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中北大学学位论文 生物资源的最优捕获问题 摘要 生物种群资源是一种可再生资源。为使种群资源能持续为人类利用，就要兼顾生态 效益和经济效益。生物资源的开发研究就是通过建立数学模型进行定性分析，预测种群 的发展变化，及人们的开发行为对种群的影响，确定正确的捕获策略，使生物资源既可 维持生态系统的平衡，又能满足人类的需要，因而意义十分重要。 本文根据近年来国内外生物种群模型的研究状况，特别是具有很强实际背景和应用 价值的生物种群开发的研究进展，在广泛调研的基础上，主要研究了以下几方面的问题： 一是考虑了两种群的捕获模型，模型中捕获努力量e 不是常数而是随时间变化的。 人们通过对单位生物量的捕获种群( 食饵) 施加税收来控制开发。证明了在平衡点存在 的条件下，平衡点的稳定性。然后利用p o n t r y a g i n 最大值原理，得到了最优的税收策略。 二是建立了引入食饵庇护所和捕获的食饵一捕食者模型，模型中对两个种群都进行 捕获。讨论了这个系统的动力学行为和生态经济平衡点的存在性，最后得到了最优捕获 策略。 三是把环境因素对种群增长的限制作用考虑在内，建立了只捕获食饵的食物链模 型，讨论了毒素的影响。证明了系统的局部稳定性、全局稳定性和生念经济平衡点的存 在性，最后得到最优的捕获策略。 最后，考察了具有捕获的三种群模型，包含两个捕食者一个食饵，其中只捕获食饵。 证明了系统生态平衡点、生态经济平衡点和最适宜的平衡点的存在性。然后分析了模型 的局部稳定性，得到了对食饵进行捕获的最优捕获策略。 关键词：种群动力学模型，捕获努力量，最优控制，哈密顿函数，最大利润 中北大学学位论文 t h e o p t i m a lh a r v e s t i n gp r o b l e mo fbi o l o g i c a lr e s o u r c e s a b s t r a c t b i o s p e c i e sr e s o u r c ei sak i n do fr e g e n e r a t i v er e s o u r c e i no r d e rt om a k ei tp o s s i b l ef o r p e o p l et oe x p l o i ta n du s eb i o s p e c i e sr e s o u r c ed u r a t i v e l y ，w es h o u l dg i v ec o n s i d e r a t i o nt o z o o l o g yb e n e f i ta n de c o n o m yb e n e f i t t h eb i o l o g i c a lr e s o u r c e sd e v e l o p m e n tr e s e a r c hi s c a r r y i n go nt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i st h r o u g ht h ee s t a b l i s h m e n tm a t h e m a t i c a lm o d e l ，f o r e c a s t i n g t h ed e v e l o p m e n to ft h ep o p u l a t i o na n dt h ei n f l u e n c eo fp e o p l e sd e v e l o p m e n tb e h a v i o rt ot h e p o p u l a t i o n b e s i d e s ，e s t a b l i s h i n gc o r r e c t e dc a p t u r es t r a t e g y ，w h i c hn o to n l yc a nm a i n t a i n e c o s y s t e mb a l a n c e ，b u ta l s oc a nm e e th u m a nn e e d s s oi t ss i g n i f i c a n c ei s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t i nt h i sp a p e r ，a c c o r d i n gt ot h es t u d yo