（应用数学专业论文）三类生物数学模型周期解的存在性与吸引性.pdf

硕士学位论文 摘要 本文应用正规锥上的一个不动点定理和迭合度理论中的两个延拓定理研究了 三类生物数学模型一个和多个正周期解的存在性同时，通过讨论系统正解的振动 与非振动性，我们研究了其中一类模型唯一正周期解的全局吸引性 本文分为四章： 在第一章，我们介绍了本文研究的背景与意义，主要工作，预备知识以及文中 用到的一些符号 在第二章，我们研究了一类离散造血模型首先，我们证明了系统所有的解都 是持久的其次，应用正规锥上的一个不动点定理，我们得到了系统存在唯一正周 期解的充分条件最后，通过讨论系统所有解的振动与非振动性，我们得到了保证 系统唯一正周期解全局吸引性的充分条件 在第三章，我们研究了一类具有收获率的l 0 t l 踟、r o l t e r r a 合作模型应用迭合 度理论的一个延拓定理，我们得到了系统存在至少四个正周期解的充分条件 在第四章，我们研究了一类具有收获率和非单调功能反应的离散捕食者一食饵 模型应用迭合度理论的另一个延拓定理，我们得到了系统存在至少四个正周期解 的充分条件 对于具有收获率的模型，从已有的文献可以看到它们往往会表现出复杂的动 力学行为本文研究了两类具有收获率的非自治系统，得到了保证这两类系统存 在至少四个正周期解的充分条件，我们得到的结果在一定程度上反映出这两类系 统的复杂性应用迭合度的延拓定理研究微分系统和时滞差分系统四个正周期解 的存在性，关键是四个有界开集的构造和b r o u w e r 度的计算本文利用一些新的 不等式和变换技巧来构造有界开集，并利用b r o u w e r 度的同伦不变性来简化度的计 算事实表明，我们得到的结论是简洁和有效的 关键词：正周期解；全局吸引性；不动点定理；延拓定理；收获率 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd a d e r ，b ve m d l 0 y i n ga 在 c e dp o i n _ tt h e o r e mi nr e 霉叫a rc 0 i i ea n d 细oc o n -上nt m sp a p e r ，b ye m p l o y l n gan x e dp o m tt n e o r e ml nr e g l l i a rc o n ea n q 锕oc o n - t i n u a t i o nt h e o r e m si nc o i l l c i d e n c et h e 0 吼骶s t u d yt h ee x i s t e n c e0 fo n e 0 rm 1 1 1 t i p l e p e r i o d i cs o l u t i o 璐0 ft h r e em o d e l si i lm a t h e m a t i c a lb i 0 1 0 9 y m e 狃w l l i k ，b y l e 8 璐 o f 山s c u s s i n gt h eo s c i u a t i o n 眦dn o n c i u a t i o no fp o s i t i v e l u t i o 璐i 1 1o n e 盯s t e m ， w es t u d y 百o b a la t t r a c t i 、r i t yo f 叫( 1 u ep 0 8 i t i v ep e r i 0 出cs 0 1 u t i o no ft h i 8 眄s t 锄 t h i sp 印e rc o 璐i s t so ff b u rc h a p t e 瑙： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k 耵o u n d sa n ds i 鲥6 c 锄c e0 fo u rs t u 山箦， m a i nw o r ko ft h i sp 印e r ，p r e p 删n gk n o w l e d g ea n ds o n l en o t i o 璐 i nc h a p t e r2 ，w es t u d ya 出s c r e t eh e m a t o p o i 够i sm o l e l f 喊，w ed e 1 0 n s t r a t et h a ta up o s i t i v es o l u t i o 璐o ft h j s 盯s t