（计算数学专业论文）化学气相渗透过程的多尺度建模及界面追踪.pdf

摘要本文以制备碳纤维增韧s i c 的陶瓷基复合材料( c s i c ) 的化学气相渗透过程( c v i过程) 模拟为主要研究对象，利用多尺度建模思想对非周期结构材料的c v i 过程进行数学建模，得到了统计意义下材料中残余孔隙的分布情况。现有的c v i 模型鲜有研究材料孔隙分布的内容。经典的c v i 模型通过在单一尺度上建立一系列方程，计算局部的孔隙度刻画孔隙结构变化，达到跟踪c v i 过程发展的目的。然而该模型自身存在- 一定的问题，使得模拟结果与理论和实验均有偏差。白云、岳兴业和曾庆丰提出了一个修正的c v i 多尺度模型，通过对预制体多尺度划分，在微观和宏观尺度上分别建立模型，结合孑l 隙度演化方程，模拟预制体在反应过程中的结构变化，该模型很好的解决了经典模型中的奇异性问题。修正的c v i 多尺度模型主要针对具有( 局部) 周期结构的材料。本文提出的模型针对非周期结构的材料，分别在微观和宏观两个尺度上建立模型，对后c v i 过程( 即小孔已经封闭、s i c 沉积只发生在纤维束表面的阶段) 进行数值模拟。在微观模型里，利用宏观浓度重构微观浓度的反应扩散方程，由微观浓度与界面速度存在的关系将该方程与l e v e ls e t 方程耦合，利用l e v e ls e t 函数跟踪c v i 过程中微观纤维束界面的增长并且统计微观孔隙度和大孔的有效反应面积。而在宏观层面上，在异值多尺度方法的框架下得到宏观浓度方程并解之，同时统计整个计算区域上的总体孔隙度。本文给出了描述整个模型随时间演化的完整过程的算法，同时文章还给出了具体的数值算例和分析。关键词：陶瓷基复合材料，化学气相渗透过程，异值多尺度方法，水平集方法，快速扫描法，速度场延拓a b s t r a c ti nt h i st h e s i sw ef o c u so nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h ec h e m i c a lv a p o ri n f i l t r a t i o np r o c e s s ( c v ip r o c e s s ) d u r i n gw h i c ht h es i l i c o nc a r b i d ec o m p o s i t ec e -r a m i cm a t e r i a l sa r er e i n f o r c e db yc a r b o nf i b e r s b a s e do nm u l t i - s c a l em o d e l i n g ，al l e wm o d e li sp r o p o s e dt op r o b ei n t ot h er e s i d u a lp o r ed i s t r i b u t i o ni nt h es t a t i s t i -c a ls e n s ei nm a t e r i a l sw i t hn o n - p e r i o d i cs t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo fs c a l es e p a r a t i o n s i n c e1 9 9 0 ，b yc o n s t r u c t i n ge q u a t i o n so ns i n g l es c a l ea n dc o m p u t i n gl o c a lp o r o s i t yt od e s c r i b ec h a n g eo fp o r es t r u c t u r ei np r e f o r m ，c l a s s i c a lm o d e l sh a v ep r o v i d e daw a yo ft r a c k i n gc v ip r o c e s s n e v e r t h e l e s s ，i n h e r e n td e f i c i e n c i e si nt h e s em o d e l sb r i n gd e v i a t i o n sf r o mt h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lo n e s i n2 0 0 8 ：y u nb a i ，x i n g y u ey u ea n dq i n g f e n gz e n gp r o p o s e dar e v i s e dm u l t i - s c a l em o d e l ，w h i c hd i v i d e dt h ep r e f o r mi n t ot w os c a l e sa n dt h e ns e tu pm i c r oa n dm a c r om o d e l sr e s p e c t i v e l y t h i sr e v i s e dm o d e ls u c c e s s f u l l yw o r k e do u