（运筹学与控制论专业论文）几类时滞微分系统的稳定、控制与滤波.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 在动力系统中，时滞总是不可避免的存在。另外，在实际工业过程 中，要遇到各种不确定性，诸如未建模动态、结构性的参数不确定性、 工作环境的变化、降阶及线性化近似以及外部干扰的不确定性等。在实 际应用中，往往要求控制系统具备稳定性且满足相应的性能指标，而影 响系统稳定的最主要因素包括时滞和不确定性。因此，对于不确定时滞 系统的鲁棒控制与滤波的研究成为必然。另一方面，作为时滞系统的一 个特例，中立型微分系统具有理论和实践的重要性，其稳定性研究受到 了国内外学者的广泛关注。 本文主要基于l y a p u n o v 稳定性理论和矩阵的相关理论，通过构造适 当的l y a p u n o v 函数，利用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法以及线性矩阵 不等式( l m i ) ，研究了不确定控制系统的鲁棒最优玩控制器设计、时滞系 统的日。滤波以及一类中立型微分方程的稳定性问题。主要的研究内容包 括： 1 针对几类参数不确定时变时滞线性系统，研究了鲁棒最优日。控制 器的分析与设计问题。首先利用积分不等式和引入自由权矩阵的方法， 得到了系统稳定及玑反馈控制器存在的充分条件；然后将其转化为线性 矩阵不等式( l m i ) 表示，通过线性矩阵不等式的可行解构造控制器，保证 了闭环系统渐近稳定且满足一定的日。干扰抑制水平，得到的稳定化条件 是依赖时滞大小且不要求时滞函数的导数信息，即适用于时滞快速变化 的系统。最后利用m a t l a b 工具箱给出算例，验证了该设计方法的优越性 和有效性。 2 讨论了两类具有外界干扰的时滞系统的以滤波器设计问题。利用 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，结合自由权矩阵思想，得到以线性矩阵 不等式表示的h 。滤波器设计方法，使得滤波误差动态系统稳定，且对外 界干扰具有给定的抑制度。并且获得了h 。滤波器存在的时滞相关的充分 条件。算例表明了该方法的可行性。 3 研究了一类含有多时变中立时滞和多离散时滞的中立型微分方程 的稳定性问题。利用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，得到的稳定化充 分条件是依赖于离散和中立时滞的。并举数例说明结果的有效性，推广 内蒙古师范大学硕士学位论文 了已有的研究成果。 关键词：鲁棒最优矾控制，h 。滤波，中立型微分方程，渐近稳定，时 滞依赖，线性矩阵不等式 塑蔓查堕薹奎兰堕主兰篁笙窭一 一一一 一 a b s t r a c t i nt h ed y n a m i c a ls y s t e m s ，d e l a y sa r ea l w a y se x i s t i na d d i t i o n ，a l m o s to f a l ls y s t e m sm a ys u f f e ru n c e r t a i n t i e sf o rt h ep r a c t i c a li n d u s t r i a lp r o c e s s ，s u c h a su n m o d e l e dd l m a 面c s ，s t r u c t u r e dp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ，c h a n g eo ft h e o p e r a t i n ge n v i r o n m e n t ，m o d e lr e d u c t i o na n dl i n e a r i z a t i o na p p r o x i m a t i o n sa n d e x t e m a ld i s t u r b a n c e su n c e r t a i n t i e s ，e t c i nt h ea p p l i c a t i o n ，c o n t r o ls y s t e m s s t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c ea r ea l w a y sr e q u i r e d ，b u tt h ep r i m a r yf a c t o r st h a t d o m i n a t es y s t e m ss t a b i l i t yi n c l u d ed e l a y sa n du n c e r t a i n t i e s t h e r e f o r e ，i ti s n e c e s s a r y t oc