（运筹学与控制论专业论文）nash平衡点的存在性和通有稳定性.pdf

贵州大学硕士学位论文 摘要 本文主要讨论了较弱条件下的n 人非合作对策的n a s h 平衡点的存在性和通 有稳定性 全文共分三章： 第一章，预备知识简要介绍了完备性、h a u s d o r f f 距离、b a i r e 分类、集值 映射的半连续性等 第二章，h _ 空间中的n a s h 平衡点的存在性首先，给出了h _ 空间下的n a s h 平衡点的一个存在性定理；然后，借助了广义h _ k 删映射、广义日一对角拟凹和 对角转移连续等概念，得到了两个关于n a s h 平衡点的存在性定理 第三章，n a s h 平衡点的通有稳定性首先，在策略集非凸和支付函数不具凸 性的条件下讨论了一般n 人非合作对策和广义对策的n a s h 平衡点的通有稳定性 然后，在定义域非凸和映射不具凸性的条件下讨论了拟变分不等式解的通有稳定 性，并导出了n a s h 平衡点的通有稳定性 关键词：h - 空间；n a s h 平衡点；广义h _ k 蹦映射；对角转移连续；广义日一 对角拟凹；通有稳定性；拟变分不等式 贵州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dg e n e r i cs t a b i l i t yo fn a s h e q u i l i b r i af o rn - p e r s o nn o n c o o p e r a t i v eg a m e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s i tc o n s i s t so f t h r e oc h a p t e r s c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s w ei n t r o d u c es o m eb a s i cn o t i o n sa n dr e s u l t si n c l u d i n g c o m p l e t e n e s s ，h a u s d o r f fd i s t a n c e ，b a k e sc a t e g o r ya n dt h es e m i c o n t i n u i t yo f s e t v a l u e dm a p p i n g c h a p t e r2 e x i s t e n c eo fn a s he q u i l i b r i ai nh - s p a c e s f i r s t l y , w eo b t a i na ne x i s t e n c e t h e o r e mo fn a s he q u i l i b r i af o rn - p e r s o nn o n - c o o p e r a t i v eg a m e si nh - s p a c e s t h e n w eg e tt w oe x i s t e n c et h e o r e m so fn a s he q u i l i b r i aw i t ht h eh e l po ft h en o t i o n so f g e n e r a l i z e dh - k k m m a p p i n g , g e n e r a l i z e dh - d i a g o n a lq u a s i - c o n c a v i t ya n dd i a g o n a l t r a n s f e rc o n t i n u i t y c h a p t e r3 g e n e r i cs t a b i l i t yo fn a s he q u i l i b r i a f i r s t l yw es t u d yt h eg e n e t i cs t a b i l i t y o fn a s he q u i l i b r i af o rn - p e r s o nn o n - c o o p e r a t i v eg a m e sa n dg e n e r a l