（计算数学专业论文）隐式代数曲线在cagd中的性质及应用研究.pdf

摘要 在计算机辅助几何设计( c o m p u t e r a i d e dg e o m e t r i dd e s i g n ) 领域中，熟知有两 种定义曲线曲面的方法，参数形式及隐式形式。参数形式以其构造简单，计算容 易等特点而流行于世并成为几何设计的主流，然而近2 0 年的研究与使用经验表 明隐式形式也有参数形式无法比拟的优点，本文仅就隐式曲线在计算机辅助几何 设计中应用及性质进行了分析和研究。其主要结果如下： 本文首先对隐式曲线研究的现状、主流和趋势等作了总的概述。在此基础上 对近2 0 年来隐式曲线在计算机辅助几何设计中的应用及各种隐式形式的曲线特 点进行了总结和评价。 本文在对插值一类几何约束的隐式代数曲线的构造基础上，给出了这样的隐 式三次代数曲线二阶几何连续光滑拼接的条件。并给出了实验结果。理论分析及 实验结果表明这样的拼接仍有一个相应的自由度，能对曲线形状进行调节，以达 到较好的设计效果。 根据g ”1 函数样条( g ”f l m c t i o n a ls p l i n e ) 曲线的思想，本文对正方形四 顶点采用三次隐式代数曲线进行插值构造出二阶几何连续光滑封闭曲线，利用这 种方法，通过适当地选择基曲线，可以在不引入任何控制点的情况下，使设计出 的三次隐式曲线在插值节点处具有要求的曲率，并且仍然有一个自由参数可以对 曲线形状进行调整，因此具有较好的性质。 本文在参一参曲面交线基础上，详细推导了隐一隐形式两曲面空间交线的微 分几何性质，这些性质包括截交及切交下的切矢，曲率矢以及高阶导矢等。这些 性质的给出将有和于空间隐式曲线在造型中的进一步研究。 关键词：隐式代数曲线函数样条代数样条正则代数曲线段 几何连续几何约束 a b s t r a c t i nc o m p u t e r - a i d e dg e o m e t r i cd e s i g nf i e l d ，t w of o r m sd e f i n e dc u r v e s s u r f a c e sa r e w e l lk n o w n ：p a r a m e t e rf o r mm a di m p l i c i to n e p a r a m e t e rf o r mb e c o m e sm a i n s t r e a m o fg e o m e t r i cd e s i g nb e c a u s eo fc h a r a c t e r i s t i cs u c ha s ：s i m p l ec o n s t r u c t i o n ，e a s y c o m p u t a t i o n ，e t c w h i l e l e a r 2 0 y e a r s r e s e a r c hi l l u s t r a t e si m p l i c i tf o r mh a sa d v a n t a g e t h a tp a r a m e t e ro n eh a s n t i nt h i sp a p e ro n l yt h ea p p l i c a t i o na n dp r o p e r t i e so f i m p l i c i t c u r v e si nc a g dh a v eb e e nr e s e a r c h e dt h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l yt h er e s e a r c h i n gs t a t u sq u o ，m a i n s l r e a ma n d t e n do fi m p l i c i tc u r v e sa r e s u m m a r i z e di n t h i sp a p e r b a s e do nt h e s en e a r2 0y e a r st h ea p p l i c a n to fi m p l i c i t c u r v e si nc a g da n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so fa l ls o r t so f i m p l i c i to n ea r es u m m a r i z e d a n de v a l u a t e d i nt h i s p a p e rt h e g 2 一c o n t i n u o u s b l e n d i n gc o n d i t i o n s o ft w oa l g e b r a i cc u r v e s i m p l i c i t l yd e f i n e db a s e do nt h ec o n s t r u c t i o no fa l g e b r a i cc u r v e st h a ti n t e r p o l a t et h e g e o m