（计算数学专业论文）有限体积法与浅水波方程的求解.pdf

摘要 本文的内容是，在方法上，以有限体积法为主线，在问题的模型上，以 求解浅水波方程为中心，发展新的数值方法，研究方法的应用，分析方法的 性能，并从理论上研究了一些方法的稳定性、收敛性以及误差估计 j 论文的第一章给出有限体积法的一个综述介绍了有限体积法产生的背 景，培出了有限体积法的一个基本轮廓，并较详细地分析归纳了间断解问题 的有限体积法，给出了作者的一些见解，最后分门别类给出了有限体积法在 应用研究和理论分析等方面的发展现状 第二章介绍作者提出的一种无结构三角网格上求解二维浅水波方程的 复合型有限体积法简要分析了方法的理论上的背景详细给出了方法的构 造，并给出了该方法求解多个浅水波问题的数值试验结果分析了方法的性 能与特点 在第三章，选取三个有代表性的有限体积法和作者的复合型有限体积 法，进行数值比较研究首先，将其中尚不是无结构网格上的方法发展为无 结构三角网格上的方法，然后，就两个典型的二维浅水波问题用四个方法进 行对比数值试验作者运用了多种分析对比的技巧，较详细地了解了这几类 方法在计算精度、数值稳定性以及计算速度等方面的性能，得到一些有用的 结论另外，就一维线性双曲方程的光滑和间断两种初值问题的求解，对双 曲守恒律的三种新数值方法，即，e n o 和w e n o 方法、间断g a l e r k i n 方 法和全局复合方法，进行了数值比较实验，在精度、计算速度等方面的比较 上，对这三个方法有了一个较详细的了解 在第四章，从理论上研究非线性对流扩散方程( 含扩散项的浅水波方程 是其特例) 的一种半隐式有限体积一有限元方法的性质作者利用离散极值 原理，单调数值流函数的性质等，证明了该方法的稳定性；利用f o u r i e r 变 换的紧致性质，有限元空间的分析理论等工具，证明了方法的收敛性 在第五章，研究含有多种成份的二维浅水波方程的特征一g a l e r k i n 方 法作者提出了一种c r a n k n i c o l s o n 型特征一g a l e r k i n 方法利用微分同 胚理论、离散g r o n w a l l 不等式的一种推广形式等工具，证明了该方法数值 解误差的一个l o 。( ( o ，t ) ；驴( 门) ) 上界另外，作者还提出了一种非耦合型 特征一g a l e r k i n 方法，运用误差估计的技巧，也证明了该方法数值解误差的 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第v 页 摘要 一个l ”( ( 0 ，7 1 ) ；驴( 门) ) 上界 关键词：有限体积法，浅水波方程，无结构阿格，复合型有限体积法，双曲守 恒律，e n 0 和w e n o 方法，间断g a l e r k i n 芳法，非线性对流扩散方程， 有限体积一有限元方法，特征一g 甜e r k i n 方法，稳定性，收敛性，误差估计 ，。 a b s t r a c t t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri s t h e8 t u d yo nn u m e r i c a lm e t h o d s ， m a i n l yf i n i t ev 。i u m em e t h o d s ( f v m s ) ，i nn u i d s ，a n df o c u s i n g o nt h en u m e r i c a lm o d e l sf o r2 ds h a l l o ww a t e re q u a t i o n s s e v e r a ln e wn u m e r i c a jm e t h o d s a r ed e v e l o p e d ，t h e i ra p p l i c a t i o n sa n da t t r i b u t e sa r ei n v e s t l g a t e d t h es t a b n i t y c o n v e r g e n c ea n d e r r o re s t i m a t e sf o rs o m es c h e m e sa r eg i v e na n dp r o v e d t h e r ea r ef i v ec h a p t e r si nt h ep a p e ra n dt h e i rc o n t e n t sa r eo r g a 肌i z e da s f 0 1 1 0 w s ： i nc h a p t e rl ，as u m m a r yf o rf v mi s p r e s e n t e d t l l eb a _ c k g r o u n do f f v mi sb r i e f l vd i s c u s s e d t h ec o n s t r u c t i o no ff v m f o rc o n s e r v a t i o nl a w si s i n t r o d u c e d e s p e c l a l l 弘s o m ee m c i e n ta n ds u c c