（应用数学专业论文）非线性常微分方程问题的解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明t 此处所提交的硕士论文( 非线性常微分方程问题的解，是 本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的 研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的 法律结果将完全由本人承担 作者签名：硝一伟 日期：2 扔厂口 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性常微分方程问题的解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间， 在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本 论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子 版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复 制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：茹低 日期： 三口卜夕厂罗 聊繇水嗍一产i 侈 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关 注，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非 线性分析中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象 受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用数 学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃 的领域之一 二阶方程起源与应用数学，物理学，控制论等各种学科在理论和应用上都 有非常重要的作用如两端固定的弹性梁方程边值问题，常微分方程边值问题已 经受到人们的广泛关注，本文利用上下解方法，不动点指数定理研究了几类二阶 非线性奇异微分方程边值问题的解 本文共分为三章t 在第一章中，利用上下解方法研究一类奇异二阶三点边值问题 2 + 6 ( 啪删) = o ，。( o ，1 ) ，( 1 1 1 ) l ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = ，y u ( ，7 ) ， 正解的存在唯性与多重性，其中常数7 ，7 ( 0 ，1 ) ，b ( t ) c ( ( o ，1 ) ，【0 ，o o ) ) ，b ( t ) 允 许在= 0 ，1 处奇异，f ( t ，u ) c ( 【o ，1 】【0 ，o o ) ，f 0 ，o o ) ) 。 在第二章中，我们研究了二阶三点奇异边值问题 j ( ) - - - f ( t , u ( 。) ) = o ，o 1( 2 1 1 ) i ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 讹( t 7 ) ， 正解的存在性，其中常数a ，町( 0 ，1 ) ，( ，u ) c ( ( o ，1 ) ( 0 ，+ o o ) ，【0 ，+ o o ) ) ，并允 许非线性项，( t ，u ) 在t = 0 ，= 1 ，和u = 0 处奇异为了克服奇异性带来的困难， 引入两个高度函数，利用不动点指数定理，在较弱的条件下，得出了二阶三点边 值奇异问题( 2 1 1 ) 正解的存在性 在第三章中，我们研究了奇异二阶边值问题 ! z + 七2 z = ，( 。) 9 ( 屯z ) ( o ，1 ) ( 3 1 1 ) ix p ( o ) = o ( 1 ) = 0 ， 其中k ( 0 ，詈) 是一个常数，非线性项，( t ) ，g ( t ，z ) 在t = o ，t = 1 及z = 0 是奇 异的本文利用格林函数的性质及不动点定理证明了解的存在性，其中非线性项 g ( ，z ) 只需满足局部单调条件 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词：二阶奇异边值问题；不动点指数定理；上下解；正解 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n - l i n e a rp r o b - l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , a n ds ot h en o n , n e a r a n a l y 8 i 8h a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a l y s i s ， b e c a u s ei tc a ne x p l a i nw e l lv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ， t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo