（概率论与数理统计专业论文）随机利率风险模型的分红问题的讨论.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 随机利率风险模型的分红问题的讨论 摘要 本文考虑了随机利率风险模型的分红问题首先考虑了随机利率下带扰 动古典模型的b a r r i e r 策略，得到了分红函数所满足的积分微分方程，并且 在索赔服从指数分布的情况下，找出了方程的精确解；随后考虑了总折现分 红额的矩母函数，得到了它所满足的积分一微分方程；最后研究了随机利率 下布朗运动模型的最优分红策略，得到了t a 目标函数满足的方程，并给出 了精确的解 根据内容本文共分为以下四章： 第一章主要介绍了风险过程的分红问题的发展过程及现状，回顾了研究 各种风险模型的重要著作及其研究方向和成果 第二章主要回顾了风险理论的主要模型和分红问题的有关知识，为第三 章和第四章内容做了充分的准备工作 第三章考虑随机利率下带扰动古典模型的b a r r i e r 策略利用此过程的 马氏性，得到分红函数满足积分微分方程： 圭( 口磊箩2 + 玎刍) y ( 暂；+ ( r y + c ) v ( 彰；6 ) 一( a 十否) y ( 箩；6 ) + 入f o r v ( ! t - x ；b ) p ( z ) d 奎= 。，。可6 ， 以及边界条件： y ( 0 ；b ) = 0 ， ( 6 ；6 ) = 1 在索赔服从指数分布的情况下，找出了方程的精确解 利用类似的方法得到了总折现分红额的矩母函数m ( u ，o r ；6 ) 满足积分 曲阜师范大学硕士学位论文 微分方程： 弘矿+ 昂) 笔笋+ l r y + c ) t o m ( y , a ib ) 一6 q 1 0 m c y r , a , b ) ，暑，f o o 一入m ( y ，o r ；b ) + a m ( y z ，q ；b ) p ( x ) d x + 入 p ( $ ) d 匆= 0 ，0 y b ， j 0 j u 以及边界条件： m ( o ，o r ；b ) = 1 ， om(y,a；b)iv=b-ym(6，口；6)coy 1 “p u u ，。 在索赔服从指数分布的情况下，找出了方程的精确解 第四章研究了随机利率下布朗运动模型的t a 目标函数对于有界的 分红强度，我们得到h j b 方程： 0 = - z v ( v ) + ( c + r v ) v 7 ( 耖) + i il t 口r 2 可2 + 仃刍) y ( 暑) + a + s u p ( 1 一v ( s ) ) 2 ) 通过解此方程，我们得知此时最优策略是t h r e s h o l d 策略对于无界的分红强 度，我们得到h j b 方程： m a x 去( 盯磊y 2 + 盯刍) y ( y ) + ( c + r v ) v 7 ( 可) 一卢y ) + a ，1 一v 7 ( 可) ) = 0 ， v ( o ) = 0 通过解此方程，我们得知此时最优策略是b a r r i e r 策略 关键词：随机利率；布朗运动；t - a 目标函数；h j b 方程；积分微分方 程 - n a b s t r a c t i nt h et h e s i s ，w ec o n s i d e rt h er i s km o d e l sw i t hs t o c h a s t i cr e t u r no ni n v e s t m e n t f i r s t l y , w eg e tt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h ev a l u e f u n c t i o ni nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o na n ds t o c h a s t i ci n t e r e s t ，u n d e r t h eb a r r i e rs t r a t e g y i nt h ec a s eo fe x p o n e n t i a lc l a i ms i z e s ，w eg e tt h es o l u t i o n s o ft h ee q u a t i o n t h e n ，w ec o n s i d et h em o n m e n tf u n c t i o no ft h ep r e s e n tv a l u e o fa l ld i v i d e n d su n t i lr u i n f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g y i nt h ed i f f u s i o nm o d e l sw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s t ，a n dg e tt h ee q u a t i o n ss a t i s f i