（应用数学专业论文）一类带脉冲哈密尔顿系统的周期边值问题与周期解.pdf

摘要 脉冲微分系统和哈密尔顿系统是微分方程里面的两个重要的研究分 支。关于它们的研究结果有很多优秀的文献和方法。这两个系统都有着深 厚的实际背景，脉冲微分系统是以考虑脉冲面对解的碰撞为主，而哈密尔 顿系统却是源于天体力学的研究。本文的工作就是将这两个系统结合起来 研究，虽然如今没有关于这方面详细的结果，但笔者认为其研究是有价值 的，也是有实际背景意义的。 第一章主要介绍了微分方程的一些历史背景，陈述了脉冲微分系统和 哈密尔顿系统的发展过程，研究方法，以及一些研究成果。并简单介绍本 文的主要工作。 第二章研究了一类低维情况下带脉冲凸哈密尔顿系统的周期边值问 题。主要利用凸性所导出的单调性质，使用上下解理论，给出了这个系统 的周期边值问题的存在性条件。 第三章考虑的问题更为一般化，将凸性去掉，研究带脉冲哈密尔顿系 统的周期解问题。应用g r e e n 函数法和不动点定理，给出了一类系统周期 解的存在性条件。 第四章总结了本文所论述的带脉冲哈密尔顿系统的一些特点，说明研 究结果只是一类特殊情况，陈述了脉冲项的特点，以及出现这些问题的原 因，展望了一些还可以进行的工作。 关键词带脉冲哈密尔顿系统，周期边值问题，周期解 a bs t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh a m i l t o n i a ns y s t e ma ret w om a j o r b r a n c h e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r ea le ap l e n t yr e s u l t so ft h e i rr e s e a r c h ， t h e r ea r eal o to f g o o dl i t e r a t u r ea n dm e t h o d s n et w os y s t e m sh a v eas t r o n g p r a c t i c a lb a c k g r o u n d ，t h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n s i d e r st h e p h e n o m e n o nw h i c ht h ei m p u l s i v ef a c eb e a t ss o l u t i o n a n dt h eh a m i l t o n i a n s y s t e mi sd e r i v e df r o mc e l e s t i a lm e c h a n i c s t h e r e f o r e ，t h i sa r t i c l ec o n b i m e s t o g e t h e rt h et w os y s t e m s ，t h o u g hn o wt h e r ea ren o tm a n yr e s u l t so fi t ，y e ti b e l i e v et h a tt h o s ea len o to n l yv a l u a b l e ，b u ta l s oh a v ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ei n t h eb a c k g r o u n d i nt h ec h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fs o m ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，s u c ha si m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh a m i l t o n i a ns y s t e m ， p a ya t t e n t i o nt ot h e i rd e v e l o p m e n tp r o c e s s ，r e s e a r c hm e t h o d s ，a sw e l la sa n u m b e ro fr e s e a r c hr e s u l t s a tt h es a m et i m e ，w ei n t r o d u c ew h a th a m i l t o n i a n s y s t e mw i t hi m p u l s i v ei ti s i nt h ec h a p t e ri i ，w ec o n s i d e rt h ec o n v e xh a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hi m p u l s e a b o u tt h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nt h el o w d i m e n s i o n a lc a