（运筹学与控制论专业论文）arch模型的尾部性质.pdf

摘要 在本文，我们考虑了a r c h 模型类中，a r c h ( i ) 模型的稳定分布的 尾部。a r c h ( 1 ) 模型的形式为 其中o ：0 0 “l 0 。e n g l e ( 1 9 8 2 ) 定义的原始a r c h ( 1 ) 模型中，假设 ( e 。) 。；w 是i i d 的正态随机变量，而本文由a r c h ( 1 ) 模型，我们定义一个 随机等式： = 卢+ a 霹一1 。 n n ， 并假设( e 。) 。w 是i id 的对称随机变量。 针对上述模型，我们首先给出证明中需要用到的一般性假设和技巧性 假设，并证明了( ) 。- 有唯一的连续对称的稳定分布。继而运用t a u b e - r i a n 逼近定理得到了( ) 。的稳定分布的指数，它是与参数a 和( s 。) 。 的分布是有关的，并且还得出慢变化函数是一个特殊的常数。最后讨论 了它的稳定分布的尾部是类似p a r e t o 分布的。主要结果如下： 在过程( ) 。- v 中，令f ( z ) ：= p ( x z ) ，2 3 0 ，是稳定分布函数的右 尾部，那么： f ( 。) 一c z ， z _ o 。 这里， 三到迹堡匕二 丛例：1 2 x e “弧s 卜z n l , x e l ) 其中，一是方程 e “压f “) = 1 的唯一正根。 关键词：a r c h 模型；重尾分布；尾概率；稳定分布；p a r e t o 分布 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h et a i lo ft h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no fa na r c h ( 1 ) m o d e l ，t h ea r c h ( 1 ) m o d e li s ： x n = 口i e 。， 磅= 删o + 口1 义翟一1 w h e r eo e 0 0a n d0 9 1 0i nt h ea r t i c l eo fe n g l e ( 1 9 8 2 ) ，h ed e f i n e dt h ea r c h ( 1 ) m o d e la n ds u p p o s e d ( c n ) n a r eiidn o r m a lr a n d o mv a r i a b l e s ，b u ti no u rt h e s i s ， w ed e f i n eas t o c h a s t i ce q u a t i o n ： x n = 、o + 、x i 一1 n ， n n ， a n dc o n s i d e rt i l e ( k n ) n na r ei i ds y m m e t r i cr a a q d o mv a r i a b l e s a st oa b o v em o d e l ，w ei n t r o d u c et h er e q u i r e da s s u m p t i o n so nt h e ( e n ) na n d d i s t i n g u i s hb e t w e e nt h es o c a l l e dg e n e r a lc o n d i t i o n sa n dt h et e c h n i c a lc o n d i t i o n s t h e f o l l o w i n g ，w ep r o v e dt h a t ( 托) n h a sau n i q u es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o na n dt h e s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o ni sc o n t i n u o n sa n ds y m m e t r i ci nt h ee n d ，w ec o n s i d e rt h e s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o nh a sap a r e t o l i k et a i la n dt h et a i li n d e xd e p e n d so naa n d t h ed i s t r i b u t i o no ft h e ( n ) n n ，t h ef o l l o w i n gi si t se l e m e n t a r yr e s u l t s i n ( 墨。) 。，l e tf ( x ) ：= p z ) ，z 0 ，i st h er i g h tt a i lo ft h es t a t i o n a r y d i a t r j b u t i o nn 】n c t i o n t h e n w n e r e c y ( x 1 一c x 、x 一。 