（运筹学与控制论专业论文）分数次抛物方程内部控制的bangbang原理.pdf

分数次抛物方程内部控制的b a n g b a n g 原理 运筹学与控制论专业 研究生吕琦指导教师张旭 线性系统的时闻最优控制问题一直是控制理论研究中的一个重要课题。本文 研究了在f 2 f 0 ，。) 中由一类特殊的分数次抛物方程描述的线性系统的时间最 优控制问题，其中q 具有光滑边界其目标集是l 2 ( f 2 ) 中的非空子集，控制区域 是n 中任意非空开子集，控制集u 是酽m ) 中非空的有界开集( ，的闭包，允许 控制集d 妇= “i “：【0 o 。) 一u 可测) 。我们首先建立了此类方程在n ( 0 ，t ) 上的零能控性，其控制区域为f 2 中的任意一个非空开子集和f 0 ，t 的一个测度非 零的子集的积集。在此基础上我们证明了每一个时间最优控制都具有b a n g - b a n g 性质，即对于几乎所有的t f 0 ，t 4 1 ，u ( - ，t ) 0 u ，其中0 u 表示u 的边界。 关键词：b a n g - b a n g 原理，时间最优控制，零能控性，分数次抛物方程 a b a n g - b a n gp r i n c i p l eo ft i m eo p t i m a li n t e r n a l c o n t r o l so faf r a c t i o n a lo r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n m a j o rlo p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s g r a d u a t es t u d e n tll vq i s u p e r v i s o r ，z h a n gx u t h et i m eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sf o rl i n e a rs y s t e mi sv e r yi m p o r t a n ti nt h es t u d y o fc o n t r o lt h e o r y i nt h i sp a p e r ，w es t u d yat i m eo p t i m a li n t e r n a lc o n t r o lp r o b l e m g 删e r n e db yaf r a c t i o n a lo r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o ni nn f 0 ，o o ) jw h e r eq i sab o u n d e d d o m a i no f pw i t hs m o o t hb o u n d a r y t h et a r o ts e tsi san o n e m p t ys u b s e ti nl 2 ( n ) ， t h ec o n t r o ls e tui st h ec l o s u r eo fuw h i c hi sab o u n d e d o p e na n dn o n e m p t ys u b s e ti n 工2 ( n ) a n d c o n t r o lf u n c t i o n sb e l o n gt ot h es e t0 “= “：1 0 ，c o ) _ 驴l ( ) i sm e a s u r a b l e ) f i r s t ，w ee s t a b l i s ht h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yr e s u l tf o rt h ef r a c t i o n a lp a r a b o l i ce q u a t i o n i nn ( 0 ，丁) ，w i t hc o n t r o lr e s t r i c t e dt oap r o d u c ts e to fa no p e n ，n o n e m p t ys u b s e ti nn a n das u b s e t o f p o s i t i v e m e r t s u l e i n t h e i n t e r v a l 【0 ，明t h e n w e p r o v e t h a te a c ho p t i m a l c o n t r o l “o ft h ep r o b l e ms a t i s f i e st h eb a n g - b a n gp r