e s s f u ls c h e m e sf o rs 0 1 v i n gt h e d i s c o n t i n u o u sp r o b l e m sa f ed i s c u s s e di nd e t a i l ，a n da u t h o r ss o m er e m a r k s a r eg i v e n f i n a l l has u m m a r yo fa d v a n c e si n n u m e r i c a la p p l i c a t i o n sa n d t h e o r e t i c a la n a l v s i so ff v mi sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，ac o m p o s i t ef i n i t ev o l u m em e t h o do nu n s t r u c t u r e dt r i a n g u l a rm e s h e 8i sd e v e l o p e da n dt e s t e df o rt h e2 d s h a l l o ww a t e re q u a t i o n s t h e c o m p o s i t ef v m i sf o r m e db yg l o b m c o m p o s i t i o n o fs e v e r a ll a x w e n d r o f f t y p es t e p sf b l l o w e db ya d i f f u s i v el a 蔗一f r i e d r i c h st y p es t e p ，w h i c h 疗l t e r so u t t h eo s c i l l a t i o n sa r o u n ds h o c k st y p i c a lf o rt h el a x - w e n d r o f f t y p es c h e m e t 0 i l l u s t r a t et h ee m c i e n c ya j l dr e l i a b m t yo ft h ep r e 8 e n tm e t h o d ，f i v et y p i c “ p r o b l e m so fd i s c o n t i n u o u ss o l u t i o n so f2 ds h a l l o ww a t e rw a e ，i n c i u d i n gt h e s u p e r c “t i c a lc h a 皿n e ln o wp r o b k m s 赳1 dt h ec l a s s i c a ld 啪b r e a kp r o b l e m s ， a r es 0 1 v e d t h en u m e r i c 丑r e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n ，o r o t h e rn u m e r i c a lr e s u l t s ，w h e r ea v a i l a b l e i nc h a p t e r3 ，f b u rt y p i c a l6 n i t ev o l u m em e t h o d s ，t h cr o e m u s c l ，r d e u p w i n d ，h l l m u s c la n dc o m p o s i t em e t h o d sa 肥i m p l e m e n t e do nu n s t r u c t u r e dt r l a n g u l a rm e s h e s t w ot y p i c a lp r o b l e m so fd i s c o n t i n u o u ss 0 1 u t i o n so f 2 ds h 甜l o ww a t e r ，t h e2 dd a mb r e a kp r o b l e ma n do b l i q u eh y d r a u l i cj u m p p r o b l e m ，a r es o l v e db yt h ef o u rm e t h o d s ，r e s p e c t i v e l h t h en u m e r i c a lr e - s u l t s ，t h ec o m p u t a t i o n a ls p e e d sa n dt h es t a b i l i t i e 8o ft h ef b u rm e t h o d sa r e c o m p a r e d i na d d i t i o n ，b yt e s t i n go nt h es m o o t ha n dd i s c o n t i n u o u si n i t i a l v 1 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第v