（应用数学专业论文）布尔代数的广义fuzzy子代数及其在mizar系统中的实现.pdf

青岛科技人学研究生学位论文 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在miz a r 系统中的实现 摘要 本文基于布尔代数的胸子代数已有的性质，讨论了布尔代数的( 与v q ) 一凡亿秒子代数、阈值n 杞秒子代数和f 钯秒子代数的直积的一些性质，进一步 丰富和发展了f z 盟秒代数系统的基本理论。此外还在m i z a r 系统中实现了关于布 尔代数的凡z 秒子代数和( ，v q ) 一n z 秒子代数的m i z a r 定义和相关重要定理 的证明，在一定程度上充实了m i z a r 数据库的内容。本文主要取得以下结果： 1 利用呦点与胸子集的“属于”和“重于”关系，提出了布尔代 数的( ，v q ) 一胸子代数、( ，v q ) 一脚理想和( ，v q ) 一脚商布尔 代数的概念，给出了布尔代数的胸子集是( ，v q ) 一胸子代数的充要条 件，讨论了布尔代数的( ，v q ) 一n 圮秒子代数在布尔代数同态下的像和逆像， 并证明了当，是布尔代数r 的( ，v q ) 一f u z z y 真理想时，r i i 是布尔代数。 2 基于对已有脚子代数和( ，v q ) 一，钯砂子代数的讨论，提出了布尔 代数的阈值胸子代数的概念，并讨论了其相关性质和两种胸子代数之间 的关系。 3 讨论了布尔代数的，k 秒子代数的直积的一些性质，给出了直积布尔代数 的凡托纠子代数可分解为两个凡舷) ，子代数的直积的充要条件，并讨论了f 钯秒 商布尔代数的直积特征。 4 运用m i z a r 语言给出了布尔代数的胸子代数和( ，v q ) 一脚子代 数的m i z a r 定义，而且编写了一些相关重要结论和定理的程序，并使用m i z a r 系 统进行验证并通过。从而在m i z a r 系统中实现了关于布尔代数的凡舷y 子代数的 一些重要性质的证明。 关键词：布尔代数( ，v q ) 一凡亿秒子代数阈值n 圮秒子代数呦子代数 的直积m i z a r 青岛科技犬学研究乍学位论文 g e n e r a llz e df u z z ys u b a l g e b r ao fb o o l e a n a l g e b r aa n dt h er e a l i z a t l 0 no f ti nm i z a rs y s t e m a b s t r a c t b a s e d0 nt h e e x i s t i n gr e s u l t s o ff u z z ys u b a l g e b r ao fb o o l e a na l g e b r a t h e 6 v q ) 一f u z z ys u b a l g c b r a ，f i 】锄可s u b a l g e b r aw i mt h r e s h o l d sa n dd i r e c tp r o d u c to f f u z z ys u b a l g e b r ao fb o o l e a na l g e b r aa r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r , w h i c hd e v e l o pt h e b a s i ct h e o r e m so ft h ef u z z ya l g e b r as y s t e m a n dt h e 【i z 盯d e f i n i t i o n so ft h ef u z z y s u b a l g e b r aa n d 心v q ) - f u z z ys u b a l g e b r aa n ds o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h e m a r er e a l i z e di nm i z a rs y s t e m ，w h i c he n r i c ht h ec o n t e n to fm i z a rm a t h e m a t i c a ll i b r a r y t h em a i nr e s u l mo ft h i sp a p e ra l el i s t e da sf o b o w s 1 t h ec o n c e p to f ( ，v 鼋) 一f u z z y s u b a l g e b r aa n d ( ，v d f u z z y i d e a l o f b o o l e a na l g e b r aa n d ( 弓v q ) 一f u z z yq u o t i e n tb o o l e a na l g e b r aa l ei n t r o d u c e db y u s i n gt h e b e l