e m 盯ep e m a n e n t t i h e nb y 印p l y i n ga 丘x e dp o i i i tt h e o r e mi nr e g m a rc o n e ，w eo b t a i l l 踟伍c i e n tc o n 出t i o 珊w l l i c hg u a r a n t u n i q u ep o s i t i v ep e r i o m cs o l u t i o no ft 比哟咸e m a tl a 吼，b y 拙c u s s i n gt h e0 s c i l 1 a t i o n 锄dn o n o s c i u a t i o no fp o s i t 沁es 0 1 u t i o n si i lt h i sm o d e l ，w e0 b t 咖s u 伍c i e n t c o n d i t i o i l sw 】1 i c hg u a r a n t e eg l o b a la t t r a u c t m 锣o fu 1 1 i q u ep 0 8 i t i v ep e r i o 出cs 0 1 u t i o n 0 f t h i ss y s t e m i nc h a p t e r3 ，w es t u d yal 0 t 虹v o l t e r r ac o o p e r a t i v em o d e lw i t hh 跏s t i n g b ya p p l y i n gac o n t i n u a t i o nt h e o r e mi nc o i i l c i d e n c et h e 0 吼w eo b t a i ns u 伍c i e n t c o n d i t i o 璐w h i c hg u a r a n t e et h ee ) ( i s t e n c eo fa t1 e 嬲tf o u rp 0 8 i t i v ep e r i o m cs o l u t i o 璐 o ft h i s8 y s t e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d ya 出s c r e t ep r e d a t o r - p r e ym o d e l 丽t hn o 衄0 n o t o i l i c f u n c t i o n mr e s p o n s e 衄dh a r v e s t i n g b ya p p m n ga n o t h e rc o n t i n u a t i o nt h e o r e mi i l c o i n c i d e n c ed e g r e e ，w eo b t a i ns u m c i e n tc o n 出t i o n sw l l i c hg u 缸a n t e et h ee ) d s t e n c e o fa tl e a s tf b u rp o s i t i v ep e r i o 出cs o l u t i o 璐o ft h i j ss y s t e m f 0 rm o d e l s 谢t hh a r v e 8 t i n g ，丘o mt h ew o r l 【sw l l i c hh a v l ea l r e a d yd o n ei nt h e u t e r a t u r e ，ec a ns e et h a tt h e yo f t e np r 鹄e n tc o m p l e xd y n a l i c a lb e h a v i o r s i n t m sp a p e rw es t u d y 怕mn o n a u t o n o m o u ss y s t e 塔w i t hh 盯喊i n ga n do b t a i ns o m e c o n c i s es u 伍c i e n tc o n 出t i o n sw 1 1 i c hg u a r a n t e et h ee ) ( i s t e n c eo ff o u rp o s i t i v ep e r i - o 出cs o l u t i o n s ，t h er 篑u l t sw eo b t a l i n