（计算数学专业论文）约束最优化的一种新降维算法.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文讨论了约束非线性规划问题的一种新降维算法，为研究非线性规划问题 提供了一种新的途径。首先以k - t 条件的降维形式为基础，针对具有线性等式约 束的非线性规划问题，利用最小二乘法，转化为无约束问题来求解，我们主要用 共轭梯度法和最小二乘法进行求解无约束问题，得到了一种降维算法的新思路， 这是以前没有讨论过的，对原有的降维算法进行了拓展。然后，本文把这个算法 应用于不同的规划问题模型中去：具有非线性等式约束的非线性规划问题，具有 不等式约束的非线性规划问题，从而得出了一系列的降维算法。文中对提出的算 法进行了大量的数值试验，结果显示有很好的效果。文中还就算法用函数直接求 导，用差商型公式求导，一种改进的l a g r a n g e 降维乘子法三种方法相比较进行了 探讨。最后我们用线性加权和法求解等式约束的多目标规划问题，用主要目标法 求解不等式约束的多目标规划问题。通过本文的讨论，可以发现，本文提出的算 法适用的范围极广，应该可以成为一种通用的算法。 关键词：非线性规划，最小二乘法，多目标规划，降维算法 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ed e s c e n d i n gd i m e n s i o na l g o r i t h m sf o rt h ec o n s t r a i n e dn o n l i n e a r p r o 毋铷n m i n ga l ed i s c u s s e da n dw eo f f e ran e ww a y t or e s e a r c hm e t h o d so fn o n l i n e a r p r o g r a m m i n gb yt h a t f i r s t l y , w eg a i nad e s c e n d i n gd i m e n s i o nf o r ma b o u tk - t c o n d i t i o nb yu s i n gh i d e f u n c t i o nt h e o r e m b a s e do nt h et h e o r e m ，w ec a nt r a n s f e r e q n a l i t yc o n s t r a i n t sn o n l i n e a rp r o b l e mi n t ou n l i m i t e do p t i i i l i z a t i o np r o b l e mb yu s i n g l e a s ts q u a r em e t h o d t h u s ，w ei n t r o d u c ean e wa l g o r i t h mf o rn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o n p r o b l e mw i t he q u a l i t yc o n s t r a i n t s i ti sad e v e l o p m e n to ft h ed e s c e n d i n gd i m e n s i o n a l g o r i t h m t h e n w eu s et h i sa l g o r i t h mi n t oo t h e rp r o g r a m m i n gp r o b l e m s 诵me q u a l i t y c o n s t r a i n t so ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n t s m o r e o v e r , al o to fn u m e r i c a lt e s t sh a v eb e e ng i v e n f o rt h en e wa l g o r i t h m ，t h er e s u l t ss h o ws a t i s f y i n gp r e c i s i o n ，s ot h ea l g o r i t h mi sf e a s i b l e a n de f f e c t i v e w h a ti sm o r e , w ec o m p a r e dt h