（凝聚态物理专业论文）从bariev模型到相互作用的库仑费米气体.pdf

摘要 低维模型和强关联电子模型在凝聚态的理论研究中占有非常重要的地位，近年来 随着高温超导体、b e c 量子霍尔效应等物理现象的发现，有关这方面的研究就备受 凝聚态物理学家的关注。b a r i e v 模型作为一种重要的强关联电子模型被广泛研究。有 关b a r i e v 模型的可积性、精确解、边界效应以及热力学性质都先后得到了细致的研究， 目的就是将b a r i e v 模型的物理性质研究的更加清楚。因此研究b a r i e v 模型的物理性质 本身就是一个非常重要的工作，对于高温超导和量子霍尔效应的研究有很重要的意义。 本篇学位论文的工作基于以下两点考虑：其一，是想通过研究b a r i e v 模型与相互作用 的库仑费米气体的关系，从而进一步揭示b a r i e v 模型的物理本质。其二，由于b a r i e v 模 型的关联函数很难直接求解，因此希望本篇论文所做的工作能为关联函数的求解带来 一些启发。 学位申请者硕士论文的研究方向是：从b a r i e v 模型到相互作用的库仑费米气体 对于一个可积系统来说b e t h ea n s a t z 方程扮演着非常重要的角色。这篇论文主要 的工作就是通过分析研究b a r i e v 模型和相互作用的库仑费米气体的b e t h ea n s a t z 方程， 从而引入合适的连续极限，使得b a r i e v 模型能够在连续极限下演化为相互作用的库仑 费米气体。论文分别就连续极限下的二分量b a r i e v 模型和连续极限下的n 分量b a r i e v 模 型两个方面展开讨论。通过对二分量b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方程的研究引入了合适 的活动参数进而成功的引入了连续极限，随后分别对连续极限下的积分方程、t b a 方 程和自由能进行了研究，成功的论证了所取连续极限的正确性。接着将这个结果推广 n n 分量的b a r i e v 模型中，并讨论了n 分量情况下b e t h ea n s a t z 方程在连续极限下的结 果。本文定量的给出了b a r i e v 模型和相互作用的库仑费米气体的关系，明确的给出二者 之间演化所需要的条件，并分别就二分量b a r i e v 模型的积分方程、t b a 方程和自由能 三个方面进行了论证。通过对n 分量情形的讨论，发现二分量下需要满足的条件与n 分 量下需要满足的条件完全相同，证明了该演化条件对于b a r i e v 模型的广泛的适应性。 关键词：连续极限；b a r i e v 模型；费米气体；热力学b e t h ea n s a t z 方程；自由能 f r o mt h eb a r i e vm o d e lt ot h ec o u l o m bf e r m ig a s w i t ni n t e r a c t l o n a b s t r a c t t h el o wd i m e n s i o n a lm o d e la n dt h es t r o n gc o r r e l a t e de l e c t r o nm o d e lh a v eb e e n o n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n ta r e ai nt h er e s e a r c ho ft h ec o n d e n s e dm a t t e rt h e o r y s i n c e t h ed i s c o v e r yo ft h ep y r o c o n d u c t i v i t ya n dt h eb e cq u a n t u mh a l le f f e c t ，t h e s em o d e l s a t t r a c t sm o r ea n dm o r ep a y s i c i s t s a t t e n t i o n s a sa ni m p o r t a n tr e a l i z a t i o ni ns t r o n g c o r r e l a t e de l e c t r o nt h e o r y , b a r i e vm o d e lh a sb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e df o rm a n yy e a r s ， a n ds h e dl i g h to nt h et h e o r e t i c a lr e s e a r c hi nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s m a