（运筹学与控制论专业论文）带有汇率的期权定价.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文首先简要介绍了期权定价理论的产生和发展，其次介绍了随机分析的有关理论 基础，接着简要介绍了金融市场的基本知识，并利用随机分析中的鞅方法来定价一般欧 式或有债权，最后一章建立了带有汇率的期权定价的模型并给出定价公式。 第一章介绍了势j 权定价理论的产生和发展，传统的期权定价理论及b l a e k - s c h o l e s 期 权定价模型，同时简要介绍了各国学者在这一领域所取得的成果。 第二章介绍了期权定价的理论基础知识，随机分析中的鞅论，布朗运动，肺随机 微积分，i t 6 公式与g i r s a n o v 定理等。 第三章介绍了金融市场的基础概念和基本理论，并且用数学符号及公式描述了金融 市场的基本内容。在本章第二节，介绍了用鞅方法来定价一般欧式或有债权。在本章第 三节，既给出了推导b l a c k - s c h o l e s 公式的原始方法，又介绍了推导b l a c k - s c h o l e s 公式 的鞅方法。然后简要介绍了b i a c k - s c h o l e s 模型的推广和扩展。 第四章在欧式看涨期权的基础上，建立带有汇率的期权模型：以处于不同货币度量 标准下的买卖双方进行交易而形成的看涨期权为研究对象，通过引入一个汇率过程来研 究这种带有汇率的期权价格。分两种情况对此期权进行定价：( a ) 标的资产价格与汇 率相互独立：( b ) 标的资产价格与汇率相关。 关键词：鞅：布朗运动；或有债权；期权定价；汇率 大连理工大学硕：e 学位论文 t h e p r i c i n g o f o p t i o n w i t h e x c h a n g e r a t e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ee v o l u t i o na n d d e v e l o p m e n to f o p f i o np r i c i n gt h e o r y i si n 廿o d u c e d f i r s t l y t h e ns o m e b a s i ct h e o r ya b o u ts t o c h a s t i ca n a l y s i sa n ds o m e c o r c e p t o nf i n a n c i a lm a r k e t a r e p r e s e n t e d a n de u r o p e a nc o n t i n g e n tc l a i mc a n b e p r i c e db ym a r t i n g a l em e t h o d f i n a l l y ，t h e o p t i o nw i t he x c h a n g e r a t ec a nb ed e f m e da n d p r i c e d w e l l c h a p t e r1i s d e v o t e d t o t h ee v o l u t i o n a n d d e v e l o p m e n t o f o p t i o n p r i c i n g t h e o r y ：t r a d i t i o n - 一a lo p t i o n p d c i n g m o d e l sa n db l a c k - s c h o l e s o p t i o np d c i n g m o d e l i na d d i t i o n ，s o m ea c h i e v e m - 一e n t so n t h e o r ya n d a b o a r da r e p r e s e n t e d c h a p t e r 2i n t r o d u c e st h eb a s i c k n o w l e d g eo f o p t i o np r i c i n g ：b a s i cc o n c e p t a n dt h e o r i e s a b o u ts t o c h a s t i ca n a l y s i ss u c ha sm a r t i n g a l et h e o r y ，b r o w nm o t i o na n di t 6s t o c h a s t i ci n t e g r a l ， i 话f o r m u l aa n dg i