em e t h o do f u s i n gt h ed i f f e r e n c em e t h o dt o o b t a i nd e r i v a t i v et ot h em e t h o do fu s i n gt h ef u n c t i o ne x p r e s s i o nt og e td e r i v a t i v ea n da n e w l a g r a n g ed e s c e n d i n gd i m e n s i o nm u l t i p l i e rm e t h o d f i n a l l y , w ec a ns o l v ee q u a l i t y c o n s t r a i n t sm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gb yu s i n gl i n e a rw e i g h t i n gm e t h o da n ds o l v e i n e q u a l i t yc o n s t r a i n t sm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gb yu s i n gm a i nt a r g e tm e t h o d t h r o u g ht h ed i s c u s s i o no ft h ep a p e r , w ec a nf i n dt h a tt h ea l g o r i t h m sw ee s t a b l i s h e d h a v eaw i d er a n g e o f u s i n g i ti sp o s s i b l et od e v e l o pi n t oa na l l p u r p o s em e t h o d k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g l i n e a r w e i g h t i n gm e t h o d ，m u l t i o b j e c t i v e p r o g r a m m i n g , d e s c e n d i n g d i m e n s i o n a l g o r i t h m i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重麽太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：冲冬叶签字日期：伽1 年6 月e 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重废太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密0 j ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：冲奄、巾 导师签名： 签字日期： 年( 月e 日签字日期：n ， 年6 月6 日 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 1 绪论 1 1 最优化研究领域概述 最优化是- - i 1 应用相当广泛的学科，它讨论决策问题的最佳选择之特性，构 造寻求最佳解的计算方法，讨论这些计算方法的理论性质及实际计算表现。伴随 着计算机的高速发展和优化计算方法的进步，规模越来越大的优化问题得到解决。 因为最优化问题广泛见于经济计划、工程设计、生产管理、交通运输、国防 等重要领域，已受到政府部门、科研机构和产业部门的高度重视。虽然最优化问 题可以追溯到十分古老的极值问题，然而，它成为一门独立的学科是在上世纪4 0 年代末，是在1 9 4 7 年d a n t z i g 提出求解一般线性规划问题的单纯形法之后。“非线 性规划”一词的首次使用是作为k u l m 和t u c k e r 在1 9 5 1 年发表的一篇论文题目， 标志着非线性规划的产生。随着对各种各样实际问题的研究，随机规划、非光滑 规划、多目标规划、几何规划、整数规划的理论也相继产生和发展，相应的各种 各样的算法也陆续产生和发展。 最优化的理论和方法的内容极其广博。