e t r i cc o n s t r a i n t sa r ep r e s e n t e d t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dt h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tc u b i ca l g e b r a i cc u r v e sh a v i n gg2 - c o n t i n u o u sb l e n d i n gs t i l l h a v eaf r e e d o mt of i tt h es h a p eo f t h ec u r v e g 2 - c o n t i n u o u sc l o s e dc u r v e sa r ec o n s t r u c t e d t h r o u g hi n t e r p o l a t i n gt h ev e r t i c e so f a s q u a r eu s i n gc u b i ci m p l i c i ta l g e b r a i cc u r v e sb yg “一f u n c t i o n a ls p l i n e i d e ai n t h i s p a p e r i nv i r t u eo f t h i sw a y s ，t h ec u b i cc u r v e si m p l i c i t l y d e f i n e da r ec o n s t r u c t e da n da f r e e d o mi ss t i l lh a dt oa a j u s tt h ec u r v es h a p e sw i t h o u ti n t r o d u c i n ga n yr e f e r e n c e p o i n t s t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t sa l s oi l l u s t r a t et h eg o o dd e s i g ne f f e c to f t h i sa p p r o a c h b a s e do u p a r a m e t e r p a r a m e t e r s u r f a c e si n t e r s e c t i o n c i r v e ，t h e d i f f e r e n t i a l g e o m e t r i cp r o p e r t i e s o fi m p l i c i t i m p l i c i to n e sa r ei nd e t a i l i nt h e p a p e r t h e s e p r o p e r t i e s i n c l u d et a n g e n t s ，c u r v a t u r ev e c t o ra n dh i g h e r - o r d e rd e r i v a t i v ev e c t o ri n e a s e so ft r a n s v e r s a li n t e r s e c t i o na n dt a n g e n ti n t e r s e c t i o n t h e s er e s u l t sw i l lb eu s e f u l t ot h en e x tr e s e a r c ho f s p a c ei m p l i c i tc u r v e i ng e o m e t r i cm o d e l i n g k e yw o r d s ：i m p l i c i ta l g e b r a i cc u r v e ，f u n c t i o n a ls p l i n e ， a l g e b r a i cs p l i n e ， r e g u l a ra l g e b r a i c c h i v e s e g m e n t ，g e o m e t r i cc o n t i n u o u s , g e o m e t r i c c o n s t r a i n t s 两北。i 。业大学坝l 论立 第0 章绪论 在计算机辅助几何设计( c o m p m e r a i d e dg e o m e t r i dd e s i g n ) 领域中，熟知有 两种定义曲线曲面的方法，其中参数形式的曲线( x = x ( t ) ，y = y ( t ) ) 与曲面( x = x ( u ， v ) ，y = y ( u ，v ) ，z = z ( u ，v ) ) 以其构造简单，计算容易等特点而流行于世并成为几何 设计的主流，由此使人们产生隐式形式不实用的感觉。然而近2 0 年的研究与使 用经验表明，实际情况并非如此，即对于计算机辅助几何设计中的许多问题，隐 式形式同样或更为有效。