o p e r 可：“( ，t ) o uf o ra l m o s ta l l t 【0 ，t i ，w h e r ea 疗d e n o t e st h eb o u n d a r yo ft h es e t 驴a n dt i st h eo p t i m a lt i m e k e yw o r d s ：b a n g - b a n gp r i n c i p l e ， f r a c t i o n a to r d e rp a x a b o l i ce q u a t i o n t i m eo p t i m a lc o n t r o l ，n u l lc o n t r o l l a b i l i t y 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明 二零零七年四月十日 、 一 幽埴 师 者 导 作 第一章引言 近年来，抛物方程的时间最优控制问题得到了广泛的研究到目前为止，人 们主要致力于研究有界区域上的抛物方程的时间最优控制同题在文献【2 孔f 2 3 和f 2 4 1 中，作者系统探讨了线性和半线性( 要求非线性项单调不减且属于0 1 函 数类) 抛物方程的时间最优控制的存在性问胚，当控制区域为有界区域的一个非 空开子集时，作者证明了时间最优控制的存在性在文献 1 1 】和f 2 5 中，作者 得到了一类特殊的抛物方程的时问最优控制的存在性并获得了相应的最大值原 理特别地，在文献【4 】1 5 ，1 6 和【1 2 】中，在允许控制加在整个区域上或者区域 的全部边界上时，作者建立了抛物方程和双曲方程的时间最优控制的b a n g b a n g 原理在文献1 9 1 中，作者研究了一维热方程的时间最优控制问题，当控制加在 一维区间的一个端点上时，作者得到了相应的时间最优控制的b a n g - b a n g 原理 并建立了此原理与方程的零能控性的联系本文将建立一类特殊的分数次抛物方 程的时间最优控制问题的b a n g - b a n g 原理据作者本人所知，目前尚无这方面 的结果 令n 酽是一个给定的有界区域，其边界a n c 。设u 是q 中的一个 给定的非空开子集，用记u 的特征函数u 是2 ( n ) 中有界开集，u 的闭 包记为驴 定义算子a 如下t a ：何2 ( q ) n 月j ( n ) + l 2 ( n ) ， a u = 一a u 设 九, 】0 0 为a 的特征值，则有0 a l 1 1 2 在本 文中，我们记方程( 1 0 1 ) 对应予初始状态y o 和控制的解为( z ，“，y o ) ，用 俨( ) ) t 2 0 表示由a 。生成的强连续算子半群 我们将研究如下的时间最优控制问胚， ( p ) i n f f i ( ，t u y o ) s ，u z “ 其中s 是l 2 ( n ) 的一个非空子集对于问题( p ) ，我们称s 为目标集，u 为控 制集，为控制函数集，pei f 圈( ，t u ，y o ) s o 缸) 为最优时间 对于给定的u ( ) d ，若存在一个t 0 ，使得v ( x ，r ；，y o ) f t s ，则称u ( t ) 为一个允许茸制对于一个允许控制u ( 。) ，若还满足v ( x ，t ；u y o ) s ，则称 之为一个最优控制 本文中，我们将得到如下结果 定理1 1 若对于问题( p ) ，、为最优时间，矿为一个最优控制，那么对于几 乎所有的t 【0 ，p l ，有u ( ) a 口假如我们进一步假定札口驴，那么说对 于几乎所有的t 0 ，t 】，有x 。u ( t ) a 驴 定理1 1 的证明是基于以下描述的方程的零能控性 第3 页 定理1 2 ( c ) 令t 0 。e 为 0 卅中任意一个正测度子集对于6 20 ，我们用 毋表示( t r 1 it + 6 研并用x 局表示它的特征函数，则存在一个南【0 ，7 对于任给5 1 0 ，南】和任给y o l 2 ( n ) ，存在一个控制蛳l ”( o ，t 一6 ；l 2 ( q ) ) 使得对于如下方程 1 2 1 9 - 。5 2 x 毋b t z j ，在o ，r 一6 ) 中， ( 1 2 1 ) i 暑，6 ( o ) = 珈 、7 的解矿满足y 6 ( t j ) = 0 进一步的有，控制满足如下估计： 1 1 2 一( 0 , t - 6 ；l 2 ( n ) ) l i y o l l 2 z ( n ) ， 其中l 是一个与6 和蜘无关的常数 在本文中，我们将称定理1 2 为零能控性由对偶方法知，零能控性等价于 以下的能观性不等式，( o ) 存在正数l 和如，其中晶 t 使得 r t - , i i | p 6 ( o ) 【l t ( n ) l 1 1 x 局0 ) b ( t ) l | l z ( n ) d t ， 对任给j 【0 ，品】薅l 2 ( q ) 成立其中矿( ) 是以下方程的解： 二一 f 群一a 。