（运筹学与控制论专业论文）一类离散时间切换系统的分析与综合.pdf

鲁东大学硕士学位论文 摘要 切换系统是一类重要的混杂系统，它是由几个连续时间子系统或离散时间子系统及 作用在其中的切换规则构成的切换系统不同于一般的连续时间系统和离散时间系统，虽 然每个子系统可能都是非常简单的，但是通过切换规则组成的整个系统可能会具有十分 复杂的动态特性因为两个稳定的子系统间的简单切换，可能会产生不稳定的动态；两个 不稳定的子系统之间进行切换，也可能使得整个系统是稳定的因此对于切换系统的研究 是一个非常具有理论意义和应用价值的研究方向，也正在成为自动控制领域研究的热点 问题 本文以李亚普诺夫稳定性理论为基础，采用线性矩阵不等式对离散时间切换系统进 行了研究所做工作主要有以下四个方面： ( 1 ) 针对一类由m 个离散子系统构成的切换系统，研究了其二次稳定性首先构造 区间矩阵，把离散切换系统转化为区间系统，利用矩阵不等式给出了在任意的切换策略 下离散切换系统二次稳定性的充分条件这个条件只需找到一个l m i 的解就可以判定该 系统的二次稳定性，降低了计算工作量 ( 2 ) 针对一类具有参数不确定性的离散时间切换系统，在任意切换的情况下研究了 这类系统的鲁棒稳定问题和干扰抑制问题利用多l y a p u n o v 函数法得到切换系统鲁棒 稳定且具有以扰动衰减度的充分条件，并指出这些条件可通过线性矩阵不等式描述 ( 3 ) 对一类含有不确定性的离散时间切换系统，研究了其在任意切换下的二次稳定 保成本状态反馈控制律的设计问题基于线性矩阵不等式处理方法，导出了二次稳定保 成本控制律存在的条件，这个条件可以通过m a t l a bl m i 工具箱求解，适合在工程中使 用 ( 4 ) 对一类具有范数有界参数不确定性的离散时滞切换系统和一个二次型性能指 标，研究其鲁棒保性能状态反馈控制器的设计问题利用分段l y a p u n o v 函数方法和线 性矩阵不等式技术，给出了鲁棒保性能控制器存在的一个充分条件，并获得了控制器 的一个参数化表示在此基础上，将次优保性能控制器的设计问题转化为基于线性矩 阵不等式约束下的凸优化问题 关键词：离散时间切换系统；二次稳定性；- 。鲁棒性；保性能控制；线性矩阵不等式 鲁东大学硕士学位论文 a b s t r a c t a sa i li m p o r t a n tc l a s so fh y b r i ds y s t e m s ，as w i t c h e ds y s t e mi sc o m p o s e do fs e v e r a l c o n t i n u o u st i m es u b s y s t e m so rd i s c r e t et i m es u b s y s t e m sa n dt h es w i t c h i n gs i g n a la m o n g t h e m w i t hi t so w l lp a r t i c u l a r i t y , i ti sd i f f e r e n tf r o mt h ec o n t i n u o u st i m es y s t e m so rd i s c r e t e t i m es y s t e m s a l t h o u g he a c hs u b s y s t e mi s v e r ys i m p l e ，t h ew h o l es y s t e mt h a tc o n s i s t s t h r o u g hs w i t c h i n gs t r a t e g ym a y b eh a v ev e r yc o m p l e xd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s s i m p l e s w i t c h i n gb e t w e e nt w os t a b l es u b s y s t e m sw o u l dc a u s eu n s t a b l ed y n a m i c s ，w h i l ea p p r o p r i a t e s w i t c h i n gb e t w e e nt w ou n s t a b l es u b s y s t e m sw o u l da l s om a k et h es y s t e ms t a b l e t h e r e f o r e ， r e s e a r c h i n go nt h es w i t c h e ds y s t e m si sf u l lo ft h e o r e t i c a ls e n s ea n da p p l i c a t i o nv a l u e ，a n d n o w , i ti sah o ti s s u ei nc o n t r o lf i e l d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yt