n ye x c e l l e n t w o r k si nt h i sd i r e c t i o n ，c o n c e r n i n gi t si n t e g r a b i l i t y ，e x a c ts o l u t i o n ，b o u n d a r ye f f e c ta n d t h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e s ，w a sm a d ei no r d e rt ou n d e r s t a n dt h ep h y s i c a ln a t u r eo f t h em o d e li t s e l f f o ra l lt h er e a s o n sa b o v e ，i ts h o u l db eav e r ym e a n i n g f u lw o r kt o r e s e a r c ht h ep a y s i c a lp r o p e r t i e so ft h eb a r i e vm o d e li ns o m e m o r ed e e p e rl e v e l i nt h i s t h e s i s ，w ew i l ls h o ws o m ee f f o r ti nt h i sd i r e c t i o nt h o r o u g h l y t h em a i ni d e a so ft h e p a p e rc o n s i s t so ft w oa s p e c t s ：f i r s t ，t h ep u r p o s et h a ti n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e n t w om o d e l si st oo p e no u tt h ep h y s i c a lp r o p e r t i e st h o r o u g h l y s c e n d ，b e c a u s eo ft h e c o r r e l a t e df u n c t i o no ft h eb a r i e vm o d e li sh a r dt oc a l c u l a t e ，s oih o p et h i st h e s i sh a s t h ee l i c i t a t i o nf o rc a l c u l a t i o no ft h ec o r r e l a t e df u n c t i o n t h er e s e a r c ha r e ao ft h ea p p l i c a n t sm a s t e rt h e s i si n c l u d ef r o mt h eb a r i e vm o d e l t ot h ec o u l o m bf e r m ig a sw i t hi n t e r a c t i o n t h eb e t h ea n s a t ze q u a t i o na c ta ns i g n i f i c a n tr o l ei nt h ei n t e g r a b i l i t ys y s t e m t h e m o s t l yt a s ko ft h i st h e s i si st h a ti n t r o d u c et h es u i t a b l ec o n t i n u u ml i m i ti nw h i c hc a s e b a r i e vm o d e lw o u n de v o l v ea sc o u l o m bf e r m ig a sw i t hr e c i p r o c i t y , a c c o r d i n gt od e e p l y a n a l y s ea n dr e s e a r c ht h eb e t h ea n s a t ze q u a t i o no fb a r i e vm o d e la n dc o u l o m bf e r m i g a sw i t hr e c i p r o c i t y t w o - a n dn c o m p o n e n tb a r i e vm o d e la r et h et w os e c t i o no ft h e i i i n v e s t i g a t i o ni nt h i st h e s i s a c c o r d i n gt ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h