i i 页 a b s r a c t p m b l e m so fs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w i no n es p a c ed i m e n s i o n ，t h r e en e w l y d e v e l o p e dm e t h o d s f o rc o n s e r v a t i o nl a w ，n 锄e l y 1w e n om e t h o d ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o da n dt h e 甜o b a lc o m p o s i t em e t h o da r ei n v e s t i g a t e da n d c o m p r a r e d s o m ei n t e r e s t i n gp r o p e r t i e sa b 。u tt h ea c u r r a c ya n ds p e e do f t h e t h r e em e t h o d sa r ef b u n d i nc h a p t e r 4 ，at h e o r e “c a la n 出y s i s f o ra s e m i i m p l i c i t 矗n i t ev o l u m e 一矗n i t e e l e m e n ts c h e m ea p p l i e dt oa 肌i n l t i a l _ b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ras c a l a r n o n 】i n e a rc o n s e r v a t i o nl a we a u a t i o nw i t hd i 邙n s i o nt e r 埘i sc a r r i e do u t t h e m a i nr e s u l t sa r et h ep r o o f so ft h es t s b i l i t ya n dc o r l v e r g e n c eo fa p p r o x i m a t e s o l u t i o n st ot h ee x a c to n e t h em a i nt o o l so ft h ea n a l y s i sa r et h ed i s c r e t e m a x i m u m p r i n c i p l e ，ap r i o r ie s t i m a t e s ，a n dc o m p a c t n e s s r e s u l t sb a s e do nt h e f b u r i e rt r a n s f o r mw i t hr e s p e c tt ot i m e i nc h a p t e r5 ，t h ec h a r a c t e r i s t i c - g a l e r k i nm e t h o df o ras y s t e mo fs h a l l o ww a t e re q u a t i o n si s i n v e s t i g a t e d ac r a k n i c o l s o nt y p ec h 耵a c t e r i s t i c g a l e r k i ns c h e m ei s p r o p o s e d u s i n gs u c ht o o l sa st h et h e o r yo fd i 丑e r e n t i a l h o m e o m 。r p h i s m ，g e n e r a l i z e d d i s c r e t eg r o n w a l l si n e q u a l i t kl ( ( o ，t ) ；l 2 ( 仃) ) b o u n d sf o re l e 、r a t i o na n dv e l o c i t y 盯ed e r i v e d m o r e o v e r ，ad e c o u p l i n gt y p e c h a r a c t e r i s t i c g a k r k i nm e t h o di sp r e s e n t e d u s i n gt e c h n i q u e sf o re r r o re s t i m a t e s ，l ( ( o ，t ) ；l 2 ( 力) ) b o u n d sf o fn u m e n c a l8 0 l u t i o n sa r ep r o v e d k e y w o r d s ： 矗n i t ev o l u m em e t h o d ，s h a 】l 。