以优化模型而言，就有线性规划、二 次规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等等；以数值优化算法而言，则有 单纯型法、共轭梯度法、变尺度法、罚函数法、目标函数法等等：以研究空间进 行划分，就有有穷维最优化和无穷维最优化经过无数数学家的不懈努力，优化 领域在各个方面都取得了长足的进步。其实，最优化的理论和方法是相辅相承的， 理论推动算法，而算法又是对理论的进一步检验和完善。 本文讨论的问题属于非线性规划的范畴，集中讨论了约束最优化方面的一些 问题。 1 2 无约束优化问题概述 由于约束优化问题解法的很多基本思想来自无约束优化问题，目前大量约束 优化问题可以转化成无约束优化问题进行解决。因此，尽管无约束优化问题是在 较早的时候受到人们的关注，但现在仍有大量的工作在进行。 无约束优化问题的解法主要分成牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法几类。牛顿 法是解决无约束优化问题最基本和最早出现的解法，这是因为牛顿法是求解非线 性方程组的主要的方法。但牛顿法的迭代过程中计算量大，后来人们又提出了小 精确牛顿法以在一定程度上克服这个缺点，这样可以将牛顿法应用到大型问题上。 共扼梯度法是介于最速下降法和牛顿法之间的一种方法。它克服了最速下降法收 敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算二阶信息的的问题。它是1 9 6 4 年由 重庆大学硕士学位论文 1 绪论 f l e t c h e r 和r e e v e s 从非线性方程组的共轭梯度法中受到启发而提出的。拟牛顿法是 利用函数和函数的导数的性质，构造出目标函数的曲率近似，而不需要明显的 h e s s e 阵信息同时又有收敛速度快的优点。非常有代表性的方法有d f p 法和b f g s 法，可参考文章【4 1 等。 共轭梯度法已有四十多年的历史，它最早是由h e s t e n e s 和s t i e f e l 于1 9 5 2 年在 求解线性方程组时提出的，并由f l e t c h e r 和r e e v e s 于1 9 6 4 年推广到非线性优化领 域。随后，e a l e 、f l e t c h e r 、p o w e l l 等著名优化专家对非线性优化共轭梯度法进行 了深入的研究，取得了十分优秀的成果，可参考文章【4 2 】， 6 0 】，【6 l 】等，但几乎同时 问世的拟牛顿法由于其良好的计算表现以及丰富的收敛性分析很快受到了青睐， 从而很长一段时间里共轭梯度法被研究者所忽视，近年来，随着计算机的飞速发 展以及实际问题的需要，大规模优化问题越来越受到重视。而共轭梯度法具有算 法简单，易于编程，以及需要存储空间小等的优点。于是共轭梯度法的研究又受 到了人们的关注，可参考文章【1 7 】， 1 8 】，【1 9 】，【2 0 】，【2 4 】，【4 0 】，【6 5 】，【7 4 】等。 最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪，g a u s s 就首先创立并成功 地应用于天文观测和大地测量工作中，此后的二百年来，它已广泛应用于科学实 验与工程技术中，可参考文章 5 2 】等。随着现代电子计算机的普及与发展，这个古 老方法更加显示出其强大的生命力，它在曲线拟合、函数逼近、数据处理、方差 分析与回归分析中都经常应用。特别是在当前非常活跃的学科最优化技术中，最 小二乘法大有用武之地，它是求解一切平方和形式的目标函数的最优解的一个基 本方法。 近三十年来，最小二乘法已有很大的改进与发展。例如解线性最小二乘问题， 过去独一无二的经典方法是构造法方程组，但近年来提出了一些新算法，却主张 直接从矛盾方程入手，以避免出现法方程组严重病态的困难；非线性最小二乘法 发展尤为迅速，新的算法不断产生，可参考文章【4 9 】，【5 0 】，【5 3 】等，此外，在应用数 学、物理、统计、数学规划、经济、统计、控制论以及社会科学中提出的各种形 式的带约束条件的最d x - - 乘问题，其计算方法也在逐步建立和发展中，可参考文章 【5 1 ，【5 4 ， 5 6 等。 从最优化方法的观点解释最小二乘法，就是要求理论函数y = f ( x ；b ) 中的参数 b 在最小二乘意义下的最佳估计值b = ( 岛，b 2 ，吒) 7 ，也就是求使目标函数 旦2 q = 芝：l 乃一厂( 五；6 ) i 百 取最小值时的参数b = ( 6 l ，b 2 ，吨) 7 。有时，为了保证拟合的精度，常用各观测点 残差的加权平方和作为目标函数，即求b 使 2 重庆大学硕士学位论文l 绪论 q = y q l 2 = y i 一，( 玉；6 ) 】 扛， = 1 为最小。