（应用数学专业论文）实原特征的dirichlet+l函数l（1χ）的下界.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文是对s i e g e l t a t u z a w a 定理在其他人改进的基础上做的进一步改进。主 要是利用h o f f s t e i n 的方法，并参考纪春岗，陆洪文教授对此法的改进，利用二次 域，双二次域的算术性质及其他一些科研成果，得到了更好的结果。有了这个结果 相应地改进了对应于实本原特征x 的l ( s ，) ( ) 在s = 1 附近可能有的实零点的上 界。 本文有两个主要结果。一个是：给定正数e e i e ， 则除去至多一个可能的例外特征外，对每一个模k 的实本原特征x 都有 p 咖 丽法，半) 第二个结果是在假设r i e m a n n 猜想成立的前提下，上述条件不变，则司以得到更 好的结果为 p 幽 丽杀，半) - 关键词：l 一函数实本原特征二次域下界 塑堕查堂堕主堂垡堡塞一 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ei m p r o v et h er e s u l t so fs i e g e l t a t u z a w at h e o r e mb a s e do no t h - 目s w o r k s t h em a i r tw a yi sh o f f s t e i n sw h i c hw a sp r o g r e s s e db yp r o f e s s o rh o n g w e n - l ua n dp r o f e s s o rc h u n g a n g j ii nt h e i rp a p e r s w ea l s ou s ea r i t h m e t i cp r o p e r t yo f a u a d r a t i cf i e l d 、d o u b l eq u a d r a t i cf i e l da n do t h e r s n e wr e s u l t s i t a l s oi m p r o v e st h e u p p e rb o u n do fr e a l z e r o sw h i c ha r ep o s s i b l ei nl - f u n c t i o nl ( s ，x ) a tc l o s e n e s so f s = lf o rr e a lp r i m i t i v ec h a r a c t e r s i th a st w om a i nr e s u l t si nt h i st h e s i s o n ei st h a tl e tp o s i t i v ec o n s t a n te e l t h e nw i t h a tm o s to n ee x c e p t i o nt h ef o l l o w i n gh o l d s 硼 曲 而杀，半) i fw es e l p p o s et h er i e m a n nh y p o t h e s i sh o l d sa n dt h ea b o v ec o n d i t i o n s d o e s n t c h a n g e t h e nt h es e c o n dr e s u l tc a r lh o l d i t s a sf o l l o w s l ( 1 ，x ) m i “7 0 8 1 1 0 9 k k e yw o r d ：l - f u n c t i o n ，r e a lp r i m i t i v ec h a r a c t e r s ，q u a d r a t i cf i e l d ，l o w e rb o u n d i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在寻师耐指导下独立完成的对所研究的课题有新的见解措我所知，除 文中特别加疆说明、标注争致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过甜研究成果也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过蚋材料。