ww a t e re q u a t j o n s ，u n s t r u c t u r e d m e s h e s ，c o m p o s i t ef i n i t ev o l u m em e t h o d ，c o n s e r v a t i o nl a w ，e n o & w e n o m e t h o d ，d i s c o n t j n u 。u sg a l e r k mm e t h o d ，n o n l i n e a rc o n v e c t i o n d “h s i o ne q u a t i o n s ，6 n i t e 、呻1 u m e _ f l n i t ee l e m e n tm e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i c g a l e r k i nm e t h o d ， s t a b i l i t y c o n v e r g e n c e ，e r r o re s t i m a t e s 致谢 本文是在刘儒勋教授的悉心指导下完成的三年来，刘老师渊 博的知识、严谨的治学和谦逊的为人都深深影响着我，他在学业上 对我严格要求，耳提面命，精心指导，使我在学识与能力方面有了 一个长足的进步，在此向刘儒勋教授致以最诚挚的感谢 同时感谢长江计划讲座教授，美国布朗大学应用数学系主任舒 其望教授对我的指导，他的讲学使我受益匪浅。衷心感谢我的硕士 学位论文指导老师，安徽大学的李世雄教授，是他的培养和指导使 我奠定了独立科研能力的基础 我要感谢师妹李宏、师弟王志峰给予我学习上的大力帮助，同 时，也要感谢与我同一研究小组的张梦萍副教授、张强博士后、张 瑞以及其他同学，他们也给了我多方面的支持和帮助，与他们经常 的学术讨论让我获益良多我还要感谢数学系的科学计算与计算机 图形学实验室，我的诸多计算机方面的问题是在该实验室的帮助下 解决的另外，我还要感谢数学系领导和其他各位老师的关心 最后，我要感谢我的妻子、儿子以及父母和家人对我的支持和 鼓励 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状 1 1 方法的产生 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，简记为f v m ) 是八十年代以来发展 起来的一种新型的微分方程的离散方法，具有独特的优点，目前已成为偏微 分方程问题和计算流体力学问题的数值计算、数值模拟中一个重要的方法 长期以来，微分方程数值求解的离散方法中，使用得最多的是有限差分 法( f d m ) 和有限元方法( f e m ) 有限差分法着眼于求解区域剖分的节点 上的函数值，方法简便、灵活，离散的格式丰富多样，在收敛性、稳定性等 理论研究方面也比较完善但由于计算中对求值节点的分布要求比较规则， 不能适应复杂的几何求解域另外，它不能求许多实际物理问题中出现的弱 解有限元方法基于微分方程的弱解形式和广义变分原理，利用能适应复杂 的几何形状的求解区域网格剖分，在剖分单元上用形函数插值逼近来求解 有限元方法能适应复杂的几何求解域，但有时需要求解大型的线性方程组， 计算上没有差分方法那样灵活方便，并且处理大变形间断问题较困难 f v m 在一定程度上吸收了f d m 与f e m 的长处，同时又克服了它们的 缺点f v m 从控制体的积分形式出发，对求解区域的剖分同f e m 一样具 有单元特征，能适应复杂的求解区域，离散方法具有差分方法的灵活性，具 有间断解的适应性f v m 的原始雏形从6 0 年代开始出现，如h a r l o w 等人 提出的p i c 3 7 】、m a c 【3 8 】、和f l i c 3 2 方法，7 0 年代的m a c c o r m a r k 7 3 和p a t a n k a r 8 4 1 等人的f v m 思想8 0 年代以来，阿格生成技术、特别 是无结构网格生成技术的发展，给f v m 注入了强大的生命力，使f v m 进 入了一个快速发展时期同时，f v m 结合其他一些数值方法，如有限元方 法，u p w i d ( 迎风) 格式，r 肛n g e k u t t a 方法，还有新发展起来的m u s c l 1 0 1 、r d e 【8 6 l 、t v d 3 9 、e n o 【4 0 】等方法，产生了一系列新颖有效 的方法 1 2 一般守恒型问题的简单有限体积法 守恒型问题的f v m 是典型的f v m 我们以二维守恒型问题为例，介 绍典型的f v m 的离散过程、基本格式，给出f v m 的一个基本轮廓 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第2 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状5 1 2 一般守恒型问题的简单有限体积法 二维守恒型问题的控制方程的形式为 “t + ( ，( “) ) 。