（计算数学专业论文）细分曲线的形状控制及应用.pdf

细 分 曲 线 的 形 状 控 制 及 应 用 摘 要 本文主要对细分曲 线算法及其应用进行了 研究， 细分方法近年来己 成为计 算机图形学领域的一 项重要研究内 容。 但是， 要进一步拓广细分方法的应用范 围( 尤其在 c a d领域) ，还有很多工作要做。 例如: 细分曲 线曲 面的可局部修 形性， 对n u r b s 细分算法的研究等。 本文研究的主要目的是研究一些行之有 效的细分造型方法， 以 进一步提高细分曲 线曲 面造型能力， 特别是细分曲 线可 局部修形性。本文研究的主要结果如下: l , n 次均匀b样条曲线细分算法: 利用n 次均匀b样条细分的掩模与p as c a l 三角形关系， 给出n 次均匀b样 条曲线细分算法。 最后利用该算法构造出局部插值约束的奇次均匀b样条细分 曲线，并给出算例。 2 , n u r b s 细分曲线算法: n u r b s 方法己 作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，但是关 于n u r b s 细分算法的 研究还较少见。 本文从基于差商算子定义b 样条的角 度 出发，在对b样条基函数进行细分基础上提出了一种n u r b s 细分曲线算法， 应用在自由型曲线生成和函数逼近上具有良 好的实际效果， 同时使细分曲线的 形状控制更加灵活，完全具备了参数n u r b s曲线的一些重要性质。 最后给出 了细分曲线生成圆及圆弧的实例。 3 、可局部修形的插值细分算法: d y n 四点法在曲 线曲 面造型中 有着广泛的 应用， 但是当 参数w 给定时， 则 细分曲线形状也确定下来， 因此缺乏对细分曲线可局部修形的能力。 本文首先 提出 可局部修形的四点b i n a r y 插值细分法， 并通过实 例说明 该方法在造型方面 有良 好的效果; 然后给出 变参数四点t e r n a r y插值细分模式及其理论， 最后利 用该理论给出 可局部修形的四点t e r n a r y 插值细分法。 关键词:儿 何 造型、 细 分 法、 均 匀b 样 条、 n u r b s 、 细 分曲 线、 细分曲 面、 插值细分法、局部修形、形状控制 细 分 曲 线 的 形 状 控 制 及 应 用 a b s t r a c t t h i s t h e s i s s t u d i e s m o d e l l i n g a n d a p p l i c a t i o n o f s u b d i v i s i o n c u r v e s s u b d i v i s i o n m e t h o d h a s b e c o m e a n i m p o r t a n t t o o t i n c o m p u t e r g r a p h i c s r e c e n t l y . t o e x t e n d a p p l i c a t i o n a r e a s ( e s p e c i a l l y in t h e a r e a o f c a d ) m o r e w i d e l y , h o w e v e r , m a n y p r o b l e m s h a v e t o b e s o l v e d . t h e p r o b l e m s i n c l u d e m o d i f y i n g t h e l o c a l s h a p e f o r s u b d i v i s i o n c u r v e s a n d s u r f a c e s , t h e s u b d i v i s i o n s c h e m e s f o r n u r b s e t c . t h e t h e s i s i n v e s t i g a t e s s o m e e f f e c t i v e m o d e l l in g a p p r o a c h e s f o r e n h a n c i n g m o d e l l in g a b i l i t y o f t h e s u b d i v i s i o n m e t h o d s .e s p e c i a l l y m o d i f y i n g t h e l o c a l s h a p e f o r s u b d i v i s i o n c u r v e s . t h e f i r s t l y w e i n t r o d u c e a s u b d i v i s io n s c h e m e f o r t h e u n i f o r m b - s p l i n e s c u r v e s t h r o u g h t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e s u b d i v i s i o n m a r k f o r b - s p l in e s a n d p a s c a l t r i a