ts i n g u l a r i t yp r o b l e m si nc l a s s i c a lo n e sa n dh a sb e e np r o v e dt ob ec o n v e r g e n t n o t et h a tt h er e v i s e dm o d e lc h i e f l yc o n s i d e rm a t e r i a l sw i t hp e r i o d i cs t r u c t u r e ，w h i l ei nt h i st h e s i sw et u r nt os t u d yc a s eo fn o n - p e r i o d i cs t r u c t u r ed u r i n gp o s t - - c v ip r o c e s s ，w h i c hb yo u rd e f i n i t i o nr e f e r st ot h es t a g eo fs i cd e p o s i t i o no ns u r f a c eo ff i b e r so n l y l i k ew h a tw a sd o n ei nt h er e v i s e dm o d e l ，b o t hm i c r oa n dm a c r om o d e l sa r ei n t r o d u c e d i nt h em i c r o1 e v e l r e c o n s t r u c t i o no fm i c r or e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o nw a sd o n ei ne a c hs a m p l e ，w et h e nc o u p l et h em i c r oe q u a t i o nw i t hl e v e ls e te q u a t i o nb yv i r t u eo far e l a t i o n s h i pb e t w e e nm i c r oc o n c e n t r a t i o na n dv e l o c i t yi nn o r m a ld i r e c t i o no nf i b e rf r o n t s l e v e ls e tf u n c t i o ni se x p l o i t e dn o to n l yt oi m p l i c i t l yc a p t u r ee v o l u t i o no ff r o n t sb u ta l s oe s t i m a t em i c r op o r o s i t ya n de f f e c t i v er e a c t i o na r e a w h i l ei nt h em a c r ol e v e l ，u n d e rt h ef r a m e w o r ko fh e t e r o g e n o u sm u l t i s c a l em e t h o d ( h m m ) ，w eo b t a i nm a c r oc o n c e n i ，r a t i o ne q u a t i o na n ds o l v ef o rm a c r oc o n c e n t r a t i o n m o r e o v e r ，o v e r a l lp o r o s i t yo ne n t i r ec o m p u t a t i o n a ld o m a i ni sa l s oc o m p u t e d w et h e np r o p o s ea na l g o r i t h mt oc o m b i n em i c r oa n dm a c r om o d e l si no r d e rt od e p i c tt h et i m e - e v o l u t i o np r o c e s so fw h o l en u m c r i c a ls i m u l a t i o n m e a n w h i l e ，n u m e r i c a le x a m p l e sa n dr e l a t e da n a l y s i sa r ep r o v i d e di nl a t e rc h a p t e ro ft h et h e s i s k e yw o r d s ：c s i cm a t e r i a l s ，c h e m i c a lv a p o ri n f i l t r a t i o np r o c e s s ，h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ，l e v e ls c tm e t h o d ，f a s ts w e e p i n gm e t h o d ，e x t e n s i o nv e l o c i t i e s中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后也遵守此规定。