（应用数学专业论文）sobolev—hardy不等式和拟线性椭圆型方程.pdf

2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文i i 接下来研究如下的特殊情形 l z i “t 矿一1 + a ，( z ) ，z n ， z q ， z a n 其中a 0 ，f ( x ) 0 对所有的z n ，q 是r “中的一个有界区域当p + 2 ， + a 0 ，学= 学，g 笋时，成立着下面的结果： 定理设，( 。) 满足( ，) ( 见第二章) ，p + 2 ，p 0 ，则当a ( 0 ， o ) 时，上 述闯题存在两个解t , 和面 我们还研究下面带权的边值问题的多解： j - d i v ( i x t e ) v u l p - 2 v ) = i z j 。 i t , p 1 + a l z 。”q 一1 ，。q ， 1 “= o z a n 其中q 为包含原点的有界区域，n23 ，l q p p ，1 p 0 对这一问题，有 定理若l g 2 p 0 ，使得对任意的a ( 0 ，a 1 ) ， 上述问题有无穷多个解 。 本文的第三章讨论了如下包含临界指数的奇异系数的另一类椭圆问题： j - a u p 静= u 2 一1 + a 管等z n ， l u = 0 z a q 其中n 是包含原点的有界区域，且n 3 ，p 耳= ( 学) 2 ，2 茎q 必n - 2 ， 0 曼口 2 ，2 + = 两2 n i ，我们有如下结论： 定理若2 g 必 i - 2 ，且0 盯 | | 一 u n ，、tl 2 0 0 3 ：年中国科学技术大学博士学位论文 i i i 在第五章中我们讨论如下含临界指数的拟线性双调和问题非平凡解的存 在性和不存在性： fa 2 u = a 哗+ 盱一2 珏， n ， lu = 甓= 0 ， z a q 其中n 是r ( n 5 ) 中包含原点的有界区域且a q 充分光滑，2 q 2 + ( s ) = 刿n - 4 2 。= j 篙，2 + 是嵌入h 2 ( r ) q 二2 + 畔) 的临界s o b o l e v 指 数其主要结果是： 定理( 1 ) 设2 q ，n ；( 4 一s ) + 4 ，1 t o s o 时，上述问 题至少有一个非平凡解； ( 2 ) 设q = 2 ，0 s 4 ，n 8 一s ，且 ( 0 ， 。，2 ( n ) ) ，则上述问题至少有 一个非平凡解i ( 3 ) 设q = 2 ，s = 4 ，或者q = 2 + ，s = 0 且q 是星形区域，则上述问题没有 非平凡解 这一章我们考虑如下双调和方程解的存在性： a 2 u 其中n 5 ，1 q 2 ，2 + = 恐，q 是r 中包含原点的有界区域，且p 是 a n 的单位外法向量主要结果是： 定理设1 q 0 ，使得当0 a ”时，上述问题 至少有一个正解 第六章的主要结果有： 在第一部分，证明了带余项的h a r d y 不等式： 掣上悬十r 掣 2 上斟衅f 一厶两i i 曙+ 【1 1 厶i 。| 42 厶p 叫 在第二部分，利用带余项的h a r d y 不等式和变分技巧讨论了如下一个含 权的特征值问题非平凡解的存在性： j f 2 “一肛静2 l “= a u ，( 。) ， 器= 0 ， x q z a q 首先定义第一特征值 州舻蕊驾黑磐 l u i 0 n 铲 = 卜k m 丝弘 1 1 | i 2 0 0 3 f - 中国科学技术大学博士学位论文 i v 鼍，t 最件常数a + = ：( 丛甾型) 2 时，( ，) 将趋于一个正的实数a ( ，) 其中，f f = ，：n _ 琏+ i 嘧l i 卜m ml z m z ) = o ，l l o o c o ( 州o ) 符号说明 维数 r 一维实数空间 骢+ 一维非负实数空间 r ”实数域上的维空间 x = ( 出1 ，一，) r 中的点 川= ( 14 - 十z 务) 酞空问的范数 b r ( 0 )以原点为球心，r 为半径的球 忙，y ) ：= x i y l + 、+ x n y ， 琏“中内积 s v 一1 ：= 琏。j1 z l = 1 ) 单位球 nr “中的有界区域 a qn 的边界 l n l 维l e b e s g u e 钡, l j 度 “：= i s “1l 1单位球的体积 d i v 散度 v 梯度 ：= 为+ + 蒜l a p l a c 蹲弓 a p t = d i v ( v u p - 2 v u ) 磷( q ；r ) ( 诺( q ；r ) ) ，0 9o 。k 次可微带紧支集的实值函数简记为 磷( q ) ( 诺( n ) ) 驴( q ) ：= “：n 一职i 可澍且矗l u ( 埘1 9 o o ) ，t p l e b e s g u e 空 n 且范数为川，：一( 厶m z ) 1 p p ( q ，) ：= u ：q 一聪i 可测且厶i 议z ) i ，f ( x ) o 。) ，1 p 卢一p ，# p a p ，卢0 b ys o b o l e v - h a x d yi n e q u a l i t yo fc a t i a x e l l i ，k o h n a n dn i r e n b e r g ：f o ra l lu c ( r 。