o g e t h e rw i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，t h i s d i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h ed i s c r e t e t i m es w i t c h e ds y s t e m s t h ew o r ki n v o l v e di sa sf o l l o w s ： ( 1 ) q u a d r a t i cs t a b i l i t yo fs w i t c h e ds y s t e m sc o n s i s t i n go fac l a s so fm - d i s c r e t e s u b s y s t e m si ss t u d i e d a ni n t e r v a lm a t r i xi sc o n s t r u c t e dt ot r a n s f o r i l lt h ed i s c r e t es w i t c h e d s y s t e mi n t oi n t e r v a ls y s t e m t h e n ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r e s e n t e di nt e r m so fm a t r i x i n e q u a l i t yf o rt h eq u a d r a t i cs t a b i l i t yo fd i s c r e t es w i t c h e ds y s t e m su n d e ra n ys w i t c h i n gl a w s t h i sc o n d i t i o ni sm u c hs i m p l e rt h a nt h eo t h e rm e t h o d sb e c a u s ei tn e e d so n l yo n em a t r i x i n e q u a l i t yt os o l v e ( 2 ) ac l a s so fd i s c r e t et i m es w i t c h e ds y s t e m s 埘mp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t yi sc o n s i d e r e d ， a n dt h er o b u s ts t a b i l i t yp r o b l e ma n dd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o np r o b l e ma r es t u d i e df o n hi sc l a s s o fs y s t e msu n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n g s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es w i t c h e ds y s t e m st ob e r o b u s t l ys t a b l ew i t hh 0 0d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o na r eo b t a i n e du s i n gm u l t i p l el y a p u n o v f u n c t i o nt e c h n i q u e ，a n dt h e s ec o n d i t i o n sc a nb ef o r m u l a t e dv i al i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) ( 3 ) f o rac l a s so fd i s c r e t e t i m es t a t ed e l a ys w i t c h e ds y s t e m sw i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t y ， t h i sp a p e ra d d r e s s e st h ep r o b l e mo fd e s i g n i n gt h eg u a r a n t e e dc o s ts t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ro f q u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o nu n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n