土到迹翌二! 丛倒! 1 2 一 e ( b x e l 一圳瓜i ) a n dki sg i v e na st h eu n i q u ep o s i t i v es o l u t i o nt o e ( 1 、旭 ) = 1 k e y w o r d s ：a r c hm o d e l ；h e a v yt a i l e dd i s t r i b u t i o n ；t a i l e dp r o b a b i l i t y ；s t y - t i o n a r yd i a t r i b u t i o nf u n c t i o n ；p a r e t od i a t r i b u t i o n 引言 引言 纷陛时问序列模型是目前应用最广泛的模型之一，这主要是因为：在现实世界 中，许多量之间具有线性或近似线睫的依赖关系，而且线性关系是数学中最基本的 关系，比较容易处理。在数学中已经积累了处理线性关系的丰富的理论和方法。为 实际应用提供了坚实的理论依据和有效算法。然而，在许多情况下，线形模型并不 能充分描述潜在的随机原理，这就需要我们发现能够更好地拟合现实数据的新模 型，于是我们就想到了非线性时间序列模型。 目前，非线性时间序列模型类已经受到广泛的关注。在这些模型类中，条件异方 差模型由于其异方差性更是备受青睐。因为由其衍生出来的各类模型都能很好地拟 合多种类型的金融数据。2 0 世纪6 0 年代以来，大量关于金融市场价格行为的经验 研究结果证实：方差是随时间的变化而变化的。分形理论之父m a n d e l b o r t ( 1 9 6 3 ) 首 先发现了金融资产收益率的波动存在时间序列上的“簇族( c l u s t e r i n g ) 现象”，即幅 度较大的波动会相对集中在某些时段，而幅度减小的波动会集中在另一时段。这表 明：传统线性模型关于独立同方差的假设，并不能够精确地描述金融市场的价格和 收益行为于是，许多金融经济学家开始尝试用二阶矩或更高阶矩的收益率模型来刻 画各种经济和金融行为。然而寻找把方差的易变性引入金融计量模型的有效方法却 并非易事尽管对资产收益率方差的波动性有所认识，m a n d e l b o r t 和t a y l o r ( 1 9 6 7 ) 仍使用稳定的p a r e t o 分布来刻画资产收益率的分布特征。直到e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出了 “自回归条件异方差( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y , 简称a r c h ) 模型”是最近2 0 年来发展起来的最有代表性和理论创新价值并得到最广泛应用的 金融时间序列模型 a r c h 模型的一般形式 五；= 。， p o t 1 一 t n 2o g s + l 啦爿：一4 t 二l 记为a r c h ( p ) 其中( 岛) 。是均值为0 的i , id 的正态随机变量，一：是过去观 测值的平方的线性函数，且o o 0 ，o e l ，：吻一120 ，p 0 n 。 关于a r c h 模型，学者们也做了不少工作首先在1 9 8 2 年，a r c h ( p ) 模型 被e n g l e 引进，之后，学者们从各个方面对该类模型作了研究，例如在参数估计方 面，b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 给出了求参数的极大似然的算法，并证明了极大似然估计的 渐进正态性，但得到的极大似然估计不能保证其值的非负性王德辉等人( 2 0 0 0 ) 给 出了序约束下a r c h ( p ) 模型参数估计的极大似然估计的算法。l e e 和k i n g ( 1 9 9 3 ) 2 a r c h 模型的尾部性质 引进得分函数检验模型是否为a r c h 模型，h o n gy o n g m i a o ( 1 9 9 6 ) 用谱方法给 出了a r c h 模型参数的单边检验方法。总之，在检验模型是否为a r c h 模型方 面，已有多种检验方法。如l r 检验，l m 检验，w 检验等 在e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出的标准a r c h ( p ) 模型中，包含了两项基本假设；即) 0 的条件方差是过去若干期误差项平方的线性组合，同时模型的误差( 。) 。服从 条件正态分布。e n g l e 承认，在应用中，线性平方和、条件正态分布假设有其局限 性。a r c h ( p ) 模型还有一个重要性质是其误差项服从具有重尾的无条件分布。 资产收益变量的分布往往具有重尾特征，而传统的正态分布的假设却不具备这一性 质。