所谓隐式曲线与曲面，是指用实系数二元及三元代数多 项式的零点( 即f ( x ，y ) = o 和f ( x ，y ，z ) = o ) 所定义的曲线与曲面，故也称为代数 曲线与曲面。 0 1 隐式曲线的优点 三次参数曲线在计算机辅助几何设计( c o m p m e r a i d e dg e o m e t r i dd e s i g n ) 与 计算机图形学( c o m p m e rg r a p h i c s ) 领域一直扮演着十分重要的角色，这主要是 因为三次参数曲线是具有奇异性的次数最低的曲线，这些奇异性包括尖点，拐点 和闭圈。所有二次盏线都是平面曲线，雨三次曲线却能表示挠率不为零的空问曲 线。正是由于参数表示比隐式表示更适合计算曲线上的点列，同时它在定义与变 换自由形式曲线几何中也提供了极大的便利与灵活性。因此，从一开始，计算机 辅助设计团体( c o m m u n i t y ) 对于自由形式曲线与曲面的定义就主要利用了参数 方案。 但是计算几何专家也一直没有放弃对隐式曲线的性质及应用进行研究，最近 代数曲线曲面的研究也受到了国内外学者的广泛重视。与参数形式的曲线曲面相 比，隐式形式有如下的优点：1 从理论上讲，隐式曲线能保持参数曲线的所有性 质，并比参数曲线有更多的自由度，与参数曲线相比，相同次数的隐式曲线代表 的曲线簇更加广泛，或者同样次数的情况下，隐式形式可达到更高的光滑度或提 供更多的形状控制的手段。如三次隐式曲线可以表示无穷阶连续的简单闭曲线， 而三次参数曲线及有理参数曲线则不能表示一条完整的闭曲线；2 作为解析曲 线曲面的子集，隐式形式提供了足够的灵活性使其几乎可以拟合任何复杂形状的 曲线与益面。通过参数的消去我们知道，参数形式是隐式的特例；3 隐式曲线也 有参数曲线无法比拟的优点，即隐式形式定义一个半空间，因而十分容易区分一 个点是在曲线或曲面的内侧或外侧或在曲线曲面之上；4 隐式曲线不仅有紧凑的 表达形式，而且在几个几何操作( 求和，求差或交以及偏移( o f f s e t ) 等) 下是 封闭的，而这在实体造型系统中通常是需要的，例如，一条参数曲线的等距线可 西北工业大学碗p 论文 能不是参数的，因此，如果一个几何设计系统不能包容隐式形式，那么上述运算 便超出它力所能及的范围。 o 2 隐式代数曲线的缺点 以上介绍了隐式形式同参数形式比较的优点，然而隐式形式也有若干不利 于使用的缺陷，其中包括：1 计算不如参数形式简单，因为隐式形式的曲线曲面 由多项式的零点定义，所以求值隐式曲线曲面原则上等价于解一个非线性方程； 2 隐式曲线曲面可有奇异性，在奇异点处f 的各偏导数为零；3 隐式曲线曲面有 多分支性，如双曲线或双曲面等。所以计算机辅助几何设计中使用隐式曲线曲面 所要研究的关键问题是如何发挥其优点，克服其不足。 o 3 隐式曲线的研究现状 0 3 1 隐式曲线的参数化( p a r a m e t r i z a t i o n ) 在几何设计中，隐式表示和参数表示都有所体现，并且二者都有一定的优点。 这样，一个显然的问题就提了出来：能否在二者之间进行变换，从而各取所长? s e d e r b e r g ( s e d e r b e r g ，1 9 8 3 ) 已经证实了利用消元法一个古典的代数几何工 具变换一个参数定义代数曲线( 或曲面) 到它的等价的隐式定义是可能的( 虽然 在计算上常常不是易于处理的) 。然而，参数化或生成一个对隐式代数曲线的参 数描述通常是不可能的。事实上，只有亏格为0 ( w a l k e r ，1 9 5 0 ) 的隐式代数曲线 子集才是唯一能够进行有理多项式参数化的。对于一个具有二重点的代数三次曲 线，p a t t e r s o n ( p e t e r s o n ，1 9 8 8 ) 给出了一种斜率参数化方法。不幸的是，在很多几 何设计应用中产生的代数的方程一般来说亏格并不为0 。“因此，寻求代数曲线 的一个近似参数化表示就显得是一个很有意义的研究课题了。”( q uy o n g m i n g e t a 1 ，1 9 9 7 ) 在( g e i s o w ，1 9 8 3 ：p r a t t ，1 9 8 5 ) 中，讨论了一些技术，沿着曲线生成一组 或一系列离散点( 一个分段线性逼近) 逼近代数曲线。离散点逼近对一些问题来 说是足够的。但在重复应用实体造型操作背景下，由于需要大的数据来精确的描 述曲线，这种离散点逼近方法是无效的。最终，需要一个分段参数样条表示。从 这个离散点集能产生一个样条逼近，但是不论这个点集还是从这个点集产生的样 条都不能解决其它的问题，这些问题产生于对解的完备性和拓扑正确性的关注。 w a g g e n s p a c k & a n d e r s o n ( w a g g e n s p a c k a n d a n d e r s o n ，1 9 8 9 ) 提出了一个方 法，对于一个一般的n 次隐式代数方程用一个由线性的，二次的和三次段组成的 分段参数来逼近，其算法分四个阶段，概要如下： 阶段i ：参数化 两北工业人学硕“卜论文 如果d p g 陟0 ，v ) 】3 ，参数化曲线，0 ，v ) = 0 ，这里d 曙【g ( ) 】是一个决定这 个多项式总次数的操作。