（计算数学专业论文）多孔介质流溶质迁移的有限体积方法.pdf

山东大学硕士学位论文 多孔介质流溶质迁移的有限体积方法 赵福琼 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 考虑多孔介质中单相流动流体中含有某种溶质，随流体的流动而运动， 既有对流，又有扩散描述该过程的数学模型为： v j ( 一尝( v p 一一y ( c ) v d ) ) = v 订= g ( z ，舌) ，( z ，亡) 2 z 砉一v ( d ( z ) v c 一流) = 两( 州) ， ( 叫) q z 其中p 表示流体压力，c 表示溶质浓度上述两个方程分别称为压力方程和 浓度方程，浓度方程与达西速度乱有关在实际的计算中，如果只计算压力， 并通过压力梯度得到达西速度的近似，收敛精度会降低因为浓度方程直接用 到达西速度，所以达西速度的计算精度对计算结果的整体精度有直接影响 混合有限元方法同时求解压力和达西速度，保证了近似速度的精度研究此模 型的数值方法非常多，传统的g a l e r k i n 方法，特征有限元方法，混合元方法 等等受混合元方法的启发，本文利用变换将上述问题中的压力方程转化为形 式上的d i v - c u r l 方程，利用c o v o l u m e 方法直接得到达西速度的数值解，证明 了近似解的存在唯一性，并给出了误差估计该方法直接求解速度，不再需要 求解压力然后从浓度方程的守恒形式出发，利用c o v o l u m e 方法得到的速度 近似来求解浓度方程 文献 1 】介绍了一种处理d i v - c u r l 方程的c o v o l u m e 方法，基于有限控制 体积的思想引入对偶剖分但与有限体积元方法不同的地方在于c o v o l u m e 方 法引入了离散的向量场，并建立了相应的离散向量场理论，借助场理论的性质 作为工具，研究了d i v - c u r l 系统数值解的存在唯一性并分析了误差估计 山东大学硕士学位论文 本文对 1 】中的c o v o l u m e 方法进行了适当的推广针对多孔介质不可压 缩流中的溶质输运问题，将c o v o l u m e 方法应用到压力方程，直接求解达西速 度由于此数值解是一个离散的向量，利用它求解浓度方程时，需要在离散和 连续之间进行一种适当的转化本文借助一类插值算子实现了这种转化，插值 算子的构造借助了混合有限元空间的某些性质。 全文分为四章： 第一章对d i v - c u r l 系统的c o v o l u m e 方法和多孔介质流溶质迁移问题及其 常用数值方法做简单介绍 第二章对二维区域的网格剖分引进一些记号引入几个关键的矩阵，这些 矩阵确切地描述了三角网格剖分的几何性质c o v o l u m e 方法的离散格式可以 借助这些矩阵被简洁地表示出来，为从代数角度证明c o v o l u m e 数值解的存在 唯一性提供基础。 第三章将文献【1 】中的c o v o l u m e 方法由常系数问题推广到变系数问题 用c o v o l u m e 方法求解压力方程中变量u 的数值解“ ，并给出误差估计第 一节通过变量替换将压力方程改写为d i v - c u r l 方程，并给出相应的边界条件 第二节利用c o v o u m e 方法的基本思想建立离散格式( 代数方程组) 第三节利 用离散向量场的理论给出变系数问题c o v o l u m e 解的存在唯性证明。第四节 建立离散范数度量下的误差估计 第四章对浓度方程建立全离散格式并给出误差估计。第一节引入了一个 插值算子 ，将离散达西速度乱 插值到混合元空间( 向量部分) 得到l h u h ， 并估计插值误差i i h 钆一厶u h l i 第二节将厶札 引入浓度方程计算格式，构造 了浓度方程的全离散格式在误差分析中，利用了误差分解， i i 似一l h 钆h l l = i l u i h u + 厶札一i h u h l l l l u 一厶u l l + l i h u 一厶乱 | j 得到关于浓度剖分尺度h 。的最优l 2 误差估计 关键词：多孔介质流；溶质迁移；c o v o l u m e 方法；d i v - c u r l 系统； 守恒型浓度方程；离散向量场；混合有限元。 山东大学硕士学位论文 c o v o l u m em e t h o df o rs o l u t es p r e a d i np o r o u sm e d i af l o w f u q i o n gz h a o ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t c o n s i d e l t h es i n g l e - p h a s ef l o wi nt h ep o r o u sm e d i a t h es o l u t i o nc o n t a i n s c e r t a i ns o l u t ew h i c hm o v e sa l o n gw i t ht h ef l u i df l o w t h em o v e m e n ti n c l u d e sb o t h c o n v e c t i o na n dd i f f u s i o n t h em a t h e m a t i c a lm o d e lt od i s c f i b et h ep r o c e s si s a s f o l l o w s ： f咖v蓑(一-vk(v。p。-z，7v(cc)vd疵)，：=两v。zg，。=，q(z。