f m o s ta c t i v ed o m a i n so f f u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e sa tp r e s e n t s e c o n do r d e re q u a t i o no r i g i n st h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ，t h ep h y s i c s ，t h ec y - b e r n e t i c sa n do t h e rd i s c i p l i n e s o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ea r o u s e d p e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s t i nt h i sp a p e r ，w eu s et h eu p p e ra n dl o w e rs o l u - t i o n sm e t h o d ，f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r bt os t u d ys e v e r a lk i n d so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h ee x i t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h es i n g u l a r s e c o n do r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m b ym e a n so ft h ed e g r e eo f 叙e dp o i n t t h e o r e ma n du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ， j u ，7 + b ( t ) f ( t ，钍( ) ) = o ，t ( o ，1 ) ， 、 【u ，( 0 ) = o ，u ( 1 ) = ，y u ( 7 7 ) ， ( 1 1 1 ) w h e r e7 ，叩( 0 ，1 ) ，b ( t ) g ( ( o ，1 ) ，【0 ，o o ) ) ，f ( t ，u ) c ( 【o ，1 】x 【0 ，o o ) ，【0 ，) ) ，b ( t ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 t = 1 i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ee x i t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h es e c o n d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，b ym e a n 8o ft h ed e g r e eo ff i x e dp o i n tt h e o r e m a n dt h ep r o p e r t yo fg r e e nf u n c t i o n fu ( t ) + ，( ，u ( ) ) = 0 ，0 1 、 l i 牡，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = q u ( 叩) ， ( 2 1 1 ) w h e r ef ( t ，让( t ) ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1a n dt = o w ei n t r o d u c et w oh e i g h t f u n c t i o n sb yf i x e dp o i n tt h e o r y i nw e a k e rc o n d i t i o n s ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o no f ( 2 1 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h es i n g u l a r s e c o n do r d e rb o m l d a r yv a l u ep r o b l e m ，b ym e a l l 8o ft h ef i x e dp o i n tt h e o r e m f 矿+ 七2 z = ( t ) g ( t ，z ) ，t ( o ，1 ) ， 、一( o ) = z ( 1 ) = 0 ， ( 3 1 1 ) w h e r ek ( 0 ，暑) i sac o n s t a n t ，9 ( t ，z ) i sm o n o t o n el o c a l l yw i t hr e s p e c tt oxa n d ，( z ) ，g ( t ，z ) m