（运筹学与控制论专业论文）多部门宏观经济增长和优化分析.pdf

山东大学博士学位论文 多部门宏观经济增长和优化分析 陈晓兰 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 经济增长是一种长期行为，对经济增长的研究也是一项长期性的工作。对经济增长 理论的论述最早见诸于英国古典经济学家亚当斯密( a d a ms m i t h ) 的国民财富的性 质和原因的研究，古典经济增长理论在大卫李嘉图( d a v i dr i c a r d o ) 手中达到了一 个很高的水准。古典经济增长理论认为，投资和积累过程是经济增长的核心。因为古典 经济理论主要强调经济自身的和谐运动，将经济增长看成是经济和谐运动的必然结果， 所以着重研究长期经济运行规律的古典经济学自然就不需要有专门的分支学科来说明 经济增长问题。之后，经济学将研究重心转向资源配置问题，宏观经济学基本没有立足 之地，自然也就没有经济增长理论。这一局面一直持续到2 0 世纪3 0 年代着重研究经济 短期运行规律的凯恩斯( j o h nk e y n e s ) 经济理论，凯恩斯的就业、利息和货币的 般理论 1 9 3 6 基本没有涉及长期经济运行的问题。作为构成完整经济理论体系的需要， 如何在凯恩斯经济理论的基础上说明经济增长问题就成为建立完整凯恩斯理论体系的 主要问题之一。由于对凯恩斯经济理论的不同理解，哈罗德( r o yh a r r o d ) 和多马( e v s e y d o m a r ) 1 9 4 6 分别从不同角度提出了基于凯恩斯经济理论的经济增长理论。哈罗德一 多马经济增长模型为传统经济增长理论的研究奠定了必要的基础。在此基础上，索罗 ( r o b e r ts o l o w ) 1 9 5 6 和斯旺( t r e v o rs w a n ) 1 9 5 6 认为经济应该具有完善的自我调 整功能。他们利用新古典经济理论的生产函数对哈罗德一多马经济增长模型进行了必要 的修改，建立了资本系数可变的s o l o w - - s w a n 经济增长模型。尽管s o l o w - - s w a n 经济增 长模型说明了经济稳定增长的可能性，但它未能很好地解决最优经济增长途径的问题。 之后，卡斯( d a v i dc a s s ，1 9 6 5 ) 和科普曼( t j a l l i n gk o o p m a n s ，1 9 6 5 ) 在拉姆赛( r a m s e y ， 1 9 2 7 ) 最优储蓄理论的基础上，确立了对应完全竞争的r a m s e y - c a s s k o o p m a n s 最优经 济增长理论的框架。于是，s o l o w - - s w a n 经济增长模型和r a m s e y c a s s k o o p m a n s 最优经 济增长模型就构成了新古典经济增长理论的核心。由于传统经济增长理论在解释长期经 济增长机制时遇到的最大问题是资本持续积累问题，如何说明资本持续积累的可能性就 成为经济增长理论研究的主要课题之一在阿罗( k e n n e t ha r r o w ，1 9 6 2 ) 、谢欣斯基 ( s h e s h i n s k i 1 9 6 7 ) 、宇泽( u z a w a ，1 9 6 5 ) 的研究基础上，罗默( r o m e r 1 9 8 6 ) 和卢卡斯 ( t u c a s ，1 9 8 8 ) 等人研究了如何利用广义资本概念缓解资本边际收益递减，从而使得资本 的持续积累成为可能的问题。但r o m e r 和l u c a s 掀起的经济增长理论研究基本上还是2 0 世纪经济增长理论研究课题的自然延伸。在经济增长理论的发展和完善过程中，产生了 许多的经济增长模型这些经济增长模型按其研究方法分，有多部门经济增长模型和单 一部门的经济增长模型。多部门经济增长模型将国民经济系统划分为若干个部门，属于 多部门的经济增长模型主要有：冯诺依曼( v o nn e u m a n n ) 的“一般经济均撕模型” ( 1 9 3 8 ) ，列昂节夫( l e o n t i e f ) 的“投入产出模型”( 1 9 3 8 ) 等。属于单一部门的经 济增长模型主要有：哈罗德一多马经济增长模型，新古典经济增长模型等。本文以列昂 f l l 节夫一( l e o n t i e f ，1 9 3 6 ) 投入产出模型为理论基础，结合八十年代初期华罗庚教授提 出的“正特征矢量法”l ”，利用多部门经济增长模型对国民经济系统进行了均衡分析， 并研究了投资逐年递增条件下的经济均衡增长问题和最优增长前提下的经济优化问题。 山东大学博士学位论文 本文主要利用矩阵论和数学规划研究了多部门宏观经济系统的经济增长和优化问 题。全文分为六章：第一章主要对选题的意义、研究背景，基本概念、假设和符号，非 负不可约矩阵和本原矩阵等作了比较全面的介绍。特别是对非负不可约矩阵和本原矩阵 的经济学本质作了分析。 第二章在2 1 正特征矢量法综述，2 2 有关概念和引理的基础上，对直接消耗 系数矩阵的极限特征进行了探讨。定义了矩阵彳的标准幂的极限，探讨了直接消耗系数 矩阵彳的不可约性、本原性、标准幂极限的存在性以及它们之间的关系等。