r s a n o vt h e o r e ma n ds oo n c h a p t e r 3i n t r o d u c e st h eb a s i c k n o w l e d g e a n d t h e o r y o nt h ef m a n c i a im a r k e t l nt h es e c o n d s e c t i o n ，b ym a r t i n g a l em e t h o d , e u r o p e a nc o n t i n g e n tc l a i m c a nb e p r i c e dw e l l i n t h ee n d ，n o t o n l y t h eo r i g i n a lm e t h o do n d e r i v i n gb l a c k - s c h o l e sf o r m u l a i si n t r o d u c e d ，b u ta l s ot h e m a r t i n g a - 一l em e t h o di sp r e s e n t e dt o o 耵l c nb a c k - s c h o l e sm o d i f i e dm o d e la r ed e s c r i b e d c h a p t e r 4d i s c u s s e st h em o d e l o f o p t i o n w i t he x c h a n g er a t eb a s i n go n e u r o p e a n c a l l o p t i o n t h i sc a l lo p t i o ni ss t u d i e du n d e r d i f f e r e n t c u r r e n t y m e a s u r e m e n t t h e nt h e p f i c m go f o p t o nw i t he x c h a n g er a t ei sr e a s e a r c h e db yp m v i s i n g a e x c h a n g e r a t e p r o c e s s i tw i l lb ec o n s i d e r e di nd i f f e r e m c o n d i t i o n ：( a ) c a p i t a li si n d e p e n d e n to f e x c h a n g er a t e ( b ) c a p i t a li sr e l a t e d t oe x c h a n g er a t e ， k e yw o r d s ：m a r t i n g a l e ；b r o w nm o t i o n ；c o n t i n g e n tc l a i m ；o p t i o np r i c i n g ；e x c h a n g er a t e i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名： 日期： 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 股票期权于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易。从此，期权发展十分迅 猛。现在，在世界各地的不同交易所中都有期权交易。银行和其他机构同时也进行巨 额的期权合约的场外交易。期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、债务工具、 各种商品和期货和约。 期权有两种基本类型。看涨期权的持有者有权在某一确定时间以确定的价格价格 购买标的资产。看跌期权的持有者有权在某确定时间以确定价格出售标的资产。期 权合约中的价格被称为执行价格或敲定价格。合约中的日期为到期目、执行日或期满 日。美式期权可在期权有效期内任何时候执行。欧是期权只能在到期日执行。在交易 所中交易的大多数期权为美式期权。然而，欧式期权通常比美式期权更容易分析，并 且美式期权的性质总是可由欧式期权的性质推出来。 期权思想在公元前1 8 0 0 年就已经产生，但期权的快速发展到本世纪5 0 年代以后 才开始，真正标准化的场内期权交易还只有不到3 0 年历史，由于期权具有良好的规避 风险、风险投资、价值发现的功能，且表现出灵活性和多样性特点，故近2 0 年来，特 别是9 0 年代以来，期权成为最有活力的金融衍生产品，得到了迅速的发展和广泛的应 用，期权市场的快速发展得益于期权理论的不断深化。