（应用数学专业论文）非线性算子及非线性方程的若干讨论.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 非线性算子及非线性 方程的若干讨论 摘要 本文主要讨论了在半序线性空问中几类非线性算子不动点问题，得到了这些非线性 算子在一定条件下有唯一不动点的结论。另外，本文还运用算子不动点定理，讨论了几 类非线性微分方程解的存在性问题。 全文共分四章： 第一章利用半序方法，在半序线性空间中研究了一类具有凹凸性的混合单调映射， 即彳如必：d d 专互，关于x 是增的，关于y 是减的，且满足 a ( u ，t 。 y ) t 1 + r ( t ，x ，j ，) 】彳( 工，力 ( 其中，y d ，t ( o ，1 ) ) ，得到了不动点存在唯一性的充分必要条件，从而推广了相关文 献中的相应结论。 第二章通过运用文 1 2 】中推广了的a l l l a l n 和l e g g e t t - w i l l i a m s - - 解定理利用不动点 指数理论研究了二阶三点边值问题 f 。( r ) + 口( f ) “( f ) + 6 ( f ) “( f ) + 1 l ( f ) 厂( 甜) = o ，t ( o ，1 ) ， l u ( o ) = o ，a u ( v ) = u o ) ， 其中o v 0 ； ( 风) 口c o ，1 】，b c ( 【0 ，1 】，( ，o ”。 且非线性项厂还满足矗，厶簪 0 , o o ( 其中f o = 姆竽，厶= 。l i m 笋) 时，则上述二阶 三点边值问题至少存在三个非负解，并给出了这三个解的存在范围。 第三章研究了如下二阶脉冲微分方程 太原理工大学硕士研究生学位论文 l x ( r ) = f ( t ，功，r ，j ， 一a x k = 厶( 地) ) ， k = l ，2 ，m ， 【x ( o ) = x o ) = 0 喜e 中j = 【0 ，1 】，令o f l t 2 0 1 ，厂c j x r + ，足+ 】，c 【太+ ，昱+ 】，r + = 【0 ，佃) ， a x k = x ( t ；) - - x ( t d ，x 雠) ，善酊) 分别代表x ( f ) ：i 生t = t k 处的右极限和左极限，得到 了上述二阶脉冲微分方程当非线性项，及脉冲项满足一定条件时具有多个解的结论。 第四章运用一类单调增算子的不动点定理，利用序b a n a c h 空间中的上下解方法， 结合正算子半群的理论及其主要特征，讨论了如下单调增的非线性发展方程 l u ( f ) + 4 ( f ) = 厂( ，甜( f ) ) ，0 - t s ， b ( o ) = 甜( 脚) ， 其中f ：r x x 专x ，f ( t ，“) 关于f 以m 为周期，关于甜不减( ，为单调增) 且单调增算子具有 p 一凹性时( 指满足v o 旯 1 ，3 0 口= 口( 五) t 1 + r ( t ，五y ) 】4 ( x ，y ) ( w h e r ex ，) ，ed ，r ( o ，1 ) ) i np a r t i c u l a r ，w eg i v ec o n d i t i o n s ，b o t hn e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n t ，f o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n t s t h er e l e v a n tr e s u l t s a r eg e n e r a l i z e da n di m p r o v e d i nc h a p t e ri i ，b yu s i n gt h r e e - s o l u t i o nt h e o r e m si np a p e r 1 2 】a n df i x e d 。p o i n t i n d e xt h e o r y ，w ei n v e s t i g a t et h es e c o n d - o r d e rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m 1 1 1 j “+ ( ，) + 口( f ) “( ，) + 6 0 ) “o ) + ( f ) 厂( ) = 0 ，f ( o ，1 ) ， 【“( o ) = 0 ， a u ( q ) = u ( o ， w h e r e0 r o ； ( 也) 4 c o ，l 】，b c ( 【0 ，1 1 , ( - - - o o ，o ) ) a n dt h en o n l i n e a r t e r m 厂a l s os a t i s f i e s f 0 ，五隹 o ，o 。 ( w h e r ef 0 ：l i r a 地， h _ u u 兀= l i r af ( u ) ) ，t h e n t h es e c o n d - 。r d e rt h r e e p 。mb o u n d a 可v a l u e p r o b l e ma b 。v e w i l lh a v ea tl e a s tt h r e en o n - n e g a t i v es o l u t i o n s ，a n dw e a l s og i v et h ei n t e r v a lf o r t h e s es o l u t i o n s i nc h a p t e ri i i ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e o f m u l t i p l es o l u t i o n sf o rt h es e c o n d o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n t 葶t k ，| j ， k = l ，2 ，坍， w h e r e j = 【0 ，l 】，o t l t 2 0 l ，f c j r + ，r + 】，i e c r + , r + a n d r + = o 如。) 缸b 。x ) 一x 。( ) a n dx ) ，x 何) a r et h el e t ta n dr i g h tl i m i to fx a t r = r e s p e c t i v e l y ，a n dw eg e tm ec o n c l u s i o nt h a tt h es e c o n d o r d e ri m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa b o v em a yh a v em u l t i p l es o l u t i o n sw h e nt h en o n l i n e a r t e r mfa n di m p u l s i v et e r ms a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s i nc h a p t e ri v ，t h r o u g h d i s c u s s i n gt h ef i x e dp o i n t st h e o r e m sf o rac l a s so f i n c r e a s i n go p e r a t o r s ，w ei n v e s t i g a t ef o l l o w i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n 1 v 警= d = 吨顶 1 = 吖删 太原理工大学硕士研究生学位论文 j “1 ( f ) + 4 “o ) = f ( t ，“( f ) ) ，0 r 国， 【“( 0 ) = “( ) ， w h e r ef ：rxx x ，f ( t ，“) i s - p e r i o d i cw i t hr e s p e c tt ot ，n o n - d e c r e a s i n g w i t h “( fi si n c r e a s i n g ) ，a n df i sa l s o p c o n c a v e ，( t h a t i s v 0 a l ，3 0 o ，使得a x o , 4 x ) 0 ，s j 2 ( x ) h s x ( 功埘，显然咒c p 。关于锥的讨论详见 文 3 ，4 ，3 0 1 ，关于最的讨论详见文 3 2 1 。 在上世纪非线性算子理论得到了飞速发展，特别是出现了一凹( 凸) 算子，口一凹 ( 凸) 算子等具有凹凸性的算子后，很多学者都对其给予了极大的关注。 1 9 7 5 年，k r a s n o s e l s k i i ，m a ”1 提出了一凹( 凸) 算子的概念 定义4 彳：p p 0 ，若4 满足 1 ) v x 0 ，3 a ( x ) o ，b ( x ) 0 使得a l l os a x b u o ； 2 ) v a u o x s 6 及v 0 0 ，若0 满足 1 ) v x 0 , 3 a ( x ) o ，b ( x ) o 使得a u o a x b u o ； 2 ) v a u o x b u o ) & v o t 口 0 使c g e x f i e ，其中e p + 。 