gl a w s ac o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo f g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r si sd e r i v e d t h i sc o n d i t i o nc a nb es o l v e de a s i l yw i t ht h em a t l a b l m it o o l b o x ( 4 ) f o rac l a s so fd i s c r e t e t i m ed e l a ys w i t c h e ds y s t e m s 、i t l ln o r mb o u n d e dp a r a m e t e r l 鲁东大学硕士学位论文 u n c e r t a i n t ya n daq u a d r a t i cc o s ti n d e x ，t h ep r o b l e mo fd e s i g n i n gas u b o p t i m a lg u a r a n t e e dc o s t s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sc o n s i d e r e d as u f f i c i e n tc o n d i t i o no nt h ee x i s t e n c eo fr o b u s t g u a r a n t e e dc o n t r o l l e r si sd e r i v e db yu s i n gap i e c e w i s el y a p u n o vf u n c t i o na p p r o a c ht o g e t h e r w i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，a n dt h e p a r a m e t e r i z e dr e p r e s e n t a t i o no ft h e c o n t r o l l e r si sg i v e ni nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s b a s e do n t h a t ，t h ed e s i g np r o b l e mo f t h es u b o p t i m a lg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri st u r n e di n t oa c o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t h l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sc o n s t r a i n t s k e y w o r d s ：d i s c r e t e t i m es w i t c h e ds y s t e m s ；q u a d r a t i c s t a b i l i t y ；以r o b u s t n e s s ； g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s i v 鲁东大学学位论文原创性声明和使用授权说明 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：毒著日a 日期：加p 年月沙e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权鲁东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密不保密区 ( 请在以上相应方框内打“) 作者签名： 导师签名： 孝钿鲁 日期：伽p 年 日期：z 础年 月加e l 月仂e l 鲁东大学硕士学位论文 第一章绪论 本文主要研究内容为切换系统的理论分析、控制方案设计及其仿真研究目前已经 普遍认为切换系统是一类具有层次类型特点的混杂系统【l 】，从这个方面对切换系统进行 研究，概念更加清楚，应用更加广泛，是目前控制领域研究的热点问题之一 本章主要介绍切换系统的研究背景和现状，以及本文工作的主要内容 1 1 切换系统的介绍 1 1 1 切换系统的提出及背景 混杂系统( h y b r i ds y s t e m s ) 是由离散事件动态系统与连续时间( 或离散时间) 动 态系统相互混和、相互作用而形成的统一动态系统它的提出与发展在理论研究和工程 应用两方面都具有非常重要的意义h y b r i ds y s t e m s 是h y b r i d d y n a m i c a ls y s t e m s 的简 称，在中文文献中，混杂系统、混杂动态系统、混合系统和混合动态系统表示的都是同一 