i z e dg a m e sw h e r e s t r a t e g ys p a c e sa r en o n - c o n v e xa n dp a y o f ff u n c t i o n sa l en o n q u a s i c o n c a v e t h e n ，w e s t u d yt h eg e n e r i cs t a b i l i t yo ft h es o l u 6 0 mo fq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yw i t hi t s a p p l i c a t i o nt og a m et h e o r y k e y w o r d s ：h - s p a c e ，n a s he q u i l i b r i a ，g e n e r a l i z e dh - k k mm a p p i n g , d i a g o n a l t r a n s f e rc o n t i n u i t y , g e n e r a l i z e dh d i a g o n a lq u a s i c o n c a v i t y , g e n e r i c s t a b i l i t y q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y 贵州大学硕士学位论文 日青 从古到今，人类活动中一直广泛存在着凭借策略决一胜负的竞争性现象大有 争城掠地，小到猜拳对弈但是，用数学方法对其进行研究则始于2 0 世纪初一般 认为，1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 和m o r g e n s t e r n 的名著t h et h e o r yo fg a m e sa n d e c o n o m i c 的出版标志着对策论的诞生，而n a s h 在二十世纪5 0 年代初期的两篇 论文则是现代非合作对策论的基石 近六十年来，对策论发展很快，并且在经济学、军事学、管理学、政治学、 生态学、对策模拟、心理学、基因进化等诸多科学领域都有广泛的应用同时，在 对策论这一领域的研究也成为了数学界的研究热点，其中研究的两个重要方面是 n a s h 平衡点的存在性和稳定性，并产生了大量成果，使对策论这一年轻的学科得 以不断完善 对n a s h 平衡点的存在性，n a s h ( 1 9 5 1 ) ，d e b r e u ( 1 9 5 2 ) ，g l i c k s b e r g ( 1 9 5 2 ) 和 f a n ( 1 9 5 2 ) ，在策略空间是凸紧集，支付函数是连续的和拟凹的条件下得到了n a s h 平衡点的存在性定理1 9 5 5 年，n i k a i d o 和i s o d a 给出了在有限维空间上具有某 种半连续和凹性支付函数的1 2 人非合作对策n a s h 平衡点的存在性定理后来，这 一结果由b a y e ，t i a n 和z h o u ( 1 9 9 3 ) 以及t a n ，y u 和y u a n ( 1 9 9 5 ) 进行了推广， 即对更一般的h a u s d o r f f 线性拓扑空间上的具有某种更弱的半连续和凹性支付的 对策，纯策略n a s h 平衡存在1 9 9 6 年，罗群在h 一空间中得出了一系列n 人非合 作对策n a s h 平衡点的存在性定理 早期的经济学家们曾乐观的认为n a s h 的非合作对策理论已经足以解释大多数 经济现象但实际上，并非如此首先，v o nn e u m a n n 和n a s h 的模型有如下的两个 假定：( 1 ) 对每个局中人来说，所有信息都是公共的、完全的、对称的( 2 ) 每个局 中人都是完全理性的，都能够在各自策略集中选择对自己最为有利的策略以上两 个假定限制了对策论的应用其次，大多数对策模型的n a s h 平衡点通常是不唯一 的，有的n a s h 平衡点不满足自约束性即局中人有偏离该平衡点的动机，而不同的 平衡点的对策结果是不同的在众多的n a s h 平衡点中应该选取哪个呢? h a r s a n y i 和s e l