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一类粘性波动方程的局部一维差分格式 摘要 偏微分方程数值解在计算数学的研究领域占有重要地位，差分方法是目前主 要方法之一，在众多差分格式中，显格式计算量小，但往往受稳定性的制约，隐 格式一般稳定性好，但在每一个时间层都要解方程组，当处理高维问题的时候， 计算量就会变得非常大。 本文考虑的是一类粘性波动方程的交替方向差分方法，首先通过变量替换将 方程从形式上降阶，利用c - n 格式建立在时间方向具有二阶精度的差分格式， 然后通过添加扰动项进行算子分解得到一类l o d 差分格式。 本文的第二节和第三节分别针对二维及三维粘性波动方程按照 c 脚【l k n i c o l s 差分离散思想提出了一种新型的l o d 有限差分格式。此格式能 够将高维问题完全分解为一系列一维问题进行求解，克服了l o d 格式源项难以 分解，过渡层条件不易确定的缺陷，具有格式直观易于使用的优点。本文还针对 此种l o d 有限差分格式证明了按照离散r 模具有d f 址2 + j j l 21 阶精度。 、， 第四节对第二节的结果做了进一步的改进，得到了一种紧的l o d 差分格式， 这种格式在保持前面格式优点的同时将空间方向的误差阶提高到o f 矿l 。数值算 例表明，本文格式的计算效果好。 关键词：粘性波动方程，有限差分格式，新型l o d 格式，误差估计。 。 l o c a l l yo n ed i m e n s i o n a lf i n i t ed i f | 陀r e n c es c h e m e sf o r ac 1 a s so f s c o u sw a v ee q u a t i o n s a b s t r a c t t h es t u d yo fm 髓e r i c a ls o l u t i o n so fp 枷a ld i 贷e r e n t i a l 锚1 1 墙矗o i l sp l a y sa n i m p o 舰l tm l ei n 卿n p u t a t i o 砌m 砒甑a l i c sf i e l d f 砒ed i 触肌c em e m o di s0 n e m e 趾o fs 0 m ei m p o r t a n tm e m o d sa tp 代s 饥t h ls o m ed i 任贸锄c es c h e m 髂，m ee x p l i d t s 6 h 锄ei se a s yt 0b e 叫溉e d ，b u ti th 勰也el i 瑚渤耄i o no f 鼢i l i 够g c n 既a l l y ，也e i i n p l i c i ts c h e m 鹤a r eu n c o n d i 矗伽出1 ys t a b l e ，b u to ne v e 哆缸el e v e l ，w em 啷t l v e l i n e a rs y s t 锄s w h 筋、ed e a lw i t l lh i g hd i m e i l s i o n a l 咖b l e m s ，t ：h ec o m p u t 撕o i l a l c 0 s t 谢l l b e v 唧删i v e i nt l l i sp a p w ec 0 璐i d e rm ea l t 觚l a l i n gd i r e c t i o nf i i l i t ed i 饪孤m 础o df o ra d 锻o f 讥s 璐w a v ee q 伽i o 粥f 奴w e 妇e l eo r d e ro f e q 啤m o nb yr 印l a 姗碰 o f v a r i 曲l e 匆oc o n s 饥l c 毫 o ，常数且d 一黝 0 。w e i z h o n gd a i ( 【1 9 】) 等针对一维情形给 出了( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的c 删心n i c h o l s 咂及c 伽叩a m 差分方法。j 蚰压觚g 等在 ( 【2 6 ，2 7 】) 中则对类似的高维方程给出了有限差分方法。本文针对二维、三维问题 给出求解( 1 1 ) - ( 1 3 ) 的交替方向局部一维有限差分方法。本文算法思想基于 ( 【6 】) ，其特点是对计算格式通过添加扰动项进行完全分解，所有计算均在一个 方向上进行，计算量少，计算稳定。 类似于( 【1 9 】) ，当d 一彻 o 时，引入 ，= 么”+ 以及p = 曰d ，则( 1 1 ) - ( 1 3 ) 等价于 v f p 一( 1 一彳p ) “= 厂( 而f ) ，x g f ( o ，r 】( 1 4 ) d + 彳“= y ( 1 5 ) 掰( 五f ) = v ( x ，f ) = o ，x 氲乏f ( o ，r 】( 1 6 ) ”( 毛o ) = ( 石) ，y ( 五o ) = 彳( 五o ) + 巩。