因此研究其尾部稳定分布就有非常重要的意义。关于a r c h ( 1 ) 模型的尾部， g o l d i e ( 1 9 9 1 ) 或e m b r e c h s ，k l i i p p e l b e r g 和m i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 把平方a r c h ( 1 ) 模型 霹= ( 。o + a - 醒一，) e - 。2 转化为随机递推等式： 碥= a 。k 一1 + k 其中，k = 碟，碥一1 = 霹a 。= 吒2 ，玩= o o ：，它适合k e s t e n ( 1 9 7 3 ) 和v e r v a a t ( 1 9 7 9 ) 的模型结构，从而得到了平方a r c h ( 1 ) 模型尾部的一些性态。 在g o l d i e ( 1 9 9 1 ) 文中，假定( 。) 。是服从独立同分布的正态分布的。本文主要研 究a r c h ( 1 ) 模型在假设它的误差项( s 。) 。e 是均值为0 的独立同分布的对称随 机变量时，模型的尾部稳定分布，以及尾部的一些性质 本文的结构如下：第一章给出了a r c h ( 1 ) 模型以及给定误差项( 。) 的假设， 并且给出三个技巧性假设( d 1 ) 一( d 3 ) 第二章给出模型的参数集以及稳定分布的尾 部。在引理2 2 中叙述了( 五。) 。e n 的一些概率性质，特别是稳定分布的存在性和唯 一性。第三章研究了稳定分布的尾部。定理3 3 是本文的主要定理，表明稳定分布有 一个类似p a r e t o 分布的尾部。第四章给出了符合本文条件的一个特例，即( ) 。 是服从独立同分布的正态分布时，模型的尾部性态。 关于模型的假设 第一章关于模型的假设 a r c h ( 1 1 模型的形式为 墨；= 0 7 l e 。， 2 = 血o + o l l 鬈一l 其中( e 。) n 是i i d 的均值为0 的对称随机变量，且d o 0 ，。1 0 由a r c h ( 1 ) 模型，我们定义一个随机等式： 。- 。 - _ - _ - 。一 = 卢+ a 程一l e 。， n n ， ( 1 1 ) 这里( s 。) 。n 是i id 的对称随机变量，卢，a 0 ，且x o 与( e 。) 。_ 独立。 令te 是一个一般的随机变量，且与。有相同分布函数h ，p 为e 的密度 函数，”为( 墨) 。”的稳定分布( 引理2 2 说明了稳定分布的存在性和唯一性) ， f 为”的分布函数，x 是一个分布函数为f 的随机变量 假设满足下列的一般条件： i 有全支撑r ， e 有连续对称的l e b e s g u e 密度p ，( 1 2 ) le 的二阶矩存在 很明显，该过程是具有b o r e l 一一代数的状态空间r 中一个齐次马尔可夫链 证明：( a ) 首先，对一切状态i o ，i i ，i 。_ 1 1 i ，j 及一切n 0 有： p + 1 = j 1 = i ，一1 = “扎一2 = i m ，= i o ) = p 五h 1 = j l x , = ) = 只j ( n ) 因此， ( j 厶) 。n 是一个马尔可夫链。 ( b ) 其次，对一切s n p ( n ，n + s ) = p “= j i 蜀= i ) = p 、仍1 耵西：。+ 。= j i k = i ) = 尸 = p = p 3 尸 墨l _ jj x o = i ) f ( o ，s ) 4a r c h 模型的尾部性质 上式倒数第三步是由于( ) * n 是i id 的随机变量，故( 五。) 。e n 是一个齐次 马尔可夫链。 那么它的转移密度是 州x ，劬i 刊2 丽1p 万斋) 妣z r ( 1 3 ) 由随机等式( 1 i ) 可得x 满足不动点等式 x = 卢+ x 2 ，( 1 4 ) 这里e 与x 独立 引理1 1 设u 是( 0 o 。) 上的正单调函数，使得在稠密集以上， 等筹一妒( 。) o 。，t o 。 ( 1 5 ) 那么 妒( z ) = z 9 其中一。o p ” 符号z 。是毫无意义的，只是为了避免例外而引入的当然，当z 1 时视其 为o 。，当。 0 ， 揣一一。 ( 1 9 ) 具有这个性质的函数称为是缓慢变化的于是变换( 1 8 ) 把正规变化变成缓慢变 化 为了得出稳定分布函数f 的尾部，我们对p 和一h = 1 一h 附加一些假设。假 设： ( d 1 )对v 0 z z 7 ，都有p ( x ) p ( x ，) 】 ( d 2 )百的上下m a u t s z e w s k a 指数相等；即： 一。 o ，使得 对所有的z 。o 和t 一，都有 p ( 寿) ( 1 _ 跏万杀) ( 1 1 0 ) 若1 一。，那么对所有的6 0 ，存在常数z o 0 和t 0 ，使得对所有的 z z o 和t t ，不等式( 1 1 0 ) 成立 由于上下m a u t s z e w s k a 指数相等和p 的单调性，我们很容易得到p 和h 的一 些渐进性质。 