（运筹学与控制论专业论文）二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 01 0 c o l l e g ec o d e ： 1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 1 6 0 1 0 6 5 e 倪s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h es e c o n d o r d e rq u a s i l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o f s i n g u l a r l yp e r t u r b e dd i f f e r e n c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： s u p e r v i s o r ： n a m e ： m a t h e m a t i c s o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s t h e o r ya n dm e t h o d s o fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o n m i n g k a n g n i c a nl i m a y ，2 0 1 0s h a n g h a i 3 删94m 34 m7，iili舢y 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人所呈交的学位论文二研扔i 茂忖撕弛蝴劾觎班7 日越 是在华东师范大学攻读砾孟博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行 的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：么垫兰2日期：水期磅日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 二硝彤状黼旗动枷沼 岳扮弓穆边：【t ，问趣 系本人在华东师范大学攻读学位期间在 导师指导下完成的硕孟博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文。 并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的 印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进 行检索，将学位论文的标题摘要汇编出版，采用影印、缩印或其他方式合理复 制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经过华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密学位论 文宰，于年 月 日解密，解密后适用上述授权 聊2 不保密，适用上述授权 导师签 日期： 硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 刘永明教授华东师范大学数学系主席 汪志鸣副教授华东师范大学数学系 刘兴波副教授华东师范大学数学系 摘要 摘要 近年来，含有内部层的奇摄动问题的解一直是奇摄动理论研究的一个热 点，对于形式渐近解和解的存在性也得到了一些很好的结果这些工作大都以 用微分不等式方法证明解的存在性为主，但在实际应用中，问题的变化规律在 时间上往往不是孤立的，由于时滞的影响，系统解的稳定性可能会发生变化 这样，研究解的结构和得到一致有效的渐近表达式就尤其重要 本文研究了一类拟线性微分差分方程的奇摄动边值问题，在一定的假设 条件下，我们把原问题看作两个分区间上的纯边界层奇摄动问题，将微分差分 方程的“分步法”和“边界层函数法”相结合，构造出了该问题的形式渐近 解，对内部层解通过光滑缝接来讨论整个区间上解的一致有效性，并用逐次逼 近法对真解与渐近解的误差进行估计，从而证明了原问题解的存在性，其中的 “缝接法”对于高维奇摄动内部层问题的处理有很好的效果最后文中给出 一个具体的算例进一步验证了该方法的可行性 关键词：奇摄动；差分微分方程；内部层；缝接法 a b s t r a c t a b s t r a c t i nr e c e n t l yy e a r s ，s o l u t i o n sw i t hi n t e r n a ll a y e r sa r ev e r yh o ti ns i n g u l a r l yp e r - t u r b e dt h e o r y m a n yg o o dc o n s e q u e n c e sa b o u tt h ef o r m a la s y m p t o t i cs o l u t i o na n d t h es o l u t i o ne x i s t e n c eh a v eb