（应用数学专业论文）一类非线性周期微分方程在退化平衡点的约化.pdf

东南大学学位论文独创性声明 吣,删,1754015 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名：建堡：竺 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交 学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论 文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论 文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内 容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：基：垒立 导师签名： 摘要 本文考虑一类非线性周期微分方程在退化平衡点附近小扰动的约化问 题。通过引进外部参数，对变量进行仿线性周期变换，将原问题化为具有 外部参数的系统的约化问题，再由隐函数定理和拓扑度性质，得到原方程 可约化成一个适当的标准形，此外在零点处附近得到了一个周期解。 关键词：非线性系统；k a m 迭代；退化平衡点 t h i sp a p e rc o n s i d e r sr e d u c i b i l i t yf o rac l a s so fn o n l i n e a rp c r i o d i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e g e n e r a t ee q u i l i b r i u mp o i n tu n d e rs m 甜l p e r t u r b a 广 t l o n b yu s i n ge x t e r n a lp a r a m e t e r sa n dm a k i n gas h i f to ft h e 、，a r i a b l e s 。t h e e q u a t i o ni sc h a n g e dt oo n ew i t he x t e r n a lp a r a m e t e r s t h ei m p l i c i tf u n c t i o n t h e o r e me n s u r e st h er e s u l tf o rt h ee q u a t i o nw i t he x t e r n a lp a r 锄e t c r 8c a n c o m eb a c kt ot h eo r i g i n a lo n e m o r e o v e r ， w eo b t a i na p e r i o 出cs 0 1 u t i o nn e a r t h eo r i g i n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ；k a mi t e r a t i o n ；d e g e n e r a t ee q u i l i b r i u m p o i n t u 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章前言 1 第二章预备知识和主要问题 7 第三章主要结果 9 第四章定理证明 1 4 4 1 迭代引理1 4 4 2 迭代过程1 9 4 3 迭代的收敛性2 0 致谢 2 3 参考文献 2 4 第一章前言 动力学基本问题是定性地研究可积系统在小扰动下的稳定性问题。用 伯克霍夫的话讲：“动力系统的目的就是利用系统的定性性质完整地刻划 动力系统运动的整体。研究改变哈密顿特征的扰动是很重要的，以此来 研究动力学中小摩擦的影响。k a m 理论方法主要应用于哈密顿系统的重 要的扰动理论。非扰动理论由随机运动和混沌运动替代。本文考虑扰动情 形。 扰动理论 4 1 是把一个给定的动力系统近似为某个熟悉的系统，前者 称为后者的扰动。问题就在于将具有某个动力学特性由无扰动情况推导到 扰动情况。 当然，系统的熟悉与否并非很重要，主要取决于我们所关心的动态特 性。以下仍是常用的无扰动系统：线性系统、可积哈密顿系统、正规形式 的截断等。从某种程度上说，可积哈密顿系统是正规形式截断的特殊形 式。为了避免讨论的困难，本章假设系统足够光滑，即c 或实解析，涉 及的为实参数，e = 0 意味着无扰动，e 0 或 0 意味着扰动。 