o n s i d e rt h ep r o b l e m so f r o b u s tc o n t r o la n df i l t e r i n gf o r u n c e r t a i ns y s t e m sw i t ht i m e d e l a y o nt h eo t h e rh a n d ，a sa l le x c e p t i o n a lc a s e o fd e l a ys y s t e m s ，n e u t r a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sa l es i g n i f i c a n tb o t hi nt h e o r y a n di np r a c t i c e ，t h er e s e a r c ho fs t a b i l i t ys e ts t o r eb ys c h o l a r so ft h ed o m e s t i c a n do v e r s e a s b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dm a t r i xt h e o r y , a n dt h r o u g h e s t a b l i s h i n gp r o p e rl y a p u n o vf u n c t i o n ，l y a p u n o v k r a s o v s k i i f u n c t i o n a l m e t h o da n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya r ea d o p t e di nt h i st h e s i s ，t h ed e s i g n i n g o fr o b u s to p t i m a l 日。c o n t r o l l e r sf o ru n c e r t a i ns y s t e m s ，h 。f i l t e r i n gf o rd e l a y s v s t e m sa n dt h es t a b i l i t yf o r ac l a s so fn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r e s t u d i e d t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 f o rs o m ec l a s s e so fu n c e r t a i nt i m e v a r y i n gl i n e a rs y s t e m s w i t h t i m e d e l a y , t h ea n a l y s i s a n dd e s i g no fr o b u s to p t i m a lh 。c o n t r o l l e r sa r e s t u d i e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fh 。f e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r e o b t a i n e db yu s i n gi n t e g r a li n e q u a l i t ya n df r e e w e i g h t i t g m a t r i xm e t h o d b a s e do nt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ，t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sc o u l db et r a n s f o r m e dt ol m i s t h eo p t i m a lc o n t r o l l e r sa r ee a s i l y c o n s t r u c t e db yt h ef e a s i b l es o l u t i o n s t h eo b t a i n e dc o n t r o l l e r sg u a r a n t e et h e r o b u s ts t a b i l i t ya n dh 。