t e n 分别在这两个方面提出了新的思想，扩展了对策论的应用，由此他们与 n a s h 一起共同获得了1 9 9 4 年的诺贝尔经济奖s e l t e n 的主要工作是处理完全理性 贵州大学硕士学位论文 假定的，实际上，就是关于n a s h 平衡点稳定性，他提出了子对策完美n a s h 平衡 ( s u b g a m ep e r f e c tn a s he q u i l i b r i u m ) 的概念1 9 5 0 年f o r t 为研究连续映射不 动点的稳定性，引入了本质不动点的概念，然而1 9 6 2 年我国学者吴文俊和江嘉禾 提出了著名的本质n a s h 平衡( e s s e n t i a le q u i l i b r i u m ) 和本质对策的概念，并 证明了任一有限非合作对策都可以被本质对策逼近二十世纪6 0 年代以来，对策 论专家们对于n a s h 平衡点稳定性进行了大量的、深入的研究，提出了各种概念。 其中著名的概念有：k r e p s 和w i l s o n ( 1 9 8 2 ) 提出的序贯平衡( s e q u e n t i a l e q u i l i b r i u m ) ，m y e r s o n ( 1 9 7 8 ) 提出的恰当平衡等在n a s h 平衡点稳定性方面还有 y u ，x i a n g ，y a n g ，l u o ，z h o u 等从本质连通区角度作了大量研究 但本文仅讨论h 一空间n 人非合作对策n a s b 平衡点的存在性和不具凸性的条件 下n a s h 平衡点的通有稳定性以及拟变分不等式的解的通有稳定性及其在对策论中 的应用 贵州大学硕士学位论文 第一章预备知识 1 1 完备性与h a u s d o r f f 距离 以下内容可参见 1 0 c 1 9 e 2 0 2 1 2 3 3 4 定义1 1 1 设( z ，d ) 为度量空间x 中的一个序列 葺 ，如果对于任意 给定的实数 0 ，存在整数n 0 ，使得当f ，j n 时有p o ；，z ，) s ，则称序 列 鼍 是一个c a u c h y 序列如果x 中的每一个c a u c h y 序列都收敛，则称度量空 间( x ，d ) 是一个完备度量空间 引理1 1 1 完备空间的闭子空间是完备的 设佤础为度量空间，爿，bc z 是两个子集，x e x ，通常地，点z 到集合a 的“距 离”和集合爿到b 的距离分别定义为 d 似a ) 一i n f ，dd ( x ，y ) ，d ，b ) ；j n f ) 自，日d ( ) ，2 ) ， 但是这种定义并不能真正反映两个集合的“接近程度”，例如壮r ，a = ( 一o 。，0 ) ， b1 ( 0 ，+ m ) ，d ( a ，b ) = 0 ，但这两个集合甚至没有公共点且一个集合中的点到另一 个集合的距离可以无穷大，即这两个集合的“贴近程度”并不好事实上，这种定 义并不满足距离公理，也就是说这种“距离”并不是真正意义上的距离为了真 正的反映集合间的接近程度，h a u s d o r f f 引进了一种满足距离公理、并以其名字命 名的距离 为介绍h a u s d o r f f 距离，先引进一些记号 设力为度量空间，a c x 是一个子集，x e x ，定义 d o ，4 ) = i n f 日d ( x ，y ) v a e r + ，记a + 4 一协e x ：d g ，4 ) o ，埘 o 当，l ，m a m 时，h ( 4 ，以) t 2 “1 ，记风l u ：。以，4 一n 己。风，则a 是闭的，即a e k ( x ) ，要 证噼( x ) ，日) 完备，只须证日o t ，a ) 一o , n m 即可 第一步：我们证明a 非空且当n 之m 时，爿c f + 彳v n 之m ，固定 n v a ：4 ，所以日o ，a “) 2 ，所以勤4 + 1 ，使d ( a 。，a m ) 2 ”1 ，同 样因h 0 。以+ ：) 2 ”2 ，所以勤。以。使a ( a 。“，口m ) c 2 ”2 ，依次类推，我 们得到序列p 刖。 斛，由点的取法知，k ，k ， a ( a n + ja 。+ i ) s d o n + p a + + 1 ) + d ( 口+ ，+ 1 ，a 。+ ，+ 2 ) + + d 0 + t 一1 ，a 。