（应用数学专业论文）lagrange系统约化理论及其在双球摆上的应用.pdf

摘要 摘要 对称力学系统的约化理论源i ；i e u l e r ，j a c o b i ，l a g r a n g e ，h a m i l t o n ，r o u t h ，p o i n a r e 等人在力学领域的经典工作。除了传统的粒子力学以及刚体力学之外，现代 力学还包括场论、流体力学、等离子物理学和固体力学以及量子力学、相对论也 包括万有引力。约化理论关注的是如何利用对称性以及与之相应的守恒律进行约 化。变分原理以及辛几何和p o i s s o n 几何为此提供了基本的工具。本文我们主要介 绍t l a g r a n g e 系统的l i e p o i s s o n 约化定理、e u l e r - p o i n c a r e 约化定理以及l a g r a n g e p o i n c a r e 约化定理，并将其应用于双球摆力学系统。 本文可以分为以下四个部分： 第一部分我们主要介绍了流形、流形间的光滑映射等一些基本概念，使得我 们可以在流形上研究l a g r a n g e 系统的约化理论，并给出了和l a g r a n g e 系统相关的 李群作用、动量映射、l a g r a n g e 函数等相关内容。 第二部分我们主要介绍- j l a g r a n g e 系统约化理论的重要基础即变分原理，在 此基础上介绍了l a g r a n g e 系统约化的l i e p o i s s o n 约化定理、e u l e r - p o i n c a r e 约化定 理，l a g r a n g e - p o i n c a r e 约化定理。 第三部分我们介绍了具有循环变量的系统的r o u t h 约化，它和l a g r a n g e 系统 在可交换情形下的约化是一致的。 第四部分我们通过一个例子一双球摆，详细阐述了l a g r a n g e 系统约化定理的 应用，同时我们也给出了其局部坐标表示，并得到了双球摆力学系统的l a g r a n g e 系 统约化定理。 关键词力学联络变分原理l a g r a n g e 系统约化r o u t h 约化 a b s t r a c t a b s t r a c t r e d u c t i o nt h e o r yf o rm e c h a n i c a ls y s t e m sw i t hs y m m e t r yh a si t sr o o t si nt h ec l a s s i c a lm e c h a n i c so fe u l e r , j a c o b i ，l a g r a n g e ，h a m i l t o n ，r o u t h , p o i n c a r ea n do t h e r s t h em o d e mv i s i o no fm e c h a n i c si n c l u d e s ，b e s i d e st h et r a d i t i o n a lm e c h a n i c so f p a r t i c l e sa n dr i g i db o d i e s ，f i e l dt h e o r i e ss u c h 嬲e l e c t r o m a g n e t i s m , f l u i dm e c h a n i c s ， p l a s m ap h y s i c s ，s o l i dm e c h a n i c s 硒w e l la sq u a n t u mm e c h a n i c s ，a n dr e l a t i v i s t i ct h e o r i e s ，i n c l u d i n gg r a v i t y r e d u c t i o nt h e o r yc o n c e r n st h er e m o v a lo fs y m m e t r i e sa n d t h e i ra s s o c i a t e dc o n s e r v a t i o nl a w s v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa l o n gw i t hs y m p l e t i ca n d p o i s s o ng e o m e t r yp r o v i d ef u n d a m e n t a lt o o l sf o rt h i se n d e a v o r i nt h i sp a p e r , w ei n t r o - d u c et h el i e - p o i s s o nr e d u c t i o nt h e o r e m ，t h ee u l e r - p o i n c a r er e d u c t i o nt h e o r e ma n dt h e l a g r a n g e - p o i n c a r er e d u c t