n g l e . t h e n a n o t h e r s u b d i v i s i o n s c h e m e f o r u n i f o r m b - s p l i n e s c u r v e s o f o d d d e g r e e w i t h i n t e r p o l a t o ry r e s t r i c t i o n i s c o n s t r u c t e d a n d w e c a n a d j u s t i t s p a rt s h a p e . we c a n f i n d i t s e ff e c t i v e m o d e l i n g i n m o d i f y i n g t h e l o c a l s h a p e t h r o u g h t h e e x a m p l e f o r t h e s u b d i v i s i o n s c h e m e . t h e s e c o n d l y n u r b s h a v e b e e n i d e n t i f i e d a s b e in g a s e n s i b l e s t a n d a r d f o r p a r a m e t r i c s u r f a c e d e s c r i p t i o n s , b u t t h e s u b d i v i s io n s c h e m e s f o r n u r b s a r e s t i l l f e w . a n a l g o r it h m f o r n u r b s s u b d i v i s i o n c u r v e s i s f i r s t g i v e n . t h e a lg o r i t h m b a s e d o n t h e s u b d i v i s io n f o r t h e d i ff e r e n c e o p e r a t o r . i t i s v e r y e ff e c t i v e t h a t w e a p p l i e d t h e a l g o r i t h m i n t h e f r e e c u r v e f i tt i n g a n d s h a p e c o n t r o l l i n g . t h e p r o p e rt i e s o f t h e c u r v e s b y t h i s m e t h o d a r e t h e s a m e a s w h i c h o f t h e p a r a m e t e r n u r b s c u r v e s . t h e e x a m p l e s o f g e n e r a t i n g c i r c u l a r a r c s a n d c i r c l e a r e g i v e n i n t h e la s t p a r t o f t h e t h i r d c h a p t e r . t h e t h i r d l y w e i n t r o d u c e a n i n t e r p o l a t o r y s u b d i v i s i o n s c h e m e w i t h m o d i f y i n g l o c a l s h a p e r e s t r i c t i o n . b e c a u s e w h e n t h e p a r a m e t r i c 、o f d y n f o u r - p o i n t b i n a r y i n t e r p o l a t in g s u b d i v i s i o n s c h e m e i s f ix a t i o n t h e n i t s s h a p e i s f i x e d n e s s , d y n f o u r - p o i n t b i n a r y i n t e 印 o l a t i n g s u b d i v i s i o n s c h e m e i s s h o rt o f 1 1 细 分 曲 线 的 形 状 控 制 及 应 用 a d j u s t i n g t h e s h a p e o f s u b d i v i s i o n c u r v e s . a f o u r - p o in t b i n a r y i n t e r p o l a t in g s u b d i v i s io n s c h e m e w i t h m o d i f y i n g l o c a l s h a p e i s i n t r o d u c e d , a n d t h e n w e g i v e s o m e e x a m p l e s f o r t h e s