（运筹学与控制论专业论文）切换系统的反馈镇定与观测器设计问题.pdf

摘要 本文主要研究切换系统的反馈镇定与观测器设计问题第一部分考虑切换 系统的反馈镇定问题，假定每个子系统能控，对任意给定的切换信号，通过寻 找反馈控制律使系统指数稳定，并且我们讨论了其扰动系统的反馈镇定问题 在第二部分中讨论线性切换系统的观测器设计与动态反馈问题以及其扰动系 统的观测器设计问题在每个子系统能观的前提下，建立误差系统，对于任意 给定的切换信号，设计观测器矩阵使误差系统指数稳定本文的第三部分研究 离散线性切换系统的反馈镇定问题假定每个子系统能控，对任意给定的切换 信号，当切换频率有限以及切换频率具有未知上限时，都可找到反馈控制器使 系统指数稳定本文的最后一部分利用多l y a p u n o v 函数方法讨论了一类非线 性切换系统的反馈镇定问题，在一类切换信号下通过寻找反馈控制器使闭环系 统渐迸稳定 关键词：切换系统，多l y a p u n o v 函数，反馈镇定，能控性，观测器设计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s 8t h es t a b i l i z a t i o na n do b s e r v e rd e s i g np r o b l e n lo fs w i t c h e d8 y s _ t e m s i nt h e 丘r s tp a r t ，、v ec o n s i d e r 池es t a b i l i z a t i o no fs w i t c h e ds y 8 l e m sw i t hc o n t r o l l “l e l i n e a rs y s t e m 8a n dt h es t a b i l i z a t i o no fi t sp e r t u r b a t i o ns y s t e mw h e n 七h ep e r t u r b a t i o nt e r m s a t i s 丘e sc e r t a i nc o n d i t i o nf 0 ra n yg i v e ns w i t c h i n gl a w ，af e e d b a c kc o n t r o lc a nb ed e s i g n e d t om a k et h ec l o s e d _ l o o ps y s t e me x p o n e n t i a l l ys t d b l e 1 nt h es e c o n dp a n ，w ec o n 8 i d e rt h e o b s e r v e rd e s 培na n dd y n 锄i cf e e d b a c kp r o b l e mo fl i n e a rs w i t c h e ds y 8 t e mw i t ho b s e r v a b l e s u b s y s t e m sa n dt h eo b s e r v e rd e s i g no fi t 8p e r t u r b a t i o ns y 8 t e m 8 b yc o n s t r u c t i n ge r r o r s y s t e m 8 ，f o r 缸l yg i v e ns w i t c h i n gl a w ，o b 8 e r v e rm a t r i c e sc a nb ed e 8 i g n e dt om a k et h ee r r o r s y s t e m se x p o n e n t i a l l ys t a b l e i nt h et h i r dp a r t ，w ec o n 8 i d e rt h ef e e d b a c ks t a b n i z 雠i o no f d i s c r e t 争t i m es w i t c h e ds y s t e h lw i t hc o n t r o u a b l es u b s y s t e m s f 0 rb o t hc a s e so fk n o w n 柚d u n k n o w n 矗n i t es 而t c h i n gf r e q u e n c ya1 i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lc