（应用数学专业论文）部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 采用m u s k h e l i s h v i l i 方法，通过构造保角变换把复杂缺陷映射 到单位圆内部或外部，将平面弹性问题转化为求解满足一定边界条件 的两个复势函数妒( z ) ，y ( z ) 利用c a u c h y 积分、定积分理论、留数理论 以及解析延拓知识，求出各种缺陷尖端的应力强度因子或应力场本 文研究了圆孔带裂纹且只在孔边受到均匀压力而裂纹面上不受力的 部分边界受力的平面弹性问题具体工作如下： 第一，利用复变方法，通过构造保角映射，研究了圆孔带单裂纹 且只在孔边受到均匀压力而裂纹面上不受力的部分边界受力的平面 弹性问题，得到了复应力函数的精确表达式，并给出了应力场的解析 表示，求得在裂纹尖端的应力强度因子的解析解在极限情形下，还 可以还原为圆孔带单裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的已有结果 第二，利用复变函数方法，通过构造保角映射，研究了圆孔带对 称双裂纹且只在孔边受到均匀压力而裂纹面上不受力的部分边界受 力的平面弹性问题，得到了复应力函数的精确表达式，并给出了应力 场的解析表示，求得在裂纹尖端的应力强度因子的解析解在极限情 形下，还可以还原为圆孔带对称双裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力 的已有结果 关键词：带裂纹圆形孔口，部分边界受力，应力强度因子，保角映射， 解析解 a b s t r a c t b ym e a n so fm u s k h e l i s h v i l i m e t h o d ，t h r o u g hc o n s t r u c t i n g a c o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n ，t h i sp a p e rm a p p e dt h ec o m p l i c a t e dd e f e c tt o t h ei n s i d eo ro u t s i do ft h eu n i tc i r c l ei no r d e rt ot r a n s f o r m i n ga p l a n e e l a s t i c i t yp r o b l e mi n t o t w o c o m p l e xp o t e n t i a lf u n c t i o n ，妒( z ) a n d y ( z ) ，w h i c hc a nb es o l v i n gw h e nm e e t i n gc e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n s r r h lh e nf i n d i n go u tt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ro rs t r e s sf i e l do f e a c hd e f e c t t i pw i t ht h ek n o w l e d g eo fc a u c h y 。i n t e g r a l 、d e f i n i t e i n t e g r a lt h e o r y 、 r e s i d u et h e o r e ma n da n a l y t i c a lc o n t i n u a t i o n t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h e p l a n ee l a s t i c i t yp r o b l e mo fp r e s s u r eo np a r to fb o u n a r yt h a tu n i f o r m p r e s s u r eo n l ya c t so nt h ee d g eo fas y m m e t r i c a lc i r c u l a rh o l ew i t ha c r a c k s b u tn o to nt h es u r f a c e f i r s t ，b ym e a n so fc o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d ，t h r o u g h c o n s t r u c t i n g ac o n f o r m a l m a p p i n g ，t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ep l a n e e l a s t i c i t yp r o b l e mo fp r e s s u r eo np a r to fb o u n a r yt h a tu n i f o r mp r e s s u r e o n l ya c t so nt h ee d g eo fac i r c u l a rh o l ew i t has i n g l ec r a c kb u tn o to nt h e 。