= 0 ，在( o ，t j ) 中， ip 啦) ：砖 o 删 我们将模仿 2 1j 中所引入的迭代方法来证明零能控性( 关于此种方法，亦 可参见m 【9 】和 1 3 】) ，它依赖于一个关于零d i r i c h l e t 边值条件下一算子特 征向量的不等式关于此不等式进一步的结果，参见【8 】或 9 】同时还将使用 【1 2 】中给出的关于r 1 上l e b e s g u e 测度的一个特殊结果 本文余下部分的安排如下，在第二章中，我们将证明两个辅助命题，它们将 用于证明零能控性；在第三章，我们将证明零能控性；最后，在第四章，我们将 证明定理1 1 第二章一些准备工作 首先，我们叙述以下两个引理，它们的证明可分别参见【9 和f 12 引理2 1 9 ，t h e o r e m3 1 兄( z ) 霪1 定义如上，对于任给正数r 和任意选定的 一组实数( o j 。9 ，存在正常敷c 1 和c j 使得以下不等式成立： 2 c 1 e 岛i 皿五( 。) 1 2 出 k s r 。知s r 引理2 2 对几乎所有的f e ，存在【0 ：刀中一个数列 赴 墨l ，满足以下条件： t 1 t 2 “ c 件1 0 ，而妒2 ( z ，o ) d x 与t 无关，所以 上 上妒2 c z ，。，a z 5 1 出= m c 司 上妒2 c z ，。，a z r 第6 页 m ( e ) ! 妒2 ( z 。) 出 5 ( g e c 一) 。( i 妒( z ，t ) 1 2 d z 5 于是可得对任给妒( ，t ) x r ， 加删，出释 z 7 肛加眺圳2 如 d t ) 2 ， ：罴蒜x 。删巳帆唧) ) ( 2 3 3 ) 2 百币铲呲忡；l 2 ( n ) ) 3 j 证毕口 记p r 为l 2 ( n ) 到j ，f 的投影算子 命题2 4 对任给r 0 ，存在一个控制坼l 。( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) 满足以下不等式： i l u r 。删( n ) ) 晴 nem1 一 v 巳 第1 0 页 由( 2 2 2 ) 平( 2 2 3 ) 式，我1 门碉 1 吼坛叫驯蒹蓦怕0 h 。， 2 耥。酬) ， 其中q 1 = e z p ( c 2 v , 7 i ) 进一步，由于( 如- t 1 ) m i a ( ) q ，1 ) ，p 1 和c 1 1 我们有 m ，龇) 1 1 。州，啪：+ ( 寿) ；( a m ，s 川反n 】d s ) i 1 1 女o l l 矾o ) + ( 垒字) 讥。怯【t i 缸川n ) ) 所以司得 门 i l y i ( ，2 ) 1 | 2 币 兰砰酬姗。( n 】 在区问 ；t 3 】上，我们考虑以下方程： l ( z 1 ) + a o z l = 0 ，在( t 2 ，t s ) 中， lz l ( t 2 ) = 1 ( 2 ) 因为只。( 们( ，t 2 ) ) = 0 ，我们有 i l z l ( ，3 ) l 【b e x p ( - 2 r ； ( t 3 一t 2 ) ) i l 孰( ，亡2 ) i i 刍( 锄 s 2 鼎。l e 坤( 。2 r 口( 铲训酬：衙 在区间1 2 ；p 3 ，t 上，考虑如下方程， i ( 抛) t + a 。2 = x e b u 2 ，在( 3 ，t 4 ) 中， 【y z ( t 3 ) = j 1 ( t 3 ) 由引理2 4 ，v r 2 r 1 0 ，存在控制2 l 。( t 3 ，t 4 ；l 2 ( n ) ) 使得此方程的解y 2 满足p r 2 ( 抛( ，t 4 ) ) = 0 。同上，：还适合以下不等式： i i “：i ：。b 虹；l 。n s i 孑i - ! ：；! ! ；玎页i 【| 雪- ( ，t a ) 1 l ：z 。n ， 第1 2 页 其中 取 则有 一 吲e x p ( 硐c 2 v 丽) e x p ( c 2 e x p ( - 2 r 青_ ( t 3 一t 2 ) 矿2 ) ) ，n 蓁2 1 毗， o = 叭r m l o u 二 ll 一何“一。) ， 。= 老酽四 慨( 如；l ：( n ) ) ( 0 ) m a 1 口2 o 训羔。( n 令b = a - 互1 。，a = 百 笔万，选取r 如下： r = 【a 0 一1 】；，n 1 因为0 瑶 1 并且t 3 一t 2 1 ，我们有 ( 3 0 ，3 ) ( 3 0 4 ) ( 3 0 5 ) 2 r 1 r 2 r r + 1 ，且有当一。