a nb ec o n s t r u c t e ds u c ht h a t 恤ec 1 0 s e d 一1 0 0 ps y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l e f i n a l l y u 8 i n gm u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n s ， w ed i s c u 8 sn l es t a b m z a t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h e ds y 8 t e m f o rac l a 8 8o fs w i t c h - i n gl a w ，f e e d b a c kc o n i r 0 1c a nb ed e s i g n e dt oi n a k e 恤ec 1 0 s e d l o o ps y s t e i i l 8a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i ( e yw b r d s：s w i t c h e d8 y s t e m s ；m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n ；f b e d b a c ks t a b i l i z a t i o n ；c o n t r 0 u a b i l i t y ；o b s e r v e rd e s 培n 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者( 签名) 枷枷 二零零六年四月三十日 引言 切换系统是一类重要的混合动力系统，它是有多个切换子系统以及作用在 其中的切换规则组成一方面，因为实际中有许多系统是有几个依赖于各种因 素的子系统通过切换实现的，另一方面，由于有的系统不能通过一个连续的反 馈控制器来渐迹镇定，因而在不同控制器间切换的控制技术在最近几年里也得 到了广泛的应用从而使得切换系统备受关注目前，切换系统在机械控制， 自动工业控制，飞行器控制以及电力控制等领域有着广泛的应用 切换系统的一般形式为： z ( ) = 厶( )( o 1 ) 其中z ( ) 鼢为状态变量； ：一r n 的函数，且，1 ( o ) = ，2 ( o ) 一= ( o ) = o ；一：f o ，o 。) 一a 的分段常值函数，称为切换信号，其中a 为指标集在不同 的情况下，切换信号。可能依赖于时间t 或者依赖于状态变量。( ) ，或者一既 依赖时间又依赖于状态变量z ( t ) ， 特别，当所有的单个子系统均为线性时，称为线性切换系统 。( ) = a 。z ( ) 目前，对切换控制系统的研究主要集中在能控性，稳定性，以及镇定性【1 一 1 3 ，1 5 _ 2 5 】对于切换系统的能控性与能达目前已有很多的研究f 2 】f 5 】比如，s u n 与z h e n g 在 2 中给出了一般切换系统能控的一个充分条件和一个必要条件， 而x u e 与w ”g 进一步给出了能控的一个充分必要条件，并把该结果推广到带 有时滞的切换系统 3 1 同时，也有很多关于切换系统稳定分析与设计的研究 6 - 叫在 1 】中l i b ”z o n 与m 0 r s e 概括了关于切换系统稳定与设计的三个基本 问题： ( i ) 寻找条件使系统在任意切换序列下稳定 ( i i ) 系统在某一列切换信号下稳定 ( i i i ) 建立使系统稳定的切换信号 1 对于问题( i ) 的一个典型方法就是寻找条件使系统存在一个共同的l y a p t t n o v 函数1 6 j 1 7 l 对于问题( i i ) 主要工具就是经典l y 8 p u n o v 定理的推广即多 l y a p u n o v 函数【8 _ 【9 j 最后一个问题是设计问题，这类问题的前提是所有的子系 统不稳定，通过设计一个镇定切换律使整个系统渐近稳定，目前已有很多研究 【1 0 】- f 1 1 j 反馈镇定问题是切换系统研究的基本问题之一 1 2 ，1 7 ，1 8 2 1 】，主要通过寻找 反馈控制律使闭环系统渐进稳定或指数稳定而本文的第一部分讨论的就是切 换系统的反馈镇定问题，即如下切换系统 z ( ) = a ，z ( ) + u ( ) ( 0 2 ) 其中状态z ( ) ，控制变量“( ) r ，；一( ) ： o ，o o ) 一a 为切换函数，其 中 = 1 ，2 ，) 当该系统每个子系统能控时，那么对于任意给定的切换信 号可找到反馈控制律使系统( o 2 ) 的闭环系统指数稳定 接着讨论其扰动系统 z ( ) = a 。