（运筹学与控制论专业论文）平面向量场极限环分支的方法及应用研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 动力系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一，主要研究依赖于 参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律。就平面向量场的分支理论而言， 对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题。d h i l b e r t 在1 9 0 0 年展望2 0 世纪数 学的未来时，提出的著名的“2 3 个数学问题”的第1 6 个问题，就是寻求平面向量场极 限环个数的最小上界，以及这些极限环可能出现的相对位置。上世纪8 0 年代以来这一 问题的研究已与分支理论相结合。 有许多数学家致力于研究h i l b e r t 第1 6 问题或1 9 7 7 年由v i a r n o l d 提出的它的弱 问题。然而，这一问题即使对于二次h a m i l t o n 扰动系统仍没解决。弱化的h i l b e r t 第1 6 问题，就是确定a b e l 积分的零点个数。它将平面h a m i l t o n 向量场在多项式扰动下分支 出的极限环个数的最小上界归结于相应的a b e t 积分a ( 矗) 在其紧分支中孤立零点的个 数( 计重数) 的最小上界。但因为人们对高次方程求解的困难，因此，对a b e l 积分零 点个数的求解举步维艰，所以对弱h i l b e r t 第1 6 问题的研究仍然是当今的热门课题之一。 本文围绕上述问题展开研究，主要内容可概括如下： 1 利用p i c a r d f u c h s 方程、椭圆积分的性质以及常微分方程解析理论，证明了 对一类具有双中心的三次h a m i l t o n 可积系统，在一般三次多项式扰动下，其a b e l 积分 零点个数的上确界为3 ，即在每个中心型奇点外围能而且只能扰动出3 个极限环。而文 献 6 6 得到的结果是其上界为4 ，因此本文改进了已有的结论。 2 提出了求解a b e l 积分零点个数的代数方法。与已有的研究方法不同，我们从 a b e l 积分生成元和其各阶微分所组成的行列式的定号性来判别a b e l 积分零点的个数， 因此可借助于符号运算系统计算，从而将极限环分支的研究从定性化转向定量化。并用 此方法从理论上推导且结合数值计算验证，证明了一类以非轴对称、非退化三次曲线为 h a m i l t o n 函数的h a m i l t o n 二次系统，经二次多项式微扰最多能分支出两个极限环，而 且能分支出两个极限环。而且这两个极限环还具有位置上的任意性。 3 研究了二次非h a m i l t o n 可积系统的极限环分支。首先在j i a n gy ua n dc h e n g z h i “ l i ( 2 0 0 2 ) 的工作基础上，研究了直线兰= 三上，当b 2 时一种q ? 类可积非h a m i l t o n cz 系统的环性；然后采用将a b e t 积分进行幂级数展开的方法，解决了一类双曲线边界二 次系统单中心环域的p o i n c a l - e 分支问题，这种方法更适用于高次多项式系统；最后讨论 平面向量场极限环分支的方法及应用研究 了具有双曲线与赤道弧为边界的双中心周期环域二次系统的p o i n c a r e 分支，给出了此系 统出现极限环的( o ，3 ) 分布或出现一个三重极限环的具体的构造方法。 4 利用平面向量场极限环分支的h o p f 分支理论，研究了一类具有非线性传染率 材”s 9 的s i r s 传染病传播的动力学模型。首次给出了当模型中指数为p 2 ，q 1 的一 般整数时，系统的平衡点的精确表达式，并给出了h o p f 分支的数值计算及模拟结果。 本文给出的这种简化平衡点坐标表达式的方法适用于般情形，从而使奇点焦点量 的计算简洁和可行。为进行系统的h o p f 分支的研究以及定性分析创造了条件。 其次，建立了带有潜伏期及终身免疫的s a r s 传染病s e i r 动力学模型及参数辨识系 统。论证了该类控制模型的主要数学性质以及系统的流不变性和弱不变性。根据官方网 站公布的疫情数据辨识了s e i r 模型中的参数，数值模拟结果表明了模型、算法的正确 性和有效性。 