（应用数学专业论文）非交换kp系列的显式流方程与递推算子.pdf

摘要 本文通过给出非交换k p 系列流方程的显式表达，得到了对比 于k p 系列流方程多出来的交换子的具体形式。讨论了n 约化下非交 换k p 系列的递推算子。作为一个例子，计算了非交换k d v 系列的 递推算子，它与p j ，o l v e r 和v v s o k o l o v 在【1 2 】中得到的递推算子 是一致的，于是我们解决了【1 2 1 d p 提到的猜想。 关键词：k p 系列，非交换k p 系列，流方程，递推算子，对称，非 交换k d v 系列 a b s t r a c t r h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ff l o we q u a t i o n so ft h en o n c o m m u t a t i v ek a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ( n c k p ) h i e r a r c h yi sd e r i v e d b yc o m p a r i n gw i t ht h ef l o we q u a - t i o n so ft h ek ph i e r a r c h y ，t h i sr e s u l ts h o w st h a tt h ea d d i t i o n a lt e r m si nf l o w e q u a t i o n so ft h en c k ph i e r a r c h yi n d e e dc o n s i s tc o m m u t a t o r so fd y n a m i c a l c o o r d i n a t e s ) t h er e c m s i o no p e r a t o rf o rt h ef l o we q u a t i o i mu n d e rt h e n - r e d u c t i o ni sp r e s e n t e d a sa ne x a m p l ew ec a l c u l a t et h er e c u r s i o no p e r a t o r o ft h en o n c o m m u t a t i v ek o r t e w e g d ev r i e s ( n c k d v ) h i e r a r c h y , w h i c hg e n e r - a r e sah i e r a r c h yo fl o c a l ，h i g h e ro r d e rf l o w s t h u sw es o l v et h eo p e np r o b l e m s u g g e s t e db yp j o l v e ra n dv v s o k o l o v ( c o m m u n m a t h p h y s 1 9 3 ( 1 9 9 8 ) ， 2 4 5 2 6 8 ) k e y w o r d s ：k ph i e r a r c h y ，n c k ph i e r a r c h y , f l o we q u a t i o n s ，r e c u r s i o no p - e r a t o r ，s y m m e t r y , n c k d vh i e r a r c h y 1 v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名： 签字日期：呈丛生j l 一 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 o 么开口保密( 年) 作者签名：逾i 丛壹 导师签名： 签字日期： 塑丛早一 签字同期：3 丝? o 匆 么 致谢 本文的研究工作是在贺劲松教授的悉心指导下完成的，在硕士 三年的学习阶段里，贺老师给予了我无数的关怀和鼓励，他的严谨 踏实的作风和朴实无华的处世风格是我学习的榜样，师母乐观开朗 的生活态度也给我很多激励。同时还要感谢李翊神和季孝达两位 教授，他们经常给予我有益的建议和鼓励。李老师渊博的知识和严 谨的治学态度让我受益匪浅。同时还要感谢中国科学技术大学数学 系的老师们，他们传授了我很多知识，使我领略到数学的美妙和乐 趣。在此谨向他们致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 感谢我们研究小组的老师和同学们：左达峰、田可雷、虞静、 李小冬、刘少伟、易戈、程秋盛、程纪鹏、李传忠等。大家一起研 究问题，相互学习和帮助，让我度过了一段非常难忘的时光。同时 还要感谢张韵华、黄稚新和张伟三位老师，我在数学系学习的过程 中，她们给予了我很大的帮助。 最后，我要感谢我的家人，感谢他们为了我的学业所付出的劳 累和艰辛。 