期权理论研究的重点在于两个 方向：个方向是如何构造出新的期权，以满足不断变化得市场投资需要；另一个方 向是如何确定这些日趋复杂期权的价值。在期权定价理论研究方面，8 0 年代以前的研 究一般都假设期权所依赖的基础资产的假个为连续随机过程，市场也是“完善” 的，在这些比较理想化假设条件下，指导出各种期权的定价模型。近十多年来，得益 于计算机技术的快速发展，期权定价理论研究在以下两个方面得到深化，取得大量研 究成果：一是研究在不完善市场条件下如何确定期权价格问题；二是认为期权所依赣 的基础资产的价格是一连续随机过程过于理想化，将这个假设条件改进为基础资产价 格服从“跳扩散过程”，研究期权定价问题。 1 1 对期权定价己有工作的简述 1 1 1b l a c k - s c h o l e s 以前的期权定价理论的部分研究 在期权定价研究方面，八十年代以前的研究一般都假设期权所依赖的基础资产的价 格为一连续随机过程，市场也是完善的，在这些比较理想化假设条件下，指导出各种期 权的定价模型。近十多年来，得益于计算机技术的快速发展，期权定价理论在以下两方 一l 一 带有汇率的期权定价 面得到深化：是研究在不完善市场条件下如何确定期权价格问题；二是认为期权所依 赖的基础资产的价格是连续随机过程假设条件过于理想化，将这个假设条件改进为基 础资产的价格服从“跳一扩散过程”，研究期权定价问题。 期权定价理论并非始于b l a c k s c h o ie s 模型。在此之前许多经济学家就曾经 研究过这问题。虽然某些尝试被现代标准所取代，但没有早期的工作决不会有后来的 发展，最早的期权定价模型的提出者可能要数路易巴舍利耶( 1 9 0 0 ) ，1 9 0 0 年，为 测定股票价格波动，他涉猎了布朗运动数学理论的某些方面。假设一个没有漂移和没有 单位时间具有方差的股票价格过程是绝对的布朗运动，他确定到期日看涨期权的预期价 值是： c = s 如s - r x ) 一x 痧( s 口- f x ) + 。少伊甭s - x ) ( 1 1 ) 这里矽( - ) 和口( + ) 是标准积分正态函数和正态密度函数。位于股票的零预期价格 变化假设一致，他没有为得到现值而贴现预期值。这模型在五十多年后被克鲁辛格 ( 1 9 5 6 ) 再次发现。在现在的标准来看，这一模型也许还是领先的。它只在两个方面稍 有缺陷：一是绝对布朗运动的运用允许股票价格：勾负，这是个于有限债务假设相悖的 条件；另一个是平均预期价格的变化为零的假设，它忽视了资金的时间价值为正，期权 和股票间的不同风险特征，以及风险厌恶特征，以及风险厌恶程度。虽然有此不足，实 际上该公式对预测短期看涨期权的价格非常适用。但在长期期权价格的判断中，因要求 期权价格与期权的平方根成比例增加而失效。在其后的半个多世纪里，期权定价理论上 的多数发展集中于特定的经济计量模型。其中典型的例子是卡苏夫( 1 9 6 9 ) 的模型，他 用下式估计看涨期权价格： f r ，。r1 ( 1 2 ) c = z l0 xy + 1i 一1f ”一7 l l j j 这一公式限定了看涨期权的价格最高至股票价格，最低至实值m a x ( s - - x ，。当 系数，取无穷时，该式还给出了精确的看涨期权的到期价值，卡苏夫通过到期时间， 股票收益和其他变量估计参数，从而确定这模型。 期权定价的主要发展始于6 0 年代。斯普里克尔假设了一个对数分布，这个分布中 的股票价格具有固定的均值和方差，且该分布允许股票价格有正向漂移。它的看涨期权 公式为： c 。”剐堕坦墨塑堕k 叫x 。订型塑兰蔓丝 ( 1 3 ) 2 大连理工大学硕士学位论文 参数是市场“价格杠杆”的调节量。斯普里克尔没有贴现这一预期值来确定期权价值。 博内斯的模型非常相似，他也对股票收益假设了一个固定的对数分布，并且认识到 风险保险的重要性，为简明，他假定“投资者不在乎风险”。他利用这一假设证明了用 股票的预期收益来贴现最终期权的预期值。它的最终模型是： c ：s 矿里丛墨厶兰2 - ；：二! 坐 一。a r 。r 庐! ! ! 1 2 二二垒；业1 ( 1 4 ) l 盯0 f jl 吖f j 这一等式在形式上与后面的布莱克斯克尔公式完全相同。唯一的区别是它的用法，此 处是股票的预期收益率而不是无风险收益率。假如波内斯假设投资者不在乎风险的假设 以逻辑口= ，他将推出布莱克- 斯克尔方程，当然，它的推导仍建立在风险中性的假设 基础上。 萨缪尔森( s a m u e l s o n ，1 9 6 5 年) 认识到，由于不同的风险特性，期权与股票的预期 收益率一般来说是不同的。虽然他认识到更高深的理论将推导出预期收益率的值，但他 还是断定有一个更高的( 不变的) 期权预期收益率口。