如果p e g r ( ，v ) 】 3 或如果这条曲线是一条非奇异三次 曲线，那么执行逼近阶段。 阶段2 ：曲线逼近 如果k 次函数f ( u ，v ) = 0 关于主三角形的任何边单调上升或下降，估计当前 k - 1 次逼近的误差。如果误差在可接受范围以内，返回逼近到阶段1 ；否则，抛 弃这次逼近，进行下一步。 阶段3 ：细分 如果这个三角形区域的大小低于一个预算的闽值，假定这个区域包含或者邻 近一个奇点，执行阶段4 ；否则，把这个三角形分成两个、三个或四个子区域， 回阶段1 。 阶段4 ；奇性的分解 用二次变换或其他方法来分解奇性，对通过给定区域的曲线段来生成逼近。 这个算法耦合了当代基于细分的方法和源于古典代数与射影几何的数学观 点来构造一个由线性的、二次的和三次曲线段组成的逼近。它能达到整体go 连 续，但其算法复杂性也较大。 璺【o - - 1 基于这种细分的思想，屈永明等c q uy o n g m i n g ，e ta 1 ，1 9 9 7 ) 提出了一种 用分段三次参数曲线来近似表示任意次平面代数曲线。该方法使各曲线段之间保 持g 1 连续，并通过恰当选取控制顶点使参数曲线段在某种意义下成为代数曲线 段的最佳逼近。其遥近算法的基本思想是：对任何一给定的代数曲线，计算出曲 线的奇点和拐点，然后把它分割成若干个恰当的t p a c ( 一条曲线段p a c p i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e 被称为是t p a c 指它插值于三角域的顶点( u ，v ，w = ( 1 ，0 ，0 ) ，( u ，v ，w ) = ( 0 ，0 ，1 ) ，并且与三角域的两边庐o 和w = o 相切， 两北工业人学顿 。论奠 如图0 1 所示) 。然后，对每一个t p a c ，用条三次曲线来逼近它，屈永明等 提出g 1 插值逼近与优化逼近两种方案。 0 3 2 代数曲线在计算机辅助几何设计中的应用 隐式曲线在几何造型中的应用应是由s e d e r g e r g ( s e d e r b e r g ，1 9 8 4 ) 最早提 出的，在随后的时间里，些学者致力于隐式曲线在应用中的研究，也取得了较 好的应用。 由于三次曲线的代表性，基于几何约束的三次代数曲线的构造由张三元等给 出( z h a n gs a n y u a n ，s u ns h o u q i a n ，p a ny u n h e2 0 0 t a ：z h a n g e l ；a 1 ，2 0 0 1 b ： z h a n gs ，2 0 0 0 ) 。文章中提出的三次隐式代数曲线通过给定的几何约束加以控制， 这些几何约束包括控制顶点、两端点及两端点的切线，还有给定两端点处的曲率。 在曲线编辑方面，与三次参数曲线一样，可以通过操纵这些几何约束来直观地控 制曲线的形状。 由于过渡曲面在造型系统中的需要，j l i ( l i j e ta 1 ，1 9 9 0 ) 提出了g ”1 函数 样条( g ”一f u n c t i o n a ls p l i n e ) 曲线的概念，并且证明了这样的函数样条曲线， 曲面至少达到连续g2 插值，也能用于曲线、曲面与实体的逼近，并且获得了很 好的应用( h a n i i l a n e1 9 9 0 ；z h a n gs ，1 9 9 9 ) 。 样条的应用是自由形状几何设计与埃米特( h e r m i t e ) 插值，对于如图o 一2 所示的一个控制多边形，当用代数样条进行自由形状设计时，一序列三角形t ，使 得两个相邻的三角形有共线边，样条插值点p 每段p ：。p ：。在点p ：，相切， 并且在每一个连接点具有描述的曲率。 圈0 2 当然对于这样的控制多边形，g2 二次样条的构造是可能的，但它们不能在 连接点插值给定的曲率，并且仅有一个( 全局) 形状环柄( p r a t t ，t 9 8 5 ；f a r i n ， 1 9 8 9 ) 。b a j a j ( b a j w c ，1 9 9 9 a ) 给出了代数样条的能量形式r 并且利用简化的 两北 j 业人学硕士论文 能量模型给出了几个c 连续二次代数样条的例子。继而给出了定义在平面三角 形上利用双变量重心坐标b e r n s t e i n b e z i e r ( b b ) 形式多项式表达的g 连续分段实 代数曲线( b a j a j & x u ，1 9 9 9 b ) ，并且将其应用到局部插值逼近。利用b b 形式表示 的代数样条有相应的自由度，仍可进行局部拟和与整形，但自由参数的几何意义 却不易理解。p a l u s z n y ( p a l u s z n y & p a t t e r s o n ，1 9 9 8 ) 使用所有可用的自由度进行直接 形状控制，并且致力于通过调节系数从几何直观上来控制曲线形状。p a l u s z n y 从 代数几何的观点对b b 形式的系数进行了几何说明，但其解释对于广大工程技术 人员而言也是艰深晦涩，不能很好的被人接受的。 