o n g st o r e l a t i o n ( ) a n d q u a s i - c o i n c i d e n t 耐t h r e l a t i o n ( c ob e t w e e na f u z z yp o i m 而a n d af u z z ys u b a l g e b r ar an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra f u z z ys e t o f b o o l e a n a l g e b r a t o b e a ( 弓v q ) 一f u z z ys b u a l g c b r a i ss t a t e d ，a n d i m a g e s a n di n v e r s e i m a g e so f ( ，v q ) 一f u z z ys u b a l g e b r ao fb o o l e a na l g e b r au n d e rb o o l e a n a l g e b r ah o m o m o r p h i s m a l es t u d i e d ，a n dr ii sb o o l e a na l g e b r aw h e nii s ( 弓v 一f u z z yr e a li d e a lo f b o o l e a na l g e b r ara l ep r o v e d 2 b a s e do nt h ee x i s t i n gr e s u r so ff u z z ys u b a l g e b r aa n d ( ，v q ) 一f u z z y s u b a l g e b r ao fb o o l e a na l g e b r a , t h ec o n c e p to ff u z z ys u b a l g e b r aw i t ht h r e s h o l d so f m 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 b o o l e a na l g e b r ai si n t r o d u c e d , a n ds o m er e l e v a n tp r o p e r t i e sa n dt h er e l a t i o no ft h e s e f u z z ys u b a l g e b r a sa r ed i s c u s s e d 3 s o m ep r o p e r t i e so ft h ed k e c tp r o d u c to ff u z z ys u b a l g e b r ao fb o o l e a na l g e b r a a r ed i s c u s s e d , a n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nw h i c hf u z z ys u b a l g e b r ao f d i r e c tp r o d u c tb o o l e a na l g e b r a 啪b ed e c o m p o s e da sd i r e c tp r o d u c to ft w of u z z y s u b a l g e b r a sa r eo b t a i n e d t h e nt h ed i r e c tp r o d u c ts t r u c t u r eo ff u z z yq u o t i e n tb o o l e a n a l g e b r ai sd i s c u s s e d 4 m l i z a rd e f i n i t i o n so f f u z z ys u b a l g e b r aa n d6 v 曲- f u z z ys u b a l g e b r ao f b o o l e a na l g e b r aa r ei n t r o d u c e di nt h em i z a rs y s t e m ，a n ds o m er e l e v a n ti m p o r t a n t c o n c l u s i o n sa n dt h e o r e m so ft h e ma r ew r i t t e n , a n da l lo ft h e mh a v eb e e nc h e c k e db y m i z a rs y s t e m s ot h e s ef i m _ z ys u b a l g e b r a so fb o o l e a na l g e b r aa r er e a l i z e di n v l i z a r