他还认识到这一假说意味着到期 日之前执行看涨期权是最适合的，除永久性看涨期权外，它不能解决最优执行政策问 题。他的欧式看涨期权的模型是： c 一哪一业巡窖尘卜廓冽 堕丝譬尘f ( 1 ，) l 盯们 jl 盯们 j 前面的博内斯方程是这一方程在a = 卢的特例。 萨缪尔森和默顿, ( m e r t o n , r c ，1 9 6 9 年) 用一种资产组合选择的简单均衡模型检验了 期权定价理论，这种模型允许内生地确定股票和期权的预期收益率。他们证明了期权问 题可以用函数形式的“公共概率”项来表述，这种函数形式与用真实概率所表述的问题 一样。以这种方式表示时，调整过的股票预期收益率和期权预期收益率是一样的。这一 方法使用了现在被认为是理所当然的估价期权的风险中性或偏好自由的发展成果。 1 1 2b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型建立在市场上不存在套利机会的原则基础上。考克 斯、罗斯赫鲁宾斯坦( c o x ，j c ，r o s s ，s a ，r u b i n s t e i n ，札，1 9 7 9 年) 的下列简单模型 能用来表述隐含在布莱克一斯科尔斯模型中的原则。 假设在一个时间段内，股票价格只能以两种形式中的一种形式变化。从现有水平 s ，股票能上升到凇或下降到坫。用c ( s ，h 1 表示股票价格为s 并且期权到期之前有 “步”价格变化的股票看涨期权价值。 一3 一 带有汇率的期权定价 考虑一份短期看涨期权和n 份长期股票的资产组合。这种资产组合的现值为 n s - c ( s ，n ) 。经过一个时间段，这种资产组合的价值为醛一c ( 坫，n - 1 ) 或 n k s c f 硌，”一1 1 。假设被选定，则最后的两个量是相等的，即： ；c o s , 瓦- l _ ) - i c ( _ 克s , , , - 一o 。 ( 1 6 ) f h 一七) s 、 那么，一个时间段后。资产组合的价值是： k c ( h s , n - 万1 ) _ - h _ c ( k s 一, n - l 一) ( 1 7 ) f h 一七l 、。 为避免套利机会，资产组合的现值应等于以f 1 + r 】贴现的值。r 是股票价格只作一 次变动的时间段内的无风险利率( 而非年利) 。即 c ( 跏) = 击l 等c ( 枷一，) + 等c ( k s ，川) l ( 1 s ) 这一等式表明了第 “步”看涨期权与第h l “步”看涨期权价值的关系，在到 期时，执行价格为五的看涨期权的价值是( c ( s ，0 ) = m a ) 【p z ，o ) ) 。因为函数形式已 知，故( 1 8 ) 是能用来推导不同的股票价格在期的看涨期权价值。给定这些值，( 1 8 ) 式又能推导出二期看涨期权价值。任何一期的看涨期权价值均可由( 1 ，1 8 ) 式递推出来。 第n “步”看涨期权的导出公式为： c ( 跏) = ( 1 + r ) 喜丽南( 1 一g ) 啡“一z ) ( 1 9 ) 其中，g = ( 1 + r 一女) ( 矗一女) 且f 是满足s 硝七1 x 的最，j 、整数。 布莱克和斯科尔斯在模型推导过程中，没有假定股票价格遵循二项步进( b i n o m i a l s t e p ) 过程，他们用的是几何或对数布朗运动过程。几何布朗运动可被构造这类二项过 程的极限，即当单位时间内步数趋于无穷，同时步幅h l 和女一l 趋于0 时的极限。 将这些极限代入( 2 8 ) 式便得出了布莱克一斯科尔斯的偏微分方程： f 2 s 。c k + ，s b y c + c ：= 0 ( 1 1 0 ) 其中，7 是无风险资产的连续复合年利率，6 2 是单位时间股票价格对数变化的方 差，c 的下标表示偏微分方。把这些极限代入f 2 9 ) 式便得出布莱克一斯科尔斯看涨期权 定价公式： 4 大连理工大学硕士学位论文 c ：s 印i 业丛掣尘l 矿舡圳堕魁窖尘! ( 1 1 1 ) l 盯f jl 6 7 、，f j 其中，p 是标准积分正态分布函数，f = t r 是距到期的时间差( 布莱克和斯科 尔斯直接以连续时间扩散来推导这一微分方程和它的解，而不是采用极限) 。 布莱克斯科尔斯公式与萨缪尔森公式在口2 3 2 y 及博内斯公式在g2 ，完全相 同。实际上，模型最显著的特点是不依赖于股票或期权预期收益率和任何市场风险厌恶 测度的结论性公式。只有5 个变量决定期权价格：s ，f ，凡和艿2 。除了方差，每个变量 都是已知的，而且方差可用高确定度来测定。 布莱克一斯科尔斯模型中因缺少预期收益率或风险厌恶的测度一度受到怀疑。