（应用数学专业论文）不确定性中立型系统的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 中立型泛函微分方程同时具有常微分方程和泛函微分方程的某些特征，而中 立型时滞系统稳定性的判定也是一个比较复杂且困难的问题。本文研究中立型时 滞系统的渐近稳定性问题，主要探讨具有混合时滞和不确定时滞的中立型系统的 鲁棒稳定性条件和带有混合时滞和非线性扰动的不确定性中立型系统的鲁棒稳定 性，将已有的研究成果给予了完善和改进。具体包括以下三个方面的内容： 1 ，研究了具有混合时滞的不确定中立型系统的稳定性问题。通过构造适当 l y a p u n o v 泛函，结合不等式分析的技巧，得到了具有混合时滞的中立型系统渐 近稳定的线性矩阵不等式条件。 2 研究了带不确定时滞的中立型系统的鲁棒稳定性问题。结合l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函和l m i 方法，得到了不确定时滞线性中立型系统的全局一致 渐近稳定的充分条件，这些稳定判据都表示为线性矩阵不等式( l m o 形式，易 于验证。 3 研究了具有非线性扰动的中立型系统鲁棒稳定的时滞相关准则。基于l m i 方 法，获得了依赖于时滞的鲁棒稳定性准则，所得结果优于已有结论。最后给出 实例说明方法的有效性。 关键词：中立型系统；混合时滞；非线性扰动；渐近稳定性；线性矩阵不等式 a b s t r a c t n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n d e s ) h a v et h ep r o p e r t i e st h a ta r es i m i l a ri ns o m e a s p e c tt ot h ep r o p e r t i e so f d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di nt h eo t h e ra s p e c t sa r es i m i l a rt ot h e p r o p e r t i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i t sac o m p l i c a t e da n dd i f f i c u l tp r o b l e mt h a t r e s e a r c ho nt h er o b u s ts t a b i l i t y 嘶t e r i af o rn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a y i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fs t a b i l i t yf o rn e u t r a ls y s t e m s 谢t l lt i m e d e l a yi ss m d i e d t h em a i n p u r p o s ei st od i s c u s st h er o b u s ts t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rt h en e u t r a ls y s t e m sw i t hm i x e d t i m e d e l a ya n du n c e r t a i nt i m e d e l a y ，a n dt h er o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i af o ru n c e r t a i n n e u t r a ls y s t e m sw i t hm i x e dd e l a y sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n s s o m er e s u l t so b t a i n e d a r ei m p r o v e da n d p e r f e c t e d t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 r e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo ft h es t a b i l i t yf o ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t l lm i x e d t i m e - d e l a y b yc o n s t r u