u b d i v i s i o n c u r v e s a n d s u r f a c e s w i t h m o d i f y i n g l o c al s h a p e . t h e a l g o r i t h m i s e f f e c t i v e i n g e o m e t r i c m o d e l l i n g . a f o u r - p o in t t e rn a r y i n t e r p o l a t o r y s u b d i v i s io n s c h e m e w i t h v a r i a b l e p a r a m e t e r s i s p r e s e n t e d .i t i s s h o w n t h a t f o r a c e r t a i n r a n g e o f t h e v a r ia b l e p a r a m e t e r s t h e r e s u l t i n g c u r v e s i s c o n v e r g e n c e 、 c t a n d c z , r e s p e c t iv e ly . i n t h e las t w e a p p li e d t h e s u b d iv is io n t h e o r i e s t o i n t r o d u c e a n i n t e r p o l a t o r y s u b d i v i s i o n s c h e m e f o r c u r v e s w i t h lo c a l s h a p e m o d i f i c a t i o n s . ke y w o r d s : nurbs g e o m e t r i c m o d e l i n g , s u b d i v i s i o n s c h e m e s , u n i f o r m b - s p l i n e , s u b d i v i s i o n c u r v e s , s u b d i v i s i o n s c h e m e s , o c a l s h a p e m o d i f i c a t i o n , c o n t r o l s u r f a c e s , i n t e r p o l a t o r y s u b d i v i s i o n s h a p e s . i i i 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 第一章 绪 论 计算机辅助设计与制造( c o m p u t e r a id e d d e s ig n 研究的是计算机表示以及用计算机控制有关形状 信息 ( 指定义曲 线曲 面的 点、 切矢、 扭矢、 控制 多 边形等 ) 。 c a g d是由函 数逼 近论、 微分几何、 代数几何、计算数学特别是数控技术等形成的边缘学科。 它 的每一个重大技术突破都会影响计算机图形学、机器人技术、医学图像处理、 多媒体技术等相关领域的 进步和发展。以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散 造型与传统的连续造型相比， 具有可以从任意形状网格出发构造光滑曲面而无 需考虑几何连通性问题等优势。 这一章将从细分技术的产生背景、发展概况、 特点、 分类、 应用以及细分 方法发展的新思想趋势等方面作一个综合评述， 并将扼要介绍一下几种常用的 基本细分方法。最后给出了本文的主要研究内容。 1 . 1细分方法产生的背景 曲 线曲 面造型( c u r v e / s u r f a c e m o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c a g d ) 和 计算机图形学( c o m p u t e r g r a p h i c s ) 的一项重要内 容，主要 研究在计算机图 像系 统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、 叶轮等的外形放样工艺， 由 c o o n s , b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代莫定理论 基础。 经过三十多年的发展，经历了参数样条方法、 c o o n s 曲面、 b e z i e r 曲线曲 面和b 样条方法等。 现在己 形成了以 非均匀有理b 样条( n o n - u n i f o r m r a t i o n a l b - s p l i n e ) 参数化 特征 设计和隐 式代数曲 面 表示( i m p l i c i t a l g e b r a i c s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以 插值( i n t e r p o l a t io n ) 、拟合( f it t i n g ) ,逼近 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 第一章 绪 论 计算机辅助设计与制造( c o m p u t e r a id e d d e s ig n 研究的是计算机表示以及用计算机控制有关形状 信息 ( 指定义曲 线曲 面的 点、 切矢、 扭矢、 控制 多 边形等 ) 。 