定义8 1 1 设q 是锥性体，e q c ，a ：q q 专e 是混合单调映射，若存在函数 r l ：( o ，1 ) x q x q 一( o ，+ ) ，使得对任何x , y o ，t ( o ，1 ) 有 彳( 所，t - 1 力t 1 + r ( t ，墨j ，) 】4 ( j ，) 称4 为q 上的p 一凹凸混合单调映射。 x 2 1 给出了具有一凹( 凸) 性混合单调算子不动点存在的充要条件，本文第一章 则是在半序线性空间中定义了锥性体( 文 1 9 ，由此给出一类具有e 一凹凸性混合单调算 子的不动点存在的充要条件，从而推广了相关结论。 关于b a n a c h 空间中非线性微分方程问题 b a n a c h 空间中的微分方程理论是近三、四十年发展起来的一个新的数学分支。它把 常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究b a n a c h 空间中常微分 方程。它的理论在无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分方程等方面都有广泛的应用。 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉。它是常微分方程学 科的重要组成部分之一。常微分方程两点边值问题( 如d i r i e h l e t 边值问题、n e u m a n n 边 值问题、r o b i n 边值问题、s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题及周期边值问题等) 已被深入而广泛 的研究，并取得系统而深刻的结果。事实上，自1 8 9 3 年p i c a r d 运用迭代法讨论非线性二 阶常微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性之后，常微分方程两点边值问题的研究 就获得了蓬勃发展( 见文 7 1 3 】) 。 本文在第二章中运用文【1 2 】推广的三解定理讨论了如下二阶三点边值问题的多重非 负解。 f ( ，) + 口( 力甜( ，) + 6 ( ，) “o ) + 五( ，) 厂( “) = 0 ， ，( o ，1 ) i “( o ) = o ，a u ( q ) = ”( 1 ) ， 其中o r 0 ； ( 厶1 ) 4ec o ，1 】 b c ( 【0 ，1 】，( ，o ) ) 。 且非线性项厂还满足矗，无隹 o ，。 ( 其中石：l i 啦盟，正：l i m 盟) ，则上述二阶三点 u - - + 0 甜 u - - 1 “0 边值问题至少存在三个非负解，并给出了这三个解的存在范围。 脉冲微分方程理论兴起于上世纪六、七十年代，用来描述具有突变现象的变化过程， 而产生突变现象所用的时间和整个变化过程相比可以忽略不计，即所谓的具有脉冲作用 的变化过程。众所周知，这种变化过程在现实世界广泛存在，比如医学、生物学、经济 学中的最优控制，药力学及调频系统等众多领域中的阈现象及节律性的裂变现象等。另 一方面，脉冲微分方程理论与相应的非脉冲微分方程理论相比更为丰富，比如，脉冲微 分方程的解不必有光滑性要求，也可能不再对初值具有连续依赖性等等。正因为如此， 它一出现，立即引起了众多专家学者的极大兴趣( 见文【2 0 】- 【2 4 】，【3 0 ，【3 3 】) ，b a n a c h 空间中脉冲微分方程理论兴起于上世纪七、八十年代，并于上世纪八十年代末期始国内 许多学者也给予了广泛的关注。 第三章运用推广的三解定理讨论了二阶脉冲微分方程关于d i r i c h l e t 边值问题的多解 问题 一x o ) = o ，x ) ，f t k , t ， - a x 【吨= 厶( x ( 气) ) ， k = l ，2 ，m ， z ( o ) = 1 ) = 0 ， 其中j = 【0 ，1 】，令0 t 2 口 0 使口e x f i e ) ，其中e p + ，显然p + ，e 都是锥性体。 设e 为序空间，d c e ，若彳( x ，y ) ：d x d _ e 关于x 是增的，关于y 是减的，则称 a 为混合单调的，若x , y e d ，x s y 使得 x a ( x ，y ) ，a ( y ，y ( 1 一1 ) 则称( x ，力为4 的耦合下上不动点；若( 1 - 1 ) 式中两个不等号成为等号，则称( x ，y ) 为4 的 耦合不动点；若x d 使a ( x ，x ) = x ，则称x 为4 的不动点。 