关键词：平面向量场；极限环分支；弱h pi c a d - f u c h s 方程；h o p f 分支； i b e r t 第1 6 问题；p o i n c a r d 分支；a b e i 积分； 传染病模型 大连理工大学博士学位论文 a b s t r a c t b i f u r c a t i o nt h e o r yi nd y n a m i c ss y s t e m si so n eo ft h ep r i m a r yb r a n c h e so f q u a l i t a t i v e t h e o r y o fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i t i s c h i e f l yc o n c e m e dw i t hc h a n g i n gr u l e s o fg l o b a l t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft r a j e c t o r i e so f v e c t o rf i e l d sd e p e n d i n go np a r a m e t e r sb e c a u s eo ft h e c h a r g e o fp a r a m e t e r s a b o u tb i f u r c a t i o nt h e o r yo fp l a n ev e c t o rf i e l d s ，t h e s t u d y o n b i f u r c a t i o n so ft h el i m i tc y c l eh a sb e c o m ea ni m p o r t a n ta n dp o p u l a rt o p i c h i l b e r t 16 t h p r o b l e mi st od e t e r m i n et h em i n i m u mu p p e rb o u n df o rt h en u m b e r o fl i m i tc y c l e so fp l a n e v e c t o rf i e l d s ，a n dt h e i rr e l a t i v el o c a t i o n t h i sr e s e a r c hh a sc o m b i n e dw i t hb i f u r c a t i o nt h e o r y s i n c e1 9 8 0 s t h e r ea r e m a n ym a t h e m a t i c i a n sd e v o t i n g t h e m s e l v e st o s t u d y i n g t h eh i l b e r t1 6 t h p r o b l e m o ri t sw e a k f o r m ，p o s e db y a r n o l di n1 9 7 7 h o w e v e r ，t h ep r o b l e mi ss t i l lo p e ne v e n f o rt h eq u a d r a t i ch a m i l t o n i a ns y s t e mw i t hq u a d r a t i cp e r t u r b a t i o n s t h ew e a kh i l b e r t1 6 t h p r o b l e mi st od e t e r m i n et h en u m b e ro fz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l s ，w h i c hi s r e l a t e dt ot h e n u m b e ro fl i m i tc y c l e sb i f u r c a t e df r o mag i v e nh a m i l t o n i a ns y s t e m b e c a u s eo f d i f f i c u l t yf o r s o l u t i o nt oh j 【曲e q u a t i o n s ，t h es t u d yo f a b e li n t e g r a l si sd i f f i c u l t b yn o w , t h es t u d yo nt h e w e a kh i l b e r t1 6 t h p r o b l e m i ss t i l lt h eo n e o f p o p u l a rt o p i c t h i st h e s i sf o c u s e so na p p r o a c ha n da p p l i c a t i o no fl i m i tc y c l eb i f u r c a t i o no fp l a n a r v e c t o rf i e l d s t h em a i nc o n t e n tc a nb eg e n e r a l i z e da st h ef o l l o w i n g 1 u s i n gt h ep i c a r d - f u c h se q u a t i o n s ，t h ep r o p e r t y o fe l l i p t i c i n t e g r a l sa n da n a l y t i c t h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i ti sp r o