（运筹学与控制论专业论文）最优控制的若干问题及其在金融数学中的应用.pdf

摘要 摘要 随着社会经济活动的日益丰富，生产和科学技术的深入发展，随机最优控 制作为控制理论的一个重要分支，已渗透到各个领域。掌握随机控制理论的基 础知识，学会用。随机”的观点分析和解决现实问题，正在逐步成为众多科技 工作者必备的知识素质。金融数学，就是一门运用随机分析，随机最优控制等 方法解决金融问题的新兴学科。 现代证券组合投资理论一直是世界各国经济学家倾力关注的一个重要理论 研究前沿在金融市场上，传统的投资方式主要包括债券投资和股票投资等。 其中，债券投资具有投资风险低的优势，但其回报率也比较低；相反，股票投 资收益商但风险大。为了降低风险，同时又提高收益，投资者可以将其资产按 一定的比例分配投资到不同的市场，如一部分投资股票，一部分投资债券本 文利用最优控制方法解决组合投资坶题。 本文共分四个章节 本文的第一章，主要介绍了最优投资组合问题的一些背景资料同时提出 了本文所要研究的一类最优投资组合问题。 本文第二章试图将这个随机的金融模型转换为一个随机最优控制问题，在 投资决策过程集合中用粘性解的方法找最优投资决策过程得到的静态最优投 资决策过程能按现有的市场信息作出比较可靠的远期计划。 而第三章则利用经典的反馈解法，待定值函数，通过解h 4 - b 方程得到随机 的最优决策过程和连续的最优值函数。我们得到的最优投资决策过程是具有随 机性的，能对随机变化的财富状态作出及时的反应。 本文的第四章与前三章是相对独立的。这一章主要研究了另一个最优控制 问题，即b e h a v i o r a l 方式下的动态系统的线性二次最优控制问题。其中一类具有 半正定二次有穷和评价函数的问题可改写为半正定二次规划。而我们设计的算 法能够用线性规划来解这个半正定二次规划，从而得到线性二次最优控制问题 的最优轨道和最优值。 关键词：最优控制，最优投资组合，投资决策过程，财富过程，粘性解，反馈， 动态系统，线性规划，线性二次最优控制 i w i t ht h eg r o w i n go fe c o n o m i ca c t i v i t i e sa n dt h ed e v e l o p m e n to fs e i e n e ca n d t e e l m o l o g y , a s 锄i m p o r t a n tb r a n e l ao fc o n t r o lt h e o r y , s t o c l a a s t i eo p t i m a lc o n t r o lh 勰 p c n c t r a t e x li n t ov a r i o u sf i e l d s g r a s p i n gt h eb a s i cl m o w l e d g co fs t o c h a s t i cc o n t r o l t h e o r ya n du s i n gt h e 。s t o c h a s t i c p e r s p e c t i v et oa n a l y z ea n d s o l v ep r a c t i c a lp r o b l e m s , i sg r a a u a l l yb e c o m i n ga ni n d i s p c m a b l ei m o w l e d g cq u a l i t yo fs e i c n t i f i ew o r k e r s f m a n c i a lm a t h e m a t i c si san c wd i s e i p l i n ct os o l v ef i n a n c i a lp r o b l e m sb yt l a c a p p l i c a t i o no f s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o la n ds t o c h a s t i ca n a l y s i s m o d e mp o r t f o l i ot h e o r yh a sb c c nak e yc o n c e r t io ft h ee c o n o m i s t si nt h ew o r l d u p o nt h e o r e t i c a lr e s e a r c l li nt h ef i n a l a c i a lm a r k e t , t h et r a d i t i o n a li n v e s t m e n ti n c l t t c l c s s t o c k sa n db o n d s t h ei n v e s t m c l a ti nb o u n d si so lb o t ht l a ca d v a n t a g eo fl o w i n v e s t m e n tr i s ka n dar e l a t i v