编制了结构网格的生成程序。 2 研究了s r k e n n o n i 捌算法和内插点自动生成技术，提出了s rk e n n o n 算 法与内插点自动生成技术相结合的方法生成二维非结构阚格，并编制了适用 于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构网 格生成软件。 3 提出了一种能够有效生成适用于任意复杂外形的高质量的二维非结构网格生 成技术，即新d e l a u n a y 三角化方法。 4 利用本文提出的新d e l a u n a y 三角化方法与内插点自动生成技术相结合编制适 用于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构 网格生成软件。 5 利用本文提出的新d e l a u n a y 三角化方法结合传统的阵面推进法编制了适用于 南京航空航天大学硕士学位论文 具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构网格 生成软件。 6 用本文提出的新d e l a u n a y z 角化方法结合m a r c u m 和w e a t h r i l l 等人工作【2 3 1 1 2 4 1 编制了适用于具有任意复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二 维非结构网格生成软件。 7 研究了粘性半非结构网格生成技术，并编制了网格生成程序。 8 数值模拟计算和自适应网格的生成。本文采用j a m e s o n 有限体积方法在非结 构网格上求解了二维的欧拉方程，做了大量的数值模拟，以验证本文所发展 的网格生成技术。同时，研究了自适应网格的生成和自适应网格上的数值计 算，利用局部网格加密技术编制了自适应网格生成的程序，计算结果与自适 应前比较，激波更加清晰，分辨率明显提高。由此可以看出，局部网格自适 应方法对提高计算精度是一种非常有效的计算手段。 。一一。垄塑型丝墼鎏墅丝鬯型塑一 引言 第二章结构网格生成方法 结构网格所覆盖的计算域一般要求在拓扑结构上与矩形域等价，它实际上是做了 个坐标变换，将仅在拓扑上与矩形域等价的区域变换为真正的矩形区域，控制方程 也要做相应的变换，然后在变换后的矩形区域内做计算。如图2 1 和图2 2 所示，一 图2 1图2 2 般称图2 1 为物理平面( x - y 平面) ，图2 2 为变换平面售一枰面) 。从2 1 图到2 2 相当子一个坐标变换，数值计算通常是在变换平面上进行。 2 1 代数方法 所谓代数方法指的是通过代数插值的办法，由边界点的分布来得到内部网格点的 位置。这种方法具有计算公式简单，生成速度快的优点。通常用来生成比较简单区域 的网格，或用来形成一些迭代求解的网格生成方法的初始阿格。它的一般过程是：给 出一个包含某些待定系数的特殊曲线坐标f g ，r ) ，即插值函数，根据拟合边界上或某 些中间点上给定的笛卡几坐标值，以及可能还有的导数值的要求来确定这些待定系 数。这样，在曲线坐标的常值处用插值函数来确定笛卡儿坐标值，从而确定整个网格 系统。因此，插值函数是代数方法的核心，一维插值函数的一般形式可以写成： r ，( 善) = 吼( 等) ( 2 1 ) 月一l o 其中函数纸满足 声 纸( 半) = ( 2 2 ) 。6 ， 。一一。垄塑型丝墼鎏墅丝鬯型塑一 引言 第二章结构网格生成方法 结构网格所覆盖的计算域一般要求在拓扑结构上与矩形域等价，它实际上是做了 个坐标变换，将仅在拓扑上与矩形域等价的区域变换为真正的矩形区域，控制方程 也要做相应的变换，然后在变换后的矩形区域内做计算。如图2 1 和图2 2 所示，一 图2 1图2 2 般称图2 1 为物理平面( x - y 平面) ，图2 2 为变换平面售一枰面) 。从2 1 图到2 2 相当子一个坐标变换，数值计算通常是在变换平面上进行。 2 1 代数方法 所谓代数方法指的是通过代数插值的办法，由边界点的分布来得到内部网格点的 位置。这种方法具有计算公式简单，生成速度快的优点。通常用来生成比较简单区域 的网格，或用来形成一些迭代求解的网格生成方法的初始阿格。它的一般过程是：给 出一个包含某些待定系数的特殊曲线坐标f g ，r ) ，即插值函数，根据拟合边界上或某 些中间点上给定的笛卡几坐标值，以及可能还有的导数值的要求来确定这些待定系 数。这样，在曲线坐标的常值处用插值函数来确定笛卡儿坐标值，从而确定整个网格 系统。因此，插值函数是代数方法的核心，一维插值函数的一般形式可以写成： r ，( 善) = 吼( 等) ( 2 1 ) 月一l o 其中函数纸满足 声 纸( 半) = ( 2 2 ) 。