命题1 2 设条件( 1 , 2 ) 和条件( d 1 ) 一( d 3 ) 成立，那么下列性质成立： ( i ) 对所有的m 一7 ，都有熙。”耳( z ) = o 。 ( i i i ) 对所有的m 一1 ，都有熙z ”“p ( z ) = 0 证明：( i ) ( i i ) ( i i i ) ，由于上下m a u t s z e w s k a 指数相等，所以就有l i m ；等= 矿茎o 。，即百满足正则变化，那么百( ) = l ( 。) ，其中，l ( x ) 是一个o 。处的慢 变化函数。于是l i m x ”百( ) = f i m 。一。z “z 1 l ( z ) = l i r a 9 9 m + 1 l ( x ) 。那么当 m 一7 时，就有l i r a z m 百( 。) i 。再由p 的单调性，就可以得到，当m 2 e ( i x t “1 = 。 ( 24 ) 稳定分布的存在性和唯一性 址明：1 芟nw r 炮是相限日可，那么田，寺式【1 4j 口j 得： e ( i x l “) = e “以咏i “) = 即眦圳x 门 导+ 州叫) f 一 + e ( ，( x ，。) x l ”l 蠡+ a l ) = e ( 1 x l “叫是+ a f e ) f 日 南千x 与e 县辅寺的所以 上式e ( t x t “) e ( ，( 。，o ) f e l ”) e ( i x i “) 这就推出了矛盾，因此假设是不成立的，命题得证。 由命题2 3 我们可以知道，x 的分布的所有阶矩并不是都存在的，在矩不存在 的情况下，x 的分布是重尾的。下一节就介绍其尾部的渐进性质 7 8a r g h 模型的尾部性质 定义随机等式 第三章稳定分布的尾部 = l 、历丽互。i ，n 1 ( 3 1 ) 其中，( e 。) 。- 是与引理2 2 一致的i id 随机变量，常数也同过程( 墨) * n 中所 定义的一致，且g o 几乎处处等于i x 0 1 很容易就可以得到；如果x o 一”，( ) 。= d ( i 1 ) 。因而( 圪) 。和( i x , d ) 。e n 有相同的稳定分布，且p ( x z ) = 1 2 p ( y z ) ，z r 。令m = l v 顸i ，k 定义同引理2l 。那么在附加假设 e ( 1 ( i 诉丽州一( 、兔i v ) ) z ) 口， _ o o ( 3 3 ) 但是，式子( 3 2 ) 很难检验，因为矩存在的信息在一定情况下等同于尾部分布 ( 或者至少是稳定分布尾部的指数) 的信息。本文中，我们对a r c i i ( 1 ) 过程应用 t a u b e r i a n 逼近定理得到了( x o ) 。；- 的稳定分布的指数，并得出慢变化函数是一个 特殊的常数。 定义【6 ：测度函数f ：r + 一风一，若对任意的t 1 都有： 。引i m i n f 铬剑m 8 1 1 9 而f ( t x ) z ) ，z20 ，是( 1 1 ) 式给定的过程( x , j 。n 的稳定 分布的尾部，则f 是o 一正则变化的特别的，如果可是分布函数e 的尾部，那 么对v a 1 ，都有， 篙狗万a ) ) v 删 ( 3 4 ) 证明：令a 1 ，因为x 是对称的，且( k ) 。s n 和( i 五批。e 在) ，0 ”时有 稳定分布的尾部 同样的分布，于是对v z 0 ，有： ! ! ：! ! 生：! f 茎三垒1 2 ：竺! 兰三垒! ! 一 = f ( z ) p ( x ) p ( z 三1 2 p “、卢+ 舳“i a x ) 业z ) 、p ( j + a y 2 a x ，e 0 ) 2 一一7 i y z ) 、p ( , x y a x ，e 0 ) 1 面i 丁一 、p ( y a x v 百e ， 0 ) 可f 歹万一 厶w ，考学比肌 由于p 的单调性和被积函数是大于1 的，就可以得到： 丽f ( a x ) 耳( 一( 。，万a ) )f ( z ) 一 、 、7 a “ 注意到( 3 4 ) 并不依赖于z ，所以令z 一0 ( 3 就可以得到f 是o 一正则变化的。 下面的引理是得到本文结论的关键 引理3 2 7 1 ( t a u b e r i a n 逼近定理) 令k ： 0 ，o 。) 一【0 ，o 。) 是一个正值函数， ( n ，b ) 是使得 ( 。) ：，r 掣出茎。 j ( 0 ，o o ) 6 成立的最大的开区间若o 一o 。，假设l i m 6 l o e ( o + d ) = o 。，若b ) ，0 ，是稳定分布 函数的右尾部，那么： 9 1 0 a r c h 模型的尾部性质 这里 1e ( j 、历蕊j 8 一i 瓜俐i ) 甄丽瓦再币葡广一 ( 36 ) 其中，x 是方程 f ( f 肛f ) = l( 37 ) 的唯一正根。 定理3 3 的证明是引理3 2 的一个应用接下来的一系列命题都是为了得到定 理3 3 而要说明的一些结论，其证明过程均与参考文献 5 中的证明类似。