作者签名：口l9 年o第一章绪论本章将概述碳纤维增韧的碳化硅陶瓷基复合材料( c s i c ) 的基本结构、制备方法及c v i 过程的数值模拟，据此提出本文的研究内容。1 1c s i c 复合材料概述耐商品、低密度是航空航天材料的主要发展趋势，其对于降低结构重量和提高飞行器的结构效率、服役可靠性及延长寿命具有极为重要的作用2 1 1 。在众多材料体系中，具有耐高温、耐腐蚀、耐磨损和低密度等优良性能的陶瓷基复合材料( c m c s )作为一类很有发展前途的新型结构材料，以其优异的性能引起了国内外的极大关注，成为航空、航天高技术领域的制高点之一。但脆性是陶瓷基复合材料致命弱点，其临界裂纹长度仅为几十微米，因此它没有像金属那样的塑性形变能力。如何改善陶瓷基材料的脆性，成为陶瓷研究者一直关注的命题。连续纤维增韧陶瓷基复合材科( c o n t i n u o u sf i b e rr e i n f o r e e dc e r a m i cm a t r i xc o m p o s i t e s ) 被认为是解决陶瓷脆性的最有效途径，并教美国国防部列为二十项关键技术之首f l ，翻。图11 中显示了用来编织预制体的碳纤维束，每个纤维束由几百甚拿上千根碳纤维丝组成，我们将碳纤维束之间的孔隙称为大孔，而纤维束内部的孔隙为小孔。在材料制各的初始阶段，化学反应主要发生在小孔，即生成的s i c 沉淀主要是沉积在小孔表而上。当小孔基本上封闭了，沉积会转移到大孔里。c s i c 复合材料通常有四大组元构成：碳纤维，界面层，s i c 基体和s i c 涂层，图1 2 川为材料在电子显微镜下所观察到的图从图( c ) 可虬清楚的看到复台材料的四犬组元分层结构。图1 lc s i c 截面图2 0 1 0 盘第一章绪论中国科学技术大学硕士学位论文第2 页s 12 胸瓷基复合材料的制备方法图l2c s l c 四个组元在陶瓷基复合材料的基体选择上，主要是结合材料的熔点，弹性模量，晶体结构，挥发性，抗蠕变性和抗氧化性等因素综合考虑2 2 1 。非氧化物砖基陶瓷是最有发展前途的一类超高温结构材料，其中碳化硅陶瓷具有极好的高温性能和高温抗氧化性能，成为陶瓷基复合材料基体材料的首选l ，2 剐。连续纤维增韧碳化硅陶瓷基复合材料( g m o s l c ) 不但具有耐高温、低密度、高比模、高比强、抗氧化和抗烧蚀等碳化硅陶瓷材料的优异性能，而且克服了陶瓷村料脆性大和可靠性差的致命弱点具有对裂纹不敏感、无灾难性损毁等特点，在航空航天和国防领域有着巨大的应用潜力，受到世界各国的高度重视。1 2 陶瓷基复合材料的制备方法c s i c 复合材料的界面层和基体可以通过化学气相渗透法( c h e m i c 越v a p o ri n f i l t r a t i o n 简称c 1 制造，这种方法是目前碳化硅陶瓷基复台材料的主要制各方法。以皿为载体和a r 等作为稀释气体将岛风或者c h , s c g ( 简称m t s ) 等碳硅元素的可气化有机先驱气体依次渗入碳纤维编织题，发生化学反应，并进行厘位沉积，可分别值得热解碳( p y c ) 界面层和s c 基体，这个过程被称作化学气相渗透。化学气相浸2 0 1 0 盘第一章绪论中国科学技术大学硕士学位论文第s 页l2 陶瓷基复a 材料的制备方法渗是一个极为复杂的过程，涉及到包括化学、热力学，动力学和晶体生长等多方面的内容。在c v i 过程中，反应物是以气体的形态存在，能滓入到预制体的内部井发生化学反应生成s i c 基体。c h 3 s i c l 3 ( m t s ) 是化学气相沉积s i c 时最常用的反应气体，其分子中s i 和c 的原子数相等，易于获得化学计量的s i c ，具有根宽的沉积温度范围。用c v i 法制备c m c - s i c 时，由于整个过程都有气体参与并且反应生成的中间产物繁多，沉积条件的细小变化往往会导致沉积产物组成和形态的显著差异，同时也直接影响复合材料的致密化过程。因此与其它方法相比，c v i 法在工艺上具有根强的经验性。c v i 的工艺主要有五种【2 4 ，2 卧等温c v i ( i c v i ) 、热梯度c v i ( t c v i ) ，等温强制对流c v i 、热梯度强制对流c v i ( f c v l l 和脉冲c v i ( p c v i ) 等，对应的气体输运模式及温度特征如图13 2 6 1 。下面介绍本文将进行数值建模的几种制各方法 2 4 - 2 6 。 毒鞯榔| i 排图l3c 过程等温c v i 过程( i c v i ) ，将纤维预制体放八温度均一且无明显强制气体流动的反应室，气态先驱体按一定比例进入反应室并主要通过扩散作用渗入到多孔纤维预制体内，在纤维表面发生化学反应并原位沉积；在生成s i c 固体产物的同时放出气体副产物，副产物从反应壁面上解附并借助于扩散传质进入主气流，随后排出沉积炉，从而完成整个c v i 过程。由于气态先驱体在预制体中的传质主要靠扩散作用，预制体表面的输运状态远好于内部，使得沿气体扩散方向上存在着一定的浓度梯度，导致在预制体入口处先驱体气体浓度高沉积速率大于内部沉积速率。