i o nt h e o r e mo fl a g r a n g es y s t e m i nt h ee n dw ea p p l yi tt o t h ed o u b l es p h e r i c a lp e n d u l u mm e c h a n i c a ls y s t e m t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ： i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e lw ei n 缸o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa b o u tm a n i f o l d s a n dc o 。m a p sb e t w e e nm a n i f o l d s s ow ec a ns t u d yl a g r a n g er e d u c t i o no nm a n i f o l d s f u r t h e r m o r e ，w eg i v eo u ts o m ec o n t e n t so fl i eg r o u pa c t i o n ，m o m e n t u mm a p ，l a - g r a n g ef u n c t i o na b o u tl a g r a n g es y s t e m i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e lw ei n t r o d u c ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew h i c hi st h e f o u n d a t i o no fl a g r a n g es y s t e mr e d u c t i o nt h e o r y 。o nt h i sb a s i s ，w eg i v eo u tt h et h e o r e mo fl i e - p o i s s o nr e d u c t i o n ，t h et h e o r e mo fe u l e r - p o i n c a r er e d u c t i o na n dt h et h e o r e m o fl a g r a n g e - p o i n c a r er e d u c t i o n i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e lw ei n 口o d u c et h er o u t hr e d u c t i o nw i t hc y c l i cv a r i a b l e s ，i ti si d e n t i f i e dw i t hl a g r a n g es y s t e mi nt h ec a s eo fa b e l i a ng r o u p i nt h ef o u r t hp a r to ft h i sp a p e r , t h el a g r a n g er e d u c t i o nt h e o r e mi si l l u s t r a t e db y t h ee x a m p l eo ft h ed o u b l es p h e r i c a lp e n d u l u m w ea l s og i v eo u tt h el o c a lc o o r d i n a t e s r e p r e s e n t sa n dt h el a g r a n g er e d u c t i o nt h e o r e mo fd o u b l es p h e r i c a lp e n d u l u ms y s t e m k e y w o r d s m e c h a n i c a lc o n n e c t i o nv a r i a t i o n p r i n c i p l el a g r a n g er e d u c t i o n r o u t hr e d u c t i o n i i 符号说明表 ( q ，u ) ( q ，g ，西) t q t + q g 搴 西：gxq _ q g 口 0 “ a d 。 