+ t ) s 乞，+ ，s 2 “+ 1t x 7 - , 4 2 “+ 1 = s 2 “s 专， 因此和。) m 是x 中的c a u c h y 列，因z 完备，所以存在n x ，使 口州一4 ，j o o e n ，口u 乞a m + c u i - m a ；b 。，由m 的任意性知 口n ：。b 。= a ，所以a 非空，由前面知w ，d ( a 。，n 州) c 号，从而 d ( a ，口。) s d ( a ，n 。+ ) + d ( a n + j 。) d ( n ，4 州) + 号，令j o 。，则d ( a ，4 州) 一0 ，从而 d ( a ，a 。) 5 亍e ，所以p ( a 。a ) s 专 ，a 。+ 爿，由a 。爿。的任意性知a 。c + 爿 第二步：证明协m 时，ac s + 以坛爿= n 二u ：。a 。，v n m 由于 工曰。= u ：。a 。，所以勤n 和x 。爿。使d ( x ，z 。) ，o ) 一e ，则称，在x 下半连续； ( 3 ) 如果，在工既上半连续又下半连续，则称，在x 连续，即v s ，0 ，存在x 的 邻域n ( x ) ，使当v x o ) 时，f ( x ) 一stf ( x 。) 如果g r a p h ( f ) 为x x y 中的闭集，则称f 为闭映射 例1 3 1 【l o 设x = y 一卜堋， 删= 【捌舭，= 惴- l 1 删, x 0 ， 则f 1 ，f 2 是两+ j a x 到y 的集值映射且f l 在z = 0 处上半连续但不下半连续， 而f 2 在x = 0 处下半连续但不上半连续 引理1 3 3 设x ，】，为两个h a u s d o r f f 拓扑空间，f ：x 一2 7 ，则 贵州大学硕士学位论文 ( 1 ) f 在石上半连续一任给l ，中的开集u ，集合) ；仁x ：f o ) c u 是x 中的开集 ( 2 ) f 在x 上下半连续一任给y 中的开集( 厂，集合 ) 一红e x ：f o ) n u ，a ) 是z 中的开集 证明：( 1 ) 设x e x 为任一点，任给y 中的开集u ，ud f 0 ) 因 l ( u ) = y x ：f ( y ) c u ，故x l ( u ) 因工 ) 为开集，故存在x 的邻域 n ( x ) c l ( u ) ，即v x o ) 有x e l ( t r ) ，从而， + ) c u ，这说明f 在z 上半连续， 由x 的任意性知，f 在z 上上半连续 反之，设f 在x 上上半连续要证对盖中的任何开集 u ，l ( u ) ；忸e x ：f 0 ) c 【，) 是开集，为此v x l ( t r ) ，则有， ) c u ，因f 在z 处 上半连续，故存在x 的邻域o ) 使得搬g ) ，o ) c u ，即工l ( u ) ，所以 o ) c l ( u ) 由x 的任意性知工 ) 是开集 ( 2 ) 设对y 中的任何开集u ，集合工t ) 是开集v x e x ，我们证明f 在z 处下 半连续，为此考查y 中的任何开集u ，u n f ) 一乃，由) 的定义知x e l ( u ) ，因 口) 为开集，故存在x 的邻域 ) c ( u ) 即v x ) 有f ( x ) n u - a ，这就 证明了f 在x 处下半连续 反之，设f 在z 上下半连续对y 中的任何开集u ，设x e l ( u ) ，则 f ( x ) n u 一刀因f 在x 处下半连续，所以存在x 的邻域o ) 使得v x 0 ) ，有 f o ) n u 一彩，这即是说x e l ) ，从而o ) c ( u ) ，这就证明了f ) 为开集 引理1 3 4 1 1 5 1 1 3 4 1 如果集值映射f ：x 一2 7 是闭映射测 ( 1 ) 搬。一x ，助。f ( k ) ，y 。