随着浸渗过程的进行，预制体表面的孔洞过早封闭而切断气体向预制体内部的传输通道，从而使复合材料产生密度梯度，影响沉积质量。为了防止表面的过度沉积，i c v i 法通常采曼2 0 1 0 年第一章绪论中国科学技术大学硕士学位论文第4 页1 3c s i c 带 i 备过程的数值模拟用较低的制备温度和压力，因此致密化速度低，周期长。i c v i 虽然致密化速度低，但其工艺稳定，只要构件壁不太厚，可对任意复杂的构件进行致密化处理，并且可以一炉同时制备多个构件，并不失其经济性，因此目前商用c m c s i c 多采用i c v i 工艺。本文主要是针对i c v i 过程进行模拟。另外，还有热梯度c v i 和等温强制对流c v i 等制备方法。在热梯度c v i 中，反应气体仍然是靠气体的扩散作用进行物质传递，但使用了特定的加热和冷却手段，预制体上形成了显著的温度梯度。沉积速率较快，整个致密化过程可在较短的过程中得到较高的密度。但由于存在较大的温度梯度，制件各部位形成的组织结构和微观形貌会有一定的差异，另外，热梯度c v i 适于形状简单的厚壁件的致密化，对制备复杂形状的构件有较大困难。而在等温强制对流c v i 中，不存在温度梯度。气态先驱体在预制体内部进行质量传递的过程不但靠扩散作用，而且靠对流作用，预制体内部的气体输运状况好于i c v i 。与i c v i 法相比，由于压力强制反应物气体流动，浸渗时间显著降低，生成率相对提高，但致密化效果可能略差。此法特别适用于筒形件，对形状彳 规则制品采用适当的夹具后也有一定的适用性。1 3c s i c $ l j 备过程的数值模拟c s i c $ ! j 备工艺复杂，生产周期长( 3 0 0 5 0 0 h 或更长) ，而且服役环境恶劣，完全依靠实验研究进行该材料的工艺改进和服役性能评估，将导致研发成本的大幅增加。而且，对于制备过程中材料微结构的生成过程以及服役过程中材料微结构与性能的演变过程而言，其中间信息都很难实时采集，因此开展工艺过程和服役过程的数值模拟日益受到重视。目前国内外c v i 过程模拟主要分为两大类：流动显示物理模拟和计算机数值模拟f 4 ，5 1 。但流动显示物理模拟不能降低成本，也不能高效的适应多变的c v i 构件制造过程，因而开展数值模拟具有重要的研究价值。美国纽约州立大学化工系的g u p t es m 博士于1 9 8 9 年首先采用有限差分方法对单个圆柱形碳纤维编织体的c v i 过程进行数值模拟6 1 。美国d e l a w a r e 大学的t a in h 与c h o ut w 、l o sa l a m o s 国家实验室的r o b e r tp 、橡树岭同家实验室的b r i a nw 和b e s m a n nt 、n o t r ed a m e 大学的m c a l l i s t e rp 、g e o r g i a n ：l ：学院的s t a r rt l 等对c v i 反应器流场、温度场和气体在多孔介质中的输运等过程进行了数值模拟f 4 ，7 _ 1 0 1 。国内主要有西北工业大学的魏绥和曾庆丰博士利用有限元方法对c v i 过程的流场，密度和孔隙度进行了模拟。2 0 1 0 釜第一章绪论中国科学技术大学硕士学位论文第5 页1 4 本文主要研究内容及研究结果1 4 本文主要研究内容及研究结果由前面所述，陶瓷基复合材料比传统的复合材料有显著的性能优势，但由于制备工艺复杂，制备周期长，于是数值模拟c v i 过程也就非常必要。另外，材料学家提出的一个观点是把材料的制备和服役结合在一起。也就是说，材料服役时出现脆弱部位有可能是在制备过程中产生的缺陷。而材料中残余孔隙的分布情况很大程度上决定了材料性质的好坏和服役时的表现。于是，我们希望能够找到一个有效的数值模型，模拟在c v i 过程中碳纤维预制体内部结构的界面演化情况，从而得到在统汁意义下材料中残余孔隙的分布状况。同时，希望该模型能模拟反应过程中孔隙度的变化以及反应气体在预制体内的浓度分布。我们在绪论中已经概述了陶瓷基复合材料的基本结构、主要制备方法以及对复合材料制备过程进行数值模拟的研究现状。第二章将介绍经典的c v i 模型以及该模型存在的不足之处；接着将介绍一个修正的多尺度c v i 模型，该模型有效解决了经典模型中存在的奇异性问题，能够更好的追踪反应过程的每个阶段，同时收敛性分析保证了模型的正确性；接下来会提到一个借助l e v e ls e tm e t h o d 追踪反应界面的模型。受以上模型启发，在第三章里，我们提出模拟非周期结构材料残余孔隙分布的基于h m m 法和l e v e ls e tm e t h o d 的c v i 多尺度模型，分别在微观和宏观两个尺度上建立模犁，对后c v i 过程( 即小孔已经封闭、s i c 沉积只发生在纤维束表面的阶段)的残余孔隙分布做数值模拟，同时给出描述整个模型随时间演化完整过程的算法。文章在第四章里将给出具体的数值算例和分析，来说明模型的合理性。第五章对本文做出总结并对进一步工作提出展望。第二章经典的c v i 过程数值模拟从1 9 9 0 年开始，有许多计算化学家对这个生产陶瓷基复合材料的经典实验方法进行了数值模拟。我们将在这一章里简单的介绍陶瓷基复合材料c v i 过程的经典数学模型，一个修正的多尺度模型，以及一个采用l e v e ls e tm e t h o d 来追踪纤维束界面生长情况的模型。