e e ng o ty e t a n dt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o ni nt h o s e p r o b l e m sw a sp r o v e dm a i n l yb a s e do n “d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y ”m e t h o d h o w e v e r , i np r a c t i c l e ，t h ev a r i a t i o no fm o s tp r o b l e m si so f t e nn o ti s o l a t e di nt i m e ，t h es o l u t i o n ss t a b i l i t yo ft h es y s t e mm a yb ec h a n g eb e c a u s eo ft h ed e l a y e da f f e c t i o n t h e r e f o r e ，c o n s i d e r i n gt h es t r u c t u r ea n d t h ee x p r e s s i o no ft h eu n i f o r m l yv a l i da s y m p t o t i c s o l u t i o ni sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n t i nt h i sp a p e r , ak i n do fs e c o n d o r d e rq u a s i l i n e a rs i n g u l a r l yp e r t u r b e dd i f f e r e n c e - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sc o n s i d e r e d u n d e rs o m eh y p o t h e s i sc o n d i t i o n s ，t h eo r i g i - n a lp r o b l e m sa r ep a t i t i o n e di n t ot h et w op u r eb o u n d a r yl a y e rs i n g u l a r l yp e r t u r b e d p r o b l e m s c o m b i n a t i n gt h e “f r a c t i o n a ls t e p sm e t h o d w i t ht h e “b o u n d a r yl a y e r f u n c t i o nm e t h o d ”i nd i f f e r e n c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，f o r m a la s y m p t o t i cs o l u t i o ni s c o n s t r u c t e d b ym e a n g o fs e w i n go r b i ts m o o t h ，w eg e tt h eu n i f o r m l yv a l i ds o l u t i o n i nt h ew h o l ei n t e r v a l a n dc o n s i d e rt h ee r r o re s t i m a t i o nb e t w e e nt h et r u es o l u t i o n a n dt h ea s y m p t o t i cs o l u t i o n ，w h i c hp r o v e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h e o r i g i n a l p r o b l e m a st od e a lw i t ht h eh i g hd i m e n s i o no ft h es i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m s w i t ht h ei n t e r n a ll a y e r s ，t h i sm e t h o di sa l s ov a l i d f i n a l l y , as p e c i f i ce x a m p l ew a s g i v e nt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo ft h em e t h o d k e yw o r d s ：s i n g u l a r l yp e r t u r b e d ；d i f f e r e n c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；i