c a g d是由函 数逼 近论、 微分几何、 代数几何、计算数学特别是数控技术等形成的边缘学科。 它 的每一个重大技术突破都会影响计算机图形学、机器人技术、医学图像处理、 多媒体技术等相关领域的 进步和发展。以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散 造型与传统的连续造型相比， 具有可以从任意形状网格出发构造光滑曲面而无 需考虑几何连通性问题等优势。 这一章将从细分技术的产生背景、发展概况、 特点、 分类、 应用以及细分 方法发展的新思想趋势等方面作一个综合评述， 并将扼要介绍一下几种常用的 基本细分方法。最后给出了本文的主要研究内容。 1 . 1细分方法产生的背景 曲 线曲 面造型( c u r v e / s u r f a c e m o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c a g d ) 和 计算机图形学( c o m p u t e r g r a p h i c s ) 的一项重要内 容，主要 研究在计算机图 像系 统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、 叶轮等的外形放样工艺， 由 c o o n s , b e z i e r 等大师于二十世纪六十年代莫定理论 基础。 经过三十多年的发展，经历了参数样条方法、 c o o n s 曲面、 b e z i e r 曲线曲 面和b 样条方法等。 现在己 形成了以 非均匀有理b 样条( n o n - u n i f o r m r a t i o n a l b - s p l i n e ) 参数化 特征 设计和隐 式代数曲 面 表示( i m p l i c i t a l g e b r a i c s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以 插值( i n t e r p o l a t io n ) 、拟合( f it t i n g ) ,逼近 细 分 曲 线 的 形 状 控 制 及 应 用 ( a p p r o x i m a t i o n ) 为骨架的几何理论体系。 1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n f e r g u s o n 1 9 6 3 首先提出将曲线曲 面表示为参数的矢函数方法， 并引入参数三次曲线， 从此曲线曲面的参数化形 式成为形状数学描述的标准形式。1 9 6 4年美国麻省理工学院的 c o o n s c o o n s 1 9 6 引发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就 可定义一块曲面。但这种方法存在形状控制与连接问题。 1 9 7 1 年法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b 6 z i e r b d z i e r 1 9 7 2 ) 提出 一种由 控 制多边形设计曲线的新方法， 设计人员可以通过移动控制顶点达到控制曲线形 状的目的， 并可以预测曲线的变化趋势。 这种方法不仅简单易用， 而且解决了 整体形状控制问题， 把曲线曲面的设计向前推进了一大步， 为曲面造型的进一 步发展奠定了坚实的基础。 稍早于b d z i e r ， 法国雪铁龙( c i t r o e n ) 汽车公司的d e c a s t e lj a u 也独立研究出 于b 6 z i e r 类 似的 方法， 但没有公 开结 果。 美国 通用汽车 公司的g o r d o n和 r i e s e n f e l d g o r d o n 1 9 7 4 a 揭示了b 6 z ie r 方法与 b e r n s t e i n 多项式的联系， 后又得到张量积b d z ie : 曲 面和三角域上的b e r n s t e i n - b 6 z i e : 曲 面( b - b曲 面) 。但b d z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问 题。 到 1 9 7 2 年，d e - b o o r d e - b o o r 1 9 7 2 和 c o x c o x 1 9 7 2 分别给出了关于b 样条的一套标准算法 d e b o o r - c o x递推公式，1 9 7 4年 g o r d o 。和 r i e s e n f e l d g o r d o n 1 9 7 4 b 又把b 样条理论应用于形状描述， 最终提出了b 样 条方法。