f b i o l o g i c a lp o p u l a t i o n sm o d e li nd o m e s t i ca n df o r e i g n ，e s p e c i a l l y ，t h ed e v e l o p m e n to fb i o l o g i c a lp o p u l a t i o n sw i t he x p l o i t a t i o nw h i c hi sa p p l i e d b r o a d l yi nr e a l i t y ，w em a i n l yi n t r o d u c ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ： f i r s t l y ，t h ee x p l o i t e dm o d e lo ft w os p e c i e ss y s t e mi sc o n s i d e r e d i nt h i sm o d e l ，t h e h a r v e s t i n g e f f o r ti sn o tac o n s t a n tb u tv a r i a b l e s c h a n g i n gw i t ht i m e p e o p l ec o n t r o l e x p l o i t a t i o nb yi m p o s i n gat a xp e ru n i tb i o m a s so ft h ep r e ys p e c i e s w ep r o v et h el o c a l s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，w h e nt h ee q u i l i b r i u me x i s t t h ep r o b l e mo fo p t i m a lt a x a t i o np o l i c yi s t h e ns o l v e db yu s i n gp o n t r y a g i n sm a x i m u mp r i n c i p l e s e c o n d l y ，t h ep a p e rd e a l sw i t hap r e y p r e d a t o rm o d e li n c o r p o r a t i n gap r e y r e f u g ea n d h a r v e s t i n g b o t ht h es p e c i e sa r eh a r v e s t e dw h e r ew eu s et h eu s u a lc a t c h p e r u n i t e f f o r t h y p o t h e s i s t h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h ee x p l o i t e ds y s t e mi se x a m i n e d t h e nc o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo fab i o n o m i ce q u i l i b r i u m t h eo p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c yi s s t u d i e db yu s i n g p o n t r y a g i n sm a x i m a lp r i n c i p l e t h i r d l y ，b yt a k i n gi n t oc o n s i d e r a t i o nt h ee n v i r o n m e n t a lf a c t o r st or e s t r i c tt h eg r o w t ho f t h ep o p u l a t i o n ，w ed i s c u s st h ee f f e c t so ft o x i c a n t sr e l e a s e db ys o m eo t h e r s p e c i e si naf o o d c h a i ns y s t e mi nw h i c h o n l yt h