n t e r n a l l a y e r ；“s e w i n gc o n n e c t i o n m e t h o d 2 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 目录 引言l 奇摄动时滞问题的研究背景3 文章结构概述3 二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题4 问题的提出4 形式渐近解的构造5 解的存在性和余项估计1 5 举例1 9 第三章文章小结2 l 参考文献2 2 致谢2 7 引言 第一章引言弟一早 jl 苗 1 1 奇摄动时滞问题的研究背景 时滞微分方程是现代应用数学的一个重要分支，它产生于数理经济、生 物数学和物理力学的实际应用中，是上世纪六十年代由俄罗斯数学家v a s i l e v a 开始研究的一种新的奇摄动方程，讨论的是带有小延滞的问题： f 之( 力= ，( 乏o - u ) ，z ( o ，z ( t 一) ，d ， iz ( t ) = z o ( d ，之( f ) = 之o ( f ) ，- i z t 0 是小参数，b 0 ，妒( 0 ，0 ) = 妒( 7 r ，0 ) = 0 ，l t 2 文中用差分微分 方程的分步解法，得到了在讨论区问上的一致有效解，并给出了余项估计 在奇摄动理论的研究过程中产生一个很重要的部分：空间对照结构，它广 泛应用于量子力学，流体力学，金融数学和生物数学等学科，它的解的形态也 是近年来国内外奇摄动学者研究的主流方向这种问题解的结构按照退化解 的个数通常可以分为两利- 情况：阶梯状和脉冲状当小参数- 0 时，区间一 部分【0 ，f l 】上的解趋向于退化问题的一个解，区问另一部分矿，丁】上的解趋向 于另一个退化解因此，在转移点t 附近，解的结构会在很短的时空内发生剧 烈地变化，并形成一个内部层现象目前在这方面已有的大量工作【4 1 【4 7 】， 主要是应用边界层函数法和微分不等式方法来研究 倪明康教授与林武忠教授2 0 0 9 年在高校应用学报上发表了关于一 类二阶具有阶梯状空问对照结构的半线性奇摄动d i r i c h l e t 问题【4 8 】 其中是s 小参数，f ( y ，曲是某个给定区域内的光滑函数文中用边界层函数法 构造了问题的渐近解，给出了转移点r 的渐近表达式，并用微分不等式方法 证明了阶梯状空间对照结构的存在性和进行了余项估计在与汪志鸣副教授 2 l “ 叫 d 0 l必 破 ，陬叫 = 苟矿胞，-，l- 引言 合作的高维奇摄动系统阶梯状结构【4 9 冲对【4 8 】进行了进一步的研究，但考 虑的是脉冲状空间对照结构的情况文中在转移点进行光滑连接，不仅给出内 部转移层存在的条件，而且确定了问题的解发生转移变化的时问，同时构造出 关于阶梯状对照结构一致有效的渐近解 【5 0 】中讨论的是一类二阶半线性微分差分方程 fg y ”= f f y ( f ) ，y ( x 一回，0 ，0 f l ly ( 力= 妒( 矽， - 6 t 0 ，) ，( t ) = y z ， 其中( 工) 是一6st 0 上的光滑函数，矿是偏差，丁是某个正数文巾用缝接 法证明了光滑解的存在性，并构造了一致有效的渐近解该方法目前在奇摄动 问题的空间对照结构研究中已具有出强大的生命力 1 2 文章结构概述 对于含有时滞的奇摄动问题，已有的研究大都是针对线性差分微分方程 的边界层现象讨论解的存在性，对解的存在性的证明也多是采用微分不等式 方法但实际问题中以非线性情况居多，在应用和具体计算时对解的结构形态 和渐近表达式更要有很深的认识本文探讨的是一类拟线性奇摄动差分微分 方程边值问题的内部层，将“边界层函数法”和“缝接法”相结合构造并得到 一致有效的解的渐近表达式证明过程中，我们是用逐次逼近法对误差函数进 行估计，并把渐近解精确到d 0 肿1 ) 量阶 本文分为两章第一章为引言部分，主要介绍时滞问题在奇摄动理论中的 发展及解决这类问题的主要方法，然后介绍了前人的一些研究成果第二章是 文章的主要部分，讨论的是一个二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题，由 于时滞的影响，问题的解在区间一点t = 矿附近出现内部层在解决该问题的 过程中，我们是把原问题在两个分区间上分别进行讨论，即把原问题分为两个 纯边界层问题利用边界层函数法分别构造出两个问题的渐近解，在点f = 1 3 处对渐近解进行光滑缝接，从而得到原问题一致有效的渐近解接下来，文中 给出一个实例来进一步验证前面所阐述的方法 最后，在第三章中，对于本文的结果进行总结，分析并思考了一些可以用 奇摄动理论进一步解决的问题 3 第2 章阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 第二章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 2 1 问题的提出 考虑下面一个二阶拟线性微分差分方程的奇摄动问题： f 乒旷= ao ，( f ) ，y ( t o r ) ，t ) y 7 + b f y ( t ) ，f ) ，0sf z ( 2 1 ) i ) 力= 妒( f ) ，一1 7 f 0 ，) ，( 丁) = y 7 ， ( 2 2 ) 其中0 0 ，0 fso r ； a ( 卢( f ) ，o t ( t 一力，f ) 。