这一 难题被考克斯和罗斯( 1 9 7 6 年) 及默顿( 1 9 7 6 ：年) 所解释，他们引入风险中性或鞅表示。 后来，由哈里森和克雷普斯( i - i a r r i s o n , k r e p s ，1 9 7 9 年) 以及其他人更正式地发展了这一思 想。 1 2 期权定价理论的近期发展 布莱克斯科尔斯模型的推导建立在6 个假设基础上：( 1 ) 期权的基础赘产为一有风 险的资产，可以被自由地买进和卖出，没有交易成本和税收；( 2 ) 无风险收益率是常量；( 3 ) 在期权到期日前，基础资产无任何收益( 血股息、利息等) 支出；( 4 ) 基础资产价格的变动 符合几何布朗运动；( 5 ) 交易市场是连续开放的：( 6 ) 期权是欧式期权。这6 个假设条件使 布莱克斯科尔斯模型建立在与真实市场相差较大的“理想市场”基础上，近2 0 多年来， 经济学家们试图在“放松”这些假设条件情况下，寻求更贴近实际市场的期权定价模型， 取得了许多优秀成果，极大地丰富和发展了期权定价理论。7 0 - 8 0 年代的重要研究成果有 索普( t h o r p e ，1 9 7 3 年) 检验了卖空限制条件；默顿( 1 9 7 3 z ) 推广了考虑股利和随机利率的模 型；考克斯、罗斯( 1 9 7 6 年) 和默顿( 】9 7 3 年) 采用了交错随机过翟j ( a l t e m a t i v e s t o c h a s t i c p r o c e s s ) ；布莱克和斯科尔斯( 1 9 7 3 年) 研究了欧式看跌期权；考克斯和罗斯( 1 9 7 6 年) 以及默顿 ( 1 9 7 6 年) 考虑了股票价格公式展开中不具有连续样本路径时的期权问题；英格索尔 ( i n g e r s o l l ，1 9 7 6 年) 和斯科尔斯( 1 9 7 6 年) 考虑到资本收益和股利的不同税率效果；鲁宾斯坦 ( 1 9 7 6 年) 和布伦南( b r e n n a n ，1 9 7 9 年) 引入了有代表性的投资者效用函数，得到了关于离 散时间交易的布莱克斯科尔斯方程解。布莱克( 1 9 7 6 年) 研究了商品期权；考克斯、英格 索尔及罗斯( 1 9 8 5 ) 年) 考察了利率期权；利兰( l e l a n d , 1 9 8 5 年) 考虑了交易成本。 一5 一 带有汇率的期权定价 9 0 年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格存在异 常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广泛研 究，取得了许多重要研究成果。 不完善市场主要是指对贷款及实空股票进行限制，或者存在交易成本，或者市场本身 不完备等。不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场，但这时的期 权定价问题就复杂多了。在不完善市场情况下，通常难以得到布莱克撕科尔斯模型那种 期权的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。关于不完善市场的期权定价问题，目 前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保( ：v a r i a n c e o p t i m a lh e d g i n g ) 、均值方差 套期保值( m e a n - v a r i a n c eh e d g i n g ) 、超套期保值( s u p e r - h e d g i n g ) 、有限风险套期保值 ( 1 i m i t e d - r i s kh e d g i n g ) 等方法、在这方面作出过重要贡献的经济学家主要郁a r r o n & j e n s e n ( 1 9 9 0 ) , f o l l m e r & s c h w e i z e r ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 3 ) ，s c h w e i z e “1 9 9 0 ，1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) ，h o f i - n a n n 等 0 9 9 2 ) ，d a v i s ( 1 9 9 3 ) ，k a r a t z a s & k o u ( 1 9 9 4 ) ，e lk a r o u i q u e n e z ( 1 9 9 5 ) 。 