时，r 一 进一步，我们还有 由此可得 因此 毒一1 ( 3 一t 2 ) c f 2 ( 一2 2 v n 2 唧 一2 r 一1 ( 3 一2 ) c 彳2 ( 一2 e x p ( 一4 r n 半- 1 ) vn 2 ( 3 o ，6 ) 洲m ，唧( 一，n 学- ，) ：j 半年薯 ( 唧( r 蚤一1 ) ) 夤一， ( 唧( 2 c n - i ) ) 7 膏一- 箜! ： 一 d ( 一1 ) 2 r j 一1 由( 3 0 5 ) 可得存在自然数1 ，使得对任给n2 1 ，有 o ( 一1 唧( 一r n 半- 1 ) 曼1 ( 3 0 7 ) 第1 3 页 同时还有，对任给n 2 ，有以下等式 e x p ( c | 、雨) e x p ( 一r 学v - 1 ) ：唧( c j a 0 ( 一1 ) e x p ( 一a + ；0 ( + ) ( ”一2 ) 由此可得，存在一个不小于2 的自然数2 ，使得对任给n2 2 ，有 e x p ( c 2 v 而) e l p ( - r d 一_ 1 ) 1 ( 3 0 8 ) 取 n o = m a x 9 1 ，2 ) ( 3 0 9 ) 结合( 3 0 6 ) 一( 3 0 8 ) ，我们得到对任给n 0 ， 0 ( 一1 ) a =0 ( 一1 e x p ( c j 、雨唧( 一2 r 一l ( t 3 一t 2 ) c 0 2 。一2 ) 并且 令 0 ”( n - i 唧( g 习e x p ( - 4 r 羔_ 1 ) 1 + 6 s 唧( 一2 r 磊1 ) ， ( 3 0 1 0 ) o 1 ， v n2 n o l = m a x ( 0 ) ( n - i ) q 1 0 2 d ，l n n o ) _ 2 i 。, ， 由( 3 0 1 3 ) 知i l ”( z l ，五l 2 ( q ) ) ，进一步，我们还有估计 i i - | | 2 l 。( “t l 2 ( n ) ) sl ii 蜘| i ：2 ( f 2 ) ( 3 0 1 1 ) ( 3 0 1 2 ) ( 3 0 1 3 ) ( 3 0 1 4 ) 第1 4 页 令雪是方程( 3 0 1 ) 对应于面的解，则在区间如中，雪( ，t ) = y n ( ，t ) 因此对应 于所有的n 1 和7 1 r 2 r ，我们有对所有的m2n ， 只。( ( ，t 2 m ) ) = 0( 3 0 1 5 ) 另一方面，当m o o 时，有t 2 m f 我们可得当m 一时，雪( ，t 2 村) 在 工2 ( q ) 中强收敛到雪( ，习因此，对于任给n21 ，只，( 雪( ，刁) = 0 由于一0 0 时r 一0 0 ，所以有雪( ，习= 0 至此为止，我们证明了任给雪o l 2 ( q ) 。存 在缸l ”( t 1 ，五l 2 ( q ) ) ，使得方程( 3 0 1 ) 对应于面的解口满足雪( ，习= 0 同 时缸还满足如下估计： 其中l 由( 3 0 1 2 ) 给出 现考虑以下方程： i 面1 1 ：( t ，孟工。( n ) ) l l i 雪o i l 2 ：( n ) 砘引o ，“冲 取蟊= 妒( z ，t 1 ) ，构造控制如下： 则方程( 1 2 1 ) 在6 = 0 对应于此控制的解y 满足( z ，t ) = 0 进一步，当l 由 ( 3 0 1 2 ) 给出时，此控制还满足以下估计： 2 一( o ? ；l 2 ( n ) ) l ll y o l1 2 l z ( 踊 下一步，我们取南= t l ，对任给6 0 ，5 0 】，n = 1 ，2 ，令磊= f d ， t j = t t ，一5 ，则有： 0s o i ， t 2 ，d t t r j - 磊 t j 610 u a 孔 矾 “一屯 x q q c ： d 砷 扛 当当当 幻 z ，l o u 0 ，j(1t、 = 印 zu 第1 5 页 对任给n21 ，我们还有 和 m ( 岛n 【t n ，6 ，t + 1 6 】) = m ( mn t n ，i n + 1 ) 2p ( t n + l t n ) 磊in+l忑,6-in,6tn+2t n + l ；= 蒜i n + 2 s 岛 6 一6一：+ 1 使用和上文相同的方法，我们可得 对任给6 0 ，剐，存在控制u 6 ( t ) l ”( o ，? 一疋l 2 ( q ) ) ，使得方程( 1 2 1 ) 对应于锄的解y 6 满足y 6 ( ，t 一6 ) = 0 进一步，若取定以下常数 a 52 t 3 , 6 - - t 2 , 6 r w = 【a d 岛1 r f 唧( q i ) ， n = 1 q 肛沪1 唧渤、而) e ) ( p ( - 2 r h 胍5 一t 2 ，5 ) 2 ( 删) ，n2 2 i 唧( c | 、而) e x p ( 一2 r 品一1 ，6 ( 3 ，5 一 ，5 ) c 彳h 一卅) ， 2 岛= 磊繇 l j = m a x ( 岛) ( n - i ) a i ，j 0 e n , 6 ，1sn sn o ) o o ， 则锄还满足以下估计： j 1 2 。