（运筹学与控制论专业论文）一类不确定随机系统的鲁棒控制.pdf

立进 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：垒垒交 日期：塑”? 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：蝉导师签名： j l i i 东大学硕十学位论文 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 符号说明i v 第一章预备知识1 1 1 引言1 1 2 问题的给出及基本知识准备4 第二章带最优衰减率的鲁棒镇定问题8 2 1 带最优衰减率的镇定问题8 2 2 带最优衰减率的鲁棒镇定问题1 1 2 2 1 考虑l i 确定随机系统输入小带噪声的情形1 3 2 2 2 考虑不确定随机系统输入带噪声的情形1 6 2 3 例子1 8 第三章带最优衰减率的动态反馈控制问题2 0 3 1 引言2 0 山东大学硕士学位论文 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t 】 e n d m ha b s t r a c t i i i n o t a t i o n s 1 1 1 7 7 c h a p t e r1 p r i o rk n o w l e d g e 1 1 1i n t r o d u c t i o n 1 1 2 p r e l i m i n a r i e sa n dp r o b l e ms t a t e m e n t 4 c h a p t e r2 r o b u s ts t a b i l i z a t i o nw i t hm a x i m a ld e c a yr a t e 8 2 1o p t i m a lc o n t r o l l e r sw i t hm a x i m a ld e c a yr a t e 8 2 2r o b u s ts t a b i l i z a t i o nw i t hm a x i m a ld e c a yr a t e 1 1 2 21i n p u tw i t h o u tn o i s eo fs t o c h a s t i cs y s t e m s 1 3 2 2 2i n p u tw i t h o u tn o i s eo fs t o c h a s t i cs y s t e m s 1 6 2 3 n u m e r i c a le x a m p l e s 1 8 c h a p t e r3o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lw i t hs p e c t r u mc o n s t r a i n t sf o ru n c e r - t a i ns t o c h a s t i cs y s t e m s 2 0 3 1i n t r o d u c t i o n 2 0 3 2 b a s i ct h e o r e m 2 2 c h a p t e r4r o b u s t 比s t a b i l i z a t i o nw i t hm a x i m a ld e c a yr a t e 2 6 4 1 d e f i n i t i o na n dp r e l i m i n a r i e s 2 6 4 2r o b u s t 如s t a b i l i z a t i o nw i t hm a x i m a ld e c a yr a t e 2 7 r e f e r e n c e s 3 2 p r o 丘k 3 5 一i i 一 f f f 东大学硕十学位论文 一类不确定随机系统的鲁棒控制 张益平 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 自从2 0 世纪六十年代开始，由于随机建模在自然科学和工程的诸多领域 中得到了应用，随机系统开始受到了越来越多的重视，得到了许多关于随机 系统的结论，也提出了许多随机系统不同的研究方法。随机系统的控制问 题作为理论和实践研究的重要题目，在f 8 ，9 1 中进行了深入的研究。在文献 中给出了许多关于随机系统的结论，例如f 1 2 1 用随机代数r i c c a t i 方程的方法 研究了有限时域随机线性次的最优控制问题( l q 问题) ，其中动态扩散 项取决于状态变量和控制变晕。f 6 1 和f 1 4 1 研究了不同类型离散随机系统的鲁 棒比控制问题，其中使用了线性矩阵不等式( l m i ) 的方法来研究问题。 在f 7 1 中关于连续时问随机系统的比问题通过动态输出反馈控制器的方法 来研究，其中给出了随机系统的有界实引理。在【1 5 1 中可找到离散时间随机 系统相关的结论。f 1 6 1 用r i c c a t i 不等式技术对带状态依赖噪声的随机玩日。 控制问题研究。通过应用扩散过程的最优控制问题在1 0 1 中刻画了一类非线 性随机控制系统的可控集合，当比控制器是由【l7 1 中一类非线性随机时滞 系统构造。在均方意义- i r 1 8 研究对于带时变时滞、马尔科夫变换及非线形 性。在由m e y n 和t w e e d i e 所写的书2 2 1 中介绍了关于马尔科夫链的基本理论 和应用，其中包含了离散时间和一般状态审问的情形。 