e dr e 丑e c tt h ec o m p l e 嫡t yo ft h e 眙t w os p t 伽 t oc e r t a j ne x 七e 玎t m e nw ee m p l 7t h ec o n t i l l u a t i o nt h e o r e m si nc o i n c i d e n c ed b g r e et h e o r yt 0s t u d yt h ee ) 【i s t e n c e0 ff o l l rp o s m v ep e r i o d i c8 0 1 u t i o n s 遗d i 髓r e n t 试 s y s t e n 塔a n dd e l a y 山丑- e r e n c es y s t e m s ，w en e e dt oc o n s t r u c tf o u rb o u n d e do p e n s e t 8 硕士学位论文 a n dc o m p u t et h eb r o u w e rd e f e e si nt h e s es e t s i nt h i sp a p e rw ea p p l ys o m e n e wi n e q u a j j t 涵a n dv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n st oc o 璐t r u c tp r o p e rb o u u l d e do p e n 鼬t s ，a i l ds i m p u 移t h ec o m p u t a t i o n0 fd e 酽e eb yl l s i n gt h ep r o p o s i t i o no fh o m o t o p i c h 砒i a n c eo fb r o u w e rd e f e e a c t u a u yo u rr e s 毗sa r ec 0 n c 姐de 8 & t i v e k e yw ，o r d s ：p o s i t i v ep e r i o d i cs 0 1 u t i o 璐；9 1 0 b a la t t r a u c t i 访t y ；政e dp o i n tt h e o r e m ； c o n t i n u a t i o nt h e o r e m ；h a r v e s t i n g 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：胡蕴伟 日期：z 孑年s 月2 弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密酣 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：吉月直f 书日期：2 卯5 年岁月2 多日 导师签孝：涨衫求醐渺矿年朋坪日 i 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题研究的背景及意义 自2 0 世纪以来，现代数学的理论和方法不断地向自然科学和社会科学的各个领 域中渗透，极大地促进了各门学科的发展，并由此产生了多门交叉学科，如“计量经 济学”，“数理金融 ，“生物数学”，“分析化学 等等其中“生物数学 是一个发 展迅猛的学科，随着人们对生命现象和物种迁移规律认识和研究地不断深入，“数 学在生物学中应用 这块令人振奋的研究领域必将吸引越来越多数学家和生物学 家的注意，见文献1 2 1 微分方程定性和稳定性理论以及近年来兴起的差分方程理论是现代数学中发 展较快的一个研究分支我们知道，在现实当中一个系统的运动、变化规律往往是 由微分方程或差分方程来描述的，将微分方程和差分方程理论应用于研究生物系 统也是人们很自然的想法，通过研究这些方程解的性质人们可以了解这些生物或 种群的变化规律以及渐近性态对于生物种群来说，其运动变化规律是极其复杂 的，因而表现出一些复杂的动力学行为( 如分岔、混沌等) 而人们对于生物种群研 究的目的之一是希望寻找有效的措施对其进行控制以达到保护或消灭这些物种的 目的，如对害虫的灭除、珍稀动物的保护、传染病的控制等等，见文献【3 】因此，做 好生物模型的研究可以让人们采取更为有效的措施保护人类耐以生存的生态环境 对于生物种群而言，如果其生活环境是恒定的，人们建立的关于这个物种的模 