v ) ( 上。l 茁i 。i u i ，+ ) 嘉e ( 上。l 嚣i i v u l 一) ；， w h e np + 2 ，f i r s t l y w ec a l c u l a t et h eb e s tc o n s t a n ti nt h ei n e q u a l i t y g2纛p-i 糌 业 喘铲 l ，p 【”一卢警p + a - f ，广 1 1i 幽 j 三兰翟。1 8 v u = 1 2 i 。u p 一1 + a ，。il 薹： w h e r e a 0 ，f ( x ) 0 ，v z n ；ni sab o u n d e dd o m a i nc o n t a i n i n gt h eo r i g i n i n 琏w h e np 2 ，n + o l 0 ，气笋= 丛笋，g 参， w eh a v e ： t h e o r e ml e t f ( x ) s a t i s f y ( f ) ( s e ec h a p t e r2 ) ，w h e np + 2 ，卢s0 ， a ( 0 ，a o ) t h e nt h ea b o v ep r o b l e mh a st w os o l u t i o n s 型a n d 面 w ed i s c u s sm u l t i p l es o l u t i o n st ot h ef o l l o w i n gp r o b l e mw i t hw e i g h t s ： ( ：竺：l z l 9 l v u l 9 2 v 钍) = i 。i “妒一1 + a i z l 4 u q l ：i ： w h e r eni sab o u n d e dd o m a i nc o n t a i n i n gt h eo r i g i ni nr ，n 3 ，1 g p p + ，1 p 0 f o r t h ea b o v ep r o b l e m mg e t 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文奴 t h e o r e mi f1 q 2 p 0s u c ht h a tf o ra n y a ( 0 ，a 1 ) ，t h ep r o b l e mh a si n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n ge l l i p t i cp r o b l e mw i t hs i n g u l a rp o - t e n t i a li n v o l v i n gc r i t i c a le x p o n e n t ： 臀- - a u 邓静甜q 偌黑 w h e r eni sab o u n d e dd o m a i nc o n t a i n i n gt h eo r i g i ni nr ，a n dn 3 ，卢 面= ( 丁n - 2 ) 2 ，2sq 兰( n 必- 2 ，0 盯 2 ，2 + = 毒笺，w eh a v e t h e o r e mi f2 口 鼍等孚a n d05 盯 2 ，p 0s u d lt h a tf o ra l la ( 0 ，a + ) ，t h e r ee x i s t sap o s i t i v es o l u t i o nt o t h ep r o b l e m i nc h a p t e r4 ，w ea r ec o n c e r n e dt h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fn o n - t r i v i a ls o l u t i o n so fp - l a p l a c ep r o b l e mi n v o l v i n gc r i t i c a le x p o n e n tw i t hn = p 一，u 一肛扛赫= ，( z ，u ) ，霉q ， l“= 0 ，o 锄， f i r s tw eo b t a i na ni m p r o v e dh a r d yt y p ei n e q u a l i t ya n dp r o v en = pi s c r i t i c a lf o rs i n g u l a r i t yo ft h ea b o v ep r o b l e m t h e nw