et w o - c o m p o n e n tb e t h e a n s a t ze q u a t i o n ，w ei n t r o d u c ei n t ot h es u i t a b l ep a r a m e t e r sa n dt h e ns u c c e s s f u li m p o r t t h ec o n t i n u u ml i m i t ，w h e r e a f t e rr e s e a r c ht h ei n t e g r a b l ee q u a t i o n ，t b ae q u a t i o na n d f r e ee n e r g yi nt h ec o n t i n u u ml i m i to n eb yo n e ，a tl a s tt r i u m p h a n tp r o v et h ec o r r e c t - n e s so ft h ec o n t i n u u ml i m i t i ns u c c e s s i o nw ed e v e l o pt h ec o n c l u s i o nw h i c hh a v eb e e n d e m o n s t r a t e di nt w o - c o m p o n e n tc a s et ot h en c o m p o n e n tc a s e ，a n dd i s c u s st h eb e - h a v i o ro ft h en c o m p o n e n tb a r i e vm o d e l sb e t h ea n s a t ze q u a t i o ni nt h ec o n t i n u u m l i m i t ，f i n a l l y , t h i st h e s i sg i v e st h ed e f i n i t u d er e l a t i o nt h a te v o l v ef r o mb a r i e vm o d e lt o c o u l o m bf e r m ig a sw i t hr e c i p r o c i t ya n dd e m o n s t r a t e si t s c o r r e c t n e s sv i at h r e ea s p e c t s ： i n t e g r a le q u a t i o n s 、t b ae q u a t i o na n df r e ee n e r g y b yd i s c u s st h en c o m p o n e n tc a s e ， t h ea b s o l u t eh o m o l o g yc o n d i t i o nf o re v o l v e m e n ti sd i s c o v e r e di nt w o - c o m p o n e n tc a s e a n dn c o m p o n e n tc a s ea n dt h i sc o n c l u s i o nd e m o n s t r a t e st h a tt h ee v o l u t i v ec o n d i t i o n h a sw i d e l ya p p l i c a b i l i t yf o rb a r i e vm o d e l k e y w o r d s ：c o n t i n u u ml i m i t ；b a r i e vm o d e l ；f e r m ig a sm o d e l ；t h e r m o d y n a m i cb e t h e a n s a t ze q u a t i o n ；f r e ee n e r g y i i r 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：垂泣江指导教师签名：盂鹭p 跏g 年名月占日伊暑年6 月(日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：，司朔 之坩方年二月ze l 第一章引言 1 1 低维可积模型介绍 一般来说研究多粒子系统主要是通过热力学统计的方法，由g i b b s 引入的配分函 数在热力学统计物理中占有非常重要的地位。这是一个非常中重要的热力学函数，对 于一个温度为t 的热力学体系，其微观态8 所对应的能量e ( s ) ，配分函数可以定义 为： z = e x p e ( s ) k t ( 1 1 1 ) s 式中k 为玻尔兹曼常数。