圆的方程及其性质专题(教师版).doc

圆的方程及其性质专题 1. 知识点： 圆的定义：动点到定点的距离相等的所有点的集合。 圆的标准方程： 圆的一般方程： 圆的参数方程 关于参数方程与普通方程 并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组（1），称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间的变数t称为参变数，简称参数。 点与圆的位置关系 直线与圆 弦长公式、切线方程： 圆与圆的位置关系 设圆心距为d，两圆半径分别为r1和r2， 【典型例题】 例1. 求过点A（2，3），B（2，5）且圆心在直线x2y30上的圆的方程。 解法1： 解法2： 小结：解法1利用了待定系数法，解法2利用了圆的几何性质。这两种方法在解析几何中经常用到，要注意选择恰当的方法。 例2. 已知ABC的三个顶点为A（1，4），B（2，3），C（4，5），求ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径。 解法1： 解法2：例3 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为圆心在上，故圆的方程为又该圆过、两点解之得：，所以所求圆的方程为解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的距离为点在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例4 当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一 (判别式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0=4m(3m+4)当=0时，得m=0或m=-时，直线与圆相切.当0时,得m0或m-时，直线与圆相交.当0时，得-m0时，直线与圆相离.分析二 (几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=当d=2时，即m=0或m=-时，相切当d2时，即-m0时，相离当d2时，即m0或m-时，相交例5已知圆，求过点与圆相切的切线解：点不在圆上，切线的直线方程可设为根据 解得 所以 即 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解 例6. 自点P（3，3）发出的光线l经x轴反射，其反射线所在直线正好与圆 解法1： 解法2：斜率k待定）。 由题设知对称圆的圆心C（2，2）到这条直线的距离等于1， 例7 已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.(2)求直线l被圆C截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.分析 若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可.但注意到直线l的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=525点(3，1)在圆内这样，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l过定点M(3，1)，且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长AB最短.MO=且r=5弦长=2=4此时kl=- -=-=2m=-代入直线l得方程2x-y-5=0例8 设点是圆是任一点，求的取值范围分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替、，转化为三角问题来解决解法一：设圆上任一点则有，即（）又解之得：分析二：的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线与圆有公共点，可确定出的取值范围解法二：由得：，此直线与圆有公共点，故点到直线的距离解得：另外，直线与圆的公共点还可以这样来处理：由消去后得：，此方程有实根，故，解之得：说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便例9已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值分析：涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)(法1)由圆的标准方程可设圆的参数方程为（是参数）则（其中）所以，(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1所以所以例10 圆上到直线的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆的圆心为，半径设圆心到直线的距离为，则如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意又与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点设所求直线为，则，即，或，也即，或设圆的圆心到直线、的距离为、，则，与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共3个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心到直线的距离为，则圆到距离为1的点有两个显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断变式：圆上到直线的距离为的点共有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个分析：把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选CGOBNMyAx图3CA例11自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切（1）求光线和反射光线所在的直线方程（2）光线自到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点的对称点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为根据，即求出圆的切线的斜率为或进一步求出反射光线所在的直线的方程为或最后根据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程为或光路的距离为，可由勾股定理求得说明：本题亦可把圆对称到轴下方，再求解例12 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值分析：设、两点的坐标为、，则由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为，由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出的值，从而使问题得以解决解法一：设点、的坐标为、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程组的实数解，即、是方程的两个根，又、在直线上，将代入，得将、代入，解得，代入方程，检验成立，解法二：由直线方程可得，代入圆的方程，有，整理，得由于，故可得，是上述方程两根故得，解得经检验可知为所求 说明：求解本题时，应避免去求、两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点、存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感强化提升：A组一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3a7 B.-6a4C.-7a3D.-21a192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1)B.(3，-2)C.(4，1)D.( +2，-3)4.若直线x+y=r与圆x2+y2=r(r0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.25.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)(x-a)2+y29，若MN=M，则实数a的取值范围是.8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是 ，过点P的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OPOQ(O是原点)，求m的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+有两个不同的交点，求实数k的取值范围.B组一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是( )A.a1B.aC.aD.a3.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C0B.B=1且D2+E2-4AF0C.B=0且A=C0，D2+E2-4AF0D.B=0且A=C0,D2+E2-4AF04.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( )A.(，5)B.(5，1)C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+2=4的内部，则k的范围是( )A.- k-1B.- k1C.- k1D.-2k2二、填空题6.圆x2+y2+ax=0(a0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a2x2+(2a+3)y2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是 .三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l从点P(1，-1)射出，经过y轴反射后与圆C：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l所在的直线方程.参考答案：【同步达纲练习】A级1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2a2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.(,)AA级1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.(- ,0), 7.-1 8.(- ，) 9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练