ed i s c u s sa ne i g e n v a l u e p r o b l e mw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a l ： 一，u p i 编= a i u i 一一2 u ，z q ， i“= 0 ， 茁0 f 2 i nc h a p t e r5w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n st oq u a s i - l i n e a rb i h a r m o n i cp r o b l e mw i t hc r i t i c a le x p o n e n t 2 u = a 带+ 一2 u 【u = 器= 0 ， z q z 0 q qi sab o u n d e dd o m a i nc o n t a i n i n gt h eo r i g i ni n 琏“( 5 ) a n d o f 2i ss m o o t h ， 2 墨gs2 + ( s ) = 型n 型- 4 2 + = 砉生，2 + i sc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t t h e m a i n l yr e s u l ti s ： 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文x t h e o r e m ：( 1 ) a s s u l n e2 q ，n 2 ( 4 一s ) + 4 ，a n d0 s 0 t h e r ee x i s t san o n t r i v i a ls o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( 2 ) a s s m n eq = 2 ，0 s 4 ，n 8 一s ，a r i da ( 0 ，a ，2 ( q ) ) ，t h e r ee x i s t s an o n t r i v i a ls o l u t i o nt ot i mp r o b l e m ( 3 ) a s s m n eq = 2 ，s = 4 ，o rq = 2 ，8 = 0a n dqi ss t a r - s h a p e dd o m a i n ， t h e nt h ep r o b l e mh a sn on o n t r i v i a ls o l u t i o n w ea l s od i s c u s st h ef o l l o w i n gc o n v e x c o n c a v en o n l i n e a rb i h a r m o n i cp r o b l e m j ，2 u = 一2 u + a 肾。q iu l o n = 嚣l 跚= 0 w h e r e n 5 ，1 q 2 a n d2 2 而2 n q i s a b o u n d e d d o m a i nc o n t a i n i n g t h eo r i g i ni n 瓞“i st h eu n i tn o r m a lo u t e rv e c t o rt oa q ，eh a v e t h e o r e l na s s u u l e1 q 0s u c ht h a tw h e n0 a ”， t h ea b o v ep r o b l e mh a sap o s i t i v es o l u t i o na tl e a s t i nc h a p t e r6w eh a v e ： i ns e c t i o n1 ，w ep r o v eah a r d yi n e q u a l i t yw i t hr e m a i n d e r ： 必8 上揣x li n + 【掣1 2 z 黝酬2 n 4 2 岛 4 1 厶 2 厶”叫 i ns e c t i o n2 ，w eu s et h eh a r d yi n e q u a l i t yw i t hr e m a i n d e ra n dv a r i a t i o n a l t e c h n i q u e st od i s c u s st h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rf o l l o w i n gt h e w e i g h t e de i g e n v a l u ep r o b l e m ： a u f ( x ) 器= 0 ， f i r s tw ed e f i i mt h a tt h ef i r s te i g e n v a l u e a 一( ，) = 。