扰动问题的例子：首先考虑自治微分方程 蕾埘+ 差= 0 该方程模拟一个带有小阻尼的振子，用平面坐标写成 i 毫= y 、雷= 一e y 一警( z ) 我们考虑能量函数日( z ，y ) = y 2 + y ) 。当e = 0 上述系统为哈密顿系 统，且哈密顿函数为日。而事实上，当0 时，该系统膏= 一e y 2 ，故 s 0 时，能量是耗散的，因而该系统不是哈密顿系统。 实际中，当y ( z ) = - - c 0 8 ( x ) 是摆方程；当y ( z ) = ；a z 2 + 去k 4 是杜 芬方程( d u f f i n g ) 。 另一个典型例子是非自治方程 孟+ 警( 加讹扯) 】 东南大学硕士学位论文 该方程描述小外部力作用振子的运动。同样，用空间坐标写成 。毫 i 痧= 一尝( z ) + e j f ( z ，y ，t ) 此时相空间为r = t ，z ，可) 。若关于t 是周期的，则生成的相空间为 s 1xr 2 。 上述方程的变异是带有参数作用的振子，如 岔+ ( u 2 + e c o s t ) s i n x = 0 该系统恰巧属于哈密顿系统。 对于此类周期系统，可以研究庞加莱映射。在哈密顿系统中，庞加莱 映射是保积的。 该例子有很多变异和推广。一个是太阳系，无扰动的情况是考虑太阳 和其他任意行星的2 体问题，其中行星间的相互作用力认为很小【1 】1 。除了 2 体问题，也可以限制在几个星体上，如3 个，太阳一木星土星、地球 月球一太阳，或地球一月球人造卫星。又经常把太阳、月球、行星考虑 成点式群体，该动态大抵模拟成哈密顿系统。同样，可以在此方法中加入 潮汐作用，该作用力为非守恒自然力。太阳系中存在共振情形，所以应用 k a m 是有限制的，尽管如此，考虑共振后，仍然存在可积近似值【2 】。 相当一部分扰动是限制在局部的，如平衡点附近。考虑 圣= a x + f ( x ) ，z r n a g l ( n ，r ) ，f ( o ) = 0 ，d z f ( o ) = 0 。做变量伸缩z = e 牙变换得 奎= a 孟+ 9 ( 孟) 我们取线性部分为非扰动系统，显然，当e 很小，扰动在牙= 0 的紧邻域 也很小。 这种变量伸缩有很多变形。事实上，许多正规形式近似值就是用这种 方法处理的，然后正规化后的截断称为无扰动项，高阶项为扰动项。 考虑平衡点和周期轨，设 圣= ，( z ，g ) ，z r ，r 映射，：r - + i r n 。均衡点由厂( z ，g ) = 0 求出，下面的定理由隐函数定 理知e 0 得到无扰动平衡点的保持。 平衡点的保存性定理：假设，( 跏，0 ) = 0 ，且s ( z o ，0 ) = 0 和d z s ( z o ，0 ) 有最大秩，则存在局部映射g - _ z ( g ) 且z ( o ) = x 0 ，使得，( z ( ) ，) 三0 。 周期轨可以用同样的方法近似。事实上，设上述系统中e = 0 时有周 期轨拍，是饷的局部横截面，庞加莱映射p o ：_ ，则昂有不动点 z o n7 0 。通过截断当h 很小，局部庞加莱映射只：一对原系 统是良定义的，可以观测到映射足的不动点和相应的周期轨。用隐 函数定理直接得到另一个定理。 周期轨的保持性定理：上述的假设以及晶( z o ) = x o ，口。p o ( z o ) 不含特 征值j ，则存在局部映射一z ( e ) 且z ( o ) = x 0 ，使得只( z ( ) ) 三如。 通常周期轨的保存性定理的条件不容易满足，有时使用f l o q u e t 定理 更方便，参见【l5 】。事实上，如果晶是7 0 的周期，q o 是f l o q u e t 矩阵， 则仇p o ( 跏) = e x p ( t o l 2 0 ) 。 上述两个定理中的扰动参数的设定涉及算法步骤，一种推导方法是 通过扰动级数，得到具有正的收敛半径的实解析系统的渐进形式，庞加莱 和里斯托( l i n d s t e d t ) 用过此类方法【3 】。另一种是基于牛顿方法的数值连 续程序方法。 上述两个定理可以视为正规双曲不变流形1 1 1 的一般理论的特殊形 式。所有情形中，给定合适的图的巴拿赫空间上的收敛准则是讨论动力学 中不变环面或不动点保存的关键。特别的，这种方法可以得出稳定流形和 不稳定流形的存在性和保存性【6 1 。 另一种典型动力学扰动问题是拟周期，我们强调拟周期不变环面的保 存不仅在保守系统中存在，在可逆、耗散系统中也存在，后者是通过研究 a g l ( n ，r ) ，y ( 0 ) = 0 ，d = f ( o ) = 0 。假设a 是双曲的( 即无纯虚数的特征 值) ，就整个系统而言在原点附近的拓扑共轭于线性系统圣= a x 。所以全 局上，线性系统的定性性质在加扰动的全系统仍然保持。