定义1 1 1 1 1 设q 是锥性体，ec q cp + ，a ：q x q - - - e ，若存在函数 ，7 ：( 0 ，1 ) x q x q 斗( 0 ，+ ) ，使得对任何工，y q ，t ( o ，1 ) 有 爿( t x ，t 。y ) t 1 + o ( t ，墨y ) 】4 ( x ，) ，) ( 1 - 2 ) 称“为q 上的口一凹凸映射。 1 2 半序线性空间中一类非线性映射的不动点定理 定理1 2 1 设e 为序空间，q c e 是锥性体，且ec q 亡只+ c e ，彳：q q _ e 是 映射满足： 1 ) 存在序空间】，及混合单调映射c ：g q _ j ，使得c ( q ，q ) 是y 中的相对仃一完备 集，且 c ( t u ，一0 t c ( u ，儿甜，v qo t l ( 1 - 3 ) 2 ) 存在定义在d ( 其中d 3 虿面历u ( 妒鲫c ( q 9 n 譬) ，口c 】，) 上的线性增映射 b 及p 丑+ 使曰映d 入e 且爿= b c ； 则4 在e 中有且仅有一个不动点善的充分必要条件是存在彳的耦合下上不动点 0 0 ，v o ) e c 并且当a 在e 中有唯一不动点，时，任给初值粕q 作迭代序列 2 爿( - 1 ，一1 ) ，一= l ，2 ， ( 1 4 ) 皆存在极限为o 的增数列( 和减数列( 成 使得 o c e a x 一工- t 1 + r ( t ，“，v ) m ，( 1 6 ) 所以a 为e 一凹凸映射。 下证若4 有不动点，则4 仅有一个不动点。事实上，若有甜+ ，矿e 使得 彳( 矿，u ) = u ，爿( v ，v ) = v + 记r o = s u p 口 0 l a y 三a v ，显然o r o r o ( 1 + ，7 ) 4 ( v + ，v + ) = r o ( 1 + r d v 。 太原理工大学硕士研究生学位论文 这与，0 的定义矛盾，因而 r o = 1 “= v 所以a 仅有一个不动点。 接下来证( 1 - 5 ) 式成立。设x + 是爿的唯一不动点， ) 如( 1 5 ) 所述，取o t i l 使得 t , x + x o 0 i t x * ，t v x ) ，疗= 1 ，2 ，( 1 8 ) 由4 的e 一凹凸性与混合单调性，有 o m ns 1 _ m v o( 1 - 9 ) s 矿s ，行= 1 ，2 ，( 1 - 1 0 ) 由( 1 - 7 ) 一( 1 - 1 0 ) 式易i 正l i m q = l 且有 q x s 毛s 簖1 x ， 栉= 1 ，2 ， 结合x e 得到( 1 - 5 ) 式成立。 下证必要性。若甜为彳在e 中的不动点，则令= - - - - u ，有d o a ( u o ，v o ) 及 a ( v o ，u o ) v o ，必要性得证。 则有 下证充分性。由u os a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) 0 i t u ，t v v ，刀= 1 , 2 ， 显然有 ( 1 1 1 ) ( 1 - 1 2 ) ( 1 - 1 3 ) 石；墨，n = l 州2 一 ( 1 1 4 ) 对v 行，c ( ，) ，x + c ( ，匕) ，同理，对v 珂，( ，) ，c ( ，u n ) s j ， 太原理工大学硕士研究生学位论文 x + s c ( u ，v ) c ( v ，“) y 虼，甩= 1 ，2 ，( 1 - 1 5 ) r u ，hn = 1 , 2 ，( 1 1 6 ) 下证舰，：，2 1 。由于数列以) 单调递增，j 1 0 r s 1 ，由单调有界定理知以) 有极限。 设l i m - - r ，假若0 ， r ( 1 + 譬( ，杵，v ) ) ，矛盾。 所以l i m ，：，= 1 令 t o = s u p t 0 i 善 t y ( 1 - 1 7 ) 易见岛 0 ，x t o y ，于是” t o y ，假若f o o 使得 1 “x ( u ，v ) r t o ( 1 + t 1 ) a ( v ，1 1 ) r t o ( 1 + t i ) v ，珂= l ，2 ， 于是五；，其e f t = 砰f o ( 1 + 叩) ，由( 1 1 4 ) 式知s 1 。