概念 1 9 8 6 年由美国国家基金会和i e e e 控制协会召集美国控制界知名学者，在美国加州 s a n t ac l a m 大学举行了一次关于控制科学今后发展的专题讨论会，第一次提出了混杂系 统的概念【2 1 ，引起了世界上控制领域、计算机领域和应用数学领域学者的浓厚兴趣 混杂系统是同时包含连续变量和离散变量的复杂系统，能够较为科学合理的描述众 多的实际问题，受到人们的普遍重视近年来吸引了大量的研究人员从系统科学、计算机 和工程控制技术等不同角度对混杂系统的建模、分析与应用等问题进行研究并建立了一 套理论体系 3 1 控制界的国际著名杂志：i e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r o l 、 a u t o m a t i c a 等都在近年来出版了混杂系统的专刊，一些国际会议也纷纷开设混杂系统专 题，不断有新结果出现 a n t s a k l i s 在混杂动态系统专刊中1 4 给出了混杂动态系统的三种类型，其中之一即是 切换系统切换系统是由若干个子系统和一个控制规律构成，通过在各个子系统之间进行 切换实现预定的性能指标切换可以由时间或事件触发因为这种切换的引入，整个系统 常常表现出相当复杂的动态行为虽然每个子系统可能都是非常简单的，但是通过切换规 则组成的整个系统与一般的系统相比可能会具有十分复杂的动态特性 “切换 作为一种控制思想，很早就在控制理论中得到了应用在经典控制理论中，为 解决非线性系统出现的周期性振荡，特别是伺服系统的稳定问题，提出了开关伺服系统， 即包含有继电器的伺服系统，简称继电系统这种开关系统的一个最大优点是用非常简单 鲁东大学硕士学位论文 的“开”与“关 操作来完成这是“切换作为一种思想最早被引入到控制系统中 在2 0 世纪5 0 年代初期，在航空航天领域，为节省宝贵的燃料，提出了时间最优控制和 时间- 燃料最优控制问题著名的b a n g b a n g 控制原理实际上是一种时间最优控制，其给 出的最优解形式就是一个分段常值型的函数，其特点是控制量在可控输入上下边界值之 间跳变b a n g b a n g 控制的控制作用为开关函数，本质上也可以归类为继电型控制系统， 但其中由于提出“切换面 的概念，所包含的“切换”思想更加明显易见 受继电系统的相平面方法启发而建立发展起来的一种强有力的系统综合方法一滑 模变结构控制【5 1 ，采用了“切换”作为其基本思想系统状态在到达条件的制约下，系统的 运动首先趋近切换面，进入切换面的一个邻域后，或者不断地穿越切换面呈抖动的运动， 或者转换成切换面上的运动，最终趋向于状态零点变结构控制理论本质上是一种控制系 统的综合方法，通过设计切换面，人为制造切换，达到控制的目的 为了提高系统的可靠性，使得系统能够在某种故障条件下仍能够继续工作，特别是在 控制器单元失效的情形，采用了所谓多控制器( m u l t i p l ec o n t r o l l e r s ) 6 1 思想在这种理 论中，对同一受控对象，需要设计多个控制器备用，受不同条件的限制或发生不同的故障 时，选择相应的控制器，使系统仍然保持正常运行这里“切换发生在多个控制器之间 当被控对象的模型参数发生变化时，意味着系统模型参数演变中存在不确定性为了 解决系统参数不确定性问题，发展起来另外两套理论：鲁棒控制( r o b u s tc o n t r 0 1 ) 和自 适应控制( a d a p t i v ec o n t r 0 1 ) 鲁棒控制充分考虑模型变化的各种情况后设计出控制器； 自适应控制经过在线辨识，不断修改模型参数但是这两种方法都有一定的局限性，即仅 适用于系统参数变化不是很大，只是在一定的范围内波动的情况，或者系统的结构没有发 生类型上变化的情况，否则控制器将失效因此为了进一步提高鲁棒控制和自适应控制的 适用范围，可以在这两种方法的基础上引入切换来提高其总体控制性能 智能控制是控制领域的一个新的发展方向智能控制所研究的对象通常都具有模型 结构或参数上的不确定性、高度的非线性以及复杂的任务要求等特征切换系统也满足 了智能控制飞速发展的要求因为智能控制设计方法的基础可以认为是基于在不同的控 制器之间切换的思想同属于智能控制范畴的模糊控制方法和专家控制系统都在不同程 度上具有切换特征 综上所述，“切换 的思想贯穿了从最基本的开关控制到相对高级的智能控制等多 种不同的控制算法当被控对象本身的结构参数变化比较大时，传统的线性方法显得无能 为力，必须寻找处理这种对象复杂性的新方法“切换 成为解决复杂系统控制问题的有 效工具之一以“切换 的观点进行系统建模、分析和综合，这就形成了切换系统理论切 2 鲁东大学硕士学位论文 换系统在发生切换时，不仅仅对应着控制器参数的改变，同时也包含了系统参数的改变 也就是说系统结构与参数的调整和改变也成为控制手段的一种切换系统理论的提出和 建立，一方面是适应生产实践发展的需要，另一方面也促进了控制理论自身的发展 1 1 2 切换系统的定义和特点 切换系统与一般的系统相比具有复杂性和特殊性由于“切换”的引入，整个系统的 动态可能发生很大的变化因此，对切换系统的研究是非常必要的，在理论和应用上也都 