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几类含有p 阶l a p l a c e 算子的椭圆方程解的存在性 运筹学与控制论 研究生赵志锟指导教师蒲志林教授 论文摘要：本文研究了椭圆型方程中两类p 阶l a p l a c e 方程的解的存在 性和多解性。在第二章中，通过构造局部环绕，证明了d i r i c h l e t 问 题：一，“= a ( z ) l u l p - - 2 u + f ( x ，u ) ，在a 与，分别满足适当条件下有解及 无穷多解的存在性。在第三章中，研究了一类拥有不确定权值的椭圆方 程：一p u = - d i v ( i v u l p - 2 v u ) = a w ( z ) l uj 。+ f ( x ，) ，这里的0 ) 是个 不确定权值，通过构造与前面类似的局部环绕，证明了在a 与w 渤) 满足适当条件 下，该方程有弱解及无穷多解的存在性。 关键词：椭圆方程；山路引理；d i r i c h l e t 问题；弱解；环绕；次f 临界增长；零点非 超线性；不确定权值；特征值；无穷多解 第i 页 e x i s t e n c er e s u l t sf o rt w oe l l i p t i cp r o b l e m sw i t h p - l a p l a c i a n m a j o r ：o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc o n t r o l p o s t g r a d u a t e ：z h a oz h i - k u ns u p e r v i s o r ：p uz h i 1 i np r o f e s s o r a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yf o rt w o e l l i p t i cp r o b l e m sw i t hp - l a p l a c i a n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h en o n s u p e r l i n e a r p - l a p l a c i a ne q u a t i o ni sc o n s i d e r e d ，w i t ht h eh e l po fl o c a ll i n k i n g ，i tr e a c h e s t h ec o n c l u s i o nt h a tt h i sp r o b l e mh a si n f i n i n t e l ym a n ys o l u t i o n su n d e rs u i t a b l e c o n d i t i o no noa n d ，i nt h et h i r dc h a p t e r ，i ti sc o n c e r n e dw i t ht h ef o l l o w i n g d i r i c h l e tp r o b l e m ：一p “= ：一d i v ( i v u l 9 - 2 v ) = a w ( x ) l u l p - - 2 7 a + f ( x ，“) ， w h e r eni sab o u n d e dd o m a i ni nj p ( n 3 ) w ( x ) i sa 舀y e nf u n c t i o n w h i c hm a yc h a n g es i g na n dai st h ee i g e n v a l u ep a r a m e t e r a p p l y i n gw i t ht h e l o c a ll i n k i n g ，t h em u l t i p l i c i t yu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o no naa n dw ( x ) i so b t a i n e d k e yw o r d s ：e l l i p t i cp r o b l e m s ；m o u n t a i np a s st h e o r e m ；d i r i c h l e tp r o b 1 e n a ；w e a ks o l u t i o n ；l i n k i n g ；s u b e r i t i c a lg r o w t h ；n o n - s u p e r l i n e a r ；i n d e f i n i t e w e i g h t ；e i g e n v a l u e ；i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s 第一章椭圆型方程引论 1 1 引言 偏微分方程( p d e 7 s ) 始于1 8 世纪e u l e r 、d a l e m b e r 、l a g r a n g e 和l a p l a c e 等 人在研究物理学模型的工作中。