ep r e ys p e c i ea r eh a r v e s t e d t h el o c a la n dg l o b a ls t a b i l i t i e sa r e i i 中北大学学位论文 e x a m i n e d t h ep o s s i b i l i t yo fe x i s t e n c eo fab i o n o m i ce q u i l i b r i u mi sc o n s i d e r e d t h eo p t i m a l h a r v e s t i n gp o l i c yi ss t u d i e db yu s i n gp o n t r y a g i n sm a x i m a lp r i n c i p l e l a s t l y ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fa ne x p l o i t e ds y s t e mc o n s i s t i n g o ft w op r e d a t o r sa n da p r e yw h i c hi sb e i n gh a r v e s t e d t h ee x i s t e n c eo fb i o l o g i c a l ，e c o n o m i c a n do p t i m u me q u i l i b r i u mo ft h es y s t e mi se x a m i n e d t h e na n a l y z et h el o c a ls t a b i l i t yo ft h e m o d e l t h eo p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c yf o rh a r v e s t i n gt h e p r e ys p e c i e si ss t u d i e d k e yw o r d s ：p o p u l a t i o nd y n a m i c a lm o d e l ，h a r v e s t i n ge f f o r t ，o p t i m a lc o n t r o l ，h a m i l t o nf u n c t i o n ，m a x i m a lr e v e n u e i i l 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日期：j 珥l 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包 括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件； 学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复 制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容 ( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 名： 导师签名： e ti 莓i ：车型 日期： 中北大学学位论文 第一章引言 种群是在一定空间中同一物种个体的集合，是物种存在的基本单位。种群虽然由个 体组成，但并不是个体的简单相加，而是一次质的飞跃。种群具有个体所不具备的诸多 群体特性。例如：出生率、死亡率、年龄号| 生比关系等。这些都说明了种群的整体性和 统一性。考察群体属性，种群具有以下三个主要特性：空间特性、数量特性、及遗传特 性。种群的空间特性指种群有一定的分布区域和分布方式；数量特性指种群具有一定的 密度、出生率、死亡率、年龄结构和性比；遗传特性指种群具有一定的遗传组成，而且 还有随着时间进程改变其遗传特性的能力，即进化、适应能力等。 种群大小指的是一个种群的全部个体数目的多少。种群密度是指单位面积或单位容 积内某个种群的个体数目的多少。种群的出生率指种群产生新个体占总个体的比率。种 群的死亡率指种群死亡个体占总个体的比率。内禀增长率指在环境条件没有限制性影响 时，由种群内在因素决定的、稳定的最大相对增殖速度。环境容纳量是指某种群在一个 有限的环境中( 生态系统中) 所能稳定达到的最大数量( 或最大密度) 。 种群生态学是研究种群与环境之间相互关系的科学。