e d b yt h et ao b j e c t i v ef u n c t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h ed e v e l o p m e n to ft h ed i v i d e n dp a y m e n ti n t h er i s kp r o c e s s e sa n dm a i nr e s u l t s ，t h ec o n c l u s i o n so ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l i nc h a p t e r2 ，w ep r e s e n tt h em a i nr i s km o d e l so fr i s kt h e o r y , a n dp r e s e n t t h ec o n t e n t sa b o u tt h ed i v i d e n dp a y m e n t t h e ya r ea l lt ob er e a d yf o rt h e n e x tc h a p e r s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o na n d s t o c h a s t i ci n t e r e s t ，a n dg e tt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e db yt h e v a l u ef u n c t i o n ，u n d e rt h eb a r r i e rs t r a t e g y t h ee q u a t i o ni sf o l l o w i n g ： 三( 盯磊可2 + 口刍) y ( 可；6 ) + ( r y + c ) y 7 ( y ；6 ) 一( a + 6 ) y ( ；6 ) + a z 耖y ( y - x ；b ) p ( z ) d z = 。，。可6 ， w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s y ( 0 ；b ) = 0 ， y ( 6 ；b ) = 1 i nt h ec a s eo fe x p o n e n t i a lc l a i ms i z e s ，w eg e tt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n 1 a l s o ，w eh a v et h ee q u a t i o ns a t i s f i e db yt h em o n m e n tf u n c t i o no ft h e p r e s e n tv a l u eo fa l ld i v i d e n d su n t i lr u i n ： 丢( 矿磊矽2+ 砟) 伊m ( y ，口；b ) a m ( y , a ；b ) 动2 + r o + ( ，可+ c ) 堡掣一匹a 下o m ( y , a ；b ) d d o l m ( y z ，q ；b ) p ( x ) d x + a w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s m ( 0 ，q ；b ) = 1 ， p ( x ) d x = 0 ，0 y b ， 猁y=b=ym(b，0f；6)oy y = b “。， i nc h a p t e r4 ，w ep r e s e n tt h ee q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h et ao b j e c t i v e f u n c t i o ni nt h ed i f f u s i o nm o d e l sw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s t w h e nt h er a t eo fd i v i d e n dp a y o u ti sb o u n d e d ，w eg e tt h eh j b e q u a t i o n ： 1 0 = 一p y 白) + ( c + r y ) v ( ) + 百1 口r 2 可2 + 口刍) y 白) + a + s u p ( 1 一v ( 可) ) ：) o s l s 肘 b ys o l v i n gt h i se q u a t i o n ，w eg e tt h a tt h eo p t i m a ls t r a t e g yi st h r e s h o l ds t r a t e g y w h e nt h er a t eo fd i v i d e n dp a y o u ti su n b