这些关于物理模型的研究至今依然是偏微 分方程发展的理论基础之一。到了1 9 世纪中叶，尤其在r i e m a n n 的工作之 后，p d e s 已经成为数学各个分支的一个重要研究手段。在1 8 9 0 年，庞加莱在 其发表的文章f 1 】中首次提出：一方面p d e 与物理学、工程学及其它应用科学联 系紧密；而另一方面，p d e 还具有某些潜在性应用，这些应用最后往往会被证 明是非常具有革命性的，比如它对数学其它各分支发展的推动性。【 偏微分方程广泛来源于物理学以及其它各门自然科学和技术科学，它反映 了有关的未知量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。连续 介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于偏微分方程的范围。最 初，人们只是将弦线振动问题和力学中的一些问题归纳为偏微分方程进行研 究。随后，人们又陆续了解了流体的运动，弹性体的平衡和振动，热传导， 电磁相互作用，原子核和电子相互作用，化学反应过程等等自然现象的基本规 律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解，从而能够通过 实践验证这些基本规律的正确性，显示了偏微分方程对于认识自然界基本规律 的重要作用。偏微分方程联系着众多自然现象和实际问题，许多复杂的自然现 象和工程技术问题都可以转化成偏微分方程中的特定问题进行解答。 同时，偏微分方程讨论的问题不但直根于物理、力学、生物、几何和化学 等学科的古典问题，而且在解决这些问题时又应用了现代数学的许多工具，它 必须引进数学中诸如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等其它分支来 解决问题，因此也成为了纯粹数学的许多分支和自然科学各部门及工程技术等 领域之间的一座桥梁。到如今，偏微分方程已经发展成为一个独立的重要数学 分支。 根据不同方程所特有的性质和理论，偏微分方程领域分为抛物型方程、双 曲型方程和椭圆型方程三类。本文，我们主要讨论非线性椭圆型偏微分方程。 第l 页 第一章椭圈型方程引论 1 2 椭圆方程基本知识 定义1 2 1设q 是r “中的区域，n 2 ，称线性微分算子： l u = ( z ) u + 6 i ( z ) 岛u + c ( 茁m i j = li d = l 在点z n 是椭圆的，如果系数矩阵【。玎扛) 】正定：称l 在q 中是一致椭圆的， 如果存在常数o 0 。而对散度形式的一致 椭圆算子，甚至当系数在区域内部任意光滑并且连续到边界时，这个不等式也 不一定成立，具体的例子可以在文f 3 】中看到。 一般的二阶拟线性椭圆算子形如： v q = ：( z ，钍，d u ) d i j u + b ( z ，札，o u ) ，a i j = a j i i j = l 非线性方程与线性方程有着很大差别。和线性算子的情形不同，具有光滑系数 的拟线性算于未必可以表示成散度形式。线性椭圆型方程具有的许多良好性质 对于包括拟线性在内的非线性情况一般是不具备的，例如线性椭圆型方程除了 具有弱极值原理外，还具有排除在区域内部取得极值的强极值原理，而绝大多 数非线性算子只具有弱极值原理。 随着椭圆型方程理论的越来越全面化、系统化，讨论的微分算子形式也 越来越复杂化。p n l a p l a c e 算子的引入将椭圆方程的研究推向了更为广阔的天 地。形如a p = d i v ( 1v ui p - - 2 v ) 的微分算子称为的p 阶l a p l a c e 算子。由于从二 阶变为了p ( p 2 ) 阶，方程所在的空间也从l 2 变为口，空间性质的不同导致原 来许多成熟的二阶方程理论不能直接应用于p 阶方程上来，这使得近几十年来 方程方面的学者特别关注该领域理论的研究，发展蓬勃。 1 3 弱解理论$ 1 s o b o l e v 空间 人们在偏微分方程理论研究的过程中，定义了许多形式的解，其中包括 古典解，弱解，强解还有上下解等等。