型往往是自治系统，对于自治系统人们往往采用微分方程定性理论的方法来研究 系统平衡点或极限环周围解的性质：如果其生活的环境是变动的，考虑到环境的季 节性影响人们往往建立周期或概周期模型，并建立系统周期解或概周期解存在性 以及周期解或概周期解对其它正解的吸引性结果因此，关于周期解以及吸引性的 研究在复杂非自治生物模型中处于基础和核心的重要地位，具有重大的理论和现 实意义，见文献阻5 1 1 2本文主要工作 本文的主要工作是对三类生物数学模型进行定性分析，讨论这些模型一个或 多个正周期解的存在性与全局吸引性在第二章，通过对已有的一个造血模型【6 1 进 行离散化我们得到该模型的一个离散类似模型本章的主要工作是将【6 l 中的有关 正周期解全局吸引性的结果推广到该离散类似模型而事实上，这种推广工作并不 顺利，我们不得不另辟蹊径，先从讨论系统的持久性出发得到系统正解的上下界 一1 一 三类生物数学模型周期解的存在性与吸引性 然后类似于【6 】中的讨论，我们应用正规锥上全连续算子的一个不动点定理得到系统 存在唯一正周期解的结果最后，通过讨论系统正解的振动与非振动性，我们得到 正周期解全局吸引性的结果，这里的讨论不同于经典的通过构造l y a p l 】n o v 函数来 得到系统全局吸引性的方法一般来说，利用这种方法所得到的结果要来得更为简 洁【6 一 在第三章和第四章，我们应用迭合度理论中的两个延拓定理来讨论两类具有 收获率( h a 嗍t i n gr a t e ) 的种群生态模型四个正周期解的存在性对于具有收获 率的系统，由于具有开发项，往往表现出复杂的动力学行为，目前已经有很多学 者研究过这类模型，见文献阻1 3 】在第三章，我们研究一类具有收获率的非自 治l o t k 跏v o l t e r r a 合作系统，通过利用一些不等式估计技巧我们构造了四个有界开 集，同时通过利用b r 伽鹏r 度的同伦不变性我们计算了在这四个有界开集中算子 的b r o u 骶r 度都不等于零，从而得到了该系统存在至少四个正周期解的结果在 第四章，我们研究一类具有收获率和非单调功能反应( n o n m o n o t o i l i cf u n c t i o n 址r e - s p o 珊e ) 的离散捕食者一食饵系统，在估计该系统解的上下界时，由于具有非单调功 能反应和差分方程本身在处理时的一些困难，我们构造了一个巧妙的变换来化解 处理的难度，最终证明了在一些易于验证的条件下，该离散系统存在至少四个正周 期解对于应用不动点定理来研究泛函微分方程和泛函差分方程，目前已有很多工 作，见文献 1 缸17 】；应用迭合度的延拓定理的研究微分方程一个或多个周期解，目 前已有一些工作，见文献1 8 - 2 5 1 但是利用该理论研究差分方程或离散模型的正周 期解，从目前已有的文献可以看到还是很少见的，见文献 2 6 - 2 9 ，4 6 】，这启发了本文 的部分工作 1 3预备知识 首先，我们介绍在一维离散生物系统中持久性( p e r m a n e n c e ) 的概念 定义1 3 1 【2 3 ，5 】对于一维离散生物系统，我们说系统的解是持久的，如果系 统的解 z ( 七) 】是。满足： m l i 口i n fz ( 七) u m s u p z ( 七) m ， 其中m ，m o 5 一七_ 其次，我们将介绍实b a j l a c h 空间中锥的一些定义和正规锥的一个不动点定理 定义1 3 2 【删设e 是实b 衄a c h 空间，如果p 是e 中某非空凸闭集，并且满足 下面两个条件： ( i ) z p a o 令h 尸； 一2 硕士学位论文 ( i i ) z p ，一z p 号z = p ，口表示e 中零元素； 则称p 是e 中的一个锥 锥尸诱导的半序记为“，即z y 当且仅当一z p 定义1 3 3 例如果存在6 o ，使当忪1 l i = i l z 2 1 1 = 1 ，z 1 p ，z 2 p 时，恒 有0 2 1 + z 2 | i 6 ，则称锥p 是正规的 定义1 3 4 刚尸是e 中的一个锥，a ：p _ p 是一个算子a 被称为递减的， 如果9 z 可蕴含触a y 定理1 3 1 ( 郭大钧舯一3 1 】) 若 ( i ) p 是实空间e 中的一个正规锥，a ：p p 是递减和全连续的； ( i i ) a 一 口，a 2 口o a 口，其中o 0 ； ( i i i ) 对任意伊 z a p 和o 口并且，通过构造递增序列= 