+ ( 9 ( u ) ) ”= o ( 1 2 1 ) 这里“、，、g 是标量或向量，u 是待求变量二维e u l e r 方程和守恒型 浅水波方程都是这种形式的方程 网格剖分 有限体积法首先要对求解区域进行网格剖分，网格分为有结构网格和无 结构网格两种有结构网格的生成技术比较成熟，网格的生成和安排是有序的 和按一定结构的，适合于求解区域有几何规律和求解模型比较均衡的问题 无结构网格是当前数值计算中一个受人关注的重要发展方向，其网格的生成 和安排可以是无序的，可以根据需要加密或减疏，易于构造自适应网格，这 是有结构网格所难以做到的无结构网格能适应复杂的求解区域，这一点也 比有结构网格优越原则上讲，无结构网格可以具有任意结构，但为了实现 和计算上的方便，多采用同一类型的网格，对二维问题多为三角形，三维问 题多为四面体我们这里将以二维问题的三角剖分来说明问题。 控制元 作网格剖分之后，就要根据问题的特点和需要来确定控制元控制元也 称为控制体，这也是有限体积法名称的由来然后，在控制元上积分原方程 并进行离散和数值计算控制元的类型有两种，一种是将单一的网格单元( 这 里我们选取的是三角元) 作为控制元，另一种是将共角点的网格各取一部分 合在一起作为控制元二维三角剖分的共角点的网格组合的控制元又分为： ( 1 ) 统一型：共角点的各三角形全部在一起组成控制元( 图1 ( a ) ) ；( 2 ) 垂 心型：连接各三角形的垂心的连线所围成的部分组成控制元( ( 图1 ( b ) ) ； ( 3 ) 完全中心型：连接各三角形的重心和相关边的中点的连线所围成的部分 组成控制元( ( 图l ( c ) ) ；( 4 ) 部分中心型：连接各三角形的重心的连线所 围成的部分组成控制元( ( 图1 ( d ) ) 在二维情形，控制元可以统一描述为 七( 女3 ) 个顶点的多边形 离散方式 记控制元为y ，且设v 是k 个顶点的多边形，在y 上对方程( 1 2 1 ) 2 0 叭年中国科学技术大学博士学位论文 第3 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状5 1 2 一般守恒型问题的简单有限体积法 积分得 或 上等如曲+ 上( 甏+ 器) 如匆= 。 z z ， 一种简单的考虑是将筹在v 上看作常数，由g r e e n 公式可得 a 。筹+ z ，纳刊z = 。 ( 1 。3 ) 4 。裳+ 点。h 肚。 。 其中a 。为控制元y 的有向面积，f = ( ，g ) ，n = ( n 。，n ，) 哆黟彰渗 图1 多个单元组成的控制元 我们首先介绍根据式( 1 2 3 ) 式得出的一阶正则格式或单调格式 4 9 】 在( 1 2 3 ) 式中，沿y 的边线用梯形公式近似计算积分，有 加出= 扯c 矗坼州蜥一卜扣洲旷牛- ) 记6 q = ；( q + l 一一1 ) ，6 蛳= j ( 绑+ 1 一蜥一1 ) ，并约定a d = 。 ，。+ l = 女 r l ，o = 弧，挑+ 1 = 】。则j z ，= o ，6 蛳= o 这时 ，= lj = 1 蔓y 纳一g 如= 妻c 撬卅吲 z s ) 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第4 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状5 1 _ 2 一般守恒型问题的简单有限体积法 雉( 1 2 5 ) 代入 1 2 3 ) ，并引入，9 在控制元中心点。的值，0 ，乳- 因为 警一圭善叫嘞_ 渤咄m 捌， ( 1 2r 6 ) f 一坠型孥要型盟，地， 铲1 一( 珈蒜) l = 2 - 7 ) 等= 去q ( 嘶- u 。) ( 1 删 况 a c 鲁州” p u 2 札：+ 笔妾。小? 一“：，= ( - 一筹骞。，) u ；+ 龛骞。辨 。f = l，= 】，。o = 1 记c o = 1 一鬟跷1q ，勺= 等町，即得 ( 1 2 1 0 ) 若q 0 0 = 0 ，七) ，则( 1 2 1 0 ) 为正则格式正则格式必为单调格 式若( 1 2 1 0 ) 不是正则格式，可采用人工粘性方法的补偿形式， 使( 1 2 1 1 ) 成为正则格式，其中引入咖蝣+ 唧哼为了修正非正则性，但 j = l 不能影响格式的精度及系数的相容性 哼 勺 。瑚 + n d u 匈 “ n 口 u ， l坶肌 + 勺 。皿 + n 0 u 0 o+ 扣 = 哼 町 。闰 + n 0 ua+ 哼 勺 。m + n 0 札 印 = +n 0 u 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第5 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状1 3 间断解问邂的有限体积法 1 3 间断解问题的有限体积法 非线性的双曲型守恒方程( 组) ，其解可能存在间断，这给方程的求解 带来非常大的困难2 0 世纪中期以来，间断解问题的研究一直是偏微分方 程数值解中最引人注目的领域之一近年来，f v m 在离散方案中引入当前 极为活跃的一些新方法，产生了非常丰富的求解间断解问题的新算法 1 _ 3 1g r e e n 形式下的构造 假定方程( 1 2 1 ) 是非线性双曲型守恒方程( 组) ，则方程的求解必须考 虑到间断解的处理现假定u 是条边围成的控制元，f 。