这种方法继承了b d z i e : 方法的一切优点，克服了b d z i e r 方法存在的 缺点， 较成功地解决了局部控制问题， 又轻而易举地在参数连续性基础上解决 了 连接问题，从而使自由型曲 线曲面形状的描述问题得到较好解决。 1 9 7 5 年 美国s y r a c u s e大学的v e r s p r i l l e v e r s p r i l l e 1 9 7 5 首次提出有理 b 样条方 法。 后来由 于p i e g l 和t i l l e r p i e g l 1 9 8 7 , 1 9 8 9 a , 1 9 8 9 b , 1 9 8 9 c , 1 9 9 5 , 1 9 9 7 , t i l l e r 1 9 8 3 等人的功绩， 终于使非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为现代曲 面造型中最为广泛流行的技术。 国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 国 际标准， 将n u r b s 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法， 从 而使n u r b s方法成为几何造型技术发展趋势中最重要的基础。尽管n u r b s 西 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 方法在造型方面有许多优势，但也存在一定的缺陷。其优点、缺点如下: n u r b s 方法的主要优点是: i )可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规 则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点; 2 )有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现; n u r b s 方法是非有理b 样条方法在四维空间的直接推广， 多数非有理b 样条曲线曲面 的性质及其相应算法也适用于n u r b s曲线曲面，便于继承和发展。 n u r b s 方法的主要缺点是: 1 ) 采用参数曲面表达复杂物体表面时， 需要对参数曲面片进行裁剪、 缝合 等处理， 手续繁琐复杂且容易产生误差。 单一的n u r b s 曲面与其他参数曲面一 样，不能表示任意拓扑结构的曲面。 2 ) 另外 3 d表面上的数据往往以任意拓扑网格形式出现，用参数曲面对这 些数据存储、修改、 传输以至加工都有一定局限性。 为了表达特征动画中更复 杂的形状，如人的头、手或服饰， 用常用的复杂光滑曲面的造型方法， 例如对 n u r b s 的修剪来解决往往会遇到:有数值误差、 修剪昂贵、并且由于模型是活 动的，要在曲面的接缝处保持光滑，即使是近似的光滑也是有一定难度。 正是n u r b s曲面在表示复杂拓扑物体方面存在困难，无法满足这一要求， 而细分方法却能够很好地产生拓扑结构复杂的曲 面， 因 此， 成为近年来曲 线曲 面造型技术研究的一个热点。 细分方法就是根据给定初始多边形( 网格) ， 计算一个细化的多边形( 网格) 序列， 此序列收敛到一张极限曲线( 曲面) 。 通过插入新点， 并按一定的规则与 已有的多边形( 网格) 点相连， 得到一个新的细化多边形( 网格) 。 新点的位置由 上一层多边形( 网格) 点按一定的几何规则计算得到。 与传统的方法相比，细分方法有着明显优势: . 由于细分过程中新点的计算是线性的，因而计算效率高。新点的计算 只涉及少数的老点，与样条造型相似，但比隐式、变分方法效率高得 多。 而且它符合计算机从离散到离散的造型特点，可以 大幅提高曲线 曲面的计算机计算、生成显示的速度。 3 细 分 曲 线 的 形 状 控 制 及 应 用 . 细分方法是人们在寻求用样条方法解决任意拓扑造型问题过程中提 出的一种新造型方法，它可以 很好的控制任意给定的拓扑结构，同时 又不失高效性。 . 利用以往的造型方法要么计算量庞大( 如样条方法) ，要么难以控制 ( 如隐式曲面) ，而通过改变细分规则的系数即可达到特殊效果。并且 可以控制边界曲线的变化。 总之，细分方法主要特点可以归纳为【 z o r i n 1 9 9 9 :任意拓扑结构的适应 性( a r b i t r a r y t o p o l o g y ) ;可伸缩性( s c a l a b i l i t y ) ;表达一致性( u n i f o r m i t y o f r e p r e s e n t a t i o n ) ; 数值稳定性( n u m e r i c a l s i m p l i c i t y ) ; 模型简单( m o d e l s i m p l i c i t y ) ;实现简单性( c o d e s i m p l i c i t y ) 等。 1 .2细分方法的发展概况 细分的方法可以 追溯到上世纪5 0 年代，1 9 5 6 年d e r a h m d e r a h m 1 9 5 6 提出所谓 c u t t i n g c o r n e r ”的方法描述一条光滑曲 线。