i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n a la n dc o m b i n i n gt h e t e c h n i q u eo fa n a l y z i n gi n e q u a l i t y , t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) c o n d i t i o n s f o rt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f s u c hs y s t e m sa l eo b t a i n e d 2 r e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo ft h er o b u s ts t a b i l i t yf o rn e u t r a ls y s t e m sw i l l lu n c e r t a i l l t i m e - d e l a y b yc o m b i n i n gt h el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a la n dl m i sm e t h o d ， t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no f t h ee g o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rt h es y s t e m si sd e r i v e d 耽es t a b i l i t yc r i t e r i aa r ef o r m u l a t e da sl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) w h i c hc a l l b ee a s i l yv a l i d a t e d 3 r e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo ft h ed e l a y - i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yf o rt h en e u t r a ls y s t e m s w i t hm i x e dd e l a y sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n s b yc o m b i n i n gl m i sm e t h o d ，t h e d e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i ai so b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e sa l eg i v e n t oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so f t h ep r o p o s e dm e t h o d k e yw o r d s ：n e u t r a ls y s t e m s ：m i x e dt i m e - d e l a y ；n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n s ： a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y 记号说明 记号说明 为了表述方便，现将本文所用到的记号叙述如下： 0 40 r ( c ) r ”( c ”) r ( c ) j 表示矩阵彳的转置 表示矩阵爿的谱范数( 1 1 a i i = 0 e 乏丽) 表示实数( 复数) 表示厅维实数集( 玎维复数集) 表示n x m 维实矩阵( 甩m 维复矩阵) 表示单位矩阵 i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：责移日期：a 7 年r 月，j 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：境l 如 导师签名：垒隆丝 日期：a a 呵年f 月，7 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 稳定性概念的出现，有着悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过托里斯利 ( t o r r i c e l l i ) 原理，即物体仅受重力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反之 是不稳定的。