借助配分函数可以很容易得到系统的其它宏观量，例如：熵s 、 自由能f ： s = 一后t l nz f = e t s ( 1 1 2 ) 运用自由能则可以继续得到系统的其它热力学量，例如：内能u 、比热c 、磁化率) ( ： u ：掣一( 0 亍f ) ，c t 2 卯0 2 、丙f ) ，x = 一篇( 熹) ( “3 ) 其中为总粒子数，日为磁场强度。从这个角度看，求解一个系统的热力学性质，实质 上就是求解一个系统的配分函数，但是一个真实的物理体系的配分函数是十分难求解 的，因此不得不建立模型以简化系统，从而使系统能够求解。而作为简化研究真实物 理系统的重要手段的低维强相互作用系统一直是理论物理学研究的热点，也是凝聚态 理论研究的重要方向之一。 高维系统能够通过约化或者是适当的近似简化为低维系统，这样能够使得真实物 理系统中原本相当复杂的问题变的易于求解和分析。特别是对于一维系统，由于它能 够运用特殊的方法获得完全严格的解析解，使得复杂的物理系统变为可以定量描述的 可积系统。因此有关一维系统的研究揭示出许多与维数无关的物理规律，同时其计算 过程的复杂性引起了丰富的物理问题，但是，由于实验发展水平的限制，一维系统被 认为只是理论上的设想，在实验上并不存在，没有太大的实用价值，因此长期以来有 1 关一维系统的研究并没有得到重视。直到上世纪7 0 年代，随着对聚合物和有机化合物 的研究，一维系统开始在实验上被认识。在随后的2 0 年中，一维系统已经在实验上得 以发现，例如：量子霍尔条、聚合体、电荷密度波等。同时纳米技术的发展使我们能够 实现孤立的一维量子系统，例如：量子线、j o s e p h o n 结阵列、量子h a l l 系统的边缘态、 纳米管等。材料研究方面的进展也使我们能够更好地认识具有一维内部结构的块状材 料。最近在关于光阱中的b o s e 凝聚方面的进展，展现了认识一维系统独特性质的美好 前景。 低维可积模型作为统计物理和低维场论中一类非常重要的模型在理论物理和凝聚 态理论的研究中扮演了十分重要的角色。在低维可积模型的研究过程中，提出了许多 重要的概念和方法，同时得到了很多有意义得结论，它们已经在凝聚态物理、量子通 信、共形场等许多领域( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 】有了极其广泛的应用。量子可积系统的研究不仅 深刻地揭示了数学、物理学等领域中的一些不同分支学科之间的相互联系，更为重要 的是其中涉及的一些新概念、新想法，特别是一些新的代数结构 7 ，8 ，9 】，为物理学相 关问题的研究提供了更为广泛的基础。 可积性实际上表示的是系统的运动学情况或者与热力学性质相关的热力学函数 ( 通常是指系统的配分函数) 可以严格的用基本函数给出解析的表示，但不同的问题其 具体表述方式有所不同。对于一个有个自由度的力学体系，假如有个彼此独立的 运动积分厶( p ，q ) ( t = 1 ，2 ，) ，并且相互对合，即其中任意两个运动积分的泊松括号 为零，即： 厶，易) = 引n o 慨l , o 弧l j c 讯o l ic 弧o l ij _ 0 ，( 幻_ 1 2 ”) ) ( 1 1 4 ) 式中口= ( 9 1 ，q 2 ，q n ) 和p = ( p ，p 2 ，p n ) 分别是广义坐标和广义动量，满足这样条件 的系统就是可积的，这是经典的刘维尔定理。在量子情况下，对于自由度体系，如果 存在个独立的守恒量厶，g ) ，满足： 陋，易】= , 5 一易厶= 0 ，( z ，j = 1 ，2 ，n ) ( 1 1 5 ) 则该量子系统是量子可积的。 一般可以通过以下两种方法来证明统计模型的可积性，( 1 ) l a 测方法，证明系 统l i o u v i l l e 可积性及寻找系统守恒量的有效工具。l a x 对是定义在系统相空间中的两个 2 函数三和m ，使得动力学量0 ，口) 的演化方程等价于它们所表达的演化方程等= 【l ，m 】， 其中f ，1 是李代数的对易括号。l a x 对在证明系统可积性方面的重要作用在于它很容易 构造出系统的守恒流( l ) ，要求竺等掣= 0 。对一个经典的一维粒子系统，l a x 证 明f 1 0 1 对一些给定的相互作用的势，可以找到两个n n 的厄米矩阵l 和a ，这两个矩 阵满足l a x 方程等= i 阻，纠，并且行列式d e l l u 卅是一个动力学常数。把该行列式 按u 展开，可以找到个对合的运动积分，于是系统是可积的。( 2 ) 量子反散射方法， 由f a d d e e v 和t a k h t a d z h a nf 1 1 于1 9 7 8 年提出的量子反散射方法( 代数b e t h ea n s a t z 方 法) 为研究一维可积系统提供了一个强有力的工具。其核心是y a n g - b a x t e r 关系，只要 找至l j - j y a n g - b a x t e r 关系就可以构造出守恒量的生成泛函，由此可以求得无穷多的守恒 流，同时y a n g - b a x t e r 也为精确求解系统提供了基本的对易关系，可见y a n g - b a x t e r 是 判断系统是否可积的充分条件。 