这也就是说双曲 线性系统圣= 如是结构稳定的，这种思想由t h o r n 2 0 1 引入动力系统的， 更多详细内容参见【8 】。 下面我们介绍经典的k a m 理论。 经典的k a m 理论处理光滑的近可积哈密顿系统，形式为 f 驴= u ( j ) + e f ( i ，妒，) i - i = e o ( i ，妒，) 其中变量j 定义在r n 的开子集上，妒定义在标准环面p 上。注意到当 e = 0 相空间是r n 俨的开子集，不变环面遍历相空间。任一由妒参数 化的环面，其对应的运动平行( 或多重周期或依条件周期) 于频率u ( ，) 。 扰动理论寻求的是s 很小时，佗维不变环面的保持性和运动的平行 性。k a m 理论需要两个基本条件才能给出答案。一个条件是k o l m o g o r o v 非退化条件，即映射i 融hu ( j ) 是局部微分同胚。另一个条件是 多番图条件( 或称强非共振条件) ，即当丁 n 一1 和7 0 时，考虑集 合 哆1 = u r li u ，七) l 7 1 k l r ，k z “ o ) ) 东南大学硕士学位论文 5 接下来的性质可以直接推导出。首先，r ；一具有闭的半线性几何性质，即 如果u r ；，和s 1 ，则有8 a r 1 。不仅如此，酽- 1n 酞挈，是康托 集，当7 趋于零，测度酽- 1 r n ，= d ( 7 ) 。经典的k a m 理论陈述了在非 退化条件下近可积系统，当i e i 1 且给定的频率u 限制在多番图集r ? ， 上，则光滑共轭于非扰动类型。这里的光滑是w h i t n e y 定义的1 8 1 0 因而，我们可以说自由度为n 的哈密顿系统中，在相空间存在佗维拟 周期不变环面，且测度为正。 平面哈密顿系统始终可积，轨道是由哈密顿函数的水平集给出，仍存 在扰动的作用空间。循环动力学包含周期轨、均衡点、渐进轨线形成不稳 定均衡点的不稳定流行。计算平衡点，画出相图，一般所有的均衡点是椭 圆的( 纯虚数特征值) 或双曲的( 实特征值) ，即没有0 特征值的平衡 点。如果系统取决于无法避免0 特征值的参数，仍有可能在扰动力下动力 学的性质保持。 以下讨论哈密顿k a m 环面附近的动力学性质。首先比较经典的 k a m 理论中n = 2 和佗3 的情形。n = 2 时哈密顿函数的等位面是3 维的，拉格朗日环是2 维，所以余维数1 在能量超曲面上。这意味着给定 初始条件中的开集上的变化曲线始终陷于k a m 环面之间，这些环面层形 成一个正测度的无处稠密集，这意味着作用变量具有永久隔热稳定性。相 反，当n 3 时，拉格朗日环的余维数他一1 1 在能量超曲面上变化曲 线可能消失。 这种就是所谓的阿诺德扩散 5 1 5 ( 可积哈密顿系统的不稳定现象) 。 接下来，考虑k a m 环附近的运用，在此情形下系统是实解析或至少 是g e v r e y 光滑。首先，我们指出，根据k a m 环面问的距离来测量，变 化曲线一般是超幂级停留在附近。这种性质一般称为k a m 环面的超幂级 粘性5 1 。其次，近可积哈密顿系统根据扰动大小，一般显示作用变量指数 级时间长绝热稳定性【1 6 】o 这种性质一般称为n e k h o r o s h e v 估计。 1 9 9 2 年，j o r b a 和s i m o 1 2 1 研究了一类线性拟周期系统，系统的系数 近似为常数与一个小扰动参数的和： 圣= ( a + e q ( u t ，e ) ) z ，z r ， 东南大学硕士学位论文 6 其中a 是常数矩阵，有礼个不同的特征值，q ( u ，e ) 关于t 拟周期，e 是小参数。假设频率e 满足多番图条件，( 多番图条件又称为小分母 条件，若频率u 满足强非共振条件，即存在常数q 0 、7 0 ，使得 i ( k ，u ) i 静，v0 k z n ，其中= 旧kl + + i k i ) 对应于小参 数e 的矩阵a + e q 1 的特征值满足非退化条件，且于频率u 满足非共振条 件，则用k a m 方法可以证得对于大部分足够小的参数f 上述系统可以约 化成常数系统。之后，徐君祥和尤建功在更一般的条件下得到相似的结论 【2 l ，2 2 】。 1 9 9 6 年，j o r b a 和s i m o 1 3 1 研究了下列在平衡点附近的非线性拟周期 系统： 圣= ( a + e q ( t ，e ) ) z + e g ( t ，e ) + h ( x ，t ，e ) ，z r ” 其中a 是他n 的常数矩阵，所有特征值为非零纯虚，q ( t ，e ) 、g ( t ，e ) 和 h ( x ，c ) 关于t 是拟周期的和关于z 是解析的，h = 0 ( z 2 ) _ 0 ) 。