是k 的第j 条 边，处理间断解的一种途径是从( 1 2 3 ) 式出发，将( 1 2 3 ) 式中的线积分化 为 杰纳一9 出= 妾c 蜥嘶，h 一1 ) ，( 1 3 1 ) 其中数值流，j ，乳是，1 9 在边z t j 上的近似值在这种离散方式下，问题的 关键就在于如何准确地计算数值流办，毋下面以办为例介绍( 西同理) 在间断解情况下，由g o d u n o v 思想，b 两侧的函数值可以认为是不同 的，即有跳跃，因而疗的计算必须考虑这种间断，即 矗= ，+ ( u l ，u r ) 其中广是数值流函数，札l ，u r 分别为“在边0 逆时针方向左、右侧的近 似值由此可见，数值流j ：j 的计算有两个重要的方面，一是数值流函数，+ 的形式，二是u l ，t r 的计算( 通常称为重构( r e c o n s t r u c t i o n ) ) 1 3 1 1 数值流函数的构造 ( 1 ) 算术平均形式： ，+ ( u l ，u 凡) = ；( ，( u r ) + ，( u l ) ) ， 或 以u 圳加，( 半) ， ( 1 s - 2 ) 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文 第6 页 墨三! 童! ! 竺堡童兰竺查竺矍篁皇竺堡垒兰 ! ! ：! 塑竺堡望兰竺童堡竺堡童 这是一种最简单的格式，效果相对较差 ( 2 ) 单调流函数形式； 取，为单调数值流函数 ，这里 是二元函数，满足 l i p s c l l i t z 连续性 ( 。，6 ) 关于两个变量都是l i p s c h i t z 连续函数； 单调性h ( 8 ，b ) 关于第一个变量非减，关于第二个变量非增，符号化为 九( 个 上) ； 相容性凡( n ，6 ) 与流函数，是相容的，即， ( 。，o ) = ，( 。) 满足上述条件的数值流函数有多种选择，我们列出最常用的如下几种形式： 1 e n g q u i s t o s h e r 型： r 6，n e o ( ，6 ) = m i n ( ，( s ) ，o ) d s + m a x ( ，7 ( s ) ，o ) 如+ ，( o ) ； j 0j 0 2 g o d u n o v 型： 如果。曼6 如果n b 3 l “f r i e d r i c h s 型： h ( 。，6 ) 2 扣。) + m ) 一g ( b 一。) 】，强i n f 州。麟。一，俐； 其中“o ( z ) 是问题的初值 4 l o c a l l a ) 【一n i e d r i c h s 型： h 儿f 。扭。) + 坤) 二g ( b n ) ，拈。毗b 燃砷i ，j ( 札) l ； 5 r ，o e 型：( d 流形) f ，( o )，7 ( u ) o ，“i m i n ( o ，6 ) ，m a x ( d ，6 ) 】 r p ( a ，6 ) = ，( 6 )，( 札) o ， m i n ( o ，6 ) ，m a x ( 。，6 ) 】， 【九驰9 ( n ，6 ) 其它 ( 3 ) r o e 的砸e m 卸n 解算子逼近形式 8 6 】： 1 ，( “l ，“r ) = 言 ，( u r ) + ，( l ) 一l a i ( u r u l ) ( 1 3 3 ) 川毫 m m 嘏 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第7 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状1 3 间断解问题的有限体积法 其中a 是o = 筹在“l ，r 的r o e 平均 8 6 上的值当方程( 1 2 1 ) 是方程 组时，则i 是j a c o b i a n 矩阵= 菇的r o e 平均线性化替代矩阵这时，如 果设i 的特征值和特征向量为： 将未知函数跳跃量表示成特征向量的线性组合 ( 1 3 4 ) ( 1 3 4 ) 式代入( 1 3 3 ) 式，就得到r d e 的特征向量展开方法的公式为 ，( u 训r ) = ； m n ) + m c ) 一嘞嘲j ， ， ( 1 3 5 ) 一 口= 1 这一形式在实际计算中使用得非常广泛，取得了很好的效果， ( 4 ) h l l ( h a r t e n l a x v a nl e e r ) 的m e m a n n 解算子逼近形式 4 1 ： 1 ，+ ( 让l ，壮r ) = i ；= ：i ： 占r ，( 札l ) 一s l _ ，( “咒) + s r 占l ( 札r 一鲇l ) ， ( 1 - 3 6 ) 这里s l ，s r 是左、右传波的波速，乩，s r 的近似计算方法见 9 9 1 ，在本文第 三章中也有讨论这一形式的计算比( 3 ) 中的r o e 形式稍简单一点，在规则 网格上能取得较好的效果，但在无结构网格上的效果明显不及r o e 形式 1 3 1 2 “l ，“r 的重构方法 u l ，u 兄的重构是f v m 中重要的环节，决定方法的空间精度、分辨率 为介绍方法，将配置在控制元m 的中心的守恒量“。也记为l ，且不妨设 与k 有公共边b 的控制元为k + 1 u 件1 为+ - 的中心的守恒量u l ，“r 的重构有下面这些不同的方法： ( 1 ) 分片常数逼近： “l 。孤，“凡= “t + i ， ( 1 3 7 ) 这是一阶精度方法，稳定性较好，但精度不高 ( 2 ) 分片线性逼近的m u s c l 格式： 唧p 矗 。