s y s t e m k e yw o r d s ：b o o l e a na l g e b r a , ( ，v 曲一f u z z y s b u a l g e b r a ，f u z z ys u b a l g e b r a w i t ht h r e s h o l d s ，d i r e c tp r o d u c to ff u z z ys u b a l g e b r a , m i z a r i v 青岛科技大学研究生学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的论文足我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，盘不包含本人已用于其他学位申请 的沦文或成果。与我一同t _ = 作的同志对冷研究所做的任何贡献均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有小实之处，本人承担一切卡h 关责任 本人签名：孙丫品日期：年6 月7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解青岛科技人学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向围家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅奉人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论义本人离校后发表或 使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛科 技人学( 保密的学位论文存解密后适用木授权书) 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密口 ( 请在以l 方框内打“”) 本人签名： 导师签名： 碌呻品 压勿苁 _ _ 1 期：2 w 年6 月7 日 日期：岬年6 月7 日 青岛科技大学研究生学付论文 1 绪论及预备知识 本文基于布尔代数的f u z z y 子代数已有的性质 卜2 ，进一步讨论了布尔代 数的f u z z y 子代数。主要由四部分组成：第一部分是关于布尔代数的( ，v q ) 一f u z z y 子代数的研究 3 ；第二部分是关于布尔代数的阈值f u z z y 子代数的研究； 第三部分是关于布尔代数的f u z z y 子代数的直积的研究 4 ；第四部分是关于布尔 代数的两种f u z z y 子代数在m i z a r 系统中的实现 5 。其中，布尔代数的 ( 。v 口) 一f u z z y 子代数和阈值f u z z y 子代数统称为布尔代数的广义f u z z y 子代 数。 f u z z y 代数是一门研究各种模糊代数结构的学科。1 9 7 1 年，r o s e n f e l d 6 在 引入模糊子群之后，标志着f u z z y 代数研究的开始。1 9 8 2 年，l i u 7 进一步引入 了群g 的f u z z y 不变子群、环的f u z z y 理想等概念，促使f u z z y 代数研究进一步 深入到各代数分支的方方面面。例如f u z z y 子群、f u z z y 子环、f u z z y 子域、f u z z y 子格、f u z z y 模和f u z z y 代数等等 8 3 8 。2 0 0 5 年谷文祥教授和孙绍权副教授讨 论了布尔代数的f u z z y 子代数 1 - 2 ，进一步丰富了f u z z y 代数系统的基本理论。 t i z a r 系统是一个利用计算机进行形式化处理项目的总称，由波兰华沙大学 的a n d r z e jt r y b u l e c 教授组织的l n i z a r 协会领导 3 9 ，已有近3 0 年的发展历史。 目前，m i z a r 系统已经形成了著名的数学知识处理的形式化系统领域，这些知识 几乎涵盖了数学的每一个分支，如数学分析学、代数学、几何学、数论、图论和 范畴理论等诸领域。特别是连续格的证明及j o r d a n 曲线、b r o u w e r 不动点等定理 的证明显示了m i z a r 语言系统的优越性，解决了人们用手无法计算和证明的些 复杂问题。同时，它在自动化控制、声音和图像识别等研究领域也有着广泛的应 用。 1 1 研究背景及发展现状 1 1 1 f u z z y 代数的研究背景及发展现状 继确定性、随机性两个阶段以后，数学开始进入过去的禁区模糊性的研 究。这一研究是以复杂系统的控制为契机，又在计算机问题的有力推动下展开的。 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 针对在多变量、非线性、时变的大系统中遇到的复杂性与精确性、模糊性与确定 性形成的尖锐的矛盾，1 9 6 5 年美国著名控制论专家l a z a d e h 教授 4 0 指出，为 了对整个问题的描述有意义，我们必须在准确与简明之间取得平衡，从而开创性 的提出了模糊集合的概念。