在自然界中，一个物种总是以 种群的形式存在，探讨生物与环境之间的关系也必须考虑到种群的特性及其增长的规 律。种群生态学研究的主要内容是种群的数量与结构在时空中的变化规律和调节机制 ( 生长、消亡) 。研究种群数量及其变化规律的科学又叫作种群动力学。种群生态学无 论从实践或理论两个方面，都具有极重要的意义。它对自然保护、害虫控制中的预测、 人口理论等都起着指导作用。 从种群生态学的观点来对待生物资源的科学利用问题，可以认为是现代应用生态学 最重要的问题之一。在人类的生产斗争史中，破坏生物资源的实例不胜枚举，过捕过猎 造成渔业、狩猎业、林业等生物资源的严重破坏，许多有经济价值的动物，面临灭绝或 密度过低而不能利用。认为自然资源是“取之不尽，用之不竭”的想法，一再受到严厉 的惩罚。当然，对于生物资源不加利用或不充分利用，听其自生白灭，也是不符合人类 利益的。人类利用生物资源犹如“捕食”作用，许多捕食动物消耗的被食者生物，多数 是种群中注定要自然灭亡的“剩余”部分。对生物资源不加利用或不充分利用，并不一 中北大学学位论文 定能使资源增加，而是徒然的浪费。 生态学的研究同益从仅仅以生物为研究主体发展到以人类为研究主体，从自然生态 系统的研究发展到人类生态系统的研究。这为控制论在生态系统中的应用提供了机遇， 更促进了种群动力学系统控制问题的研究。同时控制学科自身在广度和深度上的不断发 展，也为种群动力学系统控制问题的研究提供了更多的途径。本章将简要介绍种群动力 学系统及其控制问题的研究现状和本文将要研究的主要内容。 1 1 种群动力学的研究现状 2 0 世纪生物学得到了飞速发展，而2 1 世纪也将会是生物学的世纪。在生命现象的 研究中，人们最初把生命物质运动归结为简单的物理学和化学运动。利用比较成熟的物 理学和化学知识总结生命现象的规律性，而且许多生物物理学的先驱者在应用物理方法 处理生物学问题时意想不到的是促进了生物数学的发展。从此，生物数学终于成为研究 生物学不可缺少的工具。生物数学作为与生命科学相关联的一系列边缘学科( 生物物理 学，生物化学，生物经济学) 中最年轻的一位，联合国科教文组织与1 9 7 4 年把它作为 独立学科编入目录中。生物数学有三个主要分支：生物统计学，生物动力学，生物控制 论。 二十世纪八十年代到九十年代初，生物数学工作者研究一些种群动力学系统极限环 问题【1 8 】和结构分析问题 9 1 8 】。而九十年代，根据实际生活中出现的各种生物现象， 生物数学工作者变换着不同的种群动力学模型，开始研究具有阶段结构的种群动力学模 型，还有具有时变周期系数的种群动力学模型。由于自然界中种群的大量迁移，出生或 死亡，又由于连续型的控制实施起来会有一定的难度，同时也会造成人力和物力的浪费。 为此，人们开始寻找间断型的控制以避免生物系统中连续型控制的不足，这种控制就是 脉冲控制。这就引发生物数学工作者研究具有脉冲的种群动力学模型 1 9 2 2 】。这些种群 动力学系统的状念仅由当前状态决定。但实际上，种群的将来状态不仅取决于当| j 的状 态，而且还依赖于过去的状态，这一事实的描述需要求助于具有时滞的泛函微分方程。 基于此，国内外有许多学者( f r e e d m a n ，王稳地和马知恩等) 在相关问题上做了大量工作 【2 3 2 7 】。对于自然界中出现的种群扩散现象，一些学者也对其进行了研究 2 8 3 2 】。用恒 2 中北大学学位论文 化器进行微分物的连续培养实验对现实生活中商用微生物的生产，废水及污水处理，生 物制药，食品加工等领域都具有非常重要的指导意义。因此，生物数学工作者在微生物 的培养方面做了大量的研究 3 3 3 7 。两种群或多种群作用下的传染病的传播，引起了很 多学者的关注 3 8 4 2 。有关离散的种群动力学模型的研究，也取得了巨大的发展 4 3 4 7 。 我们在研究种群动力学模型中发现，当模型中某个系数发生变化时，相应的种群动力学 模型在性态上，会发生巨大的变化。这就引发我们去研究种群动力学系统中的分支现象 【4 8 5 4 。 总之，关于种群动力学系统第一方面的研究已经发展到了相当程度，而且我国学者 在其中某些方面的研究已经进入了世界先进行列。 1 2 种群动力系统优化控制的研究现状 数学在生态控制原理乃至整个生念领域中的应用，是在2 0 世纪科学技术数学化进 程中的一种突出表现。数学方法的应用，已经使生态学日益摆脱了单纯对生命与环境关 系进行客观描述的局面，逐步从定性研究转向定量研究。这也符合“社会愈进步，应用 数学的范围也就会越大，所应用的数学也就愈精密，应用数学的人也就越多”( 华罗庚 大哉数学之妙用) 的论断。