很有意义 切换系统本质上是非线性系统，把复杂的非线性系统划分成若干个线性自治的子系 统每个相对比较简单的子系统通过切换控制规律构成了复杂的系统，并将系统的逻辑动 态和连续动态结合起来其中子系统可以是用微分方程描述的连续子系统，也可以是由差 分方程描述的离散子系统切换系统在运行过程中，由逻辑切换规则判定在何时系统切换 到哪个子系统，每一时刻系统的状态只能切换到其中的一个子系统 切换系统一般包括三种情形【7 】，一是受控对象的切换，例如含有饱和、静态摩擦、死 区等非线性环节的系统；二是对控制器的切换，例如智能p d 、变结构控制等；第三种是 对象和控制器均发生切换的情形由于切换控制本身具有的灵活性往往能使系统达到较 好的控制性能，所以在工程实践中得到广泛应用 切换系统的基本结构如图1 1 所示： 切换规则 a v- - ：i 控制器1 卜_ 叫- - 7 - 系纺5 1y 一 ：i 控制器2 卜_ 一子系统2 卜一一 ：i 控制器f 卜_ 一- 7 - g 统i 卜一 - - ：i 控制器刀卜一子系统y 一 图l - ! 切换系统的结构示意图 一般而言，切换系统主要具有以下特点： ( 1 ) 系统内同时存在着性质不同的两类变量：一类是离散事件状态变量，它是符号 变量，其演化由事件驱动，即由切换控制规律确定；另一类是连续时间或离散时间状态变 量，它是数值变量，其演化由时间驱动； 鲁东大学硕士学位论文 ( 2 ) 整个系统的状态演化由时间和事件共同驱动，动态特征显著； ( 3 ) 连续时间或离散时间变量到达切换边界时触发离散事件的发生； ( 4 ) 离散事件的发生使得离散事件状态发生变化； ( 5 ) 离散事件的状态的变化改变连续时间( 或离散时间) 变量演化的动态行为模 式； ( 6 ) 离散事件发生在离散时刻，具有选择性； ( 7 ) 对系统的控制可实现对离散事件状态和连续时间状态( 或离散时间状态) 的 综合控制； ( 8 ) 对系统的优化表现为在定性和定量双重指标下的综合优化 从不同的角度，切换系统有下面几种分类方法： 1 按照切换系统所包含的时间状态变量类型，切换系统可以分为以下两类： ( 1 ) 连续切换系统，是指由离散事件系统与连续时间系统构成的切换系统； ( 2 ) 离散切换系统，是指由离散事件系统与离散时间系统构成的切换系统 2 按照切换系统是否包含非线性连续时间( 或离散时间) 动态，切换系统可以分为： ( 1 ) 线性切换系统，是指由离散事件系统和线性连续时间( 或离散时间) 系统构成 的切换系统； ( 2 ) 非线性切换系统，是指由离散事件系统和非线性连续时间( 或离散时间) 系统 构成的切换系统 3 按照切换系统是否包含不确定性，可分为确定性切换系统和不确定性切换系统不 确定性切换系统是切换系统鲁棒控制理论的研究对象 如果一个切换系统的连续时间( 或离散时间) 子系统的参数是不确定的，那么该切 换系统称为参数不确定切换系统 1 2 切换系统的研究内容与研究现状 切换系统是一类重要的混杂系统，也是与控制理论( 经典控制理论、现代控制理论 和智能控制理论) 联系最为密切的一类混杂系统，主要研究内容包括切换系统的建模、 分析和控制等，切换系统是混杂系统理论与应用研究中非常活跃的一个分支在现在的 混杂系统稳定性分析结果以及其他一些研究中大多是面向切换系统的，此外对于切换系 统仿真研究也是一个重要的分支 近年来，计算机技术的飞速发展和普及应用为切换系统实施控制提供了坚实的物质 基础和广阔的发展前景，使切换系统的研究受到了国内外学术界的进一步关注，成为当 4 鲁东大学硕士学位论文 今控制与计算机科学界的前沿热点 8 , 9 , 1 0 1 下面就对切换系统的稳定性研究和鲁棒控制方 面的研究现状做一简介 1 2 1 切换系统稳定性研究 切换系统的稳定性分析是目前切换系统中的一个热点，一个实际的系统( 如控制系 统、电力系统、生态系统、化工系统等等) 必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸 于工程实施的然而，任何一个实际系统总是会受到各种偶然的或持续性的干扰承受这 种干扰之后，系统能否稳定地保持预定的运动或工作状况，这是首要考虑的性能，也就是 首先要研究系统的稳定性 目前，切换系统稳定性问题大致可以归结为三类，它们分别是： ( 1 ) 切换系统在任意切换序列下的稳定； ( 2 ) 对于一些受限类型切换序列，系统是否稳定； ( 3 ) 构造切换序列使系统稳定，即镇定问题 针对第一个问题，必须假设切换系统的所有子系统都是稳定的，但是这并不能保证 任意切换序列下的稳定性于是，提出统一李亚普诺夫函数法，其基本思想是：对于切换 系统，如果各子系统存在统一李亚普诺夫函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定 的问题的关键在于统一李亚普诺夫函数是否存在以及如何构造对于连续线性切换定常 系统膏= a x ，文献 1 1 对其进行了证明：当其子系统量= 4 x ( i = l ，2 ，) 都渐进稳定， 且各子系统的状态矩阵4 可以两两交换时，整个切换系统是渐进稳定的另外，该文献 