再结合( 1 - 4 ) 式及c 的混合单调性 得 c ( 一u ，- ) c 也_ ，1 - ) 乙c ( - _ ) ( 1 - 1 8 ) 另一方面，由( 1 - 1 2 ) ，( 1 1 6 ) 式，有 = c ( ，屹) r c o ，力 ( 1 - 1 9 ) 儿= c ( ，) c ( _ ，_ ) ，n = l ，2 ，( 1 - 2 0 ) 由( 1 1 5 ) ，( 1 - i s ) 与( 1 1 9 ) 式得 x c ( _ ) = # f o ( 1 + ，7 ) c ( _ ，u ) r f t 0 0 + o ) y r 4 t o ( 1 + t 1 ) y 再由! i m ，：i = 1 知- q ( 1 - 1 7 ) 矛盾。所以t o k l ，从而x ，由( 1 1 5 ) 式有 云= 爿( - ，) = 4 ( - - ) = _ ，即磊是一的不动点，定理得证。 太原理工大学硕士研究生学位论文 注【1 1 文 1 】中的定理只是不动点存在的充分条件，这里定理1 2 1 给出了不动点存在 的充分必要条件。 注【2 】定理1 2 1 是在比b a n a c h 空间较一般的半序线性空间中给出了不动点的存在 唯一性的充分必要条件，从而推广了文 2 e e 的相关结论。 注【3 l 定理1 2 1 中的映射彳未作连续性假设。 定理1 2 2 设e 为序空间，q c e 是锥性体，且ec - qc - 丑+ ，a ：q q _ e 是映射 满足： 1 ) 存在序空间】，及混合单调映射c ：e e 斗y 使得c ( e ，e ) 是y 中的相对盯一完 备集，且存在r ：( 0 ，1 ) x q q - + ( o ，+ ) ，使得 c ( t u ，t - 1 v ) ( 1 + r ( t ，u ，v ) ) c ( “，v ) ，“，v c ：，0 t 1 ( 1 2 1 ) 且砜e ，使得 1 l i m r ( t ，x o ，而) = 佃，l i m r ( t ， 而，) = 栩，o r f ( 1 - 2 4 ) f 1 日( 1 - 2 2 ) 知，存在0 t o 1 ，使得 1 t o x o t o ，则有 太原理工大学硕士研究生学位论文 可找到正整数k ，使得 ( 争产灿咄寸m ( 1 2 6 ) 令 u o = ，v o = t g x o( 1 2 7 ) 作迭代序列 = 彳( 一l ，一1 ) ，= 爿( - l ，- 1 ) ，l = l ，2 ，( 1 - 2 8 ) 显然，e 且 r 使得a ( t x ) 2 伊以x ) b x ，x e ，则口 在e 中有唯一不动点x + 的充分必要条件是存在u o ，v o ，w oe e ，u o w o ，使得 u o b u ob y o ，以及对任意u 0 工v 0 ，0 t l 都有伊瓴力砸，w o ) 。并且当艿有 唯一不动点工+ 时，任给初值而e 作迭代序列= 魄，珂= l ，2 ，都有 矗一，0 斗o 。) 。 证明：先证必要性，若膏为占在e 中的不动点。则令u o = w o = v o ，有 u o 砒 - b y o ，及对任意u o s 善g 吒，0 0j 以，月= 1 ，2 ， 容易得到 s u l s u n s 心s v 1 1 ，o( 1 - 3 1 ) ”。0 ( 1 - 3 2 ) 且可证得l i m = 1 。m ( 1 3 1 ) ，( 1 - 3 2 ) 式知对任何自然数k 有 0 “一1 _ 一u n ( 1 一) v 1 0 0 一“( 1 1 ) q ， 以= 1 ，2 ， 太原理工大学硕士研究生学位论文 由户的正规性知存在，v 。e 使得 i i 一甜i h 0 ，i i 屹- - v + i 卜o ( n _ ) ( 1 - 3 3 ) 0 v 一“s - - n s ( 1 一乙) v l ，刀= l ，2 ，- ( 1 - 3 4 ) 从而，= = v e ，且s s ，由此得到+ i b x s + l ， l = l ，2 ，结合( 1 3 4 ) ， ( 1 - 3 5 ) 知石是曰的不动点，关于不动点的唯一性与迭代列收敛性再由常规方法易得。 定理1 3 2 设e 是序肋脚砌空间，其半序由正规锥p 导出，e p + ，口：e _ e 是减 算子，且存在函数妒：( o ，1 】e 一( o ，1 】 烈f ，曲 ，使得b ( 铆s 【妒( ，坩1 b x ，x e ，则b 在e 中有唯一不动点x 的充分必要条件是存在，v o ，w o e ，o w o v o ，使得 1 1 0 b v o b u o v 0 ，以及对任意1 1 0 x v o ，0 f l 都有矿( 功妒( f ，w o ) 。