第一章引言弟一早jl 百 可积系统是上个世纪数学物理中取得重大突破的领域之一，也是当今非 线性科学的主要研究对象之一。k a d o m s t e v - p e t v i a s h v i l i ( k p ) 系列f l - 3 贝j 是 可积系统的集大成者，它几乎囊括了可积系统的所有特征，例如精确多孤子 解的建立，解空间的结构，无穷守恒量的存在性以及隐藏其中的对称，双哈 密尔顿结构，递推算子，l a x 对等等。同时，k p 系列有着极大的普适性，目前 己知的绝大部分孤立子方程都可以由k p 系列的约化得到。上世纪八十年代 后，k p 系列的研究得到空前的发展，成为数学物理中一个非常活跃的领域， 而且还与数学和理论物理中的许多分支有了密切联系。m m u l a s e 在【4 1 中 写到： “1 9 8 0 年以来，k p 理论发展迅速，与数学的众多分支建立了联系，它们包 括：代数曲线，e 函数，交换常微分算子，s c h u r 多项式，无穷维g r a s s m a n n i a n 流形，仿射k a c m o o d y 代数，顶点算子，l o o p 群，j a c o b i a n 簇，c a u c h y r i e m a n n 算子的行列式，辛几何，弦论，共形场论，代数曲线的模空间上的线丛及其 上同调，曲线的切丛，p r y m 簇，交换偏微分算子，2 维量子引力，矩阵模型， 模空间上同调类的相交理论。如果要使上述列举更完整的话，我们还必须加 上应用数学的很多分支! ” 非交换可积系统是经典可积系统的重要推广之一。众所周知，关于非 交换的研究在数学中是很棘手的问题，一直到上世纪末才有一些系统的结 果【5 1 。对于非交换可积系统很早以前有p d l a xf 6 ，m w a d a t i 和k t a m i j o f 7 1 ，f c a l o g e r o 和a d e g a s p e r i s 8 1 等著名数学家做过一些开拓工作和研究。 当时所研究的矩阵型孤立子方程如矩阵k d v 方程，矩阵非线性s c h r 6 d i n g e r 方 程等就是典型的非交换可积系统。p e t i n g t o f , i 。m 。g e l f a n d 和v s r e t a k h f 9 1 用s a t o 理论重新考察非交换可积系统后，相关研究在近十年来更是层 出不穷1 0 2 4 1 ，并且取得了很大进展。例如非交换可积系统的l a g r a n g i a n 和h a m i l t o n i a n 形式化f 1 3 1 ，它的精确多孤子解【1 4 1 ，非交换g e l f a n d d i c k e y 系 列的b a c k l u n d 变换f 1 5 1 ，无穷守恒律的存在【1 8 1 ，非交换k p 系列的代数性质 【2 2 1 ，非交换m o d i f i e dk p 方程d a r b o u x 变换生成的拟行列式解【2 3 ，2 4 】。另外 一类重要的非交换k p 系列是超对称k p 系列，它的l a x 方程，h a m i l t o n i a n 结 构及可解性的研究由y m a n i n 和m m u l a s e 【2 5 ，2 6 1 首先给出。 到目前为止，研究结果表明可积系统的大部分性质，女i l a x 形式，流的 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章引言 可交换性，孤子解，h a m i l t o n i a n 结构，无穷守恒律的存在性等都可以推广 到非交换k p 系列 1 7 1 。但是，这些结果并不能说明非交换k p 系列只是经 典k p 系列的简单推广。事实上，由著名的已故数学家i m g e l f a n d 及其合作 者引入的拟行列式对精确孤立子解的表达是一个不平凡的突破f 1 0 1 。比较 经典k p 系列，大家直观上可以猜测非交换k p 系列的流方程多了一些交换 子。但是这些交换子具体以什么形式出现在流方程里，目前的研究都付之 阙如。更令人不满的是，到现在为止非交换k p 系列是否存在7 - 函数还不能确 定1 3 ( 2 2 0 页) ! 因为对经典k p 系列，一个非常优美的性质是它的所有动力 学坐标都可以由丁函数经过微分运算后得到! 考虑到递推算子在可积系统中的重要性，我们很自然的想从佗约化下的 非交换k p 系列的流方程中抽象出一个递推关系。这也是w s t r a m p p 和w o e v e l 关于k p 系列结果3 1 1 的一个自然推广。有了递推算子，就可以方便的 从低阶流方程得到高阶流方程。建立递推算子的方法有很多，v v s o k o l o v 等 在文献f 3 0 1 中给出了一个详尽的介绍。他们提到：给定一个可积系统，构造 它的递推算子并不简单。一种方法是利用公式吼+ 【d f ，删= 0 来构造，这 里瓣是递推算子，d f 是函数f 的f r e c h 色t 导数。