（应用数学专业论文）完全广义混合隐拟变分不等式与广义隐拟似变分包含组.pdf

完全广义混合隐拟变分不等式与 广义隐拟似变分包含组 学科专业：应用数学 指导教师：邓磊教授 研究方向：非线性泛函分析 研究生：肖成英( 2 0 0 5 0 9 7 3 ) 摘要 本文主要研究了h i l b e n 空间中一类完全广义混合隐拟变分不等式和一类广义隐 拟似变分包含组解的存在性和迭代序列收敛性等问题 首先，较系统全面的介绍变分不等式理论的历史背景、广义隐拟变分问题的研究 现状以及本文所做的工作 本文第二章通过引入强单调，松弛l i p s c h i t z ，次微分等概念，运用预解算子技巧研 究了实h i l b e r t 空间中一类完全广义混合隐拟变分不等式解的存在性问题，并利用不动 点理论构造出迭代序列，并给出序列的收敛性证明 本文第三章利用，卜强单调，( g ，7 ) 单调以及广义预解算子的性质，讨论了实h i l b e r t 空间中一类广义隐拟似变分包含组问题，并使用m a n n 迭代研究了这类变分包含组解 的迭代逼近 关键词：完全广义混合隐拟变分不等式；强单调； 松弛l i p s c h i t z ；预解算子； ( g ，7 ) - 单调；l i p s c h i t z 连续；广义预解算子；m a 皿迭代；广义隐拟似变分包 含组 c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i t q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n da s v s t e mo fg e n e r a l i z e di m p l i c i tq u a s i 、h r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n m a j o r lb 鹊i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ： n o n l i n e 壮f u n c t i o n a ja n a l l y s i s s u p e r v i s o rlp r o f d e n gl e i a u t h o r ：x i a oc h e n gy i n g a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，呔i s t e n c et h e o r e m 80 f l u t i o 珊a n dt h ec o n v e r g e n c ec r i t e r i ao fi t e r a t i v e a 1 9 0 r i t h mf o rc o m p l e t e l yg e n e r a l l i z e dm i 】【e di m p h c i tq u 蠲i v 打i a t i o n a li n e q u a l i t ya n da s y s t e mo fg e n e r a l i z e di m p l i c i tq u 够i i a t i o n a l - l i k ei n c l l 塔i o nh a v eb ns t u d i e di nh i l b e r t s p a ；t 冬 f i r s t l y ，w es h o wt h ed e a lb a c k g r o u n d0 ft h ev a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yt h e o r y 姐dt h em a i n o fw o r k sf o rg e n e r a l i z e di m p l i c i tq u 嬲iv 打i a t i o n a l lp r o b l e m st h a th a v eb e e ns t u d i e db ym a n y a u t h o r s ，s o 鹪t os h o wt h a to u rw o r l 饵w o r t h yo fa t t e n t i o n w ba l s oi t r o d u c e 皿怆b a s i c c o n c e p t i o 珊姐do l l rm a i n 麟u l t 8i nt h i s 缸t i c l e i nt h es e c o n dc h a p e r ，b ya p p l y i n gr 俗o l v e d to p e r a t o rt e d l i l i q l l e ，a ne 】【i s t e n c et h e o r e m o fs o l u t i o 珊f o rc