o u n d e d w eg e tt h eh j be q u a t i o n ： 1 m a x i 1l 仃r 2 可2 + 盯；) y ( y ) + ( c + r y ) v 0 ) 一z v ( y ) + a ，1 一y 7 白) ) = 0 ， v ( 0 ) = 0 b ys o l v i n gt h i se q u a t i o n ，w eg e tt h a tt h eo p t i m a ls t r a t e g yi sb a r r i e rs t r a t e g y k e y w o r d s ：s t o c h a s t i ci n t e r e s t ；b r o w n i a nm o t i o n ；t - ao b j e c t i v ef u n c t i o n ； h j be q u a t i o n s ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明；此处所提交的硕士论文( ( 随机利率风险模型的分红问题 的讨论，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已 明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：扎翠掣 日期：2 以纥 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 随机利率风险模型的分红问题的讨论系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜 师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师 范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部 或部分内容 作者签名：轧 导师签名：占 乡 ， f 仨坼 埘 螂 期 期 日 日 翠眙t 挈互 第一章绪论 风险论发展至今已有很长的历史，并且有一个狭义的精确的定义：风险 论是用以设计，管理与规范一个风险企业的诸相关思想的综合一个具有风 险的企业是以这样的事实为其特征的：即在其正常运作的会计核算周期内， 开销也许会超出收入尽管大多数对风险论作出贡献的人把保险公司视为风 险企业的主要例子，但稍作修整此理论也可以用于其他类型的操作 随着风险理论的发展，人们根据保险公司的实际运作程序，将分红问题 纳入了研究的范围通过对这个问题的研究，给保险业带来了很大的帮助， 为保险公司制定合理的分红计划，提供了可靠的理论依据 最优分红问题最初是由d ef i n e t t i 在1 9 5 7 年第1 5 届国际金融大会提出 的，在他的论文中，考虑的是一种离散时间的风险模型，并且在假设单位时 间内的收入额或者是1 或者是一1 的情况下，得到了令人满意的结果比如 他在论文中指出此种情况下，最优分红策略必定是b a r r i e r 策略，并且得到了 确定最优分红界限的方法 随后，寻找最优分红策略的问题扩展到了连续时间的风险模型g e r b e r ， s h i u 在这个领域做出了很大贡献例如：对于布朗运动模型下的这些问题 g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ) 给出了详细的结果；并且在g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 a ) 中考虑 了复合泊松模型同时，其他人也对各种风险模型的b a r r i e r 策略进行了研 究例如：l i ( 2 0 0 6 ) 给出了带扰动的复合泊松模型下的结果；c a i ，g e r b e r ， y a n g ( 2 0 0 6 ) 考虑了一种o - u 模型；f a n g ，w u ( 2 0 0 7 ) 对常利率的复合泊松模 型进行了讨论；p a u l s e n ，g j e s s i n g ( 1 9 9 7 b ) 考虑了随机利率的古典风险模型的 分红问题 对分红问题的不断深入研究，使得人们意识到在b a r r i e r 策略下，保险公 司最终一定破产，而且这种策略不适用于现实生活中，于是引入了t h r e s h o l d 策略例如：t a k s a r ，a s m u s s e n ( 1 9 9 7 ) 指出在布朗运动模型中，若分红强度 有界，则最优分红策略为t h r e s h o l d 策略；g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 b ) 对此也做了 详细的分析和研究；对于古典风险模型，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 a ) 利用h j b 方 程刻画了分红函数，并指出在索赔额服从指数分布的情况下，最优分红策略 是t h r e