e l yl o wr a t eo fr e t u r n i nc o n t r a s t , t h ei n v e s t m e n t 缸 s t o c k si so fh i g hr i s ka n dh i g h 把t i l i n t or e a u e ct l a er i s k sa n di m p r o v cr e t m l a s , i n v e s t o r sw i l la l l o e a t ca s s e t si nv a r i o u sm a r k e t s , s u e l aa sp a r to ft h es t o c km a r k e ta n d p a r to fi n v e s t m e n tb o n d s i nt h i st h e s i s ， w es t u d yt h i sp o r t f o l i op r o b l e mi , yo p t i m a l c o n t r o lt h e o r y t h ct h e s i si so ff o u rc h a p t e r s w ei n t r o d t t c cs o i n c ：b a c k g r o u n di n f o r m a t i o na b o u to p t i m a lp o r t f o l i oi nc l 谊p t e r1 a l s ow c p u tf o r w a r d t h ep r o b l e mw cr e s e a r c hi no p t i m a lp o r t f o l i o w tc o n v e r tas t o c h a s t i cf l l l a n c cm o d e lt oac o i l f i l l mc o n t r o lp r o b l e mi nc h a p t e r3 a n df i n dt h eo p t i m a lp o r t f o l i op r o c e s si nt h es c to ft h ec o n f i r mp o r t f o l i op r o e 嘟b y u s i n gt l a cm e t h o do fw o r k i n gv i s c o s i t ys o l u t i o n t h es t a t i co p t i m a lp o r t f o l i op r o c e s s w eo b t a i nc a nb eu s e dt of o r e c a s tt h em a r k e tb yt h ei n f o r m a t i o nw ch a v en o w t h e 啪 伽o p e r a t et h et r a d eb yt h ep o r t f o l i op r o c e s si nar e l a t i v e l ys h o r tt i m e w e1 1 5 1 eat z a d i t i o n a lf e e d b a c kr e c a l l st ow o r ko u tt h ep r o b l e mi nc h a p t e r3 w e s o l v et h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mi n s i d et h eh j & e q u a t i o nt oo b t a i nt l a cs t o c h a s t i c o p t i m a lp o r t f o l i op r o c e s sa n d t h ec o n t i n u o u so p t i m a lv a l u ef u n c t i o nd e p e n d i n go l t lt h c y e tu n k n o w nv a l u ef u n c t i o n t h eo p t i m a lp o r t f o l i op r o c e s sw c o b t a i ni ss t o c h a s t i c , i t i i c a nb ec h a n g e dc o r r e s p o n dt ot h es t o c h a s t i cc h a n g eo ft h ew e a l t hp r o c e s sa ta n yt i m e c h a p t e r4i sj n d c p e n d e n to ft h eo t h e rt h r e ec h a p t e r so ft h et h e s i s w er e s e a r c h a n o t h e ro p t i m a l