（计算数学专业论文）色散方程的一类高精度并行算法.pdf

山东大学博士学位论文 色散方程的一类高精度并行算法 张青洁 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 指导老师；王文洽教授 摘要 色散方程作为重要的数学物理方程之一一直受到业内人士的普遍关注，在非线性 波及孤立子理论的物理问题中，也一直占有相当重要的位置鉴于色散方程在物理领 域重要的应用价值，人们已经开始广泛的关注其数值解法的研究，许多专家、学者在 这方面也已经做了不少工作，例如文献( 1 1 3 】) 其中，文献( 【4 】) 详细讨论了各种 差分格式及其相应的稳定性情况这些差分格式可分为显式格式和隐式格式两大类。 我们知道显格式形式简单并适于并行计算，但其稳定性条件通常比较苛刻、不易实现 尽管人们在稳定性条件方面做过一些改进( 【7 ，8 】) ，但是这些改进还足极其有限的。比 如文献( 5 】) 讨论了一类两参数的恒稳显格式，但足参数的选择还足要满足比较复杂的 条件的相对于显格式而言，隐式格式虽然具有稳定性好的优点，然而它却不能直接 应用于并行计算。随着信息时代的到来和计算机的蓬勃发展，并行计算以其快速解决 大型且复杂的计算问题的特点迅速吸引了很多业内人士的普遍关注( 1 0 一3 7 】) ，因此， 怎样找到一个稳定的、适合并行计算的数值求解方法，便成了相关研究人员亟待解决 的重要问题 关于交替分组算法的研究是随着并行数值计算在计算机上的广泛应用而逐步深入 的，目前，两类主要的并行算法就足：交替分组方法( 【2 ，4 ，9 2 4 】) 和区域分裂算法 ( 3 8 4 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 】) 前者足无条件稳定的，所以我们通常可以采用比较大的时间步 长，而后者是条件稳定的，因此，在使用过程中，我们通常需要选取比较小的时问步长 来进行计算交替分组方法已成为行之有效的并行数值算法之一，它不但足绝对稳定 的，而且还具有本质并行的特性 例如，抛物方程的并行差分解法已经在很多文献中被广泛研究( 【1 5 ，2 3 ，2 5 ，6 3 6 7 ) ， 关于扩散方程和对流扩散方程的并行差分算法的研究也已经有了不少成果( f 1 5 1 7 ，1 9 - 2 1 ) ，近些年来，交替分组方法的研究和应用又逐渐扩展到了三阶色散方程、k d v 方程等领域( 1 1 3 ，2 2 ，5 0 】) 不过，对于三阶色散偏微分方程而言，这样的并行差分算法并不多见 山东大学博士学位论文 早在1 9 8 3 年，e v a n s 和a b d u l l a h 首先提出了交替分组显式算法( a g e ) ( 1 5 ，1 6 ) ，后来，张宝林提出了交替分段显隐算法( a s e i ) ( 1 9 ) 2 0 0 0 年以来，朱少红又将交 替分组显式算法( a g e ) 推广到了三阶色散方程的求解过程中来( 1 1 ，1 2 】) 我们谈到 的这些算法都是无条件稳定的，并且可以并行计算( 随着计算机的蓬勃发展，并行计 算也越来越多的被人们关注) ，不过，这些算法在空间上的收敛阶都只能接近2 阶 众所周知，提高数值解的精度也一直是数值解法研究人员的一个重要的目标和努 力方向( 5 0 一6 2 】) ，这也足我们在求解理论问题和实际应用问题过程中都不会改变的 追求 综上所述，本文作者在导师的悉心揩导和精心培育下，提出了一类求解具有周期 边界条件的色散方程的高精度、可并行、绝对稳定的算法 在论文的第一章，作者介绍了色散方程的高精度并行迭代法 在论文的第二、三章中，我们将给出四类s a u l y e v 型非对称差分格式来求解色散 方程基于这些s a u l y e v 型格式，我们又分别给出了求解带周期边界条件的色散方程 的新的交替六点分组算法、新的高精度的交替显隐算法、高精度交替十二点分组算法 以及4 阶交替分段c r a n k n i c o l s o n 算法这四个新算法不仅具有无条件稳定和能在计 算机上实现并行计算的特点，而且它们在空间上都具有4 阶精度通过数值算例，我 们也容易看到，数值结果和理论分析是一致的数值算例说明，新算法们在精度和稳 定性上都优于算法a g e ( 1 1 ) 和a s e i ( 1 2 ) 论文的部分内容已在国际国内刊物上公开发表( 6 s 一7 2 】) 全文共分为三章t 第一章介绍色散方程的高精度并行迭代法 本章导出了一种数值求解色散方程的高精度交替分组迭代格式，此格式收敛速度 快并可以在并行计算机上直接应用 本章内容公开发表在( f 7 1 】) 第二章介绍色散方程基于6 点差分格式的高精度并行算法 在第一节中，我们介绍了色散方程的高精度交替6 点分组算法 本节，我们将给出一类s a u l y e v 型非对称差分格式来求解色散方程基于这些 s a u l y e v 型格式，我们给出了求解带周期边界条件的色散方程的新的交替六点分组算 法这个新算法不仅具有无条件稳定和能在计算机上实现并行计算的特点，而且它在 空间上具有4 阶精度通过数值算例，我们也容易看到，数值结果和理论分析足一致 的数值算例说明，新算法在精度和稳定性上都优于算法a g e ( 1 1 ) 在第二节中，介绍了色散方程的一类新的高精度交替分组显隐算法 本节针对色散方程提出的n a g e i 新方法不但绝对稳定、本质并行，而且误差分析 和数值试验表明，其数值解关于空间步长的收敛速度几乎是4 阶的通过与a g e ( 1 1 ) 山东大学博士学位论文 和a s e i ( 1 2 ) 等方法的数值比较，我们容易看到本文方法确实具有更高的精度本节 内容已在应用数学和力学发表，请见 6 9 第三章介绍了色散方程基于1 2 点差分格式的高精度并行算法 在第一节中，我们介绍了色散方程的高精度交替1 2 点分组算法 近年来，随着并行计算机的发展，并行数值计算也越来越多的受到人们的关注和 重视。像区域分裂算法一样( 【3 8 4 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 】) ，交替分组方法也因其绝对稳定、本 质并行的特点而日渐成为行之有效的并行数值方法之一1 9 8 3 年，e v a n s 首先提出了 交替分组显方法( a g e ) ( 1 5 1 6 1 ) ，历经近2 0 年的发展，交替分组算法的思想已经被 成功运用到求解扩散方程( 【1 5 一1 7 ，1 9 2 1 】) 、色散方程( 【1 1 3 】) 以及k d v ( 2 2 ，5 0 ) 方程等方程中去但是，在已有交替分组方法材料中，它们的数值解在空间上都是有 接近2 阶的收敛速度我们在本节给出的新算法不仅仍然具有绝对稳定、本质并行的 优良特性，而且我们随后的截断误差分析和数值算例将表明新算法的数值解在空间上 具有接近4 阶的收敛速度我们在数值算例中给出了本节算法与已有算法a g e ( 1 1 ) 的数值比较 在第二节中，我们介绍了色散方程的一类4 阶交替分段c r a n k - n i c o l s o