一 s u r t a c e 1h ea n a l y i cs o l u t i o no f c o m p l e xs t r e s sf u n c t i o n si so b t a i n e d t h e a n a l y t i ce x p r e s s i o n so ft h es t r e s sf i e l da r eg i v e n ，a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h e s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa tt h ec r a c kt i pa r ed e t e r m i n e d u n d e rt h es p e c i a l c o n d i t i o n s ，i tc a nr e v e r tt ot h ee x i s t i n gr e s u l t so fw h i c hu n i f o r mp r e s s u r e a c t so nb o t ht h ec i r c u l a rh o l ea n dt h ec r a c k s e c o n d ，b ym e a n so fc o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d ，t h r o u g h c o n s t r u c t i n gac o n f o r m a lm a p p i n g ，t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ep l a n e e l a s t i c i t yp r o b l e mo fp r e s s u r eo np a r to fb o u n a r yt h a tu n i f o r mp r e s s u r e o n l ya c t so nt h ee d g eo f as y m m e t r i c a lc i r c u l a rh o l ew i t had o u b l ec r a c k s b u tn o to nt h es u r f a c e t h ea n a l y i cs o l u t i o no f c o m p l e xs t r e s sf u n c t i o n si s 内蒙古师范大学硕士学位论文 o b t a i n e d ，a n dt h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n so ft h es t r e s s f i e l da r e g i v e n ， a n a l y t i cs o l u t i o n so ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa tt h ec r a c kt i p a r e d e t e r m i n e d u n d e rt h es p e c i a lc o n d i t i o n s ，i tc a nr e v e r tt ot h ee x i s t i n g r e s u l t so fw h i c hu n i f o r mp r e s s u r ea c t so nb o t ht h ec i r c u l a rh o l ea n dt h e c r a c k k e yw o r d s ：ac i r c u l a rh o l ew i t hc r a c k s ，p r e s s u r eo np a r to fb o u n d a r y ， s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ，c o n f o r m a lm a p p i n g ， a n a l y t i cs o l u t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。