v e d t h a tt h r e ei sm i n i m u m u p p e rb o u n d f o r t h en u m b e ro fi s o l a t e dz e r o so fa b e l i a ni n t e g r a l sf o rt h ec u b i cp e r t u r b a t i o n so fc u b i c h a m i l t o n i a ni n t e g r a ls y s t e m sw i t hd o u b l ec e n t e r s i th a si m p r o v e dt h ec o n c l u s i o ni np a p e r 6 6 2 a na l g e b r a i cm e t h o di sd e r i v e df o r c a l c u l a t i n gt h en u m b e ro fz e r o so fa b e l i a n i n t e g r a l si nt h i sp a p e r i ti sd i f f e r e n tf r o mf o r m e rm e t h o d s t h ec a l c u l a t i o nc a np r o g r e s sb y s y m b o l sc o m p u t i n gs y s t e m sa n dm a k et h es t u d yo fl i m i tc y c l eb i f u r c a t i o nc h a n g ef r o m q u a l i t a t i v et oq u a n t i t a t i v e a sa ne x a m p l e ，t h ec y c l i c i t yo fp e r i o da n n u l u so fn o n - s y m m e t r i c a n dn o n - d e g e n e r a t eq u a d r a t i ch a m i l t o ns y s t e m su n d e rq u a d r a t i cp e r t u r b a t i o n si st w o ，a n d t h i st w ol i m i tc y c l e sh a so f a r b i t r a r yp o s i t i o n 3 l i m i t c y c l e b i f u r c a t i o no fp l a n a rq u a d r a t i cn o n - h a m i l t o n i a ni n t e g r a l s y s t e m s i s d i s c u s s e d f i r s t ，c y c l i c i t yo f a c l a s so f n o n - h a m i l t o n i a ni n t e g r a l ss y s t e m si sr e s e a r c h e di nt h e r e v e r s i b l ec a s e 纠a n d b 2 ，o nt h eb a s i sw o r ko f j i a n gy ua n dc h e n g z h il i t h e n ，ac l a s s 平面向量场极限环分支的方法及应用研究 o f p o i n c a r 6b i f u r c a t i o nf o rq u a d r a t i cs y s t e m sw i t hab o u n d o f h y p e r b o l a a n das i n g l ec e n t e ri s s o l v e du s i n gt h em e t h o do f p o w e rs e r i e se x p m a s i o n f o ra b e li n t e g r a l sf o rt h ef i r s tt i m e t h e m e t h o di sm o r es u i t a b l ef o rh i 曲p o l y n o m i a l s y s t e m s l a s t ，s o m e c o n c r e t em e t h o d s c o n s t r u c t e da r ep r o p o s e df o rp o i n c a r 6b i f u r c a t i o no fq u a d r a t i cs y s t e m sw i t l lt w oc e n t e r sa n d t w o u n b o u n d e d h e t e m c l i n i c l o o p s ，i n w h i c h t h e r e a r e t h r e e l i m i tc y c l e s w i t