（运筹学与控制论专业论文）广义系统的鲁棒动态阶配置.pdf

r y 上 j j 、 at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s 删i l lrll,riiihll j + l ij+iiij l f + i i i i i y 1 8 4 0 6 8 1 。 r o b u s t d y n a m i c a l o r d e r a s s i g n m e n t f o r l i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m s b yz h uq i a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a n gq i n g l i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者躲珠凳 同 期：7 , , e - - o 彦夕罗 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 。 学位论文作者签名： 咪潜 签字日期：渺箩7 夕 新虢鳓是 签字日期：力邶孚7 夕 、 - i 东北大学硕士论文 摘要 广义系统的鲁棒动态阶配置 摘要 广义系统是一种比正常系统更具一般性的系统，更能适应描述实际系统的需要，也 为我们提供了更广阔的研究背景。近年来，很多系统与控制科学领域内的学者对广义系 统做了越来越多的研究，并且取得了很多有意义的结果。然而在大多数的文献中，研究 者都是利用比例状态反馈或比例输出反馈或动态输出反馈的方式进行控制器的设计，对 于导数反馈的应用还不多见。由于广义系统导数矩阵的特殊性，有些所要求的性能只通 过比例反馈是无法实现的，然而，在一定条件下，导数反馈却是可以实现的，这就显示 出了导数反馈控制的优势。本文主要通过导数反馈来研究广义系统的动态阶和鲁棒动念 阶配置问题。 首先，介绍了广义系统的研究背景、结构特征、发展现状及研究方法。研究了一些 广义系统导数反馈控制方面的问题，说明了应用导数反馈进行区域极点配置的方法。并 且介绍了广义系统的鲁棒稳定性、离散广义系统的稳定性和李雅普诺夫方程。 其次，应用导数反馈研究了广义系统动态阶配置问题。方法是通过改变系统的无穷 非动态模在一个容许的范围内来实现的。解决问题的办法是把广义系统的问题转化为一 个等价的状态空间的问题，应用比例反馈来使这个状态系统的零特征值有着预期的几何 重数。本文所获得的结论能够很好地处理广义系统的动态阶配置，后面的数值算例说明 了该方法的有效性。 最后，研究了不确定广义系统的动态阶配置问题。通过对广义系统的鲁棒稳定性分 析，把问题转化为等价系统的零特征值配置问题。通过与该等价系统对应的离散广义系 统的稳定性分析和零极点配置来实现广义系统的鲁棒动念阶配置并且举例子说明该方 法的有效性。 关键词：广义系统：导数反馈：动态阶；鲁棒稳定性：l y a p u n o v 方程 1 ， r o b u s t d y n a m i c a lo r d e r a s s i g n m e n tf o rl i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m s a bs t r a c t d e s c n p t o rs y s t e m sp r o v i d eu sam o r eg e n e r a ld e s c r i p t i o no fp h y s i c a ls y s t e 膦，a j l d 也i s d e s c r i p t l o ni so fg r e a ta d v a n t a g et h a nn o r m a l s y s t e m s c o n s e q u e n t l y 觚i dl h l d o u b t e d l y ， s m 则a rs y s t e m sh a v el e du si n t oav i r g i nl a n dw h i c hi sf u l lo f c h a l l e n g e sa n do p p o n u i l i t i e s k e c e n t l y ，m o r ea n dm o r es c i e n t i s t sa n de n g i n e e r sa r eb e c o m i n ga b s o r b e di nt h i sf i e l da n d t h e r e f o r e ，l o t so fm e a n i n g f u lr e s u l t sh a v eb e e nc o n c l u d e d h o w e v e r , t h ec o n t r o l l e r s a r e d e s l g i l e db a s e do np r o p o r t i o n a ls t a t ef e e d b a c k ，p r