n t r o lp r o b l e mi nt h i sc h a p t e r t h a ti st os a y , w es t u d ya l i n e a r - q u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o rt h ed y n a m i cs y s l e m s j nt h eb e h a v i o r a l s e t t i n g ak i n dp r o b l e mo fp o s i t i v e - s e m i d e f i n i t eq u a d r a t i cc o s tf u n c t i o ni nt h es y s t e m c a nc o n v e r tt oal i n e , a t - q u a d r a t i co p t i m i z a t i o n t h e nw ec a n u s e al i n e a rp r o g r a mt o w o r ko u tt h el i n e a r - q u a d r a t i co p t i m i z a t i o n , a n do b t a i nt h eo p t i m a it r a j e c t o r ya n dt h e o p t i m a lv a l u eo ft h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l , o p t i m a lp o r t f o l i o , p o r t f o l i op r o c e s s , w e a l t hp l o 蟠， v i s c o s i t ys o l u t i o n , f e e d b a c k d y n a m i cs y s t e m s , l i n e a rp r o g r a m ， l i n e a r - q u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o l i i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：于落注 二彩7 年弓月t 多e t 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：下零、查、 加旬年岁月 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 第1 章一个最优投资组合问题 1 1 本文背景介绍 控制论是在2 0 世纪初形成和发展起来的新兴学科，其影响和应用已经遍及 众多的领域，贯穿其中的许多思想和方法已用于各种经济和社会现象的研究 随着社会经济活动的日益丰富，生产和科学技术的不断发展，随机最优控制作 为控制理论的一个重要分支，已渗透到各个领域，如金融分析、信号和信息处 理、模式识别、系统工程、计算机应用和控制等方向因此掌握随机控制理论 的基础知识，学会用。随机”的观点分析和解决现实问题，正在逐步成为众多 科技工作者必备的知识素质。同时，数字计算机的出现使得大量的计算变得简 捷、快速和可能，也使最优控制理论的研究和应用得到了长足的进步与发展。 如今，利用数学工具来研究金融问题，也成为众多科学工作者的研究方向。 金融数学，就是一门运用随机分析，随机最优控制等方法解决金融问题的新兴 学科它是现代数学与计算技术在金融领域中的应用，其发展迅速，是目前十 分活跃的前沿学科之一 ， 本文研究的是金融市场的一类投资组合问题在金融市场上，传统的投资 方式主要包括债券投资和股票投资等其中，债券投资具有投资风险低的优势， 但其回报率也比较低；相反，股票投资收益高但风险大。为了降低风险，同时 又提高收益，投资者可以将其资产按一定的比例分配投资到不同的市场，如一 部分投资股票，一部分投资债券。近些年来出现的基金，基本上就属于此类投 资方式。成熟的资本市场的经验表明，基金通过组合投资的方式运作，以减少 或避免投资风险，同时由于基金的投资方式以国债、股票为主，从而使其具有 较好的安全性、较强的流动性和较高的收益性投资基金经营稳定，收益可观， 一般来说，基金风险比股票低，收益比债券高，显示了很强的发展势头 二次世界大战后投资组合理论在美国得到迅速发展，可以说这是金融理论 在2 0 世纪8 0 年代初得到的突破性进展任何投资者都希望投资获得最大收益， 但较高的收益往往伴随着较大的风险。为了分散风险和减少风险，传统的证券 投资组合管理靠非数量化投资分析方法来选择证券，构建和调整证券组合，但 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 由于其分析方法和分析工具较为落后，主观性强，经验成分多，因此在应用中 的效果往往不合人意。这一理论直至2 0 世纪8 0 年代初才基本形成它完整严密 的科学体系。