这种方法与可积系统的l a x 表 示无关另一种方法是利用可积系统的l a x 表示，这里又可分为两种情况：一 是寻找l a x 算子的平方特征函数的特征值方程，该特征值方程对应的算子就 给出递推算子的共轭算子。二是用g e l f a n d d i c k e y 框架建立l a x 方程l 编= ，纠里的a m 算子的显式形式来确定双哈密顿算子口1 和咿2 ，然后递推公 式由蹰= 如钉1 给出f 2 9 1 。他们在f 3 0 1 中使用的方法也是通过l a x 表示，由 一个比较广泛假定公式a = p a - 4 - r 出发来建立递推算子。其实w 。s t r a m p p 和w o e v e l 的方法也属于使用l a x 表示来构造递推算子的一类。此方法的好 处在于由递推关系生成的高阶流方程一定是局部的，因为是有了低阶和高阶 流方程之后再导出递推关系的，虽然得到的递推公式里面有非局部项，但是 作用到低阶流方程之后一定得到己知的局部高阶流方程! p t j o l v e r 和v v 。s o k o l o v 在f 1 2 1 中得到了非交换k d v 系列的递推算子， 他们是通过寻找双h a m i l t o n i a n 结构f 7 1 和如来给出递推算子的。然后通过递 推算子作用到低阶流方程上得到一些高阶流方程，发现它们都是是局部的， 于是提出猜想：他们得到的递推算子生成一个局部的高阶流方程系列。据我 们所知，这一猜想还没有人给出完整的证明。 本文所做的工作有两个方面：第一是通过给出非交换k p 系列流方程的 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章引言 显式表达，具体写出对比于经典k p 系列流方程所多出来的交换子形式。第二 是解决上述p j o l v e r 和v v s o k o l o v 提出的猜想。我们是利用l a x 表示来构造 递推关系的，做一个伸缩变换后，就得t l j p j o l v e r 和v v s o k o l o v 在文【1 2 】中 给出的递推公式。因为通过流方程的显式表达己知高阶流方程都是局部的， 所以由递推关系得到的高阶流方程也肯定是局部的，它们就是同一个! 本文 关键的地方有两点：一个是左乘算子的引入。另一个是关于对拟微分算子一 直使用啦伊形式，即系数在算子的左边。 本文结构如下：第二章回顾k p 系列及其流方程。第三章给出非交换k p 系 列流方程的显式表达，完成本文的第一个目标，并给出n 约化下流方程的矩 阵形式。第四章给出佗约化下非交换k p 系列的递推算子，完成本文的第二个 目标。第五章进行总结和对下一步研究的思考。 第二章k p 系列及其流方程 这一章我们简单回顾一下k p 系列及其流方程。 设( r ，a ) 是定义在特征为0 的含单位1 的域上的微分交换代数。这就是 说，兄是含单位的结合交换k 代数，并且微分运算a ：r _ r 是缸线性映射， 对所有的，g r ，满足l e i b n i t z 法则：o ( f g ) = a ( 厂) 9 + f o ( g ) 。我们有时也 用下标表示微分，h p u x ，也z 茹，等分别代表u = u ( z ) 对标量z 的一阶，二阶等导 数。 考虑下面的一阶拟微分l a x 算子： 己= 虬l = c 9 + u 2 c o _ 1 + u 3 c o - 2 + ， f 1 ( 2 1 ) 这里钆i r ，i n ，u o = 1 ，u 1 = 0 。c o 一1 是形式积分算子，满足一1 ：c o 一1 a ： 1 。算子0 p ，z ，z 是通过推广的l e i b n i t z 法则得到的： 矿卢( 抄冶卜j ( 2 2 ) 这里，r ，o ) = 伊( ，) ，二项式系数( ：) 定义为 ( ；) = 业业弓掣驼。 看一些简单的例子： o f = f c o + 。 a 2 f = f c 0 2 + 2 a c o + 厶 0 3 f = 厂伊+ 3 a 0 2 + 3 a 。c o + 丘z z c o - l f = f c o 一1 一厶a 一2 + 厶z c o 一3 一 c o - 2 f = f o 一2 2 f x c o 一3 + 3 厶z c o 一4 一 c o - 3 f = f c o 一3 3 a c o 一4 + 6 厶。c o 一5 一 引入记号： l m = ( c o + u 2 c o 一1 + u 3 c o 一2 + ) m = p j ( m ) x ， ( 2 3 ) j m 4 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第二章k p 系列及其流方程 珥= p a m w ， j = 0 田= ( m ) ， l t = p j ( m ) o j j 0 h 0r 0 - 乙l 乙 r 0h 0a 0 七 - 厶厶一厶 k or = oh 0 jj - h ( ( 1 ：r ) 唧螺( m ) _ ( ? ) p “m ) 矿m 吨 ( ( 三二p 譬r ) ( m ) - ( o ) ( 咖舻知 ( g 1 - - r r u r 逝( m ) 一 一山，h p h ( m ) a 1 j j 1 gor ) p m 渺胁，) 扩， 因为如，_ i ；i ：1 = a 1 ，1 = 0 ，上面的求和实际上从2 开始。