l：三：；三：二二 、亩壳= 0 ， z a q ，t z w h e r epr e p r e s e n t st h ef l u i dp r e s s u r ea n dc t h es o l u t ec o n c e n t r a t i o n t h et w oe q u a ， t i o n sa b o v ea r ec a l l e dp r e s s u r ee q u a t i o na n dc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o nr e s p e c t i v e l y , w h i l et h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni sr e l e v a n tt ot h ed a r c yv e l o c i t y 钆i nt h ep r a t i c a l c o m p u t a t i o n ，t h ec o n v e r g e n c er a t ed e c r e a s e si fw ec h o o s et oo b t a i nt h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o no fv e l o c i t yv i at h ep r e s s u r eg r a d i e n t s i n c et h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ne m - p l o y st h ed a r c yv e l o c i t yd i r e c t l y , t h ea c c u r a c yo fd a r c yv e l o c i t ya f f e c t st h eo v e r a l l c o m p u t i n gr e s u l ts i g n i f i c a n t l ) ：t h em f e m ( m i x e df i n i t ee l e i n e n tm e t h o d ) s o l v e st h e p r e s s u r ea n dt h ed a r c yv e l o c i t ys i m u l t a n e o u s l y , w h i l et h ea c c u r a c yo ft h ea p p r o x i - m a t ev e l o c i t yi sg u a r a n t e e d t h e r ea r em a n yn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h em o d e l s u c h a sg a l e r k i nm e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i cf e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，m f e m ，e t c w i t ht h ee n l i g h t m e n to fm f e m ，t h i sp a p e rt r a n s f o r m st h ep r e s s u r ee q u a t i o n a b o v ei n t oad i v - c u r ls y s t e mf o r m a l l y , t h e ne m p l o y st h ec o v o l u m em e t h o dt og e t i i i 山东大学硕士学位论文 t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd a r c yv e l o c i t y ，a n dp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t i mn u m e r i c a ls o l u t i o na n dg i v e st h ee r r o re s t i m a t e t h i sm e t h o ds o l v e st h ev e l o c i t y d i r e c t l ya n dn e e d n tt h ew o r ko fs o l v i n gt h ep r e s s u r ea n ym o r e t h e n ，s o l v et h e c o n c e n t r a t i o ne q u a t i o nf r o mt h ec o n s e r v a t i v ef o r mu s i n gt h ea p p r o x i m a t ev e l o c i t y o b t a i n e db yt h ec o v o l u m em e t h o d i n t r o d u c e dac o v o l u m em e t h o dt oh a n d l ew i t ht h ed i v - c u r le q u a t i o n sw h i c h e l n p o l y e dt h ed u a ln l e s ha n dt h ei d e ao fc o n t r o lv o l u m