2 1 经典的i c v i 数值模型在过去的二十年里，已经有许多关于c v i 过程建模的工作，这些模犁的主要思想可以在【7 ，9 ，1 0 ，2 5 ，2 9 等文献中看到。下面我们就简单的介绍一下经典的i c 模型。2 1 1经典c v i 模型我们假设在预制体内发生的是如下反应：m t s ( c h z s i c i a ( v ) ) e x c 旦骂爿2 c ( 。) + 3 h c i ( 可)1 浓度方程假设c v i 过程中，物质在预制体内的传输是准静态的，度( ( m o l m 3 ) ) ，于是浓度方程可以写成：( 2 1 1 )用c 表示反应物的浓- v ( d 。f f v c ) = r( 2 1 2 )方程里的d 。f l 为m t s 气体的有效扩散系数，r 为反应项。假设气体发生的是一级表面反应，于是反应项可以写成：r = 一k c s 。k 是一级表面反应速率常数( m s ) ，是单位体积里的有效沉积而积( 竹。27 7 1 3 ) 。2 扩散模型在经典的模型里，有效扩散系数是正比于孔隙度反比与预制体的一个结构参数一扭曲因子：d e 胪；d( 2 1 - 3 )62 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第7 页第二章经典的c 过程数值模拟2 2 修正的c 数学模型扩散系数d 是混合扩散系数，由如下公式定义：三=土+一1dd a bd k( 2 1 4 )。，其中，d a b ( m 2 s ) 和d k 分别为f i c k 和k n u d s e n 扩散系数，其表达式详见相关文献。3 - 孑l 隙度演化方程c v i 过程中的孔隙度局部演化方程可以写成：雎= 一口学s v k c( 2 1 5 )i= o ，t = 0、通过计算孔隙度，整个c v i 过程可以得到监控。当孔隙度移足够小的时候，也就是沉积物将预制体内的孔隙基本填充完全时，c v i 过程结束。2 1 2对经典的c v i 模型的讨论经典的c v i 模型是结合各种孔隙模型，通过建立一系列的方程，最后计算局部的孔隙度刻画c v i 过程中孔隙结构的变化，从而达到了跟踪c v i 过程发展的目的。然而经典的c v i 数学模型中存在些问题。首先应该注意到碳纤维的预制体具有多尺度的结构：纤维细丝之间的小孔尺寸要比纤维束之间大孔的尺寸小很多。而经典模型忽略了这一重要特性。在c v i 过程的初始阶段，化学反应主要发生在小孔里。在小孔基本封闭的时刻，大孔里几乎只发生f i c k 扩散，而且k n u d s e n 扩散系数d k 0 。于是由公式( 2 1 4 ) ，可以推出d 0 ；由( 2 1 3 ) 可知：d 。，0 。然而这个结果是与实际实验相悖的。实际上，初始阶段之后的几百甚至上千小时，大孔的有效扩散系数不应该是0 。经典模型的另外一个问题是经典模型用了统一的一个孔隙度来跟踪c v i 过程。但是这个孔隙度却不能够区分反应的某个阶段大孔和小孔各自的封闭情况，也就是说经典模型不能够刻画小孔封闭，反应转向大孔的时刻。于是需要改进经典的模型，来避免经典模型中出现的这些问题。2 2修正的c v i 数学模型白云、岳兴业和曾庆丰于2 0 0 8 年提出了一个修正的c v i 多尺度模型 15 】。在该模型中，他们首先对周期结构的预制体进行多尺度划分，建立微观的反应扩散模型；2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第8 页第二章经典的c 过程数值模拟2 2 修正的c v i 数学模型同时，对不同尺度的孔隙结构进行建模。而后，利用均匀化理论【1 1 】得到宏观上的反应扩散模型，再结合孔隙度随时间演化的方程，得到了一个封闭的系统。通过理论分析和数值算例可见，修正后的多尺度模型很好的解决了经典模型中的奇异性问题，并且更加准确的模拟预制体在反应过程中的结构变化。他们利用渐进分析的思想 1 2 】，对提出的多尺度模型进行了收敛性分析，从而模型的正确性在理论上得到保证。2 2 1 微观模型1 对多尺度结构的处理预制体可以被视为一个两相的复合材料，其中一相是包含纤维细丝和其间的小孔的纤维束，记为p 1 ；另一相是纤维束之间的大孔，记为尸2 。我们将p 1 材料视为均匀的多孔材料，p 1 、p 2 中的扩散系数分别记为：d 1 和d 2 ，其具体的表达式见 1 5 】。2 反应扩散方程预制体被视为一个两相多尺度材料。微观尺度是预制体内大孔的尺度，也就是非均匀的孔隙结构的孔尺寸。宏观尺度是整个预制体的尺寸。基于质量守恒原理和似稳态假设，可以得到微观尺度的反应扩散方程：一v ( d 5 v c ) + 砰= 0( 2 2 1 )在预制体内扩散系数旷定义为：d s ：= d ( x ，= x ，亡) = d 1 ( 1 一) ( ( x ，享，亡) ) + d 2 x ( x ，享，亡)( 2 2 2 )其中x ( x ，季，t ) 是刻画大孔的形状的特征方程，定义为：小和= 。1 ：慧罴印阳s根据对预制体的结构所做的局部周期假设，前面提到的特征函数和扩散系数d 5 均是以g 为周期的局部周期函数。反应项冗可以表示为：彤= k c 6 l ( x ，t ) + k c s 。