茁( ) + b u o ) + 厶( ，z “) )( o3 ) 当扰动项满足一定条件时的反馈镇定问题有关假设条件及主要结论如下： 假设1 1 ( a 。，b 。) 能控，忙l ，2 ， 假设1 2 | | 矗( ，z ( ) ) | | 5 ，y i i z ( t ) | | 十( ) 其中7 o 满足，y o ，对任意丁o ，总可找到 满足 。+ l 一下2 岛丁 ( i i i ) 设 ) 是与一有关的切换时间序列，对每一对一 o 以及 “ o ，使系统( 1 1 ) 的闭环系统满足愀) i i 硎。( o ) 咿。 假设1 1( a ，鼠) 能控，江1 ，2 ， 假设1 2 | | l ( ，z ( ) ) i i17 l l z ( t ) l i + 卢( ) 其中7 o 满足7 o ，存在耳“有 8 其中工= 虻学 证明定理1 1由假设1 1 以及引理ll 知，对任意的a o ，都存在 垃，江 l ，2 ，j 】v ) 满足 憎“汁。- 托) | | m 舻e “ 对任意给定的切换信号一，考虑线性状态反馈 “( ) = j 0 ( ) z ( t ) 则闭环系统为 亩( t ) = ( a 。+ 岛) 。( ) 设o 州) ，则闭环系统的解为 z ( ) = e 4 州k ) + b 啡) k 叩 ) ) e ( 4 邮。) + 日昨。) 耳州。) ) ( 如一6 。) ( o ) 所以 l z ( ) i ism a 。e 一1 ( 。一缸) m a e 一1 ( 一i l z ( o ) i f s ( m a ) 川e “( 。o 忙( 如) | | 取a 充分小，使得m 舭 1 ，则( m a 。) 川 o ，都存在 k ，江 1 ，2 ， 满足 憎 + b “z sm a e 嘲 对任意给定的切换信号a ，考虑线性状态反馈 “( ) = ( f ) z ( t ) 9 则闭环系统为 设t “+ 1 ) 则 = ( a 。( ) + 点0 ( f ) 虬( t ) ) z ( f ) + 厶( ) ( ，t ( t ) ) z ( 1 ) = p ( 州。) + 日叩。) k 州。】) ( “- 。) z ( 幻) + 船e a 小。1 + 口小。1 ( f u ) 卜厶( 1 0 ) ( 下，z ( r ) ) 打 茁( t 2 ) = e ( 一( 1 ) + 且，( t 1 ) a ( f l 】) ( 2 一1 ) 茁( 1 ) + j 者e 【a 一( t 1 1 + b 一【c l l 一( f 1 ) ) ( b 一7 厶( t 1 ) ( 下，t ( 丁) ) d r = e ( 口fc 1 ) + 口a ( 1 ) 虬( 1 ) ) ( 2 一。l e ( 4 t ，【f o ) + 日州o ) k 口( t 0 1 ) ( 1 幻茹( o ) + e ( 州1 l + b 础1 ) 虬“1 ) ) 【沪n 磨e ( 州。) + 口州。) k 小。】) ( 卜7 矗( 。) ( r ，z ( r ) ) 打 + 髀e ( 州l ，+ 毋( k 叩1 ) ) ( 虹- 7 厶( 1 ) ( 丁，：r ( r ) ) 打 由归纳得到 z f t l 一e ( 4 一h k r 日一( “) 耳a ( ) ) 0 一“) e ( a a ( f 0 1 + b a i ) 一【抽 ) “l 一o ) l 铀 + 詹e ( 啡) + 毋c 儿) ) 。1 e ( 。小。】+ 岛t k 巾。) ) ( 。1 7 矗( 。) ( r ，p ) ) 打 + j 奢e ( 啡k ) + 易( ) ( h 1 - e ( 小i 】+ 岛f 如) ) ( 铲7 厶( 1 ) ( 丁，t p ) ) d r 十+ 此e 【a 叫k ) + b 州 ) 州k ) ) 卜叮矗( “) ( r ，z ( t ) ) d r 所以 i i 。( ) i i ( a ，a 工) + 1 e 一1 0 一。