n 算法 在本节，我们将给出一个新的4 阶n a s c n 算法来求解色散方程，这个算法不 仅绝对稳定，而且可以直接应用到并行计算中去事实上，交替分组方法足随着并 行计算机的发展而蓬勃发展起来的目前，两类主要的并行算法就是：交替分组方法 ( 2 ，4 ，9 2 4 ) 和区域分裂算法( 3 8 4 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 】) 前者是无条件稳定的，所以我 们通常可以采用比较大的时间步长，而后者是条件稳定的，因此，在使用过程中，我 们通常需要选取比较小的时间步长来进行计算1 9 8 3 年，e v a n s 率先提出了交替分组 显式计算方法( a g e ) ，此后，又有人提出了交替分组显隐算法( a s e i ) 以及交替分段 c r a n k - n i c o l s o n ( 1 9 ，2 0 ) ( a s c n ) 算法近年来，我们也开始看到交替分组方法被应用 到求解色散方程、k d v 方程等方程中不过，在已看到的交替分组算法文献中，几乎所 有算法的数值解在空间上都只能接近2 阶新算法n a s c n 不仅格式无条件稳定，而 且还具有本质并行的特点此外，我们随后的截断误差分析和数值试验表明新算法可 在空间上达到4 阶收敛，这比已知的a g e ( i i ) 和a s e i ( 1 2 ) 都精确。本节内容已 发表在( ( c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ) ) 请见6 8 1 考虑到一维算法为高维算法的基础和依托，我们也正在将本文的高精度并行算法 推广应用到b u r g e r s 方程、k d v 方程以及相关的二维问题的求解过程中去 关键词：色散方程；有限差分；高阶精度；绝对稳定；并行计算 山东大学博士学位论文 ac l a sso fh i g ha cc u r a c yp a r a l l e l a l go r i t h m sf o r t h ed i s p e r s i v e e q u a t i o n z h a n gq i n g - j i e s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ， j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gw e n - q i a a b s t r a c t t h ed i s p e r s i v ee q u a t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n te q u a t i o n so fm a t h e m a t i c a lp a y s i c s a n di t sn u m e r i c a ls o l v i n gm e t h o d sa r ew i d e l ys t u d i e d t h ed i s p e r s i v ee q u a t i o na l s o o c c u p i e sac o n c e r n f u lp o s i t i o ni nt h ep a y s i c a lp r o b l e m so ft h en o n l i n e a rw a v ea n dt h e s o l i t o nt h e o r y c o n s i d e r i n gt h ea p p l i e dv a l u eo ft h ed i s p e r s i v ee q u a t i o ni nt h ep a y s i c a l a r e a ，m o r ea n dm o r ee x p e r t sb e g i nt os t u d yt h en u m e r i c a ls o l v i n gm e t h o d sf o rt h e d i s p e r s i v ee q u a t i o n ( 【1 一1 3 】) i n 4 1 ，m a n yd i f f e r e n c es c h e m e sa n dt h er e l e v a n tn a t u r e o fs t a b i l i t yf o rt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o na r ed i v i d e d t h e r ea r et w ok i n d so fs c h e m e si n t h ed i f f e r e n c es c h e m e so ff 4 1 t h e ya r et h ce x p l i c i ts c h e m ea n dt h ei m p l i c i ts c h e m e w ek n o wt h a tt h ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e w h i c hi ss i m p l ea n da b l et ob eu s e do n p a r a l l e lc o m p u t e r ss t r a i g h t l y , o f t e nn e e d ss o m es t r i c ts t a b l ec o n d i t i o n s t h o u g hs o m e e x p e r t st r i e st oi m p r o v et h es t r i c ts t a b l ec o n d i t i o n s ( 【7 ，8 】) ，t h ei m p r o v e m e n t i sn o tv e r y o b v i o u s i nf 5 1 ，t h ea u t h o rd i s c u s s e sac l a s so fu n c o n d i t i o n a ls t a b l ee x p l i c i td i f f e r e n c e s c h e m e sw i t ht w op a r a m e t e r s w h i l ei nt h e s es c h e m e $ ，w eh a v em u c hd i f f i c u l t yt of i n d t h ea p p r o p r i a t ep a r a m e t e r s w h i l et h es t a b l ei m p l i c i tm e t h o dc a n tb eu s e df o rp a r a l l e l c o m p u t a t i o nd i r e c t l y w i t ht