e d i f f e l e l i tw i t hf v e m ( f i n i t e v o l u m ee l e m e n tm e t h o d ) ，c o v o l u m em e t h o di n t r o d u c ead i s c r e t ev e c t o rf i e l da sw e l l a st h er e l e v a n tf i e l dt h e o r y c o v o l u m em e t h o di m p l e m e n t st h ep r o p e r t i e so ft h e f i e l dt h e o r ya st o o lt or e s e a r c ht h ee x i s t e n ( e ，u n i ( 1 u e l i e s sa t t de r r o re s t i m a t eo ft h e n u m e r i c a ls o l u t i o no fd i v - c u r ls y s t e m t h i sp a p e rg e n e r a l i z e st h ec o v o l u m em e t h o di n 【1 】t os o m ee x t e n tt od e a lw i t h t h es o l u t es p r e a dp r o b h ：mi np o r o u sm e d i af l o wa n da p p l yt h ec o v o l u m em e t h o d t ot h ep r e s s u r ee q u a t i o nt oo b t a i nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd a r c yv e l o c i t y s i n c e t h en u m e r i c a ls o l u t i o ni sav e c t o r ，a l la p p r o p r i a t et r a n s i t i o ni sn e e d e db e t w e e nt h e d i s c r e t es o l u t i o na n dt h ec o n t i n u o u sf o r mw h e nw eu s ei tt os o l v ec o n c e n t r a t i o n e q u a t i o n t h i sp a p e rc a r r i e so u tt h i st r a n s i t i o nb ya ni n t e r p o l a t i o no p e r a t o rv i aa n a n a l o g u ew i t ht h ec o n s t r u c t i o no fm f e ms p a c e t h i sp a p e rc o n s i s t sf o u rc h a p e r s ： t h ef i r s t ( h a p t e rg i v e st h ei n t r o d u c t i o no fc o v o l u l n em e t h o df o rd i v - c u r ls y s - t c ma n dt h ep r o b l e mo fs o l u t es p r e a di np o r o u sm e d i af l o wa n di t su s u a ln u m e r i c a l m e t h o d s t h es e c o n dc h a p t e rg i v e st h en o t a t i o n sa n di n s t r u c t i o n so ft h em e s h e si np l a - n a ra r e aa n di n t r o d u c e ss o m ei m p o r t a n tm a t r i x e sw h i c hr e p r e s e n tt h eg e o m e t r i c a l p r o p e r t i e so ft h et r i a n g u l a t i o n t h ed i s c r e t i z a t i o ns c h e m eo ft h ec o v o l u m em e t h o d i si n d i c a t e db yt h e s em a t r i x e sw h i c hs e tt h eb a s i st op r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - h e s so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o nb yt h ea l g e b r at e c h n i q u e s t h et h i r dc h a p t e rg e i m r a l i z e dt h ec o v o l u m em e t h o dd e a l i n gw i t hc o n s t a n tc o e f - f i c i e n ti n 【1 t ot h a tw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t