在一 定的非退化和非共振条件下，通过k a m 迭代证得对于大部分足够小的参 数e ，通过仿线性拟周期变换，该系统约化成如下形式： 壬= a 。( e ) z + h c o ( z ，t ，e ) 由f l o q u e t 定理可知a 。( e ) 为常数，h 。o ( z ，t ，e ) = d ( z 2 ) ( z _ o ) ，则此方 程有平凡解z = 0 ，进而得出初始方程在零平衡点附近有拟周期解。 以上考虑的问题中线性部分都是非退化的，即矩阵a 非奇异，所以我 们称零点是非退化的平衡点。 对于非退化的情况，近期，徐君祥、江舜君f 2 4 】研究了一维非线性拟 周期在退化平衡点的系统问题 圣= x 2 n + 1 + h ( x ，讲) + ，( z ，u t ) ，z r 其中n 0 是正整数，h = d ( z 2 n + 2 ) ( z _ 0 ) 是高阶项，是小扰动项。h 和，在d ( r o ，8 0 ) 是实解析，且关于t 是以u 为频率的拟周期函数。证明 了扰动项，( z ，目) 足够小时，系统可以在零平衡点约化到合适的正规形式。 受此启发，本文研究高维下周期系统在退化平衡点的约化问题。 第二章预备知识和主要问题 为了叙述问题的方便，我们先引入一些记号和定义。 定义1 解析函数 元复变量函数，( z ) ，( z c ) ，如果在z o 的某邻域中处处可导，则称 f ( z 、l 在z o 处锯析。此时f ( z 、) 可在z o 处展成z 的幂级数： f ( z ) = o o1 f ( n ) r ( z o ) ( 名一绚) n 定义2 周期函数 设f ( o ) 是定义在r 上的函数，如果有f ( 8 ) = f ( 口+ 2 7 r ) ，称f ( o ) 为 2 7 r 周期函数。 令f ( t ) = f ( w t ) ， f ( t ) = f ( w t ) = f ( w t + 2 丌) = f ( tq - 2 1 r 加) = f ( g + t ) 故f ( t 1 是t = 2 r w 的周期函数，频率为u 。 定义3 周期解析函数 定义d ( s ) = 【口c ( 2 7 r z ) il i m o i 8 ) 若f ( o 、是定义在o ( 8 、l 上的周期解析函数，f 可以傅立时展开： f = e 执。 知z 其中 = 两1 詹”f ( 口) e - 鼬i d o ，k z ，0 = w t 定义i l f l l o ( 。) = 知zi f k l e 8 。由，( t ) 的解析性可知，i i i l f l l o ( 。) e 一8 定义4 i 酌烫 记i l 为j 句量的最大值范鼓，即j 句量z = ( x i ) l _ i s n 的范数为 i z i = m a x l i ni z t i 矩阵a = ( a i j ) l 0 ，i = 1 ，住，则是退化情况，文 献中【1 2 1 的方法不再适用，所以我们用改进的k a m 方法来处理该情况。 我们引入参数使得方程( 2 1 ) 参数化。这种参数化方法曾在【1 9 1 中处理哈 密顿系统。 定义n = 【_ 文，6 1 】x 【一如，厶】，其中文r d 4 。取盯最，定义 i i ，= c ”ld i s t ( & ，【一魂，瓯】) 矿，v i 对于任意的i i ，存在y ，使得z = y + f 。 新定义域为d ( f ，s ) x 仃，记h ( v ，p ；) = h ( v + ，p ) ，f ( y ，p ；) = f ( y + ，口) ，则方程( 2 1 ) 变成 ( ：) = ( 三二| ：二) + c 可，9 ；，+ ，c y ，口；， c 3 1 ， 壅堕盔堂堡主堂丝垫塞 1 0 ( 玑+ & ) 2 “+ 1 = 铲+ 1 + ( 2 1 t + 1 ) 孽屯耽+ m i ( y i ；& ) ， m i ( 犰；锄：垡掣g “一1 谚+ + ( 2 f i + 1 ) 邑可尹t + 费k + 1 ( ) = ( 姜! 二：) + ( 2 1 + 1 ) 1 2 h y l ) + p c y ，口；9 根据定义域的选取，我们知g ，h ，在d ( f ，s ) i i 口上是实解析的。 给出已和y i 的约束条件，对于每个分量i ，取盈= e 咖，令l = m i n j j ，取庐= e 赤，则有i i m l l o ( f ，。) o e ，c 是与l i 有关的常数。下 同样的，有l h t i 田2 ，所以i i h l l d ( f ，。) 如c c 又已知i i f l l o t * ，。) 几e ，所以有 夕c 荨，= ( 耋二：) ，q c ，= ( 2 如一1 等“。