h ec o m i n go ft h ei n f o r m a t i o na g ea n dt h ed e v e l o p m e n to f t h ec o m p u t e r s ，p a r a l l e lc o m p u t a t i o na t t r a c t sm o r ea n dm o r ec o n c e r n ( 1 0 3 7 】) f o ri t s c h a r a c t e ro fs o l v i n gt h el a r g ea n dc o m p l i c a t e dc o m p u t i n gp r o b l e m sr a p i d l y s o ，h o w t of i n das t a b l en u m e r i c a ls o l v i n gm e t h o d ，w h i c hc a nb eu s e do np a r a l l e lc o m p u t e r s d i r e c t l y ，b e c o m e sa ni m p o r t a n tp r o b l e mn e e d e dt ob es o l v e da sq u i c k l ya sp o s s i b l e s of a r ，t h et w om a i np a r a l l e la l g o r i t h m sa r e ：a l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d s ( 【2 ，4 ，9 2 4 ) a n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ( 3 8 4 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 】) t h ef o r m e rm e t h o d s 山东大学博士学位论文 a r eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，s 0w ec a nc h o o s eab i g g e rt i m es t e p t ot h el a t t e rm e t h o d s w h i c ha r ec o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，w eu s u a l l yn e e dt oc h o o s eas m a l l e rt i m es t e pi no u r c o m p u t a t i o n t h ea l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o dh a sb e c o m eo n eo ft h em o s tp o p u l a r p a r a l l e ln u m e r i c a lm e t h o d sf o ri t sn a t u r eo fu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya n dp a r a l l e l i s m t os e et h ed e v e l o p m e n to ft h ep a r a l l e lm e t h o d s ，w ec a nt a k es o m el i t e r a t u r ef o r e x a m p l e i n ( 1 5 ，2 3 ，2 5 ，6 3 6 7 】) ，w ec a ns e et h ep a r a l l e lm e t h o d sf o rt h ep a r a b o l i c e q u a t i o n i n ( 1 5 1 7 ，1 9 2 1 】) ，w ec a ns e et h ep a r a l l e lm e t h o d sb e i n gu s e dt ot h e d i f f u s i o ne q u a t i o na n dt h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n i nr e c e n ty e a r s w eb e g i nt o s e et h ea l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d sb e i n gu s e dt ot h et h i r do r d e rd i s p e r s i v e e q u a t i o n ， t h ek o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o ne t c ( 1 1 3 ，2 2 ，5 0 】) b u tf o rt h et h i r do r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o n ，t h es i m i l a ra p p l i c a t i o ni sn o tm u c h i nf a c t ，a se a r l ya s1 9 8 3 ，e v a n sa n da b d u l l a hf i r s tp r o p o s e dt h ea l t e r n a t i n gg r o u p e x p l i c i t ( a g e ) i n 【1 5 ，1 6 l a t e r ，b a o - l i nz h a n gd e v e l o p e dt h ea l t e r n a t i n gs e g m e n t e x p l i c i t i m p l i c i t ( a s e - i ) m e t h o d si nf 19 s i n c e2 0 0 0 ，s h a o - h o n gz h ue x t e n d e dt h e a g em e t h o d st ot h et h i r d o r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o ni n ( 1 1 ，1 2 j a l lt h e s em e t h o d s a r ec a p a b l eo fp a r a l l e li m p l e m e n t a t i o na n da r eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e ，b u ta l l t h e i r a c c u r a c