随机系统的稳定和镇定问题已经被许多研究者广泛研究，随机系统的绝 对镇定和极大极小控制的问题在f 2 0 1 中进行了研究。带多维摄动的稳定线性 随机i t 5 系统的稳定半径的特征在f 1 3 1 中进行了研究。f 1 9 1 讨论了对于一类离 散时间随机系统，在均方意义下四种指数稳定的定义，且均等价。为了研 究随机系统的稳定和镇定问题，在1 2 0 l 中提出了谱的概念和谱的配置问题， 这类似于确定系统中极点的概念和极点配置问题。并且2 0 】说明随机系统镇 定的充分必要条件是存在一个状态反馈控制器使得闭环系统的谱在复平面 的左开平面。因此1 2 0 中提出的谱的概念在处理随机系统的镇定问题是有效 的。f 2 1 1 给出随机系统的谱4 i 能任意配置，即使系统特殊化为可控的确定系 l i j 东大学硕十学位论文 。然而，我们可以研究将随机系统分布在复左半平面的谱排成线。为达到 个目的，【2 1 】提出了“镇定度”的概念。但值得一提的是，【2 1 q 髓机系统 镇定度”的结论与确定系统的结论不相符，因为“镇定度”取决于【2 0 】中 出的谱的概念。 在本文中我们关心线性系统的指数镇定问题，众所周知，随机稳定作 许多物理问题的蓖要假设有着重要的作用。f 1 2 1 研究了有限时域最优随机 性二次控制问题。为研究随机代数r a c c a t i 方程( s a r e ) ，s a r e 来源于 题：l m i 的可行性等价于s a r e 的可解性，文章f 2 0 l 应用谱技术解决稳定问 。而且我们知道渐近均方稳定、指数均方稳定和随机稳定等价。在实践中 常需要设计控制器使得闭环系统能够尽可能快的收敛，即有一个最优衰减 。这个问题对于线性确定系统已经解决。线性随机系统的相关结论在【l 】 给出。 本文将在线性随机系统的基础上研究关于带凸多面体的不确定随机系统 一系列问题，讨论不确定随机系统的最优衰减率，给出系统指数均方稳 、鲁棒稳定及鲁棒镇定的条件，并且设计出状态反馈控制器、动态反馈控 器。文章第一章给出一些基本引理，描述本文中研究的问题，给出最优衰 减率定义，第二章研究在最优衰减牢限制下的随机稳定、随机镇定问题，通 过l m i 方法，设计出状态反馈控制器，保证闭环系统随机稳定且由最优衰减 率。第二章进一步研究最优衰减牢限制下鲁棒随机稳定、鲁棒镇定问题，并 且设计出状态反馈控制器，第三章再次讨论最优衰减率限制i - 动态输出反馈 问题，设计动态输出反馈控制器使得闭环随机稳定。第四章研究最优衰减率 下随机系统的鲁棒的稳定镇定问题。 关键字：指数均方稳定：最优衰减率； 一i i 一 山东大学硕十学位论文 r o b u s tc o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i n s t o c h a s t i cs y s t e m s y i p i n gz h a n g ( s c h o o lo fm a t h i m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t s i n c et h e1 9 6 0 s ，s t o c h a s t i cs y s t e m sh a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o na ss t o e h a s - t i cm o d e l i n gh a sc o m et op l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yb r a n c h e so fs c i e n c e a n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ag r e a tn u m b e ro fr e s u l t so i ls t o c h a s t i cs y s t e m s h a v eb e e np r e s e n t e da n dv a r i o u sa p p r o a c h e sh a v eb e e np r o p o s e d c o n t r o lo f s t o c h a s t i cs y s t e m si sar e s e a r c ht o p i co fb o t hp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a li m - p o r t a n c e ，w h i c hh a sr e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n 【8 ，9 】m a n yr e s u l t sr e l a t e dt o s t o c h a s t i cs y s t e m sh a v eb e e nr e p o r t e di nt h el i t e r a t u r e f o ri n s t a n c e ，a no p t i m a l s t o c h a s t i cl i n e a r - q u a d r a t i cc o n t r o lp r o b l e mw a si n v e s t i g a t e db yas t o c h a s t i ca l - g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o na p p