，且由( 2 1 6 ) 的方向场有：，l 。i m 一。夕( t ) = 口( 力因此， 问题( 2 1 6 ) 有解夕从而有 q o y = 夕一口( 力( 2 1 7 ) 这样，问题( 2 11 ) 就存在唯一解 q o y ，q l z ，当r _ 一0 0 时它们都是指数 衰减的函数但是这里求得的解 q o y ，q l z 仍与参数肌有关 7 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 引理2 1 如果j 句题( 2 4 ) 和( 2 5 ) 满足条件日l 一胁，贝c 有下面不等式成立 i q o y i c o l 矿，i q - l z i ，1 0 ， 其中c 吩，c 0 4 和x 都是正常数 9 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 上面所求的解 q y ，q 爿z l 仍与参数p o 有关f 面我们要求( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解在t = 矿处光滑： 未y ( 一( 仉) = 昙+ ( 以) ， ( 2 2 7 ) 即 d q ( o - ) y ( o ) = 昙甜， d ( o - ) + 导q ：) y ( o ) = ( 力+ 芸q ( + ( o ) ， ( 2 2 8 ) 难( 0 9 + 芸鲅( o ) = 炙- l ( 力十芸甜汐( o ) ，七2 由零次光滑性条件有 f、阳r釉 ja ( ) ，妒( o ) ，o - ) a y = l a ( y ，口( o ) ，o - ) a y j口(力j觑力 记 ，册i p o h ( p o ) = j a ( ) ，妒( o ) ，o - ) d y f a ( ) ，似o ) ，一d y ( 2 2 9 ) j “力州力 由于妒( o ) = 口( 0 ) ，则 ，似一 h ( p o ) = i a ( ) ，妒( o ) ，矿) d y 三0 ， d e , ( o - ) 即为条件日4 因此，p o 的值在方程( 2 2 9 ) 中不能确定，只能在一次近似中求出 左内部层问题确定一次近似 q z q ( 一) y j 的方程和边值条件为 昙q 3 - z = a 鲸z + k 叭咖+ 夕- ( 力+ q ( _ y 】+ 彳妒( 昕+ a r 丁) 蚓z + 晤一a 疡( 力+ b ( 口( 力+ q ( - ) y ，a ) - b ( a ( c r ) ，力， _ u a 。o i i - ) y = q o - ) z ， q f ) y ( o ) = p l 一夕l ( 力，q 【- y ( - o o ) = 0 ， 其中 和分别表示在点 ，妒( o ) ，o - ) 和点( 口( 力，妒( o ) ，力处取值记 五- ( d = 陬( 力下+ 夕( 力】+ a 妒( o ) 丁+ a ，1 - ) 蚪z 1 0 ( 2 3 0 ) 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 + ( 五一石) 动( 力+ 召 ，o - ) 一b ( a ( o - ) ，0 9 ， 磊l 是与o ( 0 - z ，q ( _ 汐和p l 无关的函数，这样可把( 2 3 0 ) 改写为 d q ( 0 - ) z - 旦d t q ( 1 一功+ 五- 。) ， r 。7 ， “” 两边同时从一o o 到下积分 从而 o o - ) z ( 力= a q ( _ 汐+ 础郴j q o - ) z ( 。) = a ，则) ，洲p 。呐( ) + 砾一打 右内部层问题确定一次近似 q 矿z ，q ( + 的方程和边值条件为 昙甜z = a 鲸z + 弘y 拶( 矿) f + 歹一( 力+ 甜y 】+ a 妒以0 ) 丁+ 五r ) q ：z + 口一磊) 而( 力+ b ( 口( 旷) + 醵汐，一一烈口( 力，一， 导甜，) ，：q 池 u q j + ( o ) = p l 一萝l ( 0 9 ，q 【+ 灭+ ) = 0 ， 其中”和”- 分别表示在点 ，口( 0 ) ，o - ) 和点够( 旷) ，口( 0 ) ，o - ) 处取值记 五( f = 冬【( 一下+ 歹- ( o - ) 1 + a 妒( o ) 1 + a ，1 - ) q 墨z + 一肓) 而( 力+ b ，o - ) 一b ( 卢( 力，0 9 ， 同样的方法可得到 甜) z ( 。) = a ( 肌，口( 。) ，力( p 。