2 kj 1 ，擘。) i i p l k , ( f ，。) n ，s 伍 东南大学硕士学位论文 1 l 如果尸= 0 ，当= 0 时，方程( 3 2 ) 有零平衡点。我们想证明的是如 果扰动p 很小，存在小参数& h 使得当= ，方程( 3 2 ) 在零平衡点 附近可约化成正规形式。因为q ( ) 在= 0 是退化的，所以经典的k a m 迭代不能消去夕( ) 项，一种直接的做法是对参数做微小改动来消去该项。 但是又因为9 ( ) 在= 0 是退化的，所以带来k a m 迭代中的收敛问题。 鉴于上述困难，我们引入外部参数，即考虑方程 1 7 = 9 ( ) 一a + q ( ) 妙+ p ( y ，p ；毒)( 3 3 ) 其中a 是外部参数。显然，方程( 3 2 ) 就是方程( 3 3 ) 取入= 0 的情形。 令d = m a 爪。i 夕( 专) 一9 ( r ) l ，定义m = i i xb ( 0 ，2 d + 1 ) 。讨论的 定义域扩展成：( y ，口；，入) d ( f ，s ) m 。 以下我们考虑参数为p = ( ，入) 的方程( 3 3 ) ，需要证明存在光滑曲线 f ：a = 入( ) ，1 1 ，使得当( ，入) f ，方程( 3 3 ) 可以约化成零平衡点 附近的正规形式。然后，寻找1 1 使得入( 6 ) = 0 ，所以取= 6 就得 到方程( 3 2 ) 。 定理2 如果存在小常数e 0 使得i i p i i o ( f ，。) m e ，则在m 中存在 c o o 光滑曲线 r ：a = a ( ) = 9 ( ) + ( ) ，i i 对p f 存在仿线性周期变换z = ( i + b ( 口；加) 秒+ v ( o ；p ) 使方程( 3 3 ) 变 成 多= q 。( p ) 可+ 只( 可，0 ；p )( 3 4 ) 其中只( ! ，o ；p ) = o ( u 2 ) 当y 一0 肘，且 i ( ) is4 e ，i q 。( p ) 一q ( ) l 2 e r , v p f b 为n n 矩阵，为n 维向量且b 和”在d ( f ，8 、xm 是周期实解 析函数，e l ls l l o ( f ，。) f + l d ( f ，。) m c e ，从而y = 0 是上述方程的解， 所以z = v ( o ；p ) 就是方程( 3 3 ) 取入= 入( 亭) 时的周期解。 东南大学硕士学位论文1 2 a = 9 c ，+ c ，= ( 耋二：) + ( ：兰) 其中i o l ( e ) l c 1 e = c l 掣1 + 2 ，l o n ( e ) i c n e = c n 鹾n + 2 。 由i i = 【一6 1 ，以】【一瓯，刚，故边界a n = o - 6 t ，5 1 】 【一氏，如】u u - s t ，6 - 】xa 【_ “，氏】。在第一边界上 i a i a i 酽- + 1 + o 。( e ) i ；n + i 彰：+ 1 + 0 2 ( e ) i 孙+ + i 謦+ 1 + d n ( e ) 1 1 n 】1 7 2 l t + 1 + 0 1 ( e ) l a n i 1 + 1 i o n 1 0 1 ( e ) l = 6 t + 1 一c 1 占 t + 2 0 i ) q o n 掣2 + 1 一c 2 磋2 + 2 0 以此类推。 定义同论函数r ( ) = 9 ( ) + t ( ) ，t 【0 ，l 】，0 乏晟( a n ) ，又r = 夕( ) 和f l = 夕( ) + ( ) ，所以 由夕( 亭) 的定义知 夕( ) + ( ) 与g ( ) 同伦 d e g ( g ，1 i ，0 ) = 1 ， 所以如果e 充分小，我们有： d e g ( , k ，1 i ，0 ) = d e g ( g ，h ，0 ) = l 所以a = 0 在n 上有解，即存在i i 满足a 慨) = 0 。所以我们研究方 程( 3 3 ) 代替研究方程( 3 2 ) 。 所以通过变换。= 圣( ! ，p ；专，0 ) ，方程( 3 3 ) 在专一& 变成 雪= q 。y + 只( 优，y ；，0 ) 东南大学硕士兰整重篮塞 1 3 且只= o ( y 2 ) 当y _ 0 时。所以z = 圣( “，t ，0 ；已，0 ) 方程( 3 2 ) 的周期解， 即证得定理1 。 注l ：本文利用【2 4 】中引进外部参数的技巧，得到了其具有退化平衡 点的周期系统在小扰动下可约化为适当的规范形，从而在平衡点附近证明 了周期解的存在性。 注2 ：由于本文是周期系统，故定理的结果是全测度的。不同于【1 3 】 中正测度的结果。 