s e i n o r d e rt ow o r ko v e rt h a tp r o b l e m ，w eu s et h ef e a t u r eo fc o n v e x i t y n em a i n a d v a n t a g eo fc o n v e x i t yi sd e r i v e db yt h em o n o t o n o u sf e a t u r e ，w ec a nu s et h e u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o d ，g i v et h et w os y s t e m so fp e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo ft h ee x i s t e n c eo fc o n d i t i o n s ， i nt h ec h a p t e ri i i ，w ec o n s i d e rt h eh a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hi m p u l s ea b o u t p e r i o d i cs o l u t i o n sp r o b l e mw h i c hi sw i t h o u tc o n v e x w ep r o v et h e r ea l e p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h a ts y s t e mv i at of i x e d p o i n tt h e o r e ma n dg r e e n f u n c t i o nm e t h o d i nt h ec h a p t e ri v ，w ep o i n to u tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h eh a m i l t o n i a ns y s t e m w i t hi m p u l s ea n dt h er e s u l t sa l eo n l yf o rak i n do fs p e c i a lc i r c u m s t a n c e s ，a n d w ee x p l a i nt h er e a s o nw h yw eh a v et h i sk i n di m p u l s eo nt h i ss y s t e ma sw e l la s t h er e a s o no ft h ep r o b l e m a tl a s t ，w es u g g e s tw h a ts h u o l db ed o n ei nt h e f u t u r e k e yw o r d s h a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hi m p u l s e ，p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s ，p e r i o d i cs o l u t i o n s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均己在在论文中作了明确的说明。 作者签名：辩文 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 中南大学硕士论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 历史介绍 牛顿曾经说过解方程是有用的他最早使用数学方法研究二体问题，其中需要求 解的运动方程是常微分方程，他以非凡的积分技巧解决了它，而在理论上证明了地球 绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观观点 与此同时，莱布尼兹也经常和牛顿在通信中互相提出求解常微分方程的挑战这可能 就是常微分方程的最早萌芽，可以见到这些数学研究都是和实际力学问题结合在一起 的由此，顺着这样的思潮，许多数学家，例如伯努力家族、欧拉、高斯、拉格朗日 和拉普拉斯都遵循历史传统，把数学研究和当时的力学问题相结合，而这些问题中通 常离不开常微分方程的求解法 早期的常微分方程的求解可以说是不太严密的，这除了由于处于起步阶段以外还 和数学这一学科有着必然联系当时的数学的定义是不太严密的直到十九世纪早 期，柯西给微积分学注入了严密性的要素，才使数学定义逐步正规化，同时他也为微 分方程的理论奠定了一个基石一解的存在性和唯一性定理，这个思想直接影响了后世 的研究 然而在人们的研究过程中逐步发现很多微分方程是不可解的，从而直接导致刘维 尔提出了微分方程的不可解性，这种情况的出现不但没有影响微分方程的发展，反而 在微分方程的基础上产生了两个分支，也成了以后的主要研究方向那就是在十九世 纪末期，庞卡莱和李亚普诺夫分别创立了常微分方程的定性理论和稳定性理论 在后人的研究中也是主要延续了这两个分支，关于定性理论方面庞卡莱等人提出 了动力系统这样一个概念那么什么是动力系统呢? 