基于代数样条的思想，x u g f x u e ta 1 ，2 0 0 0 a ) 提出了正则代数曲线段( r e g u l a r a l g e b r a i cc u r v es e g m e n t ) 的定义。并且将其应用于插值与逼近( x u e ta 1 ，2 0 0 0 b ) ， 交互设计与数据拟合( b a j a j & x u ，2 0 0 1 ) 。最后，b a j a j 指出正则代数曲线段方法 是可以推广到三维的，只需将相应的平行四边形换为平行六面体。 o 3 3 代数曲线的绘制技术 对于隐式曲线的绘制问题，一个直观的解决办法是测试这条曲线是否通过 每一个象素，这样的一个测试能被执行，通过计算从每一象素的中心到曲线的欧 几里得距离( t a u b i n ，1 9 9 4 a ) 或者通过点抽样技术( d ef i g u e i r e d oa n ds t o l f i ，1 9 9 6 ) 。 明显地，这样的方法是低效的。 连续的方法( c h a n d l e r ，1 9 8 8 ) 通常是有效的，因为他们利用曲线上的一 个或多个种子象素，然后连续的跟踪曲线。然而这样的方法有一个的基本的困难， 也就是要找到内在的种子的象素的完全集。 细分方法( d u f f ，1 9 9 2 ；s n y d e r ，1 9 9 2 ) 把绘制区域本身作为一个内在的 单元，如果一个单元证明是空的，就忽略它。否则，它被分成小的单元，这些小 单元再递归的研究，直到这个单元达到象素尺寸( 或一个理想的精度) 。用这种 方法，绘制区域的大部分在初始阶段能被连续可靠的抛弃，从而导致一个有效的 方法。 区域分析( r a t s c h e k & r o k n e ，1 9 8 4 ) 在每个细分步，对于可靠的放弃一定 的单元，提供了一个一般的测试方法，利用这些分析对于在一个单元内的函数 值域，我们计算出一个保守的区间，如果这个区间不包括零，那么这条曲线不和 这个单元相交，然而，如果这个区间包含零，我们也不能推出这个单元和这条曲 线相交，因为这个函数域区间是不精确的，所以，这个单元必须再细分进行进一 步研究。 古典的区间算法( i a i n t e r v a la r i t h m e t i c ) ( m o o r e ，1 9 6 6 ：1 9 7 0 ) 对于区域 西北t 业大学硕士论文 分析提供了一个自然的工具，在计算机图形学应用中基于i a 的细分方法已经被 建议用来光栅化隐式曲线曲面( d u f f ，1 9 9 2 ；s n y d e r ，1 9 9 2 ) 。i a 也被用来例如 快速光线跟踪及稳健实体造型( h ue ta 1 ，1 9 9 6 a ；1 9 9 6 b ) 。 i a 的主要缺点是它倾向于太保守( d ef i g u e i r e d oa n ds t o l f i ，1 9 9 6 ) ，也就是 说，通过i a 方法函数的输出域比一个给定区间的精确的函数值域要宽许多，为 了解决这个问题，c o m b a 和s t o l f i ( 1 9 9 3 ) 对于数值计算提出了一个新的模型， 称为仿射方法( a a a f f i n ea r i t h m e t i c ) 。在各种计算机图形学应用中，a a 已经 代替i a ，例如光线跟踪，交点测试，隐式曲线曲面枚举与序列阴影抽样( c o m b a a n ds t o l f i ，1 9 9 3 ) 。因为a a 通常比i a 计算更紧的区间，因而用a a 绘制的代数 曲线比用i a 绘制的更有效且有更好的质量，然而，有时a a 仍然太保守，并且 它不服从分配律，为了解决这个问题，s h o u h ( s h o u e l a l ，2 0 0 2 ) 提出了m a r t r i x a a ( m a a ) 方法。 对于区域分析，另一个众所周知的方法是基于b e m s t e i n 凸包性的b e m s m i n 系数方法，这个方法基于简单的思想：如果一个多项式用b e r n s t e i n 基写出来， 这个多项式的区域由b e r n s t e i n 系数的最大与最小值界定。这个方法的改进方案 是在利用b e m s t e i n 数找出区域前提升b e m s t e i n 次数，因为提升次数，边界变的 更紧，但也需要更多的计算花费。 对于单变量的情况( 由c a r g o a n ds h i s h a ，1 9 6 6 ；r i v l i n ，1 9 7 0 给出) 在一个 区间上限定多项式域，一个进一步的方法是基于多项式t a y l o r 展开的二阶导 数的一个简单估计。g a r l o f f ( 1 9 8 5 ) 扩展这个思想到双变量的情况，这个边界从 多项式规则网格细分单位正方形的点处的值来界定。 对于单变量与双变量多项式，g o p a l s a n y ( g o p a l s a n y e ta 1 ，1 9 9 1 ) 通过简单的 抽样多项式提出了一个计算紧几何边界的方法，这个优化抽样的位置仅依赖于多 项式次数。 由以上思想，我们注意到导数信息能帮助我们快速精确地确定界限。基本的 思想是如果导数在一个区间上不变号，那么这个函数由它在区间端点处的值界 定。