主要结果有 定理2 3 2 设 阶方阵是非负不可约的，a 为其f r o b e n i u s 根，对应干五的左、 右正特征矢量分别为矿7 、u 且矿7 u = i ，则 照专赫r = w 7 定理2 3 3 阶方阵a 0 ，兄是其f r o b e n i u s 根，且设己，和是使 a u = i u ，“= 兄矿7 成立的非负向量，如果 ( i ) u 0 ： ( 2 ) 矩阵，一【i a 一而u v r _ v j 可逆； u ( 3 ) 当肌叶m ( 匀4 一致有界 则有 熙寺静”= 等 定理2 3 2 和定理2 3 3 揭示了经济系统在平均意义下趋于均衡的极限特征。也 是系统本身自组织性的体现。 第三章是对基于直接消耗系数为外生变量的经济系统的宏观经济分析。首先考虑当 直接消耗系数矩阵爿= 。) 。的某一元素口。( 1 女，r 珂) 减少占( 0 占口。) 时，对部门 产出乘数、部门总产出和部门价格的影响，主要结果为： 定理3 2 2 若鲞接消耗系数矩阵_ = ( 口。) 的某一元素( 1 墨r ) 减少艿 ( 0 占口。) ，其余元素保持不变，则各部门的产出乘数芦，( ，= 1 , 2 ，n ) 的改变量为 卸，2 老“，_ 2 川 即各部门的产出乘数也都相应减少。 定理3 2 3 设最终需求列向量r 保持不变，若直接消耗系数矩阵a = ( 口。) 。的某 l l 山东大学博士学位论文 一元素口。( 1 女，月) 减少j ( 0 占口。) 其余元素保持不变，则所有部门的总产出 都减少，而且当丝= 如( 如为常数，i = 1 , 2 ， ) 时，各部门总产出的变化率相等。 工f 定理3 2 4 设增加价值系数行向量z 0 保持不变，若直接消耗系数矩阵 a = ( 口。) 。的某一元素口h ( 1 竞，r n ) 减少占( 0 万s a k r ) ，其余元素保持不变，则各部 门价格都会下降，且当羔= 厶，( 厶为常数，= 1 , 2 ，”) 时，各部门价格的变化率相 p j 等。 分析结果表明：在无独立子系统的经济系统中，某一部门直接消耗系数的降低( 其 他部门不变) ，不但降低了各部门对其他部门的消耗，而且导致了各部门产出乘数的降 低。在最终需求不变的条件下，还可以使各部门的产出减少。此时，必须按均衡的产出 量进行生产，否则，若仍按原来计划的产值进行生产，必然会导致供大于求的现象发生。 在增加价值向量不变的情况下。可以使各部门的价格降低，即生产成本降低。可见，直 接消耗系数的降低，对经济系统的平衡快速发展起着举足轻重的作用。如何根据经济系 统的综合状况，合理的降低直接消耗系数是经济管理中的一个重要而又复杂的技术问 题。 第四章建立了几类开放的宏观经济增长模型，4 1 是基于投资结构优化与经济均 衡增长研究的动态模型： la x ( f ) = y ( r 一1 ) 模型( i ) y ( t ) = 占( r ) 【x ( f ) 一y ( f 1 ) 】 ( 4 1 1 ) lc ( f ) = x ( r ) 一y ( f ) 由此模型得出： 定理4 1 ，1 模型( i ) 可简化为 ( ，一彳) “艘( ，+ 1 ) = a 。o ) x ( ，) 其中厶( ，) 是投资系数矩阵b ( f ) 的f r o b e n i u s 一根 当定理4 1 1 成立时，模型( i ) 即为文【4 2 】中的模型 文【4 2 】中的a ，即为经济系统在当年的投资系数矩阵b ( f ) 的f r o b e n i u s 根，它是该经 济系统投资规模和投资结构的反映。而当投资系数矩阵b ( t ) 固定为8 即针对固定不变的 投资结构时，口，即为文旧1 中的口( 即口的f r o b e n i u s 根) 。更进一步地，我们得到反映 系统的投资结构和投资规模的砧( f ) 与反映系统的经济增长水平的a 之间的数量依存关 系： 定理4 1 2 在模型( i ) 生产增长即x ( t ) y ( 卜1 ) 0 且c ( ，) 薹0 的条件下，直接 n l 山东大学博士学位论文 消耗系数矩阵a 和投资系数矩阵b ( f ) 的f r o b e n i u s 根五。与厶( f ) 之间有关系 叭姒f ) ( 南 ( 4 1 2 ) 由定理4 1 2 可以看出，反映投资结构和投资规模的厶( f ) 的取值受到 。的制约 而九是由系统的直接消耗系数矩阵决定的，即系统的技术结构与投资结构相互影响进 而影响经济增长的速度。为保证投资结构的合理性，应使投资系数矩阵的f r o b e n i u s 一 根以( f ) 满足式( 4 。1 2 ) 。所以；在一个特定的时期内，如( f ) 的取值是否满足式( 4 1 ，2 ) ， 是投资结构是否合理的一个标志。 定理4 1 3 对于模型( i ) ，设a ，b 均为非负不可约方阵，其f r o b e n i u s 根 以 1 ，o 0 f a x ( t ) = y ( t 一1 ) 模型( i i ) y ( f ) = y ( t 一1 ) + d i a g ( a l ，口2 ，一，a 。) 