模糊集合的提出，正是为了用比较简单的方法，对复 杂系统做出合乎实际的处理。因此，模糊集合在自动控制、系统分析、知识描述 和图像识别等应用领域取得了巨大的成功。另外，由于模糊数学拓广了经典数学 的数学基础集合论，摈弃了“排中律”，于是，建立在模糊集合论基础之上 的各种数学结构便应运而生。经过海内外学者的共同努力，三十多年来，在f u z z y 拓扑学、f u z z y 分析学和f u z z y 代数学等领域都取得了可喜的进展。 f u z z y 代数是一门研究各种模糊代数结构的学科。1 9 7 1 年，r o s e n f e l d 6 在 引入模糊子群之后，标志着f u z z y 代数研究的开始。1 9 8 2 年，l i u 7 进一步引入 了群g 的f u z z y 不变子群和环的f u z z y 理想等概念，促使f u z z y 代数研究进一步 深入到各代数分支的方方面面。例如f u z z y 子群、f u z z y 子环、f u z z y 子域、f u z z y 子格、f u z z y 模和f u z z y 代数等等 8 3 7 。1 9 8 0 年，k u r o k i 3 8 正式开始了f u z z y 子半群的研究，它是自f u z z y 代数研究开始以来f u z z y 数学领域最活跃的研究领 域之一。1 9 9 1 年x i 4 1 将f u z z y 集合论应用到b c k 一代数中，从那时起，f u z z y b c k ( b c i ) 代数得到了广泛的研究 3 3 ，3 5 ，3 7 。2 0 0 5 年谷文祥教授和孙绍权副教授 讨论了布尔代数的f u z z y 子代数 卜2 ，进步丰富了f u z z y 代数系统的基本理 论。 目i ；i 关于f u z z y 代数理论的研究日趋完善，其研究主要是围绕着f u z z y 半群 和格蕴涵代数等方面来进行。我国学者和印度学者对f u z z y 代数理论的研究在世 界上处于领先地位。 1 1 2m i z a r 系统的研究背景及发展现状 机器证明( a t p ：a u t o m a t e dt h e o r e mp r o v i n g ) 是使用计算机证明定理，也称 为定理的机械证明或自动证明。它是人工智能领域中的一个重要分支，也是数学 与计算机科学的一门交叉学科，它的研究与发展至今约有5 0 年的历史。纽厄尔、 赫伯特西蒙等人于1 9 5 6 年合作编制的逻辑理论机数学定理证明程序l o g i c t h e o r i s t ( 简称l t ) 使机器证明迈出了逻辑推理的第一步。之后，美籍华人学者、 洛克菲勒大学教授王浩在“自动定理证明”上获得了更大的成就。他用他首创的 “王氏算法”在一台速度不高的i b m 7 0 4 电脑上，不到9 分钟就把在数学史上视 为里程碑的著作数学原理中的全部( 3 5 0 条以上) 定理统统证明了一遍，被 2 青岛科技人学研究生学f 最论文 国际公认为机器定理证明的开拓者之一。1 9 7 7 年我国著名的数学家吴文俊院士在 中国科学杂志上发表了题为“初等几何判定问题与机械化证明”的论文，提 出了一个新的证明等式型初等几何定理的代数方法( 也称为“吴法”) ，实现了高 效几何定理自动证明，丌创了一个崭新的数学机械化领域 4 2 4 3 。 近几年来，一些计算机辅助处理的数学系统备受人们的关注，如a u t o m a t h 、 t h e a x 、e l f 、h o l 、l e g o 、i m p s 和a l f 等系统。它们各自的初衷不同，却有一个 共同的特征：人类使用机器语占书写、计算、推理和证明文本性质的数学问题， 并使用机器验证其正确性。 我们这里讨论的m i z a r 系统是一个利用计算机进行形式化处理项目的总称， 由波兰华沙大学的h n d r z e jt r y b u l e c 教授组织的m i z a r 协会领导 3 9 ，已有近 3 0 年的发展历史。它的初衷不是用来书写和验证数学证明的，而是为了设计建立 一个软件环境来帮助数学家撰写和验证数学论文的，所以发展的软件环境一般用 来书写传统的数学论文，因此古典数学和集合理论就成为软件环境未来发展的基 础 4 4 。 m i z a r 系统第一次被完整地提出来是在1 9 7 3 年1 1 月1 4 日华沙大学组织的一 次会议上，a n d r z e j 教授假设了一门可以记录数学文章的语言，它至少有以下功 能 4 5 ： 1 、文章可以储存到计算机里，并可以全部或部分的翻译成自然语言： 2 、文章应是正式的、简洁易懂的： 3 、它可以形成数学自动信息处理系统机制的基础； 4 、它能方便的检测错误、参考书目的验证、剔除重复定理等； 5 、它可以实现自动排版。 