o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dm i 】【e di m p l i c i tq u a l s i v 缸i a t i o n 甜i n e q u “t yi n v o l v i n gs t r o n g l ym o n o t o n e ，r e l a x e dl i p 8 c l l i t z ，8 u b d i f f e r e n t i a li sp r 0 、砌i nh i l b e r ts p a c 皓an o v e l i t e r a t i v ea l g o r i t h mt oc o m p u t ea p p 呦【i m a t e l u t i o 瑚i ss l l g g 髑t e d t h ec o n v e r g e n c ec r i t e r i a i 8a l s o 舀唧 i nt h et l l i r dc h a p e r ，b y 璐i n gt h ep r o p e r t i 鹤o f 卜s t r o n g l y 1 0 n o t o n e ，( g ，t 7 ) 一m o n o t o n e a n dg e n e r a l i z e dr e s o l v e n to p e r a t o r ，as y s t e mo fg e n e r a l i z e di m p l i c i tq u 硇iv 打i a t i o n a l _ l 龇 i n c l l l 8 i o nh 船b e e ns t u d i i e di nh i l b e r ts p a u c 眠t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o na n dt h ec o n v e r g e n c e o fi t e r a t i v es e q u e c 鹤ha _ v ea l s 0b ng i v e nb ym 籼i t e r a t i v e k e yw o r d s ： c o m p l e t e l yg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u 鼬i v 打i a t i o n a j i n e q u a l i t y ；s t r o n gm o n o t o n e ；r e s o l v e n to p e r a t o r ； r e l a x e dl i p s c h i t z ； l i p s c h i t z c o n t i n u o u s ；( g ，7 ) 一m o n o t o n e ；g e n e r a l i z e dr e s o l v e n to p e r a t o r ； m a n ni t e r a t i v e ；a s y s t e mo fg e n e r a l i z e di m p l i c i tq u 蠲iv 打i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n l l 独创性声明 学位论文题目：塞全亡义遏佥隐拯变佥丕笠塞： 生亡幺隐赵越变金鱼金塑 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：盲忒定 签字日期：弦眸r 月3 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：倒不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：r 旨威廷导师签名：移磊 j i 一 签字日期：a 寸暑年r 月lo 日 签字日期：么刍郾薛厂月o 日 1 引言与预备知识 1 1 引言 变分不等式自1 9 6 6 年被h 缸t m a n 和s t a l p a c c h i a 首次提出并研究以来，已经得到 国内外广大数学研究者的重视从最初的古典变分不等式，一般变分不等式发展到现 在的混合变分不等式、似变分不等式、集值变分不等式、变分包含问题、互补问题等 一系列相关联的问题在研究方法上也不断完善和提高，对每类变分不等式都建立了 各种类型的具体求解方法，目前解变分不等式常用的方法有投影法及它的变形形式， w i e n e 卜h o p f 方程、超梯度法、预解方程、辅助原理等，其中投影算法及它的变形形 式包括w i e n e r - h o p f 方程是求变分不等式逼近解的极具代表性的重要工具它最早由 l i o 瑚，s t a m p a c c l l i a 提出，主要思想是利用投影的概念建立变分不等式同不动点问题的 等价性，但它有几个缺点。