a d ；一 g “ t h , q c ：= s l ：t q r 彤：t q 一冗 e x p og _ g ：t q _ g 3 ( q ) ：g _ g ：t q _ g j ：q g + 符号说明表 辛流形，其中u 是一个闭的非退化的 2 一形式 g 流形 流形q 的切丛 流形q 的余切丛 李群g 的李代数g 的对偶 流形q 上的李群作用 点g 的迷向子群 表示通过“的余伴随轨道 李群g 在g 上的伴随作用 李群g 在g + 上的余伴随作用 点“的余伴随迷向子群 点“的迷向子代数 形状空间 l a g r a n g e 函数 r o t h 函数 指数映射 主联络 锁定惯性张量 力学联络 动量映射 v 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：王彦趣 州7 年多月，日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影 印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权 按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子 版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分 或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：王彦超 朋7 年乡月q 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 第一章绪论 第一章绪论 约化理论源i 刍e u l e r ，j a c o b i ，l a g r a n g e ，h a m i l t o n ，r o u t h ，p o i n a r e 等人在力学 领域的经典工作。目前约化理论即利用守恒律或对称性得到一个较小维数的相空 间，已经得到了长足的发展。 1 1引言 约化理论是对称力学系统学习中的一个重要的工具，其中r o u t h 【3 8 ， 4 0 】开 创了可交换群的约化理论，l i e 【2 3 发现了辛几何中的许多结构以及他们和对称 性的联系。同时，p o i n c a r e 【3 6 将刚体力学和流体力学中的e u l e r 方程推广到一般 的李代数上。约化理论的现代纪元始于a r n o l d 【3 】，【4 】，【5 】和s m a l e 4 2 】奠基性的论 文。a r n o l d 致力于李代数及其对偶上的系统，而s m a l e 致力于可交换的情形，事实 上他给出了r o u t h 约化的一个现代观点。 现在我们知道许多物理系统的描述，例如刚体和流体都需要l i e 和p o i n c a r e 所 研究的非典则p o i s s o n 括号和约束变分原理。m a r s d e n 和w e i n s t e i n 提到的一个李 代数g 的对偶g + 上的l i e p o i s s o n 括号就是一个非典则p o i s s o n 括号的例子。l i e 大约在1 8 9 0 年的时候就知道这些结果，但是他好像没有意识到他们在力学中的重 要性。k i r i l l o v 和s o u r i a u 在1 9 6 0 s 发现了这些结构中的辛叶片即余伴随轨道的辛结 构。 m a r s d e n 和w e i n s t e i n 【3 2 1 把a r n o l d 3 】的李代数约化方法和s m a l e 【4 2 1 用可交 换群在余切丛上进行约化的技巧结合起来，在辛流形和等变映射的意义下发展了 约化理论。 对于辛约化，假设( 只q ) 是一个辛流形，李群g 通过辛映射自由地、p r o p e r 地 作用在p 上，自由性和p r o p e r 性假设是为了避免约化过程中出现的奇异的情形。 假设这一作用有一个等变的动量映射j ：p _ g ，则辛约化空间j - 1 ( 肛) g p = 兄 非常自然地是一个辛流形，且兄上的约化辛形式q p 唯一地由丌：= i ：q 决定，其 中和：j - 1 ( 肛) 一兄是投影映射，i “：d - 1 ( p ) 一p 是包含映射。若此动量映射不 是等变的，s o u r i a u 【4 3 发现了如何中心扩张群( 或代数) 使之成为等变的。 第一章绪论 m a r s d e n 和w e i n s t e i n 【3 2 证明了余伴随轨道是辛约化空间。在约化的构造过 程中，如果我们选取p = t + g ，其中g 通过( 左) 平移作用作用在p 上，则通过p 的 余伴随轨道的辛结构和约化空间兄是一致的。类似的，丁+ g 上的典则p o i s s o n 结 构通过p o i s s o n 约化诱导了g + 上的l i e p o i s s o n 括号，即商空间( t * g ) g 和g 。是 一致的。 k a z h d a m ，k o s a n t , s t e i n b e r g 2 0 】已经证明了p “辛微分同胚于一个轨道约化空 间兄= , l - x ( d p ) c ，由此可知匕是p g 中的辛叶片。m a r s d e n 和r a t i u 【2 9 在p 0 i s s o n 约化推广的过程中阐明了兄上的p o i s s o n 结构是通过什么方式和p g 上的 p o i s s o n 结构联系起来的。 l a g r a n g e 系统的r o u t h 约化和具有循环变量的系统是相关的。r o u t h 约化的一 个主要特征是当我们将e u l e r - l a g r a n g e 方程应用于由对称性得到的商空间，并将动 量映射限制在一个特定值时，所得方程仍是e u l e r - l a g r a n g e 形式，这和l a g r a n g e 系 统本身无关，而和r o u t h 函数有关。