蕊 i u l # o o q z a n 矗j u 1 2 一p 厶薛 i 丽顷万一 g o e st op o s i t i v er e a ll m m b e ra ( f ) a s “i n c r e a s et ot h eo p t i m a lc o n s t a n ta + = ( 下n ( n - 4 ) 2 w h e r ef f f = ，：q _ r + i l 坩m ) = o ，l 最( 叭 = | l 薛 卢 2 ，l 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 x i k e yw o r d s ：c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；c r i t i c a le x p o - n e n t s ；c r i t i c a lp o t e n t i a l ；s o b o l e v h a r d yi n e q u a l i t y ；q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n ；c r i t i c a lt h e o r y ；g e n u s ；t h ee k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 致谢 早在我攻读硕士学位时，恩师沈尧天教授的就给我悉心指导，使我在偏微 分方程领域上有了更深刻的认识和进一步求知的愿望多年来，沈尧天教授对 偏微分方程领域前沿知识孜孜不倦的追求令我感动他学术上的严谨、渊博的 知识以及教书育人的高尚品格令我终身难忘从他身上，我不仅学到了大量的 专业知识，学到了开展学术研究的方法，还学到了恩师严谨治学的精神以及作 为一名教育工作者的优秀品格本文从选题到完稿，每一个环节都得到了恩师 的悉心指导，它的完成凝聚着恩师的大量心血在此，我向恩师沈尧天教授致 以最崇高的敬意和衷心的感谢l 我还要感谢科大数学系和华工数学系所有关 心和帮助我的领导和老师们，是他们在工作、生活、学业上给予我许多方便， 才使我顺利地完成学业在此，我向他们表示深深的谢意! 最后，我要感谢我 的同班同学们以及我的师兄、师姐，及师弟、师妹们在三年内的学习中，他们 都给了我很大的帮助在此，我一并向他们表示感谢! 符号说明 维数 r 一维实数空间 骢+ 一维非负实数空间 r ”实数域上的维空间 x = ( 出1 ，一，) r 中的点 川= ( 14 - 十z 务) 酞空问的范数 b r ( 0 )以原点为球心，r 为半径的球 忙，y ) ：= x i y l + 、+ x n y ， 琏“中内积 s v 一1 ：= 琏。j1 z l = 1 ) 单位球 nr “中的有界区域 a qn 的边界 l n l 维l e b e s g u e 钡, l j 度 “：= i s “1l 1单位球的体积 d i v 散度 v 梯度 ：= 为+ + 蒜l a p l a c 蹲弓 a p t = d i v ( v u p - 2 v u ) 磷( q ；r ) ( 诺( q ；r ) ) ，0 9o 。k 次可微带紧支集的实值函数简记为 磷( q ) ( 诺( n ) ) 驴( q ) ：= “：n 一职i 可澍且矗l u ( 埘1 9 o o ) ，t p l e b e s g u e 空 n 且范数为川，：一( 厶m z ) 1 p p ( q ，) ：= u ：q 一聪i 可测且厶i 议z ) i ，f ( x ) o 。) ，1 p 卢一2 ， 口 卢一2 ，# 1 2 n p ，卢s0 c h o u 和d e n g 利用c a f f a x e l l i ，k o h n 与 n i f e l l b e r g 所建立了f l , j s o b o l e v h a r d y 不等式：对任意的u c “) ( 上。i z i 。i u l 矿) 矿g ( 上。1 2 1 4 i w l ”) ；， ( - 。s ) 其s o b o l e v - h a , r d y 指数p + 一p ( n + a ) ( + 卢一p ) ，n 3 ， p p ， 口 p p ，# l p2 “加+ ，卢0 + 当p + 2 时，c h o u 和d e g 推出的( 1 _ 0 3 ) 中的最 佳常数，并证明了，卢，a 及第特征值在满足不同的条件下问题( 1 0 2 ) 存在非 平凡解或不存在非平凡解 1 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文2 而n c h a u d h u r i 5 讨论了下列的带权的椭圆问题 地2 薛2 卜1 + m ) 9 ( “) 。