并且当b 有 唯一不动点z + 时，任给初值知e 作迭代序列毛= 既，r l = 1 ，2 ，都有 吒辛r o o o ) 。 证明：类似于定理1 3 1 证明可得必要性。 下证充分性，令= b u n - l 吒= b 屹- l ，由? 3 0s b v o b u o v o , 及b 的减性知 0 hs “2 茎s 9 2 h 1s i 2 s s 1 i 。- u 2 。一l s 吃s u i v 0 ( 1 - 3 5 ) 调整记号如下，令u 2 n = “2 。，“二“= v 2 ，吃= ，疋“= 2 ，疗= l ，2 ，显然有 u = 占t 。，= b ut n _ 1 ) 聍= 1 ，2 ，r ( 1 - 3 5 ) 式变为 u o 。s “l o f 2 ，n = o ，1 ，2 ， ( 1 3 7 ) 注意到u o = u 0 ，“= v o ，由( 1 3 7 ) ，( 1 - 3 8 ) 两式知o 厶1 ，即也 单调递增有上界，所以 极限存在，令l i m 厶= r 。且o ，l ，下证f = 1 ，否则有f o 使得f m ( 1 + 占) ，两边取极限，则f f ( 1 + 占) ，矛盾，所以 r = l 。 类似于定理1 3 1 证明可得存在矿，v e ，使得一”，屹斗1 ，。_ o o ) 为丑在e 中 的不动点。 太原理工大学硕士研究生学位论文 注【5 】与文 1 】相比，定理1 3 1 与定理1 3 2 给出了b a n a c h 空间中增算子和减算子不动 点存在的充分必要条件。 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1 预备知识 第二章二阶三点边值问题的多重非负解 自i l i n 茅l m o v i s e e v 7 朋关于线性二阶常微分方程多点边值问题的研究以来，许多学者 开始研究非线性多点边值问题，见文【9 11 】。 最近，l i 和s h e n 1 ”运用k m s n o s e l s k j i 不动点定理” 及l e g g e t t w i l l i 锄s 不动点定理1 4 1 证明了关于下述二阶三点边值问题( b v p ) 多个正解的存在性。 臀掣啪卜6 篓“八- 0 旭d(2-10 a u ( r ) ) 【( o ) = ，= 甜( 1 ) ， 其中0 r 0 ； ( ) 口c o ，l 】，b c ( 【0 ，l 】，( o 。，0 ) ) 。 另外，文【1 2 1 中，l i 和h a n 研究得到新的三解定理，推广了a m 黝和l e g g e t t w m i 锄s 的三解定理，并将推广了的a m a l l l l 和l e g g e t c w i l l i 栅s 的三解定理运用于二阶两点边值问 题 一纛2 篓o ) ) ，旭【o 1 】，( 2 - 2 ) i x ( o ) = x ( 1 ) = o 受文【1 1 】和【1 2 】的启发，本文运用文 1 2 】中推广了的a m a n n 和l e g g e t c - w i l l i a m s 的三解 定理讨论t b v p ( 2 1 ) 的多个非负解的存在性。 为了陈述和证明本章的主要结果，我们需要如下几个定义及引理 定义2 1 1 ”1 令e 为实m 如空间，p 匕e 为e 中锥。映射口称为p 上非负连续凹 泛函，若满足口：p 一【o ，+ ) 连续且 a ( t x + ( 1 一r ) j ，) t t r ( x ) + ( 1 一，) 口( 力，x , y p ， 0 ，1 】 定义2 1 2 旧令e 为实肋玎砌空间，尸c e 为e 中锥。映射称为p 上非负连续凸 泛函，若满足：p 一【0 ，佃) 连续且 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 既+ ( 1 一t ) y ) t f l ( x ) + ( 1 - o f f ( y ) ，工，y p ，t 【0 , 1 】 令d ，b 为实数且定义 j p ( 盯，口) = x p ：a ( x ) 口 p ( f l ，口) ； 工p ：p ( x ) 6 ) 户( 肛口，q 6 ) = 缸p ，口( 功口，( 力研 引理2 1 1 9 1 设( 致) 成立，o 。和：分别是 j 哦( f ) + 口( ，) 中。( ，) + 6 ( f ) l ( f ) = o ，te ( o ，1 ) ， 【由l ( o ) = 0 ，中l ( 1 ) = l 和 im ；( f ) + 口o ) m ：( f ) + 6 ( f ) 2 ( r ) = o ，r ( o ，1 ) ， 【m 2 ( o ) = l ，中2 ( 1 ) = 0 的解，则( 1 ) m 。