( 工) ，j q( 1 7 ) 本文第二节针对二维问题，提出了一种新型的l o d 有限差分格式 ( 卜兰缸) 嘭+ ：= ( t + 三垃弦+ 缸磁叼+ 主垃( t + 三出弦弓( 2 7 ) ( 1 一言址蟛) 铲1 = ( t + 三出晖) 曙+ ；+ & 砖叼+ 三缸( ，一言垃蟛) 蠢哇( 2 8 ) 该格式的收敛阶为d ( 出2 + 五2 ) 本文第三节针对三维情形给出了以下形式格式， 2 ( 卜兰出) 瞄；= ( + 三缸) 喂+ 缸解吆+ ( 3 _ - ) ( 一三址蟛) 瞄；= ( + 三址蟛) + 缸挥一 ( 3 _ 2 ) ( - 一圭& 程) 1 ：( 三址) 瞄；+ 垃吆+ ； ( 3 _ 3 ) 该格式的收敛阶仍为o ( f 2 + i j l 2 ) 。与二维相比，三维l o d 格式的形式更加简洁。 本文第四节对第二节的结果进行改进，通过引入变量将原方程从形式上降 阶雨i 用t a v l n r 公式楹诰出了一种蘩的屠韶一维右阳姜分格式 ( e 一三垃) 巧= ( e + 主出蟛) 曙+ 的叼 + 等( e 畦城) + l 占+ 一，d 疹二，l 无：o 2i 2 1 j 叫 ( ，一三叫妒= ( ，+ 三址叫卜蝌叼 + 等( f 一三址叫矿 + i ，。一一f c ，d ：i ，。2 ( 4 9 口) ( 4 9 6 ) 此格式除了具有上两节格式的优点外，还将收敛阶提高到d ( 址2 + j i l ) 。这些 格式能够将高维问题完全分解为一系列一维问题进行求解，克服了l o d 格式源 项难以分解，过渡层条件不容易确定的缺陷，具有格式直观容易使用的优点。 3 2二维粘性波动方程的局部一维有限差分格式 2 1 局部一维差分格式的建立 首先，对区域q 进行网格剖分，为方便起见，设该剖分为均匀剖分，步长为 | i l ，节点记为k ，夕，l o ，歹= o 1 ，) 。其次，对时间区间进行剖分，设时间步长 为f ，记f j l = 万缸，“；：甜k ，y ，f 一) 。在f 肿：时间层离散方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 。记 材；= 古g 厶一2 “；+ 甜刍) ，影”；= 古o o 一2 “；+ 甜乙q ) ，按照c 删i c o l s o n 差分离散思想，用【，矿分别表示甜，y 的差分近似解，则( 1 1 ) ，( 1 2 ) 可分别离散为 d 华+ 彳华：华 ( 2 1 ) 22 r 一7 华一胁牮一( 1 嘶艘+ 影) 华： ( 2 2 ) 由( 2 1 ) 可得 叼州= 面坛+ l + 曙) + 芸老叼 将其代入( 2 2 ) 整理得 其中 警一矿僻+ 乒笋一厂k + 母切： 2 b + 址 仃= 一 2 d + 纠 2 d 一2 船 厂2 瓦i 函 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 4 ) 左右两端分别加上扰动项三f 仃2 彩曙州，三出仃2 曙作算子分解可 东三鑫三骞剃。，= ( ，+ 主& ) ( + 三& 蟛弦+ 嘶僻+ 功露+ 耐哇”恤叫 在( 2 6 ) 中引入中间变量嘭卜，并再次加入必要的扰动项三出，盯z 影卜，得到 下面的局部一维格式 4 ( - 一三出弦+ ；= ( - + 丢& 弦出耀吣+ 三文t + 主出少毛( 2 7 ) ( ，一丢出晖) = ( - + 三址蟛) 彤+ ：+ 蝌喵+ 三址( 一三址蟛) 石 ( 2 8 ) ( 2 7 ) 实现对x 方向求解，( 2 8 ) 实现对y 方向求解，并且( 2 7 ) 仅含x 方向的差分， ( 2 8 ) 仅含y 方向的差分。由于我们考虑的是非齐次边值问题，过渡层巧”2 的边 界值不为零，对其处理不当会降低整个格式的精度。下面给出的办法可以得到非 常好的计算效果( 【6 】) 。实际计算表明，在( 2 7 ) 中，当f = o ，j f = o 四个点时， 巧畦取自由边值， 他们不同的取值仅影响过渡值呓 ( f ：o ，l ，j ：0 ，l ，) ，令驴= o ，江o ， ，= o ，然后对f = o 求解 ( 2 8 ) ，得到嘭j ，略三，即为( 2 7 ) 的边值条件。 贮2 收敛性分析 本节主要考虑上述差分格式的收敛性，在( 2 7 ) ，( 2 8 ) 利用算子交换性中， 消去过渡值j ，得 ( - 一三& ( t 一三出蟛) = ( - + 三出孵) ( - + 三出弦 亿9 ) + & 爬+ 砖p ；+ 耐气+ 三3 仃2 彩 与( 2 6 ) 相比，( 2 9 ) 相当于在( 2 6 ) 的基础上又加上了关于+ j 的扰动项，这些扰 动项关于出具有二阶精度。