a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，t = 1a n dz = 0 w eu s et h ep r o p e r t y o ft h eg r e e n sf u n c t i o n sa n df i x c dp o i n tt h e o r yt op r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i - t i v es o l u t i o n sf o rt h et w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，g ( t ，x ) j u s ts a t i f i sl o c a l m o n o t o n o u s k e y w o r d s ：s i n g u l a rs e c o n d o r d e rb v p s ；f i x e dp o i n ti n d e x ；u p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n s ；p o s i t i v es o l u t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章奇异二阶三点边值问题正解的存在性1 1 1 引言1 1 2 预备知识1 1 3 主要结果9 第二章一类奇异二阶三点边值问题的正解。1 3 2 1 引言1 3 2 2 预备知识：1 4 2 3 主要结果1 6 2 4 例子2 0 第三章奇异二阶三点边值问题的存在性2 2 3 1 引言- - 2 2 3 2 预备知识2 2 3 3 主要结果2 5 3 4 例子3 0 参考文献3 2 在校期间完成的论文3 4 致谢3 5 第一章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 本章我们研究一类奇异二阶三点边值问题 u ，5 1 + 6 0 ) 厂( 以t 正( ) ) = o ，o 0 ，e 中的开球 u e ：i r l 记为珥 定义1 2 1 若函数口( ) c o ，1 】n c 2 ( o ，1 ) 满足 厂q ，( t ) + 6 ( ) 弛，q ( ) ) 0 ， 【a ，( 0 ) 0 ，a ( 1 ) 似( 7 7 ) ， 1 第一章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 则称q ( t ) 为边值问题( 1 1 1 ) 的一个下解 若函数p ( t ) o o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) 满足 l ( t ) + b c w c t ，p ( ) ) 0 ， i ( o ) 0 ，8 ( 1 ) 7 ( 7 7 ) ， 则称p ( ) 为边值问题( i i 1 ) 的一个上解 引理1 2 2 设a n ：d e 全连续m = 1 ，2 ) ，如果对于d 中任何有界 集s ，当仃啐0 0 时，l i a n x - a x l i 都致趋于零( 关于z s ) ，那么a ：d 斗e 全连续 引理1 2 3 ( r o t h e 不动点定理) 设q 是e 中有界开集，a ：豆一e 全连 续并且a ：剪2c 豆，则a 在孬内必有不动点 引理1 2 4 设e 为一个实的b a n a c h 空间，p 为e 中的个锥，q 为e 中的有界开集，e 中的零元素口q ，算子a ：pn 孬一p 全连续，则若当 u pna q 且a u = 5 u 时，一定有5 1 ，则不动点指数i ( a ，尸nq ，尸) = 1 引理1 2 5 设a ( t ) c t o 1 】，则二阶三点边值问题 u ( 。) + ) = o ， o 2 1 ( 1 2 1 ) i ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = ，y u ( 7 7 ) 有唯一解t ( t ) = 片c ( t ，s ) a i s ) d s ，其中 c ( t ，s ) = 1 - 一7 r 一s ，05 tss ，0 ss 7 7 ， 二! ，0 s ，7 7 5 1 ， - = 1 - 一 ) 7 一，s t l ，0 s 7 ， 丢二二堡一t ，5 1 ，7 7 5 l 易知a ( t ，s ) 0 且高e ( ) e ( s ) so ( t ，s ) e ( s ) ，其中e ( ) = o ( t ，) ，e ( s ) = a ( 8 ，5 ) ，t ，5 1 0 ，1 】为了方便，我们作出以下假设t ( h 1 ) f i t ，u ) c ( 【o ，1 】x 【0 ，o o ) i 【0 ，。) ) 且f i t ，t ) 关于1 1 , 单调减小； ( 飓) 0s 詹e ( s ) b i s ) d s 0 0 令集合p = u ( ) o o ，1 】：存在正数使得u ( ) e ( ) ，t 【0 ，1 】) 定义 2 曲阜师范大学硕士学位论文 算子t ：e e 如下 t t l ( t ) = c ( t ，s ) 6 ( s ) ，( s ，u ( 5 ) ) d s ，i j 0 下证t ( p ) p 任取u ( t ) p ， 。 