( 1 一x ( x ，三，t ) )( 2 2 3 )其中，6 l ( x ，t ) 是表面d i r a cd e l t a 函数，定义为：j ( x ，t ) f ( x ，t ) d x = ，( x ，t ) d s ，v 光滑甬数f ( x ，t )j qjs l瓯。表示纤维束内部的有效小孔表面积。2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第9 页第二章经典的c 过程数值模拟2 2 修正的c 数学模型2 2 2宏观模型1 宏观浓度方程基于预制体局部周期结构以及其他的基本假设，利用均匀化的思想，由似稳态的假设，宏观浓度方程可以写为：一v 。( d 。，( x ，t ) v x c o ) = 一兄( 2 2 4 )d 。，( x ，亡) = ( 2 2 5 )其中y = 荨为快变量，x 为慢变量。= ( x ，y ，t ) = ( 1 ，2 ，3 ) 满足下面的c e l l 问题：j v y ( d ( x ，y ，1 ) v y ) = v y - d ( x ，y ，) ，可口【i s 口p e r i o d i c 百b o u ty ，a n dj y d y = o公式( 2 2 4 ) 右端项r 是宏观反应项，有以下形式：冗= k 鼠z c o ( x ，亡) + k 瓯。( 1 一也) c o ( x ，亡)其中& f 表示单位体积内大孔的有效沉积面积，如表示大孔孔隙度。( 2 2 6 )( 2 2 7 )2 孑l 隙演化总的孔隙度莎也可以自然的分拆成两部分，= 锄+ 九，其中：锄表示纤维束之间的大孔孔隙度，而九表示纤维束中的小孔孔隙度。根据公式( 2 2 7 ) ，重写孔隙演化公式：警：一g 孥瓯。( 1 一也) k c 。面2 一g 面s ( 1 一州ku 。娑：一g 堕瓯z k c 。i f2 一g 历夏了6 。ku 。当小孔封闭时，p 1 的扩散系数d 1 = o 。此时，公式( 2 2 5 ) 中定义的有效扩散系数丰要是由大孔的扩散系数所决定。当大孔封闭时，有效扩散系数方为0 。这样就解决了经典模型与实验相违背的问题。2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 0 页$ - - 章经典的c v i 过程数值模拟2 3l e v e ls c tm e t h o d 追踪纤维束界面生长的模型2 3l e v e ls e tm e t h o d 追踪纤维束界面生长的模型j i ne ta 1 f 3 0 ，3 1 1 提出了一个描述c v i 沉积过程中孔隙结构演化的数学模型，通过引入欧拉坐标系下的l e v e ls e t 方程，并将其与拉普拉斯方程耦合，得到具有鲁棒性的数值模拟方法。该模型能够很好的捕捉诸如纤维束界面融合或者形成封闭孔隙之类的拓扑结构的变化。同时，该模型提出了一个快速搜索算法来侦测反应过程中随时可能出现的封闭孔隙，这个算法可以给出精确的封闭孔隙的形成时间，具体位置和孔隙形状。2 4 本章小结在这一章里我们介绍了制备陶瓷基复合材料c v i 过程的一些数值模拟模型。在过去的二十年里，许多化学家做了这方面的工作。他们把预制体的内部结构简化成一些方便计算的孔隙结构。基于这些孔隙模型，根据质量守恒的原理，和一些实验经验，建立了数学模型。然而，在经典的c v i 的数学模型里存在着一些问题，使得模型与理论和实验有些偏差。一个修正的c v i 多尺度模型很好的解决在经典模型中出现的一些问题并且给出了模型的收敛性分析。最后介绍了一个通过耦合l e v e ls e t 方程和拉普拉斯方程来追踪纤维束界面生长情况以及捕捉封闭孔隙形成的数学模型。第三章非周期结构的c v i 过程数学模型描述材料在微观尺度上的孔隙结构是c v i 模型中比较复杂的一个内容，修正的c v i 模型采用了n o d e - b o n d 的微观孔隙结构有效回避了这个问题。实际上，现有的c v i 模型并没有将重点放在刻画微观的孔隙分布e 。另一方面，正如前文所提到，修正的c v i 多尺度模型针对的是具有周期或局部周期结构的材料，通过引入均匀化理论显式求解出均匀化系数。本文提出的模型旨在模拟c v i 过程中非周期结构材料的残余孔隙分布，采用h a m i l t o n j a c o b i 型l e v e ls e t 方程f 1 8 1 追踪微观的纤维束界面的演化过程，从而得剑在统计意义下材料中残余孔隙的分布状况，同时利用h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ( h m m ) 来处理非周期问题。在建立模型之前，我们先做几个基本假设：h i ：假设模拟初始时刻小孔已经封闭，即化学沉积只发生在纤维束表面，只有大孔的孔隙度发生变化；h 2 ：化学反应之前预制体里的纤维束是均匀分布，预制体是各向同性的；h 3 ：反应过程中发生的化学反应是一级不可逆反应；h 4 ：本文模拟2 维情形的c v i 过程。我们有必要对第一个假设做出解释。在第二章关于经典的c v i 模型的讨论中已经提到，在c v i 过程的初始阶段，化学反应主要发生在小孔，即生成的s i c 沉淀主要是沉积在小孔表面上。