还给出了统一李亚普诺夫函数的一种构造方法 由于统一李亚普诺夫函数这一条件往往过强，很多切换系统无法满足，尤其对于非 线性切换系统，于是开始了对于系统在一定切换序列下的稳定性或是构造切换序列是系 统稳定的问题( 即镇定问题) 的研究其中比较有效的方法是m i c h a e ls b r a n i c k y 从切换 系统特点出发提出的多李亚普诺夫函数( m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n ) 方法【1 2 】该方法的基 本思想是：给切换系统定义一组类李亚普诺夫函数，然后判断切换系统的稳定性 关于切换系统镇定的研究已取得了一定的进展文献 13 1 利用向量范数理论，讨论了 自治线性切换系统的镇定问题，给出了系统一种基于范数的可镇定的充分条件及镇定算 法当系统在满足一定条件的前提下，可以通过适当切换使系统渐进稳定这种方法比一 般的李亚普诺夫函数方法更容易应用 另外，y e ，m i c h e la n dh o u 通过放宽李亚普诺夫函数的限制进一步证明了切换系统 的广义稳定条件【1 4 】，给出了切换系统的一种新的稳定性分析，这里不要求子系统必须 鲁东大学硕士学位论文 稳定，利用每个子系统的冗余来代替多李亚普诺夫函数的方法，得到的结论更加实际 上述对于稳定性的研究方法及相关结果主要是针对连续切换系统，而对于离散时间 切换系统的研究还不多见，更没有形成一个不叫系统的方法但是离散系统却经常出现 在实际的应用中，例如：一个多模式的动态系统，由于其本身的物理特性，可能是由多 个离散时间动态子系统构成；甚至当所有的子系统都是连续时间系统时，对于整个系统 仍可以在离散切换系统的框架内处理采样数据控制问题 另外，我们可以看到，在多数情况下从连续时间切换系统到离散时间切换系统的扩 展并不明显文献【1 5 】指出，对于二次稳定的连续时间切换系统，可以容易地找到子系统 矩阵的一个稳定凸组合；但是对于离散时间切换系统，如果没有李亚普诺夫矩阵，我们 得不到这样一个组合 基于以上的分析，可以看到，对于离散时间切换系统的研究具有其实际的意义，因 此也是未来研究的重点之一目前，国内外相继有相关文章发表文献 1 6 】研究了一个切 换线性离散时间系统的可达到性的实现，证明了对于一个切换线性离散时间系统存在这 样一个基本的切换序列，该切换序列的可达到性的状态集等同于该切换系统的可达到性 的状态集，并且给出了该系统稳定的充分条件文献【1 7 】研究了切换线性离散时间切换系 统的可达到性和可控性，给出了可控性的几何描述及可达到性和可控性的可证实性另 外，文献【1 5 】还对离散时间切换系统进行了定性分析，主要研究了具有交换性、稳定组 合及平均保留时间的切换系统的指数稳定性文献【1 8 】利用多李亚普诺夫函数讨论了一 类由掰个离散子系统构成的切换系统的渐进稳定性，并给出了该系统全局渐进稳定的充 分条件 1 2 2 切换系统鲁棒控制研究 切换系统研究的另一个焦点是鲁棒控制问题实际系统中由于建模方法的局限性、 外界干扰及自身参数摄动现象的存在，对象数学模型中不可避免地存在着各种形式的不 确定性，很难得到被控对象精确的数学模型，针对不确定性对系统性能影响的研究产生 了鲁棒控制理论目前，不确定切换系统的鲁棒性分析和控制已成为控制理论的前沿课题 近来，越来越多的学者开始关注切换系统鲁棒控制研究 对于切换系统鲁棒控制研究已有很多成果国际方面，j g u c k e n h e i m e r t l 9 1 讨论了不 确定非线性连续系统切换型鲁棒控制器的综合问题，将切换型控制器引入到非线性连续 系统的鲁棒控制中，当非线性连续系统受到较大扰动时，切换型控制器仍能使其保持稳定。 他提出的切换型控制器的设计方法，对任何具有可控性和可达性的非线性连续系统都适 6 鲁东大学硕士学位论文 用c h o r n 2 0 1 和m d l e m m o n 2 1 】在t h e3 4 椭c o n f e r e n c eo nd e c i s i o na n dc o n t r o l 上探讨了 切换系统鲁棒性分析和鲁棒控制问题，m d l e m m o n 基于频域以控制理论给出了非线 性连续系统切换型鲁棒控制器的设计方法s g l a l lt 2 2 】和g e d u l l e r u d t 2 3 1 对多频采样 所产生的切换系统和带跳变的切换系统进行了也控制 国内方面，张霄力考虑了具有非线性摄动的线性切换系统的全局鲁棒镇定问题， 设计出了状态反馈和输出反馈鲁棒控制器，在不确定项满足一定的限定条件下，使不确定 闭环系统仍然具有共同李亚普诺夫函数，从而在任意的切换策略下，确保闭环系统在其平 衡点处是渐近稳定的张霓【2 5 1 采用l m i 方法研究离散事件状态转移条件为状态依赖的 参数摄动线性混杂离散系统的鲁棒稳定性问题，提出此类系统全局鲁棒渐近稳定性判定 定理，并提出了参数摄动线性混杂离散系统在李亚普诺夫意义下局部鲁棒稳定的充分条 件谢广明1 2 6 1 利用多项式插值的方法，将线性切换系统的一般形式模型转换为矩阵系数 多项式模型，以矩阵奇异值为分析工具，针对线性切换系统的切换规则不确定性，讨论了 