r o u t h 3 9 】曾将这些观点应用在稳定性理论上， 他是关于稳定性理论的能量一动量方法的先驱。 l a g r a n g e 约化的另一个主要部分是p o i n c a r e 3 6 1 关于l a g r a n g e 系统的经典工作， 其中介绍了e u l e r - p o i n c a r e 方程。同时，p o i n c a r e 也意识到流体力学和刚体方程以及 重陀螺方程都可以用李代数以一种完美的方式加以描述。 对称力学系统的约化理论是一个十分有用的工具，推动了稳定性理论( a a m o r d 方法到能量动量方法) 、力学系统的分歧理论等理论的发展。另外l a g r a n g e 约 化、切丛约化、余切丛约化、半直积约化、分阶段约化等相关理论也得到了长足 的发展。 1 2 本文的主要工作 约化理论就是利用守恒律或对称性得到一个较小维数的相空间。本文我们首 先概述t l a g r a n g e 系统的约化理论，进而介绍了l a g r a n g e 力学系统、l a g r a n g e 函 数及其局部坐标形式。第三章是本文的核心内容，其中我们介绍了力学变分原理， 在此基础上我们介绍t l a g r a n g e 系统的l i e p o i s s o n 约化定理即定理3 2 2 、e u l e r - p o i n c a r e 约化定理即定理3 3 3 以及l a g r a n g e p o i n c a r e 约化定理即定理3 4 1 。而对 于动量映射j 具有特定值“的系统，约化l a g r a n g e 系统的构造的关键是修正l a g r a n g e 函数l 为r o u t h 函数彤，后者是从l a g r a n g e 函数减去动量映射中带有约 束值“的力学联络。另一方面，l a g r a n g e p o i n c a r e 方程所需要的基本元素是l a 一 2 第一章绪论 g r a n g e 系统上的速度平移，因此速度一平移l a g r a n g e 函数所起的作用与r o u t h 函 数所起的作用是一样的。 最后我们通过一个例子双球摆力学系统，给出了如何对其进行l a g r a n g e 约 化，并给出了局部坐标表示，从而进一步说明了本文所论述的l a g r a n g e 系统约化 理论和方法的有效性。 本文可以分为以下四个部分： 第一部分我们主要介绍了流形、流形间的光滑映射等一些基本概念，使得我 们可以在流形上研究l a g r a n g e 系统的约化理论，并给出了和l a g r a n g e 系统相关的 李群作用、动量映射、l a g r a n g e i 函数等相关内容。 第二部分我们主要介绍- j l a g r a n g e 系统约化理论的重要基础即变分原理，在 此基础上介绍了l a g r a n g e 系统约化的l i e - p o i s s o n 约化定理、e u l e r - p o i n c a r e 约化定 理、l a g r a n g e p o i n c a r e 约化定理。 第三部分我们介绍了具有循环变量的系统的r o u t h 约化，它和l a g r a n g e 系统 在可交换情形下的约化是一致的。 第四部分我们通过一个例子一双球摆，详细阐述t l a g r a n g e 系统约化理论的 应用，同时我们也给出了其局部坐标表示，并给出t x 2 球摆力学系统的l a g r a n g e 系 统约化定理。 3 第二章相关基础 第二章相关基础i i i 弟一早个日大墨田 本章我们回顾关于流形、丛、联络、李群作用以及动量映射的一些结果，这些 结果在后面的章节会经常用到。对于某些结果，我们也会给出其坐标表示，因为在 许多应用中，坐标表示是很重要的。这部分内容可参见【l 】，【2 】，【1 3 ，【1 5 ，【3 0 ，【3 3 ， 【4 6 】。 2 1 流形及其相关概念 本文我们主要是在流形上讨论l a g r a n g e 系统，因此我们首先给出流形、流形 间的光滑映射等相关概念。 定义2 11 设q 是一个h a u s d o r f f 空间，若对任意一点z q ，都有z 在q 中的 一个邻域u n 胚于m 维欧式空间舻的一个开集，则称q 是一个m 维流形( 或拓 扑流形) 定义2 1 2 设q 是一个m 维流形，如果在流形q 上给定了一个坐标卡集 = _ 【( 配蜘) ，( k 妒y ) ，( 彬妒w ) ，) 满足下列条件，则称是q 上的一个微 分结构： ( 1 ) v 彬】是q 的一个开覆盖。 ( 2 ) 属于的任意两个坐标卡是伊一相容的。 ( 3 ) 是极大的，即对于q 的任意一个坐标卡( u ，妒疗) ，若与属于的每一个坐标 卡都是眇一相容的，则它自身必属于。 若在q 上给定了一个微分结构，则称q 是一个微分流形，若在q 上确定了一 个伊一微分结构，则称q 为伊一微分流形，若在q 上确定了一个c o 。一微分结构， 则称q 为光滑流形。