其中q o f t 为在观测点( 五；m ) 处的权。关于权我们可以粗略地理解为在 进行实验观测时，有m 次重复到这个观测点。 由于最小二乘优化问题具有特殊的数学形式，因此可以采用特殊的优化算法， 这些算法将比一般的优化算法具有更好的收敛效果。 1 3 多目标最优化问题算法概述 多目标最优化问题是在单目标问题的基础上建立起来的，因此算法主要是研 究如何建立多目标与单目标问题的联系和如何衡量解的优劣，以及解的存在性、 稳定性等。目前，常见的多目标最优化问题算法主要有： 主要目标法( 约束集法) ：其基本思想是在多个目标中只考虑主要目标，而将其 他目标作为约束处理( 即对次要目标取一个上限值构成一个不等式约束) ，这样就将 多目标问题转化为单目标问题。它的方法可以表述如下：假定在尸个目标中有一 个是最主要的目标，譬如是石( 石) ，我们就可以对五( 功，正( 功分别选取一个界限 值如口f ( f = 2 ，p ) ，将原多目标规划问题转化为求解问题： ( s p ) 卿肫) ls t 一( x ) 瑾， j = 2 ，3 ，p 将( 胪) 的解作为多目标问题的解。 分层序列法：这个方法是先把目标函数中的各个目标按其重要程度排一个次 序，然后依次求单目标规划的最优解，得到在分层序列意义下的最优解集合，即 为有效解。这里的排序方法可以使用层次分析法。 评价函数法：是最常见的方法，就是用一个评价函数来集中反映各个不同目 标的重要性等因素，并极小化此评价函数，得到问题的最优解；常见的有以下几 种方法：理想点法，它所依据的原理是：把距离理想点最近的点作为最优解； 平方和加权法，它体现了通常的“自报公议”原则那些强调各自目标重要者预 先给出一个尽可能好的估计，然后“公议”给出一组表明各目标重要性的权系数，最 后求解非线性规划给出解答；线性加权和法，它是根据p 个单目标函数 f a x ) ( ，= 1 ，2 ，p ) 的重要程度，然后我们可以分别赋以不同的权重 a ，( ，= 1 ，2 ，p ) ，然后简单相加构成单目标优化问题的目标函数，在多目标优化问 题的约束集合r 上求最优解。所构造的单目标问题形式如下： 上 一 m 婆f ( 曲= ：兄，( 力= 厂( 功 耻“ 了i 称此单目标问题的解叫做原多目标问题在线性加权和意义下的最优解。这里 重庆丈学硕士学位论文1 绪论 ( 功= ( z ( 曲，正( 曲，( 砷) 1 ，a = ( ，如，以) 7 + 或 ”，其中 十： a ：( ，五，以) 7 h o ，杰 = l l j 爿 j ”= a = ( ，五，_ ) 7 i 乃 o ，乃= l l j 爿 j 五称为权向量；极小极大法，它的基本思想是：在最不利的情况下寻找最有利的 策略( 悲观主义决策) 。 1 4 本文研究的主要内容与主要途径 降维算法是李泽民教授于上世纪9 0 年代在用，l 维欧氏空间彤中的隐函数定理 研究等式约束问题的最优性必要条件时得出的一种求解非线性规划问题的新方 法，具体可参看文献 8 】。它的基本思想是将等式约束问题转化为一个由栉个方程 构成的方程组，求解该方程组便可以得到原问题的一个k - t 点。在一些比较成熟 的算法中，如经典l a g r a n g e 乘子法和l a g r a n g e - n e w t o n 法，模型的求解是转化为 求解一个( 所+ n ) 维的方程组，与这些算法相比较，降维算法只需要求解疗维甚至 更低维的方程组，具有规模上的优势。以前这方面的研究主要集中在二次规划方 面或以二次规划为基础研究非线性规划以及多目标规划问题，具体可参考文章 【2 5 1 ， 2 6 1 ，【2 7 】，【2 8 】，【3 1 】等，本文通过利用最小二乘法，转化为无约束优化问题求解， 提出了一种新思路。 具体而言，在本文的第三章，我们针对具有线性等式约束的非线性规划问题， 首先利用最小二乘法，把约束问题转化为无约束最优化问题，然后分别用p r p 方 法和最t j , - - 乘法进行求解，从而得到了求解非线性规划问题的一种新算法，并通 过数值实验验证算法的可行性。这一章是全文的基础，这个算法也是全文算法的 基础算法。 本文第四章，我们主要讨论了具有非线性等式约束的非线性规划问题。首先 采取两种不同思路将其转化为线性等式约束的规划问题：一种是把非线性等式约 束线性化；一种是把非线性约束部分和目标函数构成增广l a g r a n g e 函数，并保留 了线性等式约束。在第一种思路中对于函数求导我们采用了两种方法：一种是用 直接求导方法；一种是用差分法代替导数的方法。