第一，收敛性要求算子必须是强单调和l i p s c b j t z 连续的，如 此严格的条件限制了它的应用范围；第二，对算子投影的估计是非常困难的；第三。 所有的投影型方法不能用来提出和分析解涉及到非线性项的变分不等式超梯度法是 根据双投影在每次迭代中增加前步( 投影) 也可看作预测校正算法，它的收敛性仅要 求变分不等式的解存在和单调算子是l i p 8 c h i t z 连续的，若算子不是l i p s c h i t z 连续的或 不知道l i p s c h i t z 常数，这时超梯度法和它的变形形式需要一个a r 坷伊h k e 线性搜索程 序来计算步长，它在一定程度上改进了投影算法，但计算量很大含非线性项的混合 变分不等式当非线性项是真凸下半连续函数时，它的次微分是极大单调集值映射，因 此可以利用集值映射的预解算子来代替投影算子，当非线性项不可微时可用辅助原理 法预解方程、辅助原理法在相当程度上弥补了投影算子在含非线性项变分不等式上 的不足随着变分不等式理论的成熟和发展，得到越来越多的数学工作者的重视和研 究，如今变分不等式，变分包含及补问题理论作为一个有效的工具，以统一的模式已 被大量地应用于力学、微分方程、现代化控制、经济与交通平衡、管理科学、优化与 控制论、数理经济、对策理论、非线性规划等各个领域变分不等式理论的研究已成 为现代科学的重要研究课题 下面我们就概述一下与本文相关的变分不等式及其研究方法以及本文所做的工 作 d i n g 在【1 】中利用辅助原理法介绍并研究了h i l b e r t 空间中一类广义混合隐拟变分 不等式解的存在性及算法： 设日为实h i l b e r t 空间，2 日是日上的非空子集族，k ：日_ 2 日为集值映射， k ( 。) 为日上的闭凸子集c b ( 日) 为日中的非空有界闭子集族，互a ：日_ c b ( 日) 为集值映射，：日日- 日为单值映射设6 ：日日一+ r 为实泛函，并满足。 ( 1 ) 6 ( z ，! ，) 关于第一个变量是线性的， ( 2 ) 6 ( z ，可) 有界，即是说，存在常数l ， o 使得 6 ( z ，可) 0 $ 0 0 可 ( 3 ) v z ，可，名日， 6 ( z ，暑，) 一6 ( z ，z ) s6 ( z ，暑，一z ) ( 4 ) 6 ( z ，矽) 关于第二个变量是凸的 找2 日，色t ( 畲) 和痧a ( 盒) 使得 金k ( 2 ) ，( ( 也，痧) ，秒一2 ) 6 ( 金，盒) 一6 ( 畲，! ，) ，v 暑，k ( 金)( 1 1 1 ) 而在文献 2 】中，h u a n g 和d e n g 借助辅助原理和迭代算法研究广义集值强非线性 混合类变分不等式： 设日为实h i l b e r t 空间，c b ( 日) 为日中的非空有界闭子集族，7 ：日日_ 日 为单值映射，t ，a ：日- c j e 7 ( 日) 为集值映射，找u 日，t i j t ( u ) ，a ( t ) 使得。 ( ( 伽，暑，) ，f 7 ( t ，t ) ) + 6 ( t 工，”) 一6 ( t ，u ) o ，v b 日( 1 1 2 ) 其中6 ( ，) ：日日+ r 不可微，且满足【1 】中条件( 1 ) 一( 4 ) 显然，问题1 1 2 推广了问题1 1 1 中的结果，此外问题1 1 2 的研究结果也包含了 【3 5 】中的相应问题，算法或结果 在文献 6 】中，d i g 用预解算子和迭代算法研究了一类完全广义混合隐拟变分包 含解的存在性和迭代序列的收敛性： 设日是实h i l b e r t 空间。范数和内积分别为i i i l ( - ，) 设a ，b ，c ，d ，e ，f ：日+ d b ( 日) 是集值映射，其中c b ( 日) 表示日的所有非空有界闭子集族，设：日日日_ + 日和g ：日日是单值映射给定 日，妒：日j 5 r 一冗u + o o 是一泛函且使得对 固定z 日，z 卜妒( z ，名) 是真凸下半连续泛函，满足夕( 日) nd d m 却( ，z ) 毋且实泛函 6 ：日日一r 满足 1 】中条件( 1 ) 一( 3 ) ， 找z 日，口a ( 9 ( z ) ) ，6 b ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，e e ( z ) ，f ( z ) 使得 ( 口一( 6 ，c ，回+ t t ，暑i ! 