【r ( f ) 一y 0 1 ) 】 ( 4 2 2 ) lc ( ，) = ( f ) 一r ( o 其中a 0 定理4 2 1设a , 2 ，v r , u ，口同引理4 2 3 ，且v r u = l ，若实向量序列 y ( f ) 持满足 x y ( t ) = 【甜+ ( 1 _ a ) a r ( t 1 ) ，y ( 0 ) 0 ，f t 则，( f ) o ，r t 的充分必要条件是 l ，( 卜1 ) ：v r y ( o ) ( 坐呈丝) “u 定理4 2 2 对于模型i ，设a 是本原方阵，其f r o b e n i u s 根为a l ，v 7 ，u 分别是 4 的左右正特征矢量t 且v r u = i , y ( 。) 。，焉 盘 p 一窆”一o ) ，一 ，t t j = lj = l，= l v i 山东大学博士学位论文 s l + 气( v j ”一v 即气 6 p z f x ：1 + p j 一6 p 一( 弓”一e 1 ) 0 s x 。s 1 ”口o ，哕o ，t 2 0 i = 1 , 2 ，- 一，r a ；j = 1 , 2 ，月 并将模型( m p ) 改写成如下的等价模型( 伊) m a x g = c 忸1j 2 i m i n = 宝宝+ 羔协- ， f = l j = lj ，l 占f “f + 6 口( v 尹一v 即c bs 工尹+ 占， 一吒七一占，) 0 x s 1 “f o ，v ? 1 o ，v 尹0 i = 1 , 2 ，m ；j = 1 , 2 ，行 构造如下线性规划问题： ( p 7 ， + 勺 少一窆g p o ；：， j = i m a x g = 铲9 j - i ，= l 6 f x t 工；”+ ， 一一( x 卜s ，) 0 s 工口1 i = 1 , 2 ，m ；j = 1 , 2 ，一，疗 m t n = 善喜“，+ 套g ? ，+ 占，”一主g p 一占， 罗 ，- l ，l，= ij 。 4 q 一6 ，( v p t 2 ) 且 o ，o ，巧2 - 0 【i2 1 名，m ；j = l ，2 ，拧 山东大学博士学位论文 可以验证( 尸) 和( d ) 是两个互为对偶的线性规划。 定理5 2 1 ( m p ) 有最优解当且仅当( p ) 有可行解。 分析可见，多部门经济系统最优经济增长的实现，需要两个基本条件：( 1 ) 企业以 追求自身利益为最大目标。否则，模型( 尸) 和( d ) 之间良好的耦合关系将不再存在：( 2 ) 政府施加适当的宏观调控。这是实现经济系统最优增长的必要手段，如果没有政府的宏 观调控，模型( p ) 和( d ) 之间良好的耦合关系也将不再存在，难以实现系统的最优增长。 利用模型( m p ) 所提供的调控参数，可以将经济系统始终保持在按比例最优增长的轨道 上，并设计了具体的方法和步骤。 由前述分析可知，企业_ ，所得最大利润为q = “。，所确定的生产产品b ，的时间是 x 。此时经济系统按正特征矢量的比例实现最优增长。 第六章利用本文对“正特征矢量法”的进一步探讨，对我国近期的经济增长状况进 行了实证分析。 根据中国1 9 9 2 年、1 9 9 5 年、1 9 9 7 年的投入产出表得到的多部门的直接消耗系数矩阵， 对近期的经济增长进行了实证分析。并得到相关的结论和建议。 本文的创新点在于： 1 、定义了直接消耗系数矩阵a 的标准幂的极限探讨了a 的不可约性、本原性、 标准幂极限的存在性以及它们之间的关系等。揭示了多部门经济系统在平均意义下趋于 均衡的极限特征，也是系统本身自组织性的体现。 2 、对于有时滞的开放经济系统，构建了一类动态宏观经济模型，给出了多部门经 济系统投资结构优化与经济均衡增长之间的数量依存关系。揭示出：反映系统的投资结 构和投资规模的数量指标的取值受到直接消耗系数矩阵的f r o b e n i u s 根的制约，即系统 的技术结构与投资结构相互影响进而影响系统经济增长的速度。这在理论上是一个创 新，为灾i 正分丰行及实际的可操作性奠定了坚实的基础。 3 、对于有时滞的开放经济系统，在生产增长的前提下，首先保证投资逐年递增， 运用投入产出分析法，建立了一类宏观经济模型。给出了该经济系统不失平衡的充要条 件，证明了华罗庚教授的“正特征矢量法”仍适用于本模型，并对模型作了进一步的推 广。能保证“投资逐年递增”是本模型的一个创新点。 4 、针对有时滞的开放经济系统所构建的能保证投资逐年递增的上述模型，作了进 一步的探讨，说明在更广泛的意义下，初始投入不一定是直接消耗系数矩阵的f 特征矢 量，并且，在经济不出现危机的条件下生产、投入和消费都将趋于直接消耗系数矩阵 的正特征矢量，系统以稳定状态增长。系统呈现出大道性质。这是对华罗庚教授的“i f 特征矢量法”的一个补充，也是一个理论上的一个创新点。 根 关键词：平衡增长，直接消耗系数矩阵，本原矩阵非负不可约矩阵。f r o b e n i u s v i l l 山东大学博士学位论文 a n a l y s i so n m u i j i s e c t o rm a c r o e c o n o m i cg r o w t h a n d0 p t i m i z a t i o n c h e nx i a o l a n ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c s a n d s y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t e c o n o m i cg r o w t hi sal o n g - r u nb e h a v i o ra n dt