比较 我们得至z j ( 2 5 ) 。 三兰0 1 。j ， 歹2 下面是一些4 。 的例子： a 。j = 0 ， a 记一1 = 81 如j 一2 = 如j 一3 = 一u 2 0 一( 3 一j ) u 2 ， 因概( m ) 是被让2 ，u 3 ，一j 唯一确定的，更准确的有 v j ( m ) = m 一j + j c f m ( 坳，u 3 ，乞, m - j 一1 ) q e d ( 2 7 ) 其中乃m 是关于u 2 ，u 3 ，t z m _ j _ 1 的微分多项式。将聊( m ) 代入到( 2 5 ) ，就得 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 第二章k p 系列及其流方程 到真正的流方程。将上面计算的如，h 带入( 2 5 ) t 1 0 ： 铭2 ，t m = p 一1 ，霉( m ) ， 铭3 ，t m = p 一2 滞( m ) ， u 4 ，t 。= - - u 2 p 一1 ，霉( m ) + p 一1 ( r e ) u 2 芦+ p 一3 声( 门q ) 下面考虑所谓的仡约化。也就是对固定的自然数佗，我们要求 l n = 职( 2 8 ) 条件( 2 8 ) 等价于要求p ，( 佗) = 0 对歹o 、j ( 3 2 ) 这里厂壳，厂。) = 伊( 厂) ，二项式系数( ；) 定义为 ( ；) = 业业弓型驼。 可以看到，非交换k p 系列的微分运算与经典情形是一样的。引入类似的记 号： l m = ( a + u 2 0 1 + u 3 0 2 + ) m = 耽( m ) 伊， j m 缉= p a m ) x ， j = o 耳= x q j ( m ) ， 1 0 l _ m = p j ( m ) x j o l _ m = x q j ( m ) j o p l i l ( m ) a 而代入上面的等式有 l 三! 一三竺l = 坼a 卜7 p 一 ( m ) a 一一e p h ( m ) o “a 1 。7 = r r r ( ( 1 ：r ) 唧翌( m ) _ ( ? ) p 一咖) 舻胁 = 妻( ( 三二：) 坼p 譬r ) ( m ) 一( o ) p m ) u 吖) 矿肛七 喜薹( 分碰r ) ( m ，乇未r ) 灿c 删小p = a j ，h p 一，l ( m ) a 卜歹 因为山，乩：1 = a 1 ，l = 0 ，上面的求和实际上从2 开始。比较 三= ，a 1 。j ， 得到( 3 5 ) q e d 引入左乘算子“卜 是得到非交换k p 系列的统一流方程的关键一步， 也是非交换k p 系列与经典k p 系列的主要区别。目前看来，引入如此奇怪的 算子似乎是多此一举，但在下一章将会看到为了得到递推算子，这一看似简 单的换位对我们是多么重要! 下面比较一下非交换k p 系列的如，九与经典k p 系列的区别： a j 0 = 0 ， 如j 一1 = a ， 4 j 一2 2u 2 一u 2 ， 如, j - 3 = 一u 2 0 一( 3 一j ) 地4 - - ，+ u 3 一磊 明显的，这里多了一些产生交换子的项。p j ( m ) 也是由u 2 ，u 3 ，u m - j 唯一确 定，同样有 乃( m ) = m 一j + 厶仇( u 2 ，u 3 ，u m - j 一1 )( 3 7 ) 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 3 页 第三章非交换k p 系列流方程的显式表达 一其中办m 为让2 ，u 3 ，乱仉- i 一的微分多项式，注意这里可能含有交换子。将功( m ) 代入到( 3 5 ) ，我们得到非交换k p 系列的流方程。将上面计算的a j ，h 带入( 3 5 ) 得 到： u 2 t m 2p 一1 ，z ( m ) ， u 3 t 。=u 2 p l ( m ) 一p l ( 7 n ) 让2 + p - 2 声m ) 竺u 2 ，p l ( m ) 】+ p 一2 。z ( m ) ， 钒。= - u 2 p 一1 ，。( m ) + p 一1 ( m ) u 2 ，+ u z p 一1 ( m ) 一p l ( m ) u 3 + u 2 p 一2 ( m ) 一p 一2 ( m ) 乱2 + p 一3 芦( m ) ， = 一u 2 p - i , z ( m ) + p 一1 ( m ) u 2 ，z + u 3 ，p 一1 ( r n ) 】+ 【u 2 ，p 一2 ( m ) 1 + p - 3 ，z ( m ) 容易看到左乘算子“卜”用于产生流方程中的交换子，这是非交换k p 系列 与经典k p 系列的本质区别。