当小孔基本上封闭了，沉积会转移到大孔里。而我们的模型所要关注的正足纤维束界面的生长情况，因此可以忽略反应初始阶段产生在纤维束表面的沉淀。3 1 微观模型3 1 1对多尺度结构的处理我们采用和修正的c v i 多尺度模型相类似的处理方法，把预制体视为一个两相复合材料。一相是纤维束，包含纤维细丝和其间的小孔，记为尸1 ；另一相是纤维束之间的大孔，记为p 2 。1 l2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章非周期结构的c v i 过程数学模型第1 2 页3 1 微观模型根据h 1 假设，即：模拟开始的时刻小孔已经封闭，尸1 的扩散系数d 1 = 0 。此时，尸2 中的扩散类型为f i c k 扩散，扩散系数为d a b 。当反应发生了几百个小时后，p 2 中的大孔隙半径n 减小至小于分子平均自由程，扩散类型会变为k u n d s e n 扩散。记d 2 为p 2 的扩散系数，即：。z = d a b ；n r l _ m r o( 3 工1 )3 1 2 反应扩散方程我们把预制体看做一个两相的多尺度材料。如修正的多尺度模型提到，微观尺度即预制体内大孔的尺度，而宏观尺度是整个预制体的尺寸。基于质量守恒原理，我们可以写出微观尺度上带时间项的反应扩散方程：篝= v ( d 8 v 矿) 一彤( 3 1 2 )由于d 1 = 0 ，故由方程( 2 2 2 ) 微观的扩散系数为：。：= 。c x ，享，芒，= 。言：x 。i h n e r m w a i s c e r 。p o r 髑c 3 - 3 ，同样根据小孔已经封闭的假设，可以知道：鼠。= 0 ，那么根据方程( 2 2 3 ) 反应项膨可以表示为：彤= k a z ( x ，t ) 矿( 3 1 4 )其中西( x ，t ) 是表面d i r a cd e l t a 函数，2 2 1 d , 节已经做过定义。r e m a r kl ：方程( 3 1 2 ) 的扩散系数是间断的；反应项为界面处带d i r a c 函数的线源项，具有歧性。在实际计算时，我们将纤维束内部区域的微观浓度值设为0 ，微观浓度在反应界面处形成较大的梯度差。3 1 3l e v e ls e t 方法和速度场延拓为了追踪在反应过程中微观纤维束界面的演化生长，我们采用h a m i l t o n j a c o b i 型的l e v e ls e t 方程，将其耦合上微观浓度的反应扩散方程( 3 1 2 ) ，来捕捉界面增长。然而有时由t l e v e ls e t 方程中的速度函数f ( x ，t ) 的关系，随着l e v e ls e t 函数妒( z ，f ) 的演2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章非周期结构的c v i 过程数学模型第1 3 页3 1 微观模型化，妒( z ，亡) 无法保持其有向距离函数的性质。比如说在一些数值模拟中( 【1 7 第1 1 章) ，如果直接采用整个计算区域上的流体速度作为速度函数，零水平集附近的那些水平集会被扭曲和拉伸。为解决这个问题，一种方法是经常性的重新初始化妒( z ，亡) ，重建妒( z ，t ) 使其成为有向距离函数。另一种方法是重构速度场，使其能够保证妒( z ，t ) 一直保持有向距离函数的性质。本文采用后一种方法，原因将在下文中解释。1 l e v e ls e t 函数与界面演化首先介绍一下l e v e ls e t 函数，表示为妒( z ，亡) 。记妒的零水平集为：f t = z i 妒( z ，t ) =o ，。妒的初值选取是任意的，比如说可以令：妒( z ，t = 0 ) = 士d ，其中：d 为计算区域某点z 到初始纤维束界面r o 的距离，d 前面的正负表示所选的点x 在f o 的外部内部，即：纤维束之间的大孔区域纤维束内部( 或者气态固态区域) 。纤维束问大孔和纤维束内部可以分别表示为：q 一= ( z ，f ) i 妒( z ，t ) o ) 。记纤维束界面的外法向增长速度为f ( x ，t ) 。f ( x ，t ) 既可以是反应动力学中参数( 比如温度，压强，反应气体浓度等) 的函数，也可以由局部几何性质，比如平均曲率所决定。在本模型中，我们认为界面的增长速度仅仅取决于界面处的反应气体浓度、界面所处的位置及c v i 反应所处的时刻。下面我们推导界面涌动的速度，由方程( 3 1 2 ) ，微观界面的固体沉积率为：些：k m s i c c s a s( 3 1 5 )a tp s i c其中s 是沉积的面积微元，f 为s 法向上的沉积厚度，v = a s a f 。k 是一级表面反应速率常数( m s ) ，而m s t c 和p s i c 分别表示s i c 的摩尔质量( k g m 0 1 ) 和密度( k g m 3 ) 。于是由( 3 。1 5 ) 可得：a s - 一a 1 ：km s i cc 5 a s辛a z l a 江k 堕矿兮法向速度f ：k 丝堑矿( 3 1 6 )孔隙界面演化的模型足h a m i l t o n j a c o b i 型l e v e ls e t 方程 1 7 建立的。