而当时在动力学方面，对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未 建立。 稳定性的概念曾被拉普拉斯( l a p l a c e ) 、拉格朗日( l a g r a n g e ) 、马克斯威尔 ( m a x w e l l ) 、汤姆逊和德特( t h o m s o na n dt a i 0 、庞加莱( p o i n c a r e ) 等人采用过，但都 没有精确的数学定义。达朗倍尔( d a l a m b e r t ) 、拉格朗日、马克斯威尔、魏施涅格 特斯基、茹可夫斯基及斯图多( c t o d o l a ) 等采用过一次近似方法研究稳定性，但也没 有从数学上严格证明其合理性。直到1 8 9 2 年俄国数学力学家李雅普诺夫院士在他 著名的博士论文“运动稳定性的一般性问题”中，将p e a n o 。b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性这一概念，由自变量( 时间) 在 有限区间上变化拓宽到无穷区间上，从而给出了运动稳定性严格、精确的数学定 义，一举奠定了稳定性理论的基础。 李雅普诺夫首创的运动稳定性理论受到了各国学者的高度重视，苏联控制论 专家列托夫、数学家马尔金先后在他们的专著序言中说到：“无论现代控制以何 种方法描述，总是建立在李雅普诺夫运动稳定性的牢固基础上”，美国数学家 l a s a l l e 也说过：“稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意，李雅普诺夫直接法得 到了工程师们的广泛赞赏，稳定性理论在美国正迅速变成训练控制论方面的工程 师们的一个标准部分”。 稳定性本身有着重要的意义，小到一个具体的控制系统，大到一个社会、金 融系统、生态系统，在各种偶然的或持续的干扰下运动的，承受这种干扰之后， 能否保持预定的运行或工作状态，而不至于失控，摇摆不定，有至关重要的意义。 特别是近十余年来，人工神经网络的理论和应用的研究，形成了世晃性的热潮， 其中稳定性扮演着重要的角色，利用动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成 某些智能优化计算、联想记忆、学习算法。从而，对稳定性理论感兴趣的已远远 不止数学、力学、自动控制专业的学者。 电子科技大学硕士学位论文 在自然科学和工程技术的研究中，许多现象都用微分方程作为他们的数学模 型，这些问题实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而和过去的 历史无关，也就是说它描述的量x 在时刻t 的变化率是仅仅依赖于t * n x 本身，而不 依赖于工在时刻t 以前的值。但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖 于当时的状态，还依赖于过去的状态，在这种情况下，微分方程就不能精确的描 述客观事物了，代之而起的是微分差分方程和微分积分方程，特别是带时间滞后 的微分方程，泛函微分方程就是这些方程的总称和概括。 但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖 于过去的状态，在这种情况下，微分方程就不能很精确的描述客观事物了，代之 而起的微分差分方程特别是带时间滞后的微分差分方程。我们都很清楚，动力系 统总是存在滞后现象的，即使是质点间力的传递或者以光速传递的信息也是如此， 在自动控制的装置中，从输入信号到收到反馈信号，也必然相差一段时间，因此， 用传统的微分方程去描述系统的状态只是一种近似，而我们要的是必须符合精度 才行，否则将导致错误。 时滞微分方程具有广泛的应用领域，例如力学、物理学、生物数学、经济数 学、自动控制、通讯理论等等，都涉及到微分差分方程和微分积分方程。泛函微 分方程就是这些方程的总称和概括，因此对泛函微分方程的研究，不但有重要的 理论价值，而且有实用价值。而方程的稳定性研究更是大家注目的焦点。 自1 9 5 9 年以来，无论是般的泛函微分方程或者是较具体的微分差分方程， 其发展是非常迅速的，在解的基本理论、稳定性理论、振动理论、解算子理论、 分支理论等许多方面都出现了重要成果，7 0 年代以来，每年都有数以百计论文问 世，专著也陆续出现，其中j k ，h a l e 在1 9 7 7 年出版的专著( t h e o r yo f f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，就是当时对有界滞量的泛函微分方程的研究的最新总结。 自1 9 7 7 年以来无界滞量和无穷延滞的泛函微分方程也跟着兴起，它们与有界滞量 的泛函微分方程形成三大方向，发展非常迅速。 