i | z ( f o ) l | + j 右( a ，a 工) + 1 e1 卜7 ( 7 i | z ( t ) | | + 卢( ) ) d r 十，詹( m 妒) e 一1 ( 2 7 ( 训z ( r ) 0 + 卢( r ) ) 打+ + 废( m a ) e 一1 ”( 圳z ( 刮l + p ( r ) ) 打 曼( m 舻) + 1 e 一1 ( “。忙( 如) 0 + 尼【( m 舻) + 1 + 十m | e 一1 ( 一( 圳$ ( r ) i i + 卢( r ) ) 打 = ( m 舻) 川e 叫懈o ) 忡甓坐等高警出e 叫”1 ( ，慨r ) 忖卢( r ) ) 打 取a 足够小满足 m a o ，存在l 。“有 忖4 一。) 2 | | 茎 舭e 一舡 证明由( a ，e ) 能观可得( a 7 ，g 7 ) 能控，由引理1 1 知，存在m o ，使得 对任意的a o ，存在k r “”满足 即 取l = 一7 ，则 故引理得证 证明定理2 1 1 ，2 ，) 满足 口 由假设2 1 以及引理2 1 知，对任意的a o ，都存在 l 。， = 忖4 1 “以0sm 舻e “。 对任意的切换信号一，设t t 川) 则系统( 2 3 ) 的解为 e ( ) 一e 州 一l 叫d o ( 札肿h ) e ( 如( f 。) 一l 巾。) g ( f ) ) ( 。1 一亡0 ) e ( 亡0 ) 所以 慨刚5m p e 一1 ( “e ) m 舻e 一1 ( “。忙( f 。) i 曼( m p ) 川e “( 。如慨如) i i 取a 充分小，使得m 舻 o ，都存在 ，江l ，2 ， 满足 同样，由于“a ，g ) ，i = 1 ，2 ， 能观，由引理2l 知，存在以及2 o 都存在 l ；，汪l ，2 一，) 满足 对任意给定的切换信号一，考虑线性状态反馈 则闭环系统为 ( ) = 圣( ) = ( 如+ 日) z ( t ) + 毋e ( ) 设t ，o 叭) ，则闭环系统的解为 z ( 1 ) = e “州。 + 岛( 0 ) j f 州”2 。茁( 如) + 廊e 【a 巾。) + 口州州) ( ”7 毋( i o ) ( 。) e ( r ) d r 1 6 卫( f 2 ) = e 州1 ) + ( 1 1 ) 叫1 ) - “z ( t t ) + 辟e ( 州1 ) + 艮n ) k ( f 1 ) ) ( 驴r 研( f 1 ) k 岫) e ( t ) d r = e ( 4 ( 1 ) + b 一( 1 ) k f t t ) ) ( 。2 “) e ( a 一( 佃 + b r ，( 铀i k a l ，。) ) u l t 。) 。( o ) + e 州j + b ( - 1 k 州】驴。1 詹e ( 州。) + 8 州。j k 毗j ) ( f l 一7 玩( 。) 虬( 。) e ( r ) 打 + 钟e 4 圳+ 目( 1 ) “驴7 毋( 1 ) ( t 1 ) e ( f ) 打 由归纳得到 。( ) = e 【一- i 嘻) + b ( “】一( 2 ) ( 一“) e ( 4 a l 幻r 日a ( t 。j k 一 如) ) ( l t 。) z f “) + 廊e a 州k + 毋( 唰吣k ) 2 “e ( 4 呻。) + 岛c 。) 虬( 铀) ) ( 。h 玩( t 。) 虬( 。) e ( 丁) 打 + 。+ 层p a 小 】+ 毋t ) 虬( t ) ) ( 7 且球女) ，e ( 一打 当r ) 时 e ( r ) = e a f ( 。k ) 一工，( 札) 。训( 川) e ( a ，( 幻 l a ( f 。】。( “一。) e 所以 愀r ) i i ( 妒) + 1 e 一( ) 愀圳i 取肘= m m ， ，所以 陋( 圳( m a ) + 1 e 一1 “叫 z ( “) | | + 詹( m 舻) 。+ 1 e 一3 ( ”1 i | b ( ) 【) l e ( r ) | | 打 + 学( a 似) “1 e 。“。| f 昂 川虬( 。) 洲e ( t 川打 + + 十j 美( ，a ) e 一1 0 一7 i i 口。( “) 坼( k ) 洲e ( t ) l l d r s ( ，舻) 川e 一3 “。m 训1 十后( m 舻) 川e 一1 ( ”| | 疡( 训1 1 ( 洲m 舻e 一 ( 一。峨训l 打 + + 正( a f 舻) e 一坤一| | 岛( 洲0 也( 删( m p ) 川e 一( 7 如愀训打 取a 足够小，使得 m a l ( 1 则 忙( ) i ise “卜幻i i 茁( ) i | + e 。