利用同样的方法，把导数作为函数本身计算边界，这种思想能递归的调用。 以上所提及的方法都有一个相伴的导数形式。关于这些方法执行及效率的比较， m a r t i n ( m a r t i ne ta 1 ，2 0 0 2 ) 给出了详细的讨论及示例。 0 3 4 曲线的隐式化( i m p l i c i t i z a t i o n ) 技术 从古典代数几何我们知道任何参数表示能变换到一个隐式表示。变换一个参 数表示到隐式表示的过程称为隐式化。有理曲线曲面隐式化及其在c a g d 中的 6 西北丁业人学碗十论立 应用的研究首先由s e d e r g e r g ( s e d e r g b e r g ，1 9 8 3 ；s e d e r b e r g e ta 1 ，1 9 8 4 ) 开始， 随后其他的学者也进行了大量的工作。对于隐式化一个有理曲线曲面，传统的 方法包括结式，g r o e b n e r 基和w u r i t t 方法。g r o e n e r 基和w u r i t t 用来隐式 化，计算花消较大。基于结式的方法一般更有效，但它们有两个主要的缺点。首 先，基于结式的方法导致大规模矩阵的行列式，第二，当有理曲线曲面有基点 ( b a s ep o i n t ) 时，基于结式的方法要么失效，要么变的非常复杂。对于隐式化 问题，另一个最近的方法是移动曲线，曲面方法( s e d e r b e r g & c h e n ，1 9 9 5 ) ，类似 于基于结式的方法，这个新技术也将隐式方程表为一个特定矩阵的行列式。 关于最近隐式化技术的文献，请参阅( m a r c o a & m a r t i n e zj j ，2 0 0 2 ；2 0 0 1 ； c h e n f & s e d e r b e r g t ，2 0 0 2 1 b e r r yt g p a t t e r s o nr r ，2 0 0 1 ：p a t t e r s o nr r ， 2 0 0 2 ) 。 0 4 本论文的研究内容 由绪论的以上介绍，可以看出近2 0 年来隐式曲线的研究现状以及研究热点， 在本文中仅对隐式代数曲线在辅助几何设计中的性质及应用进行研究，其目的是 研究一些行之有效的隐式曲线造型技术，同时探讨一些隐式曲线的微分几何性 质，以期使隐式曲线在计算机辅助几何设计中得到更好的应用。本论文的结构是 按如下安排的： 本文绪论首先总结概述了隐式曲线的优缺点，以及隐式曲线在近2 0 年的研 究现状，最后介绍了本文的研究内容。本文第一章介绍了隐式代数曲线曲面的 几何不变量及几何连续性问题；第二章详细分析了代数曲线在计算机辅助几何设 计中的应用，并分别就近2 0 年的研究内容进行了详细讨论，并对各种隐式形式 的特点进行了分析；第三章对插值一类几何约束的隐式代数曲线进行二阶几何连 续光滑拼接，并给出了实验结果；第四章在曲率连续的基础上，给出了插值正方 形四顶点的二阶几何连续函数样条；第五章在微分几何基础上，给出了空间两隐 式曲面交出的空问隐式曲线的微分几何性质；最后给出了论文总结及进一步工作 展望。 两1 1 ：3 2 业大学硕j j 论立 第1 章隐式曲线曲面的 几何不变量及几何连续性 1 1 隐式曲线，曲面的几何不变量 1 1 1 引言 欧氏空间中曲线、曲面主要有两种表示方式：参数曲线、曲面和隐式曲线、 曲面。随着对参数曲线曲面研究的深入，早在8 0 年代初苏步青教授等就将几何 不变量的研究引入并应用到参数曲线、曲面的研究中，取得了重要的成果。最近 几年来对隐式曲线曲面的应用研究越来越受到关注，因此将参数曲线、曲面的 一些重要结果推广到隐式曲线、曲面上去有着重要的意义。本节将参数曲线、曲 面的内在几何不变量曲线的曲率公式、曲面的高斯曲率和平均曲率公式推广到隐 式曲线、曲面情形，给出了简单整齐的计算公式。对曲线来说，g 1 连续是切线 连续，g 2 连续是曲率连续：对曲面来说，g 1 连续是法向平行，g2 连续是高斯 曲率和平均曲率都连续。因此，衄线曲面的曲率计算公式可用来研究隐式曲线 曲面之间的至少二阶几何连续性问题。 1 1 2 隐式平面曲线的曲率公式及其应用 定义1 设c ：f ( x ，y ) = 0 ，其中f ( x ，y ) 是关于x ，y 连续可微的二元函数，称 c 为二维平面中的隐式曲线 定理l ( z h a n gs a n y u a n ，1 9 9 9 )设c ：f ( x ，y ) = 0 是平面上的隐式曲线，其中 f ( x ，y ) 是关于( x ，y ) 的至少二阶连续可微函数，( x ，y ) 是c 上的正则点，则曲线c 在( x ，y ) 点的曲率为 l l ， o 证明由微分几何可知，对于用显函数y = ，( 工) 表示的曲线的曲率公式为 m 川= 赤：， 对于用隐函数_ 厂( x ，y ) = 0 表示的曲线在正则点处的导数及二阶导数分别为 矗厶万，残丽 = )y zr 。，：一五 1 f 。，：一生二! 立冬互：厶篓 13 一 ，( ) j ： 将式( 1 3 ) 代入式( 2 ) 并进行整理即得到式( 1 - 1 ) 。 证毕。 