在 o ，l 】上严格递增；( 2 ) 叱在 o ，l 】上严格递减。 引理2 1 2 9 1 若( q ) 成立，贝z j ( 2 3 ) 和( 2 - 4 ) 各有唯一解。 引理2 1 3n 0 1 设( 凰) 和( 1 - i , ) o 砷l 仞) - 0 ，t 【o ，1 】。 注f 1 j 其中q ( ，) 与m ： 分别为引理2 i 1 中式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 的唯一解， 式所对应齐次线性常微分方程的一组线性无关解，即基本解组。 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - l o ) 易证即为( 2 5 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 现在令口= 1 n i n 毒嚣，票岛) ，其中”为最大值范数。由( 2 9 ) 式我们有 g ( s ，j ) g ( t ，s ) q ( t ) g ( s ，s ) 0 ，t 【o ，1 】 选万( o ，勺使得而( 玩1 一回，取 y = m i a q ( t ) i t 陋，l 一占】) ， 由引理2 1 1 可知o ， 0 ，则问题( 2 5 ) 的唯一解“满足 u ( 0 2 ，i i u f i , t 陋l 一川 引理2 1 5 令p c e 为锥，a ：p p 全连续算子，令盯，分别为p 上连续凹和凸 泛函。口和b 为实数，假设 a ) o 秘e p ：口( 力 砖o 且a ( a x ) n 对所有的x p 口，4 如 c ) a ( 4 x ) 口对任意x e ( a ，口) 且( 出) 6 ； d ) 对足够小的正数，有f t 4 ，p ，p ) = l ，对足够大的正数r 有f ( 4 ，最，p ) = 1 ，其中 只= 忸p4 i x i i r 。 则彳在p 上至少有三个不动点葺，屯，玛满足l | 为 ，且口( 艺) 以及j j 而1 1 口 本章我们将由上述引理给出b v p ( 2 1 ) 至少有三个非负解的存在性条件。令 占= c o ，1 】，则e 为b 孤a c h 空间及其相关范数为怕i i = s u p i “( ) i 。 易知a v p ( 2 1 ) 有一个解- - - - ( ，) 当且仅当甜是下列算子方程在五中的一个解。 “( f ) = fg ( f ，s ) p ( s ) 矗。) ( s ) ) 凼+ i ：j ：蔷丽f g 铆，s ) p ( s ) 矗( s ) 厂 ( s ) ) 凼) q ( ) - ( 砌) ( f ) ( 2 - 1 1 ) 其中p 和g 各自分别如( 2 8 ) 和( 2 9 ) 所定义，容易证明r 是全连续的。我们定义e 中 锥如下： p = 甜e ：, 2 0 ，r a i n u ( t ) ，l l “) 引理2 1 6 i “1r ( p ) c p 。 令 一一查堕里三查竺堡圭堕塑竺兰垡堡壅 石：蜘型，六：】i m 地 引理2 1 7 “1 设实b a n a c h 空间e 中体锥p 是正规的，y l , 而，乃，乃满足 m z l y 2 z 2 ，又设a ：映，z 2 】寸e 全连续，强增，并且m a y l ，a z l z 1 ，y 2 a y 2 ， 一2 z z 2 ，那么，彳在 乃，z 2 】至少有三个不动点t ，而，x 3 ，满g - y , x i 毛，y 2 - x 2 - 0 使得 ( 骂) m p 百a ，“ a ，争； ( 马) 五 五1 ，五 五1 ； 其中 b = r a i nr g ( f ，s ) p ( s ) o ) a s ， 目d 肛、7 肚瓣f g 以咖琊础l + 五三耐 则边值问题( 2 1 ) 至少有两个正解五，x 2 ，且还有一个非负解而。 证明：令口 ) 2 恶熟( ，) ，p ( u ) 刮l u f l , 甜p 。 易证口( ) ，( “) 分别为连续凹凸泛函，且盯够( ，) ) = o a 由口 ) = ，m 。i n 。甜( ，) 川i | 可知 口伽p ：口( 甜) 旦b ：口 b 所以引理2 1 5 的条件b ) 满足。 ( 2 - 1 4 ) 第二步：对任意甜p ( 口) 且p ( t u ) 歹a ， 口( 死) = m i n f g ( t ，s ) p 。) ( j ) 八( 劝凼+ i = 羞斋f g ( 叩，j ) p ( s ) 厅( s ) ， 。) ) 豳) ( 0 1 m i 。