将( 3 1 ) 式展开，两边除以& ，并利用( 2 1 ) ，得 将方程( 1 4 ) 展开为以上离散形式，令孝= “一( 厂，7 = v y ，侈i = o ，7 7 l 砌= o ) 则 得误差方程 5 0i 眨 叼 兰2 w 一 哆矿 赡 、d。 吣 移 一 ”k4却一土4 曙一 j ： 型2 。矗 鲨 小班嵋僻眙 翩 弘， 叫 坶 互 勘上出姗 甲一 j 4 磁”一磁 一以卜彩) 华一( 1 嘶牌+ 够) 华 + 三址仃2 蟛白一，7 ；) = 哇 ( 2 1 1 ) d 警+ 么华+ 非华 ( 2 i 2 ) &2 擎 2 。， 其中尺：畦：哇+ 簏卜，为离散( 1 5 ) 的截断误差，由蛳，公式可得它们的误差 阶分别为 = 铝硝h 矧， + 箬j ( 爿：+ 矧斗等o + 和p 悔h 斟i 卜 蠢生等巧2 喵+ 1 一咭 ( 8 s m + l 两 一徘翥n 岛纠 o p 4 + 五4 ) 一三& ：矿：石 ： 4 1 ) ，。9o b 2 ) 拟硝+ 鼯) o b 5 ) = o p 2 ) 分别为( 1 4 ) 离散的截断误差项和扰动误差项，可以看出扰动误差项 关于f 具有二阶精度，与截断误差项精度相同，从而有效地减少了扰动误差对 计算结果的影响。 引理l 离散g r o n w 棚引理设矽，缈，z 是关于，= 刀f ，刀= 0 ，1 ，2 ，m 的非 负函数，z 是非降的，若 6 卜2 y i ，匀 l 一2 n f 一足 l 一2 胂 萝 、0， “一3 ；b 一出 ，。 笙m l 一2 一啄 i 一2 + # 扩 v 足 与 l 一2 + “鲈 一足 1 i t + 9 tsz k + x f 贝i j 办+ 仇以e 般7 ，j | = o ，l ，2 ，m 丸，七= o 1 ，2 ，m 对任意网格函数“，v 铀= o ，1 ，i 触= o ) ，定义离散内积，离散口范数为 其中 一1 i v l ( 州) = 吻吩 2 扭ij d 慨“| i o = l 一l l 加l ，霉l t 吻= 去( 一，) ， 将( 2 1 1 ) 式两端同乘以 g + 孵2 2 ，并注意( 2 1 2 ) 式，然后对f ，歹分别从l 到 一l 求和，从左向右记所得各项分别为，厶，j ，利用分步求和公式和 厶= 譬 ( 缸 磁+ 1 + 嵋 = 击1 h 刁“0 ：) 一l 一l ， 厶= 一p 僻 i 暑lj = l f + 嘭】f 2 弘2 = 去障 弦一善黔弦 华) ( 2 ( 注；阿4 譬= 8 疋，7 44 2 + 8 t 刁“8 2 ) - 1 一j 厶= 一 一l 一l f - l ，= l f - l = lm p + 影 ( + 2 2 d 刽： 卜 ( 1 _ 纠) ( 华) ( d 警+ 么华州矗2 一l 一l = 一yy j r j r 一 扭lj = lp 舰+ ( 7 卜学卜 f j 蹦 j = ! ， 矿 l 一2 、i，j 2 五 户 扩 l 一2 、j 2 户轳 “ b ，。o一 爿 鲥 菇一 +一2 矿一 菇一 +一2 “ 一 菇一 一l 一l， ( 1 一么p ) ( 霹 j ；l ，= l 一l 一l - ( 1 一 ，耷lj = l d ( 1 一么夕) 2 f + 彭 ( 华卜华 五2 彳夕牌+ 彩 ( 譬“哦；“ l ，矿。，f 2 、l 矿 ( | | 瓯f 4 + 1 眩一l l t 善“l ：) + ( o t f 。+ 1 l l ：一f l t 孝”8 ：) 协却j 钭i 一l ，一i f l i _ ，t l ，一l ，一l l = i - l - l ”纠( 州) ( 华p 牛2 6 ：6 ； 可d ：d 二 4 7 蟹；+ 1 一露；f 磁q + 瞄 = 詈盯2 ( m 刑h t 矿9 ：) 一l 一l l = 扛l = l ( 刁；+ l + 7 ； 2 2 户 j 1 2 x b 2 埘y 瑚矿1 m 嘲 于是，由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 及以上各估计式，有 捌矿1 n n d 刽： + 掣川h 硎渺h 州) + 彳( 1 嘶j 钭i + 等仃2 ( 恢矿1 眨一恢瓯矿哪k b 2 + 2 ) 2 + k ( 妒+ 1 畦+ 扩 n _ 、n t。 + ( 1 一和艘 忙i 户i f + 叫 f 声4 + l + 卢” ，妒 矿 2 、 l 旷 k p 2 “) 2 + 咖+ 刊圳柚嘶叫销： ( 2 1 3 ) 式两边同时乘以2 缸，并对拧求和，注意到孝o = ，7 0 = o ，并取占彳，有 8 圳e + 2 砬l 州= l i出+ 。( t 嘶) 蝌+ 等c r 2 m 刁4 舷 k 到矿虻垃+ k ( 出2 + 办2 ) 2 则由离散g m n w a l l 引理，可得如下收敛性定理。 定理l 假设掰，v 是( 1 4 ) 一( 1 7 ) 精确解且充分光滑，矿是改进型l o d 差分 格式( 2 3 ) ，( 2 7 ) 一( 2 8 ) 的解，若令孝= “一u ，刁= ，一y ，则存在o ，当垃 时，存在址无关的正常数足，使得 m 1 2 + 2 p 窆 卅= l 2 3 数值算例 出+ 。