t 曲i n 园在创立这一理论的基础方面做出贡献而获1 9 8 1 年诺贝尔 经济学奖，而妇l r k o w i t z 则因使该理论发展成系统严格且实用的科学体系方面 做出贡献而获得1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖。2 0 世纪5 0 年代，m a r k o w i t z 1 4 、 1 5 和t o b i n 9 、 1 0 利用预期值和方差两种统计概念发展出在不确定经济情况下 完整的资本资产选择模型。标志着现代投资组合理论的问世，这是第一次运用 数理统计方法定量分析证券投资组合，带来了分析方法和分析工具的重大变革 之后，许多研究者对这种函数关系做了实证分析，并对预测的方法做了许多讨 论 近年来，最优投资组合问题的研究在国内外都得到了广泛的关注目前的 研究方法主要有随机控制的方法和鞅的方法 r o b e r tm e r t o n 2 3 、 2 4 、 2 5 3 、 2 6 提出的连续时间的最优投资模型， 主要是借助标准的方法和随机控制的相关理论，求解一些特殊的问题，其实质 是最终将问题转化为求解动态系统的h a m i l t o l r - j a c c o b i - - - b e l l a n n 方程。由于 实际问题往往涉及到求解复杂的非线性微分方程，很难找到确定的解，现有的 数值方法也没能很好解决这个问题。尽管此类方法在具体实施上尚存在一些局 限性，它在金融领域仍然得到了广泛的应用。 随着随机微积分在金融领域的深入应用，k a r a t z a se 扎 3 4 、 3 8 、c o x 4 9 和h u a n g 3 、提出了一个更完美的方法一鞅的方法这个方法的主要思想是 将最优投资问题转化为一个静态最优化问题( 即寻找投资者最优的终端财富和 最优消费过程) 和一个表示问题( 即确定相应的投资策略) 与随机控制的方法 不同，鞅的方法主要基于随机微积分和凸优化的相关理论。随后r a l fk o r n 1 发展了此类方法，提出了一套比较完整的理论，并将其用到了实际的金融投资 闯题k o r n 的理论大多建立在完全市场模型的假设条件下，因此具有一定的局 限性所谓完全市场模型是指，股票的数量布朗运动的维数一致，这样我们的 市场模型才是有意义的 1 2 一个最优投资组合问题 我们考虑一个无摩擦市场的最优投资组合问题。所谓无摩擦市场是指资产 2 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 市场无任何交易成本、税收，无卖空限制( 如无保证金要求) ，资产数量单位可 细分。假设投资者在t 一0 时拥有的资金量为五金融市场中有d 份风险资产( 如 股票和风险债券) 和一份无风险的资产( 如储蓄存款账户) 由于市场中的不确定 性因素的大量存在，风险资产价格的变化是随机的，所有的随机过程放在一个 概率空间( q ，p ) 中，考察时间范围为 o r 】 在文献 4 中，r a l fk o r n 定义了m 维布朗运动( 形( f ) ，e ) | 。设储蓄存款账 户口( f ) 服从微分方程 扭( f ) 一曰( f ) r ( f ， ( 1 1 ) 其中，( f ) 是无风险利率过程。假设其余的d 份风险资产的价格号( f ) 满足i t o 过 程，且具有如下形式的随机微分方程 珊：o ) 一号( f ) 【肛( f ) 出+ q ( f ) d 矽( f ) 】， ( 1 2 ) 其中只( o ) 一a o ，鸬( ) 是d 维股票升值率向量( ) 的第f 个分量，q ( f ) 是d x m 维扩散矩阵盯( f ) 的第嘶亍 如果我们考虑自融资最优投资过程，用一个多重投资决策过程 石- ( 吗，呢，乃) 来建立模型，其中珥( f ) ，i - 1 ，乏，d 表示f 时刻投资在第f 个项 目上的资金占总资金的百分比。则在 4 中，财富方程可由如下随机微分方程来 描述： 扭( r ) 一x ( 邮石o ) ) r ( ( r ) 一r ) + r ( f ) ) 出+ ( 万( r ) ) r 仃( r 炒( r ) 】，( 1 3 ) 其中x ( o ) - x o ( a ( t ) 指数上的r 表示向量的转置，区别于表示时间的t ) 巧( f ) o 代表买入( 或称作多) ，嘎( f ) s o 表示卖出( 或称作空) ，这个随机微分 方程可以看作是一个以投资决策过程石( ) 为控制函数的随机控制系统若一个 投资决策过程石( ) 使投资者财富x 。( f ) 2o ，v o t s f ，则称玎( ) 允许的。所有允 许投资组合决策过程的集合记为4 ( x ) 投资者的目的是在集合爿( x ) 中选择最 优投资组合。 3 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 作为一个特例，现在我们考虑d - 1 时的情况。这时投资者可以将其资产分 成两个部分，一部分放到一个储蓄存款账户中，另一部分用以购买一个到期时 闻为t ，0 的风险债券。