( o , t - - 6 ；l 2 ( n ) ) sl 6 i l y o 1 2 。( 哟 对任给自然数，任给6 【0 ，6 0 】，有 + 1 5 一i n , 6 = + l t 所以可得岛= 0 和q 6 = q ，因此l 6 = l 证毕 口 第四章时间最优控制的b a n g - b a n g 原理 h 6 = g 。一盯) x 。乱( a ) d a + ( ( 产( 6 ) 一i ) y o ，( 4 0 3 ) j 0 ，】“一d c 产( t + 一6 一o ) x 。v 6 ( a ) d a ：各叫r 二掣z r 叩刊一，如0 4 ， = p 旷) 一伊( r 一别铷+ 7g o ( r 一盯) 缸如 ( 4 。) ，t 。一6 。” = g o ( t + 一5 ) h 6 + g 。( t 一6 一a ) x 。u + a ) d a m o , t * - 6 ；l 2 ( n ) ) s ；，口- e t 0 ( 4 r 0 6 ) 第1 7 页 f 置+ 。z 6 2 x 岛b “j ，在( 。，t 一j ) 中， ( 4 。7 ) 【( o ) = 一h j 、 任给充分小的正数6 ，存在控制勘，使得方程( 4 0 7 ) 的解满足 z 6 ( t + 一j ) = 0 ， 同时还满足如下估计： ( ) 慨n ) s ；，。e o 由定理1 2 ，存在正数南和l 使得任给5 【0 ，品】，存在u 5 l 。( o ，t 一毋l 2 ( q ) ) 使得 ( t 一d ) = 0 ( 4 0 8 ) 并且满足以下估计t | | u 6 i i ：一( o ，r 一6 ：l ：( n ) ) l | l 6 l | ：。( n ) ( 4 0 9 ) 对于给定的l 和e ，我们可以取到5 充分小。使得任给正数js5 。 1 2 ：( n ) s ( ；) 2 l 取6 m i n 5 0 ，耐，则我们可得 恻o , t * - 6 ；l 2 ( n ) ) ；， ( 4 0 1 0 ) 现固定6 ，取u , 6 为满足( 4 0 8 ) 和( 4 0 i 0 ) 的相应控制。把u 5 在区间( t 一6 ，o o ) 上作零延拓，仍用5 表示延拓后的函数，则蛳l o o ( o ，o o ；l 2 ( q ) ) 且使得( 4 0 5 ) 和( 4 0 6 ) 都成立 下一步，我们在控制集疗中取一个函数u o ，构造以下控制： c 。= ：+ + x 岛。m 乳：；：司， 一 第1 8 页 首先证明对几乎所有的t20 ，v s ( t ) u 当 0 ，p 一司n 邑时，我们有 0 + 6 ) e ，由( 4 0 1 ) 式可得8 ( 矿 + 5 ) ) u 由以上证明知对几乎所有的 t20 ，6 ( t ) i i l ：( n ) 冬e 2 ，所以对几乎所有的【o ，t jn 岛，我们有 1 1 6 ( t ) 一缸0 + d ) l i 胪( n ) = 1 i u 6 ( t ) i l 口( n ) 曼吾， - 也即是如( ) b ( 0 + j ) ，2 ) 因此，v s ( t ) ua e t 【0 ，t 】f - ib 另一 方面，对几乎所有的【0 ，t 】n ( b ) 。，v 6 ( t ) = u 0 + j ) u 所以我们知 6 k 且( 4 0 4 ) 成立这与p 为同题( p ) 的最优时间矛盾 最后，假如控制集口进一步有性质驴cu 一，刚我们有矿阮d 且 y ( t + ；矿，珈) = ( p ；矿，珈) 所以矿也是为问题( p ) 的一个时间最优控 制因此，对几乎所有的t 1 0 ，p l ，我们有矿a u 证毕 口 参考文献 【1 na r a d a ，j - pr a y m o n d ，t i m eo t i m a lp r o b l e m sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d 二 t i o n s ，d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i cs y s t e m s ，v 0 1 9 ，n o6 ，1 5 4 0 - 1 5 7 0 ，2 0 0 3 t 2 1 j d i e s t e la n dj j u h l ，j r ，v e c t o rm e a s u r e s ，m a t h e m a t i c a ls u r v e y s ，n o 1 5 ， a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 7 7 【3 】k je u g e la n dr n a g e l ，o n e - p a r a m e t e rs e m i g r o u p sf o rl i n e a re v o l u t i o ne q 嗡 f i n n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，h e i d e l b e r g ，n e wy o r k ，1 9 9 9 【4 y u v e g o r o v ，o p t i m a lc o n t r o li nb a n a c hs p a c e s ，d o k l n a u ks s r r ，n o1 5 0 ， 2 4 1 2 4 4 ，1 9 6 3 ( i nr u s s i a n ) 【5 】h0f a t t o r i n i ，t i m eo p t i m a lc o n t r o lo fs o l u t i o n so fo p e r a t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s s i a mj c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，s e r a ，n o 2 ，5 4 - 4 9 ，1 9 6 4 【6 】hof a t t o r i n i ，t h et i m eo p t i m a lc o n t r o l si nb a n a c hs p a c e s a p p lm a t h o p t i m ， n o 1 ，1 6 3 - 1 8 8 ，1 9 7 4 f 7 】a ，v y h r s k o va n do ，y u m a n u v i l o v ，c o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a “o 越， l e c t u r en o t e ss e t 3 4 ，s e o u ln a t i o n a lu n i v e r s i t y , k o r e a ，1 9 9 6 【8 】g l e b e a ua n dl r o b b i a n o ，c o n t r s l ee x a c td el d q u a t i o nd el ac h a l e u rc o m m p d e ，v 0 1 2 0 ，n o ( 1 2 】，3 3 5 - 3 3 6 ，1 9 9 5 【9 g l e b e a u a n d ez u a z u a ，n u l l - c o n t r o l l a b i l i t yo f as y s t e mo f l i n e a r t h e r m o e l a s t i c i t y a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l n o1 4 1 ，2 9 7 - 3 2 9 ，1 9 9 8 1 0 1x ，l ia n dyy a o t i m eo p t i m a lc o n t r o lf o rd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ss c i e n t i a s i n i e a ，n o 2 4 ，3 5 5 - 4 8 5 ，1 9 8 1 ， 1 l 】x l ia n dj y o n g ，o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s b i r k h a u s e rb o s t o n ，1 9 9 5 1 2 j ll i o n s ，o p t i m a lc o n t r o lo fs y s t e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，h e i d e l b e r g ，n e wy o r k ，1 9 7 1 1 3 a l o p e z ，x z h a n g ，e z u a z u a ，n u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h eh e a te q u a t i o na ss m g u l a r l i m i to ft