i e si ns p a c ea r en e a r l yt h es e c o n do r d e r o nt h eo t h e rh a n d ，w ea r ea l lt r y i n gt oi m p r o v et h ea c c u r a c yo fo u rn u m e r i c a l a l g o r i t h m si no u rn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ( 5 0 6 2 】) s o ，h o wt oi m p r o v et h ea c c u r a c y o ft h em e t h o db e c o m e sa n o t h e ri m p o r t a n tp r o b l e mt ob es o l v e dq u i c k l y a c c o r d i n gt ot h ea b o v ed i s c u s s i o na n du n d e rt h eg u i d a n c eo fm ys u p e ra d v i s o r ， t h ea u t h o rp r o v i d e sac l a s so fh i g ha c c u r a c y , u n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n dp a r a l l e l i z a b l e a l g o r i t h m sf o rt h et h i r do r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o nw i t hp e r i o db o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e r1 ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e sah i g ha c c u r a c yp a r a l l e l i z a b l ei t e r a t i v ea l g o - r i t h mf o rt h et h i r do r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o n i nc h a p t e r s2 , 3 ，t h ea u t h o rp r o v i d e sf o u rk i n d so fs a u l y e va s y l n n m t r i c a ld i f f e r c l l c e s c h e m e st os o l v et h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n b a s i n go nt h ea b o v ef o u rs a u l y e va s y m m e t r i c a ld i f f e r e n c es c h e m e s ，t h ea u t h o rg i v e so u tt h er e l e v a n tn u m e r i c a ls o l v i n ga l g o r i t h m s t h e ya r et h ea l t e r n a t i n g6 - p o i n tg r o u pa l g o r i t h m ，t h en e wa l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t - i m p l i c i ta l g o r i t h m ，t h ea l t e r n a t i n g1 2 - p o i n tg r o u pa l g o r i t h m a n da4 - o r d e ra l t e r n a t i n g s e g m e n tc r a n k - n i c o l s o na l g o r i t h m t h e s ef o u ra l g o r i t h m sa r en o to n l yu n c o n d i t i o n a l l v s t a b l eb u ta l s oh a v et h ep a r a l l e ln a t u r e b e s i d e s ，o u rt r u n c a t i o ne r r o ra n a l y s i sa n d n u m e r i c a le x p e r i m e n ts h o wt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nf r o mt h ef o u ra l g o r i t h m sa l l h a v eaf o u r - o r d e rr a t eo fc o n v e r g e n c ei ns p a c e ，w h i c hi s h i g h e rt h a nt h ea c c u r a c yo f 山东大学博士学位论文 a g e ( 1 1 1 ) a n da s e i ( 1 2 ) s o m er e 8 u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o nh a v eb e e np u b l i s h e di n 【6 8 - 7 2 t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w eg i v eo u tah i g ha c c u r a c yp a r a l l e l i z a b l ei t e r a t i v ea l g o r i t h mf o r t h et h i r do r d e rd i s p e r s i v ee q u a t i o n t h i sa l g o r i t h mh a sar a p i dc o n v e r g e n c er a t ea n d c a nb eu s e do np a r a l l e lc o m p u t e r sd i r e c t l y y o uc a l ls e et h er e s u l t so ft h i sc h a p t e ri n ( 【7 1 1 ) i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eac l a s so fh i g h o i lt h er e l