第一个可以运行的m i z a r 系统是a n d r z e jt r y b u l e c 、k r z y s z t o fl e b k o w s k i 和r o m a nm a t u s z e w s k i 设计的用于谓词演算验证的o d r a 一1 2 0 4 系统。虽然非常的 脆弱，但全部的语法分析时非常成功的。 1 9 7 5 年，m i z a r 得到波兰科学协会的支持，m i z a r 语言开始被研究。a n d r z e j 受k a l u z h n i n 的启发，于1 9 7 5 年1 1 月向该协会做出一份报告，同时提交了m i z a r 语言的初级版本m i z a r p c ( p c 表示命题演算) 。值得一提的是在此报告中 a n d r z e j 预见性的提出了数学数据库的问题，即1 9 8 9 年才设计成功的m i z a r m a t h e m a t i c a ll i b r a r y ( 简称删l ) 。 1 9 7 7 - - 1 9 8 8 年，m i z a r 对m i z a r p c 进行了大量的语法句法的改进，有了很 大的发展，已经可以证明一些简单的定理，如集合交、差、并的有关定理和格定 理等。直到1 9 7 8 年，m i z a r 才有了函数的定义，虽然比较简单，但最重要的事实 是有了函数和关系的定义方法。此时m i z a r 组织也有了很大的发展。1 9 8 1 年 3 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 m i z a r 一2 阶段的系统基本上已经是我们现在使用的m i z a r 系统的雏形了。直到 1 9 8 6 1 9 8 8 年间，出现了m i z a r - 4 ( m i z a r 一2 重新设计的结果) 和不同操作系统下 的m i z a r 系统，如d o s 、l i n u x 等 4 6 ，并且又增加了许多功能。1 9 8 9 年删l 开 始投入使用，并且随着t 咀, l l 的不断增大，m iz a r 系统也在不断更新升级。1 9 9 0 年， f o r m a l i z e dm a t h e m a t i c s 开始出版发行。2 0 0 0 年出现了m i z a r 数学百科全书 4 6 。到现在为止，m i z a r 系统已经发展到7 8 版本，咖l 为4 7 2 版本，内含 9 0 0 多篇文章，2 万多个数学定义，将近4 0 万条定理 4 7 。 近3 0 年来，m i z a r 系统已经形成了著名的数学知识处理的形式化系统领域。 这些数学知识几乎涵盖了数学的每一个分支，如数学分析学、代数学、几何学、 数论、图论、范畴理论等诸领域。特别是对连续格的证明及j o r d a n 曲线、b r o u w e r 不动点等定理的证明显示了m i z a r 语言系统的优越性，解决了人们用手无法计算 和证明的一些复杂问题。同时，它在自动化控制、声音和图像识别研究领域也有 着广泛的应用。m i z a r 系统的逻辑框架是基于j a e k o w s k i 类型的古典逻辑，而 j a e k o w s k i 的原始目的就是利用古典逻辑解决数学论文里的逻辑推理。 现在的m i z a r 系统已经从单独的定理证明发展到多方面的应用，它的开发与 应用主要包括以下四个方面的内容： 一是m i z a r 语言本身的开发。应用m i z a r 系统进行定理证明，时时都会有新 的定理被证明，有新的定义符号出现。为了不断提升m i z a r 语言的处理能力，就 必须对系统本身进行升级，定义新的数据结构和新的数据类型，建立新的数据模 型，为进一步形式化做好准备。同时用m i z a r 语占所撰写并被验证完成的文章( 即 m i z a r 文章) 也会被收录到删l 系统中，成为数学知识管理系统的基础。此项功 能已得到北美数学知识管理组织( n a m i ( m ：m a t h e m a t i c a lk n o w l e d g em a n a g e m e n t ) 的重视 4 8 。 二是删l 系统的修正。因为几乎每隔一段时间都会收录新的m m l 文章，所以 系统需要经常性的修正。修正的内容有增强系统性能、归纳定义定理和重新组织 数据库中文章的处理顺序等。此项工作大多由自动处理工具来做，如r e g i n f f r 命令可以检测出定理证明中不必要的步骤、重复的定理和不必要的定理依据等。 三是机器定理的形式化处理。m i z a r 语言产生的初始目的是使用计算机辅助 数学家撰写论文，所以其机器定理能够被人所认识是必需的一个功能。收录的 m i z a r 文章能够被人所认识和接受就必须有相应的翻译机制和原理、有效的计算 算法和领域知识，所以对其进行分析和完善成为另外个重要的研究内容。并且， 随着i n t e r n e t 的发展，网上数学的表示也越来越盛行，各种表示方式也层出不 穷。