t u ( t ) = g ( ，s ) b ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s j 0 ，1 e ( s ) b ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s 0 使得u ( t ) m e ( t ) 证明令 f ( t ，u ) ，q ( ，u ) ， ，p ( t q ( ) 一u ( t ) + i a ( ) 一t ( p ( ) 一让( ) + l 卢( ) 一“( u ( t ) p ( t ) 考虑修正后的边值问题 川) + 6 ( ) f ( 蝴) ) = o ，o 0 使得i f ( t ，u ) i m t 对任 意的u ( ) c o ，l 】，有 a u ( t ) ：厂1g ( t ，5 ) b ( s ) f ( s ，牡( 5 ) ) d s m 11 e ( 3 ) 6 ( 3 ) d 5 。o a u ( t ) 2 上g ( t ，5 ) b ( s ) f ( s ，牡( 5 ) ) d s m 1o d 0 e ( 3 ) 6 ( 3 ) d 5 。o ，0 4 曲阜师范大学硕士学位论文 令算子a 。为a 。u ( t ) = 露g ( t ，s ) b 。( 5 ) f ( 3 ，u ( s ) ) d s ，其中 k ( ) 显然由a r z e l a r a s c o l i 定理知t 对任意n 2 ，a 。是紧算子。结合g ( t ，s ) ，k ( s ) 和 f ( s ，缸( s ) ) 的连续性知，a 。：e 一e 是全连续算子 由0 f 孑e ( s ) b ( s ) d s 0 0 结合积分的绝对连续性知 l i m n e ( s ) b ( s ) d s + 小姒s ，d s ) o a n u ( ) 一a u ( t ) i = if o o ( ，5 ) k ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s lg ( ，s ) 6 ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s a ( t ，s ) l k ( s ) 一b ( s ) l f ( s ，u ( s ) ) d s 舰e ( s ) l k ( s ) 一b ( s ) l d s = 舰( z 吾e ( 5 ) i k ( s ) 一6 ( s ) l 出+ ，：考e ( s ) i ( s ) 一6 ( s ) d s ) 蛳耶汹+ 厶小湫s 冲) 一吣一。o ， 即a n 一致收敛到a ，由引理1 2 2 知a ：e e 全连续令 其中 q = u c o ，1 】：i ) ， = 舰上1 e ( s 姒s ) d s 1 一亿 一 0 n g 芝几卜 曲 酞 共吼墨 i l l n 广止 第一章 奇异二阶三点边值问题正解的存在性 对任意u ( ) 西， l a u ( t ) i = i g ( ，s ) b ( s ) f ( s ，( s ) ) d s i - ，0 厂1 e ( s ) b ( s ) f ( s ，t l ( s ) ) d s - ，0 厂1 u ( o ) ，q ( t o ) 一乱7 ( t o ) = 0 ，q ( t o ) 一仳( t o ) 0 = 一，( 。，a ( t 。) ) + ，( 。，a ( t 。) ) + r 箐耥 = 毒a 耥( t o 。， = = - - - - - 二 i - 1 + 1) 一t 正( o ) i v 矛盾 ( 2 ) 当t o = 0 时，q ( o ) u ( o ) ，由( 1 2 8 ) 式知 a 7 c o ) = 0 ， 又u ( 0 ) = 0 ，故 o ，( 0 ) 一u ，( 0 ) = 0 ， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 从而q ”( o ) 一u ”( 0 ) 0 ， 。q ( 。) 一u ( 。) 一，( 。，a ( 。) ) + ，( 。，口( 。) ) + i - = 彳褊 。， 矛盾 ( 3 ) 当t o = 1 时，a ( 1 ) u ( 1 ) ，又 a ( 1 ) 一u ( 1 ) ，y q ( 叩) 一，y u ( 叼) ，0 伽， 则存在t l 【0 ，1 】，使得 钍( 1 ) 一伽( 1 ) 2o ( m 添a x u ( t ) 一硼( ) 0 下面分三种情况讨论 ( 1 ) 当1 【0 ，1 】时，有 u ( h ) 一w ( t i ) 0 ，u 7 ( 1 ) 一w 7 ( 1 ) = 0 ，t ( 1 ) 一 ( 1 ) 0 ， 7 第一章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 结合，的减性有， 0 t ( t 1 ) 一w ( 1 ) = - - f ( g l ，u ( t 1 ) ) + f ( t l ，伽( 1 ) ) 0 ， 矛盾 ( 2 ) 当t l = 0 时，有t ( 0 ) 叫( 0 ) ，又 “7 ( o ) = 0 ，伽7 ( o ) = 0 ， 故t 7 ( o ) 一w 7 ( o ) = 0 ，从而 u ( o ) 一伽( o ) 0 ， 结合，的减性有， 0 u , u ( o ) 一w ( o ) = - f ( o ，u ( o ) ) + f ( o ，埘( o ) ) 0 ， 矛盾 ( 3 ) 当t l = 1 时，有u ( 1 ) w ( 1 ) ，又 仳( 1 ) 一w ( 1 ) = ，y u 细) 一7 们) = 7 ( 让( 叩) 一彬( 叼) ) ，0 ，y 叫 ) ，同理可证不存在z 【0 ，1 1 使得t ( d 0 ，使得t 仇( t ) 仇e ( t ) ，即q ( t ) m e ( ) ， 而u ( ) q ( ) ，从而u ( ) m e ( ) 定理证毕 8 曲阜师范大学硕士学位论文 注，( t ，u ) 关于u 减保证了边值问题( 1 1 1 ) 的上、下解的存在性和正解的唯 性，若去掉此条件，但要假设上下解的存在性，则边值问题( 1 1 1 ) 可存在多个 正解，可由下面定理给出 1 3 多个正解的存在性 ( 风) q o ，a l c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ，岛，所c o ，1 】n 俨( o ，1 ) 分别是边值问题 ( 1 1 1 ) 的两对下、上解，使得q o ( ) q 1 ( t ) 岛( ) ，a o ( t ) 角( ) 岛( ) ，且 q 1 茗风，t 【0 ，1 】 ( 凰) a 1 ，历分别是边值问题( 1 1 1 ) 的一对严格下、上解 定理1 3 1 若( h 1 ) ( 飓) ( 地) 成立，则边值问题( 1 1 1 ) 至少有三个正解 u 1 ，t 正2 ，u 3 使得a o ( t ) su 1 ( t ) s 历( t ) ，q 1 ( t ) 牡2 ( ) s 阮( t ) ，让3 墓历，t 3 芝 口l ，t 【0 ，1 】 证明令 垆托 吲啪+ 毒，酢) 眦) 鼢等0 掣篇锄叭k 1 3 lu ，( o ) = ，让( 1 ) = ，y 让( 叩) 、7 由定理1 2 1 知，边值问题( 1 3 2 ) 有解u ( t ) 满足 a o ( t ) t | ( t ) a o ( t ) ，t 【0 ，1 】 从而u ( ) 也是边值问题( 1 1 1 ) 的解 下证边值问题( 1 3 2 ) 至少有三个解让 ，满足 a o ( t ) su t ( t ) s 风( ) ，i = 1 ，2 ，3 9 第一章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 定理1 2 1 的证明过程中有 q = “( t ) e ：i u o ) 令 q = u ( t ) e ：u ( t ) 0 ，t 【0 ，l 】) 显然q 是c o ，1 】中的个锥易知边值问题( 1 3 2 ) 的解等价于积分方程 让( t ) = f 0 1 a ( t ，s ) 6 ( s ) r 。风( s ，仳( s ) ) d s 的解 令算子a 。o 风：e e ： a a 。伽u ( t ) = f o 1 a ( ，s ) 6 ( s ) 以。踟( s ，u ( ；) ) d s 则对任意的u ( ) 瓦，有 i a 。凤u ( 圳= lz 1 g ( ，s ) 6 ( s ) f 口。风( s ，u ( s ) ) d si 舰z 1e ( s ) 6 ( s ) d s = 故a ( 硒q 从而对v u ( t ) a qnq ，如果满足 a 。o 卢d u = 入u ， ( 1 3 3 ) 则一定有a q l ( 伽( 0 1 ) ) ， ( 1 3 4 ) q ，。= u ( ) q ：u ( ) 夙( ) ，t ( 0 ，1 ) ) 由于o l l p 1 则瓦in 孬i = d 而 、 n ( f l 。) uq p 。d 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由条件( 凰) 知，边值问题( 1 3 2 ) 在a q 。，ua q m 上无解。从而由不动点指数的 切除性得， l = i ( a a 。风，q n q ，q ) = i ( a 。风，q 。nq ，q ) + i ( a 。风，q 口。i 1q ，q )( 1 3 5 ) + i ( a 。励，( n c n 口，) u ，) nq ，q ) 下证 i ( a a 。踟，q a 。nq ，q ) = i ( a 口。风，q p 。nq ，q ) = 1 我们首先证 i ( a 。内，q 。n q ，q ) = 1 由( 1 3 1 ) 及( 1 3 4 ) 知；在q 口。内，b ，阮= r 。风考虑边值问题 等0 掣7 一u ( 。u p 吣k l 3 q lu ，( 0 ) = ，u ( 1 ) = ) 、 边值问题( 1 3 6 ) 的解等价于积分方程 u ( t ) = g ( t ，5 ) 6 ( 5 ) r 。a o ( s ，u ( s ) ) d s 的解 令算子a 。踟：e e 为 a a 。a o u ( t ) = g ( ，s ) 6 ( s ) r 。励( s ，u ( s ) ) d s 由定理1 2 1 的证明过程知。边值问题( 1 3 6 ) 的任解u ( t ) 满足u ( ) a 1 ( ) ，t 【0 ，1 】由条件( 凰) 可知 u ( t ) a 1 ( ) ，t ( 0 ，1 ) 故珏( t ) q 而边值问题( 1 3 6 ) 在叭( q 。) 