一9 ( z ) ) + 6 ( y ，e ) 一6 0 ( z ) ，e ) 妒( 夕( z ) ，) 一妒( 暑，) ，v 暑日( 1 1 3 ) 显然，文献【6 】在形式和算法上都推广了以前的结果，并且在条件上也有所削弱，不要 求6 ( z ，y ) 关于第二个变量凸问题1 1 3 包含【4 ，7 - 1 5 】中的变分包含作为特殊情况，并 用预解算子技术建立了迭代算法，它改进或推广了【1 ，2 】中的相应结果 2 本文的第二章用预解算子技术和迭代算法研究了h i l b e r t 空间中一类完全广义混 合隐拟变分不等式： 设日是实h i l b e r t 空间，范数和内积分别为i i 0 ，) 设a ，b ，c ，d ，j e 7 ，f p ：日- + c b ( 日) 是集值映射，其中c b ( 日) 表示日的所有非空有界闭子集族，设m ：日j 5 r + 日a = 1 ，2 ) 和夕，m ：日一日是单值映射，设范函妒：日日一ru + o o 对每个定点 名日，z 一妒( z ，z ) 是真凸下半连续，且g ( z ) 一m ( 耖) d d m 却( ，z ) ，日设真范函 6 ：日日- r 满足【6 】中条件( 1 ) 一( 3 ) ： 找z 日，! ，p ( z ) ，n a ( z ) ，6 j e 7 ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，e e ( z ) ，f ( z ) ，对 耽日，使得 ( i ( 口，6 ) 一2 ( c ，d ) ，t 一( g ( z ) 一m ( 暑) ) ) + 6 ( t ，e ) 一6 ( 9 ( z ) 一r n ( 暑) ，e ) 妒( 9 ( z ) 一竹l ( ) ，) 一妒( t ，j ( 1 1 4 ) 文献【1 6 】用广义预解算子技术研究了一类广义隐似变分包含问题： 设7 ：x x - + x ，g ：x x ，( ，) ：x x - + x 为单值算子，a ，t ：x c b ( x ) 为多值算子，m ：x _ 2 x 为( g ，t 7 ) 单调映射给定，x ，找u x ， a ( u ) ，t ，t ( u ) 使得。 ，( ，移) + m ( u )( 1 1 5 ) 适当选取，正a ，g ，m ，我们不难发现问题( 1 1 5 ) 包含多种变分不等式和变分 包含作为特殊情况，参阅文献【1 7 ，1 8 】 2 0 0 5 年，文献【1 9 】将单个变分包含推广到研究变分包含组： 设日l ，日2 为实h i l b e r t 空间，ac 日1 和bc 日2 为非空闭凸子集，f ：日l 日2 斗 日1 ，g ：日1 日2 _ 飓，c ：日1 _ 日1 ，d ：日2 - + 凰，和t 7 ：日日一日是五个算子， m ：日l 一2 日- 为( g ，7 ) 单调算子，：日2 _ 2 日2 为( d ，7 ) 单调算子，考虑下面的变 分包含组。找( 口，6 ) 日l 三七，使得 0 f ( n ，6 ) + m ( 口) ， 0 g ( 凸，6 ) + ( 6 ) ( 1 1 6 ) 本文在第三章中研究了一类广义隐拟似变分包含组。 设日1 ，日2 为实h i l b e r t 空间，ac 凰，口c 日2 为非空闭凸子集设t 7 l ：日l 研一日l ， t 7 2 ：日2 日2 一日2 ，f ：皿日2 - 日1 ，g ：日1 日2i 玩，c ：日1 一日1 ，d ：日2 _ 日2 为 单值映射，t ：日1 一c b ( 日1 ) ，p ：日2 _ c b ( 日2 ) 为多值映射设m ：日1 日2 - 2 日- 关 于第一变量是( g ，7 1 ) 单调，：日l 玩2 日2 关于第二变量是( d ，7 2 ) - 单调则对 3 给定的e 风，日2 ，找( 口，6 ) a b ，u t ( 口) ，t ，p ( 6 ) 使得 e f ( t 上，t 7 ) + m ( n ，6 ) ， ，g ( t i ，t ，) + ( 口，6 ) ( 1 1 7 ) 问题( 1 1 7 ) 在形式和算法上结合了问题( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 中的结果，同时又在此两个问 题上进行了推广和改进，使之得到更广泛的应用适当选取映射正p c ，d ，eg ，地， 问题( 1 1 7 ) 等价于多种变分不等式( 包含) 以及补问题，具体研究参阅文献 1 6 _ 2 4 1 1 2 预备知识 为了叙述方便，我们简单的介绍一下相关的概念以及引理 设日是实h i l b e r t 空间，2 日表示日的所有非空子集族，c b ( 日) 表示日的所有 非空有界闭子集族，( ，) 表示内积，i l - 0 表示范数，d ( ，) 是c b ( 日) 上的h a 璐d 硼 度量，表示为d ( a ，b ) = m a x 8 u pd ( z ，b ) ，s u pd ( a ，材) ) ，a ，b c b ( 日) 定义1 2 1 称映射夕：日- 日s ( 1 ) l i p s c h i t z 连续，若存在常数s o 有： 09 ( z ) 一9 ( y ) 0 30z 一可0 ，v z ，! ，日， ( 2 ) 强单调，若存在常数，y o 有： ( 9 ( z ) 一夕( 耖) ，$ 一) 70z 一耖0 2 ，v 2 ，可日 定义1 2 2 称集值映射a ：日- c b ( 日) 是l i p 8 c h i t z 连续，若存在常数7 o 有 d ( a ( z ) ，a ( 可) ) ，y0z 一毫，i l ，v z ，暑，日， 其中d ( ，) 表示c b ( 日) 上的h a 岫d o 度量 定义1 2 3 设映射刀：日_ 2 日，：日日一日 ( 1 ) 称e 为甜强单调，若存在常数o 0 有s ( t l u 2 ，z 1 一z 2 ) q0z l z 20 2 ， vz 1 z 2 日，u l e ( z 1 ) ，u 2 曰( z 2 ) ( 2 ) 称( ，) 在第一个变量关于e 为m 松弛l i p s c b j t z ，若存在常数a o 有： ( ( t 上l ，) 一( t 上2 ，) ，z 1 一z 2 ) 一a0z l z 20 2 ， vz 1 ，z 2 日，u 1 e ( z 1 ) ，u 2 e ( z 2 ) 定义1 2 4 称映射：日日一日关于第一个变量是l i p s c h i t z 连续，若存在常 数s o 有： 0 ( z ，口) 一( 可，n ) 0 s0z 一0 ，v z ，! ，o 日 4 同样，可以定义关于第二个变量l i p s c h i t z 连续 定义1 2 5 【2 5 】设x 是b a n a c h 空间，x 是其对偶空间，妒：x _ ru + ) 是实 泛函称妒在点霉x 次可微，若存在，x + ，使得 妒( 可) 一妒( z ) ( ，+ ，一z ) ，x ， 其中，+ 称为妒在z 的次梯度妒在z 的所有次梯度的集合表示为却( z ) 映射 却：xj2 x 表示成 a 妒( z ) = ，x 。：妒( ! ，) 一妒( z ) ( ，+ ，暑，一z ) ，v ”x ) 称为妒的次微分 定义1 2 6 【6 】设日是h i l b e r t 空间，g ：日_ 2 日极大单调映射对固定的p o ， 定义映射够：日日为： 够( z ) = ( 阳) 一1 ( z ) ，比日 称为g 的预解算子，其中j 是日上的恒等映射 定义1 2 7 称映射f 7 ：日日_ 日是l i p s c h i t z 连续，若存在常数下 o 使得 0 ，7 ( z ，! ，) 0 7 - i fz 一0 ，v 叠，! ，日 定义1 2 8 设t ：日- c b ( 日) 是集值映射，：日日_ 日是单值映射，称t 为 ( 1 ) l i p s c h i t z 连续，若存在常数7 o 使得 d ( t ( z ) ，t ( 可) ) s ，y0z 一! ，i i ，v z ，暑日 ( 2 ) 关于的第一个变量强单调，若存在常数亡 o 使得 ( ( u ，) 一( t ，) ，z 一暑，) t0 。一掣1 1 2 ，v t t ( z ) ，t ，t ( ! ，) ( 3 ) 称( ，) 的第二个变量是l i p s c h i t z 连续，若存在常数s o 使得 0 ( ，z ) 一( ，可) 0 s0z y0 ，比，耖日 定义1 2 9 设叼：日日_ 日和c ：日一日是单值算子，m ：日日_ + 2 日是多 值算子 ( 1 ) 称c 是强单调，若存在常数七 o 使得 ( c ( z ) 一c ( y ) ，z 一! ，) 七0z 一可1 1 2 ，v z ，秒日 5 ( 2 ) 称c 是t 卜强单调，若存在常数 o 使得 ( c ( z ) 一c ( 暑，) ，t 7 ( z ，! ，) ) f0z 一暑，1 1 2 ，v z ，可日 ( 3 ) 称m 关于第一个变量松弛矿单调，若存在常数m o 使得 ( u t ，7 ( z ，) ) 一m0z y1 1 2 ，可日，缸m ( z ，) ，t ，m ( v ，) ( 4 ) 称m 关于第一个变量( c ，t 7 ) 单调，若m 是松弛叩- 单调且( c + 入m ( ，z ) ) ( 日) = 日 对任意a 0 成立 定义1 2 1 0 【2 4 】设 ：日日一日是单值算子，c ：日日为t 卜强单调算子， m ：日日- 2 日关于第一变量是( g t 7 ) 单调，则广义预解算子r 极定义为 而，a ( t ) = ( c + a m ( ，z ) ) 一1 ( u ) ，忱日 引理1 2 1 【6 】设x 是自反b a j l a c h 空间，其范数严格凸，且妒：x - ru + ) 是 真凸下半连续泛函则a 妒：x 2 f 是极大单调映射 引理1 2 2 【2 5 】设g ：日_ 2 日是极大单调映射，则g 的预解算子拶：日一日是 非扩张，即是说，忱，耖日，有 0 够( z ) 一够( 可) 0 0z 一0 引理1 2 3 设6 ：日j 5 r 一月是实泛函，且满足条件( 1 ) 一( 3 ) 则日存在惟 的 ( ! ，) 日使得6 ( z ，v ) = ( ( 可) ，z ) ，v z j 5 r 且0 九( 矽) 一 ( z ) l l l ，l | 矽一名i l ，v ! ，2 日， 即是说，映射 ：日_ 日是l i p s c h i t z 连续 证明：由条件( 1 ) 和( 2 ) ，可得 i6 ( z ，可) i i lzl i i i 可0 ，v z ，! ，日， 这样6 ( z ，o ) = 6 ( o ，可) = o ，且对每个可日，z 一6 ( z ，y ) 是连续的 再由6 ( ，) 的条件( 2 ) ，( 3 ) ，可得 l6 ( z ，! ，) 一6 ( z ，z ) i 0z00 可一彳0 ，v z ，耖，名日， 则对每个。