第四章定理证明 现在我们只需证明定理2 ，运用传统的k a m 迭代方法，面临的主要 困难是对参数的处理。 4 1 迭代引理 k a m 步骤我们把一步的k a m 迭代用以下引理给出。为了记号方 便，记p = ( ，入) 和p = w t 。 引理1 倦代引理j 考虑以下带参数的微分方程： 圣= n ) - i - q 0 ) z + p ( x ，o ；p )( 4 1 ) 其中= ( 姜三二：) 一a + = 9 一入+ 九。假设 a 1p 在d ( r ，8 ) xm 上实解析且满足 p i l d ( ，。) m e = r e 其中0 e 1 。 a 2n 和s 2 都在mcc 2 n 上实解析。在m 中n ( p ) = ( 毒，入) = 0 由 臆函数定理存在解析曲线r ：入= 入( ) ，n t 2cm ，使得b ( r ，寺) c m 。这里c ，e 和口在证明中绘出o a 3h 和q 满足 i i 功h l l m = i i h l l m + l i h l l m 去 ( 4 2 ) 和 l i 砩q 1 ( 4 3 ) 则如下结论成立： ( i ) 令矗= 【p i z ：o 】和q = 【p = i z ：o 】，h + = h + 元，+ ( p ) = 夕( p ) 一入+ 1 4 东南大学硬士学位论文u n ( p ) ，q + = q + q 。存在阻cm 且d i s t ( m + ，a m ) 斋，“和f l + 在m + 上是实解析的，且有 i i v p h l l 肌等，i i z ) 蹲l l 肌警 假设 i | 珥n | i 机 言，l i 砩q + l i 帆 1 则在领域 4 ，+ ) = 0 臆含确定解析曲线r + ：a = ( f ) ，r l 盯2 ， 使得b ( r + ，, e ) c 嶂， l 0 ) i 4 e e ，l a + ( ) 一入( ) i 2 e ，专r i 口2 t i i 、对任意的p m + t 存在仿线性周期变换： 圣( ，t ；p ) ：z + b ( r + ) 叶z = ( i + b ( t ；p ) ) ( z + + 钉( 亡；p ) ) b ( r ) 圣在d ( r + ，8 、xm + 实解析的通过此变换微分方程成为 壹+ = + 0 ) + q + ) z + + p + ( z + ，o ；p ) 其中+ 0 ) = 9 p ) 一a + + ( p ) 。并有 | | 西一i d l l d ( ，一) 肌e r e ，i l 见西一，l | d ( ，声) 肌c e 讽为恒同映射。新扰动项 满足 i i p + i i o ( r + 。) 帆e + = q e i + 叩= e m ，r + = r r ，耳= c e 3 2 证明： 首先证明结论( i ) 。由定义及柯西估计，显然有i i h l l m e 和i i 刚m e l l r - 令珥= b ( f ，3 e e ) n ( n 2 + t e c n ) 如果三e 啬和盯t ， 可易得d j s t ( 帆，a m ) 啬由柯西估计有： l l 巩枷肌s _ 4 e e _ ，i l 钏机s 吾4 e e 东南大学硕士学位论卫1 6 由题中假设条件l i 砩h i i m + 0 坞。显然当p f 。，n j ( p ) _ 0 。记鸡一q 。和 弓- 只，f h 柯西估计有 观弓i z = 。i l 考2 马一。 即z k 只= 0 所以只= d ( z 2 ) ( z o ) 。 综上，通过一系列的变换得到 雪= q 。y + 只( u t ，y ；6 ，0 ) 且只= o ( y 2 ) ( 可一o ) ，得y = 0 是上述此方程的解。所以z = 圣( u t ，o ；，0 ) 方程( 3 2 ) 频率为u 的周期解，即证得定理2 ，证毕。 致谢 值此论文完成之际，谨在此向多年来给予我关心和帮助的老师、同 学、朋友和家人表示衷心的感谢! 本论文是在我的指导老师徐君祥教授的悉心指导和严格要求下完成 的，从选题到最后定稿的整个过程都凝聚着徐老师的大量工作。同时，徐 老师严谨求实的治学态度和积极乐观的生活作风也让我耳濡目染，受益良 多。在此，谨向徐老师致以崇高的敬意和衷心的感谢! 此外，我还要真诚地感谢张福保老师，曹进德老师，王峰老师，潮小 李老师，唐向东老师，朱永勤老师，杨蕙老师等东大数学系的老师们对我 的帮助和教诲。 同时还要感谢师兄师姐们：王小才、王俊、李佳，江舜君、朱锦华、 祈海霞以及同窗王磊、尹翠翠、夏胜华、刘琳等。在学习和生活上，他们 给予我很大帮助。他们刻苦钻研、努力进取的研究态度对我产生了有力的 促进作用。 感谢所有关心和帮助过我的朋友，感谢引用文献的作者。 