一y ，则有y e f o ) ； ( 2 ) v x 一工，f ) 为l ，中的闭集 关于闭映射与上半连续映射的关系有下述两个引理： 引理1 3 s 1 5 1 3 4 如果映射f ：x 一2 7 是闭映射，且空间l ，是紧的，则f 在 x ：是上半连续的 引理1 3 61 1 5 3 4 设y 为度量空间，若映射f ：x 一2 7 上半连续且有闭 值，则y 是x 上的闭映射 、 定义1 3 4 集值映射，称为1 1 s c o 映射，如果，在工上上半连续且是紧值 的 集值映射的上半连续与下半连续是两个不同的概念，它们互不包含f 见例 f 1 3 1 1 ) ，著名的f o r t 定理指出了它们之问的某种联系 贵州大学硕士学位论文 引理1 3 7 1 3 0 设x 是一个h a u s d o f f f 拓扑空间，y 是一个度量空 间，f ：x 一2 7 是一个u s c o 映射，则存在x 中一个剩余集q ，使得魄q ，f 在x 下 半连续，从而连续 引理1 3 7 【3 0 】设z 是一个h a u s d o r f f 拓扑空间，】，是一个度量空 间，f ：x 一2 7 是一个下半连续紧值映射，则存在x 中一个剩余集q ，使得 v x e q ，f 在x 上半连续，从而连续 根据定义1 2 3 知，如果f 在j 的一个剩余集上连续，则称f 在z 上是通 有连续的；根据引理1 2 3 ，如果z 是肌妇空问，则剩余集r 是x 的稠密子集，从 而足第二纲的，于是可以说f 在x 的大多数点都连续 下面的引理指出了集值映射的半连续性与集合的稳定性之间的关系 引理1 3 8 1 2 9 3 0 设z 是h a u s d o r f f 拓扑空间，y 是度量空间，f ：z 一2 7 是 紧值的集值映射，x e x ，则 ( 1 ) f 在x 处上半连续等价于v ) 0 ，存在x 的邻域n ( x ) 使v x o ) ， f o ) c u ( f o ) ，s ) - y y ：d o , ，f 0 ”s ) ； ( 2 ) f 在x 处下半连续等价于v ，0 ，存在邻域o ) 使坛o ) ， f o ) c u ( f o ) ，) ； ( 3 ) f 在x 处连续等价于v s ) 0 ，存在邻域n ( x ) 使o ) ， f ( x ) c v ( f ( x ) ，g ) 和，仁) c u ( f ( x ) ，f ) 同时成立，即日俨( 砷，f ( x 1 ) ) p ； 引理1 3 9 1 1 6 1 7 设z ，y ，z 是三个度量空间，f ：x 一2 7 是一个u s ( x ) 映 射，g ：z 一2 7 是一个集值映射，存在连续映射t ：z x ，使对任意z z ，有 g ( z ) = f 仃( z ) ) n g 也是一个b s c o 映射 证明：娩z ，x t ( z ) z ，g ( z ) 一f ( 曲是紧集对任何y 中开集 0 ，0 g 0 ) ，则0 f o ) 因f 在x 上半连续，故存在x 在x 中的的开邻域u ，使 e u ，f o 。) c 0 因t ：z x 连续，故对于x 的邻域u ，存在z 在z 中的邻域v ， 使v z e v ，r ( z ) u 从而f ( r ( z ) ) c o ，即g ( z ) c o 这证明了存在z 的邻域v ， 使v z e v ，g ( z ) c 0 ，所以g 是上半连续的 贵州大学硕士学位论文 第二章h _ 空间中的n a s h 平衡点的存在性 在对策论的研究领域中，1 9 5 0 年，n a s h 在 3 9 中引入平衡点的概念，并在 非合作对策平衡分析的研究中，作出了开创性工作( 1 9 9 4 年n a s h ，h a r s a n y i 和 s e l t e n 共同获得诺贝尔经济学奖) 后来人们把此平衡点称为n a s h 平衡点，并 围绕着n a s h 平衡点的存在性，进行了大量的工作n a s h ( 1 9 5 1 ) 4 0 ， d e b r e u ( 1 9 5 2 ) 2 6 ，g 1 i c k s b e r g ( 1 9 5 2 ) 3 1 和f a n ( 1 9 5 2 ) 2 8 在策略空间是凸 紧集，支付函数是连续的和拟凹的条件下得到了n a s h 平衡点的存在性定理1 9 5 5 年，n i k a i d o 和i s o d a 在 4 1 中给出了在有限维空间上具有某种半连续和凹性支 付晒数的n 人非合作对策n a s h 平衡点的存在性定理后来，这一结果由b a y e ， t i a n 和z h o u ( 1 9 9 3 ) 3 8 以及t a n ，y u 和y u a n ( 1 9 9 5 ) 4 4 进行了推广，即对 更一般的h a u s d o r f f 