e v a n t8 - p o i n td i f f e r e n c es c h e m c s a c c u r a c yp a r a l l e l i z a b l ea l g o r i t h m sb a s e d i ns e c t i o n2 1 ，w ei n t r o d u c et h eh i g ha c c u r a c ya l t e r n a t i n g6 - p o i n tg r o u pa l g o r i t h m f o rt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v eo u tag r o u po fs a u l y e vt y p ea s y m m e t r i cd i f f e r e n c ef o r - m u a st oa p p r o a c ht h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n b a s i n go nt h e s ef o r m u l a ew ed e r i v ean e w a l t e r n a t i n g6 - p o i n tg r o u pa l g o r i t h m t os o l v et h ed i s p e r s i v ee q u a t i o nw i t ht h ep e r i o d i c b o u n d a r yc o n d i t i o n t h ep a r a l l e la l g o r i t h mh a st h ef o u r t h o r d e ra c c u r a c yi ns p a c e a n dt h eu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa x ec o n f o r m e dt ot h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h ea g 一6 pm e t h o di sb e t t e ri nb o t ht h e a c c u r a c ya n dt h es t a b i l i t yt h a nt h ek n o w n m e t h o di na g e ( 1 1 ) i ns e c t i o n2 2 ，w ei n t r o d u c et h en e wh i g ha c c u r a c ya l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t - i m p l i c i ta l g o r i t h mf o rt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n t h en e wm e t h o do ft h i ss e c t i o ni sn o to n l yu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l eb u ta l s oh a st h e d a r a l l e ln a t u r e b e s i d e s ，o u rt r u n c a t i o ne r r o ra n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n ts h o w t h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nf r o mt h en a g e ih a st h ef o u r t h - o r d e rr a t eo fc o n v e r g e n c e i ns p a c e ，w h i c hi sm u c hh i g h e rt h a nt h ea c c u r a c yo fa g e ( 1 1 ) a n da s e i ( 1 2 ) t h er e s u l t so ft h i ss e c t i o na r ep u b l i s h e di n a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s ( 6 9 1 ) i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c eac l a s so fh i g h o nt h er e l e v a n t1 2 - p o i n td i f f e r e n c es c h e m e s a c c u r a c yp a r a l l e l i z a b l ea l g o r i t h m sb a s e d i ns e c t i o n3 1 w ei n t r o d u c et h eh i g ha c c u r a c ya l t e r n a t i n g1 2 一p o i n tg r o u pa l g o - r i t h mf o rt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n i nr e c e n ty e a r sp a r a l l e lc o m p u t e r sa n dt h en u m e r i c a lp a r a l l e lc o m p u t a t i o na r em o r e 1 1 山东大学博士学位论文 a n dm o r ep o p u l a rf o rt h e i re f f i c i e n c y a st h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( 3 8 4 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 d ，t h ea l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o dw h i c hi su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e a n dh a s t h ed a r a l l e l i z a b l en a t u r eh a sa l s ob e c o m eo n eo ft h ee f f i c i e n tp a r a l l e ln u m e r i c a lm e t h o d s i n1 9 8 3 e