本人保证所呈交的论文不侵犯国家机 密、商业秘密及其他合法权益。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名： 日期：年月 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：导师签名： 日期：年月 日 第一章绪论 第一章绪论 在经济高速发展的今天，高强度材料在我们的日常生活中使用日 益频繁，由此产生的断裂事故屡见不鲜，这就给我们社会的发展带来 巨大的经济损失，同时也是人类至今面临的重要问题2 0 世纪初，世 界上有4 0 座全焊接铁桥未见任何异常现象却突然发生断裂而倒塌； 1 9 4 3 - 1 9 4 7 年间美国制造的5 0 0 0 艘全焊接“自由轮”，竟发生1 0 0 0 多起断裂事故，其中2 3 8 艘完全毁坏据我国劳动部统计，我国在8 0 年代发生的锅炉和压力容器的爆炸事故约五千起，人员累计伤亡近万 人，居国内劳动安全事故的第二位我国锅炉和压力容器的爆炸事故 比工业化先进国家高十倍，其中恶性重大事故比工业化先进国家高一 百倍事后大量试验表明，这种脆性破坏是由宏观裂纹( o 卜l o m m ) 引起的这种裂纹可以是冶金缺陷，可以在加工过程中产生，也可以 在使用过程中形成。对许多构件来说，这种宏观裂纹的存在常常是不 可避免的 分析诸多灾难性事故的原因，发现这种低应力脆性破坏主要是由 宏观尺寸的裂纹源引起的这些裂纹很可能是焊接质量不高、内部有 夹杂或存在应力集中、使用过程中腐蚀、疲劳引起的裂纹等尤其是 现代高强度新型材料的大量使用，促使断裂事故不断增加因此，研 究裂纹体强度以及裂纹发生扩展的规律，并根据这一规律设计安全的 工程结构、制定合理的质量验收标准等，成为十分迫切的问题断裂 力学就是在这基础上发展起来的，它主要研究的是带缺陷的弹性问 内蒙古师范大学硕士学位论文 题 现代断裂理论大约是在19 4 8 19 5 7 年间形成，它是在当时 生产实践问题的强烈推动下，在经典g r i f f i t h 理论的基础上发展起 来的，上世纪6 0 年代是其大发展时期我国断裂力学工作起步至 少比国外晚了2 0 年，直到上世纪7 0 年代，断裂力学才广泛引入 我国，一些单位和科技工作者逐步开展了断裂力学的研究和应用 工作 断裂力学的任务是：求得各类材料的断裂韧度；确定物体在 给定外力作用下是否发生断裂，即建立断裂准则；研究载荷作用 过程中裂纹扩展规律；研究在应力作用下物体的断裂问题断裂力 学已在航空、航天、交通运输、机械、材料、能源等工程领域得 到广泛应用 线弹性断裂力学应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断 裂准则19 2 1 年格里菲斯通过分析材料的低应力脆断，提出裂纹 失稳扩展准则，即格里菲斯准则19 5 7 年g r 欧文通过分析裂纹 尖端附近的应力场，提出应力强度因子的概念，建立了以应力强 度因子为参量的裂纹扩展准则线弹性断裂力学可用来解决脆性 材料的平面应变断裂问题，适用于脆性材料的断裂分析实际上， 裂纹尖端附近总是存在塑性区，若塑性区很小( 如远小于裂纹长 度) ，则可采用线弹性断裂力学方法进行分析现代断裂理论大约 是在19 4 8 19 5 7 年间形成，它是在当时生产实践问题的强烈推 动下，在经典g r i f f i t h 理论的基础上发展起来的，上世纪6 0 年代 第一章绪论 是其大发展时期 固体中带裂纹的孔口问题，既是力学中的一个重要问题，又是一 个比较难以解决的课题，长期以来引起广大专家学者的极大兴趣，前 人研究了孔口带裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的孔口问题，即整 个边界上受到均匀压力的孔口问题，还研究了椭圆孔口的部分边界上 受到均匀压力的部分边界受力问题，且前人还用数值方法研究了部分 边界受力的带裂纹的孔口问题而部分边界受力情形下带裂纹的孔口 问题的解析解还待研究 本文利用复变方法，通过构造保角映射，研究了圆孔带裂纹且孔 边受到均匀压力而裂纹面上不受力的部分边界受力的平面弹性问 题，得到了复应力函数缈( f ) 和y ( f ) 的精确表达式及应力场：并求得在 裂纹尖端的应力强度因子的解析解在极限情形下，还可以还原为圆 孔带裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的已有结果并且将这一方 法运用到圆孔带对称双裂纹、椭圆孔带不对称双裂纹等其他构型上。 内蒙古师范大学硕士学位论文 【1 1 为 第二章预备知识 弟一早耿亩大u 以 对平面弹性问题，当物体处于静平衡状态时，其应力函数u 满足的相容方程 v 2 v2 u = 0( 2 1 ) v 2 = a 2 o x 2 + a 2 o y 2 ，u 代表a i r y 应力函数，且应力分量与应力函数的关系为 吒= 万，= 百，一丽 2 2 ) 取复势函数仍( z ) 和( z ) ，则u ( x ；y ) 可表示为 t l ( x ，y ) = r e 砸( z ) + i v 。