止七一l ( 七= 1 ，2 ，3 ，) ， 对任意初始点z o p ，都有 一刮一o ( 七_ o o ) 下面我们将介绍b r o u w e r 度的分析定义与它的一个重要性质：同伦不变性 定义1 3 5 设q 是舻中的有界开集，：q 一舻是俨映射，p 舻 ，( a q ) ，于是7 = 2 醵i i ， ) 一圳 o 做连续函数圣：【0 ，+ o o ) 一r 1 ，使满足 ( i ) j o 盯 o 是一个常数，1 i m 这里 o o 【2 8 ) 为简单起见，令 r = ，骥 ) ， l i = 1 2 ， 因此，z ( 七) 是定义在【- 7 - ，+ o o ) 且在【o ，+ o o ) 上保持为正的 现在我们证明所有的解都是持久的由( 2 7 ) ， 然后，根据归纳法，就有z ( 七) 刀对于七= 1 ，2 ， 另一方面， m 删邓叫枷m ，+ 喜高娶姐 2 ， e=e+ e一l o 于是a 9 p 且 ( 删 知薹1 g s ) ( 委而器厕) ( a 2 口) ( 七) = g ( 七，s ) ( 百蘅畿j _ 丽) 南七薹1 g 引砉吣， ：志( a p ) ( k ) 2 丽) 盼 因此a 2 p2g o a 日，其中g o = 南 o 最后，我们证明定理1 3 1 中的条件( i i i ) 也满足对任意口 z 4 p 及0 a 1 我们有 o 恻l i i 御l is 6 以及 a ( 蛔) ( 七) = = 七+ u 一1 fg j ：一 5 = 七 1 七+ u l 妄圣 拉七 s ) ( 喜而等丽) 等删仁 1 + a n z n ( s 一瓦( s ) ) 、7 三类生物数学模型周期解的存在性与吸引性 史进一步地，对口 o ( o 入 1 ) 因此，对任意o a 1 ，我们有 0 = ，( o ) ，( a ) o ，o 。 于是孟p 0 由定理1 1 ，我们可以看出系统( 2 7 ) 存在唯一正沙周期解 童( 尼) ) 定 理2 3 1 证毕口 注2 3 1 定理2 3 1 给出了保证系统( 2 7 ) 存在唯一正周期解的充分条件特别 地，它包含了收敛到引拘结论 注2 3 2 由定理2 3 1 的证明，可以看出系统( 2 7 ) 的唯一正周期解童满足 存珊) 6 ，z o ( 2 1 3 ) 注2 3 3 由注2 3 2 和定理2 2 1 ，容易验证 童( 七) d ，( 2 1 4 ) 其中d 如定理2 2 1 中所定义的 硕士学位论文 2 4系统( 2 7 ) 唯一正周期解的全局吸引性 在前一节中，我们证明了系统( 2 7 ) 唯一正周期解的存在性本节我们研究它的 全局吸引性 定理2 4 1 若下面两个条件之一满足： ( 风) n l 且号举茜6 1 ； ( 凰) n 1 且( n 一1 ) ( ”1 ) ( m ) n 1 则系统( 2 7 ) 存在唯一正u 一周期解t 孟( 七) ) 并且，具有初始条件( 2 8 ) 的系统( 2 7 ) 的 每一个解 0 使得 ! ( 七) 一z o ( 尼) ， 七k 将上面的不等式两边从k 到o 。相加，我们得到 z 一掣( k ) 0 ，使得 d s 妙( 后) c + e ，对所有的七k r 0 ( 2 1 7 ) 一1 3 三类生物数学模型周期解的存在性与吸引性 由( 2 1 5 ) ，我们得到 蝴恒南，= 垂南营热c 黼哪 并且 ( 2 1 8 ) 岳 车渊】= l n 1 + 童n ( 七一兀( 动) 】一l n f l + z n ( 七一兀( 七) ) 】 = 一芋等黼可( 七一兀( 七) ) ， ( 2 1 9 ) = 一，r f ! - p l l 。，_ u l 1 + n ( 后一兀( 七) ) ，v 1 、。 r 7 其中荨( 七一兀( 七) ) 落在z ( 七一兀( 七) ) 和矛( 七一瓦( 七) ) ，1 l 仇之间由定理2 2 1 和 注2 3 3 ，显然对所有的七k ，有 ( 七一死( 七) ) d ，t = 1 ，2 ，m ( 2 2 0 ) 现在我们假定( 凰) 成立容易看出等茅在( o ，+ o o ) 中是递减的由( 2 1 7 ) ，( 2 1 9 ) 以 及( 2 2 0 ) ，我们得到 h 嵩篑揣】 - 端( h ) 蜒) 相加，我们得到 鼬删壶南纠琏，嚣南删c 一鬈”踟叫 由此和注2 3 2 ，推出 巾 “) 婴南。