但到1 9 7 4 年在美国 u t a t h 大学举行的c a g d 国际会议上，c h a i k i n c h a i k i n 1 9 7 4 生成曲线的细分 方法才引起 c a g d界的注意。随后 r i e s e n f e l d r i e s e n f e l d 1 9 7 5 和 f o r r e s t f o r r e s t 1 9 7 4 证明了此极限曲线为均匀二次 b样条曲线。稍后的 c a t m u l l 和 c l a r k c a t m u l l 1 9 7 8 , d o o 和 s a b i n d o o 1 9 7 8 分别提出将双三次 和双二次b 样条曲面推广到任意拓扑曲面的细分算法，同时d o e 和s a b i n d o o 1 9 7 8 采用离散f o u r i e r 变换方法对c a t m u l l - c l a r k 模式的收敛性作了分析， 开创了细分模式收敛性矩阵特征分析的先河。 1 9 8 7 年l o o p 在其硕士论文中提 出了一种基于三角网格的逼近细分方法l o o p l o o p 1 9 8 7 ，该方法将四次三角 箱样条( q u a r t i c 3 - d e r e c t i o n b o x s p l i n e ) 推广到任意三角网格;1 9 8 7年 伪成d y n 1 9 8 7 提出四点插值和六点插值曲 线的细分模式后， 又根据四点插值 曲 线的细分规则给出 基于三角网格的 插值型细分曲 面方法一蝶形( b u t t e r f l y ) 模式【 1 9 9 0 a , 1 9 9 0 b 。 这几种基本方法是细分方法早期阶段的 重要成果，为以 后的新细分方法的提出提供了借鉴，且在实际应用中仍发挥重要作用。图1 . 1 细分曲线的形状控制发应用 细分方法是人们在寻求用样条方法解决任意拓扑造型问题过程中提 出的一种新造型方法，它可以很好的控制任意给定的拓扑结构，同时 又不失高效性。 利用以往的造型方法要么计算量庞大( 如样条方法) ，要么难以控制 ( 如隐式曲面) ，而通过改变细分规则的系数即可达到特殊效果。并且 可以控制边界曲线的变化。 总之，细分方法主要特点可以归纳为 z o r i n1 9 9 9 ：任意拓扑结构的适应 性( a r b i t r a r yt o p o l o g y ) ；可伸缩性( s c a l a b i l i t y ) ：表达一致性( u n i f o r m i t y o fr e p r e s e n t a t i o n ) ：数值稳定性( n u m e r i c a ls i m p l i c i t y ) ；模型简单( m o d e l s i m p l jc i t y ) ；实现简单性( c o d es i m p l i c i t y ) 等。 1 2 细分方法的发展概况 细分的方法可以追溯到上世纪5 0 年代，1 9 5 6 年d er a h m d er a h m1 9 5 6 提出所谓“c u t t i n gc o r n e r ”的方法描述一条光滑曲线。但到1 9 7 4 年在美国 u t a t h 大学举行的c a g o 国际会议上，c h a i k i n c h a i k i n1 9 7 4 生成曲线的细分 方法才引起c a g d 界的注意。随后r i e s e n f e l d r i e s e n f e l d1 9 7 5 和 f o r r e s t f o r r e s t1 9 7 4 证明了此极限曲线为均匀二次b 样条曲线。稍后的 c a t m u l l 和c l a r k c a t m u l l1 9 7 8 ，d o o 和s a b i n d o o1 9 7 8 分别提出将双三次 和双二次b 样条曲面推广到任意拓扑曲面的细分算法，同时d o e 和s a b i n d o o 1 9 7 8 采用离散f o u r i e r 变换方法对c a t m u l 卜c l a r k 模式的收敛性作了分析， 开创了细分模式收敛性矩阵特征分析的先河。1 9 8 7 年l o o p 在其硕士论文中提 出了一种基于三角网格的逼近细分方法l o o p l o o p1 9 8 7 ，该方法将四次三角 箱样条( q u a r t jc3 - d e r e c t i o nb o xs p l i n e ) 推广到任意三角网格；1 9 8 7 年 d y n d y nt 9 8 7 提出四点插值和六点插值曲线的细分模式后，又根据四点插值 曲线的细分规则给出基于三角网格的插值型细分曲面方法一蝶形( b u t t e r f y ) 模式 1 9 9 0 a ，1 9 9 0 b 。这几种基本方法是细分方法早期阶段的重要成果，为以 后的新细分方法的提出提供了借鉴，且在实际应用中仍发挥重要作用。图i 1 4 西北工业大学硕士学位论文 给出了这几种方法的曲面造型细分实例。 c a t m u l l c l a r k 模式 l o o p 模式 图11 细分曲面的比较 d o o 。s a b i n 模式 b u t t e r f l y 模式 由于d y n 四点法是插值模式，其极限曲线并不能由分段参数多项式表达 ( 如c h a i k i n 方法) 。