清北学堂 2014年暑假高中自主招生数学入学测试

2014 年 暑假 高中 自主招生 入学测试 （ 数学 部分） 试卷说明 本测试用于学生对水平进行提前自我评估，测试答案将于 6 月 20 日中午 12:00，在清北学堂官方网站进行发布。如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 （ 2014 年 暑假 集中培训课程使用） QBXT/JY/RXCS2014/6-5S 2014-6-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程 入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年 暑假 高中 自主招生 入学测试 （ 数学 部分） 一、填空题：（每题 6 分，共 8 题， 48 分） 1、 设 10 2014 2013 2 1 02 2 2 2 2f x x ，则 2014f . A. 1 B. 3 C. 22014-201410+1 D. 22015-201410-1 2、 若四面体的六条棱长分别为 2,3,4,5,6,7 ，则不同的形状有 种（若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3、 直线 2y kx交抛物线 2 8yx 于 ,AB两点，若 AB 中点的横坐标为 2 ，则AB . A. 15 B. 215 C. 23 D. 43 4、 138 除以 9 的余数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5、 如图 1，形状固定的直角三角形的斜边 BC 的两个端点分别在 x 轴和 y 轴的正方向上移动，顶点 A 和原点分别在 BC 的两侧，则点A 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 线段 C. 抛物线段 D. 一段圆弧 6、 设 偶 函 数 fx 满足 : , 且当 时 , 22 f x f yf x yf x f y , 则5f . 7、 函数 2 32y x x x 的值域为 . 8、 设 4231 148f x x x x ,则 cos7f _. 二、解答题：（共 3 题， 52 分） 9、（ 17 分 ）设二次函数 2 0f x ax bx c a ，方程 f x x 的两根 1x , 2x 满足1210 xxa . (1)当 时 ,求证 : 1x f x x； (2)设函数 fx的图像关于 0xx 对称，求证：10 2xx. 12f 0xy 10x ,xABC清北学堂集中培训课程 入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 10、（ 18 分 ） 设 0x ： （ 1） 证明21e1 2x xx ； （ 2） 若21e1 2xyx x e ，证明： 0 yx . 11、（ 17） 已知函数 2 1axfxbx ，其中 a 是非零实数， 0b 。 （ 1） 求 fx的单调区间； （ 2） 若 0a ，设 1ix a， 1,2,3i ，且 120xx， 230xx， 310xx 。证明：1 2 3 2( ) ( ) ( ) af