这里得到的流方程表达( 3 5 ) 也有缺点，我们要 先算出( 一2 ( m ) ，加一3 ( m ) ，一4 ( m ) ，) ，然后代入( 3 5 ) 才有最后的流方程。 类似经典k p 系列，下面我们将克服这一不足，给出直接的显式流方程表达。 首先有下面的引理： 引理3 3 令m 2 ，并且设所有的积分常数为0 。贝4 l ? 的系数囟o ( m ) ，p 1 ( m ) ， ，一2 ( m ) ) 可以表达为? ( m ) = 僦3 + ( ：) 舫一七( m ) = ( 了) “艘。 ，一1 o + 薹七喜1 ( ( m 玲c 毗卅。 - ( - 妒卅( 乏二；二三) 帅嘏亨取m ) ) 如 + k 一。( m ) u 七一卧- 一一。+ 一。( m ) ) 如，k = 4 ，m 证明：对l a x 方程( 3 4 ) 两边取正部，显、然，【l m ，纠+ = 0 。于是 【0 ，l ? 】= 【l 军，l 一】+( 3 8 ) 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 4 页 第三章非交换k p 系列流方程的显式表达 将己罕= 凳op j ( m ) o j 代入( 3 8 ) 得 = k = 2 1 = 1 ( 了) 让 + ( ( m _ s ) p m 一。( m ) u 坦。一j + 。 k - - - 4s = 2j = l o7 一( - - 1 ) 枷叫( 羔- 一s s - 一歹1 ) u 卅_ ( k - s 卅( m ) ) +k一s(m)u胁+-一u胁砌(m)a肭，=3s = 2 比较等式两边铲一k 的系数，并积分一次，就得到所要的表达。 q e d 注释1 这里得到的聊( 仇) 就是关于 u 2 ，u 3 ，u m - j ) 的微分多项式( 3 7 ) 。虽 然这里功( m ) 的表达式含有积分，但也是可以积出来。注意到这一点对我们在 下章中证明非交换k d v 系列的高阶流方程是局部的至关重要。下面来看类似 的例子，仍然记a 一1 心= fu d x ，a a 一1 = ( 9 - 1 ( 9 = 1 ，有，d x = u ，令m = 4 ： 忱( 4 ) =4 乱2 ， p 1 ( 4 1 = p o ( 4 ) = 4 u 3 + 6 u 2 ， ， 4 乱4 + 6 u 3 ，z + 4 u 2 ，黜+ ( 2 p 2 ( 4 ) u 2 ，霉+ u 2 p 2 , x ( 4 ) ) d x ， ， + 溉( 4 ) 钍3 一u 3 p 2 ( 4 ) + p l ( 4 ) u 2 一u 2 p l ( 4 ) ) d x t ， ， 4 乱4 + 6 让3 一十4 让2 ，z 王+ ( 8 乱2 u 2 ，。+ 4 u 2 u 2 声+ 6 u 2 ，z t 正2 6 u 2 u 2 ，z ) d x ， 4 u 4 + 6 u 3 ，七十4 u 2 ，+ 6 t 上； 注释2 比较上一章的经典k p 系列的一血( m ) ，这里可以清楚的看到非交 换k p 系列一忌( 仇) 的表达式多出来的项恰好是交换子一。( m ) ，钆七一卧1 】。 扩m “ 如 m 脚 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三章非交换k p 系列流方程的显式表达 下面是非交换k p 系列的一些具体的厶2 ： 磁= 铲+ 2 u a ， 皿= 伊+ 3 u 2 0 十3 牡3 + 3 u 2 声， l = 扩+ 4 现a 2 + ( 4 u 3 + 6 u 2 , z ) a + 4 缸4 + 6 u 3 声+ 缸圯，z z + 6 珏i ， l 王= a 5 + 5 u 2 0 3 十( 5 u 3 + l o u 2 , x ) a 2 + ( 5 u 4 + l o u 3 ，正+ 1 0 u 2 ，站+ 1 0 u 2 2 ) 0 + 5 u 5 + l o u 4 声+ 1 0 u 3 ，勰+ 5 u 2 ，z z z + 2 0 u 2 u 3 + l o u s ，u 2 】+ 2 0 u 2 u 2 ，正 + 1 0 u 2 m t 2 】， l 晕 =a 6 + 6 u 2 a 4 + ( 6 u 3 + 1 5 u 2 芦) a 3 + ( 6 u 4 + 1 5 u 3 声+ 2 0 u 2 ，茁z + 1 5 让1 ) a 2 + ( 6 u 5 + 1 5 u 4 芦+ 2 0 u 3 ，+ 1 5 u 2 ，。瓤+ 1 5 u 2 ，u 3 】十3 0 u 3 u 2 + 2 5 u 2 ，u 2 ，】+ 4 5 u 2 声u 2 ) o + 6 u 8 + 1 5 u 5 ，。+ 2 0 u a ，z z + 1 5 u s ，。 + 6 乱2 ，z 一+ 1 5 u ；+ 2 5 遁。+ 2 0 u ! + 2 0 u 2 ，u 2 ，。