较早对基础资产价格变动存在跳跃情况的期权定价问题进行研究的要数m e a o n ( 1 9 7 6 ) 、j a r r o w & r o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) 和b a l l & t o r o u s ( 1 9 8 5 ) 等人，近几年，a h n ( 1 9 9 2 ) , a m i n ， b a t e s ( 1 9 9 1 ，1 9 9 6 ) , d a s f o r e s i ( 1 9 9 6 ) ，陈超和邹捷中( 1 9 9 9 ) 等进一步推进了这方面的研究工 作。对基础资产报酬率的方差不是常数情况下的期权定价问题进行研究的主要学者有： h u l l & w h i r e ( 1 9 8 7 ) ，m e l i n o & t u m b u l l ( 1 9 9 0 ) , a mh i n g ( 1 9 9 3 ) ，h e s t o n ( 1 9 9 3 ) ，n a n d 0 9 9 8 ) , k a l l i a n p u r x i o n g ( 1 9 9 9 ) 。 美式期权的定价问题要复杂得多，美式看跌期权问题的解析解的求解问题还没有取 得实际性突破。布伦南和施瓦兹( s c h w a r t z ，1 9 7 7 年) 、帕金森( p a r k i n s o n ，1 9 7 7 年) ，以及其他 一些人已经描述了这些问题和其他一些没有解析解合同的数值解法。 期权定价方法具有广泛的应用价值，已被应用于包括股票、公司债券、期货、可变 利率抵押、保险、投资在内的金融证券和合同的广阔领域。期权定价理论已成为我们理 解金融合同的重要因素和普及应用的使用工具。 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 2 随机分析的有关理论 2 1 鞅论基础 2 1 1 定义与基本性质 定义随机变量序列x = 五，”) ，若满足：0 爿是f 适应的( 即对每个n ，以，) ， 且对每个1 l ，z 是可积的：i i ) 对每一个h n ，e ( 以+ 。l c ) = 以a s ，则称x 为f 鞅或 鞅。( 若i i ) 中的= 改为或，则x 相应为，下鞍或上鞍) 。 命题0 若z ，r 为f 鞅( 下鞅) ，口，卢为任意常数( 非负常数) ，则硝+ 卢r 也是， 鞅( 下鞅) ； 神若z ，】，为f 下鞅，x v y 为下鞅。 命题) 若为鞅，为下凸函数，对每一个n ，( 瓦) 可积，则 厂( 工。) ，胛n ) 为下 鞅： 若x 为下鞅，f 为非降下凸函数，对每个n ，( 以) 可积，则扩( x 。) ne ) 为 下鞅。 证明：记e = f ( x ) ，由j e n s c n 不等式， e ( e + ，e ) = e ( f ( x 。) i c ) f ( e ( x 。i e ) ) f ( x 。) = e 系若x = 讧。，n ) 为鞍，则 以i ，” ， 工。r ，”e ，p - 1 ，t x 。l o g + x ，ns n ( 当z 为非负鞅) 可积时必是下鞅；又若x 为下鞅，则忸。+ ，一e ) ，忸。l o g + x 。，n en ( 当x 为非负鞅) 可积是必是下鞅。 定义若y = 慨，”) 为可积适应序列，且对每一个 n ， e ( j ，1 只) = 0 ( 0 ) a s ， y 称为鞅差( 下鞅差) 序列。 命题若= 以，” 为鞅( 下鞅) ，= 土：一以。n 1 ，虼= x o ，则r = ，ne 为鞅差( 下鞅差) 序列。反之】，= ，押) 为鞅差( 下鞅羞) 序列，j 0 = ，则 = o x = 以，n ) 为鞅( 下鞅) 。 证：对”0 ，g ( x 。 c ) = x 。的充要条件为 e ( 。lc ) 2 e ( x 。l ) 一石。= 0 一7 一 带有汇率的期权定价 定义设随机序列矿= k ，月n ) ，若巧= f o ，且当n 0 时，吒。e ，则称矿是可料 的。 定义( 鞅变换) 若x = z ，”) ，v = ( v o ，月i v ) 为r v 序列，又 z 。= x 。y o + ( x 一。) ，拴 ，_ 】 z = z 。，n n j ，n z = v x 。 定理若x 为鞅( 下鞅) ，矿为可料的( 非负可料) ，z = v x 可积，则z 也是鞅 ( 下鞅) 。 证：容易知道z 是适应的，a z 。一z 。= 圪+ 。( j i 。一x 。) ，而由。c ，可得 e ( z 。- z 。1 只) = e ( v o + ，( 疋+ ，一以) 1 只) 2 圪+ ，e ( 以+ ，一以i c ) = 0q 0 ) a s t 故z 是鞅( 下鞅) 。 