这其中偏微分方程的古典解，即满 足c ( 是方程中微分算子的阶数) 的解己经被深入地了解了。随着偏微分方 程所面临的数学问题不断多样化和复杂化，特别是对非线性问题，获得古典解 变得举步为艰。同时，人们在通过构造近似过程得极限解决偏微分方程问题时 发现，对近似解的估计并不足以保证其极限就是古典意义下的解，但近似解的 极限又确实保存着相当部分古典解的性质。这一点可以通过方程两边同时乘以 一个光滑的试验函数看出。于是，人们引入了弱解的概念： 设ncr n 是一有界区域，其边界a n 分片光滑。如果 c 2 ( q ) 是p o i s s o n 方程的d i r i c h l e t 问题 ? 2 八。的解，v _ p c 铲，将“代 【u l a n2 0 第3 页 第一章椭圆型方程引论 入p o i s s o n 方程，两端同时乘以妒，然后在n 上积分得 一| a u - 中d z = | | 妒d z t 1 3 1 、 j n j n 于是， 一l a u 妒c l x 一厶妒塞出+ 上v u v 妒d x = z v 棚妒出 = 一厶“誊出一z u 妒d x 一上u a 妒d x 其中礼是a q 的单位外法向量。因此，( 1 3 1 ) 式可改写成 l 可u v ( p d x = | i 【p 如 t 1 3 2 、 或 一u a ( p d x = f ( p d x ( 1 3 3 ) 这表明：若u 伊( n ) 是方程的解，则对任何妒卵( n ) 满足等 式( 1 - 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 都成立。 反之，若对任何妒曙) ，函数u c 2 ( q ) 满足积分等 式( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) ，倒推回去便可得到式( 1 3 1 ) ，即 ( - - a u f ) 妒d x = 0 由于此式对任何妒c 铲( q ) 都成立，根据妒的这种任意性，由此便可推断： 在q 内都有一a u 一，= 0 ，即函数u 为方程的解。 值得注意的是，为使积分式( 1 3 2 ) 有意义，只须u h 1 ( n ) ，而为使积分 式( 1 3 3 ) 有意义，则只须“l 2 ( q ) 。我们自然把对任何妒c 铲( q ) 满足积分等 式( 1 3 2 ) 或( 1 33 ) 的函数u 理解为方程n - - 种f - r n 。 定义1 3l 如果对v 妒c g ( n ) ，式( 1 3 2 ) 成立，则称函数u h 1 ( q ) 为p o i s s o n 方程的d i r i c h l e t 问题的弱解。 利用积分等式( 1 33 ) ，我们可以定义一种更弱的解，即在分布意义下( 广义 函数意x ) t 满足：p o i s s o n 方程的解。 在这种前提下，线性方程，尤其是对线性的椭圆型方程和抛物型方程 而言，通常可以证明弱解就是古典解，甚至更弱的分布意义下的解也是 古典解。最先就这个论断给出明确例子的是h w e y l 在提出并证明其w e y l s 第4 页 第一章椭圆型方程引论 l e m m a 对l a p l a c e 方程成立的文【4 。弱解概念的引入是研究偏微分方程及其边 值问题方法上的一个象征性的转折点。它使得对偏微分方程的研究可以分为两 步进行： ( 1 ) 弱解的存在性 ( 2 ) 弱解的正则性。 但是，在很多情况下，第二个步骤往往显得有技术上的难度或者不可能； 而其它一部分情况我们也只可以得到部分正则性。这对于非线性方程来说显得 尤为突出。这里不得不提到著名的例子，n a v i e r - s t o k e s 方程： f 警一v a n + 嘶薏= 老l i n 1d i v u ：磬：0 ( 1 3 4 ) i= 磬= ” 和e u l e r 方程： 等+ 莩筹2 关1 “ ( 1 3 5 ) 【d i v u = 0 。 在文【5 中，e u l e r 方程经典解的局部存在性和唯一性彳导到了确立，而现代 的v a r n o l d 、d e b i n 、j m s d e n 、j p b o u r g u i g n o n 、h b r e z i s 、rt e m a n 等也 在这方面取得了较大进展，具体可参阅文献 6 、 7 】、【8 - 9 】。 对于n a v i e r s t o k e s 方程，它的全局弱解的存在性首先由j ，l e r a y 在1 9 3 3 年得 到( 文 1 0 1 2 j ) ，之后由e h o p f 改进，这方面可参考文 1 3 、 1 4 、【1 5 。 