s h o l d 策略 第一章绪论 近年来，人们又将分红问题进一步扩展，除了考虑分红额的最大值以外， 将破产时也考虑其中，正如t h o n h a u s e r ，a l b r e e h e r ( 2 0 0 7 ) 中所定义的t - a 目 标函数一样，此论文对布朗运动模型和古典风险模型都进行了详细的研究； m e n g ，z h a n g ( 待发) 考虑了常利率的风险模型的t - a 目标函数在本文中， 研究的是随机利率的布朗运动模型，利用m e n g ，z h a n g ( 待发) 中类似的方法 得到在此种模型中t a 目标函数的精确解 本文的完成同时参考了s p i e g e l ( 1 9 6 5 ) ，b u h l m a a a ( 1 9 7 0 ) ，成世学、严颖 ( 1 9 7 9 ) ，劳斯( 1 9 9 7 ) ，d i c k s o n ，w a t e r s ( 2 0 0 4 ) 中的一些知识 2 第二章预备知识 2 1 风险模型 设( q ，f p ) 是一完备的概率空间，以下定义的所有随机变量都包含在 这个空间中 ( 1 ) 设保险公司在t 时刻的盈余为只： 。 晟= y + 统一& ，t 0 ， ( 2 1 1 ) 其中y 0 为公司的初始金，c 0 为单位时间内所收取的保费， & ，t o ) 为随机过程，称为索赔过程在本文中，我们假设 s t ，亡o ) 为复合p o i s s o n 过程，即 竺 s t = ：五，t 0 ，( 2 1 2 ) i = 1 其中 批；t o ) 是参数为a 的p o i s s o n 过程，称之为索赔计数过程，批表 示到t 时刻发生的索赔次数五是第i 次索赔额，五，i = 1 ，2 ，之间独立 同分布，且与 m ；t o ) 相互独立模型( 2 1 1 ) 即为古典风险模型，由于它 具有马尔可夫性、时齐强马尔可夫性、平稳独立增量性等很好的性质，所以 它是讨论最多、结果最丰富的风险模型 关于模型( 2 1 1 ) 的讨论可参见g e r b e r ，s h i u ( 1 9 9 8 ，2 0 0 6 a ) ，p a u l s e n ( 1 9 9 8 ) ， 成世学( 2 0 0 2 ) 等等 ( 2 ) 在风险理论中，还经常用布朗运动来刻画保险公司的余额过程： p t = y4 - c t4 - 唧，t ，t 0 ，( 2 1 3 ) 其中y 0 为公司的初始金；c 0 为单位时间内收取的保费； t t o 为一标准布朗运动过程( 2 1 3 ) 即为布朗运动模型 关于模型( 2 1 3 ) 的讨论可参见y o r ( 1 9 9 2 ) ，p a u l s e n ( 2 0 0 3 ) ，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ， 2 0 0 6 b ) 等等 ( 3 ) 带扰动的古典风险模型是指： 肌 p t = y 4 - c t 一五+ 唧加t 0 ， ( 2 1 4 ) 3 第二章预备知识 其中y 0 为公司的初始金；c 0 为单位时间内收取的保费； 批，t o ) 是 服从参数为入的p o i s s o n 过程；五，i = 1 ，2 ，为一列非负独立同分布的随机 变量，并设尸( z ) ，p ( x ) 分别为五的分布函数和密度函数； ，t t o 为一标 准布朗运动在模型( 2 1 4 ) 中， 批，t o ) ， 五，i = 1 ，2 ，) 与 t ，t o ) 之间是相互独立的 关于模型( 2 1 4 ) 的讨论可参见l i ( 2 0 0 6 ) ，c a i ，y a n g ( 2 0 0 5 ) 等等 ( 4 ) 随机利率的风险模型是在原过程的基础上加入利率过程 忍，t o ) ，其 中 忍，t o 是一随机过程在本文中，我们假设 忍= r t + o r w r ，t ，t 0 ，( 2 1 5 ) 其中 ，t ，t o ) 是一个标准布朗运动；r 0 ，口r 0 均为常量 由风险过程( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 以及( 2 1 4 ) 分别和利率过程( 2 1 5 ) 决定的 风险过程就是线性随机微分方程 ，i t y t = r + k d r 。 ( 2 1 6 ) ，0 的解模型( 2 1 6 ) 即为随机利率下的风险模型 关于模型( 2 1 6 ) 的讨论可参见s u n d t ，t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) ，p a u l s e n ，g j e s s - i n g ( 1 9 9 7 a ，1 9 9 7 b ) ，s c h m i d l i ( 2 0 0 1 ) ，a s m u s s e n ，t a k s a r ( 1 9 9 7 ) 等等 注过程 b ，古o ) ， 忍，t o ) 都具有平稳独立增量性，并且它们之间 是相互独立的，根据p r o t t e r ( 1 9 9 2 ，定理3 2 ，p 3 2 8 ) 知过程 k ，t o ) 是一个 齐次的强马氏过程 2 2 分红问题的有关知识 我们用过程l = 厶，t o ) 来表示累积分红，并假设此过程是a d m i s s i b l e ， 即是一个正的递增的右连左极过程，并且关于 e ，t o 是适应的以厶 表示到亡时刻时的总分红额，则修正余额过程为 砰= m l t ， t20 ， ( 2 2 1 ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 其破产时7 - = i n f t ：路= o ；若此集合为空，则7 - = ( 3 0 直到破产时为止的 总折现分红额为 l - - - e - 6 t d l t ， ( 2 2 2 ) ，o 其中6 0 为折现率 在这里我们要求分红不能引起破产，厶一l t 一跆，并且l o 一= o 破 产发生后，不再分红，即当t 7 时，l t = l r ( 1 ) 分红函数是指： ，r y ( 可；l ) = e l - - - e e - 6 t d l t ( 2 2 3 ) ，0 其中6 o 为折现率 分红问题的经典问题是寻找策略厶使得分红函数y ( y ；l ) 取得最大值 或是其上确界 ( 2 ) t a 目标函数是指： ，-，r y ( 可，l ) = e ( ( e 一肛d l t + e 一加a d t ) 谐= 秒) ， ( 2 2 4 ) ，o，0 其中p 0 ，a 0 均为常数 在第四章中研究的是寻找策略l 使得t - a 目标函数取得最大值或是其 上确界 我们讨论的分红策略主要是指b a r r i e r 策略和t h r e s h o l d 策略： ( 1 ) b a r r i e r 策略，是指对某个固定常数b 0 ，当路 0 ，当k l 0 之后，超出 部分全部分红；否则不分红并且讨论其分红函数以及寻找最优分红限的问 题例如：对于布朗运动模型下的这些问题g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ) 给出了详细的 结果；并且在g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 6 a ) 中考虑了复合泊松模型；l i ( 2 0 0 6 ) 给出了 带扰动的复合泊松模型下的结果；c a i ，g e r b e r ，y a n g ( 2 0 0 6 ) 考虑了一种o u 模型；f a n g ，w u ( 2 0 0 7 ) 对常利率的复合泊松模型进行了讨论 本文考虑了随机利率下带扰动的古典风险模型的分红问题，给出了分红 函数满足的积分一微分方程，在索赔额为指数分布时得到了分红函数的具体 表达式；最后研究了总折现分红额的矩母函数，并给出特例下的具体表达式 3 2 风险模型 设( q ，ep ) 是一完备的概率空间，以下定义的所有随机变量都包含在 这个空间中 保险公司的余额过程设为 ( 3 2 1 ) 其中y 0 为公司的初始金；c 0 为单位时间内收取的保费； 批，t o ) 是参数为a 的p o i s s o n 过程；五，i = 1 ，2 ，为一列非负独立同分布的随机 变量，并设p ( z ) ，p ( x ) 分别为五的分布函数和密度函数； ，t t o ) 为 一标准布朗运动在此模型中， 批，t o ) ，【x ，i 1 ) 与 ，。，t o ) 之间 是相互独立的 设利率过程为 r = r t + o r w r ，t ， t 0 ， ( 3 2 2 ) 6 0 一 幻 唧 + 噩 肌甜 一砑+ y = r 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 t t o ) 是另一个标准布朗运动；t 0 ，咖0 均为常量在本文 中，我们假设 r ，t o 】与 忍，t o ) 是两个独立的随机过程 由( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 决定的风险过程就是下面的线性随机微分方程的解 ，t y t = 最+ k d r s ， ( 3 2 3 ) - ，0 模型( 3 2 3 ) 即为随机利率下带扰动的古典风险模型 根据p a u l s e n ( 1 9 9 3 ) ，我们得到方程( 3 2 3 ) 的解为 ，t k = 息 + 詹i l d p s ) ， ( 3 2 4 ) - ，0 其中豆是指数随机微分方程忌= 1 + c 蔚1 d 冗。的解，即 忌= e 印 ( r i x 口r 2 ) 亡+ a r w r ，t ) ，t 0 ( 3 2 5 ) 因为过程 r ，t o ) ， 见，t o ) 都具有平稳独立增量性，根据p r o t - t e r ( 1 9 9 2 ，定理3 2 ，p 3 2 8 ) 知过程 k ，t o ) 是一个齐次的强马氏过程 3 3 积分一微分方程 在这一节中，我们假设分红是按照b a r r i e r 策略付出的，即给定参数b 0 ， 当余额过程超出界限b 时，超出部分全部分红；否则不分红一旦余额过程 为负，则公司破产，所有过程停止 令d t 表示到t 时刻的分红总额，那么根据b a r r i e r 策略可知 d t2 ( m a 、x 。 