( t 一纠蝌+ 等矿2m 叩”瞻k ( 出2 埘) 2 为了检验以上格式的有效性，给出f 面的数值例子。 例：在( 1 1 ) 一( 1 3 ) 中令q = f o ，l 】2 ，设( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的精确解 “= 懿p ( - f ) s i i i 石g + y ) ， 由( 1 5 ) 得v = 0 一d - ，厂g ，y ) = ( 2 万2 p 一1 + 2 万2 ( 1 一彳p - ，其中p = 丑d 。 令出= 矗取不同的彳，e d ，利用协昭妇交替方向差分格式( 记d d 啪) 及局 部一维交替方向差分格式( 记伽) 分别计算，计算到r = 5 ，所得“，v 最大 相对误差如，如如表2 1 2 3 所示，其中震 = m a x 。m a x 驴k 一蟛吲“；l ，尉类似 定! ； 。 表2 1 ：当彳= 万2 ，召= 2 ，d = 3 万2 时计算误差结果 = o 0 5五= o 0 2五= o 0 1 l o d f dl o d f dl o d f d d 叫g f d d o u g f dd o u g f d r “2 1 4 6 e 一22 1 4 6 e 一24 8 2 0 e 一44 8 2 0 e 一43 7 9 5 e 一53 7 9 5 e 一5 如3 8 9 4 e 一33 8 9 4 e 一3 1 6 8 5 e 一41 6 8 5 e 一44 1 7 4 e 一5 4 1 7 4 e 一5 9 耙2 ：当彳崭p 沙崭) ，口小以。勘2 时计算误差结枭 = 0 0 5| | l = o 0 2 = 0 0 1 l o d f dl o d f dl o d f d d 骶g f dd d 泖d o t l g f d 尺“2 2 9 5 e 一32 2 6 4 占一31 1 8 4 e 一41 1 7 0 e 一41 3 0 5 e 一51 2 9 2 e 一5 尺1 ，1 0 4 8 e 一31 0 1 1 e 一31 6 7 9 e 一41 6 1 8 e 一43 8 0 8 e 一53 6 7 2 e 一5 表2 3 ：当彳= 幼4 ( 1 + 万2 ) ，艿= ( 1 + 万2 y 万2 ，d = 2 石2 时计算误差结果 = o 0 5 = o 0 2 = o o l l o d f d l o d f dl o d f d d 伽g f d d 0 t l g f dd 口卿 r “2 2 6 6 e 一32 2 7 4 e 一31 1 6 5 e 一41 1 6 9 e 一4 1 2 8 9 e 一51 2 9 2 e 一5 r ，1 9 0 4 e 一31 9 2 0 e 一32 9 4 2 e 一42 9 6 7 e 一46 0 7 9 e 一56 1 3 l e 一5 由以上计算结果知，当么，艿，d 取不同参数时，本文格式和d 咄格式计算效果 相同，特别当k y ) = o 时，它们的计算结果完全相同，说明本文格式对右端项 及非齐次边界值条件的处理是成功的。另外，从步长的选取来看，当i l 逐步减小 时，格式的计算精度逐步提高，达到了理论分析的收敛阶。计算表明，本节格式 计算效果良好。 1 0 3三维粘性波动方程的局部一维有限差分格式 3 1 三维非齐次边值问题差分格式的建立 本节考虑三维情形，且记( x ，y ，z ) = ( 五，恐，毛) ，对时间区间进行剖分，设时间部 长为出，记广= 刀址，则问题( 1 4 ) 一( 1 5 ) 的c - n 差分格式为 。华+ 彳华华fz z 华一p ( + 彩+ 霹) 华 一( 1 嘶) ( + 彭+ 芝) 华= 由( 3 1 ) 可得 1 = 面( 瞄1 + 曝) + 篡卷哝 将其代入( 3 2 ) 整理得 警一万( + + 彩) 华一y ( + 彬+ ) = 其中 仃=2 b + & 2 d + “ 在( 3 4 ) 右端加上扰动项 2 d 一2 彳b 厂2 五而 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 三址2 仃2 彩+ 三缸2 仃2 + 丢& 2 仃2 + 吾缸3 0 j ) 一( 丢出2 盯2 + 丢出2 仃2 影芝+ 丢出2 仃2 芝一壶缸3 c r 3 母) 瞄1 作算子分解得 ( 一丢r 口) ( 一三扯。蟛) ( t 一三，仃匆) k 1 。