一歹l ( 力) + c | j ；- ( 下) d 下 由( 2 2 8 ) 中一次光滑性条件，有 ( 矿) 一口7 ( 一= a ( p o ，似o ) ，力眵l ( 力一朔( 们) + 砾州f c 讯，h ( 2 3 1 ) 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 记 g ( p ) = a ( p o ，妒( o ) ，矿) 眵l ( 一一夕l ( 矿) ) + 一i f ( o - ) + 袱d d f 一讯订打- 0 ( 2 3 2 ) 是关于p 的方程其中 讯t ) d 丁= 一( 州锄( m 跏，( 0 ”五丁) 扣 + 口7 ( 们j ( 左一a ) d r + f 【b ，1 7 ) 一召( 口( 力，o - ) 】d 1 - 州( 一锄( 刚e 墨( y ) d y + m 0 ) + a t ) 下d y = 【( 一+ 夕l ( 力】i a ) ，+ i( a 妒妒( o ) + a f j l d y ，口( 口- )j 仃( 力 + i 【a 口7 ( 力+ b ，c r ) d r f i 口( c y - ) + b ( 口( ，们】d f = i l + 如+ 厶+ 厶， ( 2 3 3 ) 这里的i i 是已知量，可通过积分求出；厶= 0 ( 由h 2 n - - i 失n ) 由( 2 1 4 ) 可得 警= l 熊则m 鸳， 则 a r = 爵丽d r ，( 2 3 4 ) f = j ：y 瓦丽d 而y 丽 把( 2 3 4 ) 和( 2 3 5 ) 代入到( 2 3 3 ) 中 如= e 仁( 州，y 哪吖d r , d y ， ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) i 峭塑盟熊 圪 口一 力鱼艮 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 l 司理j 得 胁一哕圳俐砌咖+ 踹妙 + 朋，) j ：r 南毋 亿3 8 ， 由( 2 3 3 ) 和( 2 3 8 ) 可知，方程( 2 3 2 ) 只和未知数p o 有关做假设 凰假设方程g p ) ：o 有唯一解p = 肋，且关i o 把册的值分别代入到( 2 11 ) 和( 2 2 4 ) 中，就可确定出零次内部层 q 乎，q 署z 的各项了 与 q ( 引y ，q 孑z 的方程类似，下面写出 q y ，q 2 z j ，k 2 满足的方程和 边值条件 f 芸粥z = d ( i q ：- y ) + 敏 1 昙砑) y = 皑z ， ( 2 3 9 ) 【q ) ，( o ) = m 一孰( 力，砑枞一o o ) = 0 ， 其中五i 是只与醇，q ；- ) y ，e - ：r 有关的已知函数； 鲁础z = 昙 醇+ 氟 未甜= 粥z ， ( 2 4 0 ) 甜) ，( o ) = p k 一孰( 力，甜枞一o o ) = 0 ， 其中免是只与q 妒，q ( + ，端) ，有关的已知函数 把问题( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 化为二阶线性非齐次方程，其对应齐次方程分别 有特解d q z o * 一 y 由刘维尔公式和常数变易法，它们的解可以表示为如下形式： q f q ( k - ) y = ( 以咧硼黎+ 艺( r ) j r oi 而批袱棚咖 甜汐= ( 肌一氪( 怒+ 2 ( r ) r 丽南r 鼬( 蜘鼬灿机 1 3 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 这里u 。( 订= e x p ( 一r a ( s ) d 0 ，w 2 ( f ) - c x p c - f a ( s ) d 0 这样即求得k 次近似q # y 的表达式( 仍与未知量p l ，p k l 有关) 关于 q ) y ，鳐z ，k 2 是指数衰减的函数也很容易证明，这里就不再赘述，直接 写出结论 引理2 2 , 如果满足条件日l 一凰，则下面不等式成立k 1 i q ) y l g ie x p ( - w r ) ，l q 曷z i c k 2e x p ( 一州， ( 2 4 1 ) 其中c k 是正常数x o 由k + 1 次近似可得 ，叮 q l - z ( 砷= a ( y ，似卜力，f ) q 龆) ，( d + f + l ( s ) d s ， 甜z ( 1 ) = a ，t r ( t - t r ) ，f ) 粥y ( 丁) + f 五“l ( s ) d s 则有 为求肌( 七1 ) 的值，我们仍利用( 2 2 8 ) 中光滑性条件 或( 力+ 醇z ( o ) = 觅( 们+ 甜z ( o ) ， 觅( 力一或( = a ( p o ，妒( o ) ，们晚+ l ( 力一甄+ l ( 力) + 础灯舻c 轧。