o p o r t i o n a lo u t p u tf e e d b a c ka n dd v n a l l l i c a l o u t p u tf e e d b a c k ，a n dt h e r ei sn o tm u c ha t t e n t i o nt ot h ec o n t r o l l e rd e s i g nb a s e do nd e r i v a t i v e f e e d b a c k b e c a u s eo ft h es p e c i a l i z a t i o no fd e r i v a t i v em a t r i xo fd e s c r i p t o r s y s t e m s ，s o m e p e r f o r m a n c e sc o u l dn o tb er e a l i z e db yp r o p o r t i o n a lf e e d b a c k ，b u ti t c o u l db er e a l i z e db v d e n v a t i v ef e e d b a c ku n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，w h i c h i m p l i e st h es u p e r i o r i t yo fd 嘶v a t i v e f e e d b a c k i nt h i sp a p e rw e i n v e s t i g a t e dt h ep r o b l e mo fd y n a m i c a lo r d e ra s s i g i u i l e n t 锄dr o b u s t d y n a m i c a lo r d e ra s s i g n m e n tb yd e r i v a t i v ei n p u tf e e d b a c ko f d e s c r i p t o rs y s t e m s 1 r s t l y ，t h eb a c k g r o u n d ，s t r u c t u r e ，d e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c hm e t h o d s o fd e s c r i p t o r s y s t e n l sa r ei n t r o d u c e d t h ep r o b l e mo fd e r i v a t i v ef e e d b a c kc o n t r o lo f d e s c r i p t o rs y s l e m si s s t u d i e d t h em e t h o do f r e g i o n a lp o l ep l a c e m e n tb yd e r i v a t i v ef e e d b a c kc o n t r o li s e x p l a i n e d a n dt h er o b u s ts t a b i l i t yo fs i n g u l a r s y s t e m s ，t h es t a b i l i t ya n dl y a p u n o ve q u a t i o no ft 1 1 e d i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sa r ei n t r o d u c e d s e c o n d l y ，t h ep r o b l e mo ft h ed y n a m i c a lo r d e ra s s i g n m e n to ft h e s i n g u l a rs y s t e m si s s t u d i e db yd e r i v a t i v ef e e d b a c kc o n t r 0 1 t h e a p p r o a c hi sb a s e do na na b i l i t yt oa d i u s tt l l e n 啪b e ro f1 n f i n i l e n o n d y n a m i c a lm o d e so ft h es y s t e mw i t h i nap e r m i s s i b l e 瑚g e t h e s o l u t i o ni so b t a i n e db yi m b e d d i n gt h ed e s c r i p t o r s p a c ep r o b l e mi n a ne q u i v a l e n ts t a t e s p a c e p r o b l e mw h e r eaz e r oe i g e n v a l u ew i t ha p r e s c r i b e dg