3 6 ) = ( - + 三哆) ( t + 圭出蟛) ( t + 三出蟛) 嗽+ 出厂( + 蟛+ ) + ；、 在f 3 6 1 中引入中间变量嘭；，k 菪，并再次加上必要的扰动项 三出3 口2 ( 母芝+ 芝+ 影) ；+ 三址3 盯2 群芝 得( 3 6 ) 的改进l o d 格式 ( - 一三& 瞄；= ( + 圭址 吆+ 群+ ； ( 3 7 1 ) ( - 一三出蟛) 喀；= ( t + 三址叫) 瞄；+ 址修一； ( 3 _ 2 ) ( - 一三址) 暖1 = ( t + 三出) 瞄；+ 出耀吆+ ； 3 2 收敛性分析 l 在( 3 7 ) 中消去过渡值y 什i ， 2 y 一，得 ( 3 7 3 ) ( 1 一三城) ( t 一三叫) ( 一争删掣 = ( - + 三磷) ( ，+ 主& 蟛) ( ，+ 圭址) + 出7 ( + 嘭+ ) 吆 ( 。8 ) + 赳# ；+ 砉f 3 口2 ( + 亏+ ) ；+ 三& ，c r 2 谬吆 将( 3 8 ) 式进一步展开，两边同除以& ，得 华一仃( + 影+ ) 华 + 等盯2 ( 醪- 孵彰) ( 瞄1 一磁) 一等盯3 谚芝华 = ；+ 7 ( + 母+ ) 吆+ 等盯：( 彭+ 芝母+ ) ； + 等盯z 磁影吆 + i 归碱印象 上式无法直接用来做理论分析，需进行以下变形 1 2 。( 3 9 ) 警地删华* 咿删华 + 筹仃2 ( + 彭+ 霹芝) ( 瞄1 一) 一争张( 仃华+ 孵 ：+ 等盯2 ( 影+ 影+ 纠名； 对( 3 3 ) 式两边加上矿：得 啄+ 吆= 历( 瞄1 + 喂) + 云 进而推出 盯华垤半华+ 昙华 代入( 3 1 0 ) ，最后得到进行误差估计的格式 ( 3 1 0 ) 警柏删华忡柏删华 + 等口z ( 蟛+ 嘭+ 芝) ( 瞄- 一) 乓嘲科去华+ 警华 。- d = 石；+ 等仃2 ( 彩+ 芝彩+ 引； 将方程( 1 4 ) ，( 1 5 ) 展开为以上离散形式，令孝= “一u ，7 = ，一y ，则祷误差方程 譬柏删华一( h 聃删华 + 筹仃2 ( + 芝嘭+ 芝) ( 蝣1 一磙) ( 3 1 2 ) 一等删母彰陪华+ 竽华】= d 笙导+ 么鐾竽+ 毛：鐾墨 ( 3 1 3 ) 出2 弘 2 、7 1 3 lll 其中j = i + 霹i 的误差阶分别为 咪硝 2 r 错卜 a 5 a t 甜 h ( 烈等烈剖 争纠 ( + 篙e - 一彳p ， ( a 4 “ a 2 掰 扩“ a t a + l h ( 务h 毒 杀烈急r 三丽l + l 丽丘 岛斛j = d ( 出2 )吩2 = d ( 出 ( 3 1 2 ) 式两端同时乘以 ( 秽+ 砝) 矗3 2 ， 嗣 + o ( + 矿) ( 3 1 4 ) 并注意( 3 1 3 ) 式，然后对f ，j f ，七分别从 l 到一l 求和，从左向右记，所得各项分别为五，厶，厶，利用分步求和公式和 一i 五= 一l s 西愀妮不等式有( 记内积( 孝，7 ) = 苏矿 f ，七= i f ，j 暑l ( 警 ( 华 j 1 3 = 抽槲酬e ) 一l 厶= 一p ( + 彩 j ，七一l卅( 华 ( ( 注：l 矿i ：= 0 瓯7 7 ”1 1 2 + l | 矿1 1 2 + 9 乏矿1 1 2 一l = 一( 1 一和) ( + 彩 f ，l i l二) ( 华 ( 华卜 一知却州吲【，华 f d 警+ 彳华斟3 i ，i = i 八。o o 一基h 叫州吲( 警妒警卜 = 一( 1 一么p ) ( + g + ) i 牮i ld 竿i 3 f ， ；i 八“， 1 4 i 一2 一 l 一2 胂 一2 胂 l一， 舯 驰 y， 矿+缸d = 一 p 垓一 + 一2 磺一 ) 令 其 l 一l f ，囊暑l ( 州吲( 华n 华卜 ( 州吲( 华 孝”“| 2 一l 孝4 l ： + 4 ( 1 一彳夕) 3 ( 1 - 纠( 州吲( 华舻 铲静刮峥) ( 华眵 厶，。= 一( 1 一彳尸) ( + 母+ ) l 塑l 鲨l 霹2 j 1 3 f ，i t l 。 。一薹。坠笋缘； 3 一篇。坠笋去( 疋嚣。弦一正嚣t 1 f ，七l l j ，七i l 。 。 r 蔗。止笋去或缘； 3 ，善坠笋 最。皿： 3 j 1 3 艺垒j 边丢疋最；一妻艺尘雩丛丢疋鲦羔 3 f ，i = l 厶，i ，= 2 ，t = i ” 矿，薹掣缸一姜差掣拓 3 ，蓉。坠笋丢瞑最； 3 一喜善坠笋丢正最砖 3 一i yy j r j ，一 f = l _ ， l i i ) j | j 1 3 磊华肛钟嘶) l l 蚓卜吲t磊等等肛钟刮僦+ k 陋：虻 同样方法，可得其它项估计，从而，有 ，一l 毛 l ：一 f ，七= l( 1 - 纠( 州吲( 华p 占( 1 一彳p ) + k 垃4 = 等盯2 ( ( 母+ 芝影+ 删铲蹦 1 5 旅1 + 碾 2 尹一 竺2 声j 、一 = 等盯2 ( 刑瓯驯：) + 詈仃2 ( 刑| 2 - l | 皖驯：) + 等盯2 ( 黔刑h 皖纠i e ) 卜等仃2 昙；慧芝华华 3 一等仃2 学，篆华华肚”如 驴争琵h 华卜争杠t 轷一竽警静华( 。譬+ 彳华域；户 = 一字( 。卅。差。够华警矿 一竽掣；差影芝华学矿 一竽半錾蟛华略蝴k + 厶。= 等( 。