h es t u d yo fi ti sa l s oal o n g r u nt a s k w ec a ns e et h e e a r l i e s td i s c u s s i o no nt h ee c o n o m i cg r o w t ht h e o r yi ns t u d yo nt h en a t u r ea n dc a u s e so f w e a h ho f n a t i o n s b yt h eb r i t i s hc l a s s i c a le c o n o m i s ta d a ms m i t ha n dd a v i dr i c d om a d et h i sc l a s s i c a lt h e o r yc o m et oa h b 出s 协n d 棚。m c l a s s i c a le c o n o m i c g r o w t ht h e o r ya g t l a st h a tt h ep r o c e s so fi n v e s t i n ga n da c c u m u l a t i n g i st h ec o r eo f e c o n o m i cg r o w t h t h ec l a s s i c a le c o n o m i cg r o w t ht h e o r ym a i n l ye m p h a s i z e st h eh a r m o n l o u s f u n c t i o n i n go f e c c o n o m yi t s e l f a n dv i e w st h ee c o n o m i cg r o w t h 鲢t h ei n e v i t a b l eo u t c o m eo f t h ef u n c t i o n i n g t h e r e f o r e ，t h ec l a s s i c a le c o n o m i cs c h o o lm a i n l ys t u d y i n gt h el o n g - r u ne c o n o m i cf u n c t i o n i n gl a w sn e e d n t h a v et h ep r o f e s s i o n a lb r a n c h e so fl e a r n i n gd e a l i n gw i t ht h ee c o n o m i cg r o w t hp r o b l e m s a f t e r w a r d s ，t h e e c o n o m i c ss h i f l e dt h ec o r et oa l l o c a t i o no fr e s o u r c e s m a c r o e c o n o m i c sb a s i c a l l yd i d n tg e taf o o t h o l da n d n a t u r a l l yh a dn oe c o n o m i cg r o w t ht h e o r y t h i ss i t u a t i o nl a s t e d 喇l l9 3 0 sw h e nj o h nk e y n e sm a i n l y s t u d i e dt h es h o r t - r u ne c o n o m i cf u n c t i o n i n gl a w s n * g e n e r a lt h e o r yo fe m p l o y m e n t i n t e r e s ta n d c u r r e n c yf 19 3 6 ) b yh i mb a s i c a l l yd i d n 1r e l a t et ot h el o n g - r u ne c o n o m i cf u n c t i o n i n gl a w s a san e e dt o f o r mac o m p r e h e n s i v ee c o n o m i ct h e o r ys y s t e m 。h o wt oe x p l a i ne c o n o m i cg r o w t hp r o b l e m sb e c a m eo n eo f t h em a i n p r o b l e m s t of o r mt h e c o m p r e h e n s i v ek e y n e s e c o n o m i c t h e o r ys y s t e m d u e t od i f f e r e n t u n d e r s t a n d i n go fk e y n e s e c o n o m i ct h e o r y , r o yh a r r o da n de v s e yd o m a r ( 1 9 4 6 ) a d v a n c e de c o n o m i c g r o w t ht h e o r y f r o