系若x 为鞅( 下鞅) ，t 为停时，n x 7 = z t n ”) 必是鞅( 下鞅) 。 证：i i z v = m ) ，n v = 卜w ) 只h 1 ，所以y 是有界，非负，可料的， 而 ( 矿) 。= x o + ( - x h ) 脚) = x n ，= ( x 7 ) 。， j = l 由定理知x 7 是鞅( 下鞅) 。 定理( 有界停时定理) 若z = 忸。，n e ) 为下鞅( 鞅) ，s ，t 为有界停时，且 s t ，则e ( x rl 瓦) x s( = x s ) 8 s 证；不防设s ，t k ，取= s 。g ) = 。，一。g ) ，则y 是非负有界可料的，所以 矿z 是下鞅( 鞅) ，而 矿z = ( 。扪x 一。圳x = x 7 一x 5 ，( 1 7 z ) o = 0 ，( y - x ) l = 墨一玛 因而有 e ( x ，一x s ) = e ( y - z ) i e ( v 石) o = 0 ( t ) 对任一a 乓，取，= 疋 ( 七+ 1 ) ，s = s t ( k4 - 1 ) ，它们是有界停时，且丁s ，将 ，s 分别置换s ，t ，有 e ( x ，l 一以，。) = e ( z r 一墨) 0 ，e ( 五1 。) e ( x s l ) ，a e f ，得证 系设z = z 。，月e v ) 为下鞅( 鞅) ，s ，t 为有界停时，则 e ( x r1b ) 2 x r “( 。x r 5 ) a s 证：e ( 肖，i 乓) = e ( x r i r g + 肖r ，r ，sib ) 2 西j r 口+ 及丑r 。5 ff s ) 一8 大连理工大学硕士学位论文 x r i r m + s l r ，s = x r s 证毕 系设x = 以， 为下鞅，t n ，则 e d 局一2 e x ；一甄 ( 1 ) e ( 陟i 。) 3s u p e i x 。 ( 2 ) 证：因为x 是下鞅，故x + 也是下鞅， e q x r 。f j r 。蔓e l x ，。l = 2 e x ； 。一e y r 。2 x ；一e x 。3 s u p e i x 。i ( 1 ) 得证。在上式左端令 ，并利用f a t o u d t 理，即得( 2 ) 定理( 极值不等式) z = 仁。， ) 为下鞅，则对任一五 0 ，有 2 p ( s u p s 。以丑) s j 五卯 ( 1 ) 3 l p 也 舻( i n s 。五一五) j 以卯一e x ( 2 ) i n f 以卜j 1 p ( s u p 。：。z jj 五) 2 e x , + 一e x o ( 3 ) 证：取丁= i l l f 忙：j 五) ，则丁”为有界停时，则由有界停时定理 e x 。2 e x r 2 j x t d p + i x t d p 2 2 ( s u p t 。x i 砷+ i x ，d p 4 2 zs u p 以 s t r p 扎 一 由此可推出( 2 ) 成立，( 3 ) 式( 1 ) ，( 2 ) 的推论。证毕 系若x 为鞅，e x ： l ，p 。+ g = 1 9 一 带有汇率的期权定价 e x 者( 1 + s u 。e 嘲l 0 9 + l gx 。函 2 1 2 鞅收敛定理 定理( d 0 0 b 收敛定理) x = 忸。，| ) 为下鞅，老：s u p e x + 0 0 ，或等价地， s u p e x 。j 动志( s u p e 硭+ i 口) 筇d 一口 再令k 斗。，得p ( 嘭= ) = 0 因而存在以为a s 有限r 矾, q r v 定义x = 扭。，h ) 为鞅( 下鞅或上鞅) ，若存在可积的r v f ，使e 偕i f a = x n ( x 。，s x 。) a 8 t ，n n ，则称x 为右闭的，也称又闭x 。 引理设害e l ，g 为f 的子盯域族，则忙( 孝i 四) b g ) 为一致可积r v 族。 定理设x = 僻。， ) 为下鞅，则下列各个条件等价 n x 为右闭的； g ox + = ，”) 为一致可积的： 哟当h 哼0 0 时，j 0 寸以a s ，且z 。右闭x ，这时必有z ：- z + 证f ) 一时) 若善右闭z ，则以e ( 毒f e ) ，0 s 霹e ( 孝+ i e ) 由上引理知道扛( f + fe ) ， 卜一致可积，故扛，：，打卜致可积 一l o 查堕里三奎堂堡主堂焦丝 f f ) 呻f 工+ 一致可积，s u p e x ：- h ，有 z 。d p ； 一1 2 大连理工大学硕士学位论文 砷有如下分解墨，= + 乙 其e e y = y o ，n ) 为鞅，z = z 。，h ) 为非负下鞅，! i m e z = 0 ，且具有这种性质 的分解为唯一的，特别当盖为非负上鞅，y 也是非负的。 