微分方程组是现代控制理论的基础，用于生态控制问题 将视为生态控制方程组的合理构成和物质基础。 种群动力系统的优化控制是生物控制论的一个重要分支。生态控制论是一个结合生 物学和控制论的交叉学科，用控制理论观点和方法去研究和解决生物学问题，并对与生 物学有关的控制理论方法进行研究。用控制论方法来解决种群动力学问题的同时，还解 决了一些其他生物学问题。有的把最优控制理论应用在对癌症的治疗策略中 5 5 】，试图 以极小的费用，取得最佳的治疗效果；有的把控制论应用在微生物连续培养模型中 【5 6 5 7 ：有的把一些控制论应用在非线性种群扩散系统中 5 8 】；还有的用控制理论去处 理药物动力学系统 5 9 6 0 】等等。最优控制技术应用于渔业资源、复杂生态系统、温室 作物等种群的最优管理中 6 1 】。c l a r k 在对再生性资源种群进行最优管理时，不仅考虑 了生态平衡问题，还考虑了经济效益问题，把种群动力学系统的控制问题与经济学问题 有机地结合在一起，形成一种特殊的模型生物经济动力学模型 6 2 。随后，还有一些 中北大学学位论文 学者把最优控制原理应用在更复杂的种群动力系统中，范猛等把最优控制理论应用在具 有周期系数的单种群控制系统中，得到了使系统在周期解处渐近稳定的最优捕获策略 6 3 张兴安等用最优控制理论研究了具有阶段结构的捕食一被捕食系统的捕获问题，得 到最优捕获律和使系统持续发展的控制阈值 6 4 文献 6 5 把最大值原理应用在l o t k a 一 - v o l t e r a 捕食被捕食模型的最优搜寻问题中等。 如何制定出生物资源合理开发利用的策略，是各行业的专家学者正在研究并试图寻 求解决的办法以下就可再生生物资源的最优开发问题，做一些控制论方面的准备控 制论是由美国数学家诺伯特维纳在1 9 4 8 年提出的最优控制是控制论的核心内容，最 优控制理论的提出，是古典控制理论发展到现代控制理论的重要标志，其最优指的是目 标函数最优，一般指目标函数达到极大值或极小值，即给定任意初始状态，设计一个容 许控制，把系统控制在预期范围内，并使目标函数达到极值解决最优控制最常用的是 p o n t r j a g i n ( 庞特早亚会) 最大值原理的方法，这一方法是在1 9 5 6 年，苏联学者p o n t r j a g i n 和他的学生一起完成的，通过构造一个h a m i l t o n 函数，把状态方程和目标函数联 系起来，研究h a m i i t o n 函数的条件来获得目标函数的极值p o n t r j a g i n 最大值原理有 时也称为最小值原理，因为目标函数的最大值，最小值是等价的 p o n t r j a g i n 的数学模型如下：设系统的状态方程为 x = f i x ( t ) ，“( f ) ，r 】 ( 1 2 1 ) 其中，。为初始时刻，x ( t 。) = 为初始状态，为终端时刻，x ( f ，) 为终端状态，甜( ，) 为控制变量，约束区间为i u i 1 目标函数是一个依赖于控制变量u q ) 的泛函 j = g x ( t ，) 】+ l 研x ( ，) ，甜( f ) ，t d t ( 1 2 2 ) 最大值原理就是解决当时，求控制变量扰( ，) 和状态变量x ( ，) 构造h a m i l t o n 函数 h ( x ，甜，旯，) = f ( x ，u ，f ) + a ( t ) f ( x ，“，f ) ( 1 2 3 ) p o n t r j a g i n 等人证明了，控制变量u ( ，) 和状态变量x + ( ，) 是使，一的成立的最优解，则 一定存在一个函数从a ( t ) 和一个常数c 。满足： ( 1 ) 戈+ ( ，) = f ( x ( f ) ，甜( f ) ，) ，x q 。) = x 。， 4 中北大学学位论文 ( 2 ) 对于开集一1 材 0 ) 来控制开发。f 啦( 。) 0 此模型中x ( f ) 和少( ，) 分别表示时刻t 食饵种群和捕食者种群的数量，k 和h x 是环境容纳 9 中北大学学位论文 量，r 和s 分别是食饵种群和捕食者种群的固有增长率，g 0 是食饵种群的捕获能力系 数，e 是捕获努力量，在本文中为单位时间内出海捕鱼的渔船数，p 是单位生物量的市 场价格，c 是单位生物量的捕获成本，7 是资本的贬值率。 本节研究的是一个具有捕获模型的最优税收问题，通过对捕获模型的分析，得到正 平衡点的存在性，以及正平衡点的局部稳定性。寻求这个种群的最优税收策略，应该由 经济学和生物学价值所决定。