1 2 中立型系统稳定性的研究现状 微分方程系统的理论逐步建立与完善，时滞系统的研究和发展，与线性系统 的研究一样，开始分为时域方法和频域方法两大类。而对任何一个系统而言，稳 定性都作为首要问题，被研究者广泛的关注。而对于时滞系统的研究，其稳定性 分析一直是一个难点。 2 第一章绪论 中立型时滞微分系统理论，既是理论研究，也是实践研究。例如，中立型微 分方程式就是输电线路中出现的电压电流变动问题的天然模型。在s a l a m o n 1 】文中， 从一个无损电路的电流电压变动中得到一个四维线性中立型系统。同时，中立型 系统经常出现在自动控制，人口动力学等等的研究当中。在学术界，很多研究者 运用了各种分析技术，得到了中立型系统的各种稳定标准2 - 2 3 1 ，并且中立型系统 的稳定性问题也得到了一些研究者的探索【9 t 蝇1 7 , 2 4 - s 1 i 。 近几十年里，研究者们从频域和时域两个方面对中立型时滞系统的稳定性进 行了大量的工作，并且取得了可喜的成果。一些学者已经对带有时滞的中立型系 统的稳定性进行了深入的研究 2 - 7 , 地“1 。同时，该问题也扩展到了带扰动的中立型系 统阳】。从以往的文献中看，李雅谱诺夫方法、特征方程法和状态方法等被用于寻 找此类系统的渐近稳定性准则 - 1 4 1 。文献【9 ，l o 】给出了在频域内判断中立型时滞系 统稳定性的方法。频域方法得到的稳定性结论对于稍复杂的系统难于应用。时滞 系统的时域分析，因其克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不足，目前越 来越成为时滞系统尤其是不确定系统( 包括系统矩阵的参数不确定性以及时滞本 身的不确定性) 稳定性分析以及控制器综合的主要方法，近年有关不确定时滞系 统稳定性的结论许多都是通过用时域的分析方法 1 4 , x x - 1 4 1 得到的。 从已有的文献 i s 4 8 来看，l m i 方法已成为研究中立型时滞系统的渐近稳定 性的主要方法。通过构造一个恰当的l y a p u n o v k r a s o v s k i i v 泛函，结合不等式分析 技巧，对矿沿系统的导数矿进行放大处理，获得系统的时滞相关稳定的基于l m i 的充分条件。由于针对不同的系统在构造l y a p u n o v 函数上缺乏一定的准确性以及 利用不同的变换技巧，这在一定程度使得到的结果产生了一系列的保守性。目前 研究者们对各种中立型系统都进行了深入的研究。如文献 1 5 1 6 ，1 8 1 5 对离散时滞和 中立型时滞相同的系统作了相关的研究，其中文献【1 6 】将中立型系统中的导数项作 为算子，构造恰当的y 函数，在求导过程中，巧妙地添项减项，计算得到了判断 稳定性的r i e a t t i 方程。在文献 1 s l 中，作者不对原系统作任何处理直接构造v 函数 得到了与时滞无关的判定标准，对系统中的离散时滞项通过变换得到了含分布时 滞的项，并构造y 函数，通过适当放缩，得到了时滞相关的稳定性标准。j uh p a r k 在文献【2 2 】中，通过引入一个自由矩阵得到一个新的算子，通过利用已有文献 4 9 ，s o l 中的不等式，得到了判定稳定性的时滞相关的线性矩阵不等式，大大地提高了一 些相关文献 3 4 ，3 6 ，3 7 1 q a 提到的时滞界限。在文献 1 8 q a ，韩青龙对于离散时滞项的 不确定的系数矩阵通过拆分，取适当的v 函数，求导计算，得到了判定系统渐近稳 定性与时滞相关的线性矩阵不等式，通过计算，他提高了文献 i s ，1 6 】中所提到的系 3 电子科技大学硕士学位论文 统的时滞上限，从而降低了系统的保守性。文献 2 4 ，2 5 分别对混合中立型时滞系统 作了研究，所不同的是：文献 2 4 】中，作者并不对己构造y 泛函的导数进行放缩，而 是采用将“添零与加零”和牛顿一莱布尼兹公式巧妙的结合，得到判定系统稳定的 时滞相关标准。而在文献 2 5 1 中，韩青龙却利用离散l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函的方 法，并利用s c h u r 补原理，得到了判定稳定性的l m i ，从已知的实验结果，可以知 道文献【2 4 】中方法在处理同一问题时，要比文献【2 5 】中的方法略胜一筹，也是迄今 为止同类时滞系统中离散时滞上限最大的结果；对于多时滞中立型系统，文献 【8 ，3 4 ，3 5 ，3 7 分别对此作过研究，文献【8 】利用李雅普诺夫第二方法并结合m o o n 5 1 1 中 的不等式得到了判断系统渐近稳定的时滞相关的线性矩阵不等式。文献f 3 4 】对该多 时滞中立型系统进行系统变换重新构造算子，构造l y a p u n o v 函数，计算得到了判 定稳定性的r i c a t t i 方程，文献【3 5 】对该系统并没做任何系统变换直接构造 l y a p u n o v 函数，通过加一项减项，计算得到了判定稳定性的r i c a t t i 方程，较文 献【8 】中的定理具有更小的保守性，而文献【3 4 】所给结论无法应用于此文中的数值示 例。