从可积模型研究的发展来看，可积模型的研究最初开始于对一维海森堡模型的研 究，发现运用b e t h ea n s a t z 方法可以给出各种一维系统的解析解，成功求解了k o n d o 模 型、c a l o g e r o - m o r s e 模型等一系列模型，这说明了b e t h ea n s a t z 方法是研究一维可积系 统的有效方法。随后产生的c o o r d i n a t eb e t h ea n s a t z 方法 1 2 ，1 3 】是证明系统可积性的 一个里程碑，具有深远的意义，它被广泛用于解决相互作用的电子模型。紧接着发展 的量子反散射方法f 1 4 】，和近年来被广泛应用的t h e r m o d y n a m i cb e t h ea n s a t z 方法， 都为研究可积模型提供了非常有力的手段。 1 2b a r i e v 模型简介及其研究进展 高温超导现象的发现，极大的推动了低维强关联电子系统的发展，大量的研究工 作试图建立一种理论框架来揭示这种奇异现象的形成机制。强关联电子系统表现出 的非费米液体行为使它和高温超导材料紧密的联系在一起，因此各种强关联电子模型 ( 可积模型) 成为研究的热点，而低维系统粒子间强关联引起的量子涨落尤为突出。在 提出的众多的模型中，只有一维h u b b a r d 模型 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 】和超对称t j 模型2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 可以用b e t h ea n s a t z 方法精确求解，这两类模型在周期性边界 条件和开边界条件以及分量推广情况都得到了仔细的研究。其中h u b b a r d 模型最早 被用来解释过渡金属化合物的磁性质，后来发现它与费米液体理论，高温超导中的氧 3 化铜平面都有联系，其量子涨落由同一格点上的库仑排斥作用引起，而超对称t j 模 型描述了在每一个格点只能容纳个电子的强关联可积系统，它可被用于描述高温超 导中的c o p p e r - o x i d e 平面，其量子涨落来源于相邻格点间的反铁磁自旋交换作用。随 后，h r i s h 于1 9 8 9 年提出了一个新的模型 2 8 】，用于解释高温超导现象，认为电子和空 穴的跳跃和能带的填充情况有关，依赖于末态是否为电子所占据。这种关联跳跃如是 排斥性的，它会减少跳跃项的振幅；如是吸引的，则增加跳跃项的振幅，而后者会产生 超导涨落。由于h r i s h 模型的散射矩阵不满足y a n g - b a x t e r 方程，因此不是可积的，但是 它对研究高温超导仍然由很重要的意义。 1 9 9 1 年b a r i e v 通过对h r i s h 模型的细致研究，提出了一个改进的可积模型【2 9 ，3 0 】， 与h r i s h 模型相比b a r i e v 模型可被视为半个h i r s h 模型，因为其只在一个方向上有关联。 b a r i e v 模型也可看作是由两个子晶格组成的准维晶格，电子沿每个子晶格的格点运 动，且只能在同一子晶格的相邻格点间跳动。子格间的相互作用意味着相邻格点间的 跳跃能量依赖于另一子格中对应格点是否为电子所占据，这样就形成了一种三点相互 作用。随后b a r i e v 将该模型推广至任意分量( n 分量) 的情况，并且证明了该模型的可积 性。紧接着其基态、激发态、高温极限、强耦合极限和弱耦合极限等情况下的热力学性 质在文献f 3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 1 均得到了细致的研究，另外有关各种边界条件下的b a r i e v 模 型也都得到了很细致的研究 4 6 ，4 7 ，4 8 】。 最近s e e laf 4 1 等人通过引入参数和取连续极限的方法讨论了自旋去的x x z 链与 玻色气体，给出了二者之间相互演化的条件，并利用两个模型的相互演化的关系得到 了任意温度下玻色气体的关联函数。对于b a r i e v 模型来说，它和相互作用的库仑费米 气体有着千丝万缕的联系，但是这种联系仅仅来自于人们的直觉，并没有系统的定量 的给出它们之间的关系，本文将通过细致严谨的分析首次给出b a r i e v 模型和相互作用 的费米气体模型之间的相互演化关系。 