z 】+ 3 5 u 2 ，z z u 2 + 1 5 u 2 ，u 4 】+ 3 0 u 4 u 2 十2 0 u 2 ，z ，u 3 】+ 3 0 u 3 u 2 ，霉 + 2 5 m 2 ，u 3 ，z 】+ 4 5 u 3 ，茹缸2 定理3 4 令危= 1 ，2 ，仇= i ，2 ，则非交换即系列的流方程可以显 式表达为： 啪，= 妻l = 1 ( 7 ) 锻+ m 一- l ee m 一- s ! m _ s ) ( 咖一m 一妻曩叫叫：；：h - f m - - 三二。嘏? - s - j ) ( m ) 一( 一1 ) h 枷叫 三二；) + t 嘏? ) s = 2 j = 1 、。7 证明：将l ? = 凳o p j ( m ) i ) j 代入到l a x 方程，即得( 3 9 ) 。 ( 3 9 ) q e d 注释3 从流方程的显式表达( 3 9 ) 中，我们清楚的看到非交换k p 系列流方程 中的附加项就是由 ) 组成的交换子。具体来讲，它们来自两个地方：一个 是一奄( m ) 中的交换子，另一个是流方程中显含的交换子。这就证明了我们 m l 兰 p+ h +一 一 + m 珏m 一陬 m 脚 + 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章非交换k p 系列流方程的显式表达 最初的直观猜想，并且显式给出了流方程中交换子出现的形式。如果r 是交 换的，则流方程退化到上一章经典的k p 系列的情形。 使用上面得到的显式公式，我们可以用计算机符号计算软件m a p l e 编写 程序直接得到高阶的流方程，下面列出一些结果： 牡2 ，t 2 = 2 u a ，z + u 2 ，。，( 3 1 0 ) u 3 ，幻= 2 u 4 ，霉+ u 3 ，+ 2 u 2 u 2 ，茹+ 2 u 2 ，u 3 】，( 3 1 1 ) t 魄，t 2 = 2 u 5 ，+ u 4 ，茹霉+ 4 u 3 u 2 ，霉一2 u 2 u 2 ，+ 2 u 2 ，u 4 】， u 2 ，t 3 = 3 u 4 ，霉+ 3 u a ，嬲+ u 2 ，z 霉茹+ 6 u 2 u 2 声+ 3 u 2 ，z ，u 2 】， ( 3 1 2 ) u 3 ，t 3 = 3 u 5 声+ 3 u 4 ，霉+ “3 ，z z z + 6 u 2 u 3 ，z + 6 u 2 ，茁u 3 + 3 u 3 ，u 2 ，嚣】 ( 3 1 3 ) + 3 u 2 ，u 4 】， u 4 ，t 3 = 3 u 6 声+ 3 u 5 ，+ u 4 。z z + 3 u 2 u 4 ，z + 3m 2 ，茁，u 4 】+ 9 u 4 u 2 ，茁 + 6 u 3 u a 芦一3 u 3 u 2 ，茁z 一3 u 2 u 3 ，霉霉+ 3 u 2 ，u 5 】+ 3 u 3 ，u 4 】， u 2 ，“ =4 钆5 芦+ 6 u 4 ，z 正+ 4 u 3 ，$ 十u 2 ，z z + 1 2 u a u 2 ，。+ 6 u 2 ，茁，u 3 】 + 6 u 2 ，u 3 声】+ 1 2 u 3 ，茁u 2 + 4 u 2 ，z u 2 + 6 “；，。+ 2 u 2 u 2 ，z 霉， t 切，t 5 = 5 ，z + 1 0 u s ，。z + 1 0 u 4 ，z z + 5 u 3 ，z z a 明：+ u 2 ，茁z 。z z + 1 0 u 2 ，z z u 3 + l o u 2 u 2 ，霉u 2 + l o u 2 u 2 ，七l 眵+ 5 u 2 ，z z ，u 2 】+ 2 0 u 2 ，善u 2 ，霉霉 + 1 0 u 2 ，正z ，u 2 ，正】+ 2 0 u 3 ，。z u 2 + 1 0 u 2 ，u 3 ，写正】+ 3 0 u 3 ，z u 2 ，z + 2 0 u 2 ，u 3 ，z 】+ 2 0 u 2 ，z u ；+ 1 0 【遁，u 2 ，z 】+ 2 0 u 3 u 3 ，$ + 1 0 u 3 礼3 】 + 2 0 u 4 u 2 ，$ + 1 0 u 2 声，u 4 】+ 2 0 u 4 ，z u 2 + 1 0 u 2 ，u 4 ，茹】( 3 1 4 ) 由以上流方程可以约化得到一些经典的非线性偏微分方程的非交换版本。例 如令t 2 = y ，t 3 = t ，乱z = u 2 ，从( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 中消去u 3 ，u 4 ，我们得 到非交换k p 方程： 3 u u u 一6 【u ，让v 】= ( 4 u t u x x z 一6 乱：) 正 ( 3 1 5 ) 如果再令让独立于y ，且令u = 让茁，则非交换k p 方程约化为非交换k d v 方程： 4 u t = z z + 6 u u z + 6 u ( 3 1 6 ) 类似经典k p 系列，我们定义非交换k p 系列的佗约化。对固定的自然数n ， 要求 l n = 毋( 3 1 7 ) 2 0 1 0 ：t 1 5中国科学技术大学硕士学位论文 第1 7 页 苎三主! ! 茎兰坚! 