p e r f o r m a n c eo ft h er e s u l t i n gc l o s e d - l o o ps y s t e m s t h es t a b i l i z a t i o n c o n d i t i o n sd e p e n do ns i z eo fd e l a y sa n dr e q u i r e n o i n f o n n a t i o na b o u tt h ed e r i v a t eo ft i m ed e l a y s ，w h i c hc a nb eu s e dt od e a lw i t h 内蒙古师范大学硕士学位论文 t h e s y s t e m sw i t h f a s tt i m e v a r y i n gd e l a y f i n a l l y , s o m ee x a m p l e sa r e p r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n ds u p e r i o r i t yo ft h ed e s i g nm e t h o d b yu s i n gm a t l a bt o o lb o x 。2 t h ep r o b l e mo fh 。f i l t e r sd e s i g nf o rt w oc l a s s e so fd e l a ys y s t e m si s c o n c e r e di nt h i st h e s i s b a s e do nl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a lm e t h o d a n df o l l o w i n gt h ef r e e w e i g h i n gm a t r i xl i n e s ，t h e h 。f i l t e r sa r ep r e s e n t e di n t e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t h ed e s i g n e df i l t e r se n s u r et h a tt h e f i l t e r i n g e r r o rd y n a m i c sa r es t a b l ew i t hp r e s c r i b e dd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o n d e g r e e t h en e wd e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f h 。f i l t e r sa r ed e r i v e d t h ee x a m p l e ss h o wt h ef e a s i b i l i t yo ft h ea p p r o a c h 3 f o rac l a s so fn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc o n t a i nb o t hm u l t i p l e d i s c r e t ea n d n e u t r a ld e l a y s ，a n dt h en e u t r a ld e l a y sa r et i m ev a r y i n g ，t h e s t a b i l i t yi sc o 邓i d e r e d b a s e do nl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a lm e t h o d ，a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yi se s t a b l i s h e d t h ec o n d i t i o nn o t o n l yd e p e n d so nt h ed i s c r e t ed e l a y sb u ta l s oo nt h en e u t r a ld e l a y s a n d ，a n u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h er e s u l t ， a n ds o m er e s u l t sa r ee x t e n d e da n di m p r o v e d k e yw o r d s ：r o b u s to p t i m a lh 。c o n t r o l ，h 。