t i 面f 1 9 命题是x 的右尾t ( x ) = l f ( x ) 的一个公式，我们需要用该式来表明假设( 3 5 ) 式是满足的。 命题3 4 ，= 罱铲+ 小叫 s ， 这里h ( z ) = p ( e z ) ，z 0 ，且对地 0 ，t 0 m 垆z ，( 南) 斋笨器 证明：由( 1 4 ) 式干仃x 的对称性，日j 得： f ( z ) = j ：p ( 、万干i 再g zx = o d e ( t ) = 一伊p ( 、歹干i 蕊 z ) d f ( 一) + 伊j d ( v 伍j 二_ 瓦 x ) d f ( t ) = 一矗, o op ( 、厂歹干了蕊 z ) d f ( ) + 斤p ( 、乍叨e z ) d f ( ) 一z 铲万( 赢) 螂) 由分步积分法得到： 殆万c 南z 。确( 志) 孚。， ( 3 9 ) 两边同除以f ( z ) 就得到了命题的结论。 观察( 3 8 ) 式，用命题2 3 和3 1 就可以得到下面的几个命题。这些命题是应用 引理32 的关键。 命题3 5 对v b 0 ， 熙筹= o ( 3 1 0 ) 一f ( 0 1 、。 稳定分布的尾部 证明：令n ：= i f n 0 ：e ( h ”) 2 ) ，选择? n ( n ，一7 ) ，有 由法度引理可得 f ( z ) 1 h ( x b ) 2 p ( 、肛下x 再e ) ( z 6 ) 些型嬖塑d f y ( t ) h ( x b ) m b , x 甏铲d f y ( t )f o ，h ( z b ) - i m i n r 器乞叫胴鬻酬 c 扩d f y ( t ) ，m f 0 ，b , x 2 c e ( i x l ”i r xe ，。以 ) 又由于m n 和e ( 1 x = 。，那么由命题2 3 ，就可以得到上式等于零，即： 熙筹f ( x = 。 、 命题3 6 对订 0 ， r 。，。 1 1 罂，( z ，t ) 出= l i m ，( 。，t ) d t = 1 。oj t 而且，若下m a u t s z e w s k a 指数7 = 一0 0 ，那么对均( 0 ，1 ) ， l i 啦，( z ，t ) d t = 1 j 。4 证明：注意到：对任意的t 0 ，由( d i ) ，对v t o ，列和足够大的x 0 0 ，t 0 ，定义： 咖，牡z ，( 去) 茄幕 那么就有： l i r a g ( z ) 出= 1 0 l i ms u p 9 ( z ，t ) d t n 1 1 1s u p ；( t ) ! j ! 肇 ；产+ n m s l l n 、0 71 j ! ! 笔；铲a f 。) ( 。) 川i i l ls h ”等半 进一步，由条件( 1 2 ) 和假设( d 1 ) ，对v z 0 ，t 0 p 瓦x ) 纠万斋) 1 i ! ：2 pz 9 z ) 2 8 。：i 。, i m f 争l ip + 二。，。，。g 。( i 置：! t 翟) d 。t ( _ ，。，。，以 p 。 = ( 羔+ 1 ) t 2、a 。叫 稳定分布的尾部 ( d 3 ) 中的常数，由假设( d 3 ) 和命题3 6 ，有 1 l m 口( z ，t ) 出29 ( z ，) m - i n f l i m i n f ”j oz 4 ( 1 5 ) l i m i n f ， ：of ( z ，t ) ( 警) d t ( 1 ) l i 。m 。i 。n 上。m 舭 因为6 是任葸的，所以就有 1 骢攀z 9 ( 州) 出1 ( 3 1 4 ) 结合( 31 3 ) 式和( 3 1 4 ) 式就可以得到： 璺z9 ( 州) = 1 接下来，我们就来证明定理33 。 证明：选择 坼) = 罴，( 去h 。 ( 3 1 5 ) 和 ( z ) = f ( z ) ， ( 3 1 6 ) 很容易就可以看到是非负的，h 是非负有界递增的注意到；对v z ( 一o 。，o o ) ， 址l 霹巍tm 小广瓣出= z ”尸击p ( 砺m + ( 叫。去，( 去 = e ( i 佤i “) 令( a , b ) 是使得 t ( 。) o oz ( n ：b ) 成立的最大开区间。取n t - i n f u 0b ( u ) = o 。) 0 ，b = 1 由命题 2 1 ，对z 0 。铷s 。万2c 扣 。 和 ，1 r 掣认。1 t _ , d t = 0 e 有连续对称的l e b e s g u e 密度p ，p ( z ) = 了1 翥e 一譬，。兄 i s 的二阶矩存在， e ( e 2 ) = 1 并且，对于p 和百= 1 一h ，也有( d 1 ) 一( d 3 ) 这三个假设条件是满足的 ( d 1 )对v 0 。z 7 ，都有p ( ) p ( z 7 ) ， ( d 2 )百的上下m a u t s z e w s k a 指数相等；即： 叮：l i 。型竺竺! ；竺翌幽翌熊 “卜，”圣。