为了能够与比较流行的其它软件进行研究内容上的转换( 重要的是向 o p e n m a t h ( o m d o c ) 的转换) ，必须要有相应的策略和算法，这也是一个重要的研究 4 青岛科技人学研究生学位论文 内容 4 8 1 。 四是自动定理证明。自1 9 5 6 年n e w e l l 、s h a w 和s i m o n 完成了一个自动证明 数学定理的计算机程序l t 后，自动定理证明就成为一个独立的分支从人工智能 领域中分离出来，之后世界上就出现了不同的定理证明系统。到目前为止m i z a r 项目在此领域己经占有了一席之地，并且数学领域的绝大多数问题都可以使用 m i z a r 语言来验证，如集合论、代数、分析、拓扑、范畴论等，以及一些数学领 域之外的问题也可以使用m i z a r 语言来验证，如数学难题、计算机模拟等 4 9 。 并且其数据库m 儿中已经收录了许多著名的数学定理。m i z a r 的发展需要有庞大 的数学领域知识库来支持，因此数学领域知识的获取必将有效地推动数学定理的 自动证明，推动m i z a r 的发展。 m i z a r 系统主要是由如下三部分组成：一是m i z a r 语言，它可以帮助数学家使 用机器可以认识的语言撰写数学论文；二是m i z a r 软件，它可以收集整理数学论 文和检验数学论文的正确性与否：三是m i z a r 数据库，它被认为是世界上最大的 可以被计算机检验和处理的数学知识数据库 5 0 。m i z a r 系统通过使用m i z a r 语 言来定义、计算、推理和证明的数学定理，称为m i z a r 文章，并利用m i z a r 本身 提供的软件在p c 机上进行验证。通过验证的m i z a r 文章将会被收录到m m l 数据 库中。当我们在撰写m i z a r 文章的时候，我们可以参考删l 数据库中被收录的文 章 3 9 。目前为止，m i z a r 语言系统己形成一个庞大的m i z a rm a t h e m a t i c a l l i b r a r y ( 咖l ) ，它为今后讨论数学及其相关问题奠定了一个良好的基础 4 4 。 1 2 预备知识 本节简要介绍布尔代数的f u z z y 子代数的一些基本定义及相关性质和定理。 定义1 1 1 i s 2 具有两个二元代数运算+ ，的代数系统 称为布尔代 数，如果r 至少包含有两个不同元且下面公理成立： ( 1 ) 交换律v x , y ，z r ，x + y = y + x ；x y = y x ( 以下按惯例，砂即为x y ) ； ( 2 ) 结合律v x , y ，z r ， + _ ) ，) + z = x + ( y + 力；似弦= x ( y z ) ； ( 3 ) 分配律垤，y ，z r ，x ( y + 力= x y + x z ；x + y z = o + ) ，) + 力； ( 4 ) 0 - 1 律尺中存在元素0 ，1 ，v x r ，x + 0 = x 。x l = x ； 5 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 ( 5 ) 互补律v x r ，存在工r ，满足工+ z = 1 , x x = 0 布尔代数 也记为 。为方便起见，下面用r * u r 分别表示布尔代数 和 。 定理1 1 1 i s 2 对帆，y ，z ，r r ，有 ( 1 ) x 0 = 0 ；x + 1 = 1 ；x x = x ；x + x = x ；x o = o ；x + l = 1 ( 2 ) x y = x + y ；x + y = x y ；x = x ；1 = 0 ；0 = 1 ( 3 ) x y 营x y = 工 ( 4 ) x y ，z r j x + z y + ， 定义1 1 2 2 1 设a ：r 斗【o ，1 】为rf u z z y 子集如果对讹，y r ，下面条件成立： ( 1 ) a + _ ) ，) m ( a o ) ，a ( _ ) ，) ) ； ( 2 ) a ( x y ) 肘( a ( 功，a ( y ) ) ； ( 3 ) a ( d 之a ( 功 则称a 是r 的f u z z y 子代数。 定义1 1 3 2 1 设，是r 的f u z z y 子集，如果对眠y r ，下面条件成立： ( 1 ) 1 ( x + y ) - - m u ( 力，( ) ，) ) ； ( 2 ) i ( x y ) ，( _ ) ，) 则称，是r 的f u z z y 理想。此外，如果存在x r ，有_ ，( 功1 ，则称，是r 的f u z z y 真理想。 由定义1 1 3 知，若，是r 的脚真理想，则，( 1 ) 1 r e v x 尼有，( o ) j ( 功 定理1 1 2 习设a ：r 哼【0 ，1 】为r 的f u z z y 子。