这就要从常微分方程定性理论的 研究说起考虑定义于彤上的微分方程组 妄叫咖( o ) = 而， 这里，c 【r “，r “】，x oer “，我们知道方程组满足初值条件工( 0 ) = x o 的解纵f ，) 总是局 部存在的如果缈满足一定的条件，那么解烈f ，) 可以对一切f r 和x o r “有定义 为此我们把写成工，如果解烈f ，) 满足下面的条件 1 烈o ，工) = 工，勺k r 。， 2 认s + f ，工) = 认s ，认f ，工) ) ，v s ，f r ，v i r “， 满足上面两个条件的映射缈：r r “一r 4 ，称为尺“中的动力系统或者流 自从2 0 世纪7 0 年代以来，微分动力系统的研究，更广泛的应用到各个领域在经 济数学、气象预报、统计力学等领域里面，微分动力系统的应用已经崭露头脚在系 中南大学硕上论文第一章绪论 统控制、天体力学、流体力学、振动理论、化学反应、生理过程、生态和人口问题等 许多方面的研究中，微分动力系统也展示了广泛应用的前景关于微分动力系统的理 论，详见【l ，2 ，3 ，4 】动力系统除了微分动力系统以外，也衍生出了很多新的动力系 统，比如说随机动力系统、符号动力系统、脉冲动力系统等等 稳定性理论则在工程科学中得到广泛的应用2 0 世纪6 0 年代，l a s s a l l e 的不变原 理极大的推动了l y a p u n o v e 稳定性的发展l y a p u n o v e 关于稳定性的最初定义已经发 展出了很多新的稳定性的定义，其中比较有代表意义的就是实用稳定性的概念 考虑这样的微分方程组 a y = f ( t ，工) ，x ( t o ) = x o ，t o 0 ， ( 1 2 ) “z 其中f ec r + 尺“，r “】，这里假定向量函数，足够光滑，并且对于给定的初值( 气，而) 保证方程组( 1 2 ) 的解x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) 存在，唯一及连续相依性，则可以给出实用稳定 性的定义 定义1 1 称方程组( 1 2 ) 是实用稳定的，如果对给定的( 名，a ) ，o 名 a ，当i i 诒o l l a 时，有 l x ( t ，t o ，x o ) l - - t 2 ，工( f ) = x ( t ；t 2 ，) ) 运动只要系统( 1 3 ) 的解存在则 一直进行下去 我们将具有上述运动过程的( a ) 、( b ) 、( c ) 统称为脉冲微分系统若t k it ： 肛= x ( t ) em ( t ) ，x ( t ) a ( f ) 工( f ) ) ，则称该时刻f t 为脉冲时刻 由脉冲的不同性质可以考虑如下三种特殊情况 情况l固定脉冲时刻的脉冲微分方程 睾= 儿，石) ，t t k ， ( 1 4 ) a x = 厶( 工) ，t = 气，k = l ，2 ， 其中t o t k ，l i m t k = ，七z ， 当t = t k 时有工( 砖) = 吼( 石( 气) ) = 工( 气) + ，( 工( 气) ) ，c r + x d ，r ”】，q r “是个开集，彤 是一个行维欧氏空间，是非负实数，厶：r x d q 有时我们也可以将系统( 1 4 ) 写成如下形式 鲁= 儿，佯气， x ( ) = 阪( x ( t k ) ) ，t = t k ，k = l ，2 ， 其中帆：q _ q ，七z 这种情况的脉冲是最为简单的，也是得到结果最多的一种情况人们在这种情况 下对解、周期解、周期边值问题、稳定性等方面的研究都得到了很多好的结果 情况2 变化脉冲时刻的脉冲微分方程 等= ，( f ，j ) ，f 互( 工) ， ( 1 5 ) 缸= 厶( z ) ，= 气( 力， 3 中南人学硕上论文第一章绪论 其中吒：q r ，r k ( x ) 气+ l ( 工) ，惫z ，x eq ，f c 【矿q ，r ”】，qs r 4 是个开集，尺8 是一个n 维欧氏空间，r + 是非负实数 变化脉冲时刻的系统( 1 5 ) 要比固定脉冲时刻的系统( 1 4 ) 复杂的多，脉冲时刻依赖 于系统( 1 5 ) 的解，即对任意的k ，= t ( x ( 气) ) ，因此，我们也称系统( 1 5 ) 为依赖状态 的脉冲微分方程对于变化脉冲时刻的系统，不同的点可以与同一个曲面t = 气( 石) 相 交多次，这种现象称为“鞭打”现象另外，不同的解在某个时刻丁也可以合为一个 解，这种现象称为“合流 现象 情况3自治脉冲方程 ，7 = i 二= f ( t ，工) ，x 仨盯，( 1 6 ) a x = ，( 石) ，x e 暝 其中仃是相空间q 尺”中的甩一1 维流形，f c r + q ，r ”】，q r “是个开集，尺“是 一个n 维欧氏空间，是非负实数，i ：尺qoq 这种情况就更为复杂了如果盯被方程矽( 工) = 0 所决定，那么系统( 1 6 ) 就有下面 的特殊形式 ，7 = ；= f ( t ，工) 矿( 上) 0 ， 以f 工= ，( 工) ，矽( 工) = 0 容易发现，脉冲微分方程是微分方程和差分方程的综合体，其理论研究比纯粹的 