一彻) 噼谚+ 1 h 鹕谚i c k = 竿 小竿 s 丝 4 叶 厶：芝叫华k s k ( 厶：卅2 删矿t 矿哟 f ，七= - 、 联合以上各估计式，取g = 彳得， 1 6 ，砀， 疋i训 根 斜争钭 艿； 艿。 嗽 孵 辨 功一 胪汀牛一j删锩斟 刹矿1 刎扣l + 里蔓兰云尘 i 尹+ i ：一i 孝”l ： + 彳( - 一彳p ) l + 詈万2 ( 刑h 吱酬：) + 等矿2 ( 刑眨训：) + 等盯2 ( 陋刑h 皖酬2 ) ， + 等阿华+ 等( d _ 删张引i 蝴孝嘲 + 竿掣阻 4d 0 7 k ( & 2 埘) 2 + k ( 8 矿“h 矿哟 叫，却) l 2 出：盯z 彳( d 一肋) + 一o l 4d 0 卜乏 上式两边同乘2 & ，对n 求和，由离散g r 伽1 w a l l 引理，得 圳卜( 却) 蝌+ 等仃2 ( m 矿陋矿n 融矿睁等仃2 ( 。枷) m 圳： k ( 址2 + j 1 2 ) 2 将以上结果总结为以下定理 定理2 ：设材，v 是( 1 。4 ) 一( 1 7 ) 的精确解且充分光滑，“，v 是l c d 差分格式 ( 3 7 ) ，( 3 1 ) 的差分解，当址f o 时，存在与出无关的正常数后，使得 + 。( - 一纠州+ 等口2 ( 慨吵h 皖纠纠正纠蛙) + 等叮2 ( 。一艘) i 够t 矿哐 尺( f 2 + | 1 1 2 ) 2 由误差估计式知，格式( 3 7 ) ，( 3 1 ) 的扰动项误差具有二阶精度，且格式本身 也具有二阶精度，保证了计算格式具有比较高的计算精度和比较少的计算时间。 1 7 4 二维粘性波动方程的紧局部一维有限差分格式 4 1 记号的引入 本节仍考察问题( 1 4 ) 一( 1 7 ) ，为了构造微分方程的有限差分逼近，首先将求 解区域壳【o ，丁】进行网格剖分，选取正整数，三，并令j l l = 专，& = 三。记 x i = t h ，y j = j h ，q s i ，js n ， 广= 玎址，o n 厶，g = ( 而，乃) l o f ， 引进记号 瞑= 丝些孑兰，哆= 丝丛茅兰 吻= 华，g = 华 刚= 击( 啦。，+ 1 。蟛+ 吆。，) ，蹦= 老( i ：一。孵+ 吃+ 。) 设“= p 。i o 刀s l 为q 上的网格函数，引进记号 “1 弓= 妒1 = 等 弘2 紧l o d 差分格式的建立与截断误差估计 首先，应用变量替换将方程从形式上进行降维降阶。令1 ，：d 譬+ 彳“，则原方 讲 程可化为 伶= 户 窘+ 雾 一和，( 窘+ 雾) + 厂 l v ：d 坐+ 么” i i研 定义网格函数 甜；= “( ，乃，f 4 ) ，喵= v ( ，乃，) ，在点l 五，乃，f 肘il 处离散方程有 ( 4 1 1 口) ( 4 1 1 6 ) + 雾矿川一彳p 雾+ 雾矿+ 弓 ( 4 2 ) ( 窑) = 去( 一嵋) 一等( 窘r + 。( 出) _ 谚巧一等( 窘r + 。( 址4 ) 于是 = 丢( ( 窘 ：+ i + ( 窘i 一等( a 4 ” 国2 掰 谚哆= p ( 三( 窘+ 雾) ：+ 1 + 三( 窘+ 雾) ： 一和，( 三( 窘+ 窘 | ：+ l + 圭( 雾+ 稿( 等甜一铷 争 ( 翥h 南r i丽上+ l 两上 袅h 岛r i丽上+ l 两上 州等硝一卸 一等c - 一彳p ， ( + d ( 4 ) 翥h 为a 2 掰力l a 2 砂2 矿“、”气f ，矿“ 丽上+ l 两纠 巧哼= p b ( 窘+ 雾r + 三( 窘+ 雾) ： 。 雌刮+ 珂 又因为 嵋 所以 纠 + 吾f ，窘+ 窘r 1 + ；+ 菇+ ；+ + 虱爵+ 矿上严2 + 劬2 + d ( ) = 窘( 以广) + 箬雾( 薯帕广) + 羔雾( 玉蛳广) = e ( 窘) ：一瓮雾( 薯蛳叫+ 吣6 ) 1 9 ( 4 3 ) 剀 挑一酽试 节 展= 0 1 ：= + j u 丫上坝 加一衍 馐由 、l - ， 4 缸 ，j d+ i 一2 +4 矿 、 y l 吩 塑酽 ，一， e ( 窘i = 嵋+ 羔塞( 蛳r “) j 。( 肌 6 ) f ( 雾) ：= 蟛蟛+ 羔雾( 五蛳，) + 。( 确4 埘) ( 4 3 ) 两端同时作用e ，f ，并注意到砑= 砸可得 幽咭- 夕擘+ 蟛l 华+ ( 1 一纠( f + 职) 鲨笋 ( 4 4 ) 再+ 三 一再+ 三耳+ 三 、7 + 五巧名2 + 毛2 + 五2 豸 = 盖e ( p 雾) _ + q 一4 p ，( 雾 ：+ ； + ， ( p 雾) ：+ ；+ 。一彳p ，( 雾) ：+ ； + 。c 五6 ， 为了进行下面的算子分解，引入一个d ( f 2 ) 阶的扰动项一筹仃2 影( 咭+ 1 一喵) ， 并记 ， = 一等仃2 谚( 弘丐) + 咧专+ 。