经过转化后，我们可以调用第 三章的算法进行求解该问题。在这一章中，我们除了用数值试验对这个算法有效 性进行验证之外，还对采取不同的线性化方法而得到的不同算法进行了比较，试 验表明，精确求导后将非线性等式约束线性化这种算法在精确性和速度上要好于 其他的两种算法。 本文第五章，我们在等式约束问题基础上讨论了具有混合约束的非线性规划 4 重庆大学硕士学位论文1 绪论 问题。对于该问题，我们通过添加松弛变量将其转化为等式约束问题，用前面的 方法求解。 本文第六章，我们主要讨论了多目标规划问题。对于一般等式约束的多目标 规划问题，通过线性加权和法转化为第四章的问题进行求解；对于混合约束的多 目标规划问题，选用主要目标法求解转化为第五章的问题进行求解，从而达到解 决问题的目的。 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 2 预备知识 2 1 非线性规划 。悯j 竺捌；啦3 ，( c 刁 5 。岛( 功2 0 2 1 ，2 ，3 ， 【曩( 功兰0i = “，m e + 2 ，m ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中x = ( 五，) 7 彤，f ：r ”斗r 是目标函数，啊：r ”斗r ，i = l ，m 为约束函 数，其中( 2 1 ) 为问题( n c p ) 的等式约束，( 2 2 ) 为问题( n c p ) 的不等式约束。若 记x = x e r ”限( 功= o ，f = l ，2 ，m 。；鬼( 功o ，f = m e + + 2 ，m ，则称集合石为问 题( n c p ) 的可行域，可行域x 的点称为问题( n c p ) 的可行解或可行点。给定上述 符号后，非线性规划模型( n c p ) 又可简记作 m i n f ( x ) 在模型( n c p ) 中，目标函数和约束函数中至少有一个是变量工的非线性函数，约 束也可由( 2 1 ) 或( 2 2 ) 组成。如果记e = 1 9 2 ，m e ) ，； + ”，所) ， i ( x ) = i l h , ( x ) = o ，m i s m 。对任何x e r 4 ，称集合彳( 工) = 目u ，( j ) 是在工点的 起作用集合。 设点x o x ，使对一切工x ，均有厂( 力f ( x 0 ) 成立，则称p 是问题x o 的整 体最优解，相应地称f ( x o ) 为问题( n c p ) 的整体最优值。 设点x o z ，若存在p 的一个邻域( p ) 一 x j1 i x - 硎 0 ， 使对v 善x n ( p ) ，总有，( 功f ( x o ) ，则称x o 是( n c p ) 的一个局部最优解， 相应地称，r ( p ) 为问题( n c p ) 的局部最优值。 求解一个非线性规划问题，通常是寻求它的局部和整体极小点。整体最优解 含于局部最优解集中，极小点可能在可行域x 的边界上达到。在很多实际应用中 通常局部最优解便已满足问题的需要。 2 1 1 梯度、h e s s e 矩阵与j a c o b i 矩阵 假设f ( x ) ：dc - r 4 一r 是连续可微函数，则定义，( x ) 在x 处的梯度为，l 维向 i v y ( 加l 掣，_ a f ( x ) _ o f ( x ) i ，常记g 彤 l o x nj 假设，( 功：d c r “寸r 至少是二阶连续可微函数，则定义，( 在x 处的h e s s e 矩阵为”甩对称矩阵 6 重庆大学硕士学位论文 2 预备知识 v 2 厂( 曲= a 2 f a 2 f 觑2o x , a 2 ( 功a 2 ( 砷 铂o x 2 2 a 2 ，( 功a 2 厂( 功 阮a x , a x a x 2 a 2 厂( 力 挑o x a 2 厂( 力 a x 2 a x a 2 厂( 功 瓯2 即其第( f ，力元素为霎娶生，为简单记，常记g ：w ，g ：v ：厂等。 o x , o x j 称厂( 功：r 4 一r ”是连续可微的，如果它的个分量函数f a x ) ：f = l ，2 ，矾在每点x 处是连续可微的。f ( x ) 在工处的导数厂( 功是一个研n 矩阵，它的第i 行是z ( 功在 x 处的梯度w ( 工) 的转置。f ( x ) 的导数常常称为f ( x ) 的j a c o b i 矩阵，记作 t ，( 功= 厂( ，h e s s e 矩阵则是它的梯度的j a c o b i 矩阵。 2 1 2 凸集、凸函数、凸规划 定义2 1 设s c r ”，如果五，而s ，a ( o ，1 ) ，均有a 五+ 0 - 1 ) x ：s ，则称s 为 凸集。 