而石和) 为购买风险债券的资金占总资金的百分比。在【4 中，这个债券投资组合问题可用下述微分方程来刻画； d x ( t ) - z ( f ) 仁( f ) ( f ) + ( 1 一硝( f ) ) r ( f ) ) 出+ 石( f p ( f ) d ( f ) 1 。 ( 1 4 ) 连续时间的投资组合问题一般包括在交易时间区间 o ，r 】上的消费或终端财 富z 口) 的最大整体期望效用当然本文使用金融模型( 1 4 ) 是不考虑消费的。 在文献 1 中，r a l fk o r n 定义了一类效用函数为：一个函数u ：( o ，* ) 一r 使得 u e c l 是严格凹的，且满足 u ( o ) 一船u o ) ，0 ，c ，o ) - o z 0 * ) ( 1 5 ) 我们现在考虑与目标值最小偏差问题。假设投资者的目的是在集合，t ( x ) 中 选择最优投资组合使锝最终财富与某个预先设定的值尽量接近，即投资者是风 险厌恶型的，希望能够尽量使财富保值。我们所要选取的效用函数必须满足效 用函数的定义( 1 5 ) 考虑如下二次效用函数。 ，0 ) 一一去( 工一k ) 2 ，v k 0 ， ( 1 6 ) 其中k ，0 是一个给定的约束，；即目标值。于是得到最优化问题为 曲暑e 仁。( 丁) 一x ) 2 ( 1 7 ) d 扭l 、 、7 ， 它等同于无约束投资组合问题 嚣l e ( u ( x ( r ) ) ) ( 1 8 ) 也就是说，现在我们要考虑如下的最优投资组合问题： 廊) 去e ( z ( r ) 一k ) 2 蠲5 ( t ) - x 。( f ) f ( 石( f ) ；( 加( f ) + ，( f ) + 石o ) 盯( f ) d ( f ) 】， ( 1 9 ) 工。( o ) - x o 0 其中p ( f ) - ，( f ) + ；( f ) 盯( f ) 在r a l fk o r n 的书( 1 中，介绍了如何利用鞅的方法去解这个问题。鞅的方 法的主要思想是将动态的投资组合问题( 1 9 ) 分解为一个静态最优化问题 4 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 篙 b p i b ! 蝴棚帅班叫e ( u ( b ) - 卜 n 口( z ) - 2o ，口为e 一可测，e ( r ) 口) z ， l m 找一个投资决策过程石e a ( j ) 工“。( t ) - b ( 1 1 1 ) m ，卡譬秽d ， n 蚴 其中函数，：【0 【，( o ) 】一 0 ，z 】为，的导函数( 单减的函数) 的连续的反函数 ，璎楚，( y ，万) ， ( 1 1 3 ) j d i ，h 7 定义函数z 为问题( 1 1 3 ) 的最优终端财富状态， 石( y ) 一e ( 圩( r ) ，( ) 啊( r ) ) ) ，0 ， ( 1 1 4 ) 嘶) e x p ( 颔小) 譬1 硌) ) 出卡挪) n 鳓 勰z ( ( r ) 一定) 2 ， “1 6 ) 1 当磊艇( 日口) ) 时，最优的终端财富状态为b - k ，这时石+ ( f ) - o ， v f 0 ，r 】，即从f - o 多j t - t 时刻始终将资金投入无风险资产。 2 当五t 肛( 日( 丁) ) 时，我们通过求非线性方程x ( ) ，) - 蜀得到y ( 毛) - 而 5 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 砘肛【笔掣】 一y ? ( ( - ，驴+ 口2 ) r ) 妒 ：掣 1 3 本文所研究的问题 ( 1 1 7 ) 本文的第一、二、三章主要是针对文献 4 中，r a l fk o r n 介绍的金融模型 ( 1 4 ) 而展开的主要是为了研究解决文献 1 中的最优投资组合问题( 1 9 ) 的其他方法 在0 p t i 陋1p o r t f o l i o s 一书 1 中，r a l fk o r n 介绍了如何利用鞍的方法， 求解完全市场模型下的最优消费过程。虽然在理论上解决了该类问题，但是在 实际中涉及到求解反函数等的计算，尤其当函数形式非常复杂的时候，计算量 很大，因而很难直接求出问题的解。我们也可以看到，就对于问题( 1 9 ) 而言， r a l f k o r n 介绍的鞅的方法，当kt 珏( h 口) ) 时得到的解异常复杂，涉及到 正态分布的概率密度函数的求解，反函数的求解等。而且很难通过这个复杂的 解( 状态) 来得到最终我们想要的最优的投资决策过程。 本文的第一章，主要介绍了最优投资组合问题的一些背景资料同时提出 了本文所要研究的一类最优投资组合问题。 本文第二章试图将这个随机的金融模型( 1 9 ) 转换为一个确定性的控制问 题，即在确定性的投资决策过程集合中寻找最优投资决策过程。利用粘性解的 理论，作差分计算，得到关于离散的最优值的方程组。并通过s m i t h s 迭代方法， 计算得到最优值。得到的静态最优投资决策过程能对现有的市场信息作出比较 可靠的远期计划。因此在这段短时期内可以按照既定的投资决策过程执行交易 操作。 