坛t 鳘0 ；型划”，i 妒( z ，= ) = 士d、72 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章非周期结构的c v i 过程数学模型第1 4 页3 1 微观模型2 速度场延拓注意到方程( 3 1 6 ) 确定的仅仅是界面涌动的法向速度，而方程( 3 1 ，7 ) 要用到在所有l e v e ls e t s _ ：都有定义的f ( x ，t ) 。一个直接的想法是利用方程( 3 1 6 ) 计算全局范围的f ( x ，t ) 。前面r e m a r k l 提到，纤维束内部区域的微观浓度值为0 ，而界面上和大孔内的浓度值大于0 ，那么纤维束内部的速度为0 ，剩余区域速度为正，但这样处理将带来麻烦。不妨考虑一维情形，如幽3 1 ，取f o ，1 0 刀1 。假设初始反r ( x ，t ) = l耋，f r o n tv图3 1 一维情形示意图应界面位于z = 5 ，以单位速度从左至右涌动，取离散时间步长为1 秒。如果令界面左边所有格点( 即：z = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 的速度为0 ，界面及其右边格点的速度为l ，那么1 秒后，妒4 仍为一1 ，妒5 从0 变成1 ，而妒6 从l 变成0 。实际上，慨( = 0 ，4 ) 的值都没有改变，均比实际值小l ，因此必须对c 戚生行重新初始化。记重新初始化函数妒得到妒r e m 。经典的重新初始化重构技术，比如：j a s e t h i a ne ta 1 的f a s tm a r c h i n gm e t h o df 1 7 1 ，s t a n l e yo s h e re ta 1 的伪时问序列迭代法f 1 9 】，h o n g k a iz h a o 的f a s ts w e e p i n gm e t h o df 2 0 等，无论采用多高精度的数值格式，算出的矿e _ 讯的零水平集和真实反应界面的误差为o ( h ) ，其中 为微观网格尺寸。而本文所模拟的反应，微观纤维束界面增长的速度非常小( 大约1 0 - 1 1 m s 的量级) 。设微观时间步长为淝( 实际数值模拟时不超过6 0 秒) ，除非将微观网格的尺寸细分到f 以量级( 这将极大的增加计算量，被认为不可接受) ，否则重新初始化妒所带来的零水平集附近的误差将“吃掉”界面附近够的增长量，从而人为的造成反应界面的退后或前进。因此，我们不打算直接通过方程( 3 1 6 ) 提供全局速度。我们考虑从界面处的增艮速度f ( a ，t ) ，v a f 出发延拓速度场【1 7 ，延拓的速度场如。( z ，亡) 应满足以下要求：如。需满足一定的收敛性，即：l i m 吃t ( z ，t ) = f ( a ，t )( 3 1 8 )z _ + o2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第三章非周期结构的c v i 过程数学模型第1 5 页3 1 微观模型其中，a r 为界面上一点，z _ a m 方向为界面的法向；除此之外，e 越需满足以下关系式：v 吃t v 汐= 0( 3 1 9 )假定上式中的妒本身就是有向距离函数，即：i v 妒i = 1 ，容易证明满足关系式( 3 1 9 ) 的速度场能一直保持更新后的妒仍为有向距离函数。假定足科和妒均为光滑函数，并且i v 妒l = 1 。考察l e v e ls e t 方程：仇+ 吃“v 妒l = 0 ，有：1 d i v 广e 2 = d ( v 妒- v 妒) = 2 v 妒磊dv 妒= 一2 v 妒v r 耐i v 妒卜2 v 妒v l v 妒t( 3 1 1 0 )由关系式( 3 1 9 ) ，右端第一项为o ；而第二项为0 是因为i v 妒i = 1 。因此更新后的妒仍然满足：i v 妒i = 1 。j a s e t h i a n 在书中【1 7 提到，采用速度场延拓，按照以下算法步骤可以避免直接对l e v e ls e t 函数进行重新初始化：s i ：给定初始时刻为t = 扎乳的l e v e ls e t 函数矿；s 2 ：重构矿得到有向距离函数妒钯m p ，利用妒。8 m p 和界而速度根据下式重构疋彬v 呢t v 汐6 仇p = 0 s 3 ：利用延拓后的速度场，根据l c v e ls e t 方程更新矿，得到妒n + 1 。需要指出的是，从以上3 个步骤不难看出，我们从始至终没有利用重构妒所得的妒把m p 来直接代替妒，而是利用妒钯m p 根据方程( 3 1 9 ) 做速度场延拓，使得该速度场能保证妒始终具有有向距离函数的性质，然后利用t 来更新妒。这个算法比较符合本文所涉及到的模型问题。3 f a s ts w e e p i n gm e t h o d 与重构l e v e ls e t 函数、速度场延拓前面提到了一些经典的重新初始化重构技术，如：j a s e t h i a ne ta 1 的f a s tm a r c h i n gm e t h o d ，s t a n l e yo s h e re ta 1 的伪时间序列迭代法，h o n g k a iz h a 0e ta 1 的f a s ts w e e p i n gm e t h o d 等等。f a s tm a r c h i n g