本文构局如下：第二章详细的回顾了二分量b a r i e v 模型的求解过程和它的热力学 性质，引入了二分量b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方程、积分方程、热力学b e t h ea n s a t z 方 程( t b a 方程) 和自由能的形式；第三章通过研究b a r i e v 模型和相互作用的库仑费米气 体的b e t h ea n s a t z 方程的形式，开创性的引入了新的参数，从而成功的引入了连续极 限，并在连续极限情况下，对二分量b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方程，积分方程，t b a 方 程和自由能进行了重新的讨论，发现了二分量b a r i e v 模型在连续极限下可以演化到 4 相互作用的库仑费米气体模型；第四章首先介绍了任意分量( n 分量) b a r i e v 模型 的b e t h ea n s a t z 方程以及它的一些热力学性质，并将第三章的所得到的结论推广至n 分 量的b a r i e v 模型，由于时间仓促只在b e t h ea n s a t z 方程的水平上对n 分量b a r i e v 模型和 相互作用的库仑费米气体进行了讨论，并得到了很好的结论；第五章做了总结并对以 后的工作进行了展望。 5 第二章二分量b a r i e v 模型的求解及其热力学性质 二分：m ：b a r i e v 模型 2 9 ，3 0 - t 1 9 9 1 年首先被b a r i e v 提出来，并在周期性边界条件下 对模型的基态、激发态和其它的一些性质做了细致的讨论，随后y u erh 和s c h l o t t m a n n p 【3 6 】对b a r i e v 模型的热力学性质进行了更加深入的研究，给出了许多非常由意义的结 果。 2 1 二分量b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方程 考虑在周期性边界条件下的二分量b a r i e v 模型，我们首先给出它的h a m i l t o n 量： h = 一专弓( 7 ) 白+ 1 ( 7 ) + 弓+ 1 ( 7 ) 勺( 们 一j = l1 = 1 ，2 n + u ( 弓( 1 ) 勺+ 1 ( 们十e + 1 ( ，) 勺( 们) + 7 - 1 ( ，y + 1 ) ( 2 1 1 ) j = l - y = l ，2 b a r i e v 链可以认为是由两个子链组成的一维格点链，它的h a m i l t o n 量由描写同一子格 上的电子运动的动能项和描写不同子格间相近格点上电子的排斥势的库仑相互作用项 构成，其中勺( 1 ) 和弓( 1 ) 表示第7 个子链中的第j 个格点的产生算符和湮灭算符，其 6 p n ：是格点数目，周期性边界条件由c n + 1 ( 7 ) = c l ( 7 ) 给出。 ( g ) ( b ) 似) 6 如图所示，图( a ) 表示u = 0 的情况；图( b ) 表示u = 1 的情况，图( c ) 表 示0 u 0 的情况。 假设在第一个子链中m 个自旋向上，相应的坐标为z 1 z 2 z 仇，在第二 个子链中佗一m 个自旋向上，相应的坐标满足z m + 1 0 时，系统表现为排斥相互作用， 系统中的电子中不存在o c p p e r p a i r 束缚态，即自旋方向相反的两个电子不能成对，故 所有电荷动量均全为实数。通过对b e t h ea n s a t z 方程( 2 1 5 ) 的简单数学分析就可以 证明这一点。如果存在一个虚部为正的复电荷动量，在热力学极限下，方程( 2 1 5 ) 中 的第一个式子的左边为零，而右边却不为零，所以具有正虚部的复电荷动量不是b e t h e a n s a t z 方程的解：同样可以检验虚部为负的复电荷动量也不是方程的解，因此系统中 电荷动量只能取实数。而自旋动量a 可为复数，这可以从b e t h ea n s a t z 方程( 2 。1 。5 ) 的 第二式分析得出，当一个自旋动量解的虚部每变化2 i q 时，就生成为一个新解。因此， 在热力学极限下，自旋动量可以写成任意长度，即：礼( n = 1 ，2 ，o o ) 的弦解形式： 8 = 芦+ i o e ( n + 1 2 s ) ，8 = 1 ，2 ，n ，n = 1 ，o o( 2 2 1 ) 将弦解( 2 2 1 ) 代入b e t h ea n s a t z 方程( 2 1 5 ) 中，得n - 2 7 r 乃= k i n + e ( k j a z ，q ) n = l 口= 1 2 丌易= p ( 一如，q 7 ) 一日( 一，2 a ) p ( 七，口7 ) = 2a r c t a n c 。