线性拓扑空间上的具有某种更弱的半连续和凹性支付的对 策，纯策略n a s h 平衡存在1 9 9 6 年，罗群 1 2 在h - 空间中支付函数h 一拟凹的 条件下得出了一系列n 人非合作对策n a s h 平衡点的存在性定理 本章首先在 1 2 的基础上进一步讨论了n 人非合作对策n a s h 平衡点在卜空 间中的存在性，并得出了一个存在性定理然后，在策略集是非紧或非h - 凸，支 付函数是非连续或非h 一拟凹的条件下进一步讨论了n 人非合作对策n a s h 平衡点 在h 一空间中的存在性 2 1h _ 拟凹下n a s h 平衡点的存在性 在讨论n 人非合作对策n a s h 平衡点的存在性之前，本节首先给出一些h 空 间的有关概念及结论： 定义2 1 1 设z 是拓扑空问e 中的非空子集，如果x 的恒等映射，：工一z 和某常值映射g ：x x ( g o ) 为一点) 是同伦的，则称x 为可缩的 定义2 1 i2 设x 是一拓扑空间， l ) 是给定的一族z 中的非空可缩子集， 用x 中一切有限子集a 编号，r a c b ，蕴涵l c l ，则称序列皤 l ) ) 为日一 空间 注：任意的h a u s d o r f f 拓扑线性空间，凸空间，可缩空间等都是日一空间的 特例 贵州大学硕士学位论文 定义2 1 3 在h 一空间暇 l ) 中，集d c x 称为关于集c c x 是h 一凸 的，如果对任一有限集彳c c ，有l c d ；当c d 时简称口是的h 一凸的 定义2 1 4 设g l ) ) 是一 - 空n ，函数，：j 一胄称为日一拟凸的，如果 对任意a e r ，集合 x e x ：，( c 对是日一凸的；如果一，为h 一拟凸函数，则 称，为日一拟凹函数 引理2 1 1 7 设x 是日一空间僻 l ) 中的非空紧h 一凸集，b ：x 一2 。满 足： ( i ) v x e x ，口o ) 是非空日一凸集： ( 2 ) v y 石，b - 1 ( 曲是开集； 则存x o x ，使x o b ( x o ) 引理2 1 - 2 1 2 设z 是日一空间僻 l ) ) 中的非空紧日一凸集， ，：z z r 满足： ( 1 ) 墩x ，y 一， ，y ) 下半连续； ( 2 ) v y x ，x 一，o ，y ) h 一拟凹； ( 3 ) 戡x ，f ( x ，x ) s 0 ； 则存在y z ，使r y ) s o ，慨x 证明：定义函数f ：x 一2 xv y z ，f ( ) ，) - x x ：f ( x ，y ) o ) ，由条件易知 f “) 为h 一凸集，且比x ，f 4 一 y e x ：，o ，) ，p0 ) 为开集如果命题不成 ：，州v y g x ，存在v 】：x 使f ( x ，y ) 0 ，即v y x ，f ( ) ，) 非空由引理2 2 1 可得，存在y + x ，使y f ( y ) ，即，( _ ，y ) 0 与条件( 3 ) 矛盾则存在 y x ，使r o ，y ) so ，x 证毕 设n = 1 ，2 ，脚是局中人的集合，n 人非合作对策 r ； x 1 x 。； ， ) v f ，记；一n 吩，设尤是第j 个局中人的策略集， 1 n 贵州大学硕士学位论文 3 口x t ， x ：5 n 剧啪墨，五：z _ r 是第7 个局中人的支付函数，如果j x = ( 上：，x ；，工：) e x ，f f v i e n ，有 f i 瓴，啪；m a x 。掣? 妯i ，x ：) ， 则称工为此r 7 人非合作对策r 的n a s h 平衡点 以下是 1 2 中的两个定理： 引理2 1 3 1 2 如果v f ，置是日一空间( 臣， l ) 中的非空紧日一凸集记 工= m 1 墨，v i e n ，五：x r ，满足： ( 1 ) v i e n ，五在z 是连续的： ( 2 ) 魄e x ，u j 一 q j ，x ) 是日一拟凹的； ( 3 ) v u 。五，x t 一五 ；，x ) 下半连续的； 则对策r 的n a s h 平衡点存在 引理2 1 4 1 2 如果v i e n ，x ；是日一空间 “l ) ) 中的非空紧h 一凸集记 x = n ：1 墨，v i 6 n ，五：z r ，满足 ( 1 ) 五在x 是上半连续的： ( 2 ) v x x ，“。