| | b k e ( o ) | | 盛e 一1 电r 打 e 一3 0 一剐f i z ( 如) i | + ；i | b h e ( t o ) | | e 一 o 旬) e 旨卜。i l ( o ) | | + ；i i b | e ( t o ) l 忙一言( 一幻) = e 一 。( 慨o ) | | + 刘圳慨| | | | e ( f 。) i i ) 其中| | b | | = m n z 刊鼠叭i = 1 ，2 ，一，) ， 所以z ( ) 有界，且指数收敛到o 当 1 8 | | 0 = m n z 圳k 。叭i = l ，2 ，- ， 慨t o ) | | = o 时，系统指数稳定 口 第三章离散切换系统的反馈镇定 前两章讨论的都是连续切换系统的反馈镇定与观测器设计闻题，本章将讨 论离散切换系统的反馈镇定问题在每个子系统能控的前提下，对任意的切换 信号，当切换频率有限以及切换频率具有未知t 限时，都可找到反馈控制律使 闭环系统渐进稳定 3 1引言 本部分考虑的是如下离散切换系统 z h + 1 】= d 。h 】+ 正0 h 1 “h 】 ( 3 1 ) 的反馈镇定问题这里z m r m t 为状态向量，以r m z x m ，五r 印m ，i = l ，2 ，m a h ： o ，。) n 一a 为分段常值切换信号，a = l ，2 ，m ) 为指标 集设，”川) n = 讯，n k + 1 ，讯+ 。一1 ) 表示当第谁个子系统被激活时的 离散时刻，且设n 。o 记以为切换停留，即以= n 。一n 。 我们知道对于线性时不变系统，如果能控，则可找到一个常状态反馈矩阵 使闭环系统渐进稳定或指数稳定但是对于切换系统每一个子系统可镇定并不 能保证整个系统可镇定本章讨论的是当离散切换系统的每个子系统能控时， 对任意给定的切换信号，当切换频率有限时，通过寻找反馈控制律使闭环系统 渐逝稳定，并且当切换频率的上限未知时，仍然可找到反馈控制律使闭环系统 指数稳定 3 2有关定义、引理与主要结论 定义3 1 对于切换信号口叫：【o ，。) n 一a 称 ，= 甄： 1 9 为切换频率其中女表示一【】在，n ) 的切换次数 对于一个给定的切换函数，设瓦= 意魂，且记6 = 卫皿瓦，则有下面引理 i = l e _ 。 引理3 1 对于任意切换函数一m ，有6 = ； 由引理3 1 知 ， 0 定理3 1 设 ( 皿，e ) ，忙l ，2 ， 能控，设n o ，则对于任意给定的切 换信号以满足，n ，都存在 凰， = l ，2 ，m ) ，使得系统( 3 1 ) 在反馈控制律 u m = 【。】z m 下指数稳定 在定理3l 中，反馈控制矩阵是在切换频率，曼a 的前提下设计的，当切 换频率的上界未知时，仍然可找到反馈控制律使闭环系统指数稳定 定理3 2 对于系统( 3 1 ) ，设 ( n ，目) ，i _ 1 ，2 ，- ，) 能控，则对于任意的 切换信号叽当切换频率具有未知上限时，可找到反馈控制律使闭环系统指数 稳定 3 3关键引理与定理的证明 在证明主要结论之前，先介绍下面一个主要引理，它可以看作是 1 4 】中 s q u a s i n gl e m m a 的一个推广 引理3 2设d r 一- “，e r ，z “”- 满足( d ，e ) 能控，则对任意o r 1 ，以及k r ，t 。m ，有 1 1 ( d + e ) “1 | 茎m 7 m 证明取m 1 个不同的实数九满足o a ； o ，d + e h 有m ，个不同的大于等于一r 的实特征根从而存 在一个矩阵t 满足丁1 ( d + e 日) r = a = 出n 9 0 埘以对于o i l t 一1 川丁忆则 l ( d + e h ) ”| | 墨m p 对于任意给定的r 1 令k = 日，则该引理得证口 证明定理3 1由假设( 皿，e ) ，忙1 ，2 ，m 能控以及引理3 2 知，对任意 的r o ，都存在 k ， _ 1 ，2 ，m ) 满足 | | ( n 十忍尬) ”f l 茎m r n 其中m 1 ，o r o ，一【n 为 给定的切换函数满足，n 考虑线性状态反馈 “ n 】= h 。( n 】 则闭环系统为 。 n + 1 = ( d 。【叫+ b h k 0 。 ) 。 n 】 由于 z h + 1 】_ ( 见+ b 陋。】) z z n o + 2 ) = ( d 。【。刚+ e 0 【。】岫1 ) 2 z f n o 所以 z n 1 】= ( d ，卜l 。 + b 【。】虬 。】) ”- 一“。z n o z h 】= ( d 一 n 。】+ e ，【。】心【。】p m ( d ， 。】+ e ，h 。】【。一。】) “- 一”t ( 眈十昂】虬) ”。 2 1 所以 n j | | m 1 r * r m 。忙o 川 = m 1 p “o n o 川 = m r o e 川”m 钿m 恻n o 】 m r e 懈1 ) 1 “怖7 。【勘川 取r 足够小，使得( a 十1 ) 1 1 1 m + l nr o 由引理31 知 ， 取“ o 满足下面方程 l n + ( 麦+ 1 ) l n m = 一1 对每一个 o ，由引理3 2 知，存在 k ( ) ，忙l ，2 ，m ) 使得 f | ( b + 日托( ) ) “ i ，r 置f = 1 ，2 ，一m 定义反馈控制律 u f n 】= j 【川( 七) 。胁】，n 【扎，n k + 1 ) n _ v 设n ，”m ) n ，则闭环系统的解为 z i n j = ( 玩j 十昂m 虬( ) ) ( 见k ，】+ 易k “虬m ，】( ) ) 一”1 ( d 一【扎。j + e ，h 。】乜 。】( ) ) “1 一“。z i n o 所以 恻n 川m h l 甘尊一一m r ；一h t 川 t = 0 因为 韬非增，且恕瓦= i o ，所以 n 非减，且恕“= r 故存在h ，当 女兰时；“r 因此当2 时 忪胪1 曹r y m 鱼1r y ，仁i j l = k = 彬“葛1 中”“嚣巾”“嚣一“t 百r - ( m 一帝“0 州州基中一“驴叶* 嚣r 小一一删i 仁0 滓0i j l ”l ”j ” 肿1 嚣冲1 一一，喇酬l = g e “”扩”肛h o 川 ! e e + 1 h m + h 】”i i z h n 】 e e 土+ 1 1 nm + 恼m | l 。h o l | l = 仇1 忙h o 川 其中 a ：a f r n 筒1 r ? * t 一 故系统指数稳定 2 3 口 第四章一类非线性切换系统的反馈镇定问题 本章讨论的是一类非线性切换系统的反馈镇定问题基于多l y a p u n o v 函 数，通过寻找反馈控制器使系统在一类切换信号下渐进稳定 4 1引言 切换系统是一类特殊的混合系统，它是有多个子系统以及作用在其中的切 换规则组成稳定性分析是对切换系统研究的重要课题之一大部分结果都是 基于共同l y a p u n o v 函数或多l y 印u 0 v 函数方法 8 ，9 ，2 3 ，2 4 】_ 非线性切换系统的一般形式为 = 厶0 ) ( 4 1 ) 其中一( t ) ： o ，。) 一p 为分段常值右连续切换函数， p 为有限指标集 r 础为状态向量，坼，p p ) 为一族r “一r “的局鄢“p s c h i t z 的连续函数， 满足 厶( o ) = o 却p 本章讨论的是如下仿射切换系统 士= 厶( z ) + 9 。( z ) u( 4 2 ) 其中a ( t ) ： o ，o 。) 一p 为分段常值右连续切换函数，p 为有限指标集 z b ， 为状态向量，r 为控制输入， 厶，p p 为一族i p 一的局部l i p s c h i t z 的连续函数，满足 ，p ( o ) = o ，坳p 协，p p 为一族r n 一的连续函数，且9 p ( o ) = o ，v p p i j 中概括了关于切换系统稳定性分析与设计的三类基本问题： ( i ) 寻找条件使系统在任意切换序列下稳定 ( i i ) 系统在某一列切换信号下稳定 ( i i i ) 建立使系统稳定的切换信号 对于问题( i ) 的一个典型方法就是寻找条件使系统存在一个共同的l y a p u n o v 函数【6 】- 【7 】对于问题( i i ) 主要工具就是经典l y 印u n 一定理的推广即多 l y a p u n o v 函数【8 】一【9 】文献【2 4 】给出了非线性系统能观模的几个定义以及它们之 间的关系，并且当非线性切换系统满足模能观条件时，基于多l y a p u n o v 函数方 法讨论了非线性切换系统在一类切换信号下的渐进稳定性而本章所讨论的问 题属于第二类，即基于多l y a p u n o v 函数方法，通过寻找反馈控制律，使仿射切 换系统的闭环系统在一类切换信号下渐近稳定 54 2有关定义与主要结论 定义4 1 2 6 】称连续函数n ： o ，n ) 一 o ，。) 