t h ( a 7 ) t a n h ( 三七) 】 ( j = 1 ，2 ，钆) ( p = 1 ，2 ，m ( 2 2 2 ) 一丌0 ( k ，q ) 7 r 引入电子密度函数p 和自旋密度函数以及空穴密度函数p h 和自旋空穴密度 8 函数l i ，将引入的函数代入( 2 2 2 ) 式，就得到了系统的积分方程： 2 7 r l o ( k ) + 肌( 七) 】= 1 + p 讯一a ，佗q 7 ) a n ( a ) d a ， o o “7 r n = l ”一” 2 7 r 【( a ) + o n _ l ( 人) = p 7 ( a k ，l t o l ) p ( k ) d k ，一丌 o o “，r 一疋m ( a a ) a m ( a 7 ) d a ， 矿( 七，q ) = s i n h a ( c o s h c e 7 一c o s 七) 一1 a n m ( z ) = o ( x ，( 死+ m + 2 2 s ) a 7 ) s = 1 r a i n ( n - 1 ，m ) + o ( x ，( n - t - m - - 2 s ) a 7 ) ( 2 2 3 ) 应用傅立叶变换： m ) 一皇胁沁，鼬= 仁m 矽肛如 ( 2 2 4 ) 得到耦合的线性方程： 其中： 乳，0 - 卢( 肛) + 觑( p ) 一e - h i l l 以( 肛) n = l 以7 l = e 哪胁l 卢( p ) 一a n m ( p ) ( p ) ( 2 2 5 ) a n m ( p ) = 2c o s h ( # a ) ( 五m ( p ) 磊m ( p ) = s i n h 面 m i n 矿( n , m ) # a e - m a x ( n , m ) l 胂i ( 2 2 6 ) 9 这里用了恒等式： 整个系统的熵密度为： s n 能量密度为： z 丌如而= 篙 ( 2 2 7 ) = ( p + p 九) l n ( p + p h ) 一p h lp - - p ai np a d 七 + 【( + o n h ) l n ( 盯n + ，1 ) 一1 n 一o n h i na n d k ( 2 2 8 ) n = l ， e - 2 f a 七j d ( 尼) c 。s ( 尼) ( 2 2 9 ) 考虑b a r i e v 模型的积分方程( 2 2 3 ) 并结合系统自由能密度的表达式丙f = 里丢罂发 现，做变分_ 5 f ：0 就可以得到b a r i e v 模型的热力学b e t h ea n s a t z 方程( t b a 方程) o p 【3 6 】 ( 七) = 一2c 0 8k a t d a g n ( 七一a ) l n 1 十( 人) - 1 】， l n 1 + r l ( a ) 】：一丁n a + 妻耐( a a 7 ) 1 n ”( a ) - 1 】 ( 2 2 1 0 ) 一 m = l 。 一d a g n ( a - a ) 1 n 1 + 唧( 一( 人7 ) t ) 】 其中e = t l n ( p h p ) ，= 口付九= e x p ( q o n i t ) 。a 表示化学势，由下式给出： 1 i m 三妒n ：一a n - - - on 。 最后推得自由能 3 6 】： 丙f - t - ，f2 d 丌k1 n 【1 + e x p ( 一( 七) t ) 】 ( 2 2 1 1 ) 2 3 小结与讨论 在本章中主要对二分量b a r i e v 模型做了一个回顾，通过运用坐标b e t h ea n s a t z ：y 法 ：求n - j b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z ： ) - 程，进而通过引入自旋弦解，得到二分量b a r i e v 模 型积分方程，并最终求得系统的t b a 方程和自由能。这一章介绍了本篇论文的需要的 大部分背景知识，为论文后面的展开进入主题做了重要的铺垫，有关这b a r i e v 模型的 更详细的知识情查阅参考文献【2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 】 1 1 第三章连续极限下的二分量b a r i e v 模型 本章是这篇论文所做的核心工作。这篇文章的想法源于2 0 0 7 年a l e x a n d e rs e e l 等人 对于自旋妄) ( ) ( z 链的研究【4 1 1 ，他们通过对x x z 链和一维有排斥势的b o s e 气体的研 z 。 1 究，在b e t h ea n s a t z 方程水平上给出了二者的关系，并把这种关系用到自旋妻x x z 链 的t b a 方程和自由能，成功演化成为一维有排斥势的b o s e 气体的t b a 方程和自由能。 基于这篇文献的想法，我们通过综合考虑分析b a r l e y 模型和有相互作用的库仑费 米气体，并通过物理上的推测和计算上的定量分析最终得出了二者的关系，提出了不 同于文献【4 1 1 的新的连续极限，并最终成功的使b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方程演化 为相互作用的库仑费米气体的b e t h ea n s a t z 方程。 