f i l t e r i n g ，n e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , d e l a y d e p e n d e n t ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：拯尚煎 日期：2 0 l og4 月1 0 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：栩j | p 吟导师签名：名勾锵1 日期：2 0 10 年4 月1 0 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 不确定系统的鲁棒风控制研究概况 在假定干扰属予某一已知信号集下，z a m e s ( 1 9 8 1 ) 提出用其相应灵敏度日范数 作为指标，在最坏干扰下使系统的误差达到极小，从而将干扰问题转化为设计状态反 馈控制器，求解使闭环系统稳定，并使相应的以范数指标极小化韵问题，如果使系 统干扰至误差的传递函数的巩范数最小，则干扰对系统误差的影响将会降低到最低 程度。本质上，以控制也可认为是鲁棒控制的一个分支，最初的露控制问题只考虑 系统干扰的不确定性，后来发展的鲁棒以控制理论同时考虑系统干扰不确定性和参 数不确定性的影响。 经过十多年的研究，z a m e s 提出的以传递函数矩阵的日。范数为优化指标的设计思 想逐步形成了系统的日。控制理论。1 9 8 8 年，d o y l e 等人发表的d g k f 论文n 3 证明了可通 过求解两个适当的代数r i c c a t i 矩阵方程得到以设计问题的解，这标志着以控制理 论的成熟。进一步，有界实引理的引进为日。控制的研究提供了新的工具，可以更加 简洁有效地证明d g k f 论文的主要结论口1 。到了九十年代，随着线性矩阵不等式方法的 兴起口1 ，出现了以控制问题的线性矩阵不等式处理方法h 删，它给出了以控制问题所 有解的一个参数化表示，这一表示方法可用来设计同时具有给定的以性能和其他性 能要求的多目标控制器1 。 在系统模型中，存在各种参数摄动或参数不确定性，因此，对不确定系统的鲁棒 以控制问题的研究是十分重要的。不确定系统的鲁棒以控制问题是研究使得对所有 允许的参数不确定性，闭环系统都具有期望的玑性能问题。这一问题在h 控制理论 诞生初期就已经受到关注。d o y l e 利用结构奇异值和日控制技术，提出了分析和综 合方法。x i e 嘲和他的研究小组最早提出了基于r i c c a t i 方程处理方法的鲁棒以控制 器设计方法，主要利用有界实引理研究了具有范数有界时变参数不确定性系统的鲁棒 以控制问题。s h i e t a l n 越则通过将参数不确定性转化成一个附加的外部扰动，证明了 不确定系统鲁棒以状态反馈控制律的设计问题，而后者可以应用已用的h 。控制方法 求解，从而得到原问题的解。这一思想进一步在不确定系统鲁棒。输出反馈控制问 题的研究中得到了体现。z h o u 1 采用线性矩阵不等式方法，通过将鲁棒以分析和鲁 棒胃。状态反馈综合闷题转化为一个凸规划阃题，研究了不确定系统鲁棒日。性能分析 和综合问题，提出了不确定系统鲁棒以控制问题的新解法。p a r ka n dk a i l a t h 羽基 于线性矩阵不等式，进一步研究了鲁棒日。控制问题，提出了具有更少决策变量用线 内蒙古师范大学硕士学位论文 性矩阵不等式系统描述的鲁棒以控制器的参数化表示。 目前，线性系统的日。控制理论已经基本成熟，在m a t l a b 中已开发出的各种以控 制的工具箱极大地方便了控制系统的分析和设计。近几十年来，不确定系统的鲁棒性 能分析成为自动控制界最活跃的研究领域之一，并取得了许多有价值的研究成果 1 3 - 1 7 o 文献 1 3 1 采用r i c c a t i 方程和不等式方法，研究了以反馈控制器的分析与设计。 但求解r i c c a t i 不等式或r i c c a t i 方程时需预先调整大量的参数和正定矩阵，而使用 l m i 方法可以弥补上述不足。目前，关于不确定时滞系统的研究，已取得了很多有意 义的结论n 8 。2 耵。文献 2 5 讨论了一类含有不确定参数的多时滞线性系统的鲁棒h 。控 制问题，分别给出了全维鲁棒矾动态输出反馈控制器和静态状态反馈控制器的设计。 文献 2 6 研究了一类不确定时变时滞系统的鲁棒非脆弱日。控制，给出了具有日。干扰 抑制的非脆弱控制器的设计方法，此方法不要求时滞函数的导数信息，因此快时滞也 适用。 时滞不确定系统的鲁棒最优控制，近几十年来一直是国内外广大学者关注的热点， 同时也是控制领域的一个难点。近几年，随着求解凸优化问题的提出，l m i 方法以其 求解的高效性引起了控制界的关注，成为最优以反馈控制器设计的重要方法旧哪! 。 文献 2 7 讨论了一类线性不确定系统的最优保性能控制，文献 3 0 研究了一类不确定 系统的鲁棒稳定性及其以最优控制，这些结果都基于l m i 处理方法。 1 2 时滞系统的玩滤波概述 滤波是控制理论研究的一个重要分支，它是从带有观测噪声输出信号中恢复状态 信号的一种重要的数据处理方法。