( 幽6 ) 则蝌c ( 幽 4 ) 在( 4 4 ) 中舍去误差项巧卜，记y ，【，分别表示v ，材的差分解，则有紧差分格式 哪= ( 1 一纠( 磷+ 彬) 鲨笋+ p ( f + 霹) 型笋 ( 4 渤) + 吲 一筹矿2 蟛( 鬈卅一嘭) 鲨：! 笠：d 堡：l 二堡+ 彳咝：缝 2 出2 对( 4 4 ) 进行整理，可进一步写作 ( 4 5 6 ) ( 2 ) 髀晖) _ 。一6 ， = ( e + 三址) ( f + 三出叫) _ 蝴( 毋e 影) 叼+ 叫+ ； r 川7 其中盯= 舞，= 篆筹 在( 4 ，6 ) 式中再次引入关于厂扰动项，得出求解( 4 1 ) 的改进型l o d 差分格式 ( e 毛城) 丐= ( e + 三出磷卜出群叼 + 等( 层+ 三垃) ； + l 占+ 一f c 崎i ，2 2k2 。厂” ( f 一三& 蟛) = ( f + 三址晖) 巧+ 出群叼 + 等( ，一言叫) 弓 + i ，一一f c ，疹：l ，。2 消去( 4 7 ) 的过渡层，得 ( 4 7 口) ( 4 7 6 ) ( e 一三) ( f 一三垃叫p = ( e + 三城) ( ，+ 三础蟛) 鬈+ 出7 ( f + 蟛) 叼+ 脱研 等仃2 蟛 说明( 4 7 ) 相对于( 4 6 ) 而言，又加上关于厂的扰动项，该扰动项关于出具有二阶 精度。 4 3 紧差分格式的收敛性分析 l 令孝= 鼙一拶，刁= y y ，考虑紧l o d 交替方向格式的误差方程，将霹+ i 修正为 一等仃2 i 仍记作霹+ - ，( 4 4 ) 一( 4 7 ) 得误差方程 e 磁：( 1 一和) ( 硝+ e 母) 爵哇+ p ( 硝+ 磷) 谚哇 一等仃2 影( 磁”一磁) + 西” 华：d 华+ 么华+ 2& 2 9 劈= o ，孵= o 嚣= o ，磁= o ，( f ，_ ，) a 噙o 刀三一1 2 l ( 4 8 口) ( 4 劢) ( 4 & ) ( 4 8 d ) 注意e = l + 篙群，f = 1 + 篙霹有，1 2 1 1 2 ， 心) ( 1 + 矧聊1 一筹矿2 彩( 磁一磁) + 将上式两边同时乘以煎专盈j 1 2 ，并对“求和利用内积记号，得 雌) ( 1 + 鲁母) 华) = ( c 一么p ， ( + 箬) 亏 + ( p ( - + 篙够) + ( + + 降2 例矿吲，华；，华) 由离散g r e 吼公式和c 锄d l y - s c h w a r z 不等式，有 = ( ( 1 + 引帷母b 华 ( 2 ) = ( 2 1 ) + ( 2 2 ) 咿盖( 阿* 阿| 1 2 ) ， 附1 1 2 ) + 盖( m 刑2 一m 矿| 1 2 ) 仁垆卜彬，华) + ( ( 1 嘶) 篙蜊卜， 。岛 三： p一、“j_ 矿一也 + 2 2 矿一屹 ，i h1 影- 叫k 、1、 ： 矿一挖 影 + 2 2 h 矿一圪 队 t 、_ 、 1 力吁 4 l_1 磁一 +一2 一、_、 笪 略一 磁一， 啊一 j ：， + l 2 爵 _ l 1 障j 篮 j ：， 、； 十矿 o l r 、， 炉一屹 影 _ 矿西 7 一 矿 + y 旷噼 ，-i、 一f 急生纰一舶一m = 一 、tj 磁一 +一2 h 一 磁一 娟呻，阿，。警+ 么华州 + 卜p ) 篙删卜，。警+ 彳华 = 一惫( - 一纠( 弦+ 1 1 1 2 - | 防睁 + 篆( - 一纠( 川2 一m 善 ( 2 2 ) = 一去( t 一纠( 附+ 1 1 2 - l 防1 1 2 ) - 掣怜 2 0 1 4 | j 2 ) + 掣忙 24 ， 甓( - 刮阱州0 2 * 孝”i | 2 ) + 查掣卜 艄+ 驯+ 睢冲 ，华) 叫l 华卜簿华l | 2 ( 4 ) = 嘲母( 一磁) ，华) _ 等仃2 ( 惭“1 h 纠) ( 5 ) = ”华圳r 哇n 矿f + | | 叫2 卜) 2 + 咖十1 8 2 + | | 引j 2 ) 将上面5 个式子合并 + 墨 + 疋 击( 扩| | 2 - | 2 ) 一盖( 舫阿l | 2 ) 一盖呻州i | 2 _ l m l 2 ) + 盖( m 刑1 2 - | i 瓯例2 ) + 争纠( 渺+ i | i ；) + 掣噼 p + 怜学 一篆( 川枷螂川1 1 2 _ i 陟| | 2 ) 一芈竽卜 一球华r ( 惭叫1 2 书例2 ) k ( ( 址2 纠) 巾+ m 矿| 1 2 ) + 扈+ 豆 将上式两边同时乘以2 垃，对刀求和，利用g r o n w a l l 引理，得以下定理 定理3 假设甜，v 是( 1 4 ) 一( 1 7 ) 精确解且充分光滑，u ，y 使改进型紧l o d 差 分格式( 4 7 ) 的解，若令孝= 扯一u ，刁= ，一y ，则存在岛，当垃瓴时，存在缸 无关的正常数k ，使得 圳e + c o 阱+ 等莎2 m 刁”胪k ( & 2 州) 2 ( c o 。) 酗4 数值算例 为了检验以上格式的有效性，给出下面的数值例子。 