r o a c hi ni n f i n i t e - t i m eh o r i z o ni n 【1 2 1 ，w h e r et h e d i f f l m i o nt e r mi nd y n a m i c sd e p e n d so nb o t ht h es t a t ea n dt h ec o n t r o lv a r i a b l e s t h er o b u s t 如c o n t r o lp r o b l e mf o rd i f f e r e n tt y p e so fd i s c r e t es t o c h a s t i cs y s t e m w a ss t u d i e di n 【6 a n d 【1 ；1 】，r e s p e c t i v e l y , w h e r eal i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c hw a sd e v e l o p e dt os o l v et h ep r o b l e m t h eh - t y p et h e o r yw a sc o n - s i d e r e df o rc o n t i n u o u s - t i m es t o c h a s t i cs y s t e m sv i ad y n a m i co u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e r si n t 1 w h e r eav e r s i o no fb o u n d e dr e a ll e m m af o rs t o c h a s t i cs y s t e m s h a sb e e nd e v e l o p e d t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nd i s c r e t e - t i m es t o c h a s t i cs y s - t e mc a nb ef o u n di n 1 5 s t o c h a s t i ch 2 | h xc o n t r o lw i t hs t a t e - d e p e n d e n tn o i s e w a si n v e s t i g a t e df o ri t 5d i f f e r e n t i a ls y s t e m si nf 1 6 1v i at h er i c c a t ii n e q u a l i t y t e c h n i q u e ac o n t r o l l e rs e to fac l a s so fn o n l i n e a rs t o c h a s t i cc o n t r o ls y s t e m s w a sc h a r a c t e r i z e db yu s i n go p t i m a lc o n t r o lt h e o r yo fd i f f u s i o np r o c e s s e si n p o ， w h i l e 比c o n t r o l l e r sw a sc o n s t r u c t e df o rac l a s so fn o n l i n e a rs t o c h a s t i ct i m e - d e l a ys y s t e m si nf 1 7 d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yi nt h em e a n - s q u a r es e n s e h a sb e e ns t u d i e df o rs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ，m a r k o v i a n s w i t c h i n ga n dn o n l i n e a r i t i e si na r t i c l e 【1 8 b a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o n sc a n i i i 山东大学硕士学位论文 b ef o u n di nt h eb o o kb ym e y na n ds w e e d i e 【2 2 o nm a r k o vc h a i n se v o l v i n gi n d i s c r e t et i m ea n do ng e n e r a ls t a t es p a c e s s t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o no fs t o c h a s t i cs y s t e m sh a v eb e e ns t u d i e de x t e n - s i v e l yb ym a n yr e s e a r c h e r s t h ep r o b l e m so fa b s o l u t es t a b i l i z a t i o na n dm i n i m a x c o n t r o lw e r ei n v e s t