e o m e t r i cm u l t i p l i c i t yi sa s s i g n e dt ol i n e a r s t a l es y s t e mb yp r o p o r t i o n a lf e e d b a c kc o n t r 0 1 t h ec o n c l u s i o ni nt h i s p a p e rc a i lh a n d l et l l e d y n a m i c a lo r d e ra s s i g n m e n to ft h es i n g u l a rs y s t e m f i n a l l y ，a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l i u s t r a t e t h ev a l i d i t yo fo u rm e t h o d a tl a s t ，t h ep r o b l e mo fd y n a m i c a lo r d e ra s s i g n m e n to f t h eu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e mi s h v e s t i g a t e d t h r o u g ht h er o b u s ts t a b i l i z a t i 。no fs i n g u l a rs y s t e m sb e j n gi n v e s t i g a t e d ，t h e p r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t o t h ez e r oe i g e n v a l u ea s s i g n m e n to ft h e e q u i v a l e n ta u g m e n t e d s y s t e m t h er o b u s td y n a m i c a lo r d e ra s s i g n m e n ti si m p l e m e l l t e db yt h es t a b i l i t ya n dl y a p u n o v i i i e q u a t i o no f t h ec o r r e s p o n d i n gd i s c r e t es y s t e m f i n a l l y ，a l le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h e v a l i d i t yo fo u rm e t h o d k e yw o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m s ；d e r i v a t i v e f e e d b a c kc o n t r o l ；d y n a m i c a lo r d e r ；r o b u s t s t a b i l i z a t i o n ；l y a p u n o ve q u a t i o n 一一 ， 东北大学硕士论文 目录 目录 独创性声明1 摘要i i a b s t r a c t i i i 目录v 第l 章绪论1 1 1 广义系统的研究背景：1 1 2 广义系统的结构特征1 1 3 广义系统在实际中的应用一3 1 4 广义系统的研究方法4 1 5 广义系统的研究现状7 1 6 本文的主要工作1o 第2 章预备知识1 3 2 1 广义系统的基本知识13 2 2 广义系统的导数反馈1 4 2 2 1 广义系统导数反馈的发展现状1 4 2 2 2 导数反馈的分类15 2 2 3 广义系统导数反馈的区域极点配置1 6 2 3 广义系统的鲁棒稳定性1 9 2 4 离散广义系统的稳定性和李雅普诺夫方程2 1 第3 章广义系统的动态阶配置2 3 3 1 引言2 3 3 2 相关预备知识2 4 3 3 问题的等价描述2 5 3 4 问题的解决方法2 6 3 5 数值算例3 3 3 6 广义系统动态阶配置的多项式方法3 5 3 7 本章小结3 8 第4 章广义系统的鲁棒动念阶配置3 9 一v 一 查! ! 奎兰堡主笙查 目录 一一一 ： 4 1 引言：3 9 4 2 问题的描述3 9 4 3 系统的鲁棒动念阶配置4 0 4 4 离散系统的零特征值配置4 4 4 5 数值算例，4 7 4 6 本章小结4 9 第5 章总结与展望5 1 参考文献j 5 3 致谢_ 5 9 一v i 东北大学硕士论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 广义系统的研究背景 广义系统是一类更一般化，并有着广泛应用背景的动力系统，大量的出现在许多实 、 际的系统模型中，例如，工程领域中的电子电路网络、电力系统、空间工程和化工，以 及社会系统、经济系统、生物系统、网络分析和时间序列分析等等。