而第三章则利用经典的反馈解法，待定值函数，通过解h j b 方程得到随 机的最优决策过程和连续的最优值函数。并对第二、三章的两种方法作了比较。 在这一章，我们得到的最优投资决策过程是具有随机性的，能对随机变化的财 富状态作出的及时反应。 6 第1 章一个最优投资组合问题的数值解法 本文的第四章与前三章是相对独立的。这一章主要研究了另一个最优控制 问题，b e h a v i o r a l 5 5 方式下的动态系统的线性二次最优控制问题。其中一类具 有半正定二次有穷和评价函数的问题可改写为半正定二次规划而我们设计的 算法能够用线性规划来解这个半正定二次规划，从而得到线性二次最优控制问 题的最优轨道和最优值。 7 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 对于最优投资组合问题( 1 9 ) ，一方面我们很难解出连续型的最优值函数 和连续型的最优投资决策过程。同时，我们也没必要一定得到一个连续的最优 投资决策过程。在现实世界中，我们的投资决策过程并不总是连续的。我们不 可能每时每刻根据市场信息和我们预先所设想的来调整我们的投资策略。一般 情况下我们会在每个投资周期调整一下我们的投资决策过程，如在每个交易日 调整一下我们的投资决策过程，使得我们最终得到预期的投资回报这样我们 希望有一个离散的投资决策过程，在本章中我们试图利用粘性解逼近的方法， 作差分计算，运用数值的方法得到最优的离散投资决策过程。 2 1最优投资组合问题的转化 在文献【2 中有一个很有用的引理，即对于我1 仃上文所提到的最优投资组合 问题( 1 9 ) 的投资组合财富过程模型( 1 4 ) 蹯。( t ) - x 。( f ) 【( 石( f ) 参( r ) 盯( r ) + r ( f ) ) 出+ 耳( 咖( f ) d 矽( f ) 】 对任意时刻f l ，t 2 ，o 气c f 2c r ，当投资决策过程石( f ) 为确定性函数时，有 e ( x 。o ：) ) 7 一e ( z 。“) ) r - e f ( 工“) ) ，( 矿一1 碍， ( 2 1 ) 其中 越。弘如垮咖+ ，( s ) ) 7 1n ，) 叫咖2 卜 o 】，矿( 左2 , j - w l ) ，矿( 一喵) = o ，矿( 嵋u 一) o 、， l ，矿( 一) 如 ， 曲 沁 如 噍 噍 一 一 一 u u u 吃 吒 哌 妒 铲 妒 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 力。j 一 - s i 印( ( 嵋川一嵋门) ；。矿) 4 亭。缸仍( ，) + ；。( 嵋m 一吃小。) i 1 磊瓦矿一 ，o - w 3 ( j ) = o ，矿们( j ) o 捌弘( 一竺兰垫号；掣】，矿们( ，) 如咧弘l - 1 万志砑_ l 矿w 3 u j o 】，矿( 嵋州( 1 ) ) 卸 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 茜。- 一s i 伊( ( 嵋二一w 2 f m ) ) # 。i f , ) 4 毒。w 3 ( 1 ) + 亭。( 嵋j 一砣似) ) 。 一石丽矿一0 埘 ，。o w 3 ( 1 ) = 0 ，矿w 3 ( 1 ) o 一蛔( _ 型蜊铲剑) 一如 v v i i i 当i - 1 ，- m 时 也- v a x 当i - m ，j - m 时 也- - s i g n ( w 4 ( m ) ；。矿) 2 耋。w 2 ( m ) + ；讲( m ) i 一1 瓦丽矿i - 埘 ，矿( 爱| r - w l ( m ) ) = o ，矿( 噍一讲( 肘) ) 0 。 1 ，矿( 略一们( 肘) ) 砷 ，矿w 3 ( m ) - - o ，矿们( m ) o 。 叫一鼍群) ，棚c 卟。 v i 由上讨论，我们得到了能够得到w 巴、6m ：，6 2 暖，、j ，i , j 一1 ，m ， 万- 0 , 1 , - - , n 通过代入式子( 2 2 7 ) 我们能够得到嘎的具体表达式 磁，一嵋+ 6 嵋，局缸+ _ 2 1 6 2 嵋( 五m ，2 。 于是问题( 2 2 3 ) 就通过求差分作数值解转化为解问题( 2 2 6 ) 一要篮乏 鱼+ 面2 嵋，o ，。1 ，m ，竹。1 2 ，。 2 2 并 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 即现在只要简单的解方程组( 2 2 6 ) 求得_ h ：，i , j - 1 - - , m ，斗一1 ，2 ， 2 5 讨论方程组的表示形式 虽然解方程组是一个相对简单的工作，但是这里得到的方程组的计算量异 常之大。尤其是要保证精度的情况下，通常会将网格的划分格数取的相对较大 一些，增加了要解的方程的个数。同时，这个解方程组是不断迭代的过程，即 从开- - 1 开始，解一次方程组，就须将解回代到原方程组中去，再解这个方程组 得到玎- 露+ 1 时的解，如此反复，直到玎- 因此得到的解! ，不是我们常见的 二维矩阵的形式，而是一个特殊的三维矩阵采用不同的矩阵方程的形式来表 达方程组( 2 。