w ee m p l o yt h ec o v o l u m em e t h o dt ot h e p r e s s u r ee q u a t i o nt oo b t a i nt h en u m e r i c a ls o l u t i o nu ht ot h ev a r i a b l e 钍a n da c h i e v e i v 山东大学硕士学位论文 e r r o re s t i m a t e s i nt i l ef i r s ts e c t i o n ，w et r m m f o l i l lt h ep r e s s u r ee q u a t i o ni n t ot h e d i v - c u r lf o r mb yv a r i a b l et r a n s i t i o na n dg i v et h er e l e v a n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e s e c o n ds e c t i o nf o r m st h ea l g e b r ae q u a t i o n so ft h ed i s c r e t i z a t i o ns c h e m ed e p e n d i n g o nt h eb a s i ci d e a o fe o v o l u m em e t h o d t h et h i r ds e c t i o ng i v e st h ep r o o fo fe x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h ec o v o i u m es o l u t i o nb a s e do nt h ed i s c r e t ev e c t o rf i e l dt h e o r y t h ef o u r t hs e c t i o ng i v e st h ee r r o re s t i m a t ei nt h em e a s u r eo fd i s c r e t en o r m i nt h ef o u t hc h a p t e r ，t h ef u l l y - d i s c r e t es c h e m eo ft h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni s e s t a b l i s h e da n dt h ee r r o re s t i m a t e sa r e 西v e n i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c e da n i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r 厶，t h e ng o tt h ei n t e r p o l a t i o ni h u ho fd a r c yv e l o c i t yi nt h e m f e ms p a c e ( v e c t o rp a r t ) a n da n a l y s e dt h ee r r o re s t i m a t eo f0 厶u x h “h1 1 i nt h e s e c o n ds e c t i o nw ei m p l e m e n t 厶t i n t ot h ec o m p u t i n gs c h e m eo ft h ec o n c e n t r a t i o n e q u a t i o nt oc o n s t r u c tt h ef u l l y - d i s c r e t es c h e m e i nt h ee r r o ra n a l y s i s ，t h ef o l l o w i n g e r r o rd e c o m p o s i t i o ni se m p l o y e d ： u 一“u h l l = 一厶t + 厶u i h u h l l l l u 一厶u i i + 0 厶t 一h u h l l f i n a l l y , w eo b t a i nt h eo p t i m a ll 2e r r o re s t i m a t ew i t hr e s p e c tt ot h ec o n c e n t r a t i o n t r i a n g u l a t i o np a r a m e t e rk k e y w o r d s ：p o r o u sm e d i af l o w ；s o l u t es p r e a d ；c o v o l u m en m t h o d ； d i v - c u r ls y s t e m ；c o r m e r v a t i v ee 幻n c e n t r a t i o ne q u a t i o n ； d i s c r e t ev e c t o rf i e l d ；m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盔造塑： 日 期： 兰啤：三：! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：荔乏逊至导师签名：邋考日期：业朋 山东大学硕士学位论文 第一章引言 1 1d i v - c u r l 系统的c o v o l u m e 方法简介 d i v - c u r l 系统出现在流体力学、热传导、电动力学以及其他领域，但相对来 说，可用的数值离散方式并不多，原医之一是因为相应的势函数存在，问题可 以转化为一个正定的椭圆问题来求解另一个原因是在使用传统的g a l e r k i n 有限元方法处理该问题时，由于缺少正定性而不能得到收敛解在二维平面情 形，可以通过最小二乘形式来弥补，但是在三维情形，这种方法也不理想。 文献【1 介绍了一种对d i v - c u r l 方程的直接离散方法，基于有限体积元的 思想，与势函数和最b - 乘无关但与有限体积元不同的地方在于引入了对离 散向量场的分析，并利用离散向量场实现对离散方法的分析c o v o l u m e 方法 的核心在于利用了性质很好的对偶网格在二维情况，最经典的例子就是流体 力学中的m a c 交错网格对三角形来说，最熟悉的莫过于v o r o n o i - d e l a u n a y 网格 这种c o v o l u m e 离散方法的基本思想是把一个向量的各个分量定义在一套 网格的单元边上，丽这些边的指向又刚好是另一套网格的法向在二维情形， 在网格内边上离散d i v - c u r l 方程组，同时在边界边上的离散边界条件就可以 定义一个离散场 1 2 多孔介质流溶质迁移问题及其常用数值方法 定义在平面区域q ，时间l ，= ( 0 ：明上的多孔介质流溶质迁移问题被下 面的方程来控制。 fv ：( 一丢( v p 一7 ( c ) v 回) = v 面2 口 ，t ) ，( z ，t ) q 以 澄掣0 d ( 劫乳施) _ 州l 名裟j 2 l 西元= ，z 2 ，z 、7 l ( j ) ( z ) v c 一彘) 元= 0 ， z 勰， ic ( z ，0 ) = 印( z ) ， z 2 ， 我们假设f 2cr 2 是一个有界单连通区域，流体的压力p 和溶质的浓度 c 是两个独立变量，显然有0 c ( z ，t ) s1 下文为分析方便，忽略重力的影 l 山东大学硕士学位论文 响( p ，c ) 是方程组的精确解，我们假设其满足正则性( 范数符号请参见( s 1 ) ： c l 。o ( h 8 ) nh 1 ( 8 ) nl o o ( 他) nh 2 ( l 2 ) ， p l ”( 厂，”十2 ) ，( r 1 ) 届l o 。( h + 2 ( ( 托秒) ) nl ”( 仇饶) n 仉7 三( l o 。) n 日2 ( l 2 ) ， iic：。；i：j1f。)卜if瓦liltr。，-一tjr；1c1，一、! ( ，宅。) 十纠m ：，州k ( ，妒+ 2 ) 州b ( ，；一2 ) 0 ，还要定义e 1 r o 的矩阵d 如下：秒= ( z 0 ) 函x r o ， i 1 ，如果吼正向指向f 。， = 一1 ，如果o i 反向指向l ， 10 ，如果吼与r 。不相交 其中吼，i = 1 ，2 ，t 0 ，表示内边且有r a n k ( 1 ) ) = r o 4 山东大学硕士学位论文 针对对偶剖分r 7 ，定义矩阵口如下：b = ( 亡0 ) e r ， l 1 ，如果一反向指向t 1 ， b i j = 一l ，如果正向指向勺， l0 ，如果与勺不相交 易知，r a n k ( b ) = t 定义鼠为删去b 中与边界边有关的行之后所得到的e 1xt 阶矩阵应 有r a n k ( b o ) = t 如果r o 0 ，还要定义矩阵8 如下召= ( ) e r o ， l 1 ：如果z 反向指向哦， 勖= - 1 ：如果正向指向q 。， l 0 ：如果与n 不相交 显然，r a n k ( b ) = 伯 5 山东大学硕士学位论文 第三章压力方程的c o v o l u m e 数值求解法 本章讨论多孔介质流溶质迁移问题中压力方程的c o v o l u m c 数值解法压 力方程是椭圆型方程，求解椭圆型方程有很多经典的数值方法在这里，我们 将压力方程变形为d i v - c u r l 方程的形式，同时相应转化边界条件，将文献1 中的c o v o l u m e 方法由处理常系数问题推广到变系数问题以求解压力方程本 章的主要工作是引入离散向量场，分析压力方程c o v o l u m e 数值解的存在唯一 性，并给出在离散范数下的误差估计。 3 1 压力方程的d i v - c u r l 形式表示 本节利用变量替换，将压力方程表示成d i v - c u r l 方程的形式 为分析方便，我们忽略重力的影响，设n ( z ) = 筹骞为标量函数，由条件 ( t ) 知，0 a + a ( x ) a + 将多孔介质流溶质迁移问题( 1 2 1 ) 中的压力 方程写为 - d i v ( a ( ：r ) v p ) = q ， 我们知道，达西速度u 和压力p 的关系为 边界条件为 面= - u ( x ) v p 矗有i r = 0 关于算子d i v 和c u r l 的性质，可参考文献【17 】我们作变量替换，引入新的 变量方，令 秽= c u r lp 则有 而 6 以t ，秽= d i v ( c u r lp ) = 0 ( 3 1 1 ) 删p = ( 一n 山东大学硕士学位论文 所以有 也就是 呻删z ( 臻 = 罴( 却，磊o p ) = - d d v c a ( x ) v p ) ! 础r f ( n ( z ) 回= - d i v ( a ( x ) v p ) = q 由( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 可见，压力方程转化为 础d i v 州方。