k 一6 ，o ) + l o ， o 6 修正余额过程为k = k d t ，t 0 其破产时t = i n f t ：k = o ) ；若此集合 为空，则t = o o 直到破产时为止的总折现分红额为 ，t d = e 。d d t ， ( 3 3 2 ) 7 第三章随机利率风险模型的分红问题 其中6 0 为折现率下面我们考虑分红函数 y ( y ；6 ) = e d = e f o t e - 6 t d d t 定理3 3 1设y ( y ；b ) 在( 0 ，b ) 上是二阶连续可微函数， 足积分一微分方程： 三( 盯磊y 2 + 砟) ( ! ，；6 ) + ( 删+ c ) y ( 秒；6 ) 一( 入+ 6 ) y ( 可；6 ) + a y v ( y - x ；b ) p ( z ) d z = 。，。6 ， 以及边界条件： y ( o ；b ) = 0 ， v 7 ( 6 ；b ) = 1 ( 3 3 3 ) 则y ( 可；b ) 满 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 证明考虑在无穷小时间段【o ，叫内，是否发生索赔以及索赔额是否 引起破产这几种情况，根据过程 k ) 的强马氏性，可以得到 e 6 d t y ( y ；b ) = e 【y ( 玩；6 ) 】 r d tr d t = p ( 丑 d t ) e v ( t l d t ( y + c 豆 1 d s + o p 詹i l d w p 。) ；6 ) 】 ，0 j 0 r d tf d t + p ( t 1 d t ) e v ( 宅d t ( y + c 詹i l d s + u p 詹i l d w - p 。一袁寻x 1 ) ；6 ) 】 ，0 ，0 将等式两边分别泰勒展开， 左边= y ( y ；b ) + 6 y ( 可；b ) d t + o ( d t ) ， 右边= ( 1 一a d o ( v ( 州+ 矿( 州( r y + c ) 砒+ 互1 ( ! ；6 ) ( 盯磊可2 + 盯刍) 班) 撇z 掣啦如+ cz 出露l d s + a pf o 出础岷一砂破咖如 + d ( 出) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 合并同类项后，将等式两边同时除以出，并令出_ 0 可得积分一微分方 程( 3 3 4 ) 由布朗运动的性质可知，若初始金y = 0 ，则破产立即发生，从而条 件( 3 3 5 ) 成立又因为当y b 时，y ( ；b ) = y b + y ( 6 ；b ) 故条件( 3 3 6 ) 也成立 口 方程( 3 3 4 ) 的解是很难找到的，但是我们可以寻找特殊情况下方程( 3 3 4 ) 的精确解 3 4 例子 例3 4 1 假设6 r p = 6 r r = 0 ，并且索赔额五服从参数为p 的指数分布， 即p ( x ) = 1 一e - 触，z 0 此时，余额过程 =一娄一foyt y + c t 。y , d s 一。 ( 3 4 1 ) = 一五+ 7 s ，t o ( 3 4 1 ) 根据定理3 3 1 可知，我们需要解决方程 p + c ) y ( 秒；b ) 一( 入+ 6 ) y ( 可；b ) + a v ( v z ；b ) p ( x ) d x = 0 ，0 y b ( 3 4 2 ) 首先，对此方程进行( 焉+ 卢) 运算，可以得到 ( r 秒+ c ) y ( 秒；b ) + ( r y f l + c p + r a 一6 ) y 7 ( y ；b ) 一卢6 y ( 暑，；b ) = 0 ，0 可b ( 3 4 3 ) 通过变量替换y = 一( 舌) 一( ；) ，9 ( z ) = y ( 可；6 ) ，将( 3 4 3 ) 转化为汇合超几何形 式 z 矿( z ) + ( 1 一_ 5 + a z ) 北) 一( 一；5 ) 荆= o 由s l a t e r ( 1 9 6 0 ，p 5 ) 可知，此方程的解为 y ( 可；b ) = c l a i ( y ) + c 2 a 2 ( y ) ， 9 箜三童堕熟型室风险模型的分红问题 其中 州y ) - - e - 卢y ( y + w 坝1 + 要，1 + 半，触+ 舢 似沪e 嗍( y + 尹w 呱1 + 亨，1 + 了5 + a ，触+ 抄 在这里f ( a ，b ，y ) ，v ( a ，b ，y ) 分别为汇合超几何函数的第一种形式和第二种形 式，它们的积分表达形式分别为： 其中 和 f ( 口，6 ，可) = 鼎f oe y t t a - 1 ( 1 一) 各一口一z d t ，6 口 。， 吣 6 夕) = 丽1z 0 0e 唧_ 1 ( 1 刊6 1 氓。 咖 。 