( z ) a z l ( 2 3 ) 其中仍( z ) 与( z ) 表示复变量z = x + i y 的两个解卡斤函数，z = x 一砂是z 的复共轭， r e 代表复数的实部应力和位移的复表示为 吒+ 2 2 t q , i ( z ) + 兰( z ) 】= 4 r e 荆 ( 2 4 ) 【_ + 2 i = 2 砑( z ) + y ：( z ) l 2 # ( u x + i u y ) = 觋( z ) 一z 顿( z ) 一杪。( z ) ( 2 。5 ) 其中对平面应力k = ( 3 一) ( 1 + ) ，对平面应变尼= 3 + 4 如果能引入一个合适的保角映射z = 国( f ) ，即把物理平面上的区域映射到f 平面e 单位圆内部，则( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式变为 c r o + = 4 r e ( f ) 2 i 嘞5 南 研k m v m q 6 船砌沪吾鬲降一鬻而v ， 隰7 ， 其中( p ，0 ) 是f 平面上的极坐标系且 4 第二章预备知识 i 仍( z ) = 仍 缈( f ) = 缈( f ) ，y ，( z ) = 少。 缈( f ) = 沙( f ) = 嘏卸叫= 粥划 8 未知函数伊【告) 和y 【f ) 满足如下函数方程组 妒( f ) = 等( x + i r ) l n ( + b 国( f ) + 妒。( f ) ( 2 9 ) y ( f ) = 一等( x 郴) l n f + ( n i c 。) 国( f ) + ( f ) ( 2 1 0 ) 其中 ( f ) + 丽1 f 粥型o - - f 衙丽= 丽1f 山o - - 盯( 2 毗) + 去王粥訾蚍厕= 丽1f 寿盯( 2 1 - 2 ) 仃三f i r = 口代表f 在单位圆周i 上的值，而 心肌净一警t 一警( 川y ) 粥o - - 2 b ( o ( 仃) 一( b 。一i c ) 羽 ( 2 1 3 ) 其中i 和可分别表示面力x 和y 的面力分量，b 和矗一记由无穷远处的应力主向 与主应力决定 裂纹尖端的复应力强度因子【2 l 为 埘o ) _ 2 压恕瓣船= 2 石觊器( 2 1 4 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形孑l 口问题的解析 研究 第一节带单裂纹的圆形孑l 口问题 设无限大平面中含有一个带单裂纹的圆形孔洞，孔边受到均匀压力p ，裂纹 面上不受力，孔口半径为口，裂纹长度为c 一口，以裂纹所在直线为x 轴，以圆孔中 心为原点，建立直角坐标系，如图l 所示 作保角映射( 其详细推导见附录一) ： 锈多 f l矗挑 删r d 矗矗c i a 岁 _ ， a i 图1 只在孔边受力的含单裂纹的圆形孔口的无限大平面 图2 保角映射到单位圆内 ：口型坐监孚一纽， 夕= 狰詈) = 警 ( 3 1 2 ) 则该映射将z 平面上带单裂纹的圆形孔口外部的区域映射成f 平面上的单位圆 内部，同时把带单裂纹的圆形孔口映射成单位圆周r ，把a 的上岸z 。映射到点0 i ， 把以的下岸z ：映射到点呸，且有国。1 ( c ) 一l ，国_ 1 ( a i ) 一一i ，国- 1 ( 一口i ) 寸i 在圆周上：从口的上岸毛到以i 拘t * - z ：上， i p c o s ( n ，x ) = 却，可一p c o s ( n ，j ，) = 一m p ， 6 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形子l 口问题的解析研究 石= i ( 牙+ i 可p = i r p ( 怂+ i 珑凼) ) - - i p ( + 一i d x ) = - f p d z = 一p z = 一p ( f ) ( 3 1 3 ) 在裂纹上：从的a 下岸z ：到口的上岸z l 上 石= 一p z 2 ( 3 1 4 ) 若从口的上岸z 。起始回绕，当逆时针描过全部围线再回到z 。时，石得到增量 一p z 2 一- p z l ) = p ( z l z 2 ) ， 因x + i y = i p ( z , 一z 2 ) ，( 因z 顺时针回绕一周时，会有增量i ( x + i 】，) 可得：p ( z 。一z 2 ) = 一i ( x + i y ) x + i y = i p ( z iz 2 ) ，叉一i y 三一i p ( - - - - ) 由于在无穷远处不受力，b = 0 ，b 。