日，可一6 ( z ，可) 也是连续的这样对每个耖日，z 卜6 ( z ，可) 是日上的连续 线性泛函由磁镐z 表示定理，存在一个唯一的 ( y ) 日使得 6 ( z ，耖) = ( ( y ) ，z ) ，v z 日 6 且 i l ( ! ，) 一 ( z ) 0 = s _ pj ( ( ! ，) 一，l ( 石) ，。) j 叫l l = s 磐f6 ( z ，y ) 一6 ( z ，2 ) l 忪j | s 1 s 。s 粤i6 ( z ，g ，一z ) i 忙| | s l s s h p 工，0 z 00 可一z0 忙“s l 正，j ! ，一名i i ，v ”，彳三l 定理1 2 1 设日为实h i l b e r t 空间，7 ：日日- j 5 r 为1 - 。l i p s c h i t z 连续，c ：日_ + 日 为俨强单调，常数为；m ：日日- + 2 日为( g 7 ) 单调映射，常数是m ，则广义预解 算子嘲是l i p s 出t z 连续的，常数为南，即 i i 冗织( z ) 一月积( g ，) 怪南忙叫，耖日 证明：给定z ，y 日，由r 2 3 ( z ) = ( c + a 肘) 一1 ( z ) 和r 2 & ( 耖) ：( c + a m ) 一1 ( ! ，) 可 得 妻任一c ( r 岳3 仕) ) ) m ( 冗识( z ) ) 和 妻( 矿一c ( r 协( 可) ) ) m ( 嘲( ) ) 又因为m 是( g 刀) 单调有 妻任一g ( r 2 3 ( z ) ) 一( ! ，一c ( 冗积( ) ) ) ，7 ( r 易3 知) ，矗苏 ) ) ) = 妻忙二s ，一( c ( r 2 3 p ) ) 一c ( 月岔3 函) ) ) ，t 7 ( r 2 3 p ) ，冗应3 ( 可) ) ) 一仇l ir 苏( z ) 一冗苏 ) 1 1 2 从上面的不等式和定理中的条件，可得 。磁3 ( z ) 一嗽( y ) 0 2 詈( c ( r 积( 圳一c ( r 积( 州，7 ( r 积( 矾r 镪( 纠) 詈( z f 7 ( 嗽( z ) ，嘟( ! ，) ) ) + 却r 跏) 一r 跏) 1 1 2 7 这样就有， 扣z 一洲叩( 冗苏( 巩冗积( 训i i + 警i ir 积( z ) 一r ( 州1 2 到z 一洲r 积( z ) 一r 镪( 州i + 字i i r 嬲( z ) 一r 镪( 训1 2 o 冗镪( z ) 一r 苏( ! ，) o 南o z 一可i i ，比；g ，日 8 2完全广义混合隐拟变分不等式 本章运用预解算子技术给出了完全广义混合隐拟变分不等式的迭代算法，并在较 弱的条件下证明了解的存在性以及迭代序列的收敛性 2 1 模型及其概况 设日是实h i l b e r t 空间，范数和内积分别为”8 ，( - ，- ) 设a ，b ，gd ，e ，只p ：日 c b ( 日) 是集值映射，其中c b ( 日) 表示日的所有非空有界闭子集族，设挑：日日寸 日“= 1 ，2 ) 和夕，m ：日一日是单值映射，设范函妒：日日- ru + 。o 对每个定点 名日，z _ 妒( z ，石) 是真凸下半连续，且9 ( z ) 一m ( 矽) d d m 却( - ，z ) ，比，可日设真范函 6 ：日日_ r 满足： ( 1 ) 6 ( z ，y ) 关于第一个变量线性的， ( 2 ) 6 ( z ，耖) 有界，即是说，存在常数 o 使得6 ( z ，s ，) l ，0z i ! ，0 ， ( 3 ) 比，矽，名日， 6 ( z ，暑) 一6 ( z ，z ) 6 ( z ，暑一名) 本文主要讨论一类新的完全广义混合隐拟变分不等式；求z 日，耖p ( z ) ，n a ( z ) ，6 b ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，e e ( z ) ，f ( z ) ，对v t 日使得 ( j ( 口，6 ) 一v _ 2 ( c ，d ) ，t 一曲( z ) 一m ( ) ) ) + 6 ( t ，e ) 一6 ( 9 ( z ) 一r n ( 秒) ，e ) 妒( 9 ( z ) 一m ( 暑，) ，) 一妒 ， ( 2 1 1 ) 特例： ( 1 ) 若1 ( n ，6 ) = 歹( 硼) 及6 ( 耖，e ) = o ，则( 2 1 1 ) 就变成下面的完全广义拟变分包含： 求z 日，c c ( z ) ，d d ( z ) ，可p ( z ) ，f ( z ) ，伽a ( z ) 使得 0 ( 伽) 一( u ，口) ， 一( 夕( z ) 一m ( 妙) ) ) 