澉) 娶南】 七 ，放一l1 绗+ 1 ) 觚) 迫( 1 叫s ) ) + 蛔( ( 一筹( h 炉l 】 0 = 致 q 6 一圣( 蜒) ( 1 一口( s ) ) 】， 裔琏 1 ( 2 2 3 ) 又 口( 七) ，是正周期的，o a ( 七) 噩) 相加，我们得到 舭“) 珏南肌) 旦南+ 咖( 七- 1 肛) ( 扣。) _ l 】 州1 ) 南。( 疋) 婴南】 是 可( 七十1 ) 可( k ) ( 1 一口( s ) ) + e x p ( 一( n 一1 ) 1 一吾( d e ) ) 一1 】 七 【6 一面( 埏) ( 1 一n ( s ) ) 】， 七致( 2 2 8 ) 5 = 段 考虑到( 2 1 7 ) 和( 2 2 8 ) ，我们得到。 c 6 e 印( 一( n 一1 ) ( 1 一：| ( d 一) ) 一1 】 又由于e 是任意小的，我们得到 c 6 【e x p ( ( 一( n 一1 ) 1 一击) d ) 一1 】 利用与上述类似的讨论，我们得到 d 6 唧( ( 一( 仃一1 ) ( 1 一击) c ) 一1 】 一1 r 一 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 由( 段) ，我们有 姗一1 ) 1 一吾冬l ， 这表明( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 有唯一解e 一蠢= o 。因此 ；影( 是) = 墨嫩( 妨一童( 硼觜o 。 至此我们完成了定理2 。建。l 的证明口 下面我们给出定理2 。4 1 的一个应用 我们回过头来考虑系统( 2 4 ) 最l r = 一蠢r + r 南， 具有初始条件 这里 只甜，只+ l ，岛【0 ，+ o 。】以及r ( o ，+ o o ) 。 ( 2 ，3 1 ) o 炙 o ，m l ，u 风如= 魏，矗粕= 如，魏m ( 2 。3 2 ) 定理2 5 【柏1 若( 2 。3 1 ) 和( 2 。3 2 ) 成立更进一步，若线性方程 孤l 一貅+ k 辗一。一o 的任一解趋予o ，其中k 满足黧lk 一。，并且： o k 矗：= 熹( m + 1 ) 避# ( m 1 ) 学( 1 一魂) 一 则系统( 2 4 ) 的周期解是唯一的，并且是一个全局吸引子，即u 雹【r 只】= o 应用定理2 4 1 ，我们得到另外一个定理： 定理2 4 。2 若( 2 。3 量) 和( 2 3 2 ) 成立。进一步，假定下面静条件成立： ( 矾) ( m 一1 ) m 一1 ( 6 ) m l ， 燹麓墨翥赢瑞鳓滞砌期眠且磊是则系统( 2 。4 ) 的所有解都是持久的并且，系统( 2 。4 ) 有唯一征周期解r ，且r 是 一个全局吸引子，即l i 撒【r 一只】= o 。 一1 7 一 三类生物数学模型周期解的存在性与吸引性 证明容易看出定理2 4 1 中的条件( 凰) 满足，因此我们的结论成立口 注2 4 1 显然定理2 4 2 是简洁的并且与定理2 5 【删相比更易于验证因此我们 的结果是新的和有效的 注2 4 2 有趣的是我们建立的结论与系统( 2 7 ) 相应的连续系统【6 】中的结论相 似 2 5一个例子 为了验证定理2 3 1 和定理2 4 1 的可行性，本节我们将举系统( 2 7 ) 的一个特殊 情形作为例子 例2 4 1 考虑下面的差分方程： 删一学m ) + 学丽抵 2 + s i n 婆1 + 寻再两万再面酉 ( 2 粥) 其中，口( 忌) = 竺等兰，6 。( 七) = 塾著竖，6 2 ( 忌) ：竺害兰，n ( 后) ：2 + s i i l 譬，死( 七) ： 3 + c o s 譬是正的4 周期序列更进一步地，我们有 ：三一：l 一：竺 1 一兀= ( 1 一o ( s ) ) 1 一n 二( 1 一掣牛) 6 1 以及 6 ：塞妻玩( s ) ：奏( 竺菩+ 竺竽) ：三 6 = 玩( s ) = ( 竺署鲨+ 竽) = 去 0 = ot = l0 = o 一一一 若n = 1 ，则 笔警= 忐螂= 蓦 1 一= 一，v n = 一( i 1 + d n1 + d n 一6 1 若n = 2 ，则 ( n 一1 ) 州( 6 ) n = ( 6 ) 2 = ( 蔷) 2 2 砰晔； ( 风) 口； 2 蟛蟛 同时我们介绍四个正数： f = 蝤铲一：蝤铲 一2 0 一 硕士学位论文 定理3 2 1 若( 皿) ，( 凰) 和( 凰) 成立，则系统( 3 1 ) 存在至少四个正u 周期解 证明既然考虑系统( 3 1 ) 的正周期解，我们可以做变量代换： 则系统( 3 1 ) 可写成 令 z ( t ) = e x p ( u 1 ( t ) ) ，暑，( t ) = e x p ( u 2 ( 亡) ) j 嵋( 亡) = 0 1 ( 亡) 一6 1 ( ) e u - ( 。) + c 1 ( 亡) e u 2 ( 。) 