系统渐近稳定的鲁棒性问题，并给出了两个系统鲁棒稳定的充分条件 1 3 本文主要工作 本文对一类离散时间切换系统研究其分析与综合问题，具体内容如下： 第一章为绪论，介绍了切换系统的概念，对切换系统进行了分类，并对切换系统的稳 定性研究和鲁棒控制方面的研究现状做了概述 第二章介绍了本文中所需的一些预备知识，它包括线性矩阵不等式和切换系统研究 方法两部分 第三章：研究了一类离散时间切换系统的二次稳定性利用矩阵不等式给出了在任意 的切换策略下离散切换系统二次稳定性的充分条件 第四章：研究了一类离散时间切换系统的以鲁棒性利用多l y a p u n o v 函数法得到 了切换系统鲁棒稳定且具有以扰动衰减度的充分条件 第五章：对一类含有不确定性的离散切换系统，研究了其在任意切换下的二次稳定 保成本状态反馈控制律的设计问题基于线性矩阵不等式处理方法，导出了二次稳定保 成本控制律存在的条件 第六章：对一类具有范数有界参数不确定性的离散时滞切换系统和一个二次型性能 指标，研究其鲁棒保性能状态反馈控制器的设计问题利用分段l y a p u n o v 函数方法和 线性矩阵不等式技术，给出了鲁棒保性能控制器存在的一个充分条件 第七章：本文的结论及展望 7 鲁东大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章介绍本文在离散时间切换系统分析与控制问题研究中所需的一些预备知识，它 包括线性矩阵不等式和切换系统研究方法两个部分 2 1 线性矩阵不等式 近年来，线性矩阵不等式被广泛用来解决控制领域中的一些问题许多控制问题都 可以转化为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约 束的凸优化问题首先给出线性矩阵不等式的定义 2 1 1线性矩阵不等式 线性矩阵不等式定义【2 7 】： 一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( x ) = y o + 五互+ + c 0( 2 1 ) 的一个表达式其中x a ，是m 个实数变量，鼻( 江0 ，1 ，m ) 是一组给定的实 对称矩阵，式中不等号“ 指的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有的非零向量 v r ”，v r f ( x ) v 0 ，或者f ( x ) 的最大特征根小于零 在许多将一些非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的问题中，常常用到 矩阵的s c h u r 补性质考虑一个矩阵s r ，并将s 进行分块： s ：i s -s z i l 岛-& z j 其中s l 。是，厂维的假定s 。是非奇异的，则一岛。甄1 s ：称为s 。在s 中的s c h u r 补以下 引理给出了矩阵的s c h u r 补性质 2 1 2s o h u r 补引理 s c h u r 补引理2 7 】： 如果线性矩阵不等式( l m i ) 咒渊 。 ， 炒( 功r ( x ) j p 一7 其中：q ( x ) = 矿( x ) ，e ( x ) = r 7 ( x ) 和s ( x ) 是定义在r ”上的矩阵，那么该l m i 等价于 r ( x ) 0 ，q ( x ) - s ( x ) e 一( x ) s r ( x ) 0 ；( 2 3 ) 9 鲁东大学硕士学位论文 或 q ( x ) 0 ，r ( x ) 一s r ( x ) q 。1 ( x ) s ( x ) 0 ( 2 4 ) 一般地，线性矩阵不等式的求解可归结为下列三类问题： ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) 对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验是否存在x ，使得 f ( x ) 0 成立的问题，称为一个l m i 的可行性问题如果存在这样的x ，则该l m i 问题是可 行的，否则是不可行的 ( 2 ) 特征值问题( e v p ) ：该问题是在一个l m i 约束下，求矩阵g ( x ) 的最大特征值的最 小化问题或确定问题的约束是不可行的它的一般形式为 n f m 名 i g ( x ) t i ， 1 日( x ) 0 这个问题也可转化成以下的一个等价问题 m i n e r x s j f ( 工) 0 ( 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) ：在一个l m i 约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义 特征值的最小化问题它的一般形式为 m i n 力 i g ( x ) 0 ， 1 日( x ) 0 在许多应用问题中，常常会遇到非严格的线性矩阵不等式，既包含严格线性矩阵不等 式，也包含非严格线性矩阵不等式的混合线性矩阵不等式系统对于一般的非严格线性矩 阵不等式，总可以通过消去一些隐含的等式约束，将其转化为一个等价的严格线性矩阵不 