广义系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支。1 9 7 4 年，英 国学者i 沁s e n b r o c k 【1 1 在研究复杂电路网络系统的过程中，首次提出广义系统的概念。广 义系统的提出，使得我们能够用比状念空间系统更一般的形式来描述真实的系统模型。 1 9 8 9 年，d a il y 系统的总结了很多研究人员及他本人的研究成果，出版了 s i n g u l a r c o n t r o ls y s t e m s ) ) 【2 j 一书，详细介绍了广义系统的基本理论，从而将广义系统的理论研 究推向了一个崭新的发展阶段。经过十多年的发展，广义系统理论取得了丰硕的成果， 涉及到了从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞到时滞，从 线性二次型最优控制到皿和比等各个专题。 1 2 广义系统的结构特征 随着现代控制理论研究的同趋深入，以及向其他学科等应用领域的渗透，人们发现 1 了一类更具广泛形式的系统，称为广义系统。广义系统在许多文献中又称为奇异系统 ( s i n g u l a rs y s t e m s ) ，描述系统( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) ，隐式系统( i i l l p l i c i ts y s t e m s ) ，广义 状态空间系统( g e n e r a l i z e as t a t e s p a c es y s t e m s ) ，半状态系统( s e m i s t a l es y s t e m s ) 及微分 代数系统( d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i cs y s t e m s , ) 等等，一般用微分代数方程描述为 e ( x ，f ) 文- - f ( x ，材，f ) j ，：g ( 石，甜，) ( 1 1 ) _ ， lo ，” ， 1 其中x 、“和f 分别表示状态变量、输入变量和时间变量，厂( z ，材，f ) 和g ( x ，材，f ) 是x 、“和 ，的向量函数；而e ( z ，) r 删”。当r a n k e ( x ，t y 】_ 刀时，通过适当的数学运算，系统( 1 1 ) 可化成正常系统，即 j ，y 童篡u 皇 2 ， = g ( x ，r ) 、。 当r a n k e l = r 船时，称系统( 1 1 ) 为广义系统【2 l 。 特别地，线性时不变广义系统通常表示为 一1 一 7 东北大学硕士论文第1 章绪论 戤= a x ( ) + 踟) ( 1 3 ) 夕( ，) = c x ( t ) 、7 这里e ，a ，b 和c 为具有适当维数的实常数矩阵。为确保广义系统( 1 1 ) 对给定的允许 初始状态有唯一解，总假定广义系统( 1 1 ) 是正则的，即矩阵( s e a ) 的行列式不恒等于 零。上述广义系统表示连续时不变广义系统。 相应地，定义在无穷区间上的线性时不变离散广义系统表示为： e x ( t + 1 ) = 血( f ) + b u ( t ) 州：c x ( t ) f ：0 ，l ， ( 1 4 ) 其中x ( f ) 、”( f ) 和y ( ，) 依次为t 时刻的刀- 维状态、m 一维输入和，一维输出。 广义系统和正常系统相比，既存在内在的联系又有着本质的区别。如果上述各式中 的e 变化为单位矩阵，即e = i ，则广义系统变化为标准的正常系统模型，因此说广义 系统是e 常系统的推广，是比正常系统更具有广泛意义的系统。它还具有很多独有的特 点，具体表现为： ( 1 ) 广义系统( 1 1 ) 的解通常不仅含有正常系统所具有的指数解( 对应于有穷极点) ， 而且还含有正常系统解中所没有的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ，以及输入的导数 项。如果考虑离散广义系统( 1 4 ) ，则解中不仅需要k 时刻以前的信息，还需要k 时刻以 后的信息，即离散广义系统一般不再具有传统的因果性。 ( 2 ) j 下常系统有甩个自由度，而广义系统有r a n k e 】个自由度。 ( 3 ) 正常系统的动态阶为刀( 等于系统的维数) ，而广义系统的动态阶在数值上等于 导数矩阵的秩。 ， ( 4 ) 正常系统的传递函数是严格真的，而广义系统的传递函数不仅包含真有理分式 矩阵，有可能还含有次数大于1 的多项式矩阵。 ( 5 ) 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一，但广义系统的齐次初值问题却可能 是不相容的，即可能不存在解；即使存在也可能不唯一。 ( 6 ) 广义系统的数学模型具有层次性，不仅含有动态方程( 微分或差分方程) ，还具 有静态方程( 代数方程) ，而正常系统没有静态特性。 ( 7 ) 广义系统的极点除g = d e g d e t ( s e - a ) 个有穷极点外，还有f 常系统没有的 ，l g 个无穷极点( 以为系统维数) ，这些无穷极点又包含了脉冲模和静态模。 ( 8 ) 在系统结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。 广义系统的这些特点反映了它比正常系统在结构上变得复杂而更富于新颖性，在理 一2 一 东北大学硕士论文第1 章绪论 论研究上变得困难而更具挑战性。因此，受到国内外数学界、工程界、化学界和经济界 等很多学者的重视和研究。 1 3 广义系统在实际中的应用 二十多年来，人们已经发现很多实际问题中存在着广义系统的形式，如在电路网络， 电力系统，航空工程，化工过程，核反应，神经网络，受限机器人和机械钟的接触或限 制问题等工程系统，以及社会系统( 如决策理论) ，经济系统( 如多部门经济的动态投入 产出模型) 和生物系统，石油和通讯等领域有广泛的应用。下面的实例从几个侧面反映 了广义系统在当代科学技术中的应用背景。 例1 1 t 4 jh o p f i e l d 神经网络模型的输入包括两部分，一部分是模型的外部输入，另 一部分是神经元输出信号的加权和，表示为 c l0 0o oo 0o oo oo o 0 0 o x2 一9 1 0 0 一形 0，oo 0 一1 0 o0o， o g ( 五) - - i b 一厂( 而) + 骂 0 0 o 夕= 【o j0 o 】x ，x7 = # t 其中，彬和是两个加权矩阵：f ( x 3 ) 和g ( x 。) 是非线性函数，这是一个非线性广义系 统模型。 例1 2 【4 】一个简单的电子网络模型为 三o 0 0 o o o o 0 o 0 0 o o o o ，( ，) v l ( t ) k ) o ) o1o o 以000 乙 一ro o1 011l ，( ，) 圪( ，) 圪0 ) ( f ) + 0 0 o - 1 珞( ，) 其中，电源v , ( t t 是控制输入，r ，和c 分别是电阻，电感和电容，它们相应的电压分 别用吆( f ) ，圪( f ) 和圪( f ) 表示，j ( f ) 表示电流。这是一个连续广义系统模型。如果我们 把电容的量测电压作为输出，则会得到输出方程 y ( ，) = q ( ，) - - o 01 o 】x ( ，) 例1 3 1 2 1 单机多产品批量调度中的时间平衡方程可以表示为 一3 一 东北大学硕士论文第1 章绪论 o o o0 0 10o0o llo 0 1l1o x ( t + 1 ) = 碣，一1 1 1一1 0 以一1 一l一1 1 00 氏1 一1 000 吃， x ( r ) 十l _ 1i r o 其中，以表示单位的f 种产品在一个循环生产周期中平均的满足市场需求的时间；x ( f ) 中 分量表示循环生产中的产量，也表示生产时间；表示生产准备时间总和，这是一个离 散广义系统模型。 例1 4 【3 j 熟知的l e o n t i e f 动态投入产出模型表示为 x ( f ) = 血( f ) + b 【x ( f + 1 ) 一x ( f ) 】+ w o ) + d ( f ) 其中，彳为消耗系数矩阵，刀为投资系数矩阵，均具有相应的阶数；z ( ，) 为，时刻的产 量：w ( f ) + d ( t ) 为r 时刻的最终产品量，其中d ( f ) 为确定性的，被称为计划中的最终消费， w ( r ) 为市场波动对消费的影响。在多部门的经济系统中，当各部分之间不存在投资时， 在b 中对应的行为零，从而知b 不满秩。这是一个不确定性的离散广义系统模型。 例1 5 【4 】神经网络系统 毫= 口j ( 誓地( ) 一圭k = l 坛筹旦力】) f ，。 。= 吼( x l ) 吼( ) 一喜毒粤盟力伸，】 其中，毛，气为第f 个神经元的状态，i = 1 ，2 ，r i ；q 为对应神经细胞相关生存期标度； 包( ) 为对应接受力和时延，也可能包括细胞的自我反馈；s ( ) 为神经元的输入；为网 络的连接权； ，厶，l 为 1 ，2 ，r e + n 的个无序子集。此例是典型的广义大系统。 广义系统模型存在于社会生产的诸多领域中，以上实例从其中的几个侧面反映了广 义系统在当代科学技术中的应用，因此，广义系统理论的研究具有深远的实际意义。 1 4 广义系统的研究方法 广义系统理论的研究思路大多是参照已有的币常系统理论向广义系统推广，其研究 方法主要是几何方法、频域方法和状态空间方法。 几何方法是将广义系统化为状态空问中的几何问题进行研究。它的优点是对系统结 构有着独到的刻画，例如：广义系统的能控性结构、能控性子空间以及不变子空间的刻 画等。而且，几何方法简洁明了，避免了状态空间方法中大量繁杂的矩阵推导运算，且 一4 一 东北大学硕士论文第1 章绪论 产生的结果都可以化为矩阵运算。其缺点是对系统鲁棒性问题的分析显得无能为力。 多变量频域方法( 简称频域方法) ，是对状态空间描述的广义系统采用频率域的系统 描述和频率域的计算方法进行研究。频域方法具有物理直观性强、便于设计调节等优点。 状态空间方法( 又称时域方法) ，是对状态空间描述的广义系统主要采用矩阵运算和 矩阵变换的计算方法，直接对时域系统进行研究，是广义系统理论中最常用的方法。状 态空问方法所刻画问题的方