因此对这类曲线的连续性和微分性分析就需要新的工具。 d y n 等 d y n1 9 8 7 在其文章里给出了一种理论分析方法，另一种更具一般意义 的理论工具分别出现在d y n d y n1 9 9 1 对b i n a r y 细分方法及极限曲线的存在 性、光滑性的理论研究和c a v a r r e t t a c a v a r r e t t a1 9 9 1 的稳定细分法中，后 期对静态细分的理论分析中的符号标记思想都以此为基础。d y n 的z 一变换 d y n 1 9 9 2 a 把数字序列的卷积转化为l a u r e n t 多项式的乘积形式，使我们在细分的 收敛性、光滑性上借助代数学变得更加简单、方便。总之，在细分曲线方面通 过引入均差细分、生成多项式、生成函数等概念来描述细分过程，关于细分曲 线模式的收敛性、连续性分析已有了较系统的研究结果。 曲面方面，由于b u t t e r f l y 方法对初始控制网格的要求是正则三角网格 5 细分曲线的形状控制及应用 f 点的度( v a e d g e s ) 为6 ) 不能适应于任意网格。z o r i n z o r i n1 9 9 6 改进了 b u t t e r f y 方法，该方法可以在任意网格上生成c 连续的细分曲面： k o b b e l t k o b b e t1 9 9 51 9 9 6 a 提出了基于变分的细分方法；p e t e r s 和 r e i f p e t e r s1 9 9 7 、h a b i b 和w a r r e n h a b i b1 9 9 9 分别提出了类简单的细 分方法，将二次四向箱样条( q u a d r a t i c 一4 一d i r e c t i o nb o xs p i h e ) 推广到任意 的四边网格上，他们所使用的细分模板比d o o s a b i n 方法的模板更小。1 9 9 8 年的s i g g r a p h 会议上，s e d e r b e r g d e r g 等 s e d e r b e r g d e r g1 9 9 8 参照非均匀b 样条的构造方法，在任意拓扑网格上引入非均匀节点区间的概念，推广得到非 均匀的细分曲面( n u r s s ) 。 显然细分的规则简单易懂，但细分的极限曲面的性质却复杂而难于分析。 在规则网格下，细分方法就是张量积曲面或箱样条的离散方法，因此对曲面连 续性研究主要集中在任意网格的奇异点处的连续蛙。d e a 和s a b i n d o o1 9 7 8 首先利用离散f o u r i e r 变换和细分矩阵的特征分析对细分极限曲面在奇异点 处的光滑性进行了研究。利用细分规则本身循环对称性，分别对细分矩阵和奇 异点周围顶点实施离散f o u r i e r 变换，只需计算最终变换矩阵的特征值就可以 # - l j5 l u 曲面的极限性质：b a l l 和s t o r r y b a l l1 9 8 8 借助离散f o u r i e r 变换得到 了c a t m u l 卜c l a r k 细分曲面在奇异点处保持切平面连续的条件，并依据收敛性 分析修改了原始细分几何规则。1 9 9 5 年左右r i e f r i e f1 9 9 5 讨论了细分曲面 在奇异点附近的性质，给出了c 1 连续的充分条件；并且它所提出的特征映射 ( c h a r a c t e r i s t i cm a p ) 的概念为细分规则收敛性研究提供了有力的理论工具。 r i e f 在细分曲面的c 1 连续性方面研究工作的重要成果，成为纫分曲面分析理 论研究的转折点。 z o r i n 在这一方面电做出了重要的理论贡献e z o r i n1 9 9 8 。他针对任意网 格上的静态细分曲面进行了系统的理论研究，给出了切平面连续和c 连续的 细分规则的充要条件，并设计了个验证极限曲面c 1 连续的算法，对b u t t e r f l y 模式进行了完整的理论分析。p r a u t z s c h p r a u t z s c h1 9 9 5 利用特征映射对细 分曲面进行参数化，推广r i e f 的结果，给出了任意静态细分方法下的极限曲 6 西北工业大学硕十学位论文 面g 连续的充要条件。p e t e r s 和u m l a u f 还给出了曲率不为0 的g2 连续准则 p e t e r s2 0 0 0 a 。经过几十年的发展，在细分曲面造型方面引入了细分矩阵、 离散f o u r i e r 变换、矩阵特征根法、矩阵逼近论、特征映射等概念方法对多种 纲分曲面进行特征分析及收敛性、连续性分析的研究。开始建立较为系统的收 敛性理论，提出了多变元模式任意拓扑情形下收敛性分析的理论框架。 2 0 0 0 年以来，人们对细分方法的研究更是如火如荼，许多新的细分思想 方法不断涌现。2 0 0 0 年k o b b e l t k o b b e l t2 0 0 0 提出了一种新的用于三角网格 细分法，称为3 细分。其拓扑分裂规则与以往的基于三角网格细分方法不同， 并不是一分四而是一分为三，除奇异点外达到c 2 连续。l a b s i k l a b s i k2 0 0 0 提出了一种基于三角网格的插值型细分方法称为插值3 细分。