虽然研究弱解的正则性非常困难，很多情况下甚至是不可能的，但是弱解 在很大程度上满足了理论和实践的需要，在实际应用中发挥着重要作用。并且 椭圆型方程的弱解也与方程中的其它分支的研究相互应证，相互支持。近年 来，引入弱解的思想得到了新的发展和应用。随着理论研究的逐步深入和需 要，人们还在现有弱解的基础上定义了其它更弱的解的形式，例如熵解等等。 在整个椭圆方程解的研究进程中另一个重要的里程碑就是s o b o l e v 空间 的引入。1 9 3 0 年中期，s l s o b o l e v 定义了一个全新的函数空间一- - s o b o l e v 空 间，还给出了证明它要用到的s o b o l e v 嵌入定理( 文【1 6 】、 1 7 ) 。 定义1 3 2设的b 非负整数，p21 ，f 2 是r “中的开集。我们称集合札 第5 页 第一章椭圆型方程引论 w ( n ) ；d 。口( n ) ，对满足hs 的任意。) 赋以范数： 忻啪h z i 蠹刚9 如) ( 1 3 _ 6 ) 后得到的线性赋范空间为s o b o l e v 空间w k i p ( n ) 。 可以证明，w 一( q ) 在上述范数下是一个b a n a c h 空问。当p = 2 时，常 将w 。( n ) 记做口( n ) 。 定理1 3 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) t 2 0 设qc “为一个有界区域，1sp + o 。，我们有： l 三。( q ) ，l q 矿= 卫n - - p ，p n ，使得f c 1 ( e ，r 1 ) 满 足： ( a )s u pf ( x ) o ( b )i n f ，( z ) 卢 并在，。 0 ，+ o o ) 满足( p - s ) 条件，如果还有s u p ，( 。) 0 ，s t ，ii o b p o ， ( h ) 3 e 趴日，s t ，( e ) s0 则1 拥有一个l 临界点c 。，并且c 2 翼 。吲m a xj j i ( u ) 。这里r = 9 g ( 【o ，l 】，e ) 1 9 ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e ) 。 山路引理可以形象地理解为：从盆地中心出发到盆地外部必有一条道路从 周围山脉地最低点经过，这个点就是临界点。 对于环绕本身的研究并不多，倪维明在文 2 6 中用环绕 数( 1 i n k i n gn u m b e r ) 来讨论了环绕，而且还特别在无穷维b n a n c h 流形上讨 论了环绕的概念；文 2 4 j 、 2 7 】也讨论了各种不同的环绕形式。 第9 页 第一毒椭圆型方程引论 1 5 椭圆方程的研究现状 山路引理的提出并被成功地应用在处理有界域上次临界增长的超线性椭圆 方程的多解问题上，为人们处理这一类问题指明了方向。这期间p 阶l a p l a c e 算 子理论也得到了长足进步，逐渐系统完善起来。我们知道，要在证明有界域上 次临界增长的非线性椭圆方程解存在性的过程中自然的应用山路引理，必须 首先满足山路引理所提出的条件：p _ s 条件、i ( o ) = 0 、厶和厶条件。然而，实 际问题中的方程只有少部分完全满足，但相对于从前确实有许多有意义的结 果 2 s - 3 4 。 应该注意的是，a m b r o s e t t i 1 r a b i n o w i t z 在提出山路引理的过程中，直 强调着对方程右边项f ( x ，“) 的四个假设，尤其是第四个b i i ( a r ) 条件：存在“ 2 和r 0 ，使0 ：，当1 p n ) 。采 用m c u e s t a 6 s 、s z u l k i n 和w i l l e m 7 3 l 、x u a n 7 0 】的理论方法：利用建立相应 于拥有不确定权值的p l a p l a c e 特征值方程的环绕，证明了该方程弱解的存在 性及无穷多解存在的情况。 第1 2 页 第二章p 阶l a p l a c e 算子零点非超线性方程多解问题 2 1 基本背景和结论 我们考虑下列非线性方程： j 一“= 。( 。) 旷2 “+ m ，“) 。q阻1 ) 【 u20。扰2 。 这里p = d i v ( 1v uj ，。v “) 是u 的p 阶工印z o c e 算子，q 是i t m 3 ) 中的具有 光滑边界的有界域，1 p n ，口( z ) 是在e ( 豆) 中的非负函数，。 0 且l i p s c h i t z 连续。这里的，：尼。