h ( o ，3 ) d i s t r i b u t i o n o ra t r i p l el i m i tc y c l e 4 ak i n do fs i r se p i d e m i cm o d e l sw i t hn o n l i n e a ri n c i d e n c er a t e s 材一1 s 9i ss t u d i e d a c c o r d i n g t oh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r yf o rl i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n so f p l a n a rv e c t o rf i e l d s ，a n d a na c c u r a t ee x p r e s s i o no fe q u i l i b r i u mi so b t a i n e di n i t i a l l y i nc a s eo f p 2 q 1 t h e n u m e r i c a le x a m p l ea n ds i m u l a t i v er e s u l ti sa l s og i v e n t h em e t h o dt os i m p l i f ye x p r e s s i o no f e q u i l i b r i u mi sf i tf o rg e n e r a lc o n d i t i o n ，a n dm a k e s t h ec a l c u l a t i o no f f o c u s q u a n t i t yb ec o n c i s ea n d f e a s i b l e s e i re p i d e m i cm o d e l so fs a r sa n di t sp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o ns y s t e m sw i t hal a t e n t p e r i o da n dn o n p e r m a n e n ti m m u n i t y a r ea l s oe s t a b l i s h e di nt h i sp a p e r t h em a i nm a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s o f s u c hc o n t r o l s y s t e m s ， f l o w i n v a r i a n c e o f s y s t e m$ ，f ( y ，v ) ) a n d w e a k i n v a r i a n c eo fs y s t e m $ ，f ( y ，) ) a l ei n v e s t i g a t e da n dp r o v e d t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa r ed o n eb a s e do nt h ed a t aa n n o u n c e db yw o r l dh e a l t ho r g a n i z a t i o n ，c h i n a h e a l t hd e p a r t m e n ta n dh o n g k o n g h e a l t hd e p a r t m e n t t h er e s u l t ss h o wt h a to u rm o d e la n d a l g o r i t h m a l ea c c u r a t ea n de f f e c t i v e k e y w o r d s ：p l a n a rv e c t o rf i e l d s ；l i m i tc y c l e p o i n e a r 6 b i f u r c a t i o n ；a b e l i a n b i f u r c a t i o n ；e p i d e m i c m o d e l b i f u r c a t i o n ；w e a kh i l b e r t1 6 t hp r o b l e m ； i n t e g r a l s ；p i c a d - f u c h se q u a t i o n ；h o p f 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 刈一彳阳 大连理工大学博士学位论文 第1 章绪论 本章简要地介绍了平面向量场的极限环分支、h i l b e r t 第1 6 问题，特 别是弱h il b e r t 第1 6 问题的发展历史、国内外研究概况；论述了p o i n c a r e 分支与弱h i ! b e r t 第1 6 问题的联系；最后给出了本文研究的主要内容。 