# 2 d t l o g s “p 二争啤! 一1 一兰e 一2 肛出 ：i i m ! = 箜! ! ! 。 u e 二( u ) 2 2 、吲。m 8 印z ”一= i 旷 = l l n l = 一 = l i m f l 。嘞。! o g 【t v e ；竺。1 1 忉。+ 兰掣 = 。l ，i r a 。l i r a s t 垆z o 。1 五瓦_ _ ：熙胁嘞一- + 甍掣】 2 一o 。 同理可得； l i r a i o g l i m i n f 一。h ( v x ) h ( x 一) ”。t o q v 。 1 5 1 6 4 r g h 模型的尾部性质 ( d 3 )选择常数o ( 1 2 ，1 ) ，对所有的z 0 ，t x 。 p ( 去) 烈斋乒) p ( 巍) 一( 去( ，+ 嚣) 叫2 ) 一卅去九叫+ 暴旷1 ) ) = e 卅扣嘉i 忐m 篓：甄 因此，当e n ( 0 ，1 ) ，参数a 满足条件( 2 2 ) 时，由引理2 2 可知，( 4 1 ) 式定义的随机过程( 五。) 。e n 的稳定分布是存在且唯一的，并且具有定理3 3 所叙 述的类似p a r e t o 分布的尾部。 结论 结论 由于在某些情况下，线性模型也有它的不足，有时并不能充分描绘出潜在的随 机原理因此，本文主要针对一类非线性模型一a r c h 模型作了研究 另外，在实践中，许多来自电信、经济和金融等领域的数据均呈现出重尾特征 因此有必要去研究噪声服从重尾分布时a r c h 模型的概率性质以及收敛性质通 过研究尾部概率性质，比如说在金融方面可以将风险的大小照化，这样对于规避风 险有一定的指导意义 当然，在本文中，有许多课题还值得研究，比如说收敛速度的问题，参数的估计 问题，以及用于模拟的效果等均可以探讨，由于电信、经济和金融等许多领域与我 们的生活息息相关，而且其中确实有一类数据符合噪声变量服从重尾分布的a r c h 模型，所以具有一定的研究价值 1 7 1 8a r g h 模型的尾部性质 参考文献 1 1e n g l e ，r o b e r t ，fa u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yw i t he s t i m a t e so f t h ev a t i a i i c eo fu n i t e dk i n g d o mi n f l a t i o ne c o n o m e t r i c a 1 9 8 2 5 0 9 8 7 1 0 0 7 2 b o l l e r s l e v ，t i m ，g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y j o u r 。 n a lo fe c o n o m e t r i e s 1 9 8 6 ，3 1 ，3 0 7 3 2 7 3 】w 尼t e r , a ni n t r o d u c t i o nt op r o b a b i l i t yt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n s2 , 2 n d e dw i l e yn e wy o r k1 9 7 1 ， 4 1e m b r e c h t s ，p ，k l i i p p c l b e r g ，c a n dm i k o s c h ，tm o d e l l i n ge x t r e m a le v e n t sf o ri n s u r a n c ea n df i n a n c e s p r i n e r 】b e r l i n 1 9 9 7 5 1m i l a nb o r k o v e e ，c l a u d i ak l i i p p e l b e r g t h et a i lo ft h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no f a l la u t o r e s s i v ep r o c e s sw i t ha r c h ( 1 ) e r r o r s t h ea n n a p p l p r o b a b i l i t y 2 0 0 1 ， 1 1 】2 2 0 - 2 4 1 6 b i n g h a m ，nh ，g o l d i e ，c m a n dt e u g e l s ，jlr e g u l a rv a r i a t i o n c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s1 9 8 7 ，8 ( 2 ) ，2 2 1 2 3 3 7 l e e ，j hha n dk i n g ，m l ，al o c a l l ym o s tm e a np o w e r f