四十年代，美国学者维纳( n w i e n e r ) 等人提出 y w i e n e r 滤波b ，通过做功率谱分析设计滤波器，但仅适用于一维平稳随机过程信号 滤波。六十年代以后，卡尔曼( k e k a l m a n ) 提出了卡尔曼滤波理论，它是通过算法 从被提取信号有关的测量中估计出所需信号的一种滤波算法眦1 。 鲁棒滤波问题是针对系统结构和参数及噪声模型含有不确定性时采用的系统状 态估计，可以认为是对传统k a l m a n 滤波到不确定系统的扩展。最近几年，鲁棒状态估 计问题被广泛研究d 3 圳。在文 3 3 - 3 4 中，用固定的二次l y a p u n o v 函数建立关于状态 估计误差方差的上界，这促使产生了二次保成本状态估计概念。近年来，针对模型参 数不确定系统，出现了一种自适应k a l m a n 滤波算法，它对模型参数不确定系统具有一 定的鲁棒性。后来，传统k a l m a n 滤波扩展到了系统的鲁棒k a l m a n 滤波。 1 9 8 9 年引入了h 。滤波，针对滤波系统存在的模型不确定性和外界干扰不确定性， 将以范数引入到滤波问题中，构建一个滤波器使得从干扰输入到滤波误差输出的h 。 2 第一章绪论 范数最小化。求解玑滤波的方法多种多样，到了九十年代，随着求解凸优化问题的 内点法的提出，m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题的l m i i 具箱，使得线性矩阵 不等式的求解更加方便有效。 当参数不确定出现在系统模型中时，鲁棒以滤波问题得到了广泛研究渺3 7 1 。鲁 棒巩滤波问题是指设计一个滤波器，使得对于所有的不确定性，系统的噪声信号到 估计误差的，一增益范数在给定的范围内。许多学者将鲁棒以控制的思想引入到滤 波器的设计闯题上，探讨了不确定系统的鲁棒敝滤波啪。文献 3 6 用r i c c a t i 方程 方法研究了带范数有界不确定系统的以滤波，文献 4 0 基于代数r i c c a t i 不等式方法 给出了鲁棒巩滤波器存在的充分条件。1 9 9 5 年，x i e 和d es o u z a ( 明对范数有界不确 定连续系统考虑了鲁棒以滤波方法，并且由两个r i c c a t i 方程得到了可解性的充分条 件。1 9 9 7 年，l ih u a i z h o n g h u 等人用凸优化方法讨论了离散和连续不确定系统的鲁棒 滤波。 以上所研究的日，滤波问题都没有考虑到系统的时滞，页在实际应用中很多的动 力系统都含有时滞，而且在实际的设计中必须考虑时滞。近年来对时滞系统的以滤 波问题进行了广泛研究删。文献 4 7 、 4 8 分别给出了时滞不确定系统的时滞依赖 和时滞独立的鲁棒以滤波器存在的充分条件。文献 4 9 利用l m i 方法，讨论了一类不 确定时滞系统的鲁棒。保性能滤波问题，并给出了不确定时滞系统鲁棒日。保性能滤 波的定义，将最优h 。保性能滤波器的设计表示为具有l m i s 约束的凸优化问题。 l3 中立型微分方程的稳定性理论概况 稳定性分析在系统科学中是一个重要的问题。线性系统的稳定性已经得到了解 决，获得了许多著名的判据m 。中立时滞系统中，时滞不仅存在于系统的状态而且 存在于状态的导数。在实际应用中，中立型泛函微分方程可作为描述电流和电压波动 等实际物理过程的自然模型，而且中立型系统也常出现在自动控制、入口动态中。而 中立型系统性态更加复杂，系统中的差分算子较难处理，致使一般时滞系统的大多结 果不能简单推广到中立系统，因此研究中立型系统的控制问题有着重要的理论价值和 实际意义。近年来，很多学者探究了中立型系统的稳定性和控制器的设计问题啼8 啦。 许多作者利用l y a p u n o v 方法，特征方程及状态方程解等各种分析技术，获得了中立 系统渐近稳定的稳定性判据肺 。文献 6 8 针对一类线性中立型时滞系统，解决了h 。 和正实控制问题，给出了控制器的设计方案。文献 6 9 研究了时滞独立线性不确定中 立时滞系统的鲁棒h 。控制问题，得出了可解性的充分条件。文献 7 0 通过构造无记 忆状态反馈控制器，讨论了类线性扰动中立型不确定系统的。问题，给出使闭坏 内蒙古师范大学硕士学位论文 系统具有一定的鲁棒性和日。性能的充分条件。文献 7 1 考虑了一类参数不确定中立 时滞系统的时滞依赖鲁棒日。控制问题，基于l m i 技术给出了无记忆鲁棒h 。控制问题 存在充分条件及其设计方案。 目前，关于中立型系统的研究已经获得了一些好的结果，但仍有很多问题有待进 一步解决，随着国内外众多学者的共同努力，中立型系统的稳定性理论将日趋完善。 1 4 论文结构 本论文的研究主题是几类不确定时滞系统的鲁棒最优玑控制和两类时滞微分系 统的日。滤波以及一类中立型微分方程的稳定性问题。利用积分不等式和引入自由权 矩阵的方法，给出了不确定时滞系统具有日。