则爿是r 的胸子代数的充 6 青岛科技人学研究生学付论文 要条件为下面两个条件成立：v x ，y r ， ( 1 ) a ( 工+ y ) 肘( a ( 功，a ( ) ，) ) ， v x ，y 尺； ( 2 ) a ( 砷七a ( 力， v x r 定理1 1 3 2 1 设a ：r 寸 0 ，1 】为r 的f u z z y 子代数，则 ( 1 ) a ( = a ( 1 ) ； ( 2 ) a ( o ) a ( 力，v x r 定理1 1 4 【2 】设爿：r j 【0 , 1 】为r 的f u z z y 子集，则彳是尺的f u z z y 子代数的充 要条件是对( o ，1 】，a = x l a ( x ) f ，x e r r e r 的子代数。 定义1 1 4 5 3 】设a 为集合g 的胸子集，当a ( 力f ( o ) 时，f u z z y 点薯属 于a ，记作薯a ；当a + f 1 时，称f u z z y 点重于a ，e 作x , q a ；如果薯a 或x , q a ，记作玉v q a 。 v f ，r 【0 ，l 】，m i n ( t ，r ) 记为m ( t ，r ) 。v q 意味着v q 不成立 定义1 1 5 【5 4 1 设彳和b 分别是非空集合g 和h 的f u z z y 子集，定义映射： d b ：g 日_ 【0 ，l 】， 似四) ，力= a ( 功 曰( y ) ，v ，y ) g x h 则a x b 是g h 的f u z z y 子集，称为一和b 的直积。 1 3 本文主要研究工作 f u z z y 代数是模糊数学的一个重要分支。目前国内外已经有很大一部分学者 致力于研究基础f u z z y 代数理论知识 8 - 3 8 ，使得f u z z y 代数理论体系日趋完善， 并为相关领域提供更多的理论支持。谷文祥教授等讨论了布尔代数的f u z z y 子代 数的一些性质 卜2 ，进一步丰富了f u z z y 代数系统的基本理论。本文基于上述 研究结果，进一步讨论了布尔代数的( ，v 口) 一f u z z y 子代数、阈值f u z z y 子代 7 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 数和f u z z y 子代数的直积的一些性质，丰富和发展了f u z z y 代数系统的基本理论。 此外，还在m i z a r 系统中实现了关于布尔代数的两种f u z z y 子代数的一些重要性 质的证明，在一定程度上也充实了m i z a r 数据库的内容。本文主要取得以下结果： i 在文献 卜2 的基础利用f u z z y 点与f u z z y 子集的“属于”和“重于”关 系提出了布尔代数的( ，v q ) 一f u z z y 子代数、( ，v q ) 一f u z z y 理想和 ( ，v q ) 一f u z z y 商布尔代数的概念，给出了布尔代数的f u z z y 子集是 ( ，v q ) 一f u z z y 子代数( ( ，v q ) 一f u z z y 理想) 的充要条件，讨论了布尔代 数的( 弓v q ) 一f u z z y 子代数( ( 与v q ) 一f u z z y 理想) 在布尔代数同态下的像 和逆像，并证明了当，是布尔代数r 的( 与v 口) 一f u z z y 真理想时，r i i 是布尔 代数 3 。 2 基于对已有f u z z y 子代数和( ，v q ) 一f u z z y 子代数的讨论，提出了布尔 代数的广义f u z z y 子代数的概念，并讨论了其相关性质和两种f u z z y 子代数之间 的关系。 3 讨论了布尔代数的f u z z y 子代数的直积的一些性质，给出了直积布尔代数 的f u z z y 子代数可分解为两个f u z z y 子代数的直积的充要条件，并讨论了f u z z y 商布尔代数的直积特征 4 。 4 在m i z a r 系统中运用m i z a r 语言给出了布尔代数的两种f u z z y 子代数的 定义，而且编写了一些相关重要结论和定理的程序，并使用m i z a r 系统进行验证 并通过。从而在m i z a r 系统中实现了关于布尔代数的几种f u z z y 子代数的一些重 要性质的证明 5 。 其中，第一部分和第三部分研究结果均已发表在青岛科技大学学报 3 ，4 ， 第四部分结果已通过验证并被波兰的( f o r m u l i z e dm a t h m a t i c s 杂志接受 5 。 8 青岛科技大学研究生学 t 论文 2 布尔代数的( ，v q ) 一f u z z y 子代数和( ，v z ) 一f u z z y 理想 2 1 引言 文献 2 引入了布尔代数的f u z z y 子代数、f u z z y 想和f u z z y 商布尔代数的 概念，并讨论了它们的一些初等性质。