与我一同工作的同事对奉研究所儆的任何贡献均已在论文中作 7 明确的说孵并表示7 谢意。 百刁 擘位申请人c 举拉论丈作者 - e , - g ：! 复：暨 2 0 吖车白7 。 关于攀位论毙著作扳使蹲授权书 本人经河南大攀审核批准捩子硕士擘枉。作为学位论文酌作者，本人完全 了解并同毒河南大学有关保镏、使用擘杠论史韵要求，即河南太学有权向圜束 图书馆、科研信息机构、鞭据收集机构和奉校图书馆等提供学位论文( 鳜质文 本和电于文本) 限供公众检索、查阅。本人授权河南太擘出于宣插、雁览学校 举柱炭鹿和进行学术交流等盛韵，可阱采取影印、端印、扫描和拷贝等复制手 位保存、汇缡学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学拄论文作者) 荽名 2 00 学位论文指导教师荽名 曼望 7 年月7 。 哗 河南大学硕士学位论文 1引言及主要结果 l 函数l ( x ) = x ( n ) n 1 是数论中很重要的一个函数，关于它的零点分布 是同r i e m m a 猜想一样很经典的问题我们知道l ( s ，x ) 的非零区域和( 函数的非 零区域基本上是一样的，所不同的是对应于实本原特征x 的l ( s ，) ( ) 可能有非常接 近于1 的实零点，这些实零点有可以计算的上界，这种结果首先是由a p a g e 证明 的他证明了：存在绝对正常数c ，使得对任意的实本原特征) ( m o dq ，口3 ，当 o - 1 一c ( i l 0 9 2 口) 。时，工( 几x ) 0 而且通过一个简单的引理 1 0 】上述问题可 转化为讨论l ( 1 ，x ) 的下界估计也就是：设x 为模的实本原特征，如果在区间 ( 1 一e l l o g k ，1 ) 上没有实零点，则l ( 1 ，x ) c 2 l o g k ，其中c 1 和c 2 为两个正数且 句只依赖于c 1 ( 见引理2 3 ) 。当l ( s ，x ) 在1 附近有实零点时，惟一的非平凡下界 是s i e g e l 1 】给出的，他证明了对任意 0 的，均存在正常数c ( ) 使得 l ( 1 警， 这里的正常数c ( ) 是非实效的。t a t u z a w a 2 】证明了：如果0 1 0 6 5 _ 5 5 ， h o f f s t e i n 【3 】证明了：如果0 r a i n 纛杀，志) 继而南京师范大学的纪春岗等 6 对h o f f s t e i n 的方法加以改造，得到更好的结果 为 ， r a i n 斋西，半) 再有同济大学的陆洪文| 7 1 教授又得到改进的结果为 撕， m i n 蒜磙，半) ， 河南大学硕士学位论文 本文利用h o f f s t e i n 的方法，参考纪春岗，陆洪文教授对此法的改进，利用双二 次域的算术性质和新的科研成果，得到了更优的结果 定理1 1设0 m t n 7 0 8 1 ；l o g k ，3 4 0 肛4 2 6 6 。 2 塑堕盔堂堡兰垡丝奎 5 2 若干引理 为证明定理我们需要如下的引理 引理2 1 对r i e m m a ( 一函数有( ( ；) 1 3 4 1 5 证明： ， 。 1 0 5 。 ( ；) = n 一 = n 一+ 付一； “ n = ln = l n = l o s + l i o s 。l o k + l = 扎一 + 礼一g n = l女= 5n = l o k + 1 1 0 k + 1 1 3 4 1 4 8 5 8 0 6 + ( 1 0 + 1 ) 一 一s t 墙s s 阱妻器 一s a 瑚s s 阱薹器 13 4 1 4 8 5 8 0 6 + 1 0 6 0 及正整数m 有 杀笆丽s ( s 蒜1 拈2 7 r j 6 一。+ ) ，( s + m ) ”。 证明：首先在积分中令s = b + i t ，可得 l 2 丌o r 2 州j 一。 1 f ” 芴一。 5 ( 1 一；) ” 0 丽赢幽s ( s + 1 ) 0 + m ) y b + “ y21 ， 0 1 ( b + i t ) ( b + 1 + i t ) ( b + m + i t ) 翌竺 + t ) ( b + 1 + i t ) ( b + m + i t ) d ( b + i t ) 出 ，、【 铷 仁 塑堕茎堂堡主兰堡笙塞 当0 1 ，有( 耳( s ) = e n ( o ) 一一 其中d 表示域k 的非零整理想，式中求和足对域k 的所有非零整理想求和 由引理2 得 61厂2 + 2 2 丽2 也 ( 。) - - $ - - 4 8 n ( s + 礼) n = 2 = 咐丽6 1 k f 2 + i o o 而z i , 如 。