推论1处处f 则的平面隐式曲线c ：f ( x ，y ) = 0 是凸曲线的充要条件是 l 丘 d ( ，) = l 六 1 1 。3 隐式曲面的高斯曲率和平均曲率公式 定义2 设雕厂( 工，y ，z ) ：o ，其中f ( x ，y ，z ) 是关于e y ，z 连续可微的三元函 数，称s 为三维欧氏空间中的隐式曲面。 定理2 ( z h a t l gs a n y u a n , 1 9 9 9 ) k s ：f ( x ，y ，z ) = 0 是一张在定义域范围内正则的 隐函数曲面，并且，( x ，y ，2 ) 在定义域内至少存在二阶连续偏导数，则其高斯曲 率足和平均曲率h 的计算公式如下： h = ： ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) 证明由微分几何可知，对于显式z = f ( x ，y ) ) 表示的曲面，其高斯曲率足与 平均曲率h 可分别由下式来表示： 足= 离 h = ( 1 + z ：) 三一2 z ，z ，z 叫+ ( 1 十三卫堡 ( 1 7 ) 而对于隐式函数，( z ，y ，z ) ：0 表示的隐式曲面，变量z 关于变量x 与，的一阶和 二阶偏导数可由下式计算： )4l( 0 正l o 矗痧力。广 弦加卢五一彬 匆加加痧一嘶 肛向加卫 = k 西北工业大学硕卜论文 z x r x ? ，zy - - 一了f y ， 一l 。 ：一2 。 。f ：七 。 ：、 。 ，一0 。 ! 一 。 。 ：一l 。 x ：+ ：f 。 i 一 ：一盟垒型擎：生盟( 1 - 8 ) 。州 ，3 将式( 1 8 ) 代入式( 1 7 ) 并经过比较复杂的运算就可以得到式( 1 5 ) 和( 1 6 ) 。由于式 ( 1 - 5 ) 矛1 1 ( 1 6 ) 是显式表示的，故其计算比较简单规则。式( 1 7 ) 要求计算隐函数中一 个变量关于其它两个变量的偏导数，其计算就相对比较复杂。在另一方面，式( 1 5 ) 年t l ( 1 6 ) 在数学表示上相当整齐，不仅易于记忆，也体现了数学学科的严整性。 推论2 处处正则的三维欧氏空间中的隐式曲线s ：f ( x ，弘z ) = 0 是凸曲面的 充要条件是 d ( 厂) = 0 ，力与p ，分别为 公共点处的两侧，? 阶导数。使得其导矢满足下面的f l e t a 约束 西北_ 业大学硕士论文 p + 芦+ p + ： 矗” 1 0 屈 0 屈 0 p 、 则两正则曲线段在该点是g “的。 定义6当且仅当两正则曲线段在公共点处有 阶切触，则两正则曲线段在 该点是g “的。 1 2 2 曲面的几何连续性 曲面虽然不存在如同弧长s 这样的不变量，但可通过曲面向量的全微分来定 义曲面接触不变量，从而建立曲面几何连续性的概念。 设e ”和”分别为聊维和”维欧氏空间，其中m h 。e ”中h 维曲面r 定义 为d 寸e ”( d c e “) 的连续映射且可表示为变量，：，的c “连续的函数 ，= r ( u ，甜：，) c ”，且f 州o u 。| j 的秩为i ( 七2 l 时就是c “正则曲线) 。 定义7 设，( “) ，f ( 习为具有公共边界c b 处的两个曲面，若存在参数变换( ) 一l , l i = 玩( “l ，u 2 ，) ec ”( f _ 1 , 2 ，胛) 且 颤陋胁， 0 ， 使得 a 5 锄。o u b 抛t4 = a f o u k , o u “o u t l c a ( 1 蔓k ，h ，s = 0 ，l ，h ) 则称，( “) ，i ( 孑) 在c b 上为n 阶几何连续( g “) 。 上述定义的几何解释是：若在r ) ，f ( 玎) 间存在变换( + ) 使得对于c b 上任 一点p 。的在，0 ) ( 或尹( 玎) ) 上的邻近点p 及其在f ( 订) 或( r 伍) ) 上经变换后的 点芦，当p 寸p o 时，有 l i m 9 硎i t ( t l p 。p 妙= 0 那么称r ( u ) 与f ( 万) 为g ”连续，门称为两者的连续阶，它表示r ( u ) 与尹( 刃间的密 切程度。 定义8 具有连续的”阶接触不变向量的曲面，称为刀阶几何连续的。月阶接 触不变向量是全微分r ，办，d 2 r 。 其等价的命题。写成定理的形式是 定理3 ( 粱友栋，1 9 9 0 ) 当且仅当存在满秩变换( ) 使得 卫弘。卫 vijooiooooooi八群 西北t 业人学硕_ 。论文 d ”，l = d k 列 ( k = o ，1 ，n ) 为关于d j u 。或d7 瓦的恒等式时，r ( u ) 与f ( 习在c b 上为g “连续。 另外s c h a a f , r a v a n i ( 1 9 9 8 ) 干1 j 用对偶单位球的概念，引人对偶矢量，建立正则 曲面的对偶矢量表示去研究e 则曲面的几何连续性。 在许多情形下( 尤其在实际应用中) 保证数学意义上精确的连续，有时实际 不太可能或计算达不到，此时连续是数值( 或逼近) 意义上的，即存在一个误差 范围，不是严格的几何连续。比如考虑一条跨界曲线，对于严格的g 1 连续曲线 应该是g o 连续在边界有连续的切向。而逼近的g 1 连续曲线允许在边界切向不连 续，但其误差不超过给出的允许值。 