ng ( f ) fg ( 邓) ) m ) 舢而褊f 力p 琊) 弛删b 目o “ l 一舢i 疗i ” = 九f g ( s ，s ) p ( j ) ( s ) ， ( j ) ) 西+ i ：云亳丽f g ( 仉j ) p ( j ) 矗( j ) 厂 ( j ) ) 出1 ( 死) o ) sf g ( s ，s ) p ( s ) ( s ) ，( ( s ) ) 凼+ i ：五表丽f g 向州p 。) ( j ) 厂。o ) ) 幽) 呶o ) f g ( s ，s ) p ( s ) 。) 厂 ( 跏出+ i = ：哥丽f g 国，s ) p ( s ) 矗( j ) ， ( 呦凼 s f g ( s ，s ) p ( s ) 。) 厂 。) ) 凼+ i ：j ：鼍丽f g 研，s ) p o ) ( j ) ， ( 劝凼 u t u i i f g ( 以j ) p ( s ) ( j ) 八”o ) ) 凼+ i ：j 云景丽f g 铆，j ) p ( s ) 。) ( “( j ) ) 凼 口( 死) 2 九f g o ，j ) p 。) 矗。) ， ( j ) ) 凼+ i = 五笔而f g 0 7 ，s ) p 。) 。) ( j ) ) 凼】 r l l t u l l r a - = 口 ， 可知引理2 1 5 的条件c ) 满足。 第三步：要证存在足够小的， o i f _ f ( r ，a 只，p ) = 1 。 假设存在硒l 及 d o a 只使得t u o = 胁，则有 z i i i l u oil(2d5) 由条件( 马) 工 五1 知，取艿 o ，当o 材，时，有，( “) 砌，则 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 死0 ) ( r ) = fg ( 抽) p ( s ) ( s ) ( ( 呦凼+ ( 了二三最历fg ( 仉s ) p ( s ) 办( s ) ( ( 劝凼) q ( f ) m a x ig ( f 咖郴) m 水) ) 舢五吾丽f g ( ”) 砸) 椰) m 小) ) 凼 l c r q i ，7j 一 瓣f 印，咖琊) 删+ r 去丽) 艿i i u o i i h i i t u oi i l i u 0 ( 2 1 6 ) 这与( 2 - 1 5 ) 式矛盾。由 t u = t u ，v u a ， 得到 a 0 使i ( t ，a 晶，p ) = 1 。 由兀 五1 知，取盯 o ， 当甜民时， ) 盯，又因为 ，c ( o ，m ) ， o ，o o ) ) ，当“【o ，r 】时，有， ) 口，其中p = 。m q 。a ，焉x 】 ) 。则有 ，( “) r 等古，假设存在a 晶，“1 f f 得t u l = m ，则有 i i 死l 恻1 ( 2 1 7 ) ( 巩) ( f 垮m ，乍【a x lfg ) 加) 琊) 低( j ) ) 凼+ 南f g ( ) 如) 琊) 低) 凼 t ；4 0 q g ) p 琊) 卿+ 南) p i l u , i i 托) 枷- - i i u , i i z i ( 2 1 8 ) 这与( 2 - 1 7 ) 式矛盾。由 t u = a u ，v u a 昂 得到 1 ，f ( r ，a 最，p ) = 1 则由引理2 1 5 知，t 在p 上有至少三个不动点满足：而u r 且口( 而) 玎及 鼍i i 口，i i i b v p ( 2 - 1 ) 至少有两个正解及一个非负解，定理得证。 注1 2 l 与文1 1 1 中相关结论比上述定理的条件更容易验证。 太原理工大学硕士研究生学位论文 定理2 2 2 假设( q ) 一( 风) 成立，且存在0 口 c d 6 ，满足： 啦厂( 口) a ，m f ( c ) d ，m f ( b ) s b 其中研= ( r m ) ， m = f g ( s ，j ) p ( s ) 矗( s ) 西+ t 二j ；而f g ( 仉s ) p ( s ) ( s ) 出 厂是严格增的，贝i j b v p ( 2 1 ) 至少有三个正解。 证明；先证p 为正规体锥， 对v o _ u a u 2 ，m i n u j ( t ) m i n u 2 ( o 因i 材2i i ， f l - ! 1 1 i i ，o ， 1 ， 所以j p 正规，且易证p 也为体锥。 下证r 强增。由严格增且p 为正规体锥，对任意的“。，“：p ，坼 l d 2 ，有 ( 死- ) ( f ) = fg ( f ，j ) p ( s ) ( j ) 厂( ( 呦击+ ( - 二：哥丽