连续系统或离散系统有着丰富内容所以对一般微分方程的研究，在理论上都可增加 脉冲项作进一步地讨论，并在实际中可能得到应用关于脉冲微分方程的理论研究， 现有的一些成果主要集中在以下几个经典问题中：( 1 ) 解的基本理论；( 2 ) 周期解( 边 值) 问题；( 3 ) 稳定性理论；( 4 ) 振动性理论这些结果中，大多是常微分方程理论的平 行推广，但也有很大的差异，并由此给定性分析带来了困难，如：脉冲微分方程的不连 续性导致已有方法需要改进或不在适用，特别是需要关于不连续函数的一般理论和新 的方法事实上，目前讨论比较多的结果主要集中在固定脉冲时刻的脉冲微分方程， 对变脉冲时刻和脉冲自治方程的结果并不丰富，研究方法上缺乏有效手段具体的定 义和方法可见【5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ， 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 1 ，而【1 8 ，1 8 ，1 9 ， 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 1 又针对脉冲微分方程的上 述问题做出了比较好的改进， 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 给出了研究此类问题的一些新 的方法 1 3 哈密尔顿系统介绍 哈密尔顿系统起源于天体力学的研究，也是一类特殊的微分系统，它的特殊性主 4 中南大学硕七论文 第一章绪论 要体现在两个方面。一是具有辛结构，二是变分方法首先要声明的一个问题就是哈 密尔顿系统也是常微分系统，人们很容易因为变分而想到偏微分，这是一个误区 那什么是哈密尔顿系统? 为此我们首先给出哈密尔顿系统的定义 我们考虑这样的系统 jd u ( t ) + v h ( t ，“( f ) ) ：0 ，n 巴f 【o ，丁】， ( 1 7 ) 其中j = j 2 n = ( 一羔吾) ，也称为辛结构， 日：【0 丁】尺2 “一尺，日( f ，“) 对几乎所有 t e 【o 列关于露是连续可微，对每个u r 2 ”关于t 是可测的 当n = l 的时候，系统( 1 7 ) 就有如下的形式 d x _ ( t ) ：h y ( 石，) ，f ) ，口巴f 【o ，丁】， 掣= - h 如，y ，f ) ，伽吲。用， ( 1 8 ) 这是一种对称结构，不论日关于变量工、y 凸还是不凸，都有很多很好的结果 如果日关于变量工、y 非凸，我们可以使用对称方法来找出系统( 1 8 ) 的周期解和周期 边值解，理论基础就是生成函数的使用 生成函数的定义如下： 令g ：r 2 “一r 2 “是一个正则变换，( ) ，】，) r 拍，l 2 定义) ，y 为尺“中的内积 又有功一x d y 二蜘是恰当积分，其中x - - - - 挈，如警， 并且假设d e t 娶生娑0 ，则有该正则变换是自由的，在这种情况下，函数g 就能够被 d k x ，) 表示成如下形式g ( x ，y ) = g l ( y ，y ) 那么我们就称g l ( y ，y ) 是正则变换g 的生成函数 用生成函数来解决低维数的哈密尔顿系统的周期解和周期边值问题已经有很多 结果了，详情可见 3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 这种对称方法在实质就是使用的首次积 分的观点，并且可以看出哈密尔顿系统的理论基础就是s t o k e s 公式，具体的证明见 【4 2 】。 上面简单的介绍了非凸情况下哈密尔顿系统的一些研究成果，其实人们关于凸 情况的研究更多一些，最特殊的凸情况就是二次型了，在这里我们不谈这种特殊的情 况，而是谈谈更为普通的凸的情况 相对于非凸情况而言，凸情况就是如下的形式 5 中南大学硕上论文 第一章绪论 j 坐婴+ v h ( t , u ( f ) ) = 0 ，黜f 【o ，丁】， ( 1 9 ) 其中j - = j 2 n - ( 三针也称为辛徽吣r 雠2 洲t , u ) g e i ) l 乎t e t 0 , t 】 关于u 是连续可微并且是凸的，对每个u r 2 “关于t 是可测的 由于有了凸性这个条件，我们在处理问题的时候就有了另外一套思路，那就是对 偶原理的使用，这也是凸性下哈密尔顿系统的最大亮点 首先我们来看看l e g e n d r e 变换 函数f f o ( 月“) 的l e g e n d r e变换f + ：r ”一r ，定义如下： ，( v ) = s u p ( ( v ，比) 一f ( “) ) ，其中f ：r 4 一尺，r o ( 尺“) 是所有凸下半连续函数的集合 则茴凇尔顿系统的l e g e n d r e 变换就可以表述出来了 令l ：【0 ，t x r 8 x r “j r ，l ( t ，x ，y ) 是一个光滑函数，对每个( f ，工) 【o ，t x r ”， l ( f ，) f o ( r n ) 是严格凸并且当髓一二时，学- - ) 佃，那么r c 1 ( 尺一，r ) h 于是我们可以定义l ( t ，x ，) 的l e g e n d r e 变换h ( t ，x ，) 如下 h ( t ，x ，z ) = s u p ( z ，y ) 一l ( t ，工，) ，) 】； 乒 或者h ( t ，x ，z ) = ( z ，y ) - l ( t ，x ，) ，) ，z = d y l ( t ，工，y ) ，y = d z h ( t ，工，z ) ； 上面的过程也被称为哈密尔顿对偶 实际上在变分法中的l e g e n d r e 变换不一定要求凸这个条件，就直接有 f ( ，) = s u p ( ( v ，“) 一，) ) 这样的表达式，详情可见【4 4 】 这只是在凸性下哈密尔顿系统的一种对偶，还有一种对偶叫做c l a r k e 对偶，它其 实是哈密尔顿对偶的一种特殊形式，具体的表达式见【4 5 】 不论哈密尔顿对偶还是c l a r k e 对偶在研究凸性下哈密尔顿系统解的性质中都起到 了很关键的作用，如今也有很多这方面的著作和文章，详情可见 4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ， 5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 我们换一个角度来思考问题，对非自治的哈密尔顿系统而言，h ：【o ，t x r 2 4 _ r ， h ( t ，比) 对几乎所有t e 【o ，t 】关于“是连续可微并且是凸的，对每个“r 2 “关于t 是可 测的这样的描述其实就满足了卡氏条件，对于满足了卡氏条件的函数，我们总可以 对它进行有效的放缩比较常用的放缩有 ( ，( f ) ，“) s 日( f ，“) 譬l “ 2 + ，o ) ， 其中z r ( o ，t ，r 2 “) ，o ) l 2 ( o ，t ，r + ) ，口( o ， 当) ，f 【o ，丁】 6 中南大学硕士论文 第一章绪论 或者针对哈密尔顿对偶进行放缩，则有 l l ( t ，五y ) l 口( 怫( 易( f ) + ) ； i d , l ( t ，工，) ，) i - - - a ( i x l ) ( b ( t ) + ly l ，) ； l d y l ( t ，) ，) i 口( 陬c ( f ) + 。1 ) ； 其中三+ 三：1 ，口c ( 尺+ ，r + ) ，b 已( o ，丁，尺+ ) ，c l q ( o ，t ，r + ) ，1 q 0 ， 当工f ，七z ， ，f 2 ( t k - l t k ) n o ，丁】并且i f l - t 2 l 万时，就有l 工( ) 一工( f 2 ) l r ；比( f ) 除去某些气点是连续的， 在那些气点上“( ) 和u ( t d 存在并且“( 巧) = “( 气) l ，p c l ( d ，尺) = “：d 一尺；甜( f ) 除去某 些气点是连续可微的，在那些& 点上“( f ：) 和“( 譬) 存在并且“( t d - u 。( 气) ) 令e = p c ( 0 ，r 】，r ) np c i ( 【o ，丁】，尺) 我们给出系统( 2 9 h 2 1 3 ) 上下解的定义 定义2 5函数易e 称为系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的上解，如果下列条件成立 6 。o ) h ，( 6 ，y , t ) ，t 气，口已t e 【0 ，t 】； 易( 气) 孱易+ 靠) ，t = 气，k = 1 ，2 ，q ； 易( o ) 易( 丁) 定义2 6函数aee 称为系统( 2 9 ) 、( 2 “) 、( 2 1 3 ) 的下解，如果下列条件成立 口( f ) h y ( 口，y ，f ) ，t 气，a e t e 【o ，丁】； a a ( t k ) 羼口+ 妖y ，t = 幺，k = 1 ，2 ，q ； a ( o ) 口( 丁) 定义2 7函数易e 称为系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的上解，如果下列条件成立 6 。( f ) - h ，( 工，b ，f ) ，t 吒， a e f 【o ，丁】； 1 4 中南大学硕上论文第二章带脉冲凸哈密尔顿系统周期边值解 a b ( t k ) 一a k x p k b ，t = 气，k = 1 ，2 ，q ； 易( o ) 易( 丁) 定义2 8 函数a ee 称为系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的下解，如果下列条件成立 a ( f ) 一h ，( j ，a ，) ，t 互，口巴t e 【o ，丁】； a a ( t k ) 一t t k x f l k a ，t = 气，k = l ，2 ，q ； 口( o ) 口( 丁) 定义2 9 函数日，b ep c i ( 【o ，丁】，r “) 如果满足定义2 5 和定义2 6 ，并且将定义中不等号 改成等号，那么函数a ，b 就称为系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的拟解对 定义2 1 0 函数 ，d a ，纠是系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的解并且对任意其他的解 x ed