文献【3 7 】针对此类系统提出了一种新的方法，将原系统转化为等价的广义系统 后再构造l y a p u n o v v 泛函，不对导数矿进行放大处理，而是在矿中恰当的添加一 些0 项，配成l m i 的时滞相关稳定性条件。实例表明所获得的条件扩大了系统稳 定的时滞界限，降低了对时滞的保守性；学者们还对时滞时变的中立型系统作了 深入的研究，他们在处理时变时滞的时候，对时变时滞的导数作了一定的限制， 根据系统构造l y a p u n o v 函数，不同的方法对应于不同不等式的应用，得到的结论的 保守性也不尽相同脚硎；无独有偶，对于带非线性扰动中立型系统，学者们在处理 扰动项时，往往采用将非线性项线性化，利用不同的不等式得到不同的判定系统 稳定性的标准1 2 “1 。 由于时滞无关稳定性的充分条件对系数矩阵的要求很严格，有很强的保守性， 因此已有文献对时滞无关稳定性的研究相对较少一些，而研究时滞相关稳定性的 相对较多。目前讨论中立型时滞系统的渐近稳定性主要运用的是l y a p u n o v 方法。 但是针对不同的系统，构造l y a p u n o v 函数没有固定的标准和方法，都是在构造之 初进行试凑的，并且在对其导数进行处理的过程中，大多数文献采用的不等式处 理技巧都很单一，这是造成结论具有较强的保守性。因此，对l y a p u n o v 函数导数 进行放大处理的方式也需要进一步的研究，从而降低时滞相关稳定性结论的保守 性。 4 第一章绪论 1 3 本文的主要内容 本文主要讨论混合时滞以及不确定时滞的中立型系统和带有混合时滞与非线 性扰动的中立型系统，基于l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函，采用线性矩阵不等式( l m i ) 、 矩阵分析等工具，研究了这些系统的稳定性。主要内容如下： 第一章概述了研究的背景及本文主要工作。 第二章简要的介绍了本文研究工作需要的理论和方法。 第三章系统地研究了具混合时滞的不确定性中立型系统的鲁棒稳定性，带 不确定时滞的中立型系统的鲁棒稳定性，以及具非线性扰动的中立 型系统的时滞相关稳定性问题。 第四章总结了本文的研究工作以及所得到的结论。 s 电子科技大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章将简要介绍一下本文所用到的稳定性定义，稳定性理论和线性矩阵不等式 处理方法。 2 1 稳定。陛概念与定义 考虑用微分方程组描述的一般非自治系统 譬。g ( t ，y ) ( 2 1 ) 口i q c 足4 ，q 为含原点的r “空间的n 维开子集，g c i i g 且4 】，保证方程组解的唯 一性。 y c o l ( ) ，1 ，y 2 ，y 。) ， g ( t ，_ ) ，) 。c o l ( g 。( f ，) ，) ，g ：( f ，y ) ，g p ，y ) ) 设y 一妒o ) 是( 2 1 ) 式的一个未受扰动的解，伊( f 。) = 是已知的，y 妒( f ) 是( 2 - 1 ) 式的任意一个已被扰动的解，即) ，( f 。) 一+ g 作变换 z y 一伊( f ) ， 则( 2 1 ) 式化为 i d x ，g ( t ，x + 伊( f ) ) 一g ( t ，妒( f ) ) ，f ( t ，工) ，( 2 2 ) u i 故( 2 1 ) 式的解y t 伊( f ) 对应着( 2 2 ) 式的平凡解z 一0 。 设f c 【，q ，r 4 】，保证( 2 2 ) 式的右行解的整体存在唯一性，对任意的f 当且 仅当x 一0 ，f q ，功0 ，从而x 。o 是( 2 - 2 ) 式的平凡解，以下有各种不同的稳定性 定义。 定义2 1 5 2 1 若v f 0 ，v t o e i ，1 1 6 ( e ，t o ) ，v x o ，当睁o f ，v o ，3 0 ( t o 卜0 ， 3 t ( e ，t o ，卜0 ，当慨4 s 仃瓴) ，t t o + r p ，t 。，石。) 时，有 6 第二章预备知识 i i x ( t ，t o ，) 8 占，即x ( t ，t o ，) 一o 称方程( 2 - 2 ) 的平凡解是等度吸引的，若吸引定义中的r 仅依赖于占，t 。，不赖 - h o ( 1 l x o l isa ( t o ) ) ，即 x ( f ，气，而) j 塑燮王( 塞专o ( 当t 专+ o o ) 称方程( 2 2 ) 的平凡解是一致吸引的，若它是等度吸引的，且等度吸引定义中 的o r 不依赖于气，且r 仅依赖于占，不依赖于t o ，x 0 ，即 x ( f ，f o ，而) 塑碰! = 马0 ( 当fj + c o ) 定义2 4 m 1 称( 2 2 ) 式的平凡解分别为渐近稳定，一致渐近稳定，全局一致渐 近稳定，若 1 ) 它分别是稳定的、一致稳定的、一致稳定的； 2 ) 它分别是吸引的、一致吸引、全局一致吸引的，且( 2 2 ) 的所有解是一致有 界的。 