由定义可知，凸集的特征是集合中任意两点连成的线段必属于这个集合。为 便于归类和讨论，一般都规定空集。为凸集，单点集 x 1 为凸集。下面是凸集的一 些性质： 墨n 最= 工：x 墨，x e 是 是凸集； 墨+ 是= 五+ x z ：五s ，x 2 岛) 是凸集； 口最= a x ：z 墨1 是凸集； 墨一是= 墨+ ( - s 2 ) 是凸集。 定义2 2 设s c r “，非空凸集，函数厂：s 专r ，如果对v x l ，而s ，v 旯( 0 ，1 ) ， 恒有，( 五而+ ( 1 一a ) 恐) 旯厂( 西) + ( 1 一a ) 厂( 屯) ，则称，为s 上的凸函数。如果上面的 不等式严格成立，则称厂为s 上的严格凸函数。下面是凸函数的一些基本运算性质： 设s c r 4 是非空凸集，若f ：r ”_ r 是s 上的凸函数，口 0 ，贝l j o t f 是s 上的 凸函数；若石，五：r “- - - - h r 都是s 上的凸函数，则z + 五是s 上的凸函数。 定义2 3 以下形式的非线性规划称之为凸规划 i m i l l 厂( x ) 【j j ( 0 其中f ( x ) ，h ( x ) 都是e 上的凸函数。 关于凸规划有以下两条断言：( 1 ) 凸规划的任一驻点是极小点。( 2 ) 凸规划的任 极小点是全局最优点。 7 重庆大学硕士学位论文2 预备知识 2 1 3 迭代下降算法概述 求解无约束优化问题，一般采用迭代下降算法。其基本思想是：给定一个初 始点j ) ，按照某一规律产生一个使目标函数下降的迭代极小解序列 x o 。若是 求解约束优化问题，首先给定一个初始可行点o ) ，然后按照某一个规律( 方法) 产 生一个迭代序列 x 似 ( 此序列可能是使目标函数值下降的序列，也可能是建立在目 标函数基础上的其它效益函数的下降序列) ，在一定条件下，这些序列将趋于所求 规划问题的极小点或我们所期望的其它点( 如k - t 点等等) 。 一般地，求解优化问题的算法( 信赖域算法除外) 大多数采用下面的迭代格式： 第一步：给定初始点x ( “，l 七； 第二步：按照某一规则构造一个搜索方向d 耻) ； 第三步：确定步长吼( 有的算法采用固定步长) ； 第四步：取下一个迭代点工( “1 ) = 石( 1 + 瑾。d ( ( 对约束问题，要求x ( k + l 为可行点) ； 第五步：判断“”是否满足某种终止准则，若满足，则停止迭代，工忙“为所 求优化问题近似局部最优解；否则k + l j k ，转第二步： 算法的关键在于构造搜索方向d 和确定步长吼；不同的搜索方向d o 的构造 和步长吼的不同确定就形成了求解非线性规划问题的不同算法。 2 2k u h n t u c k e r 条件与降维算法的形式 非线性规划问题( n c p ) 也可写成如下形式 f r a i n ，( x ) ( n c p ) s j ( x ) = 0 l g ( 工) s 0 其中工= ( 五，) 7 彤，f ：r 4 专r 是目标函数，h ：彤一r ”，g ：彤寸r ，为约束 函数； 定义2 4 假定厂，g ，h e c l ，令，= _ ，l 旬( p ) = o ) ，称p 是约束g ( x ) o ，j i l ( x ) = o 的 正则点，如果 g ( x o ) s 0 ，h ( x o ) = 0 ； v 奢，( p ) ，v 噍( p ) ，j j ，1 i m 线性无关； 定理2 1 ( k u l m - t u e k e r 条件) 【2 1 设是问题( c p ) 的局部极小点且还是约束正则点， 则必存在向量a = ( ，五9 i 9 以) r ”，“= ( u l ，u 2 ，“。) r ，使得 i w ( x o ) + a v h ( x o ) + “v g ( p ) = o 增( x o ) = 0 【 “ - 0 设，( 功= o , x e 彤，f ：r “寸r m , m 一，记，( 功= ( z ( 功，正( 力，厶( 功) 则有下面的定 重壅查堂堡主堂堡堡苎 ! 塑鱼塑望 理： 定理2 2 ( 隐函数定理) 8 1 设p = ( 矸，f ) 7 满足： 在工。的某个邻域中厂e c p ，p 1 ； 厂( x o ) = 0 ； 朋m 阶j a e o b i 矩阵 k = 弛弛弛 铂钆 a l ( x 0 2a l f x 。) 幽 钆钙a 幽地幽 是非奇异的； 则存在p = ( o + ”，) 7 r ”- 棚的一个邻域【，使得五，而，是；= ( 。