批 ( 2 4 2 ) 由上式和( 2 2 8 ) ，化简后可得 筹l 伽肌= 炙( 力一觅( 力+ 6 ( p o ，p h 一一，m 1 ) ( 2 4 3 ) 这样，在假设凰下，存在唯一的p k 使得( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 成立这样就可 以确定项q # 的值这样就完成了渐近解的构造 1 4 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 2 3 解的存在性和余项估计 按照上一节的做法，我们求出了( 2 6 ) 和( 2 2 1 ) 的级数解的直到n 阶的各 项表达式，记 则有如下定理成立 0 t 仉 矿t l( 2 4 5 ) 定理2 4 在条件玩一飓- f , 必存在考数肋 0 和c o ，使得当0 s 肋 耽j 可题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 在0st t 上存在唯一序9 解且满足不等式 i x ( t ，) 一墨( f ，) lsc l n + 1 ，0 t t( 2 4 6 ) 证明：我们令 u ( t ，t a ) = z ( t ，p ) 一z n ( f ，) v ( t ，) = y ( t ，p ) 一y n ( 厶p ) 其中z ( f ，p ) ，y ( t ，1 1 ) 是所求问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解， 死( f ，p ) = l + 矿+ 1 弗+ l ( 订， 0 ts 以 矿冬t r 将z = 磊+ u ，y = 元+ y 代入( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中即得关于“和l ，的方程组 警“佤扎瞰+v】，f)阱卅她帅百dznd(247)v-dy l 【面川乙一百， u 一 1 5 甜 g 正 l 一 一 0 ，当0 l a o 时， 问题( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 在0 t t 上有唯一满足不等式 l u ( t ，u ) l c z + 1 ，i v ( t ，u ) l c u n + 1 ，0 t t ( 2 4 9 ) 日l ( f = a ( 蹦d y 鼢乙州翱一警 ( 2 5 。) k 加乙一百 u j w 由引理( 2 2 ) ，当充分小时，易得关于h l ( p ) 和h 2 ( t ，1 1 ) 的估计式( 参见【3 3 ， i h l ( ， ) i c l z h + 1 ，n 2 ( t ，p ) 三0 ，0st l0 0 ，o 0 ，当 l v i i 5i 少l 】is 最 i u l i 反 i v 2 l 5i i v 2 ls 最i u 2 i 最0 0 ，1 0 0 ，只要i u l ( f ，p ) i 蠡i u 2 ( t ，乒) l 最当 0 t l0 i t 1 1 0 时，有 i q ( u l ，f ，p ) 一q ( h 2 ，f ，i t ) l s m a x l u l ( t ，) 一u 2 ( t ，i t ) l( 2 5 8 ) o t t 性质1 易证，性质2 的证明如下： = ，小洲) d s + o ，厂姒蹦) d s + o ) 稚，卜叫) d s + o ，r 町以叫) d s + o _ p ) i s l u l - - i 2 - + 扣ri u l - - u 2 m + u l - - u 2 m s s 1 i - - u 2 i + ( 1 + 三) 办。m 鲥a x 丁l “。( f ，p ) 一“z ( f ，训( 令言扩c ) 万程( 2 5 6 ) 刚以写成等价的积分万栏： 础= e x p ( 三f a ( 叫灿) 。斛1 ) + re x p ( 三r a ( 洲) d 功 a y ( 蹦冯( 蹦) +毋(s，)】厂。“(，7，)dr+alyf$-odo0 “( 玑卢) d j 7 + q ( s ，) ) d s ( 2 5 9 ) j 式中的o f f , “) 根据( 2 5 4 ) 得到将上式重新写成如下形式 础= f 她叫) 如d s + 跏 ) ( 2 删 这里 k c “m = ，三e x p ( 三f a ( 仍砌) b c 坊场c 玑) + 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 + 毋( ，7 ，i t ) d ，7 + ab ，j i“( ，7 ，) d r d r o 一 且满足 i k ( t ，洲) i c ( 1 + 去e x p ( 盯) ) ，0 j f sl0 i t - 1 0 ( 2 6 1 ) 积分算子s ( u ，f ，p ) 的表达式不难写出，而且也可以验证s ( u ，t , i t ) 具有和积分 算子q ( u ，t , l a ) 类似的两条性质 我们用r ( u ，f ，p ) 表示核k ( u ，t ，p ) 的预解式，由( 2 6 1 ) 中k ( u ，f ，p ) 的有界 性，预解式r ( u ，t , i t ) 也有界，把( 2 6 0 ) 中s ( u ，t , i t ) 看作该积分方程的非齐次项， 则( 2 6 0 ) 可化为等价的积分方程 p u ( t ，i t ) = s ( u ，f ，i t ) + i 尺( f ，文i t ) s ( u ，f ，i t ) d s 兰t ( u ，t , 1 1 ) ( 2 6 2 ) j o 显然积分算子t ( u ，f ，i t ) 也具有类似于q ( u ，t , p ) 的两个性质，即当l u l ，充分小 时，它是一个压缩算子 为证明定理2 3 ，只需对( 2 6 2 ) 应用逐步逼近法【2 4 ，就可得到( 2 6 2 ) 存在 唯一的解u ( t ，) 且满足不等式 “( f ，i t ) l ( ：矿+ 1 ，0 t l0 p o ( 2 6 3 ) 根据( 2 6 3 ) ，可得到吠r ，p ) 也具有同样的估计由于懿+ l ( ) 为有界函数，因 此即证得( 2 4 6 ) 2 4 举例 m 扎卞2 川t 嗽 令p = 0 ，得到退化方程 o = p 一夕。