一i c ：0 ( 3 1 5 ) ( 3 ：1 7 ) 吡嵯等 ( ，+ l ，+ 拱筹筹粉 m ， 由( 3 1 1 ) 和( 3 1 8 ) 式，有 丝：! ：业二! 坠丝三! ! 二盟 国( f )f ( 1 一f 2 )厂+ 1 驯化埘f 们( f ) 2 帮2 南 ( 3 1 9 ) 因g ( f ) 除有两个一级极点f = 1 外，在单位圆内 乒吲 1 ) 解析，在 f ：l 引1 ) 上连续，所以由柯西积分公式与解析延拓的知识可得( 参见附录二) ： d o = 雨丽一手古一手万1 ( 3 1 1 1 ， 7 力一 警 g 一 一一 l 嗍瓯一p 器 上撕 内蒙古师范大学硕士学位论文 其中b - 2 四( 彳一1 ) g ( f ) ，b z2 磐( f + 1 ) g ( f ) 将( 3 1 7 ) 式代入( 2 1 3 ) 式，得 例一等h 盯一等( “】【) 器盯 2 ， 由( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 、( 3 1 6 ) 和( 3 1 1 2 ) 式，有 互1 f 。d c r = - pe ( 叫训击加等f ! 击d 1 一划上 旦d 仃 2 z i 2 z i 矗6 一c t 訾p ( i 司去f ( 1 1 3 ) 下面分别计算( 3 1 1 3 ) 式右边的各积分 e 等盯：詈e 盟巫避磊巫巫互仃 = 扯鹄衙2 丽( 1 - - 0 ) 2d 1 十三e 匝雩一d 仃 4 ， e 糟州e 等暑仃 = ，譬毒耐州譬寺州譬音g = 手e ( 击一班何h ( 吖) 1 w e 警仃 = 手e 寺盯一手e 争仙( 仃卅悟 8 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究 + 堰d a 班娶寺6 = 睁f ) h 筹一号h 鲁州吼训 5 ) e 糟仃= f i 一- 、2 一o - + ，o ，2 。盯 ( 事讲f ) - n 石r r z - 一丢l n 争+ ( 仃：q )f仃i 、 将( 3 1 1 5 ) 和( 3 1 1 6 ) 式代入( 3 1 1 4 ) 式，得 e 掣虮b f m o ! 一毛。 q f 一毒h l 旦+ ( q q ) o i 午( 吉m f n 学一n 詈如q ) + e 2 寺删n 仃广f 吒一f 设彤) = 去f 啬d 盯 以1 d 毛 2 z i 2 a i 加一去灿d 击 由无穷远处柯西积分公式，有 1 r l 2 z ij r艿( 仃一f ) d 叮 仃( 仃一f ) l d 仃= 去f 专d 叮= 。 所以筹= 一磊1 雨2 z i 十磊1 f 因之， 口( 仃一f ) 9 ( 3 1 1 6 ) ，r ( 3 1 1 7 ) u ( 3 1 1 8 ) 一甲一、坚吖 j p r 矗 上撬鲁 内蒙古师范大学硕士学位论文 ，( f ) = h 1 ( q f ) + c 类似于计算( 3 1 1 1 ) 式的计算，下面求 去f 年特笫g2 石i ( 1 一仃2 ) 而( 仃一f ) “￥ 酬分蠕一 ( 3 1 1 9 ) 磊1k + t 崞尝喾磐箬拓即) _ l m 。， 2 石ij 批+ t ( 1 一仃2 ) 而( 盯一f ) v 广1 纠 y 一 伊 呻i j 0 1 ，e ： 、。 l 当盯t ，记仃= 1 + 韶坩，则有 图3 积分曲线 d c r ：兰仨兰磐上秒：鞋上 2 万乜- 22 7 石卜f 一再f 一1 当仃t ，记仃= 一1 + 6 e i 口, 则有 1 0 e e i e d o ( 3 1 2 1 ) 乞 ，j 一1一万一2 n 矿r 1 ， h 卜 。陌卫以 上拥 g “ i l 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形孑l 口问题的解析研究 删l i m 锄1 崛4 零( f - 1 ) ( 1 熹+ 。 ) 4 + 2 ( 簪1 - 。 2 ) 2 盯 = 去争南击扯。 g e i o d o 由( 3 1 2 0 ) 式、( 3 1 2 1 ) 式、( 3 1 2 2 ) 式，有 上趟二! 蝉：三! ! 二竺d 盯“一上 塑当仃 2 z i ( 1 一仃2 ) 可( 盯一f ) 棚u l i i + 2 z il 仃一f = f ( 。) 一；t i m 。+ 2 历1 也f ( 垃一f ) ，一1 一，仃 小垣4 f + 1 击 l f 将( 3 1 1 7 - 3 1 1 9 ) 和( 3 1 2 3 ) 式代入( 3 1 1 3 ) 式，得 去f 岳排8 p 州a ( f f + 万班) h 磊一手m 詈州吼训 + 8 p 础ap ( f l _ _ 讲f ) m 筹一吉mo q - 2 也叫 + 嚣卜虹一d 仃 + 铬l n 蓦一出2 z ( 1 n ( 旷f ) + c ) 2 万i 仃，一 i 、 、。