一 1 ) e u - ( 扪， 【吗( ) = 口2 ( 亡) 一6 2 ( ) e 让：( 。) + c 2 ( ) e u - ( 。) 一九2 ) e u z ( x = z = u = m l ，u 2 ) r c ( r ，砰)：缸( 亡+ u ) = t 正( t ) ) ， 并定义 2 善黝i 姒圳， 仳x 或z 当被赋予以上范数时，x 和z 都是b a n a c h 空间。令 u = 兰：翟二芝 弓：芝葛：暑二乏富三二：i ，乱x ，【口2 ( 芒) 一6 2 ( ) e 乱2 ( ) + c 2 ( t ) e u - ( 。) 一九2 ) e 心。( 。i ” ( 3 2 ) t | = 让，= 骂令p t = 丢片乱( t ) 出，t x ；q z = 丢名( 亡) 出，z z 则 有k e r l = 砰，i m 己= z z ：片名( ) 出= o ) 在z 中是闭的，出m k e r 己= 2 = c 0 血1 i m 厶且只q 是连续投影使得 i m p = k e r k e r q = i m 乙= i m ( j q ) 凼此，l 是零指标的五y e d h 0 1 i i l 映射并且，l 的广义逆：i m l _ k e r p n d o m l 给 出如下 碘，= 厶s 灿一言厂小啪池 肌= 盼端纠 只( s ) d s 一言f 露毋( s ) d s 出+ ( 丢一言) 尼( s ) d s 一言后易( s ) d s 出+ ( 一言) r ( s ) = 口1 ( s ) 一6 1 ( s ) e u l ( 。) + c 1 ( s ) e u 2 ( j ) 一九l ( s ) e u - ( 引， 2 1 1j s s d d 、，、l， 0 0 只足 = u q 一 i 中其 三类生物教学模型周期解的存在性与吸引性 b ( s ) = 口2 ( s ) 一6 2 ( s ) e 蚴( j ) + c 2 ( s ) e u l ( 。) 一 2 ( s ) e 一切( 引 显然，q 和( ，一q ) 是连续的由如z e l a 广a s c o l i 定理，不难验证( ，一q ) ( 孬) 对 于任意的有解开集qcx 是紧的并且，q ( 豆) 显然是有解的因此，对任意的有 解开集qcx ，在孬中是l 一紧的 为了应用定理1 3 1 ，我们必须找到至少四个在x 中合适的有解开集考虑算 子方程l z = 入z ，a ( 0 ，1 ) ，我们有 聋戮落怒是器：建 馈3 ， 【呓 ) = a ( n 2 ( 亡) 一6 2 ( 亡) 铲。( ) + c 2 ( t ) e u ，( 。) 一九2 ( t ) e u 。( 。) ) r 7 假设u x 是系统( 3 3 ) 的一个沙周期解，对某个a ( o ，1 ) 则存在6 ，仇 o ，u 】使 得 地( 射2 蹦啦( 亡) ， 他( 依) 2t 嘲u 航江1 ，2 显然心：他) = o ，( 仇) = o ，i = 1 ，2 由此和( 3 3 ) ，我们有 以及 j 口1 ( 1 ) 一6 1 1 ) e u l ( e 1 ) + c 1 ( 1 ) e 让2 ( f 1 ) 一 1 ( 6 ) e u l ( f 1 ) = o ， i - 口2 ( 已) 一6 2 ( 已) e u 2 ( e 2 ) + c 2 ( 已) e u - 池) 一 2 ( 已) e u 2 ( e 。) = o ， j0 1 ( 仇) 一6 1 ( 刀1 ) e u l ( t 7 1 ) + c 1 ( 叩1 ) e u 2 ( t 7 1 ) 一九1 ( 叩1 ) e u l ( 7 1 ) = o ， 【口2 ( 啦) 一6 2 ( 啦) e u 2 ( 7 2 ) + c 2 ( 啦) e u l ( 7 2 ) 一九2 ( 伽) e u 2 ( ) 2 ) = o ( 3 4 ) - ( 3 5 ) 给出 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 砖e u l ( l 6 1 (