xr r 满足以下条件： ( 而) ，g ( q r ，固，且具有次临界增长条件的c a r a t h e o d o r y 函 数：l f ( x ，u ) i c aj u l 9 - 1 + c 2 l u l 5 ，v u r 对q 一致，g ，q 为某正常 数，p 0 ，对。q 一致。这里，f ( x ，s ) = 辕f b 、t ) d t ， ( ，3 ) ，( z ，u ) o , v ( z ，u ) qxr ， ) f ( x ，u ) = - f ( x ，- u ) ，比n ，u r 众所周知，方程( 2 1 1 ) 的弱解是下列泛函的临界点： ，( “) = p 兰上( i v u i 。一。( 刮u 1 9 ) 出一z f ( 。，“) 出，u r ( 2 1 固 我们的目的是在懈9 ( q ) 中找寻，的临界点。 方程( 2 1 1 ) 的一个典型例子是当p = 2 时： a u = o ( 。) “+ ，( z ，) ，工n ；“= 0 ，z a n 在f 2 3 中称该方程为零点非超线性方程。该方程就被许多人研究过，例如，张 恭庆讨论了该方程在，( z ) 满足某些增长性假设及o ( 茁) 满足日j f d e r 连续时，它的 第1 3 页 第二章p l 羚工叩z 。c e 算子零点非超线性方程多解问题 非平凡解的存在性，其次r a b i n o w i t z 5 9 1 与倪维明1 2 6 】也对该方程做了研究。 注意到由于r o “2 的存在，( u ) 不满足山路引理中在u = 0 处的条件，故这类方 程不能直接应用山路引理解决。 对于这种类型的方程的p 阶l a p l a c e 算子问题也有众多文献可供参考，例 如f 5 0 ，6 0 ，6 1 ，6 3 ，6 5 ，6 6 ，6 7 】等等，它们都分别讨论了某些特定的方程形式在有界 域或无界域上解的存在性，为我们的研究提供了许多可行的方法。 本文的主要目的是确定方程( 2 1 1 ) 的解及多解的存在性。显然，因为 这里的n 是有界的且，( z ，“) 满足次临界增长条件，故s 0 6 0 f e 嵌入喇p ) 一 口( q ) 是紧的，但是正如【4 7 ，6 0 】中所指出的那样，本文最本质的困难是解决 当p 2 时的环绕型解，而当p 2 时空间没有内积则不具备正交性。所以我们 不能直接应用标准的二阶情况下的环绕来解决。本文，我们建立了个新的局 部环绕，并利用该环绕得到一些有用的结论。我们的主要结果是下面的定理： 定理2 1 1 若口( z ) g ( 豆) 是一个非负的l i p s c h i t z 连续函数，且( ，o ) 一( ，3 ) 成 立。则方程( 2 1 1 ) 拥有一个非平凡解u 昧9 ) 。 定理2 1 2 当a ( x ) i1 且条件( ，0 ) 一( ) 都满足时，方程( 2 1 1 ) 拥有无穷多 成对出现的解。 我们将在第2 节中给出相关的准备知识。在第3 节，将对结论进行证明。 2 2 构造局部环绕 在本文中，我们规定w 。, i ，9 ) 为常用s 。6 0 z e ”空间，并具有范 数：f f 略，( n ) = ( 如i w l ，出) ；口( n ) 的空间范数为：i f u f b ( n ) = ( 矗l u l r 妇) ；。 对于( 2 1 2 ) 式定义的泛函，：孵p ( q ) 一r ，由于条件( ，o ) ，保证了，是一 个g 1 泛函并且具有如下导数： ( ，协) ，。) ：，( i v 。i ，一。v 。v 。一。扛) f 。i p - 2 u v ) d x n 这里v “，”哪9 ) 。 f ( x ，u ) ”d x j n 定义2 2 1 一个序列 ) c 喇9 ) 被称为( u ) 的p n z n 拈一s m a l e l 翰f l j ，如 第1 4 页 第二章p 盼三印z n c e 算子零点非超线性方程多解闽题 果： ，( 哟) 一c ，( ) 一0 则 ) 隐含了一个在咏。( q ) 中收敛的子序列， 。) c 屿) ，那么我们就称泛 函，( u ) 满足回条件 下面我们首先来考虑椭圆方程特征值问题： 一i p = a ( z ，u ) ，卫qcr “ ( 2 2 1 ) 寻找a o 和嘣9 ( q ) ，u o ，使得满足方程。我们知 道( 【6 2 】，t h e w e m 3 5 ) ，在 ( 。，u ) 满足一定条件时，( 2 2 1 ) 对任意的a 0 ，均 有解“ 0 ，但现在我们要在更弱的条件下来找寻解的存在性。 我们知道与( 2 2 1 ) 相应的约束变分问题是： h = i n f f r 。川9 出扳j 脚，“) “ ir ” a ，“w 1 ，( 兄”) ( 2 2 2 ) 其中a 0 ，h ( x ，t ) = h ( z ，r ) 打 为了保证 对于所有的a 0 可达，通常要求厶满足 厶 0 均可达，我们要证明存在至少一 个h 0 。