利用边界条件( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ，我们得到当y b 时， 6 ) = e a b ( b 1 + c r r ) - ( 6 + x ) r f ( 助( o ，o ) + ( 1 + 芸) 助( 1 0 ) ) 州秒) + ( 寿毋( 1 0 ) - 毋( 0 ，0 ) ) 似洲， c ( 6 ) = ( b f ( 。，o ) 一；_ = ；蕞b f ( 1 ，o ) ) ( ( 筹卅酬o ) 6 ) 叫l + 霎) 剐1 1 6 ) ) 一( ( b u ( o ，o ) + ( 1 + 等) b u ( 1 ，o ) ) ( ( 糍一f 1 ) b f ( o , b ) 一f l ( 1 + 扮( 1 6 ) ) ) ， 1 0 + + 8 8 半半 + + + + + + + + f u i | = f u 毋 勖 曲阜师范大学硕士学位论文 例3 4 2 假设a = 0 ，此时，余额过程满足： d y , = ( c + r y t ) d t + a e d w p , t + a r y t d w r 。t ，t 0 ( 3 4 4 ) 由p a u l s e n ，g j e s s i n g ( 1 9 9 7 a ) 中的结果可知 p tt 一 k = 秒+ ! ( c + r y s ) d s + ( v o i + 4 y 2 d w , ，t 0 根据定理3 1 我们需要对下面的方程进行求解， 石1l 口r 2 可2 + 盯刍) y 匆；b ) + ( r y + c ) y 7 ( 剪；b ) 一6 y ( ；b ) = 0 ，0 y b ( 3 4 5 ) 在p a u l s e n ，g j e s s i n g ( 1 9 9 7 a ) 的附录中指出，当6 r 时，方程有两个独 立的解为d ( y ，p + 1 ) 和e ( 可，p + 1 ) ，其中 ， d ( y ，q ) = ( t y ) a k ( t ) d t ，- 1 r e ( a ) 1 + r e ( 卢) ， ( 3 4 6 ) 和 e ( y ，o t )( y t ) a k ( t ) d t ，- 1 r e ( a ) 。 ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 4 1 0 ) 利用函数d ( y ，o t ) 和e ( y ，q ) 的性质，且p 盖d ( 舭) = 一q d ( y ，q 一1 ) ， 瓦a e ( y ，q ) = a e ( y ，q 一1 ) ， 和边界条件( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 我们得到：当0 y b 时， y ( y ，6 ) = 才1 而1 ( d ( o ，p + 1 ) e ( 可，p + 1 ) 一e ( o ，p + 1 ) d ，p + 1 ) ) ，( 3 4 1 1 ) 其中a ：d ( 0 ，p + 1 ) e ( b ，p ) + d ( b ，p ) e ( o ，p + 1 ) 1 1 耖 厂 第三章随删率风险模型的分红问题 3 5 矩母函数以及各阶矩 在这一节中，我们考虑总折现分红额d 的矩母函数，找出它所满足的积 分一微分方程，并在特殊特殊情况下得到精确的解 令m ( y ，口；b ) = e e a d 】表示总折现分红额p 的矩母函数利用类似第三 节中的方法，可以得到下面的定理： 定理3 5 1 设m ( y ，口；b ) 存在，并且在( 0 ，b ) 上是二阶连续可微函数， 则满足积分一微分方程t 三( 仃轰秽2 + 盯；) 掣+ ( r y + c ：) 掣一6 q 掣 一x m ( y ，q ；b ) + a m ( y z ，q ；6 ) p ( z ) 如+ a p ( x ) d x = 0 ，0 y b ， j 0 j y ( 3 5 1 ) 以及边界条件 m ( o ，口；b ) = l ； ( 3 5 2 ) 掣i y = b = - y 胛删 ( 3 5 3 ) 证明 考虑在无穷小时间段【0 ，d t 】内，是否发生索赔以及索赔额是否 引起破产这几种情况，根据过程 或) 的强马氏性，可以得到 m ( y ，q ；b ) = e m ( v ( y d t ，e 一6 出q ；6 ) ) 1 r d tf d t = p ( 丑 d t ) e m ( r d , ( 暑+ c 袁7 1 d s + 即袁i l d w 厂p 。) ，e 一6 疵q ；6 ) 】 j 0 j 0 ，d c r d t + p ( 丑d t ) e m ( 扇( 秒- 1 - c 露1 d s + o p 露1 d 7 p 。一袁寻x 1 ) ，e 一础a ；6 ： j 0，0 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 将等式右边在点( y ，q ；b ) 处泰勒展开， 右边= ( 1 一a d o ( m ( 舭；6 ) + ( r y + c ) 丝擎业出 一6 。! 