定义9 设f ( x ，y ，z ) = 0 ，g ( x ，y ，z ) = 0 ，是两个过原点的隐式曲面，它们是重 新标度连续的，如果存在标度函数a ( x ，y ，z ) ，b ( x ，y ，z ) 在原点处不为零，使得 a ( x ，乃2 ) f ( x ，y ，：) = b ( x ，y ，z ) 雪( x ，y ，z )m o d ( 1 ( o ) ) 定义1 0 称f = 0 ，g = 0 在点p 具有m 重交点，如果稍微扰动厂与g 的系数 就使得p 分为m 个点。 低阶几何连续的几何意义已十分清楚：g o 连续是两曲面位置连续，g 1 连续 是两曲面在公共点有相同的切平面，g 2 连续是两曲面在任意切方向有相同的法 曲率。 在这里，微分几何中古老的切触阶问题被重新提了出来，焕发出新的光彩。 几何连续性的引入为局部形状控制提供了自由度，为自由曲线、曲面的设计提供 了广阔的空间。 1 2 3 隐式曲面间的几何连续性条件 下面我们根据本章第一节中给出的隐式曲面的几何不变量和第二节中的几 何连续性知识，显式地给出两个隐式曲面间的几何连续性条件。 设s 1 ：f ( x ，y ，z ) = 0 ，s 2 ：g ( x ，y ，z ) = 0 为两张给定的隐式曲面，它们有非空 的交线c ，由微分几何理论知道，s 1 与s 2 沿曲线c 有至少二阶几何连续的充要 条件是： i )s 1 与s 2 沿曲线c 的法向量平行； i i )s 1 与s 2 沿曲线c 的高斯曲率和平均曲率相同。对隐式曲面而言，这两个 条件相当于如下的定理。 定理4 ( z h a n g s a n y u a n ，1 9 9 9 ) 两张隐式曲面s 1 ：f ( x ，y ，z ) = 0 ，s 2 ：g ( x ，y ，：) = 0 沿它们的交线c 有至少二阶几何连续的充要条件是：沿曲线c 有 旦! ! 三些查堂堡主笙苎 1 ) 2 ) 3 ) = 刀 ( 正，厶，正) = 五( 乳，g ，g ：) 纠巨 本节得到的高斯曲率和平均曲率公式可以毫无困难地推广到n 维隐式曲面 的情形，为n 维欧氏空间的几何不变量的研究起到了抛砖引玉的作用。 b 苦毋0 & 如奠踟踟踟踟 六l 正o 厶丘厶正 厶厶 帆b 儿帆 刊刊叫0 疋丘正 b o g g 瞻瞻阮k七 州计毋o 厶厶正 如 乓厶 陬协 + ， h 川刮反岛。 易岛办 踟跏踟 l j r，illl 厶矗正k岛器 两北1 业人学碗j 。论文 第2 章隐式代数曲线 代数曲线在几何造型i 辛的应用应是由s e d e r g e r g ( s e d e r b e r g ，1 9 8 4 ) 最早提 出的，在随后的时间里，一些学者致力于代数曲线在应用中的研究，也取得了较 好的应用。 2 1 插值几何约束的三次代数曲线 由于三次曲线的代表性，基于几何约束的三次代数曲线的构造由张三元等给 出( z h a n gs a n y u a n ，s u ns h o u q i a n ，p a ny u n h e2 0 0 1 ；z h a n gse ta 1 ，2 0 0 1 ：z h a n g s ，2 0 0 0 ) 。文章中提出的三次代数曲线通过给定的几何约束加以控制，这些几 何约束包括控制顶点、两端点及两端点的切线，还有给定两端点处的曲率。在曲 线编辑方面，与三次参数曲线一样，可以通过操纵这些几何约束来直观地控制曲 线的形状。 2 1 1 插值平面上四点及两端点处两切线的三次曲线 给定平面上四点p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 以及在两端p i ，p 4 处的两条切线l 1 ，l 2 ， 我们要构造一条三次曲线通过给定的四点p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 并且在p l ，p 4 处的切 线为l l ，l 2 ，如图2 1 所示： 咧2 1 设l 3 是通过p 2 ，p 3 两点的直线，l 4 是通过p l ，p 2 的直线，l 5 是通过p 3 ，p 4 的 直线，l 6 是通过p 1 ，p 4 的直线。直线l l 到l 6 的方程用式( 2 - 1 ) 表示，则其方程可 表为： ，( 工，y ) = a i x + 6 ，y + c ，z = o ( i = 1 , 2 ，6 ) ( 2 1 ) 其中各直线方程中的系数是标准化了的，即a ? + 6 7 = 1 ( i = 1 , 2 ，6 ) ，并且如果p l ， p 2 ，p 3 ，p 4 构成凸的控制顶点，则对凸闭四边形p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 内的任意一点p = ( x ， y ) ，都有l i ( p ) = l i ( x ，y ) o ( i = l ，2 ，6 ) ，然后构造如下三次曲线簇： c l ( ) ：；0 ，y ) = ( 1 一x ) l i f 2 ，3 + _ j 4 2 5 ，6 ( 2 - 2 ) 西北工业大学硕士论文 很容易证明三次曲线簇c l ( 入) 通过四点p l ，1 2 ，p 3 ，p 4 ，利用求导公式也易于推 出三次曲线簇c