1 1选题的科学依据及意义、国内外研究近况 微分方程的定性理论，是在h p o i n c a r e 工作的影响下发展起来的，以其于1 8 8 1 1 8 8 6 年问发表的题为“微分方程所定义的积分曲线”的四篇经典论文为标志而诞生的一 个新的数学分支。经过一百年来蓬勃的发展，它已经成为从事许多学科和尖端技术，包 括自动控制理论、航天技术、生物学、医学、经济学等研究的不可缺少的数学工具，并 且它的思想和技巧也已渗透到数学的其它分支。近半个世纪以来，随着在结构稳定系统 的研究中所取得的突破性进展，对结构不稳定系统，既分支系统的研究，便受到越来越 多的关注。 数学上作为研究分支现象的理论分支理论主要研究三类问题：由常微分方程或向 量场所定义的连续动力系统的分支：由映射所定义的离散动力系统的分支；函数方程的 零解随参数变化而产生的分支。前两类分支称为动态分支，第三类分支称为静态分支。 本文研究第一类即向量场所定义的连续动力系统的分支。 动力系统通常可用以下的常微分方程组 害锁x ) 来描述。其中x = ( 五，x 2 ，x o ) 7 r “是n 维向量，表示系统的状念，而 厂( x ) = ( x ) ，五( x ) ，z ( x ) y r ”是n 维向量场，由系统所遵循的某些规律决定。上式 右端不显含时间，所以是定常的动力系统。 经典的动力系统的理论已经获得了非常成功的应用。人们对于天体和行星的运行， 原子弹爆炸的半经典行为，宇航员登陆月球等所实现的精确预报和成功观测等，已成为 动力系统理论最为成功的例子。 动力系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一，主要研究依赖于 参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数而变化的规律。在自然界中，分支现象是普遍 存在的，早在1 8 8 3 年，雷诺在研究导管中的液体流动时发现，当流速超过某个特定值 平面向量场极限环分支的方法及应用研究 ( 临界雷诺数) 时，就由层流变为湍流；在生态系统中，当一些自然条件超过某些特定 状态时，便可引起生态平衡被破坏或种群灭绝；上世纪6 0 年代从气象学研究中提出的 l o r e n z 方程 妄= 一+ 0 3 , ，去= 一船+ 7 x y ，i d z = x y b zd t d l d t 当参数盯，y ，b 在某些值附近时，相应系统的轨道结构呈现出某种“混乱”现象。并由此 引出了一系列有关混沌现象的研究工作，至今还是物理和数学界关注的热点问题之一。 它们构成了动力系统的分支理论丰富多彩的研究内容。 当”= 2 时，f ( x ) = ( z ( 功，l ( x ) y r 2 称为平面向量场。对于平面向量场的分支理论 而言，最为人们所关注的是极限环分支，也就是研究当系统中的参数作微小变化时，极 限环的产生和消失问题。平面向量场极限环的产生有四种可能：细焦点分支( 也称h o p f 分支) ；重环分支；奇闭轨分支( 分为同宿轨分支或者异宿轨分支两种) 和周期环域分 支( 也称p o i n c a r e 分支) 。 上面四种分支中的前三种属于局部分支或半局部分支，目前已有一些系统的研究方 法和理论“。最后一种p o i n c a r e 分支属于全局分支，目前的研究方法尚不完备，这正 是本文研究的重点。 极限环分支之所以引起人们的特别关注，一方面它有很大的实际应用价值，对于生 态数学，生化数学，流行病学等微分模型的分析研究都离不开对极限环的研究。如果微 分动力系统存在稳定极限环，这就说明此系统有动态稳定的情况出现，如果微分动力系 统不存在极限环，但有稳定奇点，这就说明此系统有静态稳定的情况出现；一方面它又 有很大的理论价值，1 9 0 0 年的第届世界数学家大会上，h i l b e r t “1 在展望二十世纪数学 的未来时，提出了著名的“2 3 个数学问题”，其中第1 6 个问题的后半部分是：寻求“平 面向量场 的极限环个数的最小上界e ( n ) 是多少? 这些极限环可能出现的相对位置如何? ”。其中 的p a x ，y ) 、q ( x ，力为x , y 的 次实系数多项式。 经过一个多世纪的研究，特别是近几十年来，国内外学者在此方面作了大量的工作。 1 9 7 9 年，史松龄、陈兰荪和王明淑分别独立地举例证明了h ( 2 ) 4 ，突破了前人对 二次系统极限环个数不超过3 的结论，并推动了这一领域的研究。李继彬、黄其明“3 举 lil( 力 力 伍 只 幺 i i | | 凼一西咖一出 大连理工大学博士学位论文 例证明了h ( 3 ) 1 1 ，c h r i s t o p e r 和l l o y d 。1 证明了h ( n ) k ( n + 1 ) 2 i n ( n + 1 ) ，其中k 为常数。 一个重大的进展是：经过i i y a s h e n k o 嘲和e c a l l e 州修补证明后的d u l a c “”有限性定理指出： 一个给定的”次多项式系统的极限环个数有限。这里所说的极限环个数有限，是对每一 个具体的向量场( 1 1 1 ) 而言，但对全体n 次多项式微分系统( 1 1 1 ) 极限环个数的 有界性，即使对n = 2 这样最简单的一般情形也未能得到解决“3 。