内无解从而 i ( a 。，岛，q ( 丽i ) nq ，q ) = 0 ( 1 3 7 ) 对任意u ( t ) 豆， i = | z 1g 5 姒s ) 足，小，吣) ) d s l m 1z 1 e ( s ) 6 ( s ) d s = ， 第一章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 故a 。风( 豆) q 对任意u ( ) a qnq ，若 a 口。阮u = a u ，( 1 3 8 ) 则一定有a 1 若不然，则入1 ，由( 1 3 8 ) 式得t i i a a ，风训l = a | | u 0 i l u l i = u o 与如。岛( - ) q 矛盾，从而 i ( a 。风，q n q ，q ) = 1 ( 1 3 9 ) 结合( 1 3 7 ) ( 1 3 9 ) 有 i ( 以口。岛，q 。nq ，q ) = l ( a 口。风，q n q ，q ) 一i ( a a 。岛，q ( 孬_ ) n q ，q ) = 1 0 = 1 由于在q a 。内有， r 。风( ，u ( t ) ) = r 。风( t ，让( t ) ) ， 则在q 口。内，有a 。岛= a 口。风成立，从而 i ( a 。风，q 。nq ，q ) = 1 ( 1 3 1 0 ) 同理可证 i ( a 。风，n q ，q ) 一1 ( 1 3 1 1 ) 结合( 1 3 5 ) 式有 蕾( a n o 踟，( q ( 瓦：丽) ) nq ，q ) = 一1 ( 1 3 1 2 ) 由( 1 3 1 0 ) ( 1 3 i i ) ( 1 3 1 2 ) 可知一边值问题( 1 3 4 ) 至少有三个解u i ，i = 1 ，2 ，3 ， 且u l q 。，u 2 q 口1 ，乱3 q ( 瓦丁而i ) ，又a o ( t ) u i ( ) 阮( t ) ，i = 1 ，2 ，3 故u t ( ) i - - - - 1 ，2 ，3 是边值问题( 1 1 1 ) 的解 第二章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 在本章中，我们研究以下的非线性奇异边值问题： d “ 一 ”划0 “ ( 2 1 1 ) iu ，( 0 ) = 0 ，札( 1 ) = q 扎( ，7 ) ， 正解的存在性，其中常数q ，叩( 0 ，1 ) ，f ( t ，让) c ( ( o ，1 ) ( 0 ，+ o 。) ，【0 ，+ o o ) ) ，并 允许非线性项f ( t ，u ) 在t = 0 ，t = 1 ，和让= 0 处奇异 微分方程的多点边值问题在理论和应用上都起着很重要的作用，许多作者已 做过一系列的研究其主要技巧是用l e r a y - s c h a u d e r 拓扑度，k r a s n o s d l e k i i 不 动点定理，上下解方法， ( 见文献f 6 ，7 ，9 】) 文 7 】利用k r a s n o s d l e k i i 不动点定理 研究了边值问题t l u ( t ) = 6 ( t ) ，( u ( ) ) ，0 t 1 i 让，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = a 口( 7 7 ) ， 正解的存在性与多重性，要求6 ( ) 在t 【0 ，1 】上连续 最近文【2 】在与文【7 】相同假设的条件下，借助于锥上的不动点指数理论， 通过相应的线性问题的第一特征值给出了该问题单个正解和多个正解存在的最佳 充分条件，改进了文 7 】但他们考虑的只是非奇异的情况且非线性项可以变量分 离，对于奇异的情况特别是非线性项f ( t ，u ) 关于u = 0 处奇异的情况研究结果 还很少见由于奇异性的存在，对非奇异边值问题所采用的方法已不适用为了 克服奇异性带来的困难，本章引入两个高度函数，利用不动点指数定理，在较弱 的条件下，得出了二阶三点边值奇异问题( 2 1 1 ) 正解的存在性，推广和改进了文 献【1 1 】的结果 本章由下面几部分组成第二部分给出了些引理和预备知识，第三部分是 主要的结果和推论，第四部分是应用举例 1 3 第二章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 2 2 预备知识 在这一部分，我们先给出了一些预备知识和引理 在实b a n a c h 空间e = c 【o ，1 】中，范数记为i i l l ，即1 1 u 1 12 o m 0 ，记q ，= 【u e ：l l u l i 0 ，0 g ( s ，s ) ( s ，r p ) d 8 + o o 记集合 p = u e ：u ( t ) 0 ，0 ts1 ) ， k = u p ：u ( ) z l l u l l ，0 t 冬1 ) ， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 则p ，k 都是e 中的非负锥且k p 定义积分算子a ：尸_ e ，使得 ( a 让) ( ) = f 0 1 g ( ，5 ) ，( 5 ，u ( s ) ) d s ，【。