n ，4 ) l “2 0 g 勰 其中p 0 ，0 a 2 ，2 ：= 2 ( n o ) ( v 一2 ) ，ncr ，n i m a l e n d u c h a u d h u r i 也通过上面的h a r d y 不等式得到该问题离散谱存在的充要条件是 p 风，2 = ；( 2 ) 2作者像h b r e z i s 和l n i r e n b e i g 1 一样分n = 3 和n 芝4 两种情况讨论当g ( u ) = a t q ，其中2 口 0 ，0 q 1 ”，则该问题无解 在2 0 0 0 年g h o u s s o u bm i dy u a n 7 1 硎究了如下凸非线性椭圆型方程的非平 凡解及多重解的存在性： _ a p z e 制“+ ，肾，g 印c r ”， ( 1 0 6 ) 【u ( 。) 30 ， z 0 52 - 其中札、喇。) ，n 是r 。v 中具有光滑边界的有界区域， t 0 q ，n 3 ，0 s p ，p q s p + 扣) = 而n - s p ，p 0 对于( 1 0 4 ) ，( 1 0 5 ) 及( 1 0 6 ) 的讨沦，使用的一个重要 ：具就是应用s o b o l e v - h a r d y 不等式对于h a r d y 不等式，是g h h a r d y 8 1 于1 9 2 0 年就给予了 证明了： 州科蜒( 寿) 9 z 圳 q 们， 对于高维空间中也存在与( 1 0 7 ) 类似的不等式对所有的1 0 ，u 。：= h 一( ”一p 升w 1 ，”( r ”) ，而且在全空间中，它 是a ，的极小化序列，即 ( 等) ”咄上。i v 蚶刮上。警如 函数u ( z ) ：= 一( 一p ) p w 1 - p ( r ) ，但是它在广义函数意义下满足如下方程 一d i v ( v u l e 一2 v u ) = a n , p “ ”一1 ， z r “ 2 0 0 ：3 年中国科学技术大学博士学位论文 4 即对所有的毋( 铲( r j 。；咒) ， l 可u i j r n 一2 ( v ，v 庐) d z = a ，一j 上。l “l ”一1 。窟“ 对于h a r d y 型不等式，国内也有不少学者开展研究1 9 6 4 年沈尧天 1 2 】就 证明了类似的h a r d y 不等式1 9 8 0 年沈尧天 1 3 】还证明了：当u 四( o ，o 。) 且( 咖1 7 h ( p 一1 ) 砂时，或者当u 锘( o ，o o ) n 毋( o ) 妒，一1 ( o ) = 0 时，有如下不等式成立： z 。划似圳s ( 寺) z 。m c m 胪m 沈尧天【1 4 】应用一种更简单的方法证明了当p 1 时， 上。群蜒( 志) 9 上。 v u i 成立 1 9 9 8 年g a r c i aa z o r e r o 与p e t a la l o n s o 【9 】应用不同方法证明了( 1 0 8 ) i p e r a l 和j lv g - z q u e z 【1 5 】证明了( 丙) ”是最佳的 对于h a r d y 不等式的余项，b r e z i s 汞i v n z q u e z 1 6 】i i i i 明了存在与n 和n 有关的常数c ，使得当u a ) 时，有 ( 等) 2 z 群+ e “2 f l v 舻i b r e z i s 和v 缸q u e z 还提出了这样的问题：上述不等式的余项中，除了( 等) l g 厶m 2 之外，是否还可以插入更多的余项呢? 实际上，g a z z o l a ，g r u i l a l l 和 m i t i d i e r i 1 7 证明了当p 0 ，或者在对应泛函中的如黔，其中口= 半 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 5 p a o l oc & l d i r o l i 和r o b e r t am u s i n a 【1 9 】讨论了调和方程的奇性问题： 一1 z i o = ，( u ) ，z q( 1 01 1 ) 其中d r ，c ( r ) ，q 时r ”中的有界光滑区域，该问题是一类维静 态带奇性s c h r s d i n g e r 方程的简单模型，有关s c h r s d i n g e r 方程的一些性质读 者可以参看w f r a n k 、d l a n d 和r s p e c t o r 2 0 1 对于方程( 1 0 1 1 ) ，显然，当 o 0 时，零点就是问题的奇点；当n 0 时，奇点发散到无穷远处，p a o l o c a l d i r o l i 和r o b e r t am u s i n a 在二维单位球b 内给出了a = 0 时和a 2 时 的关于问题( 1 0 1 1 1 的第一特征值之间的关系 关于( 1 0 8 ) 及f 10 1 0 ) 都要求p n 那么我们自然会提出这样的问题 当p = 时是否存在类似的不等式呢? 