7 7 + 等p ( 藕) ( + 霈巧1 将( 3 1 11 ) 式、( 3 1 2 4 ) 式，代入( 2 1 1 ) 式，得： ( f ) + g ( o ) 伊：( o ) b i 1 b 2 1 2 毛一12 乞+ 1 ( 3 1 2 2 ) ( 3 1 2 3 ) ( 3 1 2 4 ) 斯f： 上绷 暑+ o 1 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 = 黜吾何优) h 鬈一手- n 詈州吒训 + 黜专坍f ) h 鲁一言h 詈如训 + + 铬h l 爰一生( 1 1 1 ( q f ) + c )2 刀i仃，一 i 从口的上岸z 。到一a 的上岸z ，弧段上： x = 一p c o s ( n ，x ) = 一勿，】，= - p c o s ( n ，y ) = 一，印， 内蒙古师范大学硕士学位论文 石= i “牙十i 可p = i ( 一p ( 胁+ i m d s ) ) = i ，p ( d y i d x ) = 一，p d z = 一p z = 一p ( f ) ( 3 2 3 ) 从一口的上岸z 3 至l j - a 的下岸z 4 裂纹上： 天= 一p z ， 从一a 的下岸z 4 到以的下岸z ：弧段上： z = 一p 国( f ) 从a 的下岸z 2 至_ l ja 的上岸z i 裂纹上： ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 石= 一p z 2 ( 3 2 6 ) 若从口的上岸毛起始回绕，当逆时针描过全部围线再回到z ，时，斤得到增量 一p z ：一【- 弘。) = p ( z ，一z ：) ， 得： 因x + i r = i p ( z ，一z 2 ) ，( 因z 顺时针回绕_ 周时，会有增量i ( x + i y ) ) ，可 p ( z 。一z ：) = 一i ( x + i y ) x + i r = i p ( z i 一z 2 ) ，x i y = 一咖( i 一乏) ( 3 2 7 ) 由于在无穷远处不受力，有b = 0 ，b 一i c = 0( 3 2 9 ) 彩赋2 幽g 2 f ， 厂+ 赫 础) 厂2 ( 1 + f 2 ) z 叫2 i i ( 1 + f 2 ) + 厂2 ( 1 + f 2 ) 2 叫2l 缈g ) f ( 1 一f 2 i 厂厂2 ( 1 + f z ) 2 4 f z + 厂z ( 1 + f ：) i 瓣，：掣击霉飘篙一 1 6 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形孑l 口问题的解析研究 因g 倍) 除有两个一级极点f = 1 外，在单位圆内 f ：吲 o ( o ) b l 1 b 2 1 2f 一12f + l = 4 p 历al f j l n o 吼3 一- f ( 一手hq a 3 + f ( o - 3 _ o - ) + f ( 1 n q a 3 一- 岛( + e 一2 7 啦等一手h2 + f ( c r 2 - 0 - 4 ) + f ( 1 n 。 2 - + e 唾孚d 1 + 磊h 蓦一掣( h ( 州) t c ) + 2 p 石z _ _ l ih 筹 + 譬水司n 1 雩、f 2 - - 1 再1 畦孕击 慨2 2 1 6 ， 对( 3 2 2 6 ) 式，两边关于f 求导，有： 洲+ 导由+ 鲁南 = 嚣阵h 髻+ 孑f 瓦丽- 0 4 + 舌h h 髻+ f ( 。- 。司- 4 + 丝r 幽! ：型= d 仃+ 丝 、f 2 ( 1 + c r 2 ) 2 - 4 c r 2 - - - t a 前 4 n i 也 o - ( o - 一4 - ) 2 4 n - i u t o r ( o r 一j 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形孔口问题的解析研究 阵h 善+ 吾茜南+ 舌h 詈珊薯+ 彤茜南 + 兰! 垒 垒二墨 + 堕 垩二垒 一旦( 三! 二垒) f ，二! 一、1 。2 z i ( 吼一f ) ( q f ) 。2 z f i ( q f ) ( 吒一f ) 2 历 l q f j + 丽t + l 析一一z 2 ) 三匝f 两1 毛孚而1 2 注意到伊：g ) 在f = 1 处连续，因此： 酉= 丽p + l p ( i 一乏) 学，夏= 一等p ( i 一乏) 牢 试( 彳) 一篆 _ 舌h 詈善+ 等瓦j 褊j 乒h 詈+ 厂- n 詈专+ 石j 褊 + 羞未e d 仃+ i p 石a l一f2(1 4 。 2 ) 2 - 4 0 2d 仃 + 筹 _ 乒h 詈专+ 手瓦考贾 丽+ 舌- n 旦o - lt 厂n 詈善+ 瓦褊 + 堕盟+ 堕巫二墨+ 2 1 三! 