f 3 】via r n o l d ，vvk o z l o va n da in e i s h t a d t m a t h e m a t i c a la s p e c t so fc l a s s i c a l a n dc e l e s t i a lm e c h a n i c s i n ：via r n o l d ( e d ) d y n a m i c a ls y s t e m si i i ，s p r i n g e r ， 1 9 8 8 4 】hb r o e r ，hh a n f m a n n h a m i l t o n i a np e r t u r b a t i o nt h e o r y ( a n dt r a n s i t i o nt o c h a o s ) i n ：m e y e r sr ，e d i t o r e n c y c l o p a e d i ao fc o m p l e x i t ys y s t e ms c i e n c e s p r i n g e r ，2 0 0 8 【5 】5 hwb r o e r ，mbs e v r y u k k a mt h e o r y ：q u a s i - p e r i o d i c i t yi nd y n a m i c a ls y s - t e r n s i n ：h w b r o e r ，b h a s s e l b l a t ，f t a k e n s ( e d s ) ，h a n d b o o ko fd y n a m i c a l s y s t e m sv 0 1 3 ，n o r t h - h o l l a n d ，2 0 0 7 6 1 s - nc h o w ，cl ia n ddw a n g n o r m a lf o r m sa n db i f u r c a t i o no fp l a n a rv e c t o r f i e l d s c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 4 【7 1 alhe l i a s s o n a l m o s tr e d u c i b i l i t yo fl i n e a rq u a s i - p e r i o d i cs y s t e m s i ns m o o t h e r g o d i ct h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n ，a n l e rm a t hs o c ，p r o v i d e n c e ，p d ，( 2 0 0 1 ) ，6 7 9 - 7 0 5 8 】hh a n b a n n l o c a la n ds e m i - l o c a l b i f u r c a t i o n si nh a m i l t o n i a nd y n a m i c a l s y s t e m s - r e s u l t sa n de x a m p l e s s p r i n g e r ，b e r l i n ，2 0 0 7 【9 】h a i l o n gh e r ，j i a n g g o n gy o u a ni m p r o v e dr e s u l t f o rp o s i t i v em e a s u r e 玲 d u c i b i l i t yo fq u a s i - p e r i o d i cl i n e a rs y s t e m s a c t am a t h e m a t i c as i n i c a ，e n g l i s h s e r i e s ，2 2 ( 2 0 0 6 ) ，7 7 - 8 6 【i 0 】h a i l o n gh e r ，j i a n g g o n gy o u f u l lm e a s u r er e d u c i b i l i t y f o rg e n e r i co u e - p a r a m e t e rf a m i l yo fq u a s i - p e r i o d i cl i n e a rs y s t e m s j o u r n a ld y n a m d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s2 0 ：4 ( 2 0