使得厶。可达，j j ( 221 ) 就有解( 入，u ) 引理2 2 2 若| a o ，使厶 瑕。，则存在a o ( 0 ，川满足： 因为 厶。 o l 9 有 另外总有 贸 0 ，设厶 职。，则对v 口e ( 0 ，刈有： 。= 厶一璎h 茎l + 璎。一甓抽 0 使得： l 。i m + 。笃带掣= o ，对6 一致：一0 0 ! 鸳器毪 0 ，“0 ，( a ，“) 满足式( 2 2 1 ) 。 现在对于下面的p 阶l a p l a c e 型特征值方程，由引理2 2 3 ，我们有： 第1 6 页 第= 章p 盼l a p l a c e 算子零点非超线性方程多解问题 引理2 2 4 特征值问题： - 铷“= a a ( z ) i u p - 2 u z q 陋4 ) 【 u = 0。a q 、 只要n ( z ) c ( n ) ，且n ( z ) 0 ，当1 i m 口( 。) = 0 ，n ( 。) 三咖s c 舷t z 连续时，方 程f 2 2 4 ) 的特征值存在。 并且，特征值和解总是成对出现的，并且 扫s t r u m l i o u v i l l e 特征值问题 的性质知道，( 2 2 4 ) 至少拥有一个递增特征值序列 ，且0 x 上n ( 蚓u 9 如，u w 第1 7 页 第= 章p 阶l a p l a c e 算子零点非超线性方程多解问题 ( 当p = 2 时，天= a 2 ，为一的在础( n ) 中的第二个特征值) 取忱= 为页相应的特征函数。若令：k = s p a n l p l ) ，k = s p a n 妒l ，妒2 ) z = u e 嵋御) ： v 卵= 页n ( 删“陋) ( 2 删 牙= 札嚼。( f 2 ) ：f v “1 9 页a ( x ) l u l 9 d x ) ( 2 2 8 ) jj 命题假设0 p o ) ，= 玛u ( 一k 1 ) 显然甄与一玛都是连通集， 且硒n ( 一风) = ，又易知a c a 1 r ，则泓c z 。 取个连续映射妒：g x ，且规定妒i a 讲= i d ，设d l = d i s t ( 垆l ，o k ) 。 我们来定义映射 p ：x 一， p ( u ) = m i n d i s t ( u ，o k ) ，r d l ) 妒1 + ( i u p ) 妒2 ，u 隹一h p ( u ) = 一m i n d i s t ( u ，o k ) ，r 以 妒1 + ( | | u f | 一p ) 妒2 ， u 一j - f 1 则p 是连续的，且：p ( r 妒1 ) = r d l l p l + ( r p ) l p 2 ，p ( o ) = 一p 妒2 。 第1 8 页 第= 章p 阶l a p l a c e 算子零点非超线性方程多解问题 一 那么对u ：妒1 ：当t o ，r 】时，p ( t 妒1 ) = t d l 妒i + 0 一p ) 妒2 ，易知此时p 是 同构映射。 当“o q ，且i | u | i = r 时，则p ( ：8 f l l + ( r p ) 妒2 ，这里的s 卜r d l ，r d l 。 因此当“f “a q ri i i “0 = r ) 时，p 则将u 在a 。r 上从一r 妒，到r 妒- 映成了区 间，这时p 不再保证同构性。 作f = p o 妒：q ，一k ，则因0 岳f ( o q ，) ，所以： d e g ( 只q ，0 ) = 1 其中如口是b r e r 度，从而3 u o q r ，s t ： 妒( u o ) o k ，忡( u o ) l i = p 显然妒( u 。) 磊，且p 妒( u o ) = 0 ，即得耳与a g 环绕。 又因为z pc 乞且a gf 3 磊= 咖。进而易得z p 与8 q 环绕a 口 引理2 2 6 【2 3 】( 广义山路引理) 若x = x 1o x 2 ，设，g 1 ( x ，r ) ， 在r 1 ( o ，+ 0 0 ) 上满足p s 条件。又设： i i 昂n 托芝口 0 ，则c ：i n s u p ，( ( z ) ) 是朋q 一个正临界 ，l 口r n x l u ( 。f k n ( x l + r 1 e ) ) + s0 由i 、z q 值，c2 o 。 其中e ，i = 1 ，s = o b o ，s = a b n x 2 ， r ； 西：0 一x 连续，= i d o q ，q = 1 9 1 + t e l ( x l ，t ) x r 斗，l i x 。