它既能使得通过捕获带来的经济效益最大，又能阻止食饵 种群灭绝。 2 2 平衡点的存在性和稳定性 模型( 2 1 7 ) 有四个平衡点p o ( k ，0 ，o ) ，鼻( i ，y ，o ) ，最( z ，0 ，左) ，只 ，y + ，e + ) 。 定理2 2 1 系统( 2 1 7 ) 的平衡点p o ( k ，0 ，o ) 是一个鞍点。 证明：显然，p o ( k ，0 ，0 ) 是系统( 2 1 7 ) 的奇点对应于( 2 1 7 ) 的线性化系统的j a c o b i a n 山= 雕0毛0 0 0 a f l q ( p一7 山= f s 【-一f ) 七一c 一7 j 以+ ，_ x 五一s ) ( 兄一a f l q ( p r ) k c 】+ 7 ) = 0 根是五= 一，兄2 = s 0 ，也= a f l q ( p - r ) k c 】一y 。因此p o ( k ，0 ，o ) 是鞍点。 定理2 2 2 当乃 0 ， 么： 0 ，a ， 0 ，则只( i ，萝，0 ) 是稳定的，否则鼻( i ，y ，o ) 是不稳定的。其中： 小s 一赤+ 咖( ”胪c 】+ 7 ， i o 中北大学学位论文 铲卜南+ m g ( ”胪c 】州州南】+ j ( m h + l 1 ) 2 ， 小m m ”胪c h 鼎】+ 南) 。 证明：鼻( i ，罗，o ) 中牙与夕是以下方程的正解， ，( 1 一享) 一j ：0 七 删+ x ( 2 2 1 ) j ( 1 一当) ：0 由方程( 2 2 1 ) 得出i = 尼【1 一页善】，= h k 1 一百去】。当力 0 ，歹 0 。因此当不等式乃 o ，a 2 0 ，a 3 0 成立，互( i ，罗，0 ) 就足局部渐进稳定的。证毕。 中北大学学位论文 定理2 2 3 当o o ，b 2 o ，b 3 0 ，则最( i ，0 ，e ) 是稳定的，否则b ( 譬，0 ，e ) 是不稳定的。买中： b l = 一s + l ，i q 侈【g ( p f ) z c 】+ ， 彤 b ：= 一( z f l q ( p 叫岩一e l + y + q 2 a f l ( p 一厕手一s i rx n f z f l q ( p 叫膏一c 】印，彤 b = 一5 一a p q ( p 叫z c 】+ 厂唾i + 柏2 ( p 叫锺】。 证明：只在，0 ，茁) 中努与豆是以下方程的正解， 柙一q e 0 筇k ( p r ) x c 】一7 = 0 由方程( 2 2 2 ) 得出z ：旦墼， q y ( p f l 当 ( 2 2 2 ) 岔= 号 一一c e 夕+ c y f ， k q y ( p 。可见p f 时z 。 gl f ) j o 0 ，b 2 o ，b 3 0 成立，墨( z ，o ，e ) 就是局部渐进稳定的。证毕。 定理2 2 4 若税收z - 满足o n 总成立，则x + 。，少+ o o 又有若r 。 定理2 2 5 假设p f 总成立当研。= s + 丢x + 一面岛 。即 。； m 3 = s a f l q 2 ( p r ) e + x 0 ； 因为p f 0 ，所以m 2 和m 3 是正的，当 0 。方程( 2 3 1 ) 的根 旯，( i = 1 ，2 ，3 ) 满足以下条件： a + 五十以= 一m 1 0 和旯1 以以= 一所3 0 近年来，一些学者认为在很多情形下，有一定比例的食饵由于庇护所的保护而免遭 捕食。许多模型和实验证明庇护所对食饵和捕食者的相互影响有稳定效应。食饵避难所 降低了食饵灭绝的可能性 8 2 8 3 8 4 。t k t a r 在文献 8 3 中研究了引入食饵 避难所的具有h o l l i n gi i 功能性反应的食饵一捕食者模型： d x 衍 砂 出 m ) x ( 3 2 ) 得到的结果之一是如果o m 1 _ 南一上勋( c , a - r a ) 则系统存在唯一的拿局渐近忌( c 一膨) 一 。 稳定的极限环。文献 8 4 中研究了引入食饵避难所得具有h o l l i n gi i i 功能性反应的食 饵一捕食者模型： 1 7 m 二x b 二nr、驯一朋 盟h 而 璧一 、兰杉 卜 一 厂 ， 一 麟攻 中北大学学位论文 蜓d t 烈耐一蒜m 2x 口2 + n 一 2 去= y ( 一c + l 揣 3 1 无捕获的模型的建立及平衡点的存在性及局部稳定性 下： ( 3 3 ) 本文我们讨论避难所对基于比率的食饵一捕食者模型( 3 1 ) 的影响，具体模型如 x 、1a ( 1 一聊b 七j 9 + ( 1 、- m 、) x ( 3 1 1 ) + 蒜寒 川h h 。 