v a n sf i r s tp r o p o s e dt h ea l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t ( a g e ) s t r a t e g yi n 【1 5 1 6 1 a f t e rn e a - rt w e n t yy e a r s d e v e l o p m e n t ，t h es t u d yo ft h ea l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o dh a s b e e ni n t r o d u c e di n t os o l v i n gt h ed i f f u s i o ne q u a t i o n ( 1 5 1 7 ，1 9 2 1 1 ) ，t h ed i s p e r s i v e e q u a t i o n ( f 1 1 3 ) a n dt h ek d ve q u a t i o n l 2 2 一e t c b u ti nt h e k n o w na l t e r n a t i n gg r o u p l i t e r a t u r e s ，n e a r l ya l lo ft h e i rn u m e r i c a ls o l u t i o n s sr a t eo fc o n v e r g e n c ew a so n l yn e a r t w o - o r d e ri ns d a c e t h en e wm e t h o do ft h i ss e c t i o ni sn o to n l yu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e b u ta l s oh a st h ep a r a l l e ln a t u r e b e s i d e s ，o u rt r u n c a t i o ne r r o ra n a l y s i sa n dn u m e r i c a l e x p e r i m e n ts h o wt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nf r o mt h ea g 一1 2 ph a sn e a r l yf o u r - o r d e r r a t eo fc o n v e r g e n c ei ns p a c e ，w h i c hi sh i g h e rt h a nt h ea c c u r a c yo ft h ea g e ( 1 1 1 ) i n8 e e t i o n3 2 ，w ，ei n t r o d u c et h ef o u r - o r d e ra l t e r n a t i n gs e g m e n tc r a n k - n i c o l s o n a l g o r i t h mf o rt h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n t h ed i s p e r s i v ee q u a t i o ni sp o p u l a ra so n eo ft h ea p p l i e de q u a t i o n sa n di t sn u m e n - c a ls o l v i n gm e t h o d sw a sw i d e l ys t u d i e d ( f 1 13 1 ) w ek n o wt h a tt h ee x p l i c i td i f f e r e n c e s c h e m ei ss i m p l ea n dc a nb eu s e do np a r a l l e lc o m p u t e r ss t r a i g h t l y b u ti t o f t e nn e e d s s o l es t r i c ts t a b l ec o n d i t i o n s w h i l et h es t a b l ei m p l i c i tm e t h o dc a n tb eu s e df o rp a r - a l l e lc o m p u t a t i o nd i r e c t l y i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v eo u tan e wf o u r - o r d e rm e t h o d f n a s c n ) t os o l v et h ed i s p e r s i v ee q u a t i o n t h en a s c n i sn o to n l yu n c o n d i t i o n a l l y s t a b l eb u ta l s oc a nb eu s e df o rp a r a l l e lc o m p u t a t i o nd i r e c t l y i nf a c t ，t h es t u d yo f a l t e r n a t i n gs e g m e n ta l g o r i t h m sd e v e l o p sw i t ht h ed e v e l o p m e n to fp a r a l l e lc o m p u t e r s a n dt h ep a r a l l e ln u m e r i c a lc o m p u t a t i o n c u r r e n t l y , t h e r ea r et w om a j o rt y p e so fp a r - a l l e ls c h e m e s ：t h ea l t e r n a t i n gs c h e m e s ( 2 ，4 ，9 2 4 1 ) a n dt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o n s c h e m e s ( 3 8 4 9 ，6 3 ，6 4 ，6 6 】) t h ef o r m e rw h i c ha l l o wl a r g et i m es t e p si su n c o n d i t i o n - a l l v8 t a b l e b u tt h el a t t e ri su s u a l l yc o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n df o rt h i sw eo f t e nh a v et o c h o