一，i i ，毒) 是日一拟凹的； ( 3 ) v u ；x ；，鼍一，l ；，工：) 下半连续的； 则对策r 的n a s h 平衡点存在 显然，引理2 1 4 是引理2 1 3 的推广 f 而我们将在h 一空间给出一个新的n a s h 平衡点的存在定理 定理2 1 1 如果，x ，是h 一空间( e i ， l ) ) 中的非空紧h 一凸集记 x = 兀：1 x 。v i e n ， ：x r ，满足 ( 1 ) 五在x 是上半连续的： 贵州大学硕士学位论文 2 v y 盖，卜善 ( ) ，t ，鼍) 在j 上是下半连续的： 3 v z x ，r - f , ( y ；，墨) 在j 上是h 一拟凹的 则对策r 的n a s h 平衡点存在 证明：定义函数妒：x x _ 尺，诋，) ，妒 ，y ) 2 善【正，x o ) 一五 ，鼍) 1 v y e x ，由( 1 ) ( 2 ) 可知，善一驴0 ，) ，) 是下半连续的：v x e x ，由( 3 ) 可知， x q o ( x ，) ，) 是h - 拟凹的：x ，妒0 ，工) 一0 由引理2 1 2 可知，必存在 z 一g ，蔓，x ：) e x ，x 憾v y e x 有妒o ，y ) s o 对任意f ，f f ：r g u , e x , ， 令y ； ，x ；) e x ，贝0 妒g ，y ) t 五o ；，葛) 一五( # ，群) o ，五亿。，) sf x g ，葛) ， 故f ， 0 ；，工；) 一m a x 。，e 邑，j j ，工；) 即对策r 的n a s h 平衡点存在证毕 注：定理2 1 1 是引理2 1 3 和引理2 1 4 的推广，同时定理2 1 1 也推广 了殳献【1 3 定理c 的结果 2 2 广义h 一对角拟凹下n a s h 平衡点的存在性 我们知道g u o q i a n gt i a n 等( 见文献 3 2 3 3 3 8 ) 在h 一空间中策略集是 非紧或非凸、支付函数是非连续或非拟凹的条件下讨论了n a s h 平衡点的存在性 本节将在h 一空间中策略集非紧、支付函数非连续或非h _ 拟凹的条件下讨论r 1 人 非合作对策胁曲平衡点的存在性 定义函数，：x x z _ r u ， ，y ) 5 荟五 ，) ，；) 如果存在y e x ，对所有x e x ，使得厂o ，y ) s f ( y + ，y + ) 成立，这意味着y 是 一个n a s h 平衡点 定义2 2 1 1 7 设x 是非空子集， ， l ) ) 是俨空间，f ：x 一2 7 是 一集值映射，若对任意的有限集 x 。，z ：，) c x ，相应的存在有限集 贵州大学硕士学位论文 _ ) ，1 ，) ，2 ，y c y ，使得对任一子集 ) ，i ，y b y ) c y 1 ，) ，2 ，y 。 ，有 ，p 旷，。，c u f ，) ，则称集值映射f 是广义的h - k k m 映射- 。l 定义2 2 2 设x 是非空子集，口， l ) ) 是一俨空间，称函数 ，：z x y r u * 关于x e x 是广义h 一对角拟凹的，若对任意的有限集 “，屯9o 9 x c x ，相应的存在有限集d 。，y ：，y c y ，使得对任一子集 ) ，) ，_ ) ，) c y l ，_ ) ，2 ，y 。 和任 意 y ， ，y ，y 。， ，都有 嬲， ，y + ) s ，( ) ，y ) 定义2 2 3 3 8 设x 是拓扑空间e 中的一子集，且4 和c 是x 的两个非空 子榘，函数，：爿c r 称为在a 上对y 是对角转移连续的，若对每一 o ，y ) e a x c ，( x ，y ) ( y ，y ) 意味着存在某点z e a 和y 的某邻域( ) ，) c c ，对 所有z ( y ) ，使得，o ，z 卜，( z ，z ) 成立当a z 时，我们称，o ，y ) x 目r y 是对 角转移连续的 定义2 2 4 3 2 设z ，l r 是两个拓扑空间，映射g ：x 一称为是转移闭( 开) 值的，如果v x e x ，当y 圣g ( x ) 时( 相应地，当y e g ( x ) 时) ，玉x ，使得 ) ，岳g 0 7 ) ( 相应地，当y e i n t ( g ( x ) ) 定义2 2 5 7 设x 是一个拓扑空间，子集a c x 称为在l ，中是紧开( 闭) 的，如果对每一紧集k c y