掣d t + 主( 盯磊y 2 + a ；) 掣d t ) d az d u z f yp e l t + a d t ( e m ( r a t ( y + u 詹 1 d s + o p 蔚1 d 昵。一哥1 z ) ，e - 6 d t o t ；6 ) 】p ( z ) 如 + e 1 l p ( x ) d x ) + o ( d t ) ， ，l ， 合并同类项后，将等式两边同时除以出，并令班j0 可得积分一微分方 程( 3 5 1 ) 边界条件( 3 5 2 ) ，( 3 5 3 ) 的证明可以类似得到 口 令 v n ( y ；b ) = e d 住ly o = y 】，0 y b ，n n ， ( 3 5 4 ) 表示d 的n 阶矩， 佗1 这里k ( 秒；b ) = y ( 秒；6 ) ，0 y b 将m ( y ，位；b ) = 1 + 墨l 籍k ( y ；b ) 带入方程( 3 5 1 ) ，通过比较y n 的系 数，可以得到k ( y ；b ) 满足的积分一微分方程，如下： 去( 仃磊y 2 + 仃刍) v ：( 暑；b ) + ( r y + c ) k ( 可；6 ) 一( a + n 6 ) ( 秒；b ) - ， ( 3 5 5 ) + a k ( y z ；b ) p ( x ) d x = 0 ，0 y b 根据边界条件( 3 5 2 ) ，( 3 5 3 ) 分别得到 ( o ；b ) = 0 ，n = 1 ，2 ， w ( 6 ；b ) = n k 一1 ( 6 ；6 ) ，n = 1 ，2 ， 这里w ( 6 ；b ) = v o ( b ；b ) = 1 ( 3 5 6 ) ( 3 5 7 ) 同样，方程( 3 5 5 ) 的解也是很难得到，下面仍然考虑两个特殊的情况 1 3 第三童堕垫型挛风险模型的分红问题 例3 5 1 与例( 3 4 1 ) 相同，假设即= t r = 0 ，并且索赔额五服从参 数为卢的指数分布，即p ( x ) = 1 一e - b x ，z 0 此时，方程( 3 5 。5 ) 简化为 ，掣 ( 7 可- i - c ) k ( 秒；b ) 一( 入+ 死占) k ( ；b ) + a k 一z ；b ) p ( x ) d x = 0 ，0 y b j 0 ( 3 5 8 ) 利用例( 3 4 1 ) 中同样的方法，在方程两边进行( 器+ 卢) 运算得到 ( r y + c ) 蟛( 可；b ) + ( r y l 3 + c 卢+ 7 一入一礼6 ) k ( y ；b ) 一n z 6 v ( u ；b ) = 0 ，0 可b ( 3 5 9 ) 将其转化为汇合超几何形式，并得到其一般解为 嘶6 ) 铂e 呐( + 尹“沙呻+ 等，1 + 竿，鼬+ 詈) ) + c n 2 e - o y ( + 尹枞坍即+ n _ s ，j , 1 + 华，触+ 其中系数l ，c n 2 可根据条件( 3 5 6 ) ，( 3 5 7 ) 并利用w ( 6 ；b ) = 1 得到 例3 5 2 与例( 3 4 2 ) 相同，假设a = 0 ，此时，方程( 3 5 5 ) 简化为 吉( 以秒2 + 昂) 皑( y ；6 ) + ( 7 耖+ c ) k ( y ；6 ) 一n j v n ( y ；b ) = o ，0 y b ( 3 5 1 0 ) 利用例( 3 4 2 ) 中同样的方法，得到其一般解为 k ( 秒；b ) = a n l o ( y ，p + 1 ) + a n 2 e ( y ，p + 1 ) ， 其中函数d ( y ，p + 1 ) ，e ( y ，p + 1 ) 如( 3 4 6 ) ，( 3 4 7 ) 所示，系数a n l ，a n 2 可根 据条件( 3 5 6 ) ，( 3 5 7 ) 并利用w ( 6 ；b ) = 1 得到 1 4 第四章随机利率风险模型的t a 目标函数 4 1 引言 寻找最优分红策略的经典问题是如何使分红函数的值达到最大，即使得 分红额的期望值最大人们讨论最多的是两种分红策略：b a r r i e r 策略和t h r e s h o l d 策略，其中b a r r i e r 策略是指当风险余额超过某一特定界限b 0 之后， 超出部分全部分红；否则，不分红t h r e s h o l d 策略是指当风险余额超过某 一特定界限b 0 之后，超出部分按比例分红；否则，不分红对于布朗运 动模型下的这些问题g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 4 ) 给出了详细的结果；并且在g e r b e r ， s h i u ( 2 0 0 6 a ) 中考虑了复合泊松模型；l i ( 2 0 0 6 ) 给出了带扰动的复合泊松模型 下的结果；c a i ，g e r b e r ，y a n g ( 2 0 0 6 ) 考虑了一种o u 模型；f a n g ，w u ( 2 0 0 7 ) 对常利率的复合泊松模型进行了讨论 t