模型( 3 1 1 ) 通过引入避难所对模型( 3 1 ) 进行了改进，其中x ，y 分别代表食饵和捕 食者的种群密度。所有的系数均为正常数旦代表功能性反应此模型中引入一个 y + x 避难保护食饵中的一部分，珊( 加 o ，1 ) ) 。因而只剩下食饵中的另一部分( 1 一历b 能接触 从生物意义出发，只在尺；= 融，y 】x o ，y o 上考虑。 定理3 1 1 系统( 3 1 1 ) 在r ：中的所有正解是最终有界的 证明：令w = x + 丢y ，沿系统( 3 1 1 ) 对w 求导可得 坐=查七塑=聊)_丽口(1-m)xy+知肌丽a0-m)xydt d td tkc l缈+ 【1 一垅k c 、 “ 缈+ ( 1 一聊扛 对于v o ，掣+ v w = r x ( 1 一生) 一d y + v x + 兰y = r x ( 1 一_ x ) + r x - - l ( d v ) y a txcckc 掣一一1 ( d v ) 少，如果， d ，则不等式的右边是萨的，因此对任意g ，y ) 月；是 4 rc 有界的所以存在 o 使得警+ w 由微分不等式理论得到： 1 8 一 d j 弋_ t = l l 出一西方一衍 中北大学学位论文 一_ 0 w ( x ，y ) 譬( 1 _ e - v , ) + 以( 0 l 少( 0 烷， v 在上式中当f 专o 。时，0 i 一旦 c 口一d 因而当条件( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 同时d f 网4 4 - 此u l jj c t 、i 侧- - - 点最( x + ，y 。) 是存在的。 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 系统( 3 1 1 ) 在平衡点昂( 。，0 ) 处的雅可比矩阵是( 三三) ，则系统( 3 1 1 ) 在p o ( o ，o ) 处的特征方程为q 一，) 以+ d ) = 0 ，显然此方程有两个根分别为 = ， 0 ，如= 一d 0 所以p o ( o ，0 ) 是鞍点。系统( 3 1 1 ) 在平衡点鼻( 尼，o ) 的雅可比矩 阵是( 了一d 一+ 口c 口) ，贝。系统( 3 1 1 ) 在只( 七，o ) 处的特征方程是 + ，x 五+ d c 口) ：o 显然此方程有两个根分别是五= 一， 0 和如= c 口一d 故只( 后，o ) 的局部稳走性由以 的证负决定。因此当c 口一d 0 ，鼻( 七，0 ) 是鞍点 由上分析可知当忍( x ，y ) 存在即满足条件( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 时，鼻( 尼，o ) 是鞍点。 1 9 边咖手脚二k一痧 二0 w 一研 ：一一+ 一一一 ! 砂m 可 一 1 一，鬣 x 一后 + 一 d i 一 、j 弋丫r 中北大学学位论文 此时系统c 3 - t ，在最。，j ，+ ，的雅可比矩阵是( 耋荔 其中： x = 一i r 十i 虿a 7 ( j 1 - _ 五m 研) 2 x y ，y = 一i 夏籍，z = 一i 毒锚， = 一毒笋器， 则系统( 3 1 1 ) 在只( x + ，y + ) 处的特征方程是 矛一( x + ) 五+ 朋矿一y z = 0 ，两根之和为x + 形，两根之积为x w y z ，要使最 ，y ) 局部渐近稳定，则应x + 矽 0 。 3 2 具有捕获的模型的建立及平衡点的存在性及局部稳定性 x k + 系统( 3 2 1 ) 的平衡点是： s o ( o ，o ) ；s ( i ，o ) ，i ：后( 1 一坚) 当e 二时墨( 牙，o ) 存在； ， 9 1 s ： + ，y ) ，x + 劬是下面方程组的解 得到： f ，( 一丢 一z 蒜一g 。e = 。 【( 一d + 茄 一g ：e = 。 ：k1(1-m)cet-(q2e+d)坚 r c f l r ：( 1 - m ) c e t - ( d + q 2 e ) x f l ( d4 - q 2 e 、 要保证正平衡点s ：( x ，y ) 存在，需满足以下条件： 2 0 凰 矿 啦 砂 选咖子 兰卜立却 ：，一十 i l 卜 一一一一型肌 一 j一 、j弋巧 l | = 出一衍砂一西 中北大学学位论文 ( 1 - m ) ( c a - d ) - r e f l e c c t - d ( 1 一m ) q 2 一c 励lq ( 3 2 2 ) c 3 2 ，在& c 。