md i f i e r e n t a n g l e sr e s p e c t i v e l yb a s e do nk e y n e s e c o n o m i ct h e o r y h a lr o d d o m a r e c o n o m i cg r o w t hm o d e ll a i da ne s s e n t i a if o u n d a t i o nf o rm e s t u d y o f t h et r a d i t i o n a le c o n o m i c g r o w t ht h e o r y o nt h eb a s i s ，r o b e as o l o w ( 1 9 5 6 ) a n dt r e v o rs w a n ( 1 9 5 6 ) a r g u e dt h a te c o n o m ys h o u l dh a v eap e r f e c t s e l f - r e g u l a t i n gf o u n d a t i o n t h e y u s e dt h ep r o d u c e rf u n c t i o no fn e o c l a s s i c a le c o n o m i ct h e o r y t om a k ea n e c e s s a r yr e v i s i o nf o rh a r r o d d o m a re c o n o m i cg r o w t hm o d e la n df o r m e dt h es o i o w s w a ne c o n o m i c g r o w t hm o d e lw i t hv a r i a b l ec a p i t a lc o e f f i e i e n t s a l t h o u g ht h es o l o w - - s w a ne c o n o m i cg r o w t h m o d e l e x p l a i n e dt h ep o s s i b i l i t yo fs t a b l ee c o n o m i cg r o w t h ，i td i d n td e a lw i t ht h ew a y so fo p t i m u me c o n o m i c g r o w t h a r c r w a r d s ，b a s e do nr a m s e y s ( 1 9 2 7 ) o p t i m u ms a v i n gt h e o r y , d a v i dc a s s ( 1 9 6 5 ) a n dt j a i l i n g k o o p m a n s ( 1 9 6 5 ) e s t a b l i s h e dt h ef r a m e w o r kf o rr a m s e y - c a s s - k o o p m a n so p t i m u me c o n o m i cg r o w t h t h e o r yc o r r e s p o n d i n gw i t hp e r f e c tc o m p e t i t i o n t h e r e f o r e s o l o 、v _ s w a ne c o n o m i cg r o w t hm o d e la n d r m m s e y - c a s s - k o o p m a n so p t i m u me c o n o m i cg r o w t hm o d e if o r m e dt h ec o r eo ft h en e o c l a s s i c a ie c o n o m i c g r o w t ht h e o r y b e c a u s et h eb i g g e s tp r o b l e m t h a tt h et r a d i t i o n a le c o n o m i cg r o w t ht h e o r y m e tw i t hw h e ni t e x p l a i n e dt h el o n g - r u ne c o n o m i cg r o w t hm e c h a n i s mw a st h e c o n t i n u a l c a p i t a la c c u m u l a t i o n ，h o wt o e x p l a i nt h ep o s s i b i l i t yo f t h ec o n t i n u a lc a p i t a la c c u m u l a t i o nb e c a m e o n eo f t h em a i nq u e s t i o n sf o rs t u d yo f t h ee c o n o m i cg r o w t ht h e o r y b a s e do f tt h es t u d yo fk e n n e t ha r r o w ( 1 9 6 2 ) s