二型f ，l _ 、1 2 z i ( q f ) ( 吒一f ) 12 z i ( o - 4 一f ) ( 吒一f ) 2 x i l q f j 将( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 式，代入( 2 9 ) 式，得： 妒( f ) = 等pz i - - z 2 ) l n f + ( f ) 对( 3 2 2 9 ) 式，两边关于f 求导，得： 伊。( f ) = 等p ( z 。了1 + 玩( f ) 由( 3 2 2 8 ) 和( 3 2 3 0 ) 式，有： 2 l ( 3 2 2 8 ) ( 3 2 2 9 ) ( 3 2 3 0 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 蓼蛩伊(f)=等p(毛一z：)+羞碧2厂赫+n吼02-+e_,7f2(。l+、三02)2，-4cr2：d盯 + 羞暑 2 厂龋+ 厂h 兰 + e 3 三匝7 f - i 7d 盯 tp z 3 0 4 一1 3 f 3 lp z 2 。2 历( 0 4 - 1 ) ( o 3 - 1 ) 。2 z f i 当f 哼1 时，f 丽j ( 3 2 3 1 ) + 掣丝业一 将( 3 2 3 1 ) 和( 3 2 3 3 ) 式，代入( 2 1 4 ) 式，得： 掣越0 ) - 2 石离器 22 茅 ( 3 2 3 2 ) ( 3 2 3 3 ) 锗pz i - - z 2 ) + 豢 2 厂( c r 20 一- 2 1 ) - - ( 0 吼 4 一1 ) 十，儿。；0 i 2 + e 抄2 盯1 + ( 仃0 - 一2 ) 1 2 ) ：_ 4 仃2 d 仃 掣赫 广一 万掣 万卜 一”陪 扩? 1 1 0 肛 够 第三章部分边界受力情形下带裂纹的圆形子l 口问题的解析研究 + 2 茅 + 2 茅 p n 2 信焉叫厂h 租唑等2 4 旷d 盯 4 万i 一p z 3 墨二亟 2 疵( 吼一1 ) ( 吒- 1 )+ 2 云 丝当二至 2 a ：i ( q 一1 ) ( 吼一1 ) 铲叱一坐鹕乎巫 z：国(吼)：口f(11_,_22)47f霉2(11022)2-4022 z，：国(吒)二口f(1-1-32)-t_-7f李2(1-t-032)2 j - - 4 0 3 2 铲悱口f ( 1 + e r 4 1 2 ) + 、l f 2 擎( 1 + 6 4 2 ) 2 - 4 至e r 4 2 关于孔口问题的特殊情形及结果 当毛=，z3=z422z 4 ，o l = 0 2 ，吒= o - 4 时，l n 生= 2 历j 毛2 ，z 35 ，2 ，q 2 h 习，l _ 二22 乃l q l 洲i m 妒( f ) 2 嚣仙詈2 譬厂 由( 3 2 3 3 ) 和( 3 2 3 5 ) 式，有： 砧0 ) = 2 石 等 、 ，一 对。1 + ， 。厂+ 1 厂一1 ，k = 0 将( 3 2 2 ) 式，代入( 3 2 3 6 ) 式，得： + 2 茅蚓2 z i ( 去) l 佤一lj ( 3 2 3 4 ) ( 3 2 3 5 ) ( 3 2 3 6 ) ( 3 2 3 7 ) ( 3 2 3 8 ) ( 3 2 3 9 ) ( 3 2 4 0 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 kjco)：旦盟至颦硝)-02 l c o c n 此结果与前人给出的圆孔带对称双裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力p 的已有 结果完全一致 2 4 第四章总结 第四章总结 本文利用复变函数方法，通过构造保角映射( ( 3 1 1 ) ，( 3 2 1 ) ) ，利用柯 西积分理论，研究了圆孔带裂纹且孔边受到均匀压力而裂纹表面不受力的平面弹 性问题，得到了复应力函数的精确表达式，并给出了应力场的解析表示，求得在 裂纹尖端的应力强度因子的解析解该问题的有效解决方法是对 m u s t k h e l i s h v i l i 复势法作了进一步拓广，扩大了其应用范围，丰富了其内容 在极限情形下，还可以还原为圆孔带裂纹孔边及裂纹上均受到均匀压力的已有结 果，是对已有结果的推广同时部分边界受力的带裂纹的孔口问题更符合实际情 况，这在某些工程断裂问题中有潜在的应用价值 本文的方法还可以用到椭圆孔口带不对称裂纹等其他构型上，并且还可以用 到准晶，复合型等材料上 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 2 3 e 4 参考文献 m u s k h e l i s h v i l i ，n i s o m eb a s i c p r o b l e m so fm a t h e m a t i c a l t h e o r y o f e l a s t i c i t y g o r n i n g e n ：n o o r d h o f f ，1 9 5 3 徐芝纶弹性力学( 上册) 北京：高等教育出版社，1 9 8 5 ：1 1 8 1 6 0 郭俊宏，刘官厅带双裂纹的椭圆孔口问题的应力分析 j 力学学报，2 0 0 7 ， 3 9 ( 5 ) ：6 9 9 7 0 3 曾芸芸带裂纹的圆形孔口问题的复变函数解法 硕士论文 北京：北京理工大 学，2 0 0 6 ：7 - 9 e 5 t a d a h ，p a r i s p c ，- i r w i n g r ：t h e s t r e s s 。