墨型垫童兰兰兰兰童型兰：；一 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 和经典k p 系列一样，经过珏约化后系统只有珏一1 个动力学坐标( u 2 ， 3 ，) 是独立的。同样的我们也得到一个关于有限个函数( 让2 ，u 3 ，u n ) 随时间的 演化系统。 为了方便递推算子的引入，我们可以将这个系统写成矩阵的形式： 【，m ) t 。= k ( n ，m ) = a ( n ) p ( n ，m ) ( 3 1 8 ) 这单 u ( n ) = p c n ，m ，= e 曼，) ， 非交换k d v 方程也可以从2 约化中得到：此时只有一个动力学坐标乱2 ，且 l u 3 。一g u 2 汪， _ 11 n 钒2 互让2 ，一荟u ；， u 5 2一百让2 ，2 + u 2 u 2 芦+ 互u 2 ，z u 2 钍6 ：去抛，霉一一芸铭；，z 一百1 1 珏2 一丢抛+ 互1 乜2 ， 钍6 2 而抛，霉撇一百铭；芦一百珏2 珏2 ，聋一百珏2 ，茁抛+ 互让五 将钍3 ，砒代入( 3 1 2 ) ，我们就得到非交换k d v 方程( 3 1 6 ) ，这里u = 乱2 。类似 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 8 页 第三章非交换k p 系列流方程的显式表达 的，将u 3 ，u 4 ，u 5 ，u 6 代入( 3 1 4 ) 我们得到五阶非交换k d v 方程【1 3 】 15555 t 正t 21 6 u = = x x = + 百缸u $ 。z + g u u x + 五u u 茁+ 互让z 让。 + 互5l u 2 u z + 讹z 钆+ u 2 ) ( 3 1 9 ) 一个自然的问题是：三阶的非交换k d v 方程( 3 1 6 ) 与五阶非交换k d v 方 程( 3 1 9 ) 有什么联系? 这就是我们下一章的内容。 第四章非交换k p 系列的递推算子 本章的目的是找到一个递推算子联系非交换k p 系列在n 约化下的高阶 流方程与低阶流方程，这样我们有了三阶的非交换k d v 方程后，就能用递 推算子直接得到五阶、七阶等非交换k d v 方程。这里的方法受【3 1 】的启发。 本章的主要结果是： 定理4 1 n 一约化下非交换即系列矩阵形式的三凹方程p j 纠存在一个递推 算子圣( n ) ，使得 u ( 他) t 。+ k 。 = k ( n ，仇+ 尼礼) = 垂( 凡) k ( n ，m + ( k 一1 ) n ) = 圣2 ( 佗) k ( n ，m + ( k 一2 ) 佗) = 圣惫( n ) k ( 礼，m ) = 垂七( 仡) u ( 仡) t 。， ( 4 1 ) 对所有整数后= 0 ，1 ，2 ，及m ，仃n 成立。 证明：分为三步完成。第一步是利用( p 抑) 一= ( ( l m ) ( l n ) ) 一给出p ( n ，m ) 和p ( n ，m + n ) 的关系，但其中含有p n ( m ) ，p - 2 n + 1 ( m ) ) t 。第二步是利 用( l m 枷) 一= ( ( l m ) ( p ) ) 一和( p + m ) 一= ( ( 驴) ( l m ) ) 一所给功( m + n ) 的两个 表达式相等，将第一步中的( p 一竹( m ) ，p - 2 n + l ( m ) ) t 用p ( n ，m ) 表达。第三 步是把上一步得到的结果代入第一步中，即得递推公式。 我们先计算m 棚) 一= ( ( 三m ) ( p ) ) 一的负部： ( ( p ) ( 妒) ) 一= ( m ( 仇) 铲乃( 礼) 护) 一 a 一1j = o = ( m ( m ) 扩p k ( n ) o 七) 一 o 一1k = o = ( a o 壹k = 0 ( 茗) p 如) p 了( 妒船 = ，( 乏二三) 帅( 咖( 桫 歹一1s = j + lk = m a x ( 0 ，5 ) v 。 v 1 9 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 第四章非交换k p 系列的递推算子 与( ( l m 押) ) 一= j _ - i 胁( m + n ) o j 比较得到： 这里 耽( m + 礼) = q 。( - ) p j 一。( m ) ，j 一1 s = j + l ( 4 2 ) 吲几) = ( 乏二三) p ( 咄j - 1 s = j + 1 j + 2 ，叫4 3 ) k = m a x ( o 。8 1 、7 特别的，f 扫t - p ( n ) = 1 ，一1 ) = 0 有 g 竹( n ) = 1 ，g 扩) = 0 i j i , n ( n 一1 ) 一1 ) 矩阵s ( n ) 和一1 ) n 矩阵t ( 佗) ： ， q 1 ，o ( n )口1 i l ( 扎)以1 加2 ( 孔 s ( n ) ：l 口2 - - ( n )优z ，- o ( n ? 