s s m a l e 1 认为h i l b e r t 第1 6 问题是“2 3 个数学问题”中最困难的一个，它仍是本世纪尚待解决的数学难题之 一o v i a r n o l d 于1 9 7 7 年“”提出了一个解决此难题的步骤，称为弱化的h i l b e r t 第1 6 问 题： 考虑系统( 1 1 1 ) 的一种特殊情形，即h a m i l t o n 扰动系统： 其中一是小参数，0 i 州“1 ，h ( x ，) ) ，p ( x ，y ) ，q ( x ，y ) 都是x 署f l y 的实系数多项式。 d e g h ( x ，y ) = m + 1 ，m a x d e g p ( x ，y ) ，d e g q ( x ，y ) 茎n ，记为使实代数曲线h ( x ，y ) = 矗有 一个紧分支l 的所有h 的值的集合，定义函数 爿( 矗) = l q o ，_ y ) 出+ p ，y ) a y ，矗 ( 1 l - 3 ) 为系统( 1 1 2 ) 的一个a b e l 积分。确定a b e l 积分a ( h ) 的零点个数的上界z ( m ，力) 称为 弱化的h i l b e r t 第1 6 问题，由于这个问题是v i a r n o l d ”。”首先提出来的，有时也称为 h i l b e r t a r n o l d 问题。 这一研究方向目前已有的工作大部分集中在m = 2 及m = 3 的情形。其研究大致分为 两类：一类是取定较小的h 值，即对低次扰动，给出a b e l 积分a ( h ) 的零点个数的上确 界。这一方面最简单的情形是珊= 2 ，h = 2 ，此时系统( 1 1 2 ) 对应二次向量场。有中 心点的二次多项式系统是可积的，按照h z o l a d e k 的分类，可分为醇，饼，磷”和q 4 四 类，分别称为h a m i l t o n 型，可逆型，l o t k a - v o l t e r m 型和余维4 型。参见文献 1 3 、 1 4 、 1 5 等。 若x 。q 鼍而不属于其它可积类型，则称为通有的( g e n e t i c ) 二次h a m i l t o n 向量 嚣 平面向量场极限环分支的方法及应用研究 场；若x 。q 鼍同时又属于其它可积类型，则称为非通有的，或称为退化的( d e g e n e r a t e ) 。 任意j 0 q 与，至少有一个由鞍点和一个内部包含唯一中心的同宿( 或异宿) 轨组 成的分界线环。e h o r o z o v & i d i l i e v “6 1 证明：可适当选取坐标系，使中心点位于( 1 ，0 ) ， 从而任意二次系统x h q 鼍的h a m i l t o n 函数有如下正规型： h g ，y ) = 圭g 2 + y 2 ) 一导x 3 + n 砂2 + j 1 砂3 ( - a ) 其中参数a , b 的取值范围是： g = ) ：一扣乳嘞如n 师) 张增华以p i c a r d f u c h s 方程和分支理论为基础，把对a b e l 积分零点个数的研究转化为 对“质心曲线”和任意直线交点个数的研究，从而与文献 1 6 、 1 8 、 1 9 和 2 0 一起， 对x 。q 与，即通有的二次h a m i l t o n 向量场，得到了z ( 2 ，2 ) = 2 的完整结论。其中z ( m ，”) 为系统的a b e l 积分的孤立零点个数( 记重数) 的最小上界。而p o i n c a r e 分支所能分支 出极限环个数的最小上界记为b ( m ，n ) 。 另一类是固定日，而p ，q 为任意的胛次扰动，给出z ( m ，n ) 的上界估计。这一方向上 最一般的结果首先是在1 9 8 4 年由a n v a r c h e n k o 。“和a c t k h o v a n s k y 。”做出的。他们独 立地证明了z ( m ，n ) 的存在性，但没有给出一致上界z ( m ，月) 对n 的具体的依赖关系。y u i l y a s h e n k o ，s y a k o v e n k o 及d n o v i k o v 在文献 2 3 ，2 4 中证明：对某类h ( x ，y ) ，存在常 数c ( 日) 和h h o 而改变符号，故两侧稳定性 相同。即有：若瓴) o ) ，则厶为稳定( 或不稳定) 的k 重环。但若i 为偶数， 则厶两侧的稳定性相反，因此偶重环必为半稳定环。 1 3 平面系统的分支 结构不稳定的系统就称为分支系统，或简称为分支( b i f u r c a t i o n ) 。 就平面系统而言，分支现象可以出现在一个奇点邻近，那么该奇点相应的一次近似 系统的特征根具有零实部，即出现一对纯虚根，这时相应的奇点为中心或细焦点。系统 经摄动以后其邻近的拓扑性态就会发生变化，如果在此奇点外围邻近出现了极限环，这 种类型的分支就称为细焦点分支，也称为h o p f 分支。 系统( 1 1 1 ) 经微扰后在它的焦点d 外围附近可鸵出现小振幅极限环的最多个数， 通常称为奇点0 的环性，记风( 哟。