2 2 稳定性定理与中立型泛函微分方程简介 考虑一股的n 维非且冷微分万栏组 石d x = 巾，石) ( 2 - 3 ) 中x = c o l ( x a ，屯，) ，f = c o l ( f 1 ，五，z ) c ，r “ 且保证( 2 3 ) 式解的存在 唯一性，f c t ，o ) = 0 ，劬= 纠 t 时有： d r k ( t ，力+ 艿d _ t o ，i i x l l h 上存在正定的有无穷小上 界的函数矿( f ，功，使 d + 叫( ：一o 贝j j ( 2 3 ) 式的平凡解一致稳定。 定理2 4 跏若存在函数v ( t ，功，口( f ) ，r g ( x ) ，使v c t ，砷一烈f ) ( 功口u ( t ，功有 竺is o ，掣o d ti ( 2 3 ) d t ( 2 一，) 其中矿( x ) 是正定可微函数，曰( f ) 为f 的单调增函数，f l o ( t o ) = 1 ，l i r n 。目( f ) = + ， 则( 2 3 ) 式的平凡解一致稳定，且吸引。 定理2 5 若在某区域够上存在具有无穷小上界的正定函数 矿o ，石) c b ，r + ，使得 华l 负定 口l ( ( 2 一” 则( 2 3 ) 式的平凡解一致渐近稳走。 定理2 , 6 阱1 若在6 _ 上存在v ( t ，功，使得矿一口( r ，x ) 矽常正，其中w = r z ( x ) 正定； 口( f ，工) 为连续的非负函数，且在h f 日中，护( f ，石) 当f 趋近于+ m ，它关于工一致 收敛于佃又警b ) o 则( 2 3 ) 式的平凡解渐近稳定。 定理2 7 设( 2 - 3 ) 式右端厂( f ，工) ，在f 2 0 ， t x l l 0 。且 1 0 第二章预备知识 存在连续函数口( s ) ，a ( o ) = 0 ，a ( s ) 0 ，j 0 时，使1 ，0 ) “ o ) ) 。则方程的零 解为一致渐近稳定。 定理2 1 2 m 1 设算子d 为一致稳定的，且i d ( t ，妒) 喀置i ，k 为某常数； f ：r x c - - r 4 为连续，且将r ( c 中有界集) 映为彤中有界集。设存在连续函数 nr + x r 4 - - - ) r 及满足定理( 2 t o ) 假设条件”，v ，w ，v ( k a ) s 掰( 口( s ) ) ，j 0 ，以 及连续非减函数f ：矿斗r + ，f ( v ( k 玎) ) v ( ( ，7 ) ) ，玎 0 ，使 ( 1 ) “( 邮y ( f ，x ) v ( r x l ) ( 2 ) 当f ( v ( t ，d ( t ，五) ) ) 2 矿( f ，孝) ) ，对t r s f 0 时，u ( s ) o ， m ( s ) o ，w a s ) o ( i = l ，2 ) ，若存在连续泛函以r + x c 斗r 满足 ( 1 ) 拓( d 纭西i ) s 矿( 友谚v l ( i d ( t ，谚1 ) + v a i i 妒 厶) 其中忆：f 宝仍2 p ) d 口1 啦，仍( 为妒( 功的第f 个芬量； ( 2 ) y ( f ，彩一【形i ( d ( t ，妒) f + ( 妒( o ) 1 ) 】 则系统的零解一致渐近稳定。 2 。3 线性矩阵不等式方法 一个线性矩阵不等式就是具有如下形式【5 5 】： f ( x ) = f o + 五e + 恐e + + 矗e o ( 2 6 ) 的一个表达式。其中薯o = 1 ，2 ，m ) 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 4 ) 的 决策变量。工= “，屯，) r ”是由决策变量构成的向量，称为决策向量， 曩= 互7 r o = o ，1 ，胧) 是一组给定的实对称矩阵，式( 2 4 ) 中的不等号“ ”指的 g 矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有的非零向量三f ，z 7 f ( 工) z o ，或者f ( x ) 的 最大特征值小于零。 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的，例如l y a p u n o v 电子科技大学硕士学位论文 矩阵不等式： f ( x ) = a 7 x + x a + q 0( 2 7 ) 其中a ，q r “4 是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x r 是对称的未知矩阵变 量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设置，易，是实对称矩阵集 = m ：m = m 7 r ” 中的一组基，则对任意对称矩阵z r ，存在 玉，x 2 ，嘞，使得z = 薯e 因此 f c z ，= f ( 善e = 4 7 ( 善薯e ) + ( 善t 互 彳+ q = q + 五( 彳7 置+ 置彳) + + 嘞( 4 7 e 。