本文主要讨论光滑流形，在不致引起混淆的情况下，常把光 滑流形称为流形。下面我们给出光滑流形之间光滑映射的定义： 定义2 13 设，：p _ q 是从光滑流形p x , q 的一个连续映射d i m p = 仇， d i m q = 扎。若在一点p p ，存在点p 的容许坐标卡( 妒矿) 和点厂( p ) 的容许坐 标卡( v 札) ，使得映射 4 第二章相关基础 妒yo ，o 妒孑1 ：妒u ( u ) 一札( y ) 在点) 是c 0 0 的，则称映射，在点p 是c o o 的若映射，在尸的每一点都是 c 0 0 的，则称，是从p 到q 的光滑映射 下面我们给出几类重要的光滑映射： 定义2 14 我们将光滑映射f ：p _ q 称为： ( 1 ) 微分同胚：若，是双射且其逆厂1 ：q _ p 也是光滑的 ( 2 ) 浸入：若对所有的p p ，耳，：t p p 一乃( p ) q 都是单射。 ( 3 ) 淹没：若对所有的p p ，乃，：t p p _ 乃( p ) q 都是满射。 ( 4 ) 单浸入：若厂既是单射也是浸入 ( 5 ) 嵌入：若，是单浸入且是到其像集，( 尸) 上的同胚，其中，( p ) 带有从q 诱导的 弄目对拓才卜。 下面我们给出嵌入子流形和浸入子流形的概念。 定义2 15 设p 与q 是两个光滑流形，若有光滑映射妒：尸_ q ，使得： ( 1 ) 妒是单一的i ( 2 ) 在任意一点p p ，切映射 妒。：乃( p ) _ 巧o ) ( q ) 都是非退化的，则称( 妒，p ) 是q 的一个光滑子流形，或称( 妒，p ) 是q 的嵌入子流 形。 形。 如果映射妒只满足条件( 2 ) ，则称妒是浸入。这时称( 妒，p ) 是q 的浸入子流 2 2 李群作用和动量映射 本节我们介绍和系统密切相关的李群作用和动量映射。除非特别声明，否则 本文中所说的流形都是光滑的，而且流形之间的映射也是光滑的。对于流形q ，我 们用t q 表示q 的切丛，写q 的元素可以表示为，他q ，或者( q ，尊) 或简单地记 作叠。我们用t + q 表示q 的余切丛，写q 的元素通常记为o z g 。 5 第二章相关基础 2 2 1 李群作用 动力系统理论起源于对常微分方程的研究，主要考虑在流形上定义的抽象的 动力系统： 面d x = x ( z ) ， z ( o ) x o ， 其中x 是光滑流形m 上的一个向量场，茁m 表示状态变量。 定义2 21 一个李群g 是一个光滑流形，并且是一个群，使得乘法运算 ( g ，h ) g ghg h g ，h g ， 是一个光滑映射。 定义2 2 2 设g 是域f 上的线性空间，且g 中有二元运算通常称为换位运算或 者括积，且满足下列三个条件： 1 ) 此二元运算是双线性的； 2 ) k ，叫= 0 ，v x g j 3 ) 【x ， y ，z 】+ y ， z ，z 】+ z ，【x ，秒】 = 0 ，v x ，y ，z g 则称g 为域f 上的李代数。 李群g 的李代数记作g 或者l i e ( g ) ，其对偶空间记作g + 。 定义2 2 3 设q 是一个光滑流形，g 是一个李群，g 在q 上的左作用是一个 光滑映射圣：g q q ，并且满足 ( i ) 西( e ，g ) = q ，对所有q q ， ( i i ) 西( 夕，垂( ，g ) ) = ( p ( g h ，g ) ，v g ，h g ，q q ， 其中三元组( q ，g ，圣) 称为一个g 一流形。 为简化记号，我们定义夕q ：= 圣( 夕，g ) ：= 屯( 9 ) ：= c q ( g ) 。类似的我们 可以定义李群g 在q 上的一个右作用。李群g 在q 上的一个右作用是一个映射 矽：q g q ，且使得对所有的q q ，我们有砂( 口，e ) = q ，且对所有的g ，h g 和 q q ，我f i 有砂( 矽( g ，9 ) ，h ) = 矽( g ，9 h ) 。 定义2 24 在群作用圣之下，q q 的轨道0 口是如下集合： 0 q 三g q ：= 呜( q ) l g g 】 6 第二章相关基础 定义2 2 5 李群g 作用在流形q 上，则q q 的迷向子群是g 的一个闭子群 其李代数g 口如下： g 口：= 夕g i 圣g ( g ) = g ) cg ， g 口= 代g i 白( g ) = o 由于实际问题中的许多系统的构型空间都是( 余) 切丛，因此我们有必要考 虑一下光滑流形q 上的李群作用在( 余) 切丛上的提升作用。 定义2 2 6 设圣：g q _ q 是李群g 在光滑流形q 上的一个李群作用， 映射西在q 的切丛t q 和余切丛t * q 上分别诱导了一个自然的李群作用，李群 作用的切丛提升丁垂：gx 购_ t q d 日： ( g ，v q ) h 正- 其中夕g ，t q ， 给出。李群作用的余切丛提升t + 圣：g t + q _ t + q 由： 给出。 ( g ，q q ) 卜7 口圣9 1 a 口 其中9 g ，o l 口t + q 另外我们经常用到的群作用是自由的、p r o p e r 作用，它们的定义如下： 定义2 2 7 流形q 上的一个李群作用称为可迁的，如果仅有一条轨道；称为 自由的，如果q 中每个元素的迷向子群只包含单位元。 定义2 28 设g 是一个李群，它通过映射圣：gx