n b a u t i n ”1 证明了也( 2 ) = 3 ，也就是说二次系统的 焦点d 至多只能是一个三阶细焦点，从二次系统的细焦点至多只能分支出三个极限环， 改变三阶细焦点。的稳定性的方法得出d 外围出现三个小振幅极限环的实例可参看文 献 4 0 。吼( ) ：? 尚是个悬而未决的困难问题，即使对于皿，( 3 ) ，由于计算焦点量的 困难，中外一些学者已运用计算机代数方法，利用先进计算手段计算出三次系统的前8 个焦点量，从而得出三次系统在一个奇点d 外围至少有出现8 个小极限环的可能，也即 只，( 3 ) 8 ，还有只，( 3 ) 1 l 。因此，即使在一个奇点的局部邻近，要彻底解决极限环的 个数问题是相当困难的n “。 若系统具有一个重极限环，则系统经摄动以后其邻近的拓扑性态也会发生变化，此 环消失或分裂出多个极限环，这就是多重极限环分支。 对多重环分支的研究要比对细焦点分支的研究困难得多，与细焦点分支相比较，一 个k 阶细焦点，可以且至多可以分支出k 个极限环，一个k 重极限环，也可以且至多可 以分支出k 个极限环。就二次系统来说，要举出具有二阶或三阶细焦点的二次系统的例 平面向量场极限环分支的方法及应用研究 子是轻而易举的，但要举出一个具有二重或三重极限环的例子却是十分困难的，当然这 并不是说不可能。可参看文献 4 2 ，4 3 。因此，至今为止，涉及多重环分支的研究很少， 可参看文献【2 】、【4 4 ，4 5 。注意，二次系统是可以存在二重极限环或三重极限环的，但 却是写不出来的。 分支系统也可以具有鞍点之间的连接轨线。如果当f 斗+ m 和 c 。时轨线两端均 趋向同一鞍点，则鞍点和轨线即组成一同宿奇闭轨：如果轨线当t _ 十和，斗m 时跑 向两不同的鞍点，则称此轨线为异宿奇闭轨。相应的系统就出现同宿( h o m o c l i n i c ) 和 异宿( h e t e r o c l i n i c ) 分支。 奇闭轨分其内侧为周期闭轨族和非周期闭轨族两种，对于后一种称为分界线环，它 是一个a 极限集或搬限集，系统经微扰后分界线环会破裂而在其内侧附近会出现极限 环。所以极限环也可由存在分界线环的系统经微扰而产生。类似于多重极限环有单重和 多重之分，分界线环也有单重和多重之分，k 重环可以分支出k 个单重环，而k 重分界 线环也可分支出k 个极限环。 散度不为0 的鞍点称为粗鞍点，散度为0 的鞍点称为细鞍点。与细焦点一样，也有 阶数商低之分，如果一个同宿轨上的唯一鞍点是细鞍点，则称这个同宿轨为细同宿轨或 退化同宿轨，文献 4 6 ，4 7 等分别讨论了退化同宿轨分支出多个极限环的问题，他们的 基本思想是：在鞍点附近利用鞍点性质，与大范围的同胚相结合，得出p o i n c a r e 映射的 表达式，从而在退化程度较高时，可以经过逐次适当扰动，反复改变同宿轨内侧的稳定 性，产生多个极限环，其思想方法与高阶细焦点分支出多个极限环的方法类似。对异宿 轨的研究可参看文献4 8 5 2 1 。朱德明在文献 5 3 ，5 4 1 用统一的方法研究了各类系统( 高 维或低维、可积或不可积) 的同宿轨、异宿轨的存在性和横截性等问题。 设某一微分动力系统具有闭轨线族( 如中心点外围的情形) ，闭轨线族除了它充满全 平面的情形之外，它的边界必为奇闭轨线，此奇闭曲线一部分也可能是赤道弧。此系统 经参数微扰后，可能闭轨线族中的某几条闭轨线仍保持为闭轨线，而其它的闭轨线消失 而变成螺旋线，这几条保持的孤立的闭轨线就成了极限环。从闭轨线族分支出极限环的 情况就称为周期环域分支或p o i n c a r e 分支。 p o i n c a r e 分支问题可以归结为相应的a b e l 积分的零点个数问题。v i a r n o l d 把决定 此类a b e l 积分的零点个数问题称之为弱化的h i l b e r t 第1 6 问题【lj 。p o i n c a r e 分支不像 h o p f 分支那样，其范围只限于在细焦点附近；不像重环分支那样，其范围只限于在重 环附近；也不像分界线环那样，其范围只限于在分界线环附近，p o i n c a r e 分支出现极限 环的范围是在整个周期环域所在的大范围之内。由于周期环域的边界是奇闭轨，又如果 周期环域有中心，所以p o i n c a r e 分支就与奇闭轨和中心联系了起来。 大连理工大学博士学位论文 1 4p o in c a r 6 分支与弱h ii b e r t 第1 6 问题 本节考虑平面向量场族 伍，) ：鲁= 厂o ) + 飕g ，) ( 1 4 1 ) 其中厂c rr 2 ) ，r cr 忸2 r ，r2 ) ，2 。设凰具有周期环域，即存在一系列闭 轨 l ： x 1 日g ) = h ，囊 h 坞 其中函数日c ”1 。我们关心的问题是：x 。的哪些闭轨瓴 坞) 经扰动0 i o r e 成为以的极限环上，( 即当啼o n ，三，岭k ) ? 并且究竟能从k 扰动出x ，的几个 极限环? 这就是p o i n c a i e 分支问题。 1 4 1 p o i n c a r 6 分支 本节的一个基本假设是，闭轨族l 关于办( 在 。附近) 单调排列( 当x 。为h