6 ， 南京航空航天大学硕士学位论文 的多项式，若采用不同形式的插值函数，即可形成不同的代数方法。 在实际中我们常用的双线性插值是二维结构网格的代数生成方法。所谓双线性插 值，认为流场所覆盖的区域与单位正方形 0 ，1 】【0 ，1 】等价，在已知边界点的分布 的情况下，可以用如下的插值公式得到内部节点的坐标： 厂( 毒，叩) = ( 1 一手) 厂( o ，7 ) + ( 1 ，7 ) + ( 1 一叩) ，僧，0 ) + ，z r ( 善，i ) 一( 1 一善) ( 1 一o ) f ( o ，o ) 一( 1 一告) 矿( o ，1 ) 一毒( 1 一r ) f ( 1 ，0 ) + 孝矿( 1 ，1 )( 2 3 ) 2 2 保角变换方法和变分法 保角变换方法采用解析函数的办法来得到网格，一般用s c h w a r z - c h r i s t o f f e l 变换 将一开放的无界区域变换为上半平面，在变换后的上半平面均匀划分网格，反变回原 来的区域内，得到需要的网格划分，这种方法得到的网格是正交的。 变分法是根据给出的度量网格某种性质的泛函，通过它的极小化来构造具有该性 质的网格，求泛函极小可通过求解它的e u l c r 方程得到。 2 3 微分方程初边值方法 这种方法在许多文献中有大量的讨论，可用椭圆型、抛物型和双曲型方程来构造 网格。 2 3 1 椭圆型方程生成结构网格 假设物理平面( z ，j ，) 到变换平面g ，r ) 的变换为 毒2 母叩 叩= r l ( x ，y j 。 w i n s l o w 首先在计算平面善一，7 上采用l a p l a c e 方程 仁描0 ， 【礼+ 2 、。 用这种方法构造的网格具有分布均匀，适应区域强的特点，并且网格生成速度快 2 1 ) 。 在此基础上，为了使计算区域和物理问题相适应，引入了一些控制函数控制网格的疏 南京航空航天大学硕士学位论文 的多项式，若采用不同形式的插值函数，即可形成不同的代数方法。 在实际中我们常用的双线性插值是二维结构网格的代数生成方法。所谓双线性插 值，认为流场所覆盖的区域与单位正方形 0 ，1 】【0 ，1 】等价，在已知边界点的分布 的情况下，可以用如下的插值公式得到内部节点的坐标： 厂( 毒，叩) = ( 1 一手) 厂( o ，7 ) + ( 1 ，7 ) + ( 1 一叩) ，僧，0 ) + ，z r ( 善，i ) 一( 1 一善) ( 1 一o ) f ( o ，o ) 一( 1 一告) 矿( o ，1 ) 一毒( 1 一r ) f ( 1 ，0 ) + 孝矿( 1 ，1 )( 2 3 ) 2 2 保角变换方法和变分法 保角变换方法采用解析函数的办法来得到网格，一般用s c h w a r z - c h r i s t o f f e l 变换 将一开放的无界区域变换为上半平面，在变换后的上半平面均匀划分网格，反变回原 来的区域内，得到需要的网格划分，这种方法得到的网格是正交的。 变分法是根据给出的度量网格某种性质的泛函，通过它的极小化来构造具有该性 质的网格，求泛函极小可通过求解它的e u l c r 方程得到。 2 3 微分方程初边值方法 这种方法在许多文献中有大量的讨论，可用椭圆型、抛物型和双曲型方程来构造 网格。 2 3 1 椭圆型方程生成结构网格 假设物理平面( z ，j ，) 到变换平面g ，r ) 的变换为 毒2 母叩 叩= r l ( x ，y j 。 w i n s l o w 首先在计算平面善一，7 上采用l a p l a c e 方程 仁描0 ， 【礼+ 2 、。 用这种方法构造的网格具有分布均匀，适应区域强的特点，并且网格生成速度快 2 1 ) 。 在此基础上，为了使计算区域和物理问题相适应，引入了一些控制函数控制网格的疏 南京航空航天大学硕士学位论文 的多项式，若采用不同形式的插值函数，即可形成不同的代数方法。 在实际中我们常用的双线性插值是二维结构网格的代数生成方法。所谓双线性插 值，认为流场所覆盖的区域与单位正方形 0 ，1 】【0 ，1 】等价，在已知边界点的分布 的情况下，可以用如下的插值公式得到内部节点的坐标： 厂( 毒，叩) = ( 1 一手) 厂( o ，7 ) + ( 1 ，7 ) + ( 1 一叩) ，僧，0 ) + ，z r ( 善，i ) 一( 1 一善) ( 1 一o ) f ( o ，o ) 一( 1 一告) 矿( o ，1 ) 一毒( 1 一r ) f ( 1 ，0 ) + 孝矿( 1 ，1 )( 2 3 ) 2 2 保角变换方法和变分法 保角变换方法采用解析函数的办法来得到网格，一般用s c h w a r z - c h r i s t o f f e l 变换 将一开放的无界区域变换为上半平面，在变换后的上半平面均匀划分网格，反变回原 来的区域内，得到需要的网格划分，这种方法得到的网格是正交的。 