2 6 ) ，将导致鳃的速度的快慢，及解的精度的不同。 在此讨论方程组( 2 2 6 ) 可以表示为两种不同的矩阵方程的形式。 一种是将方程组( 2 2 6 ) 表示成如下形式的矩阵方程 彳彤。一b ，雄- 1 ，互， ( 2 2 8 ) 其中旷- 心，吃，叱，屹，畦：，w 0 ，吒一嵋，2 ，一，嘻j f ) j 这种形式的 矩阵方程的计算量毋庸置疑会非常大。因为系数矩阵彳是m 2 x m 2 的大矩阵，系 数矩阵口是m 2 1 的大矩阵。随着网格划分格数肘的增加，肘2 会变得异常之巨 大事实上，我也通过实际的计算验证过这个结论。本章的例子中有对这种方 法，通过m a t l a b 编程实现，运行得到计算所需的时闻代价。这里我就不再详细 讨论( 2 2 8 ) 具体的形式，有兴趣的读者可以自己写出其具体表现形式。 另一种是将方程组( 2 2 6 ) 表示成如下形式的矩阵方程 4 矽1 + 矸”a b ， 一1 2 ， ( 2 2 9 ) 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 其中一 吒 吃 ： 嵋- 嵋2 吃 ! 嵋。 。这种方法的计算量会相对小一点。因为系数 矩阵哇、曰都是m x m 的矩阵 现在我们具体给出( 2 2 9 ) 式的系数矩阵4 和口。令 i - 1 f1 4 t 1 j 【- 一丽j 沁) 2 ( 缸) 2 1 f1 4 e 1 i 【二一丽j - 扣裔)三p 。研j 陋r e 1 f1 4 t1 j 【二。两j ( 缸r ，为一个对称的矩阵 nb - ( 6 ，l 。，i , j - 1 , ，彤，为个对称的矩阵，其中当 o 当f ，- z ，m 一1 时 ”譬。 i n 当f - 1 ，- 2 ，m l 时 ”警一南蛳 i i l ) 当，- 1 ，i - 乏，m 一1 时 ( 缸) 2 1 f1 2 t 1 j f 一百万j ； 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 ”罟一裔咧 i v ) 当i - m ，i2 ，m 一1 时 一孚一古们( 小 v ) 当，- m ，i 一2 ，m - i 时 旧当i - 1 ，- i 时 b , mi 孚去( z ) 。 ”罟一裔僻裔蝌 v 回当f - i ，j - m 时 等一去讲( ) - 裔们( m ) v i i i ) 当- m ，一l 时 ”署一w 3 ( ，) - 裔- ，2 ( 肘) i x ) 当f - m ，j - m 时 一- 监a t 一云- w 3 ( m ) 一古“( 肘) 。 我们可以证明这样得到的矩阵方程( 2 2 9 ) 与方程组( 2 2 6 ) 虽然在形式 上不同，但两者之间是相互等价的。 证： 仅对f 。，2 ，m 一1 时的情形加以证明。 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 通过先前对系数矩阵a 的定义，对于彳一( q ，乙。，有 q ，- f ( 缸) 2 0 ， i j + t o n i j 一1 其它 则4 矿+ 删的衍亍，列元素0 形+ 删) l ，j 为 缸屹+ 薹帆。裔”朱一裔卜裔吃u ： ? 裔啪+ 器一裔卜裔 故当不考虑边界情况时 渺+ 矿丸a ，- 一华耐略打也m 另外当f 域材i f j 2 t j l 或m 时的另外八种情况，既考虑边界情况时通过同 上面类似的推导，也可得出相同的结论，这里就不详加证明了。 现在我们所需要做的工作是求解矩阵方程( 2 2 9 ) 2 6 s a tit h a 迭代方法求解矩阵方程 矩阵方程( 2 2 9 ) 是工程上作差分数值解法求解微分方程时经常得到的一 种矩阵方程形式。对于这种矩阵方程形式，已经有许多非常成熟的解法既有 直接解矩阵方程得到精确解的方法，也有通过迭代的方法求解矩阵方程的方法 在此我们考虑一种比较传统和经典的方法，即通过s m i t h s 迭代方法求解矩阵方 程。现在简单介绍一下s m i t h s 迭代方法。s m i t h s 迭代方法可以解一个形如： m 旦计生计 一， 一，i ，一址 。一址 1 2 1 2 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 a + 彬日i c ( z 3 0 ) 的矩阵方程，只要以下两个条件中的一个成立。 ( i ) a ，口均稳定。 ( i i ) 一a 、一母均稳定 对于( i ) 这种情况为例，具体的方法为，取肛，0 。设a 的特征值为 九一以+ 吮，b 的特征值为厶一岛+ 魄。方程( 2 3 0 ) 可被改写为 ( u i - a ) w 0 , ，- b ) 一( p ，+ 4 ) 矿( ，+ 口) - 一2 ，l c ( 2 3 1 ) 由于4 、口均稳定，则办o 、几o 。