等式来处理 线性矩阵不等式的最大优点就是计算的简洁性，并且无需参数调整目前，已经出现了 许多求解线性矩阵不等式的优秀工具软件例如最常用的m a t l a bl m it o o l b o x 等我们可 以通过m a t l a b 工具箱快捷的求得线性矩阵不等式优化问题的解 2 2 切换系统研究方法 切换系统作为一类特殊的混杂系统，由于其模型的复杂性，研究其稳定性是非常必 要和有益的但是随着控制理论和工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变的和 非线性的，稳定性的分析的复杂程度也在急剧的增加对于切换系统，由于其自身的复 杂性，即具有不同于一般的连续时间系统和离散时间系统的特殊性质，这些特性也增加 l o 鲁东大学硕士学位论文 了对切换系统进行分析和设计的难度 关于切换系统稳定性的研究，目前已有许多判据可应用以判断稳定情况，但使用最 广泛也最普遍的一种方法仍然是李雅普诺夫函数方法，其中包括统一李雅普诺夫函数 法，多李雅普诺夫函数法，类李雅普诺夫函数法，分段李雅普诺夫函数法等等方法，并 且其焦点集中在如何将传统的李雅普诺夫稳定性理论扩展到切换系统中我们将在下面 分别讨论各种李雅普诺夫方法的特点，使用范围及其存在的局限性，并将引用具体文献 加以说明 2 2 1 统一李雅普诺夫函数法 存在统一李雅普诺夫函数是系统在任意切换下渐进稳定的充要条件，因而寻求统一 李雅普诺夫函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径统一李雅普诺夫函数法与传 统的李雅普诺夫直接法基本是一致的其主要思想是：对于切换系统，如果各子系统存 在统一李雅普诺夫函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定的 问题的关键在于统一李雅普诺夫函数是否存在以及如何构造对此，参考文献【1 l 】 给出了统一李雅普诺夫函数的一种构造法文献【2 8 】利用李代数对统一李雅普诺夫函数 法进行了研究，主要思想是将统一李雅普诺夫函数的存在性问题转化为切换系统李代数 的可解性问题 虽然统一李雅普诺夫函数方法已经被接受并且十分成熟，但由于统一李雅普诺夫函 数这一条件往往过强，在实际中，很多切换系统无法满足，尤其是对于非线性切换系统 因此人们不再针对任意的切换序列，而是开始寻找系统在某种特定切换序列下的稳定 性，或者是构造一种切换序列而使系统达到稳定，即镇定问题的研究 2 2 2 多李雅普诺夫函数法 多李雅普诺夫函数法是m i c h a e ls b r a n i c k y 从切换系统的特点出发提出的，这是因 为统一李雅普诺夫函数要满足的条件往往过强，实际系统中存在统一李雅普诺夫函数的 情形并不多见，而且有相当多的切换系统虽然不存在统一李雅普诺夫函数，但却可以通 过设计适当的切换序列使其渐进稳定对于这样的系统，多李雅普诺夫函数法是一种有 效的方法 多李雅普诺夫函数法的主要思想是：为切换系统定义一组类李雅普诺夫函数法 k ，扛l ，2 ，m 1 统一李雅普诺夫函数法研究切换系统对于任意切换序列是否稳定，而 多李雅普诺夫函数方法研究系统对于一类切换序列是否稳定当切换系统只有一个子系 统时，多李雅普诺夫函数法即退化为常见的李雅普诺夫直接法，当各子系统李雅普诺夫 鲁东大学硕士学位论文 函数杉相同时，可视作统一李雅普诺夫函数法文献【1 2 】进一步拓展了多李雅普诺夫函数 法，使之适用于各子系统平衡点不同的情形 2 2 3 其它问题 首先是关于李雅普诺夫直接判别法的函数构造问题，目前尚没有一个统一的方法， 需要进一步的研究另外一个问题是如果切换系统稳定，那么系统是否一定存在统李雅 普诺夫函数，即所谓逆李雅普诺夫原理问题对此，文献【2 9 】针对一类切换系统的渐进稳 定性问题进行讨论，该切换系统的动态在任何情况下都跟随向量场的一个固定集合，并 且允许向量场内子系统间的切换是完全任意的文献 3 0 针对非线性切换系统，用逆李雅 普诺夫定理研究了该系统的一致渐进稳定性文献【3 l 】使用逆李雅普诺夫方法研究了 i i s s 和i s s 切换非线性系统逆李雅普诺夫定理将是一个有意义的问题 近几年分段李雅普诺夫函数方法也得到了广泛的应用因为对于某一特定的切换序 列，统一李雅普诺夫函数的存在形式是比较保守的条件文献 3 2 】用分段李雅普诺夫函数 分析切换系统的稳定性，并且线性矩阵不等式的方法给出了基于不连续李雅普诺夫函数 的切换系统的指数稳定性判别条件文献【3 3 】用连续分段李雅普诺夫函数分析在特定切 换序列下统一李雅普诺夫函数，多李雅普诺夫函数，以及存在间断点的分段李雅普诺夫 函数的关系，并用该方法分析一类线性拟周期切换系统的稳定性 近几年也出现了李雅普诺夫函数法以外的新的研究方法，这是因为虽然李雅普诺夫 函数法得到的结果虽然在理论上是可行的，但在实际的检验中，在各子系统运行区域的 划分和相应的李雅普诺夫函数找寻上存在困难，这使得得到的结果很难直接应用文献 【3 4 利用向量投影理论讨论了自治切换系统的指数稳定性，给出了稳定充分条件，该方 法避免了状态空间划分的不确定性和李雅