h e s h i n s k i ( t 9 6 7 ) a n du z a w a ( 1 9 6 5 ) , p e o p l es u c ha sr o m e r ( 1 9 8 6 ) a n dl u c a s ( 1 9 8 8 1s t u d i e dh o w t ou s et h eb r o a dc a p i t a lc o n c e p tt o s l o wd o w n t h ed i m i n i s h i n g c a p i t a lm a r g i n a lr e v e n u ea n dm a k e t h ec o n t i n u a lc a p i t a la c c u m u l a t i o np o s s i b l e h o w e v e r , t h es t u d yo fr o m e r a n dl u n a so nt h ee c o n o m i cg r o w t ht h e o r y b a s i c a l l yan a t u r a le x t e n s i o n 山东大学博士学位论文 o f t h eq u e s t i o n f o rs t u d yo f i t i n t h e 2 0 e * c e n t u r y i n t h e d e v e l o p i n gp r o c e s so f t h ee c o n o m i cg r o w t h l h 吼 m a n ye c o n o m cg r o w t hm o d e l so c c u r r e d a c c o r d i n g t ot h e i rs t u d ym e t h o d s t h e yc o u l db ed i v i d e da st h e m u l t i s e c t o ra n dm o n o - i e c t o re c o n o m i cg r o w t hm o d e l s t h em u l t i s e c t o re c o n o m i cg r o w t hm o d e l sd i v i d e d t h en a t i o n a l e c o n o m ys y s t e m i n t os e v e r a ls e c t o r s t h eg e n e r a le c o n o m i ce q u i l i b r i u mm o d e lo fv o n n e u m a n n ( t 9 3 8 ) a n dt h ei n p u t - o u t p u tm o d e lo f l e o n t i e f ( 1 9 3 9 ) ，e t cb e l o n g e dt ot h i sk i n do fm o d e l s w h i l e t h eh a t r e d d o m a re c o n o m i cg r o w t hm o d e la n dt h an e o c l a s s i c a le c o n o m i cg r o w t hm o d e l 。e t cb e l o n g e dt o t h em o n o s e c t o re c o n o m i cg r o w t hm o d e l s t h ep a p e ri sb a s e do nt h ei n p u t o u t p u tm o d e lo f l e o n t i e f ( 1 9 3 6 ) ， c o m b i n e dw i t h “t h ep o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cv e c t o rm e t h o d ”p u tf o r w a r db yp r o f e s s o rh u a l u o g e n g i nt h e e a r l y8 0 s ，u s e st h em u l t i - s e c t o re c o n o m i cg r o w t hm o d e lt oh a v ea ne q u i l i b r i u ma n a l y s i so ft i l e n a t i o n a l e c o n o m ys y s t e m 。