u lb a s e ds c o r et e s tf o r a r c ha n dg a r c hr e g r e s s i o nd i s t u e b a n c e s j b u se c o ns t a r 1 9 9 3 1 1 j 1 7 2 7 ， 8 g o l d i e ，cmi m p l i c i tr e n e w a lt h e o r ya n dt a i l so fs o l u t i o n so fr a n d o me q u a t i o n s a n n a p p l ，p r o b a b i l i t y1 9 9 1 ，l ，1 2 6 1 6 6 9 孙传忠，安鸿志，吴国富，a r c h 模型及其应用与发展数理统计与应用概率 1 9 9 5 ，1 0 ，6 2 7 0 10 1 王德辉，宋立新，史宁中，序约束下a r c h ( 0 ，2 ) 模型参数估计与检验 应用概率统计2 0 0 2 ，1 8 ，2 4 4 2 5 4 1 1 1 张世英，柯珂，a r c h 模型体系系统工程学报2 0 0 2 ，1 7 ，2 3 6 2 4 6 1 2 1 王晓光，宋立新，序约束下a r c h 模型的最小二乘估计吉林大学学报( 理学 版) 2 0 0 5 ，4 3 ，2 8 7 2 9 4 1 3 王允艳，俞政，随机环境下的非线性时间序列的几何遍历性华东交通大学学 报2 0 0 5 ，2 2 ，1 4 7 - 1 5 0 参考文献 1 4 1 汪炜，文勇，a r c h 类模型与金融经济学的技术化取向经济社会体制比较( 双 月刊) 2 0 0 3 ，6 ，1 3 3 1 3 9 1 5 】陈敏，安鸿志，崔小弟，具有a r c h 误差的回归模型参数估计的收敛速度应 用数学学报1 9 9 7 ，2 0 ，2 9 4 - 3 0 4 1 6 b a s r a k ，b ，d a v i s ，r aa n dm i k o s c h ，t r e g u l a rv a r i a t i o no fg a r c hp r o c e s s e s s t o c h a s t i cp r o c e s s a p p l 2 0 0 2 ，9 9 ，9 5 1 1 6 【1 7 】d i m i t r i o s ，g ，k o n s t a n t i n i d e sa n dt h o m a sm i k o s c h ，l a r g ed e v i a t i o n sa n dr u i n p r o b a b i l i t i e sf o rs o l u t i o n st os t o c h a s t i cr e c u r r e n c ee q u a t i o n sw i t hh e a v yt a i l e d i n n o v a t i o n s t h ea n n a l so fp r o b a b i l i t y 2 0 0 5 ，3 3 ，1 9 9 2 2 0 3 5 1 8 】h o n gy o n g m i a o o n e s i d e dt e s t i n gf o rc o n d i t i o n lh e t e r o s k e d a s t i c i t yi nt i m es e r i e s m o d e l sj t i m es e ra n a l ，1 9 9 7 ，1 8 ，2 5 3 - 2 7 7 f 1 9 】t w e e d i e ，r lc r i t e r i af o rc l a s s i f y i n gg e n e r a lm a r k o vc h a n s a n n a l so fa p p l i e d p r o b a b i l i t y 1 9 7 6 ，8 ，7 3 7 7 7 1 2 0 】v e r v a a t ，w o nas t o c h a s t i cd i f f e r e n c ee q u a t i o na n dar e p r e s e n t a t i o no fn o n n e g - a t i v ei n f i n i t e l yd i v i s i b l er a n d o mv a r i a b l ea d v a n c e da p p l i e dp r o b a b i l i t y 1 9 7 9 ， 1 17 5 0 7 8 3 2 1 1r ad a v i sa n d s r e s n i c k l i m i tt h e o r yf o rm o v i n ga v e r a g e so fr a n d o mv a r i a b l e s w i t hr e g u l