例：在( 1 1 ) 一( 1 3 ) 中令q = 【o 1 】2 ，设( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的精确解 “= e x p ( f ) s i n 万g + y ) ， 由( 1 5 ) 得v = 0 一d - ，b ，y ) = ( 2 万2 p l + 2 万2 ( 1 一彳p - ，其中p ：艿d 。 令出= 2 ，取不同的么，艿，d ，利用紧和非紧l o d 格式分别计算，计算到丁：1 ， 所得豁，y 最大相对误差舷，西如表4 1 4 2 所示，其中 鼢= m a x 。m a x 驴l ”；一u ；i 恤；l ，西类似定义。 2 4 表4 1 ：当彳= 万2 ，曰= 2 ，d = 3 万2 时计算结果 f = o 0 lf = o 0 0 2 5 非紧格式紧格式非紧格式紧格式 = 1 0 0= 1 0= 1 0 0= 2 0 r “1 3 9 0 5 e 一51 6 7 5 5 e 一61 1 9 9 5 艿一51 5 5 8 9 e 一6 尺v4 9 4 1 8 e 一52 5 1 8 7 e 一62 7 1 3 7 e 一51 1 6 7 3 e 一6 表4 2 ：当彳= 2 刀4 ( 1 + 万2 ) ，b = ( 1 + 万2 y 万2 ，d = 2 万2 时计算结果 f = 0 0 lf = 0 0 0 2 5 非紧格式紧格式非紧格式紧格式 = 1 0 0= 1 0n = 4 0 q= 2 0 r “3 4 0 1 7 e 一64 0 9 4 2 e 一52 6 7 2 6 e 一52 5 0 0 7 e 一5 r v 2 7 0 8 4 e 一65 0 9 1 7 e 一52 5 3 1 3 e 一6 1 1 2 8 9 e 一6 由以上计算结果知，当么，b ，d 取不同参数时，紧格式与非紧格式相比，计算效 率有很大提高。 。 参考文献 1 p e a c e m a nder a c h f o r dj rhh t h en u m e r i c a ls 0 1 u t i o no fp a r a b 0 1 i ca n de 1 1 i p t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j js o c i n da p p l m a t h ，1 9 5 9 ，3 ：2 8 4 1 2 d o u 9 1 a sj rj a 1 t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d sf o rt h r e es p a c ev a r i a b l e s j n 咖e r m a t h ，1 9 6 1 ，4 ：4 l - 6 3 3 j w t h o m a s n 岫e r i c a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d s ) m ，s p r i n g e rv e r l a g r e p r i n t e di nc h i n ab yb e i j i n gw o r l dp u b li s h i n g c o r p o r a ti o n ，1 9 9 7 4 j i md o u 9 1 a sj r a n dg u 肿j e ag e n e r a lf 0 珈u l a t i o no fa l t e r 腿t i n gd i r e c t i m e t h o d s ：p a r ti ，p 8 r a b o li c 锄dh y p e r b 0 1 i cp r o b l 锄s j 】n u m e r | i a t l l ，6 ，1 9 6 4 ，4 2 8 4 5 3 5 j i md 0 u g l a sj r a 1 1 ds e o n g j a ik i 瓯i m p r o v 酣a c c u r a c yf o rl o c a l l yo n e _ d i m e n s i o n a l m e t h o d sf o rp a r a b 0 1 i ce q u a t i o n s j t h 明a t i c a lm o d e l s 锄dm e t h o d si na p p l i e d s c i e n c e s ，l l ( 9 ) ，2 0 0 l ，1 5 6 3 1 5 7 9 【6 】王彩华，王同科，抛物型方程非齐次边值问题的推广型l c d 有限差分及有限元格式田， 高校计算数学学报，2 0 0 6 ，2 8 ( 2 ) ：1 3 8 1 5 0 6 m i t c h e l lar ，f a i l l r e a t h e rg i m p r o v e df 0 瑚so ft h ea l t e n l a t i n gd i r