i g a t e di n 【11 ji nt h ec o n t e x t c h a r a c t e r i z a t i o n so fs t a b i l - i t yr a d i io fas t a b l el i n e a rs t o c h a s t i ci t 6s y s t e mw i t hr e s p e c tt os t r u c t u r e d m u l t i - p e r t u r b a t i o n sw e r ep r e s e n t e di n 【1 3 1 f o u rt y p e so fd e f i n i t i o n so fe x p o - n e n t i a l ss t a b i l i t yi nt h em e a ns q u a r ea r ed i s c u s s e df o ram o r eg e n c r a lc l a s so f d i s c r e t e - t i m el i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m si nf l9 】，a n dt h e ya r ee q u i v a l e n tf o rt h e s y s t e mc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r i no r d e rt oi n v e s t i g a t e ds t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a - t i o n ，t h es p e c t r u mc o n c e p ta n ds p e c t r u ma s s i g n m e n tp r o b l e mw e r ep r o p o s e di n 【2 0 】；t h e s ea r es i m i l a rt ot h ep o l ec o n c e p ta n dp o l ep l a c e m e n to fd e t e r m i n i s t i c s y s t e m s i tw a sd e m o n s t r a t e di n 2 0 】t h a tas t o c h a s t i cs y s t e mi ss t a b i l i z a b l ei f a n do n l yi ft h e r ee x i s t sas t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rs u c ht h a tt h es p e c t r u mo f t h ec l o s e - l o o ps y s t e mb e l o n g st ot h eo p e nl e f t h a n d s i d ec o m p l e x p l a n e t h e r e - f o r e ，t h ec o n c e p to fs p e c t r u mp r o p o s e di n 【2 0 】i se f f i c i e n ti nd e a l i n gw i t ht h e s t a b i l i z a t i o np r o b l e mf o rs t o c h a s t i cs y s t e m s a ss h o w n i n 【21 1 ，t h es p e c t r u mo f as t o c h a s t i cs y s t e mc a n n o tb ea s s i g n e da r b i t r a r i l ye v e ni fi tr e d u c e st oac o n - t r o l l a b l ed e t e r m i n i s t i cs y s t e m h o w e v e r ，w ec a nc o n s i d e rt h ep r o b l e mo fp u t t i n g t h es p e c t r u mo fas t o c h a s t i cs y s t e mi nt h eo p e nl e f t - h a n ds i d ec o m p l e x p l a n e o fo n el i n e f o rt h i sp u r p o s e ，t h ec o n c e p to f s t a b i l i z i n gd e g r e e ”w a sp r o p o s e di n 1 2 1 i ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a tf o rt h ed e t e r m i n i s t i cc a s e ，w h i c hi sd u et ot h e a d o p t i o no ft h ec o n c e p to fs p e c t r u mg i v e nb y 【2 0 i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o nf o rl i n e a r s t o c h a s t