2 2 布朗运动 定义设工= z ，0 f o 。) 为个随机过程，只= 盯( 以，0 s f ) ，若满足 ( 1 ) x ( t ) 是独立增量过程，即v o j t 0 ，z 0 + ，) 一z ( 砷n ( o ，c 2 f ) ，即x ( t + s ) 一z ( s ) 是期望为0 ，方差为c 2 t 的正态分布； ( 3 ) x ( t ) 关于f 是连续函数 则称 x ( r ) ，0 t 。) 是布朗运动或维纳过程( w i n n e rp r o c e s s ) 当c = 1 时，称 膏( f ) ，0 t 。) 是标准布朗运动，记为忙0 ) ，0 f 0 0 ，曰( o ) = 0 ，则 ， j 2 它在t 时刻的概率密度为z ( d = - 7 三e 2 叫2 府 定理设 b ( ) ，0 t 。) 为标准布朗运动，令砩= o ，t o = 0 ，则当丑( o ) = 0 时，对 v o t t 2 0 ，有e 恤( f ) ) = 0 ， e 忙0 ) b ( f ) ) = f j ，则徊( f ) ，t o ) 是布朗运动，反之亦然。 命题设协( f ) ，t o 为布朗运动，则 ( 1 ) 忙) ，f o ， 1 3 带有汇率的期权定价 p p 7 贮。) ( 3 ) 扭2 ( f ) 一f ，f 2o ) ， p 中贮o 都是鞅。 2 3 脚随机积分i t & 公式与g 触o v 定理 设标准布朗运动忙p ) ，t o ) 是定义在概率空间( q ，f ，尸) 的随机过程，设( f ，t 0 ) 是 一族单调递增的f 的子盯域，即f lc 气c f l ， r ：) ，v f , ，是f 的子口域，且对 0 j s t ，口( f ) 关于f 可测五( 即) l 层) = b ( s ) e ( 日( ，) 一b ( s ) f b ) = 0 定义设忙o ) ，t o ) 为标准布朗运动，g ( t ，m ) m ；，任取v o t i f 2 t 。s t ， o ，】亡 o ，r 】，记五2 m 。；。a 。x ( 一靠一- ) o l i m 歹。2 9 ( t , 一一) ( 口以) 一口( 7 t 一) ) = 匆( 7 ) 均方极限存 在，则称o ) = f g ( 岛c a ) d b ( 最) 为k c o ) ，f o ) 关于仁o ) ，f o 在【0 ，f 】的脚积分， 那么t 3 积分具有如下的一些性质： ( 1 ) e g ( r ) = 0 ( 2 ) 脚；( f ) = f e 9 2 ( s ) 出( 。( s ) ，j 。( f ) ) = f 豫2 ( ”) 幽( v o s 0 ，p 1 有 p ( m 。a 。x x ”i 五) s 方戤? b 梆) = 脚喜1 ) ( 即沪讹埘= j 1 职沪圭 i l i a ( 3 ) 说明了由肋积分定义的过程一定是鞅。 定义设随机过程伍( f ) ，f o 满足如下的肺积分，对v o 蔓t o t t 有 1 4 大连理工大学硕士学位论文 x ( f ) 一盖( s ) = f6 ( s ，x ( s ) ) 出+ f c r ( 岛z ( s ) ) 招( 5 ) 或等价地写作舫微分形式 a 2 ( ( t ) = b ( t ，x ( o a t + 盯( r ，x ( t ) a b ( 0 ( 1 ) ( 2 ) 其中6 ( f ，x ) a t ，g ( t ，x ) 是二元函数，且对巩r ，陋( f ) l 啦，盯o ) m ；，则称z 为硒 随机过程( 简称脚过程) ，称( 1 ) 为脚随机积分方程，( 2 ) 式为肠随机微分方 程，其中，f b ( s ，x ( s ) ) d s 一般的均方积分，j ：a ( 砖石( s ) 召( 3 ) 是肺积分。 定理( 硒公式) 设讧( f ) ，t o ) 满足上定义等式( 1 ) y = f ( t ，砷是二元函数，且具有 连续偏导数可a f ，可，玉，d 2 f o x z ，令y ( r ) 兰，( ，x ( f ) ) ，则过程y ：佤，f o ) 也是 随机过程，且v o t 。 0 ，那么随机变量族p ( 邑，b ) ：f ，【o ，r l o c 孑担”) ，”= 1 ，2 ) 在 r ( 异，p ) 中稠密。 引理由随机变量族 e x p ( f ( f ) 啦一言r 厅2 ( r ) 廊) ) 其中 e r 【0 ，丁】非随机生成的线性 空间c 奶= q c 勺，”爿c 吩，= e 冲c r 魄和凇一吉r 群。弦 在三2 c 耳，妁中稠 密。 一1 5 带有汇率的期权定价 定理( i t o 表示定理) 对每一个f l 2