实际上，沈尧天【1 2 l 早在1 9 6 4 年就证明 了当= 2 时有如下不等式成立： u 2 曙sa 上附帑s4 上l 吼r ( 1 0 1 2 ) 在本文中，我们推广了( 1 0 1 2 ) 的结果，证明当n = p 时有如下不等式成 立： 上赢( 南p f l w l ” 从而证明问题： ，一a p u = a 百蹁+ ，( z ，u ) ，茁q ，( 1 。3 ) i = 0 ， z a n 的奇性在n = p 时是临界的 在1 9 9 0 年，p p u c c i 和j s e r r i n 2 1 j 研究了m 2 的高阶调和问题 f ( ) ”“= k u + l 训8 1 “， 1u = d u = d 2 u = - = d “u = 0羔 ( 1 0 1 a ) 其中l o l m 一1 ，m 为自然数，s = ( n + 2 m ) ( n 一2 m ) 是帷界指数且 札( 0 ) 卵( n ) 卵( q ) 空间即c 铲( n ) 以范数 限= 生冷掣删。盟 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 6 的闭包 在f 2 1 1 中p p u c c i 和j s e r r i n 证明了当n 是单位球口且n24 m 时， 对任意的 ( 0 ， 5 叫) ，( 1 0 1 4 ) 至少有一个正的径向解；丽当2 m n 4 m 时，他们推测存在某个a o ( 0 ，a p ) ，对任意的a ( a o ，a ) ，方程( 1 0 1 4 ) 至少有一个正梓，即他们认为那些大于2 m 而小于4 m l 丛j n ，就是这样的临界 维数 e d m u n d s 等f 2 2 1 也讨论了临界情况下的双调和即m = 2 时的方程 f 2 u u i u 8 ( n - - 4 ) 一a u = 0 ，。q l “= 器= 0 ， z a q 其中q 是有界光滑的，他们也得出在临界维数与一般维数下的非平凡解存在 的几个结论而对于多重调和的情况，i h a n c i s c ob e r n i s 和h a a s c h r i s t o p h g r u n a uf 2 3 1 也考虑了问题( 1 0 1 4 ) ，利用p p u c c i 和j s e r r i n 中的结论对临界 维数的猜想做了进一步的探讨h a n s c h r i s t o p hg r u n a u 2 4 】还定义了弱i 临 界维数的概念，这时a 不受a ；州的限制 近年来，如下的两类半线性多重调和方程受到频繁的研究， j ( 一) = a u + ，( t c ) ， z q 0 o 1 5 ) ld u = d 2 u = = d o u = 0 ，0 f t p p u c c i 和j s e r r i n 【2 1 li i i i f l ! n 了当n = 2 m + 1 时，在球b 内，( 1 0 1 4 ) 有非负或非平凡的解的必要条件是 ( 2 m 一；) 入p 。) a 1 1 时，在流形 y ：= ue 瑶( q ) i：l u l 。w _ 4 】：1 、 j nj 中国科学技术大学博士学位论文 7 一l ：f l j 对麻泛函 r ( ) = ( i a u l 2 一a u 2 ) j n 的l 临界点小再是极小的相应的结论可参看d e e d r a u n d s 等【2 2 如果q 是一个星形区域，pp u c c i 和js e r r i nf 2 1 还证明了当a 0 州。，问题( 1 0 1 4 ) 没有非平凡解对于p p u c c i 和j s e r r i n 2 1 l 的猜想， d e e d m u n d s 等【2 2 和f b e r n i s ，h a n s c h r i s t o p hg r u n a u 2 3 】等做了大量 的证明工作 x u a nb e n j i n 和c h e nz u c h i 2 5 也研究过问题( 1 0 1 4 ) ，就其有解、无解、 多解情况和分歧现象展开了系列的讨论 对于如f 方程： ( 一) ”u = a f ( x ，) ，z ( 0 ) q( 1 0 1 6 ) 其中川m 一1 ，m 为自然数，( 1 0 1 6 ) 中f ( x ) 和u 在边界上满足一些适当 的条件近年来也有许多学者研究此类方程，应用工具主要有【】路引理，变 分原理，集中紧原理以及利用特征值等，当然，也不乏亏格和拓扑度的方法 e s n o u s s a i r ，c h a s w a n s o n 和y a n gj i a n f u1 2 6 】在1 9 9 2 年研究了如下的 无界区域内的典型双调和问题： 其中1 7 r = ( + 4 ) ( 一4 ) 是临界s o b o l e v 指数，崂1 2 ( 础”) 是c 铲( 政“) 以u 的l 2 范数的闭包，p ( z ) 是r 中非负有界的，q ( x ) 是豫“ o 中非负 而局部有界的，且当h 一0 时，q ( ) = o ( 蚓一) ；当h o 。