i cs y s t e m s i ti sk n o w nt h a ts t o c h a s t i cs t a b i l i t yp l a y sac r u c i a ir o l e w h i c hi sa l le s s e n t i a la s s u m p t i o ni nm a n y p h y s i c a lp r o b l e m s i n 【1 2 ，a l lo p t i m a l s t o c h a s t i cl i n e a r - q u a d r a t i cc o n t r o lp r o b l e mw a ss t u d i e di nt h ei n f i n i t et i m e h o r i z o n t oa n a l y z et h es t o c h a s t i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ( s a r e ) w h i c h a r i s e sf r o ms u c hap r o b l e m ，l m i sw e r ea p p l i e dw h o s ef e a s i b i f i t yw a ss h o w nt o b ee q u i v a l e n tt ot h es o l v a b i l i t yo ft h es a r e s t a b i l i t ya n de x a c to b s e r v a b i l i t y h a v eb e e na n a l y z e dv i as p e c t r a lt e c h n i q u e sf o rs t o c h a s t i cs y s t e m si nf 2 0 i t i v 一 山东大学硕十学位论文 i sw e l lk n o w nt h a tt i i sv e r yu s e f u li np r a c t i c et od e s i g nac o n t r o l l e rs u c ht h a t c l o s e d - l o o ps y s t e m sc a l lc o n v e r g ea sf a s ta si tc a n ，t h a ti s ，w i t ho p t i m a ld e c a y r a t e t h i sp r o b l e mh a sb e e ns o l v e df o rl i n e a rs y s t e m sw i t h o u ts t o c h a s t i ct e r m s ， r e l a t e dr e s u l t sa b o u tl i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e mh a v eb e e nd i s c u s s e di na r t i c l e 【1 】 b a s eo nt h er e s e a r c ha b o u tl i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m ，i nt h i sp a p e r ，w e i n v e s t i g a t e du n c e r t a i ns t o c h a s t i cl i n e a rc o n t i n u o u s - t i m es y s t e mw i t hc o n v e x p o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e s f o ri n s t a n c e ，t h eo p t i m a ld e c a yr a t e ，s t a b i l i t y , r o b u s t s t a b i h t y ，s t a b i l i z a t i o n ，r o b u s ts t a b i l i z a t i o n a n dw ed e s i g ns t a t ef e e d b a c kc o n - t r o l l e ra n do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r w h a t sm o r e ，w ed i s c u s s e dr o b u s t 如 s t a b i l i t y t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r1p r e s e n t ss o m en e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e s ，a n dd e s c r i b et h ep r o b - l e ms t u d i e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o nw i t hd e c a y +“ r a t ec o n s t r a i n t si ss t u d i e d u s i n gc o n v e xo p t i m i z a t i o nm