= 。z o ，, 回：q 这样就写成了d i v - c u r l 方程的形式 相应地处理边界条件已知边界条件可以写为 注意到霄= - a ( x ) v p ，则有 o ) 唧行i i 一0 ， 仃元= - a ( x ) v p 元= 一o ( z ) ( c 札r fp ) f = 一n ( t ) 订尹 于是压力方程的无流动边值问题转化为下面的问题 = 0 ， = q = 0 z q z q z r 3 2 压力方程c o v o l u m e 方法的离散格式 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 设二维单连通多边形区域q ，a ( x ) 为标量函数，0 a 。a ( x ) a 。， 我们现在对下列问题讨论其c o v o l u m e 解的形式 d i v 方 m f ( n ( z ) 回 n ( z ) 秽f = p ，z q ， = u z q 。 = f z f ( 3 2 1 a ) ( 3 2 1 b )( 3 2 1 ) ( 3 2 1 c ) 7 、 却瓦 刀n 旦勘 、一、 一 回ti 矽尹 t|扛弘 撇似妒r 、：飞 “ ，f，、-【 山东大学硕士学位论文 对( 3 2 1 ) 中的方程进行离散首先在对偶单元弓上离散( 3 2 1 a ) ， ，d i v y d x d y = 肚d 锄， ( 3 2 2 ) 由g r e e n 公式，得 k 交心珊 其中宠7 是对偶边的法向。如图f i g2 。 因为对偶边的法向与原始边的切向甲行，( 3 2 3 ) 也就是 tf ”t d s2 盼， t ，d 其中f 是原始边的切向 对( 3 2 4 ) 进行这样的离散 讥 ：= 乃，： 七 其中魄是秽f 在五上的近似 利用几何矩阵的性质可以把( 3 2 5 ) 写成矩阵形式： 8 c o y = 万， ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 山东大学硕士学位论文 其中 岛= 瑶“r l 加- ， “= d i a g h l ，九2 。) ， 乃r n l 然后在原始单元兀上离散( 3 2 1 b ) ， zm c 蜩捌剪= z u 捌矽， 由g r e e n 公式，得 如图f i g3 ， ( 3 2 7 ) 厶巾) g e d s = z u 如d 秒圭蛳 ( 3 2 8 ) 对( 3 2 8 ) 进行这样的离散 谚域囊 a l h l v l + a 2 h 2 v 2 + a a h a v z = w i ( 3 2 9 ) 再利用几何矩阵的性质将( 3 2 9 ) 写成矩阵形式； f a y = 西 ( 3 2 1 0 ) 9 山东大学硕士学位论文 其中 p ：b t h i ：i t e ， a = d i a g a 1 ，i ：以e ) ， 月= d i a g l q ，h e ， o 胪 最后来处理边界条件( 3 2 1 c ) 将边界条件在边界边o r k f 上积分，得 小z ) t y - t d s = 。仙 ( 3 2 1 1 ) 对( 3 2 1 1 ) 进行离散，得 h k a k v k = j d s ， ( 3 2 1 2 ) 也就是 一去。仙圭枢 2 m ， 其中4 e = 去。订( 丁) d s 。 写成矩阵形式。 i a v = t 厂， ( 3 2 1 4 ) 其中，r 加是单位阵限制在边界边上而得，也就是r 戤e 中的单位阵 删去内边所在的行，e = e e 1 = n 一1 ，r 另外我们还需要一个相容性条件由 jc 让r f ( n ( z ) 回= u ，z q ， 1n ( z ) 方f ：， z r ， 对方程两边取积分，利用g r e e n 公式，再注惹到边界条件，司得 上u 出d y = z n ，妇曲， ( 3 2 5 ) 则 毗= 办 ( 3 2 1 6 ) n r 乃r 此即是相容性条件 1 0 山东大学硕士学位论文 由( 3 2 6 ) ，( 3 2 1 0 ) 和( 3 2 1 4 ) ，并注意到( 3 2 1 6 ) ，就得到压力方程 c o v o l u m e 离散格式的代数方程组 爱 ( 3 2 1 7 ) 并在离散范数的 3 3 压力方程c o v o l u m e 解的存在唯一性 在r e 中定义内积 ，】为 阻，t ，】：= m ，日h u ) = ( “，h 7 日u ) ，( 3 3 1 ) 其中h ：d i a g h l ， e ，h 7 ：= d i a g h l ， 2 ) ，相应的范数记为 i ：，= 阻，u 】“ ( 3 3 2 ) e 维空间r e 被赋内积【，】7 后，记为u 三u 7 ( 囝) 定义网格函数，“u7 ( f i ) ， 认为它有边界值ui r 和内部值ui n 定义u 的子空间 u o ：= f 他u ；ui i ，= o ) 定义“的三个子空间 z o = 扛u o ；f a u = o ) ， 2 0 = u u o ；f u = 0 ) ， 以及 w o = “r i o ；c o u = o ) 若成立u o = 乞ow o ，其中正交是在【，】的意义下，则有望按照类似 文献【1 】的方法证明方程组解的存在唯性而由【1 】的结论，我们知道 瞬= 2 oow o 如果u o 不变，w o 不变，要使空间的正交分解关系仍然成立，需有2 0 = z o 而实际上不一定如此，这是因为同秩同维数的矩阵的零空间不一定相同具体 分析可见文献【1 8 】和( 19 】 11 山东大学硕士学位论文 为了仍能保持空间的正交分解，我们将正交内积修改为 m 】。