妒( 9 ( z ) 一m ( 可) ，) 一妒( ，l ，) ，v 日( 2 1 2 ) 在文【2 6 】中引进了问题( 2 1 2 ) ，其中包含了许多广义( 混合) 拟变分不等式作为特 殊情况，参阅【1 3 ，2 7 2 9 】 ( 2 ) 若m ( ) = o ，2 = o ，f = j ，且6 ( y ，e ) = o ，则( 2 1 1 ) 就变成下面的广义混合拟 变分包含：求z 日，n a ( z ) ，6 j e 7 ( z ) ，使得 ( h ( n ，6 ) ，i i 一9 ( z ) ) 妒( 9 ( z ) ，z ) 一妒( ，z ) ， v 日 ( 2 1 3 ) 问题( 2 1 3 ) 是由n o o r 【1 3 】引进的，包括许多广义( 混合) 拟变分包含，广义( 混 合) 拟变分不等式的特殊情况，见【3 ，6 - 1 1 ，3 0 一3 2 】 9 ( 3 ) 若2 ( c ，d ) = c d t t ，及c ，d 都是单值映射，给定t ，日，k ：日_ 2 日是集 值映射且有比日，k ( z ) 是日的闭凸子集，日，妒( ，) = k ( ，) 是k ( ，) 上的指标 函数，即是说， 酬加 二z 繁 则( 2 1 1 ) 变成下面的完全广义混合隐拟变分不等式：求z 日，可p ( z ) ，口a ( z ) ，6 b ( z ) ，e e ( 写) ，使得： ( 1 ( o ，6 ) 一c ( z ) + d ( z ) + t l ，t 一( 9 ( z ) 一仇 ) ) ) + 6 ( t ，e ) 一6 园( z ) 一m ) ，e ) 0 ，v t 日 ( 2 1 4 ) 问题( 2 1 4 ) 包括许多广义混合拟变分不等式，其中z e n g 3 1 】及v e r m a 【1 5 】是( 2 1 4 ) 的 特殊情况 ( 4 ) 若m ( 可) = o ，1 ( o ，6 ) = ，( 口) ，2 ( c ，回= 9 ( 回一c ，6 ( t ，e ) = o 及v ，日，妒( ，) = 。 坛( ，) 是k ( ，) 的指标函数，则( 2 1 1 ) 变成下面的问题：找z 日，n a ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，使得： ( ，( a ) 一( 9 ( d ) 一c ) ，t 一夕( z ) ) 0 ，v k ( ，)( 2 1 5 ) 称( 2 1 5 ) 为广义强非线性拟变分不等式，其中n o o r 和a l - s a i d 【1 2 】，v e r m a 【3 3 】及 v e r m a 和b a s e 【1 4 】中讨论的完全广义强拟变分不等式和广义非线性变分不等式是其特 殊情况 2 2 迭代算法 该节采用预解算子技术，先将( 2 1 1 ) 转化成不动点问题，构造了一个新的迭代序 列 下面将问题( 2 1 1 ) 转化成不动点问题 定理2 2 1 ( z ，可，口，6 ，c ，d ，e ，) 是问题( 2 1 1 ) 的解当且仅当z 日，可p ( z ) ，o a ( z ) ，6 b ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，e e ( z ) ，f ( z ) 满足下面的关系： 夕( z ) = m ( 可) + ，萝妒( ，囟( z ) 一m ( y ) 一p ( a h ( 口，6 ) 一 2 ( c ，d ) + ( e ) ) 】 ( 2 2 1 ) 其中( ( e ) ，z ) = 6 ( z ，e ) ，比日且常数p o 证明：设( z ，可，o ，6 ，c ，d ，e ，) 是( 2 1 1 ) 的解，贝0z e 可尸( z ) ，o 4 ( z ) ，6 b ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( $ ) ，e e ( z ) ，f ( z ) 满足。 ( ( 1 ( n ，6 ) 一j ( c ，d ) ，t 一( 9 ( z ) 一m ( 暑) ) ) + 6 ( t ，e ) 一6 ( 夕( z ) 一m ( ) ，e ) 妒( 夕( z ) 一r n ( 可) ，) 一妒( t ， ( 2 2 2 ) 由弓愕里1 2 3 ，得6 ( t ，e ) 一6 ( 夕( z ) 一m ( 可) ，e ) = 6 ( t 一( 9 ( z ) 一m ( y ) ) ，e ) = ( ，l ( e ) ，t 一( 9 ( z ) 一m ( 可) ) ) ， 则( 2 2 2 ) 成立当且仅当 妒( t ，) 一妒0 ( z ) 一m ( 暑，) ，) ( v 2 ( c ，d ) 一i ( o ，6 ) 一i i ( e ) ，t 一( 9 ( z ) 一m ( y ) ) ) ( 2 2 3 ) 由却( ，) 的定义，( 2 2 3 ) 成立当且仅当 2 ( c ，d ) 一1 ( o ，6 ) 一1 7 l ( e ) 却( ，) 0 ( z ) 一m ( ! ，) )( 2 2 4 ) 再由定义彩妒( ，) ，( 2 2 4 ) 成立当且仅当 9 ( z ) = m ( 耖) + 霹妒( ，b ( z ) 一m ( ! ，) 一p ( 1 ( 0 ，6 ) 一2 ( c ，d ) + ( e ) ) 】 其中( i l ( e ) ，t 一( 9 ( z ) 一m ( ! ，) ) ) = 6 0 一( 夕( z ) 一m ( ) ) ，e ) ，坛，可日，常数p o 则 ( z ，口，6 ，c ，d ，e ，) 是( 2 1 1 ) 的解当且仅当z 日，! ，p ( z ) ，o a ( z ) ，6 b ( z ) ，c c ( z ) ，d d ( z ) ，e e ( z ) ，f ( z ) ，满足方程( 2 2 1 ) 注2 2 1 定理2 2 1 是k 北m i 【3 4 】中引理3 1 ，h u a n g 【2 】中引理3 1 ，d i n g 9 】中定理 2 1 的推广方程( 2 2 1 ) 可表示为。 z = z 一9 ( z ) + m ( y ) + 彩妒( ，【9 ( z ) 一r r i 白) 一p ( l ( 口，6 ) 一2 ( c ，d ) + ( e ) ) 】 通过这个不动点方程我们可以构造出下面的迭代算法 算法2 2 1 设a ，b ，c ，d ，e ，f p ：日jc b ( 日) 是集值映射，川：日j 5 r _ 日g = 1 ，2 ) 和夕，仇：日_ + 日是单值映射，6 ：日日- r 满足条件( 1 ) 一( 3 ) 且 妒：日日_ 冗u + ) 在日上关于第一个变量是真凸下半连续次可微的并且满 足夕( z ) 一m ( y ) d d m 却( ，z ) ，比，耖日，其中却( ，z ) 是妒( ，z ) 的次微分，对任意的 z o 日，珈p ( z o ) ，d 0 a ( z o ) ，6 0 b ( z o ) ，c 0 c ( z o ) ，d ；0 d ( z o ) ，e o e ( z o ) ，o f ( z o ) ， 设 z 1 = z o 一9 ( 。o ) + m ( 秒o ) + j ：妒( ，o b ( z o ) 一m ( 可o ) 一p ( 1 ( o o ，6 0 ) 一2 ( c o ，幽) + ( e o ) ) 】 由n a d l e r 【3 5 】，存在l p ( z 1 ) ，口1 a ( z 1 ) ，6 1 口( z 1 ) ，c l c ( z 1 ) ，d l d ( z 1 ) ，e l e 0 1 ) ， f 仁1 ) ，且 l i ! ，1 一珈l i ( 1 + 1 ) 上f ( p 0 1 ) ，p ( z o ) 0 口1 一n ol l ( 1 + 1 ) 日( a ( z 1 ) ，a ( z o ) 06 l 一6 00 s ( 1 + 1 ) 日( b ( z 1 ) ，b ( z o ) 】 0c l c 0i i ( 1 + 1 ) 日( c ( z 1 ) ，c ( z o ) )( 2 2 5 ) id 1 一d 0i i ( 1 + 1 ) 日( d ( z 1 ) ，d ( z o ) ： i ie 1 一e ol i ( 1 + 1 ) 日( e ( 0 1 ) ，e ( z o ) ) 0 一，0i i ( 1 + 1 ) 日( f ( z 1 ) ，f ( z o ) ) 设z 2 ：z 1 9 ( z 1 ) + m ( ! ，1 ) + 7 尹， 囟( z 1 ) 一m ( 矽1 ) 一p ( h ( n 1 ，6 1 ) 一( c 1 ，d 1 ) + ( e 1 ) ) 】 由此推导，得序列： z n ) ， ) ， n n ， k ) ， c ，i ) ， d ，1 ) ， ) ， 厶) ，满足条件。 = z n 一夕( z n ) + m ( 鼽) + 彩烈，“b ( z n ) 一m ( ) 一p ( l ( n t l ，6 n ) 一2 ( c ，l ，d n ) + i l ( e n ) ) 】 p ( z n ) ，0 珈+ 1 一铷0 ( 1 + m + 1 ) 一1 ) 日( p ( z n + 1 ) ，p ( z n ) ) a ( z n ) ，00 f l + l n n0 ( 1 + ( n + 1 ) 一1 ) 日( a ( z n + 1 ) ，a ( z n ) ) b ( z n ) ，f l6 n + l k0 ( 1 + m + 1 ) 一1 ) 日( b ( z n + 1 ) ，b ( z n ) ) ( 2 2 6 ) c ( z n ) ，i | c n + l c ni i ( 1 + ( n + 1 ) 一1 ) 日( c ( z n + 1 ) ，c ( z n ) ) d ( z n ) ，0 蟊+ l 一厶i i ( 1 + ( n + 1 ) - 1