性能的l m i 条件，并通过受条件约束的 线性矩阵不等式的描述，给出了系统存在厂一最优状态反馈h 。控制律的设计方法。基 于矩阵不等式方法，结合自由权矩阵思想，针对两类不同的时滞微分系统设计了日。滤 波器，使得滤波误差系统是渐近稳定的，且其传递函数的h 。范数小于某一给定的正 数y 。最后，利用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，通过构造适当的l y a p u n o v 函数， 给出了一类含有多时变中立时滞和多离散时滞的中立型微分方程的稳定性判据，且同 时依赖于离散和中立时滞。 全文共分五章。第_ 章作为全文的引言和概要，简单地介绍了不确定时滞系统的 鲁棒h 。控制，日。滤波以及中立型系统稳定性理论的发展现状。第二章将分别讨论几 类不确定时滞系统的鲁棒h 。控制器的分析与设计问题。第三章将针对两类不同的时 滞微分系统讨论其日。滤波问题。第四章将介绍一类中立型时滞微分方程的稳定性问 题。在第五章中将给出全文的总结以及展望。 本文需要的引理和常用符号： 引理1 旧1 对任意常数矩阵 0 和常数仃 0 ，向量函数m ) ：【o ，仃卜 r ”可积， 则有下面的不等式成立： j 二，工g 灿 r ，二盯x g 灿 仃，二，x 7 g 肌g 炳 引理2 口2 1 ( s c h u r 补引理) 对给定的对称矩阵s = l s s 五t t霎曼 ，其中氏尺“r ， 以下三个条件等价： f 1 、譬 0 4 第一章绪论 ( 2 ) s i l o ；s 2 2 一晶1 s 1 2 0 ： ( 3 ) s 2 2 o ；s i i - s 1 2 s 2 - 2 i ) l t 2 0 ，使得f p 爹s ! p z 蔓0 ，使得l r l o 伍 七一d 。g ) ) + p 。+ ：k ( f ) + ( b 。+ a b ，- o d ：o ”+ d o 缈o ) z ( f ) = c m ) + 口“o ) + d 缈o ) ( 2 1 ) j ，o ) = c i m ) + d 国o ) 托) = 巩lt - m a x ( d ，d ：) o 】 其中，x ( f ) r ”是系统的状态向量；“o ) r 是控制输入向量；缈o ) r 为干扰输入， 且o ) ：【0 ，佃) ；z o ) r - 为控制输出向量；j ，( f ) r 为测量输出向量；时滞 d i ( f ) o = l ，2 ) 是任意的有界函数，且满足0 0 ，r o ，m 0 以及矩阵k 和常 数y 0 ，使得下面的矩阵不等式成立 o ( 2 6 ) 其中，l = - f i r p + 尸! 万一q 尺，2 = d f ! q + d ；r 一2 m 那么存在状态反馈控制器式( 2 4 ) ，使得系统是渐近稳定的。且满足。性能指标，即 k ， 台。q o 0 y 功 嘣o o 矿叫 c ，j i 、 砜o o慨叫幸 m m m：。 。 r f r v _ |n矾矾m拳毒 足 耻。姐宰簟事 q + 介) ) 。 簟 拳 事 啊一 m 1 毫 毒 掌 簟 。 内蒙古师范大学硕士学位论文 i i z i l ： r l l - i i ： 证明先来讨论系统( 2 5 ) 的镇定问题。 构造如下l y a p u n o v 泛函 y b ，t ) - - g ，f ) + 以g ，f ) + 以k f ) ( 2 7 ) 其中 k g ，r ) = x t o 胁o ) = d 。l t g f + d 。砖r g 肪g 巧b ，f ) = d ：j 二以g _ f + d ：弦r g ) 戤g ) 如 y g ，f ) 沿闭环系统( 2 5 ) 的任意轨线，它对时间的导数 v ( x ，f ) i ( ：5 ) = 吃k f ) + 吃g ，f ) + 吃g ，f ) ( 2 8 ) 吃g ，f k ，= 文r ( f 胁( f ) + 工r ( f 廊o ) = x t o ) 孑7 a o ) + 工r ( f 弘巧k o ) + x 7 o d 。o ) 甄r e x ( o + x r ( f ) 尸互x o d 。o ) ) + x 7 o d ：( f ) ) 瓦r 尸吨) x r o 弘匾z o d ：o ) ) + 缈r o ) d j a o ) + x r o t o 。缈o ) ( 2 9 ) f l 了o 0 ，易知下面等式成立 第二章几类不确定时滞系统的鲁棒最优瓯控制 则 o = j 7 ( f ) 彳g k ( f ) + 互x o d 。o ) ) + 瓦工o d ：o ) ) + d o 国( f ) 一j ( f ) ) + g k o ) + 五x 一d ，o ) ) + 骂工o d ：( f ) ) + d 。彩( f ) 一童妒拟支o ) r ( x ，f ) f 。：5 ) = 攻g ，f ) i 。：渤+ 吃b ，t l 。：国+ 吃g ，f ) f 。