= ( 札，h h 7 a v ) 因为1 1 1 1 7 a 是对角正定阵，故这样定义可以保证是内积，相应的范数是 i l u l | 。= 【u ，仳 1 2 ( 3 3 4 ) 注意到n ( z ) 的有界性，可知两个范数等价。 我们将内积 ，】。下的空间r e 记为 = z r e ，l l u l l 。】， 然后定义u 的子空间 u o = u u | i l = o ) 在新内积意义下，将的两个子空间定义为 z o = ? ；f a u = o 为分析方程解的存在唯一性以及误差估计，我们建立单连通区域中向量 空间r e 上的一些引理和定理。 引理3 1 秒函，存在咖r t ，使得 = d o e 等价于磁 = 0 证明见【1 】1 。 引理3 2v r e ，存在砂r ，使得t ，= d e 等价于b 。t ，= 0 证明见f 1 】 定义差商算子： t 妒= a 一1 h d e ，v 砂r n ， s 西= ( h 7 ) p c ， w r 丁， s 0 6 = ( 弼) n o ， v r 丁 引理3 3 若c o u = 0 ，那么，存在r t ，使得u = s o 咖 证明：因为o o u 一0 ，也即哦h j 札= 0 ，那么由引理3 1 ，知| r t ， 使得h o u = 玩咖，从而有t = ( j ) 一1 3 0 咖= & 咖 引理3 4 若f a u = 0 ，那么，存在妒r ，使得u = 于砂 1 2 吣 = u 岛 ，j l i | 和 山东大学硕士学位论文 证明：因为f a u = 0 ，也即b 2 h a u = 0 ，那么由引理3 2 ，知j 妒r ， 使得h a u = d o ，从而有u = a i h 一1 d e = 于矽 引理3 5 对任意r r 和妒r l v ，妒i r = 0 ，。有 乱，于妒 。= ( c u ，妒) ，乱u o ； 【，s 咖】。= ( f a u ，咖) ， 沙 证明，【u ，t e l 。= 0 ，h i l 7 1 - 1 h _ 1 d o ) = ( 乱，7 1 1 - 1 d o ) = ( c u ，妒) u ，s 纠。= ( u ，h 7 a ( h 7 ) 1 1 日妒) = ( 仳，h a b 砂) = ( b h a u ，) = ( f a u ，砂) 弓i 理3 6 令z o = 1 u o ；f a u = o ) ， 9 0 = 仳g o ；c o u = o ) ，贝0 有空间的正交分解：u o = z o o w o ，正交是在卜】。的意义下 证明：讹w o ，取z u o ，若【z ，叫。= 【z ，s o 纠。= 【z ，s o l 。= ( f a z ，) = 0 ，w r t ，则f a z = 0 ，则z 玩，故有雌cz o 同理，v z z o ， 取u u o ，若p ，z 】叫= p ，t o 。= ( c u ，矽) = 0 ，w r ，则= 0 ， 则u w o ，故有z o 上cw o 另外，若z u o 且f a z = 0 ：c o z = 0 ，则 k ，z 】。= ks 纠。= ( f a z ，咖) = 0 ，则z = 0 ，从而得nz o = 0 综上得 证，在f ，】。的意义下，u o = z oow o 基于以上的若干引理，我们得到解的存在唯一性定理 定理3 1 在相容性条件下，方程组 i c o y = 磊 f 4 t ，= d ， ( 3 2 1 7 ) 【，4 u = 厂 存在唯一解 证嘎，利用相容性条件，可知增广阵与系数阵的秩均为e ，故方程组存 在解而i a v = 0 ，说明u g o ，再由f a y = 0 和c o y = 0 ，便得到 u z onw o ，从而v = 0 ，所以解唯一 3 4 压力方程c o v o l u m e 解的误差分析 为作误差分析，按下面的做法引入网格函数矛( 1 ) 和o ( 2 ) t 在原始单元上关于洮r f ( n ( z ) 回离散， 。o = 去z 。n ( 郴刷= l 2 ，点 1 3 山东大学硕士学位论文 以及 在对偶单元上关于d i v j 离散， 移乎2 去妒他后乩2 ，幽， o 孑= 矛：，k = e 1 + 1 ，e 令g ( o = 一面( 订，i = 1 ，2 ，我们有 c 0 9 2 ) = 0 ，e ( 2 ) u o ， f a g ( 1 ) = 0 ( 1 ) v o 于是由引理3 6 ，知哆( ，f ( 2 】叫= 0 ，令雷：= ( 西( 1 + 移( 2 ) 2 ，则有 【u 一雷，u 一面】。= 去【。( 1 ) 一矛( 2 ) ，矛( 1 ) 一移( 2 】。 也就是i i v - 雷1 1 。= 到1 和( 1 ) 一矛( i i 。而 从而 u 一移i l 州= u 一0 ( 1 ) 一 0 ( 2 ) 一矛( 1 ) 2 i i 卜护i i 。一丢i i 护) u 一矛( 1 忆 l | 这样问题转化为估计i | 移( 2 ) 一移( 1 忆 我们记 其中 1 4 矛( 2 ) 一矛( 1 忆 加 一西( 1 ) 护) - 护k 忐厶v f d s - - 去小郴刷s = ( 麦t ：f f d s 一瓦1 ，。方f d s ) + ( 耗渐a s - 瓦1 厶等掰d s ) = q + r ， q = 壶z ：痧f d s 一去。秽f d s 山东大学硕士学位论文 肚h - 1 k k ! ；t 7 - t d s - 去厶等渐a s 由文献【l 】已经知道i i q i i 三cm a x ( h 2 , h 龙) l 叫i ，其中，h 芦m 知a xh