a n a l y s i s o fc r a c k s h a n d b o o k m h e l l e r t o w n ，p e n n s y l v a n i a ：d e lr e s e a r c hc o r p o r a t i o n ，1 9 7 3 e 6 范天佑断裂理论基础 m 北京：科学出版社，2 0 0 3 ：2 0 - 1 1 2 7 d a w e is h e n ，t i a n y o uf a n e x a c ts o l u t i o n so ft w os e m i - i n f i n t ec o l l i n e a rc r a c k s i nas t i p e n g i n e e r i n gf r a c t u r em e c h e m i c s2 0 0 3 ，7 0 ：8 1 3 8 2 2 8 郭怀民，刘官厅，皮建东带裂纹的椭圆孔口问题的应力分析 j 固体力学学 报，2 0 0 7 ，2 8 ( 3 ) ：。3 0 8 31 2 e 9 郭俊宏，刘官厅具有不对称共线裂纹的圆形孔口问题的应力分析 j 内蒙古师范 大学学报( 自然科学汉文版) ，2 0 0 7 ，3 6 ( 4 ) ：4 1 8 4 2 2 1 0 3g r i f f i t haa t h ep h e n o m e n ao fr u p t u r ea n df l o ws o li d s j p h il o s o p h i c a l t r a n s a c t i o n so ft h er o y a ls o c i e t yo fl o n d o n ，s e r e i sa ，1 9 2 1 ，2 2 1 ：1 6 3 1 9 8 1 1 刘官厅准晶弹性的复变方法与非线性方程的显示解 m 内蒙古：内蒙古人民出版 社，2 0 0 5 1 2 3 郭俊宏，刘官厅一维六方准晶中具有不对称共线裂纹的圆形孔口问题的解析解 j 应用数学学报，2 0 0 7 ，3 0 ( 6 ) 1 3 郭俊宏，刘官厅一维六方准晶中带双裂纹的椭圆孔口问题的解析解 j 应用数学和 力学2 0 0 8 ，2 9 ( 4 ) 1 4 丁棣华，王仁卉，杨文革，等准晶的弹性，塑性与为位错c j 物理学进展， 1 9 9 8 ，1 8 ：2 2 3 2 6 0 2 6 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 5 董闯。准晶材料c m 北京：国防工业出版社，1 9 9 8 ：5 81 7 5 1 6 王仁卉，胡承正，桂嘉年准晶物理学 m 北京：科学出版社，2 0 0 4 1 7 l i ug u a n t i n g ，g u or u i p i n g ，f a nt i a n y o u o nt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nd i s l o c a t i o n s a n dc r a c k si no n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a lq u a s i c r y s t a l s j c h i n e s e p h y s i c s ，2 0 0 3 ，2 ( 1 0 ) ：11 4 9 - 11 5 5 1 8 l i ug u a n t i n g ，f a nt i a n y o u ，g u or u i p i n g g o v e r n i n ge q u a t i o n sa n ds o l u t i o n so f p l a n ee l a s t i c i t yo fo n e d i m e n s i o n a lq u a s i c r y s t a l s j i n tjs o l i d sa n d s t r u c t u r e s ，2 0 0 4 ，4 1 ( 1 4 ) ：3 9 4 9 3 9 5 9 1 9 范天佑准晶数学弹性理论及应用