声 = lr 札 2 0 0 1 年中巨科学技术大学博士学位论文第8 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状5 1 3 间断解问题的有限体积法 由于线性逼近要引进参考量u 一，u m ，故这种方法以控制元为单一网 格时计算较为简便如果控制元为单一三角元，且守恒量配置在控制元的中 心点。记“，u 分别是，十- 的与边f 。相对的角点上的守恒量，如图 2 所示 图2 m u s c l 格式所采用的控制元与记号 角点上的守恒量的值可以利用相邻中心点的值作距离倒数加权平均来求出 这时 “尺= “件。一；妒( r i + 。) 6 u i + ；，“c = u 。+ ；轳( r ：) 6 “i 这里挑+ 2 “件1 一u i ，6 u ，一 = u i 一“，n = d u t + j “i 一 ，r 妒是限制器( l i m i t e r ) 函数这是二阶精度方法，计算量中等， 好 ( 1 3 8 ) d i + ；札+ 计算结果较 ( 3 ) u p w i n d ( 迎风) 型格式f 2 ： 对给定的中心点为0 的控制元y ，对任意( 。，y ) v ，将u ( z ，9 ) 在p 点作t a y l o r 展开，舍去二阶以上的项，则有 u ( z ，9 ) = 。+ v “。- r ，( 1 3 9 ) 这里的r 是点d 到点( z ，y ) 的向量，v u 。为u 在0 点的梯度，其近似值可 以通过公式 v “。= 去蔓a “n d z ( - s - 。) 来计算，其中积分路径0 a 是点0 周围已知其“值的点的连线所组成。a 是 a a 所围区域的有向面积分别在和m + - 上使用公式( 1 3 9 ) ，( 1 3 1 0 ) ， 就可以得出u l ，u r 为确保重构的单调性和避免振荡，实际计算中需要在 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第9 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状1 1 3 间断解问题的有限体积法 公式( 1 3 9 ) 中加入限制器妒，即 “( z ，9 ) = u 。+ 妒( r ) v u 。r ，( 1 3 1 1 ) 这也是二阶精度方法，而且是标准的中心型f v m ，计算结果比m u s c l 格 式还好，但计算量较大 ( 4 ) e n o 或w e n o 重构 9 0 ： e n o 、w e n o 重构采用避开间断的思想，在均匀矩形网格上可以构造 出高阶逼近的u l ，u r ，同时( 1 2 3 ) 中线积分的离散采用相应的高阶格式， 能得到很好的计算结果，但计算代价非常大在非均匀网格和无结构阿格上 的计算则更加困难 采用不同形式的流函数和不同的l ，u r 重构方法，就可以得到各种各 样的f v m ，例如，流函数采用r d e 的r i e m a n n 解算子逼近形式，u l ，r 的重构采用m u s c l 方法，就得到r o e 型m u s c l 方法的f v m 1 3 2复合形式的构造 求解非线性双曲型守恒方程( 组) ( 1 2 1 ) 的f v m 的另一途径是从( 1 2 4 ) 式出发，将( 1 2 4 ) 式中的线积分化为 z f ( 1 3 1 2 ) 这里，也用幻记边b 的长度，数值流( f n ) 可是外法向流向量函数( f - n ) 在边如上的近似值数值流的计算是这一类方法的设计和构造的关键所在， 构造方法与上面介绍的疗，毋的构造方法相同，只是要采用复合的形式例 如，r d e 的r i e m a n n 解算子逼近形式为 1 ( f n ) 玎= 去 ( f ( 札r ) + f ( 乱l ) ) - n o i a l ( r 一“l ) ，( 1 3 1 3 ) 其中a 是矩阵a = a ( f n ) a u 的r _ 0 e 的线性化替代矩阵 8 6 】在边k ，上的 值 复台形式的各种构造方法在水动力学的二维浅水波方程的求解中使用 得较多，取得了较好的效果 f 。芦 dn 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文 第1 0 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状1 4 有限体积法研究与应用的进展 1 3 3 关于限制器 为自适应地调节方法的数值耗散与数值色散效应，保持格式的单调性， 达到数值结果的高分辨率和高保真的目的，通常需要在上述二阶类方法，如 m u s c l 、u p w i n d 等方法中使用限值器函数( l i m i t e r ) 有各种各样的限值 器函数见诸于文献中，其中最有名的限制器有 m i n m o d ： 妒= m a x o ，m i n ( r ，1 ) ； s u p e r b e e ：妒= m a x o ，m i n ( 2 r ，1 ) ，m i n ( n2 ) l ； v a nl e e r ： 妒= ( r + i r l ) ( 1 + r ) 理论分析和数值实验的结论是，在上面三种限制器中，m