本章在文献 2 的基础利用呦点与 f m z y 俐j “属于”和“重于”关系提出了布尔代数的( ，v q ) - f u z z y 子代 数、( 与v q ) 一f u z z y 理想和( ，v q ) 一f u z z 3 , 商布尔代数的概念，给出了布尔 代数的胸子集是( 与v q ) 一脚子代数( 6 v q ) 一f u z z y 理想) 的充要条 件，讨论了布尔代数的( ，v q ) 一f u z z y 子代数( g v q ) 一f u z z y 理想) 在布 尔代数同态下的像和逆像，并证明了当i 是布尔代数月的( v q ) - f u z z y 真理 想时，r i 是布尔代数。 2 2 布尔代数的( ，v 鼋) 一f u z z y 子代数 定义2 2 1 设a ：矗一【0 ，1 】为月的f u z z y 子集，如果对垤，y r ，f ，r ( 0 ，1 】，下 面式子成立： ( 1 ) 薯，只a ，贝0 ( z + ) ，) m o ，) v 弘； ( 2 ) 薯，y re a ，贝u ( 砂) 肘( ，) v q a ； ( 3 ) 薯a ，$ 1 j x , v 研 则称彳是胄的( ，v q ) f u z z y 子代数。 定理2 2 1 定义2 2 1 中的条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 分别等价于以下的条件( 1 ) ，( 2 9 ，( 3 o 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 ( 1 a + y ) m ( a ( 力，a ( y ) ，0 5 ) v x ，y r ； ( 2 a ( x y ) - m ( a ( 工) ，a ( y ) ，0 5 ) v x ，y r ； ( 3 ) a ( 力2 m ( a ( 力，0 5 ) v x r 证明仅证明( 1 ) ( 1 ，( 2 ) ( 2 和( 3 ) ( 3 可类似证出。 v x ，y r ，设a + 力 - m ( a ( 破a ( ) ，) ，0 5 ) ，对v 写a ，只a ，即有 a ( 力 - t ，a ( ) ，) r ，所以a + y ) 2 m ( a ，a ( y ) ，0 5 ) m p ，0 5 ) 如果m ( f ，r ) 0 5 ，贝l j a ( x + y ) o 5 ，故a ( x + ) ，) + m o ，) 1 ，a p ( x + y ) _ ! i f ( ”) q a ；如果m ( t , r ) o 5 ，贝l j a ( x + y ) m ( t ，r ) ，a p ( x + y ) j i f ( u ) e a ，所以o + ) ，) ( f ，) v q a 。 反之，假设a + y ) 肘( a ( 力，a ( y ) ，0 5 ) ，v x ，y r 不成立，则存在x ， y r ，使得a o i + y ) m x ) ，a ( y ) ，0 5 ) 。取f 使之满足a i + ) ，) f m ( a o ) ，a ( y ) ，0 5 ) ，贝, l j x ：a ，y ：a ，且， 0 5 ，由定义2 1 中的条件( 1 ) 知 o f + y 、v q a ，但a + y ) 0 5 ； ( 2 ) 如果a ( o ) 0 5 ，则一是r 的f u z z y 子代数。 证明( 1 ) 显然。 ( 2 ) 如果a ( o ) - m ( a ( 如a ( y ) ，0 5 ) t ，所以x + y 4 ；又a ( 磅2 肘( a ( 功，0 5 ) - t ，所以z 4 因此a 是r 的子代数。 另一方面，对v f ( 0 ，0 5 】，当4 a 时，a 是r 的子代数对坛，y r ，设 m ( a ，a ( y ) ) = f ，则z ，y 4 ，x + y a ，所以a o + 力f 肘( a ( 力， a ( _ ) ，) ，0 5 ) ；类似可证明对甘k r ，a ( 功m ( a ( 磅，0 5 ) 因此彳是r 的 v q ) f u z z y 子代数。 1 1 布尔代数的广义f u z z y 子代数及其在m i z a r 系统中的实现 定理2 2 5 一和b 是r s j ( e , e v q ) 一f u z z y 子代数，则a n b 是r 的( 气v q ) 一 f u z z y 予代数。 证明v x y r ， ( a n 曰) ( x + y ) = m ( a ( x + y ) ，b + ) ，) ) m ( m ( a ( 力，a ( ) ，) ，0 5 ) ，m p ( 力，曰( y ) ，0 5 ” = m ( m ( a ( 砷，曰 ) ) ，m ( a ( y ) ，曰( y ) ) ，0 5 ) 7 = m ( ( a n b ) ) ，( a n b x y ) ，0 5 ) ； ( an b x x ) = m ( a ( 力，口) m ( m 似( 力，0 5 ) ，m p ( 磅，0 5 ) ) = m ( m ( a ( x ) ，曰o ”，0 5 ) = m ( ( an b x x ) ，0 5 ) ； 因此a n 口是r 的( ，v q ) - f u z z y 子代数。 定理2 ，2 6 设，是r 到r 的同态映射。 ( 1