聊处的雅可比矩阵是 厂一善广一d 二g ：e ，相应的特征方程是 ( 五一r + qj e x 3 + d + 9 2 e ) = 0 ，根是 = ，一q , e ，3 , 2 = 一d q 2 e 0 ，若二 e 则矗 o ，如 0 ，s o ( 0 ，o ) 是鞍点。系统( 3 2 1 ) 在s 。( i ，o ) 口l 厂一 处的雅可比矩阵是j i x 一口 l ，相应的特征方程与特征根是： l 0 一d + c 口一9 2 e j ( 力+ 纠q + d - c a + q 2 e ) - o ，丑= 一妻i 了c a - d 吣( 那) 是稳定的结点。反之当e l - 妒时一彳 。 所以当m 1 一妒时i f 平衡点s ：( z ，y + ) 是局部渐进稳定的。 2 l 中北大学学位论文 3 3 生态平衡点 设c 是单位努力量的成本消耗，p 。是食饵种群单位生物量的常数价格，p z 是捕食 者种群单位生物量的价格。努力量为e 时所提供的经济利润或净收益为： 万= p qx e + p 2 q 2 y e c e ( 3 3 1 ) 生态平衡点( x 。，y 。，e 。) 由下面的方程组决定： ，( 1 一妻) 一z 歹a j ( j 1 - 了丽m ) y g e = 。， ( 3 3 2 ) 一d + ! 塑型生一口，e ：0 ， ( 3 3 3 ) 缈+ ( 1 一m ) x “ 。 万= p l q l z e + p 2 q 2 y e - c e = 0 = p 1 q l x + p 2 q 2 y c = 0 ( 3 3 4 ) 把( 3 3 4 ) 叫作零获利直线。e h ( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) 得到： r ( 1 - m ) x 2 + c o t ( 1 - m ) 一r ( 1 - m ) d ( 1 - m ) x + o c ( 1 - m ) - r f l y + 娑砂：0 ( 3 3 5 ) 幻l 9 2g l9 29 1叼1 再结合式( 3 3 4 ) 可消去少： f r ( 1 - m ) + 二! 窒1 红】x z + c a ( 1 - m ) 一r ( 1 - m ) 一d ( 1 - m ) 一 a ( 1 - m ) - r f l p , q , 一旦 x 叼1印2 q l q 2q 2q lq 2p 2 q l q 2印2 q l q 2 。c c r ( 1 - m ) - r f l p 2 q l q 2 = 0 r | j a l 石+ 彳2 x + a 3 = 0 ( 3 3 b ，) 其中 a：士丝!垡11 r o - m ) 幻1 印2 q l q 2 c a ( i 一所) r o m ) d ( 1 一聊) 【口( 1 一所) 一r l 了 p l q lc 咿 以，= 一一一一一 。 9 2g l9 2p 2 q l q 2 印2 q l q 2 c a o 一班) 一佣 以1 = 一 口，口口， 中北大学学位论文 (336)中两根之和为一鲁，两根之积为鱼a，4。总成立，有下面几种情况：ia1 c a s e 工：a 3 =c a ( 1 - m ) - r 用 o 即聊 。，彳s 。两根之和一鲁 。即当 c o t ( 1 - m ) 一! ! ! 二竺! d ( 1 - m )! 竺! ! 二竺上望! 旦! 鱼一 丝 o 和聊 。，两根之积鱼a i 。即当 c a ( 1 - m ) 一塑二型一垡! 生竺! 一! 竺! 上竺! 二竺! 旦! 垡! 一生壁 o 和朋 。，么， 。两根之和一鲁 l 一望成立时方程 q 2q iq 2p 2 q j 9 2助2 9 i q 2 口 ( 3 3 6 ) 有一个正根一个负根。 s u b c a s e2 如果彳z 。，彳s 。，两根之积鱼a i 0 当且仅当k j 三一。 瓦2矶而ica磊(1-而m)p丽2q2xooq 】。 “ 2 。 ( c p l g l x 。) + ( 1 一m ) p 2 9 2 x 。1 。 3 4 最优捕获策略 考虑连续时间流上收入的现值 ，= r 万( 砒ye ，t ) e - 痨d t ( 3 4 1 ) 其中万是，时刻的经济利润( 或净收益) x ( x ，j ，e ，f ) = p l q l x e + p 2 q 2 y e c e ，万是贴现 率 8 6 。我们的e t 的是使用尸d 疗删，z 最大值原理 8 5 求