：却+ o x r o 炻f p + p 2 一q 一只k ( f ) + ，o ) c 匾+ q b o d 。o ) ) + 工7 ( f d 。o ”0 ，再+ q ) r 谁) + 工7 o ) ( 尸_ 瓦+ r b ( f d ：o ) ) + 工r o d ：o ) 瓶+ r 厂m ) 一工7 ( f d 。o 艟吨一d ( f ) ) 一 ，一d ：o ) 贼一d ：鳓+ 童r t + d ；r 一2 m ) + x t o ) 万r 戤o ) + i7 ( f 弘囟牙l o ) + x r o d 。o ) ) 瓦7 辑( f ) + j r o 瘟托一d 。( f ”+ x r ( f d ：o ”瓦r 玉币) + j r o ) a 佤m d ：o ) ) + 功r ( t ) d r m k ( t ) + f ( f ) 程) o 缈o ) + 国7 ( f 征坛a ( f ) + 石1 ( f 弘砂。缈o ) 令 f o ) = g7 ( f ) 石r o d 。( f 姨工7 ( f d ：( f ) ) j c r o 炉 则当缈o ) = 0 时 矿g，rx仁，善7。书彳r尸+一q一尺fiq矗；q嚣amm一2m1f。， ，。l 、 鼠。i 矗；q + d ；r j 再结合定理条件式( 2 。6 ) 成立时，v ( x ，f ) l ：渤 o ，q l 0 ，r 。 0 以及矩阵 y 和常数p 0 ，使得下面的线性矩阵不等式成立 其中 3a l x + q lb i y + t t i4d on ，p hn 6 卑 一q l 0 x a ：0 0 0 x e ； 奄 二k y tb j0 0 0 。y r e ： 宰幸宰 70p h 0 宰 一矽d r 00 毒章奎幸 一万 qo 掌宰宰 奉事幸 一p l t 0 一p l 0( 2 2 1 ) 3 = 0 。x + b o y ) r + 0 0 x + b o y ) 一蜴一r 。，n 4 = 0 。x + b o y ) 7 ， 5 = 妞+ 曰】，) r ，6 = 佤x + e 2 y ) r ，7 = d ? s 2q l + d ；s 2 r 。一2 崩 那么存在状态反馈控制器式( 2 4 ) ，使得闭环系统式( 2 ，5 ) 渐近稳定，且满足。性 能指标，矛马犀馈增益矩阵为k = y x 叫 证明若令 a = qp a l + qp b , k + r0 0 + b o k ) r m p d o( c + 脒) 7 毒 一q 0 a ? m 0 0 幸 一rk tb 1 m 00 宰 毒 宰 n 2m d o 0 宰幸宰幸 一r l d r 母幸事 一万 = k r p 00h7 m0 o r 内蒙古师范大学硕士学位论文 a 2 = 眩+ 如ke 3e 4 k 00 0 】 其中 q = 0 0 + 玩k ) r p + p ( 爿o + b o k ) 一o r ，n 2 = d ? q + d ；r 一2 m 则式( 2 6 ) 可表达为 a + a l f o ) 八：+ 鸠f r ( 0 a ： 0 ，使得 p b l k + r + b o k ) 7 m 0 笨m r k b r , m 2 幸 宰 ( c + 脒) rp p h 00 o0 0 p m h d r0 r 0 毒 一p l 宰 佤+ 易k ) 7 e ； k r 日 o 0 o o 一o l g v j ( 2 2 3 ) 式两端分别左乘和右乘矩阵击昭 p 一1 p 一1p 一1m 一1 j ，j 并记 x = p ，y = k p ，q l = p q p 一，r i = p - 1 r p ，m 一= e a t , - 1 0 r i 0 p 0 其中 3 = ( 彳o x + b o y ) r + ( 彳o x + b o y ) 一q l r i ，4 = ( a o x + b o y ) r ， n 5 = ( ：x + b y ) r ，n 6 = ( l x + e 2 y ) r ，n 7 = 矗；占2 q l + 叠；9 2 r i 一2 e x 的最优解得到系统( 2 1 ) 的最优日。控制器。 2 2 3 算例 考虑下面的时滞系统 j ( f ) = g 4 0 + 如) j 以) + ( 爿。+ a a 。b o d 。( f ) ) + ( 8 0 + 战- o ) + 佃。+ 口k o d ：o ) ) + d o c o ( t ) z ( f ) = q 矗) + 口w ( f ) + d 国o ) j ，( f ) = g x o ) + d 。缈o ) 工o ) = 妒o ) ，t - m a x ( d ；，d ：) 0 1 其中，滞后时间d i ( 0 - - 2 + 0 i s i n t ，d 2 0 ) = 3 + o i c o s t ，则d i = 2 1 ，d 2 = 3 1 ，取占= 1 ， 厶= o 与风稍仁 c ：? 。跏。= 阱龇= 附巾瑚