时，g ( z ) = o ( f x l ”) ， 一4 且 2 ( n + ) ( 一4 ) ，y + 1 e ( n + p ) ( 一4 ) 一e sn o u s s a i r 等利用i i i 路引理的估计和( p s ) 条件的变形得出( 1 0 1 7 ) 有一个非平凡弱解而且如果g ( z ) 足够大的话，则对v 7 1 7 f ，n 5 时，方程都有一个非平凡解同一年他们还研究了以下问题： a ：u ：= 妒( f z f ) “7 ，z 豫，n 5 ，“w 0 1 2 ( r ) n i 罐。( 璁) ”0 q u ，p 讧咖嘴 “ r u 一 5矿圳 邓畔 z ，、 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 8 其中0 p ( r ) 0 且满足 ip ( r ) = o ( ) ，t 1 0 ip ( r ) = 。( ，) ，r o o 一4 p p ，2 ( n + v ) i ( n 4 ) 7 + t 0 ，当r 。一o 。时，有“( 。) = o ( t 4 - n 十5 ) c o a l v e s 等人 2 7 】还研究了如下的双调和问题： 删,2u+。a，z)u=，h扛川叫”k+。k(嘶x)lulp：-(aun 5 ( 1 0 1 8 ) l z ， ，u l 署鼻( 豫) 、4 。 其中1 p p ，9 p “p 4 ，p 0 当p = 2 时，这方面已经有许多工作了当p = 0 ，d = 0 时，s o b o l e v h a r d y 不等式的最佳常数和达到函数由a u b i n 3 5 和t a l e n t i 3 6 】给出他们 得到 g ( 0 ) 0 ) _ 【( 叫啕( ；w 帮) 咭 ( 2 m ) ( u 是r ”中单位球面的表面积) ，且一族达到函数为： “( z ) = ( s + i $ 1 2 ) 1 1 n 其中e 是正数l i e b 3 7 1 考虑了一2 p o l ，r = 墨一1 ，且e 0 是一个实数 于是得到了刁i 等式( 2 11 ) 的最佳嵌入常数可由以下定理2 1 2 给出： 定理2 1 2 如果n p 2 ，p 0 ，p + = p ( n + d ) ( + 卢一p ) ，n2 3 ，n + p p 0 ，n + o l 0 ，q 卢一p ，p p a 加+ ，则问题： - d i v ( m 了“r v “_ “i 矿。j “i ，z q ， ( 2 1 3 ) l _ 0 ，当_ o o 时 、。 有径向解 啦= f 捌帮褊 l p ( 洲智) ) 一 并且不等式( 2 1 1 ) 的最佳常数是： g 2 再丽1 r ( 鹅) r 帮 1 r 剿 其中u 是瓞“中单位球的表面积 证明我们考虑泛函 ，o 。 ( 9 ) = i g ( r ) t q 。r ”一1d r j o 当 ，。 j ( g ) = 1 9 7 ( r ) 1 “r + 4 1d r = c o j 0 时的最大值问题，其中岛是给定的常数 旨先考虑e u l e r - l a g r a a l g e 方程： ( r “+ 口一1 i “，( r ) r 2 u ，( r ) ) ，+ k r ”+ 。- 1 i u r = 0 ( 2 1 4 ) 其中k 是一个常数 容易验证函数 u 。( z ) ：( + i x i 督) 一黼 出邓鼎 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文 1 2 是( 2 1 4 ) 的解，其中 0 事实上，由引理2 1 1 i 利用变量代换t ：r 紫，得到 j ( 们= o 。l y p ) v o z n + 口- id r = ( 害) m 一1z 。i g d r ( t ) md tj0- 0 j ( 9 ) =p ( 芏生= - 三：丁上) 舢一1 ( t ) 舢 一 j o ，( g ) = z ”j 9 ( r ) l q o r n + 。- d r = 晶o 。l g ( ) i 。t 。“! ! ；i 。铲d t 设 a 。一卯i 堕遁垒气杀芝j 半且a 。= 伽q o _ 1d o 一卯i 二j i 二i f = 厂1 1o o = 伽 所以 怕= 筹斟 由引理2 1 1 、如果取 ( s ) ：( 1 + s n 。) 一等， 那么 注意到 冈此 9 ( t ) = t t t ( s ) d s = 扛+ 一。) 一1 n 。 紫且一嚣一t = 筹筹 。( ，) ：g ( ，) ：( 。十，一常d 。) 一t n 。 取m = p ，q o = 甓筹垒p + ，即 u 。( z ) ：扛+ 蚓嘴学) 一瀚( 2 15 ) 当k = 1 时，