一j 2 ) + ( 主+ ；) p ， r 第2 章二阶拟线性奇摄动微分差分方程边值问题 则少三0 由) ，( 0 ) = 1 ，y o ) = - 1 ，则 夕( d = 很容易验证，问题满足条件日l 一胁，下面我们来验证条件飓 在本问题中，由一次光滑性条件可得 g 咖 触一舢下一o ( 2 蚴 由( 2 3 1 ) 可得 同样地，可以得到 讯一打= 三r - n 咄 代入( 2 6 4 ) 中，化简即得到关于未知数p o 的线性方程： 。= 昏咄 求得p o = o 这样即满足 _ 2 3 v i 一 f f 一 一23 0 ， i l 一 ，-l_i，、i-lll 丽 万 渺y 塑咄 ) d 一 a 一蟮kk 卜皇净型州 。叠一 e d 0 r 山 m e r 斯 第3 章文章小结 第三章文章小结 关于时滞的奇摄动问题的解决方法有很多种，本文在前人研究的基础上 讨论了一类拟线性单时滞变量问题并构造出一致有效渐近解 本文丰要运用了分步法，边界层函数法和缝接法其中边界层函数理论在 某些方面已经发展地非常完善，而缝接法是一种新的方法，它是在两个两点奇 摄动纯边界层问题渐近解的基础上，通过对轨道进行光滑缝接进而得到整个 区间上一致有效的渐近解这种方法现阶段已显示出很强的优越性，对于解决 奇摄动内部层问题发挥着很大的作用，包括空间对照结构中的阶梯状解和脉 冲状解，角层现象和方程右端是不连续函数等情况用缝接法不仪可以解决一 维奇摄动内部层问题，甚至对高维奇摄动内部层问题的处理上也有很好的效 果 本文在理论上构造出了问题光滑的渐近解，由于人们在利用数值方法对 奇摄动问题的研究上已取得了大量成果，今后我们可以考虑把摄动方法与数 值方法相结合，并利用计算机模拟来研究时滞的奇摄动问题，将奇摄动理论更 好地应用于实际此外，我们还可以进一步讨论依赖于多个时滞参数的奇摄动 空问对照结构、在临界情况下具有转点的空间对照结构等问题解的情况和构 造一致有效的渐近解以及研究以上情况的高维情形 2 1 参考文献 参考文献 【1 】d yt z o u m a c r o t o m i c r o s c a l eh e a tt r a n s f e r m w a s h i n g t o nd c ：t a y l o r & f r a n c i s ，1 9 9 7 【2 】d d j o s e p h ，l p r e z i o s i h e a tw a v e s j r e v m o d e mp h y s ，1 9 8 9 ，6 1 ：4 1 7 3 【3 】m w ：d e r s t i n e ，h m g i b b s ，e a h o p f , d l k a p l a n b i f u r c a t i o ng a pi na h y b r i do p t i c a ls y s t e m j p h y s r e v a ，1 9 8 2 ，2 6 ：3 7 2 0 3 7 2 2 【4 】m b e s t e h o m ，e vg d g o r i e v a ，f o r m a t i o na n dp r o p a g a t i o no fl o c a l i z e ds t a t e s i ne x t e n d e ds y s t e m s j a n n p h y s ，2 0 0 4 ，1 3 ：4 2 3 - 4 3 1 【5 】t a b u r t o n f i x e dp o i n t s ，s t a b i l i t y , a n de x a c tl i n e a r i z a t i o n 【j 】n o n l i n e a ra n a l ， 2 0 0 5 ，6 1 ：8 5 7 8 7 0 【6 】m oj i a q i ，w a n gh u i ac l a s so fn o n l i n e a rn o n l o c a ls i n g u l a r l yp e r t u r b e d p r o b l e m sf o rr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s j j b i om a t h e m a t i c s ，2 0 0 2 ， 1 7 ( 2 ) ：1 4 3 1 4 8 【7 】x l i a o ，h o p fa n dr e s o n a n tc o d i m e n s i o nt w ob i f u r c a t i o ni nv a nd e rp o le q u