i n m o d 数值耗 散性最强，v a nl e e r 的次之，s u p e r b e e 数值耗散性最弱而s u p e r b e e 数值 色散性最强，m i n m o d 数值色散性最弱因此，通常s u p e r b e e 给出个较陡 的剖面图，m i n m o d 产生一个相对平坦的剖面图，v a nl e e r 的居中 2 ，4 7 】 在实际计算时，我们可根据不同的需要来选用它们 1 4 有限体积法研究与应用的进展 8 0 年代以来，f v m 在实际应用中取得了很大的成功，在解决实际问题 的同时，也发展了f v m 的数值方法这方面的进展大致可以分为以下几个 方面 1 e u l e r 方程的求解： j a m e s o na 等人f 5 0 ，5 1 在有结构网上，结合r 肌n g e k u t t a 方法，用 f v m 对二维e u l e r 方程进行了数值求解w 抽gj c t 等人【1 0 5 ，1 0 6 对 e u l e r 方程的求解构造了t v d 型f v m ，并进行了爆炸流场的数值模拟 p a nd 等人f 8 2 】对e u l e r 方程构造了无结构网上的二阶迎风型f v m l e v e q u er j f 5 9 j 给出了利用波传播( w a v ep r o p a g a t i o n ) 的高精度f v m ： 这方面其它一些工作见文献【9 7 ，2 9 ，3 0 ，9 5 ，7 7 】 2 浅水波问题的求解： 由a l c r u d ef 等人【1 】给出求解二维浅水波方程的r d e 型m u s c l 方法 的f v m ，并进行了水动力学中三个经典的间断解问题的数值模拟，呈现的 结果令人鼓舞a n a s t a s i o uk 等人【2 】给出了求解二维浅水波方程的无结构 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第1 1 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状5 1 4 有限体积法研究与应用的进展 三角网格上的r d e 型迎风方法的f v m ，并成功地进行了包括二维溃坝问题 在内的五种水力学数值实验h uk 等人 4 7 】给出了二维浅水波方程求解 的h l l 型m u s c l 方法的f v m ，成功地进行了四种开管流( o p e n c h a n n e l f l o w s ) 的数值实验这方面另外一些工作见 9 6 ，1 1 l ，6 1 3 对流一扩散问题的求解： p a t a n k a rs v 【8 4 建立了传热和流体流动研究中的f v m f e i 8 t a u e r m ，等人 2 5 】研究了非线性对流一扩散问题的结合有限体积和有限元的数值 方法c o r d e r oe 等人f 1 7 研究了对流一扩散方程求解的一种新的f v m 4 湍流问题的研究： h a l l ol 等人36 给出了三维湍流问题的一种混合有限体积和有限元的 隐式的数值方法，成功地进行了低m a c h 数喷射湍流( t u r b u l e n tl o w m a c h n u m b e r j e t ) ，超音速混合层流( s u p e r s o n i cm i x i n gl a 弹r ) 和三维管流( t h r e e d i m e n s i o n a lp i p e ) 等数值模拟文献 1 0 6 中也用f v m 研究了湍流模型 5 一般双曲问题的求解： s o n a rt f 9 2 ，9 3 ，9 4 1 研究了一般双曲守恒律问题的e n 0 型f v m ，系统 地研究了适合于无结构网上f v m 的e n o 重构的基函数( r e c o v e r yf u n c t i o n s ) b a l l a n dr 等人【3 l 给出了变系数双曲问题求解的单元一顶点型 f v m 6 一般n a v i e r _ s t o k e s ( 简记为n s ) 方程的求解： p a nd 等人1 8 3 给出了求解n s 方程的无结构三角网格上的迎风型 f v m d e s p o t i sg k 等人 2 1 给出了求解不可压n s 方程的无结构三角 网格上的分数步f v m 曾扬兵等人 1 0 9 j 给出了n s 方程在无结构网格上 的一种f v m 求解方法。 另外，在椭圆型问题，两相流问题以及其它一些问胚的f v m 数值方法 和实际应用的进展见文献1 1 0 3 ，4 2 ，4 8 ，1 2 ，1 0 2 ，6 0 ，6 4 ，8 5 ，1 0 8 ，3 1 ，7 4 ，5 8 ， 5 4 ，8 8 ，7 5 ，4 5 ，2 0 ，8 ，5 2 0 0 1 年中国科学技术大学博士学位论文第1 2 页 第一章有限体积方法的基础理论与发展现状1 5 有限体积法理论分析的进展 1 5 有限体积法理论分析的进展 f v m 理论分析方面的工作有一定难度，特别是在无结构网格f v m 方 面尤其困难尽管如此，近年来，这方面工作也出现了一些可喜的进展 1 有限体积法收敛性的研究： k r 6 n e rd