1 1 2 + 亡2 r 2 ) 引理2 2 7 【2 目( 对偶山路引理，a m b r o s e t i r a b i n o w i t z ) ： 设x 是口o n o c 危空间，i c 1 ( x ，兄) 是偶泛函且满足只条件，即：，( u n ) 一 。且j ( u 。) 一c ，则 ) 有收敛子列。若，还满足： ( 1 ) 3 p ，d 0 ，和一个有限维子空间e x ，s t ： ，| e - n 品o 这里= “x “l i = p ) ，且e 1 是e 在x 中的直交补； ( 2 ) j 列 岛) cx ，d i m ( 玛) = j ，且马 0 ，s t - ： i ( u ) 茎0 ，v u 马，j = l 、2 这里b r = x ul l 冗) ， 第二章p 阶厶硒z o c e 算予零点非超线性方程多解问题 则，有无穷多的相应于正临界值成对出现的临界点。 2 3 结论的证明 本节中，我们来证明前面给出的两个结论。实际上定理2 12 的证明与定 理2 1 1 的过程类似，在此就不再赘述。 对于b o n o c 危空间x = 喇9 ( q ) ，我们在其上来验证( 2 1 2 ) 式定义的泛函满 足p s 条件，进而再利用引理2 2 6 证明。 定理2 1 1 的证明： 1 。假设 u 。) 是( p ) 序列，则，( u 。) 一0 ，( ) 一c 。 我们分两步来证明j 满足尸条件： 先证 u 。 有界， 由( ，2 ) ，我们有： f ( x ，“) ；l u l 9 ， v x q ( 2 3 1 ) 当n 足够大时，我们有： c + 1 ；1 厶( i v u 。i 一一。( z ) j u 。i ) d x 一厶p ( x ，u 。) d x = i ( n 。) = ，( u 。) 一；( ，7 ( “。) ，u 。) + ；( ，( 屿，) ，t t 。) = ；1 ，扛，) u 。d x j f 扛，“。) d z + j ( ，7 ( 。) ，u 。) ( ；一1 ) f f ( x ，u 。) d z + ；( u n ) ，t k ) ( ；一1 ) ；，i “。1 8 d x + ；( ，( “。) ，“。) = ( ；一；) 蚶d z + ；1 ( 以u 。) ，) ( 2 舢) 即： ；，( z ，) u 。如一f ( 。，“。) 出( ；一；) i “胛如 ( z 3 z ，) 又由y o n g 不等式得： 第2 0 页 第二章p 阶三0 p f n c e 算子零点非超线性方程多解问题 n ( 删i 出q ( 。( z ) 如) ：+ ( 1 叮) ( k i 一如) 击 s t q = 纽0 ，则有： ，n ( z ) i 1 9 d x ! 型0 ( ，n ( z ) 出) 南+ ；( ，i “。j - 出) ； ，。、 = 字f a - 4 ，d x + ；f 川。如 瞄。j 那么由式( 2 3 2 ) 2 9 ( 2 3 2 ) 与式( 23 3 ) ，当t t 充分大时，我们有： c + 1 ，( “。) = ，( t h ) 一；( ，( t h ) ，钍。) + ；( ( “。) ，钍。) = ( ；一 ) ，i v u l d z 一( ；一；) f a l u l d x + i 1 ，( z ，) t k d z fp ， t a n ) d z 十 ( ，7 ( 。) ，坼；) ( ；) ，j w l ，如一( ；一；) j r a l u ，d z + ；( 7 ( ) ，珥。) ( ；一；) l i u 。p 一( ；一；) ( 与z ，o 尚d t + ；j 1 l u 。i 。出) + ( 7 ( u 。) ，“。) = ( ；) i “。i i 一e l 一；( ；一i 1 ) 厂i u 。1 9 d x + ；( j 7 ( u 。) ，“。) ( ；一；) f 钍n 一c 1；( c + 1 ) + 百1 ( ，( “。) ，乱。) + ( ，( “。) ，札。) = ( ；一 ) l i “。1 1 9 一e l c 2 + ；( ( 嘶。) ，“。) 因为j 7 ( ) 一0 ，所以： i ( ，( u 。) ，u 。) i f l u 。“ 当n 充分大时。 那么，原式( ；一；) lj u 。j j 一一e l c 2 一；j j u 。l i 。 即有：c + 1 ( ：一；) i i p c ，一c 2 一c 3 1 1 i i ， 这里q o = 1 ，2 ，3 ) 都是常数，且意义如式中所释，推得i i “。| | 有界，则 u 。) 有 界。 再证 “。) 是一个柯西列， m ( i o ) 及( ) 知道，对垤 0 ，总 q 0 ，s t ： ，( 。，u ) i 1 9 。