a n ds t u d i e st h ep r o b l e m so fe c o n o m i ce q u i l i b r i u mg r o w t hi n t e l t n so ft h e i n c r e a s i n g i n v e s t m e n t y e a r b y y e a r w e l l t h e p r o b l e m s o f e c o n o m i c o p t i m i z a t i o n i n t e r m s o f t h e o p t i m a lg r o w t h t h e p a p e rm a i n l y u s e sm a t r i x t h e o r y a n dm a t h e m a t i c s p r o g r a m m i n g t o s t u d y m u l t i - s e c t o r m a c r o - e c o n o m i cg r o w t ha n do p t i m i z a t i o np r o b l e m s t h ew h o l ea r t i c l ei sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e rh a sa r e l a t i v e l yc o m p r e h e n s i v ei n t r o d u c t i o nt ot h es i g n i f i c a n c eo f t h es e l e c t e ds u b j e c t ， s t u d yb a c k g r o u n d ，b a s i cc o n c e p t s ，h y p o t h e s i sa n ds i g n s 。n o n n e g a t i v e i r r e d u c i b l em a t r i xa n dp r i m i t i v e m a t r i x ，e t c ，a n de s p e c i a l l ya n a l y s e st h ee c o n o m i cn a t u r eo n o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l em a t r i xa n dp r i m i t i v e m a t r i x t h es e c o n dc h a p t e rs t u d y st h el i m i tc h a r a c t e r i s t i co fd i r e c tc o n s u m p t i o nc o e f f i c i e n tm a t r i xb a s e do n t h ep o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cv e c t o rm e t h o dr e v i e wo f 2 1a n dr e l a t e dc o n c e p t sa n di e l l l m a so f 2 2 ，g i v e s t h ed e f i n i t i o no ft h es t a n d a r dp o w e rl i m i to fm 蚵xa s t u d y st h er a l e t i o n s a m o n g i r r e d u c i b l e c h a r a c t e r i s t i c ，p r i m i t i v ec h a r a c t e r i s t i ca n d t h es t a n d a r dp o w e rl i m i to fd i r e c tc o n s u m p t i o nc o e f f i c i e n tm a t r i x t h e m a i nr e s u l t sa r e ： t h e o r e m 2 3 2 s u p p o s et h a t 月o r d e rm a t r i x i sn o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l e t h ef r o b e n i u sr o o to f i t i s a ，c o r r e s p o n d i n g l e f ta n d r i g h tp o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cv e c t o r sa r c v a n dut b r 五u = 1 ， t h e n w eh a v e 。 一m 上= = i f t 4 1 。= u 矿7 t h e o r e m 2 3 3 s u p p o s e o r d e rs q u a r e m a t r i xa 0 t h ef r o b e n i u sr o o to fi ti s 丑ua n d v r a r en o n n e g a t i v e v e c t o r s 。a u = z ，v 7 a = 2 v 7h o l d i f ( 1 ) v u 0 ； ( 2 ) 卜呀a 一而u v r j 蛐v e r t i b l em a t r j x ： ( a ，、_ _ l m i sc o n s i s t e n c y b o u n d e d 讪e n 卅一+ 。 1 h e n l i m i 兰伊 a = 器 x 山东大学博士学位论文 t h e o r e m 2 3 2a n dt h e o