e t h o da n dl m ia p - p r o a c h ，a no p t i m a ls t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d ，w h i c hi n s u r e st h a tt h e c l o s e - l o o ps y s t e mi sr o b u s t l ys t o c h a s t i c a l l ys t a b l ew i t hm a x i m a ld e c a yr a t e c h a p t e r3c o n s i d e r e do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r c h a p t e r4d i s c u s s e st h et o - b u s th c o n t r o lp r o b l e mw i t hm a x i m a ld e c a yr a t e k e y w o r d s ：e x p o n e n t i a l l ym e a n - s q u a r es t a b l e ，m a x i m a ld e c a yr a t e 山东大学硕+ 学位论文 一一 册 ”0 盯( a ) q t p 0 e i c n 符号说明 n 维欧几里德空间 向量的模或矩阵范数 矩阵a 的特征值集合 表示矩阵的转置 表示矩阵p 是实正定的 表示数学期望 单位矩阵 复平面的开左半平面 自然数集 山东大学硕士学位论文 第1 章预备知识 1 1 引言 控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类在认识世界和改造世界的 过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。第二次世 界大战前后，由于自动武器的需要，为控制理论的研究和实践提出了更大的 需求，从而大大推动了自控理论的发展。1 9 4 8 年，数学家维纳( n w i e n e r ) 的 ， 控制论f c y b e r n e t i c s ) - - 书的出版，标志着控制论的正式诞生。这个 “关于在动物和机器中的控制和通讯的科学”( w i e n e r 所下的经典定义) 经过 了半个多世纪的不断发展，其研究内容及其研究方法都有了很大的变化 概括地说，控制论发展经过了三个时期： 第一阶段是阴十年代末到五十年代的经典控制论时期，着重研究单机自 动化，解决单输入单输出( s i s o - s i n g l ei n p u ts i n g l eo u t p u t ) 系统的控制问 题；采片j 微分方程、拉普拉斯变换和传递函数的数学方法：主要研究方法是 时域法、频域法和根轨迹法：主要问题是控制系统的快速性、稳定性及其精 度。 第二阶段是六十年代的现代控制理论时期，着重解决多输入多输出 ( m i m o - m u l t i i n p u tm u l t i - o u t p u t ) 系统的控制问题；主要数学工具是一 次微分方程组、矩阵论、状态空问法等等；主要方法是变分法、极大值原 理、动态规划理论等：重点是最优控制、随机控制和自适应控制：核心控制 装置是电了计算机： 第三阶段是七十年代的大系统理论时期，着重解决生物系统、社会系统 这样一些众多变量的大系统的综合自动化问题；方法是时域法为主；重点是 大系统多级递阶控制：核心装置是网络化的电子计算机。 从控制论的观点看，人是最巧妙，最灵活的控制系统。它善于根据条 件的变化而作出正确的处理。如何将人的智能应用于实际的自动控制系 统中，这是个有重要意义的问题。七十年代开始，人们不仅解决社会、经 济、管理、生态环境等系统问题，而且为解决模拟人脑功能，形成了新的学 + 人工智能科学，这是控制论的发展前沿。计算机技术的发展为人工智 能的发展提供了坚实的基础。人们通过计算机的强大的信息处理能力来开发 一l 一 山东大学硕士学位论文 人工智能，并用它来模仿人脑。在没有人的干预下，人工智能系统能够进行 自我调节、自我学习和自我组织，以适应外界环境的变化，并作出相应的决 策和控制。 科学在发展，控制论也在不断发展。所以“现代”两个字加在“控制理 论”前面，其含义会给人误解的。实际上，我们讲的现代控制理论指的是五 六十年代所产牛的一些控制理论，主要包括：用状态空间法对多输入多输出 复杂系统建模，并进一步通过状态方程求解分析，研究系统的可控性、可观 性及其稳定性，分析系统的实现问题：用变分法、最大( 最小) 值原理、动 态规划原理等求解系统的最优控制问题；其中常见的最优控制包括时间最 短、能耗最少等等，以及它们的组合优化问题：相应的有状态调节器、输出 调节器、跟踪器等综合设计问题；最优控制往往要求系统的状态反馈控制， 但在许多情况卜系统的状态足很难求得的，往往需要一些专门的处理方法， 如卡尔曼滤波技术来求得。这些都是现代控制理论的范畴。 六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成几个重 要的分支课程，如线性系统理论，最优控制理论，自适应控制理论，系统辨 识理论，等等。对控制系统一定要进行定量分析，否则就没有控制论：而要 进行定晕分析，就必须用数学模犁来刻划描述系统，也即建立系统的数学模 型，这是一个很重要的问题。经典控制论中常用一个高阶微分方程来描述系 统的运动规律，而现代控制论中采用的是状态空问法，就是用一组状态变量 的一阶微分方程组作为系统的数学模型。