3 1 连续极限介绍 连续极限是一种近似的想法，在不改变物理意义的前提下，引入可以调节的物理 参数，使原来固定不动的参数可以随着新引入参数的变化而发生变化，一般来说是趋 近于某一个定值，从而引起描述物理体系的方程或者物理量的表达形式的相应的变化。 如果变化后的形式能够和某种已知的物理体系很好的吻合的话，那么将是一个非常有 意义的结果，对于相互联系的两个物理体系来说，只要知道任何一个体系的物理量均 可以通过连续极限演化为另一个体系相应的物理量，在某些情况下大大降低了求解某 些物理量的难度，同时有可能得到那些以前无法求解的物理量。 对于格点模型来说，连续极限一般是指通过调整链的长度或者格点间的距离，从 而使原来本来是量子化的格点模型能够演化为连续的物理体系，例如，可以引入格点 链长度这个参数，在格点间距一定的情况下，调整链长趋于无穷大的话，那么只从物理 上考虑便可以推测格点链应该趋近于连续的物理体系了。同理，也可以引入格点间距 这个参数，在固定链长的情况下，调整格点间距趋近于无穷小，则格点的数目就趋近于 无穷大了，同样可以演化为连续的物理体系。因此，想要得到有意义的连续极限下的结 果，选取合适的调节参数是最重要的。本文引入格点间距为调节参数，这是对b a r i e v 模 型和相互作用的库仑费米气体综合考虑的结果。 1 2 3 2连续极限下二分量b a u r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方程 通过对二分量b a r i e v 模型和相互作用的库仑费米气体的b e t h ea n s a t z 方程的分析， 我们重新定义了电荷动量向和自旋动量，令 k = p j 6 ，a j = v 6 ( 3 2 1 ) 其中6 为格点空间的长度，把重新定义的变量代, , k - - 分量b a r i e v 模型的b e t h ea n s a t z 方 程( 2 1 5 ) 中，得到： e x p ( i # js n ) = ( 一1 ) 俨m + 1 ( 1 ) 竹里： 1 2 1 2 l s i n 1( 助一即) 6 + i a 7 】 s i n 【 ( 助一即) 6 一i a ，】 即一心) 占+ i a 】v 8 一诤j ) 0 十 坳一心) 6 一i q ，】 m 1 = 1 ，- y 将b e t h ea n s a t z 方程( 3 2 2 ) 中的三角函数展开得： e x p ( i # j ( 5 n ) = ( - 1 ) n m n y = 1 ，一y 继续化简得： 睦1 互1 m ( 一1 ) n m + 1 口h ：。s 。l 。n ( 即一心) 司 ；( 心 ( 心 坳) 卅 ，口 q2 百 二 s i n j ( 即一蜥) 64 - 2 i a 7 】 口8 i n ( 即一嘶) 6 2 i a 】 ( 3 2 2 ) c o s i a 7 + c o s ( 心一即) 卅s i n i a 7 坳) 司c o s i a 7 一c o s 【 ( 心一即) 司s i n i a c o s i a + c o s ( 坳一心) 卅s i n i a 7 ( 即一心) 刎c o s i a 7 一c o s 睦( 即一心) 卅s i n i a 7 s i n 睦( 坳一吩) 翻c o s2 i q + c o s 睦( 坳一卟) 司s i n2 i e 口s i n 睦( 即一蜥) 卅c 。s2 i a c 。s 睦( 即一咋) 跚s i n 2 i q e x p ( i # j s n ) = ( 一1 ) n m + 11 i 口= 1 t a n j ( 心一坳) 卅+ t a n i a 7 t a n ；( 心一坳) 卅一t a n i a 1 3 ，y = 1 ，y ，q q2 百 二 ，q 口2 i ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) t a n 1 ( 坳一以) 司+ t a n 2 i a 口t a n j ( 坳一咋) 卅一t a n 2 i a 阻 n n龇一5墨 n 触 籍t t + 一一 芦一声心一如 二一 坳一幢眨一n 眩 型伽 n 触 笠、 引入新的变量f ，定义f 为格点链的物理长度，则我们很容易得到f = 6 ，其中为 格点的链的格点数目，6 为前面引入的格点空间长度，如下图所示： 6 ，_ - n 是格点数目 现在令格点空间6 _ 0 ，考虑到当6 0 时，b e t h ea n s a t z 方程( 3 2 4 ) 中的正 切函数可以做无穷小量展开，取到二阶近似最后得到当6 _ 0 时，t a n 5 x _ 如，将 这些结果代入方程( 3 2 4 ) 得到： 刚刚斗妒一“垂券糕= 善 c叫n垂躲牿_-同fi卢一l(vz-v7)5+tan2ia慨2q 现在对方程( 3 2 5 ) 进行分析，发现( 3 2 5 ) 第一个