由于，一p a o 、，i 一岛 0 ，则可推得 p l a 的特征值为 d ) 一p 一九一1 一以一奶- o ，i z l - b 的特征值为 一d ) - 一毛- p 一几一魄_ o 。既可推得肛，一a 及# i 一口均可逆。对于( 2 3 1 ) ， 左乘( ，一爿) - 1 ，右乘( p ，一b ) - i ，可得 h 7 - ( p ，一_ ) - 1 ( ，+ 彳) 工( ，+ 口) ( 一曰) - 1 2 p ( i m 一一) 1 c ( ，l ，一口) - 1 ( 2 3 2 ) 令 u - ( u l 一一) - 1 ( + 一) ， v - ( i d + b ) ( i m 一口1 1 ， g 一- 2 u ( u t a ) - t c ( i d 一口1 - 1 ， ( 2 3 3 ) 则 w u w v + g 。( 2 3 4 ) 记砧等导，一等导，易证得k i 1 及k l 1 故存在o t ，t 1 ，对 p 一一芦一 所有的砧及都有h l s r c 1 及i 知i 墨r c l 。所以存在m ，n o ，使得对于任意 正整数k 有l i 【，l m y 及耖8 广。现在我们可以采用迭代方法计算方程 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 ( 2 3 0 ) 设- 0 ，u w o v + g ，彤。- b 暇y + g ，我们可得 眇7 g v l 8 g 0 妙忙删l g 8 y 甜一o 。 ( 2 3 5 ) 于是令s - vu ，g v ，则s 是原方程( 2 3 0 ) 的解。 t 0 现在我们用s m i t h s 方法解矩阵方程( 2 2 9 ) 。对于矩阵方程( 2 2 9 ) ，由于 s 是任意小的正数，故当我们取一个足够小的( t 笔) 时一月稳定，满 足s m i t h s 方法的第二个条件。在本文中我们取- 1 0 - ”。为了加快s m i t h s 迭代 方法的收敛速度，我们要求弘与a 的特征值的大小尽量接近设a 的特征值为 ，屯，并令向量t a - 队如】，则可取芦一一i t a i 。之所以取t a 的模，是为了兰_ 粤的模尽量不接近于l ，使得加快s m i t h s 迭代方法的收 p 一， 敛速度则仿照( 2 3 3 ) 式，对于我们所要求解的矩阵方程( 2 2 9 ) 式有 u 一( j 一爿) - 1 ( 卢，+ 4 ) ， v - ( i u i + a ) ( p i - a ) 4 ， g 。古( p ，一彳) 4 矗( 小彳) 1 ， ( 2 3 6 ) 则我们所求的矩阵方程( 2 2 9 ) a w 。4 - w a - b ，开一1 ，2 ，n 的解为 - 。x u 。g v ： 箭 2 7 最优值和最优决策过程的求解 ( 2 3 7 ) 通过上述讨论，我们可以从一- 1 开始，不断解得矩阵方程( 2 2 9 ) 的解， 第2 章用数值方法求解最优投资组合问题 直至开n 这样，由式子( 2 1 4 ) 可得我们所要求的问题( 1 9 ) 的最优值 y ( 0 l ，( o ) ，z ( o ) ) 因为有 p ( f ) - h 如+ 2 r + 石2 c r 2 1 2 ( f ) - 咖+ ， f r ( o ) - o 1 z ( o ) 。0 则通过迭代求解( 2 3 7 ) 。我们可以得到控制问题( 2 1 3 ) 的最优值，即我们得 到了最优投资组合问题( 1 9 ) 的最优值 y ( o y ( o ) ，z ( o ) ) - v ( o , o , o ) - w ”( o ，o ) ( 2 3 8 ) 现在我们还须求出离散的最优投资决策过程。在使用粘性解求解问题( 1 9 ) 的时候，我们预先假设了问题( 1 9 ) 具有确定性的最优投资决策过程由( 2 1 0 ) 式可得 船e ( x 2 ( o ) 一一掀( o ) 栌) 一w ”( o ，o ) ， ( 2 3 9 ) 其中 r 岣- 儿2 d ( s ) 考( s ) 口( s ) + ，( s ) ) + 窟2 ( s ) 盯2 ( s ) 】出 r z - 弘( s ) ；( s ) 盯( s ) + ，( s ) 净 由于我们现在求的是离散的最优投资决策过程，因此l i l 、h ：可被改写为 地( 幼( f ) 耆( f ) 盯( f ) + 2 r ( f ) + 石2 ( f ) 盯2 ( f ) ) ： ( 2 4 0 ) 驴弘( 啦( ) 盯( ) + ，( f ) ) 出 将( 2 4 0 ) 代入到( 2 3 9 ) 中，这时只要求解一个非线性的最优化问题，就能 得到所要的最优投资决策过程。但其实这个解的过程同样不容易。因此我们可 以适当加上一些条件，简化这个问题。现在假设 石( f ) - 口+ ，a + 一1 , a + 卢j 1 ， ( 2 4 1 ) 第2 章用数值方法求解晟优投资组合问题 则( 2 4 0 ) 就祓简化为 l t - 艺( 2 0 + ) ；o ) 仃g ) + 2 ，( f ) + ( 口+ ) 2 盯2 ( f ) ) a f 口军药o p ( f ) 出+ ；2 瞎( f p (