为肛函数，如果o ( ) 严格增 且o ( 0 ) = o 定义4 2 【2 6 】称连续函数卢： o ，n ) o ，o 。) 为丘c 一函数，如果对于每个 固定的s ，卢( r ，s ) 关于r 为_ i c 一函数，而对于每个固定的n o ( r s ) 关于s 递减且当 s o 。时，p ( n 5 ) 一o 定义4 3设 k 为一族r “到r 正定径向无界e 1 函数，满足 警，p 印) 一( z ) ，v p p 其中( z ) 连续半正定。设 是与一有关的切换时间序列，对每一对n o ，对任意丁兰o ，总可找到整数 i o 满足 以+ 1 一r 兰。r ( i i i ) 设 ) 是与口有关的切换时间序列，对每一对 o ，以及无穷序列s 。，s 。，满足 由( t ) 的定义知s t n 由于闭环系统稳定，所以。( ) 有界，从而( ) 一致 连续，n 则存在长度为6 的镲域，使得每个s ；都属于该镣域，满足 ( t ) 2 7 这与以l ( t ) c 矛盾所以阢l ( t ) 一o ，一。o ，从而2 如( t 。) 一o ，j 一。 因为 嵋( z ) s 卢( 嵋( z 0 。) ) ，) + 1 ( i i “。| | 【t ，t ) s 。sp ( k ( z ( ；t ) ) ，) + 7 ( 0 “q | | ，q ) 当f 一。时，( z ( ) ) 一o ，由。( t ) 有界，从而z ( ) 一o ，一。 口 参考文献 【1 】d l i b e r z o na n da s m o r s e b i cp m 6 ：e m s 。ns 8 b i “坷n 竹d 如s i 9 n 可s 雠f 曲甜3 可s e m s i e e ec o n t m ls p t e m sm a g a z i i l e ，1 9 ( 5 ) ：5 9 _ 7 0 ，1 9 9 9 f 2 lz s u n ，d z z h e n g ，o n 僧n c n 6 i “坷o n ds f n b i “。n f 2 0 n 吖s 埘比 e d 托n 衄rs s e 脚，i e e e n a n s a u t o m a t e o n t r o l4 6 ( 2 0 0 1 ) 2 9 l 一2 9 5 1 3 】g x k ，l w 抽g ，踟n f m f f 8 6 i “坷n n ds f 曲i 娩d 6 i 矗坷吖s 埘f c e d2 i n 叩rs 驴t e n s ，s y s t e mc o n t r o i l e t t4 8 ( 2 0 0 3 ) 1 3 5 1 5 5 4 g u a n g i i l i n gx i e ，d z z h 印g ，l w h g ，c b n f m 2 z n 6 订l 坷0 ，s 脚i c e d 蹦s f e 瑚，i e e e n 8 n s a u t o m a t c o n t r o l4 7 ( 2 0 0 2 ) 1 4 0 1 - 1 4 0 5 【5 lz s u n ，ss g e ，t hl e e ，c b n 打u “d 6 m 坷n 礼d 代n c 。6 锇西c “把似8 如rs 研c h 鲥托n r3 垆 f e s ，a u t o m a t i c a3 8 ( 5 ) ( 2 0 0 2 ) 7 7 5 - 7 8 6 6 i ks n a e n d r a tj b a l a “s h na t l ，4c d m m o n 工8 p “ o u 如竹c f 曲n ，0 rs n 6 把工”即s t e 仃m 叫i 挠 c o m m “咖9a m n 拥c e s ，i e e e 蚰8 a u t o m a t c 加t r o l3 9 ( 1 9 9 4 ) 2 4 6 9 2 4 7 1 7 1d l i b e r n ，j p h e s p a i l l l a ，a n da s m o r s e 、胁6 施坷0 ，s 埘t c e ds 驴钯m s ? a 勘e 一。西e 6 m 2 c c o n d 饿。礼，s y s t e n lc o i l t r 0 1l e nv 0 1 3 7 ，i l o3 ，p pl l7 - 1 2 2 ，1 9 9 0 【8 lh y e ，a n m i c h e l ，l h o u ，s f 曲幽坷f r ”如7 9 6 7 喇d 可n m 2 印zs 驴t e m s