+ gj u r l 进一步，我们对比，町r “，在【6 3 l 中，给出了如下不等式： 肛卯卯掣斋烈捌铡卵坩，宇 第2 1 页 ( 2 3 4 ) p 芝2 l p 2 ( 2 35 ) 第= 章p 阶l a p l a c e 算子零点非超线性方程多解问题 凼此， ，( f v 啦 - 2 v 啦一i v u # l p - 2 v u j ) ( v 啦一v u j ) d x 茎i ( ，( “i ) ，( 一) ) i + i ( ，( t o ) ，( “t 一) ) l + j 厂。( z ) j 啦j p - - 2 “i ( u i u j ) d x i + j ，n ( 。) j 嘶j p - 2 u 2 ( u i 一吩) d 茁j ) + i ，【f ( x ，u t ) 一f ( x ，嘶) 】( u t m ) d x l = 1 1 + 2 + 3 + 4 由于 u 。) 是p s 序列，易知厶= o ( 1 1 7 。i i ) ，2 = o ( 1 l u 。i j ) 。对于厶我们借助算 子： a ：w 护( q ) 一( w ；9 ( n ) ) + ( a u ，u ) = 矗o ( z ) f 札f p - - 2 u v d x ，v u ，钉喇护( q ) 在【6 5 】中指出算子a 是紧的，故3 = o ( 1 ) ； 又因为嵌入x l 。( q ) ( p 劫 因此， ，( “) = j b ( i w l 9 一n ( z ) u 1 9 ) 如一厶f ( x ，u ) d x s ；1 厶i v u l 9 d x 一厶f ( x ，u ) d z s ；1j j l v u l 9 d x c l f i u l 8 d x + c 2 ，l u l 9 d x 由于在有限维空间上切模等价，有限维空间上的单位球面是紧的，并 且s p 。我们知道： 第2 2 页 第二章p 阶l a p l a c e 算子零点非超线性方程多解问题 当j i u l i o o 时，j _ ( u ) 一一o 。 这说明，当r 足够大时，3 7 o ，s t ，竹 啊满足： ，l ，0 当宝时，我们又有： ，( u ) = ：矗( 1 w 1 9 一n ( 删u l ) 如一厶f ( z ，“) 出 ：( 1 一；) f i v u l ：9 d z 一矗f ( 。，u ) 如 对垤 0 ，由条件( ) 蕴含了j 常数0 一 0 ，s t ： ( 2 3 6 ) 错列， 0 0 ，当堤够 小时，s t ： ，1 4 0 ( 2 3 7 ) 那么我们由命题结论：a q ，与乙环绕，则利用引理2 2 6 知道，拥有一个相应 于其正临界值的临界点。因此，此时( 2 1 ，1 ) 有一个非平凡弱解“孵9 ) 。 口 定理2 1 2 的证明： 当定理所有条件满足时，只要对上述验证p s 条件的过程作稍稍的调整， 同样可证得，( u ) 满足p s 条件，则我们利用引理2 2 7 我们可证明对于引 理2 2 7 的( 2 ) 中的任一有限维子空间局c v 上，都有类似( 23 6 ) 的结论，则方 程f 2 1 1 ) 拥有无穷多相应于正i 临界值成对出现的解。 n 第2 3 页 第三章一类拥有不确定权值的椭圆方程解的存在性 3 1 拥有不确定权值的p 阶l a p l a c e 方程 本章中，我们将探讨下面的非线性方程d i r i c h l e t f 司题弱解的存在性： j 一p “2 ：一d i ( i v u l ”2 v 札) = a w ( t ) 仲。2 u + m ，u ) z q阻1 ) 【 “= 0 z a s2 、。 这里，“= d i v ( fv u p - 2 v “) 是“的p 阶l a p l a c e 算子，q 是舒( 扎3 ) 中的有界 域，w 仕) 是一个符号随时改变的给定函数。a 是一个特征值参数，后面我们将 确定其取值区间。我们设定： 讳”( z ) 0 ，仉7 ( z ) l 5 ( q )( 3 1 2 ) 其中s = n ，当1 p t 。 这里的f ：qx r r ，满足： ( ，0 ) f c ( axr ，r ) ，且具有次临界增长条件：l i ( x ，t ) i 6 1 h r _ 1 + c 2 ，v t r ，8 - e z n 。这里a ，q 为某正常数，r 1 r p + = 尚， 当1 p 礼；1 0 ，当i u i m ，且对z q 一致n 这里，f ( x ，s ) = 臂f ( x ，t ) d t ， ( ) ，( z ，u ) 一o ( 1 u i ，_ 1 ) ，当i “i o ，对z n 一致。 ( 丘) f ( x ，u ) = 一，( z