+ e 。彳) o 即l y a p u n o v 矩阵不等式( 2 - 7 ) 写成了线性矩阵不等式的一般形式( 2 6 ) 。 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式的问题，或不具 有式( 2 6 ) 的形式，但可以通过适当的处理将问题转换成具有式( 2 6 ) 形式的一个线 性矩阵不等式的问题。在许多将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的问题 中，我们常常要用到矩阵的s c h u r 补性质。考虑一个矩阵s r ，并将s 进行分 块： j = ( 未囊) 其中墨。是，x r 维的。假定墨。是非奇异的，则曼：一s 2 ，剐墨：称为墨。在s 中的s c h u r 补。以下引理就给出了矩阵的s c h u r 补性质。 引理- 2 1 5 6 ( s h m 幸? 对给定的对称矩阵s = ( 未乏 ，其中墨。是，r 维的， 则以下三个条件等价： ( 1 ) s 0 ； ( 2 ) 置。 o ，是：一k 1 墨： o ； ( 3 ) 0 ，都有 2 x r ys - 1 x r 工+ 日，7 y 引理2 5 i 川对任何对称正定的常数矩阵e ，实数盯 0 ，和矢量函数 出：【0 ，仃卜r 4 使得以下各个积分式有意义，那么我们可以得到： 冲) 。e m 。冲) s 。f 矿o ) e 弓l 理2 6 嘲已知适当维数的矩阵q 1 q 7 ，h ，e 和r r 7 0 ，有 q + l i f e + 昱r f r h f 0， 对于所有满足，f r 的，当且仅当存在，0 ，使得 q + e z h h 7 + f - 2 e 7 r e ( 0 成立。 电子科技大学硕士学位论文 第三章不确定性中立型系统的鲁棒稳定判定标准 3 1 具混合时滞的不确定性中立型系统的鲁棒稳定性 本节提出了一种基于线性矩阵不等式的判定方法，以解决线性中立型系统的 时滞相关稳定性问题。首先给出标称中立型系统稳定的一个判据，然后采用一系 列加权矩阵描述x ( f f ) 和x f t ) 一f 量( s ) 出之间的影响和关系。该判据基于线性矩阵 f 不等式，因此加权矩阵的选择变得简单。 3 1 1 问题陈述 我们考虑下面的时变不确定中立型系统 丢阢) 一q o 一屯) 】；o + m ( f ) h o ) ? + ，o 胁( f t ) ，f 苫o ( 3 1 ) ix ( f ) 。妒( f ) ，v te - - f ，o j 其中x o ) m ”是状态矢量，f 2 ，- 0 是常数延迟，f m a x ( f l ，f 2 ) ， a ，b ，c m 是常数矩阵；并且矩阵c 的谱半径p ( c ) ，满足p ( o ( 1 。初始条件 妒o ) ，f 卜l o j ，表示连续的矢值初始函数时变的结构化的不确定性表示为 阻( f ) a 8 ( f ) 】td f ( t 她。e 。】 其中d ，e ，毛，都是适当维数的常数矩阵；并g f ( o 是时变的实矩阵，它的每个元 素都是未知的，但都是l e b e s g u e 可测的，并且它的e u c l i d e a n 范数满足 忙p ) 0 1 ，v t 苫0 首先，我们定义系统( 3 1 ) 的标准系统( 3 2 ) ，如下 丢b ( f ) 一q ( f 吖z ) 】；血( f ，取鼍一q ) ，f z o ， ( 3 2 ) i 石( f ) 一妒( f ) ，t 【_ f0 j 3 。1 2 主要结论 为了简单地解决问题，我们先定义个算子d k ) ： d “) 一工( f ) - c x ( t f 2 ) 则系统( 3 - 2 ) 变为 笙三童至堕室丝主皇型墨竺塑鱼鲎整窒型塞堡堡 f 掣出( f ) + b x ( t t 弦0 l x ( o 驴o ) ，t 【吖，o 】 系统( 3 1 ) 和( 3 2 ) 稳定的必要条件是该算子d k ) 是稳定的。 定理3 1 1 已知实数q ，0 和f ： 0 ，如果d k ) 稳定，并且存在正定矩阵 p - ， o ，q j q j 0o 一1 ，2 ) ，r - r 7 ，0 和正实数r h 和叩2 ，非负定矩阵 x 。