这是现代控制理论与经典控制理论 的一个重要区别。从某种意义上说，经典控制中的微分方程只能描述系统的 输入与输出的关系，却不能描述系统内部的结构及其状态变量，它描述的只 是一个“黑箱”系统。而现代控制论中的状态空间法小但能描述系统输入与 输出的关系，而目还能完全描述内部的结构及其状态变量的关系，它描述的 是一个“白箱”系统。由于能够描述更多的系统信息，所以可以实现更好的 系统控制。 我们知道，一般系统有三大要素：物质、能量和信息。对控制系统而 言，信息是最重要的，信息与控制是不可分的，系统中任何信息的传递、交 换和处理都是为了系统的控制，而控制正是控制论系统的主要目的。所以， 从某种意义上说，控制系统一定是一个信息系统。 一2 一 山东大学硕士学位论文 实际上，控制论中的系统常常是个很复杂的系统，施控系统和受控系 统都有许多子系统组成，而且常常不能明显地区分。例如一个企业可看作一 个复杂的控制系统，厂长施控于各部门负责人，而各负责人又施控于其下 属，如此下去，直到每个工人施控于各机床设备，以及各具体的车刀、丰 轴、马达、油泵等等。所以，控制论思想不但可以广泛应用于军事、航天航 空、化工生产等装备和生产线的控制，也可对人文、社会等方面的管理控制 带来积极的指导作用。 本文在系统学习控制论知识的基础上，在学习参考文献对于随机系统定 义的指数均方稳定的基础上，对于一类新的系统，在最优衰减率的限制下， 研究其稳定镇定问题。 接下来给出所研究的系统及证明所需的基本引理。 一3 一 山东大学硕士学位论文 1 2问题的给出及基本知识准备 1 2 1 问题的描述 对应所研究线性连续不确定随机系统描述如下 d x = a x d t c x d w z ( t o ) = x o ( 1 1 ) 其中：a 和c 是nxn 矩阵。z ( ) 舻代表系统状态，z o 是一个常数，为简便 起见，我们假设是定义在概率空间( q ，厂，p ) 上的一维标准布朗运动，其 中q 表示样本空间，r 是由构成的自然信息族，即 尻= 口( 眦，0 t o sst ) 本文中所提及的过程均为e 适应的，并且假设e d w 】= 0 ，e d w 2 ( ) 】= $ d t ，6 是己知常数。其中a ，c 定义为： ( a ，c ) = 啦( a ，g ) ，啦= 1 心0 i = 1i - - - - 1 定义1 1 【1 】不确定随机系统( 1 1 ) 是渐近均方稳定的，若 1 i me i l = ( t ) 1 1 2 = 0 ，v x o 舻 詹- + o o 定义1 2【1 】系统( 1 1 ) 是指数均方稳定的，如果对于所有的x 0 舻，存在 常数 0 及7 0 ，满足 e 【0z ( ) 0 2 】7i lx 0i | 2e 一所，v t20 其中卢被称为系统( 1 1 ) 的衰减率，万全s 哪被称为最优衰减率 由定义1 2 易知，系统( 1 1 ) 会更快的收敛到0 ，若在最优衰减率万全 s u p z 的情况下。我们当然希望系统能够尽可能快速的的收敛到0 ，因此本 文中我们研究衰减率限制下的不确定随机系统。 下面给出后续证明中经常用到的引理。 4 一 l l l 东大学硕十学位论文 1 2 2 一些引理 引理1 1 【1 】对系统( 1 1 ) 和任意正实数卢 0 ，v r ( m a ，c ) 0 满足 ( a + 昙p ，) r p + p ( a + 1 了i ) + 6 c t p c o 满足 ( a + 三p ，) t p + p ( a + 三卢j ) + , 5 c t p c o ，则可知a ( m a ，c ) 一p 等价于a ( 批c ) 0 满足 【a + 三( j 一。) 明丁p + p a + 三( 卢一s 。) f l + 6 c r p c o 由于o 任意小，因此证得结论。 引理1 4【l 】系统( i i ) 是指数均方稳定的等价于o r ( m a ，c ) 0 因此根据以上引理，很容易的锝到下面引理，而且也是下面证明不确定 随机系统指数均方稳定常用的引理。 引理1 5 【l 】对于下述线性连续时间随机系统且衰减率为卢 d r , = a x d t + c x d w z ( t 0 ) = z o ( 1 2 ) 则系统( 1 2 ) 指教均方稳定的充分必要条件为存在一个正定矩阵p ，满足 ( a + 丢p ，) ? p + p ( a + 三卢，) + 6 c r p c o 一5 一 山东大学硕士学位论文 ( a + 2 f l i ) p + p ( a + 三多，) t + 6 c p c r 0 ， p l + 恳岛一1 b t 0 ( 0 - b p 3 ) 0 ，有 x 下y + y t xse - i x t x + e y t y 一1 x t x + e y t y x t y y r x 0 f t 【一1 x t x + e y t y x r y y t x 】f =f r s 一1 x t x + f t y r y f f t x r y f f ? y r x f = e - - i ( x ) t x + ( y ) t y 一( x f ) t y f 一( y f ) r x = e - ! x f l 2 + e i y 1 2 2 ( x f ) t y f ( i x 7 f _ l ，2 + ( 诟l y 引) 2 2 i x 莓l l y i v 芒 一6 一 是指数均方稳定的等价于该系统是渐近均方稳定，也等价于系统随机稳定 在给出本文基本的知识后，我们运用已学知识，力求全面的研究不确定 系统的各种控制性质，