，1 】 引理2 2 1 若条件( 凰) 一( 玩) 成立，则a ：( 丽q 口) nk k 是全连续 算子，其中0 a b 证明( 1 ) 先证a ：( 蕊q a ) nk _ e 是全连续算子 v u 而q 。) nk ，则 a u ( t ) l = 6 ，v t 【0 ，l 】 由条件( 凰) 一( 飓) 知t ( ，u ( t ) ) 九( t ，口) ，f 0 1g ( s ，s ) 危( s ，；3 ) d s + 。 从而有 f 0 1g ( s ，s ) 危( s ，仳( s ) ) ) d s + o 。 令 n ( ，o p ) = m i h ( t ，筇) ，n ) ， 则 h n ( t ，o p ) 一h ( t ，o p ) _ 0 _ ) 由l e b e s g u e 控制收敛定理得 ，1 l i m g ( s ，s ) ( 。( ，口卢) 一h ( t ，o p ) ) d s = 0 n - - * 0 0j o 令 厶( ，t ) = m i n f ( t ，u ) ，g ( t ，u ) + n ( t ，o p ) ) ， 易知厶c ( 【o ，1 】【0 ，+ ) ，【0 ，+ o o ) ) 定义积分算子a 。：p e ，使得 ( a 。u ) ( t ) = f 0 1g ( t ，s ) 厶( s ，u ( s ) ) d s ，( o ，l j 1 5 第二章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 由厶( z ，u ) 在【0 ，1 】【0 ，+ 。) 上的连续性及c ( t ，s ) 在【0 ，1 】【0 ，1 1 上的一致连续 性，通过a r z e l a - a s c o l i 定理知a 。是全连续算子，且 ，1 s u pj a 。让一a u i i s u p g ( s ，s ) ( ，( 5 ，u ( 5 ) ) 一厶( s ，u ( s ) ) ) d s u ( 玎b l o ) n ku ( 玎b 2 n ) n kj o ，1 s u p g ( s ，s ) ( ( s ，o 卢) ) 一九。( s ，d p ) ) d s “( i - 6 i n ) n kj o _ 0 ( 礼一o o ) 即全连续算子a 。在( 蕊q 。) n k 上致收敛到算子a ，从而a ：( - 6 q 。) n k e 是全连续算子 ( 2 ) 再证a ：( _ 6 q 。) nk k v u ( 蕊q 。) nk ，则 1，1 ( a t t ) o ) = g ，s ) f ( s ，u ( s ) ) d s p g ( s ，s ) f ( s ，u ( s ) ) d s = 卢l i a u i | ，o，0 即a u k ，从而a 映( q b q 。) nk 到k 结合( 1 ) ( 2 ) 知a ：( 瓦q 。) f 1k _ 啼k 是全连续算子 注结合引理2 2 1 ，边值问题( 2 1 1 ) 存在正解等价于a 在k 中有非零不动 点 引理2 2 2 设e 是一个实b a n a c h 空间，p 为e 中的个锥，q 为e 中 的有界开集，e 中的零元素口q ，算子a ：pnq _ p 全连续，则 ( i ) 若对v u p na q ，p 1 有a u 肛u ，则i ( a ，pnq ，尸) = 1 ； ( i i ) 若存在u 0 p p ) ，使得对v a 0 及u 尸na q ，恒有t 一a u g u 0 ， 则i ( a ，尸n q ，p ) = 0 2 3 主要结果 证明主要结果之前，先引入两个高度函数， 妒( r ) = m a x g c t ，钍) ：0st 1 ，r st r ) ； ( 2 3 1 ) 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 妒( r ) = m i n u ( t ，u ) ：r 651 一下，r t r ) ( 2 3 2 ) 其中7 为充分小的常数，使得7 - 7 7 ，1 7 - 7 7 为了方便起见，我们记 蚧) = z 1 g ( s i s ) 郴，嗍瓠( 2 3 3 ) 定理2 3 1 设存在两个正常数7 1 ， 2 ，r 1 7 2 ，使得下列条件之一成立 ( a o ) ( r 1 ) ( i 1 一西( r 1 ) ) 人l ，矽( r 2 ) r 2 a 2 ， ( a 1 ) 1 ；f i ( r 1 ) t 1 a 2 ，( 7 2 ) ( 7 2 一圣( r 2 ) ) a 1 其中 小( f lg ( s s ) d s ) 。= 掣， a 2 _ ( f - c ( 5 5 ) d s ) = 两， a 2 = (5 5 ) d s ) = f j 兰= b ， 一一、。， 则边值问题( 2 1 1 ) 至少有一个正解u + k ，使得7 1 l i - 0 1 1 1 7 第二章奇异二阶三点边值问题正解的存在性 又 a 咖o = z 0 1 g ( s ，s ) ，( s ，u 。( s ) ) d s g ( s ，s ) ( 9 ( s ，u o ( s ) + ( s ，u o ( s ) ) ) d s g ( s ，s ) 夕c s ，u 。( s ) ) d s + f 0 1g ( s ，s ) ( s ，r t p ) d s ( 旷嘶1 ) ) a - z 1 g ( s ，s ) d s + 附z ) = r l 一西