，) 7 u 的函数，记为= 仍( x ) ，i = l ，2 ，m ，具有下列性质： 仍c ； f = 饵( ) ，i ：1 ，二 t 2 ，； z ( 吼( 1 ) ，( - ) ，- r ) = o ，f = 1 ，2 ，研，；u ； 引用隐函数定理，现考虑等式约束问题 ( n e p ) i n f i m 厂( 算) 其中j ，f ：r ”足g ：一r m , ，l t i i f n 重庆大学硕士学位论文 附录a 部分程序代码 a = m ： 盹 m 2 = n 二 n = a + o 6 1 8 ( b - a ) ； i - i + l ： e l s e a = a ： b f n ； n - - - m ； m f f i a + o 6 1 8 ( b - a ) ； i = i + 1 ： e n d e n d 轧i i f a 一= o c i = a ； e l s e b r e a k x ，f = - s u h s ( f , x i , y i ，z i ，x ) ，c o u n t e n d y = s u b s ( x ，c ，c i ) ； w h i l en o r r n e s t 伍- y ) t f = ( x i 2 一z i “2 ) 2 + ( x i + y i + 商) “2 + ( x i + 2 + y i + z i 1 ) “2 ； f l = x i 2 一z i “2 ； t 2 = x i + y j + z i ； 1 3 = x i + 2 y i + z i - 1 ； f l x i = d i f f ( f l , x i ) ；f l y i = d i 瞰f l ，y i ) ；f l z i = d i 趣f l ，面； f 2 x i = d i 瞰f 2 , x i ) ；1 2 y i - - d i 瞰f 2 ，y i ) ；f 2 z i = d i i t ( f 2 ，锄； 1 3 x i = d i 瞰1 3 , x i ) ；1 3 y _ i - - d i 越t 3 ，y i ) ；1 3 z i = d i 趣1 3 , z i ) ； f l x i = s u b s ( n x i ， x i 加，z i ，x o ) ；f l y i = s u b s ( f l y i ， x i ，撕商) 】【0 ) ； f l z i = s u b s ( f l z i ， x i ，y i ，z i , x o ) ；f 2 x i = s u b s ( 1 2 x i ， x i ，y i ，西 ，) 【o ) ； f 2 y i = s u h s ( 1 2 y i ， x i ，y i 蜀 ，x o ) ；1 2 z i = s u b s ( 1 2 z i ， x i ，y i ，z i x o ) ； 1 3 x i = s u b s ( 1 3 x i ， x i ，y i ，z i , x o ) ；1 3 y i = s u b s ( 1 3 y i ， x i ，y i ，西 ，】【0 ) ； 1 3 z i = s u b s ( 1 3 z i ， x i ，y i ，z i ) ，x 0 ) ； 5 l 重庆大学硕士学位论文附录a 部分程序代码 j i = n s i ，f ly i ，f l z i ；f 2 x i ，f 2 y i ，f 2 z i ；f 3 x i ，f 3 y i ，f 3 捌； s i - - - i n v ( i i j 矿( i i + f ) ； x - = y ； y = y + c + s i ； c o u n t = c o u n t + 1 ； f l x = f l x i ；f l y = f l y i ；f l z - 爿 l z i ； f 2 x = f 2 x i ；f 2 y = f 2 y i ；f 2 z = f 2 z i ； f 3 x - - f 3 x i ；f 3 y = f 3 y i ；f 3 z = f 3 z i ； e n d x ，f = - s u b s ( f ， x i ，y i ，z i ， ，】c ) ，c o u n t f u n c t i o nl u n ( ) m = 2 ；n = 3 ； e r r o = 0 ； x l = 蕊( 1 ) ；x 2 - - - x ( 2 ) ；x 3 = x ( 3 ) ； f = x 1 a 3 + x 2 a 3 + x 3 3 ： f x = d