a ，b 】，有如下的不等式成立：v ( t ) x ( t ) ，( v ( t ) x ( f ) ) ，t e 【o ，r 】，那么函数y 就 称为系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的周期边值问题的最小( 最大) 解其中集合 d a ，b 】= o r ep c i ( 【o 丁】，r “) ：4 ( f ) 仃( f ) 易( f ) ，t 【0 ，t 】 定义2 1 1 函数p ，r ed a ，易】如果是系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的拟解对并且对系统( 2 9 ) 、 ( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的任意拟解对y ，w ed a ，b 】满足以下的不等式p ( t ) v ( t ) ，从，) sr ( t ) ， t e 【o ，丁】，那么就称函数p ，r ed a ，6 】系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的周期边值i 口- j 题的 最大最小解对 引理2 2 t 3 u 令m ep c i ( 【o ，丁】，尺) ，并且有 皇! 坚堕一m m ( f ) ，t e 【o ，z 】，f 气； t i t t u n ( t k ) 一厶辫纯) ，k = 1 ，留j 其中丘1 并且品( 1 一厶) e 一胁 1 则当m ( o ) m ( t ) 时，有r e ( t ) 0 ，t e 【0 丁】 定理2 1 假设下列条件满足 ( 1 ) 函数a 和b 分别是系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 的下解和上解，且当t e 【o ，丁】时 口o ) 易( f ) ； 1 5 中南人学硕士论文 第二章带脉冲凸哈密尔顿系统周期边值解 ( 2 ) 函数h ，： 【0 ，t x r xr 寸r 是连续的并且满足不等式 h y ( “，) ，t ) - h y ( 1 ，y ，f ) 一肘( y ) ( 比一v ) ， 其中f 【o ，丁】，口( f ) v “易( f ) ， 0 m ( y ) m ，m ( ) ，) 是关于y 的函数，m 是常数； ( 3 ) 函数l ：rjr 是连续的并且满足不等式厶( 比，y ) - i t ( v ，y ) 一厶( ) ) ( “一 ，) ，其 中a ( t k ) v u 6 ( 气) ，k = 1 ，q ，l k ( y ) s 厶，兀：；l ( 1 - l k ) e 一胁 1 ； 则存在单调序列慨( f ) ) ， 勿( f ) l ，其初值a o ( t ) = 口( f ) ，b o ( t ) - b ( t ) ，并且对任意的 f 【o ，丁】，! i m a i ( t ) = p ( f ) ， 一i m b ；( t ) = r ( t ) - - 蒯e ，p ，r 分别是系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 13 ) 在d a ，易】的周期边值问题的最小和最大解 证明：由于系统( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 。1 3 ) 满足引理2 2 的条件，即对每个7 7 d a ，b 】，考虑 这样的周期边值问题 d x ( t ) ：h 。( 7 7 ，) ，f ) 一肘( ) ，) ( 工一7 7 ) ，f 气， d t 7 血= f i ( r ( v k ) ，y ) - 厶( y ) ( 工一r l ( r k ) ) ，k = 1 ，q ， ( 2 1 6 ) 工( 0 ) = x ( t ) ， 系统( 2 1 6 ) 有解，其形式如下 删2 品( 1 瑚蝴缸o ) + 胆( 1 吲缈。h ( 够( 槲触d 删力项珊 + 。丕1 7 觯( 1 _ 厶( 力弦川欢”) ( 姒巩引) + l k ( y ) r l ( v k ) ) ， 由x ( o ) = 工( 丁) 贝0 有 石( o ) = z ( 丁) = ( 1 一鱼( 1 一厶( ) ，) ) e 埘r ) - 1 嚣 ，( 1 一厶( ) ，蹦订( 日，( 7 7 ( 蛾) ，( 破s ) + m ( y ) 7 7 ( s ) ) 出 + 。：。h r ( 1 一厶( ) ，) ) e m ( y x r t - t ) ( t ( 7 7 ( 气) ，y ) + 厶( ) ，) 7 7 ( 气) ) l ( 宰) 1 6 中南大学硕士论文 第二章带脉冲凸哈密尔顿系统周期边值解 定义算子s ：d a ，纠一p c i ( o ，丁 ，尺) ，勋= 工，我们断言s 具有下面3 条性质： ( i ) 如果7 7 d 【以，易】，那么s r l ed a ，易】； ( i i ) a s a ，s b b ； ( i i i ) s d a ，剀中单调增加的算子，也就是说y w 。y ，w ed a ，剀时，有s v s w 令p = 口一x ，由定理中的条件( 3 ) 和( 4