一口z n _ 3 ( n i ： ： c l n + 1 ，一n + 2 ( 死) c _ n + l ，一t l + 3 ( n )c r _ n + 1 ，o ( 佗 0m。几， i 口2 ，住一2 ( n ) 口2 ，n 一1 ( 佗) 口2 ，n ( n ) 1 ) = i ；i i l ic l n + 2 ，2 ( 佗) c - t l + 2 ，3 ( 佗) c - n + 2 ，4 ( n ) i ( 二t _ n + l 。l ( 他) c l n + l ，2 ( 竹) c r _ n + 1 ，3 ( n )c l n + l ，n ( 几) 渤= - 1 ，一死+ 1 ，将等式( 4 2 ) 写成矩阵形式为： p ( 礼，仇+ 礼) = s ( n ) p ( n ，m ) + t ( n )巴) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 、lliiii， 、，、，、l， 2 0 l o 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 1 页 第四章非交换k p 系列的递推算子 至此我们完成了第一步，- f 面用p ( n ，m ) 来替代加一n ( m ) ，p 一2 n + l ( m ) ) t 。 注意到l m 扣= p 驴，取负部有： ( ( 驴) ( 己m ) ) 一= ( m ( 佗) 酽即( m ) 矽) 一 a = o 卢一1 与( l 州m ) 一 这里 = c 耋娄舌( 轴蝴妒伊1 n ( s = o ：r 厶 彳一1 薹三( s 一蝴 妻s = 0 呈r = 0 ( sj7 ) m 勘，趔。( m ) 护 = j 一c _ n + 1 ，一1 ( n 口n ，一州( 绍)口 卅2 ( 死) 口 2 ( n ) 憾去 凰睡 + + g ( n ) o 0 o 一几a g 一2 g ( n ) g ( n ) q ( 佗) 岛( 死) o 0 0 ) - n o q ( 几) g ( n ) ，篡c - n + 口2 ，棚( n ) 1 ) ，o ( 礼) l 口n ，一1 ( 礼) 0；0000 i i 口n 加2 ( 佗) 、lli夕、lj ；小如删 州州 p p 儿皿 儿h 妇 砌 巨，一一；一一、 、 i “嘶；。h 4 ；0 0 一t( 瞄“；o o 一良 ，。一，。，。，。一 、l，_、 、l，、j 、， 仇 m ，m 、小 沁嘲d 之：“ n n 跏 一 一 勘 啦 皿皿 耻p ，。：。一 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 3 页 第四章非交换k p 系列的递推算子 移项整理得到： 蜘，鼢m ， 其中n 扎矩阵m ( 他) 和礼( 礼一1 ) 矩阵n ( n ) 为 m ( n ) = ( n ) = 其中 ( 乏秦；墨，一。一三曼j b ，。= g ，。一g ( 死) ( 4 9 ) 注意到矩阵m ( n ) 中的元素含有左乘算子，但是m ) 仍存在形式的逆。将( 4 9 ) 中 的一，；( m ) ，p - 2 n + l ( m ) ) t 代a ( 4 5 ) ，有 其中 定义 p ( n ，m + 7 1 , ) = r ( 孔) p ( n ，m ) r ( 礼) = s ( n ) 一t ( n ) m ( 佗) 一1 n ( n ) 圣( n ) ：= a ( 礼) r ( 礼) a ( n ) 一1 ， ( 4 1 0 ) 、llliililij， 、j、， n 门 帕呐 加加“ p p 耻皿 ，。-。一 、l一、 m 脚 m 砂 刺刺 删删 铲 肛； “ r 岫 抑 啊 一 一 一 一 n n n以 2 0 1 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 4 页 第四章非交换k p 系列的逆推算子 注意到u ( 佗) 的定义及递推公式( 4 1 0 ) ，我们得到几约化下的非交换k p 系列的 递推关系： u ( 礼) t 。+ 女。 = k ( 佗，m + 七礼) = a ( n ) p ( n ，m + 七佗) = a ( n ) r ( n ) p ( n ，m + ( k 一1 ) 讫) = a ( n ) r ) a ( 死) a ( n ) p ( n ，m + ( k 一1 ) 亿) = 圣( 扎) a ( 佗) p ( 佗，m + ( k 一1 ) n ) = 圣( 佗) k ( 礼，m + ( k 一1 ) 礼) = 圣2 ( 佗) k ( n ，m + ( k 一2 ) n ) = 圣七( 佗) ( 佗，m ) 对所有k = 0 ，1 ，2 ，及m ，佗n 成立。 q 。e ，d 注释4 从上面定理和证明可以发现，我们的结果形式上与 3 1 】 艮类似。但是 实际上有很大不同，这主要体现在这里的递推算子所涉及的矩阵元素中含有 左乘算子。另外，由于我们要在非交换微分代数( 冗，a