变分法是根据给出的度量网格某种性质的泛函，通过它的极小化来构造具有该性 质的网格，求泛函极小可通过求解它的e u l c r 方程得到。 2 3 微分方程初边值方法 这种方法在许多文献中有大量的讨论，可用椭圆型、抛物型和双曲型方程来构造 网格。 2 3 1 椭圆型方程生成结构网格 假设物理平面( z ，j ，) 到变换平面g ，r ) 的变换为 毒2 母叩 叩= r l ( x ，y j 。 w i n s l o w 首先在计算平面善一，7 上采用l a p l a c e 方程 仁描0 ， 【礼+ 2 、。 用这种方法构造的网格具有分布均匀，适应区域强的特点，并且网格生成速度快 2 1 ) 。 在此基础上，为了使计算区域和物理问题相适应，引入了一些控制函数控制网格的疏 ：墅塑篓丝丝墼型丝型塑坠一 密和形状，化l a p l a c e 方程为p o i s s o n 方程 艮黧黧g ( x ： 仁s ， i 叩工r + 叼一= ，y ) 通过选择p , q 来调整网格。但是，为了保证变换可逆性，这里的p 和q 要受到一定 限制，而且它们对网格的控制也不够直观灵活。另外，还要引入诸如“热传导系数”、 控制函数k l ，k 2 ，化l a p l a c e 方程为 睁鼽+ ( 屯专) ，( 2 7 ) l ( 女2 吁，) ，+ ( 女2 ，7 ，) ，= 0 、7 在系数大的地方网格间距大，系数小的地方网格间距小。源项p 和q 来调整网 格的疏密及网格线与边界的夹角。由于我们感兴趣的是变换平面( 孝，瑁) 到物理平面的 变换，即( 2 4 ) 的反变换 ；：嬲 亿s ， y = y ( 孝，叩) 、 。 容易把方程( 2 6 ) 变换为g ，7 ) 平面上的方程 嚷一2 厩+ = 一( 峨+ 瞩) ( 2 9 ) 其中 芦= x i + y j ，口= l 1 2 ，卢= 乓，y = i 1 2 ( 2 1 0 ) = j 2 p a ，妒= ，2 q r ，= o ( x ，y ) a ( 4 ，叩) ( 2 1 1 ) 对于源项，假设网格线与边界正交，即卢= 0 ，且横跨边界的二阶导数为零，那 么，边界上的庐和】l c ，的求法是： = 一( 喀。名) i 弓1 2( 沿印= 常数的边界) ， 矿= 一( ) l 1 2 ( 沿孝= 常数的边界) 峰“7 求得边界上的和少后，将其用双线形插值插入内场，这样可把边界上的网格疏密规 律均匀传入内场，用边界上网格的分布控制内场网格的疏密。采用中心差分离散求解 方程( 2 9 ) ，沿r 方向解三对角方程组，并用超松弛迭代，即根据尹“解出f ”1 后，新值 为 尹”“= 芦”+ c o ( e ”“一尹“) ( 2 1 3 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 其中国是松弛因子，6 9 l 。 2 3 2 双曲型方程生成结构网格 这种方法适用于具有“单一边界”的外场区域，例如翼型的外部区域。这种网格 的构造方法，是以初始边界为第一层的初始条件，一层层向外构造网格。该方法可以 使网格线有很好的正交性，只要初始边界不十分内凸，就可以使构造过程得以进行， 并且速度较快。但当边界较复杂时，由于双曲型方程的传播特性，它会把边界的奇异 性加以传播，使得后续生成的网格质量不够理想。 s t e g e r 和c h a u s s e e 1 首先提出了用双曲型微分方程来生成二维网格的方法。随 后s t e g e r 和r i z k | 2 6 1 将其推广到三维。双曲型方法计算时间要比椭圆型方法少1 - 2 个 量级，易于控制物面附近的网格质量。然而由于它是推进的方法，其外边界位置不能 事先指定，且输入数据中的不连续性会传播至网格系中，加上方法尚不够健全等，因 此只适用于外流和分区重叠网格技术中。近来c h a n 希1s t e g e r l 2 7 进一步完善了此方法， 对一些敏感的问题，如边界条件，网格单元体积的给定，控制网格质量的因素，物面 不连续和角点的处理等都作了讨论和改进，提高了方法的适应能力。 二维时正交性条件 乓焉= 0 ( 2 1 4 ) 可以作为网格生成的个控制方程，展开后即为 x + y 口。0 ( 2 1 5 ) 此外变换j a c o b i a n 控制着两个变换空间的小块面积之比，一般令善= a t l = 1 ，则 g 爿j 。1 x y _ 一x , y ( 2 1 6 ) 代表着两个物理空间中小块的面积，指定它在空间的分布即可以作为网格生成的另 控制方程，即 x e y 。一x , t y = z ( 4 ，r 1 ) ( 2 1 7 ) 右端项单元面积分布函数y ( 孝，r