其拓扑分裂规 则与k o b b e l t 的3 细分相同；几何规则与b u t t e r f l y 类似。v o l h o v o l h o2 0 0 1 a 提出了种拟静态细分方法，用于四面网格( f o u r d i r e c t j o n a lm e s h e s ) 细分； 同年 v o l h o2 0 0 1 b 提出了一个比3 分裂更慢的模式4 - 8 模式，该方法以三角 四边网为初始控制网格，每次细分使网格面的个数只增加一倍。4 8 模式将c 4 连续的四向箱样条曲面推广到任意拓扑结构，除奇异点处c 1 连续外，处处达 到c 4 连续。y i n g 和z o r i n y i n g2 0 0 1 提出一种可以用于构造非流形曲面的细 分方法。近两年提出的细分模式还有：i v r i s s i m t z i s 等 i v r i s s i m t z i s2 0 0 4 的5 模式；p e t e r s p e t e r s2 0 0 3 的4 3 模式；h a s s a n 等 h s s a n2 0 0 2 的 t e r n a r y 四点插值细分；j e n a j e n a2 0 0 2 基于三角样条的细分算法等。 细 分 曲 线 的 形 状 控 制 及 应 用 1 .3细分方法的 新思想 以上对细分方法及其分析理论的描述几乎完全集中于均匀稳定的细分情 形。 所谓均匀稳定是指在对多边形( 网格) 加细过程中，不仅每一加细层次而且 对所加细的整个多边形 ( 网格) 都应用同 一加细规则。 但实际上， 我们并不需要 完全限制在此约束上。 可以 考虑其他情形， 如非均匀模式， 即在同一层次上对 多边形( 网格) 各个部分进行加细其细分规则是变化的; 非静态细分，即在进行 不同层次加细的过程中其细分规则是变化的; 此外还有: 非线性模式; h e r m i t e 细分模式等。 1 .3 . 1 非均匀模式 尽管均匀稳定细分简单易行，但其却存在一定的局限性 s c h r o d e r s c h r o d e r l 9 9 9 。如在工程中物体的表示上如何把细分曲面成功地应用到 n u r b s曲面 卜 的潜在障碍之一是两者的相容性问题，主要是因为n u r b s常 用的是不等距节点空间，而当前常见的细分模式多数与等距节点样条相等价。 d y n d y n 1 9 9 5 a 等 考虑准均匀( q u a s i - u n i f o r m ) 情形， 在此方面 迈出了 第一 步: 所有在中心点一侧的区间都有相同的大小， 而另一侧区间也都有一个的相 同的大小， 经过一次加细后所有的区间都被二等分。 在这种约束的变异下，以 往的特征分析工具仍能够应用， 他们还给出了该细分模式所有的重要性质。 后 来d y n 和l e v i n d y n 1 9 9 9 a 把其 推 广到 一 般 不 等 距 情形。 q u 和g r e g o r y q u 1 9 9 2 , g r e g o r y 1 9 9 6 与w a r r e n w a r r e n 1 9 9 6 分 别 对b 样条 不 等 距细 分的 单 变量 情 形 进行了 研究:嵌入的节点以不等距的关系嵌入并给出了相应的一种细分模式。 现在人们把越来越多的目 光投向非均匀细分曲面或称 n u r s s s e d e r b e r g 1 9 9 8 . 1 9 9 8年 s e d e r b e r g与郑建民等 s e d e r b e r g 1 9 9 8 提出了广义的 c a t m u l l - c l a r k 细分规则和d o o - s a b i n 细分规则，在细分过程中引入了节点距， 提出非均匀有理细分方法( n u r s s ) . n u r s s具有许多超越均匀细分曲 面的 优 点，如它能够适应几何建模中的不相等的 节点距， 提高了 表示诸如尖刺( d a r t ) . 细分曲线的形状控制及应用 1 - 3 细分方法的新思想 以上对细分方法及其分析理论的描述几乎完全集中于均匀稳定的细分情 形。所谓均匀稳定是指在对多边形( 网格) 加细过程中，刁i 仅每一加细层次而且 剥所加细的整个多边形( 网格) 都应用同- - n 细规则。但实际上，我们并不需要 完全限制在此约束上。可以考虑其他情形，如非均匀模式，即在同一层次上对 多边形( 网格) 各个部分进行加细其细分规则是变化的；非静态细分，即在进行 不同层次加细的过程中其细分规则是变化的；此外还有：非线性模式；h e r m i t e 细分模式等。 1 3 1 非均匀模式 尽管均匀稳定细分简单易行，但其却存在一定的局限性s c h r o d e r f s c h l 3 d e r l 9 9 9 。如在工程中物体的表示上如何把细分曲面成功地应用到 n u r b s 曲面f ：的潜在障碍之一是两者的相容性问题，主要是因为n u r b s 常 用的是不等距节点空间，而当前常见的细分模式多数与等距节点样条相等价。 d y n d y n1 9 9 5a 等考虑准均匀( q u a s i u n i f o r m ) 情形，在