一x ；0 和匕一曙苫0o - l 国，和任意矩阵x i 和，其中 ( f 一1 ，5 ；ft ，- 5 ) 都满足下面矩阵不等式，那么标准系统( 3 2 ) 是渐近稳定 的： 其中 垂一 x y m 垂i l 巾毛 m 品 巾二 鼢 z l l 盖毛 z 三 石三 z 二 垂1 2 m m 乏 m 刍 船 工1 2 z 工三 x 二 x ： 垂1 3 m m 3 3 垂三 0 x 1 3 石 x 3 3 x 三 x 三 中“ 垂“ m ” m 4 4 一s c 工l 工“ z 3 4 x “ z 磊 a 7 s 矿s 0 一c 7 s s 瓦 工口 x 3 5 x 工g 苫o 0 ， ( 3 - 3 ) 之0 母l l - p a + 4 r ，+ q l + q 2 + y 廿+ 工二+ k + 瑶+ f 1 x 1 2 + f 2 k 1 垂1 2l p b x + x 刍+ y 三+ 百1 x 1 2 + f 2 垂1 3i - ? 4 7 p c + x 三+ y 三一e 5 + z - l x l ，+ f 2 k 3 中1 4l j 三+ 磙+ 毛z + f 2 k 4 中盘i q 1 一x 2 s x 三+ f l x + f 如 圣l - b 1 p c 一盖嘉一k + q x 嚣+ f 2 y 西2 4 一一x 磊+ q z 2 + f 2 匕 m 3 3 - q 2 1 名一1 ，羔+ f 1 工3 3 + f j y ( 3 - 4 ) ( 3 5 ) k 坛k k k k k 匕瑶 比k k 瑶k 呓坛坛k 瑶瑶瑶瑶 电子科技大学硕士学位论文 西3 一一x ：5 + f l z + f 2 y 五 西“一r + r l z 4 4 + f 2 s - r + t - 】t x 5 5 + f 2 k 证明：我们取l y a p u n o v 泛函为： v ( x ，j 一巧+ + 嵋+ k + + 虼 ( 3 6 ) k - d 7 “) p d ) 圪上，o 辨q 冲 巧。l ，( s ) q ：x ( s ) a s k 偿o ) 戤q 正，o 谬：坤删p v 6 一l 。2 i 。pb ) y ”i ( s ) a s a o 其中p ；p 7 o q 一研，o ( - 1 , 2 ) , r - r o 均为待定的加权矩阵，那么 对y 瓴) 沿着系统( 3 2 ) 求导数，可得 d r ，, 。2 d r ( t ) 帆p ) + 艇( f q ) 】 一2 l g ) 一c x g f ：) 】r 杠( f ) + 丑r 一_ ) 】 一工7 ( t x p a + 爿7 p ) 工o ) + 2 x 7 ( t ) p b x ( t t ) 一2 x 7 0 m 7 p c x ( t f 2 ) 一2 x 7 ( f t ) b 7 鼢( f f 2 ) d v ，。2 - x t ( t 2 , 石9 ) - x r ( t f 。) q l 互( f 一气) d v ，3 x t ( r ) q 2 z ( f ) - x r ( t 一) q 声( f f 2 ) 警“( f 渺( f ) - 珊吒皿。吨) 警q 珊比啪一l 膏7 0 风 警 k 2 i r ( t ) y s $ y c ( t ) 一厶邝削s 由l e i b n i z - n e w t o n 公式，可以得到 工( f 1 ) 一x o ) 一正。邓弦，x ( t - v 2 ) 一工( f ) 一正：i ( s 泌 由( 3 8 ) 式，对于任意矩阵x 。( f 一1 ，4 ) ，下面等式成立 ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) 第三章不确定性中立型系统的鲁棒稳定判定标准 2 i x 。o ) ；i u + 石1 ( f q ) j 笱+ 毒1 ( f 一- 1 - 2 ) z 3 5 + i 1o f 2 ) z 4 5 】 x ( t ) - x ( t - 咖l 邢】一 o 外 2 p 。( f ) k + 工1 ( f q ) ，幺+ x 1o 一巳) y + j 1 ( f f 2 ) y 6 】 卜) 叱。吖：) 一上王。冲】i o 对任何适当维数矩阵磊，k o 一1 ，4 ) ；f s ，s 4 ，下面等式仍然成立 工( f ) 1 f f a ， 工。一q ) ii 心 x ( f f ：) l i 吒 加一r ：) li 心 a 1 2a na “ a 人2 3a “ 毛a a 3 4 幺 乙a 4 4 工( f ) x ( t f 1 ) x ( t f 2 ) 孟( f - - k 2 ) 一0(3-1m 其中a 口一气( 邑一x o ) 一吒( 匕一) ，i - 1 , 4 ；i 墨，s 4 现在考虑，对任何，七。和任何函数，o ) ，ff q ) 凼。r f ( t ) 将式( 3 - 9 ) ，( 3 一l o ) 等式的左边加到矿“) ，我们有如下表示 矿阮) # z j ( f ) 化t ( f ) 一l 。i ( t , s ) x z ：( t , s ) d s l 。；( f , s ) y z ：( f ，s ) a s ( 3 - 1 1 )