h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo fd i s s i p a t i v ew a v ee q u a t i o n j m a t h p u r e sa p p l v 0 1 7 9 n o8 7 4 1 8 0 8 2 0 0 0 第2 0 页 【1 4 】lm i l l e r ，o nt h ec o n t r o u a b i h t yo ta n o m a l o u sd i f f u s i o n sg e n e r a t e db yt h ef r a c t i o n a l l a p l a c i a n ，a c c e p t e df o rm a t h e m a t i c so fc o n t r o l ，s i g n a l s ，a n ds y s t e m s ， 【1 5 】r m e t z l e ra n djk l a f t e r ，t h er e s t a u r a n ta tt h ee n do ft h er a n d o mw a l k ：r e c e n t d e v e l o p m e n t si nt h ed e s c r i p t i o no f8 2 1 0 m a n o u st r a n s p o r tb yf r a c t i o n a ld y n a m i c s ， j p h y s a3 7 ，n o ，3 1 ，1 6 1 2 0 8 。2 0 0 4 1 1 6 1s m i c ua n de z u a z u a ，o nt h ec o n t r o l l a b i l i t yo faf r a c t i o n a lo r d e rp a r a b o h ce q u a - t i o ns i a mj c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，v 0 1 4 4 ，n o 8 ，1 9 5 0 - 1 9 7 2 ，2 0 0 6 【17 】v j m i z e la n dt i s e i d m a n ，a na b s t r a c t b a n g - b a n gp r i n c i p l e a n dt i m e - o p t i m a l b o u n d a r yc o n t r o lo ft h eh e a te q u a t i o n ，s i a mj c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，v 0 1 3 5 ， n o4 ，1 9 9 7 ，1 2 0 4 - 1 2 1 6 【1 8 d a v i dl r u s s e l l ，c o n t r o l l a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nt h e o r yf o rl i n e a rp a r t i a ld i f - f i r e n t i a le q u a t i o n s ：r e c e n tp r o g r e s sa n dq u e s t i o n s ，s i a mr e v i e w ，v 0 1 2 0 ，n o 4 ， 6 3 9 7 3 5 ，1 9 7 8 【1 9 1e j pg s c h m i d t ，t h e b a n g - b a n g p r i n c i p l ef o rt i m e - o p t i m a lp r o b l e mi nb o u n d a 哪c o n t r o lo ft h eh e a te q u a t i o n ，s i a mj c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n v o l1 8 ，n o 1 ，1 0 1 1 0 7 ，1 9 8 0 f 2 0 i s o k o l o v ，j k l a f t e r ，a n da b l u m e n ，f r a c t i o n a lk i n e t i c s ，p h y s i c st o d a yn o 5 5 ， 4 8 - , 5 4 ，2 0 0 2 2 l 】g w a n g ，ab a n g - b a n gp r i n c i p l eo ft i m eo p t i m a li n t e m a lc o n t r o l so