磊。咐4 ( t 一壹n = 2 兀，( 9 ( 掣 ( d ) o “ 上式的求和是对范数。的所有非零整理想求和已知对任一整数札，礼2 肯定是某 个理想的范数又容易证明上式的每一项均大于等于0 ，因此由；s o 8 8 可得 ，。三在嘉(-一8(-1)n(n-i)i n = 2：。) ( 剐 丽( 卜) ( 等) ) l s m 蔓v 在 、“ 。! 纛嘉一蜘n = 2h 州盼v 一。；毫l ! m 以 。7 l 警一丽1 及攘2 面t n 2 n - 2 - - 咝2 n - 1i ( 伺”2 ，若 n 2 。 利用c a u a h y 留数定理，把j 的积分线移至冗e ( s ) = q 处可得 k 瓢：慧出+ 慧枷h s 跏。2 5 ( 2 3 ) 如 矽一哪 p 一+ + 一扣 哗也 一 严l 旦撕 | i 塑直叁堂亟主兰羔塑垒塞一 利用强( s ) 的函数方程 洲h ) ：( 志) 2 3 。1r 盟r o - 。) 、j “l 而r ( s 丽2 ) 2 0 - 6 , l 洲s ) 可以得到 州一知= ( 赤 其中奴= 生警旦，以及 k 荟5 卅) 卜( ( ；) 2 ( 1 3 4 1 5 ) 2 1 脚7 利用r 一函数的性质r ( s + 1 ) = s r ( s ) 可得 亍r ( 一( a ；7 埘t ) ) 卜 r ( 一；+ 圳 ( k ( ；卅) 隆功端i 隆3 叭1 ，端1 1 ( ；一t ( ；一t ( 一i 1 一l i r 丽( q - t ) 1 l ( j 3 一乱八j 1 一t 谚( 一j 1 一托) ( 一j 3 一髓) ；j ；器 睁陪计1 2 ； i 鹅一 ；：剿i t 瑚l = ic ：一萼，c i i ，；j ；毒 i = 挣z t 陪让l 因为x 为实本原特征，因此( 一1 ) = 士1 ，相应地氏= o ，1 下面就殴的不同情况 来讨论 ( ( s 十p ) ：( ( a + p + t t ) = x ( 一j 3 + e t ) 耥 九 端 门 河南大学硕士学位论文 明佰值耆x ( - 1 ) = 1l a ，畋20 ，此叼 i & ( s + p ) i = l 缸( 一；+ t i = ( 宰) 4 ( 耦) k 卅， _ 1 7 9 。9 州7 k 23 2 删陪2 计1 2 一 1 6 丌4 llli 当x ( 一1 ) = 一1 时，& = 1 ，此时 m s 州i = l c k ( 一；枷) l = ( 剩端惮卅， 0 1 7 9 。9 州7 k 2 。卅陪乱1 2 综合以上两种情况可得 m 删一1 7 9 9 7 k 2 肛陪姑1 2 1 7 1 9 6 9 7 r 7 4 k 2 ( 、9 + 州互1 4 + 竹 1 6 7 r 4 、 “4 。 7 由( 2 4 ) 可以证明 墨州。笔兰业出 丽上一而出 n = 2 三：! ：；：三；三_ 里。+ a + ” 3 矿5 _ 。 6 ( o t 2 + t 2 ) n ( 陋+ n ) 2 - i - t 2 ) n = 2 ( 2 4 ) 掣扩睁肿厂乏蒜出 n = 2 s 警扩阻舭厂篇- 9 4 + t 2 出 0 1 1 5 7 k 2 一( + 口) 4 ( 2 5 ) 7 河南大学硕十学位论文 此处韵积分利用m a t l a b 的积分数值算法得到 ，”至! 兰出 0 待定，取口( ；卢 1 ) 为l ( s ，x ) 的一个实零点， 零点满足l 一 0 如果l ( s ，x ) 存在一个实 再有1 一卢硒c ，可得z 1 9 k 4 1 ”。= e c ， a ( 互3 州刈；+ ，一彘) = 惫 “jknjk 利用前面的( 2 2 ) 一( 2 ，6 ) 可得 1 6 4 1 ( f 01 1 5 7 k 2 一( + 口) 44 - ( 2 6 ) ( 1 一p ) i i ( n + 1 一卢) 1 5 1 5 2 ( 1 一卢) ， 取a = 0 , 9 2 ，c = 1 可得l ( i ，) ( ) ( 1 5 3 3 4 l o g ) 引理2 4 6 ，引理2 4 设f = q ( 锕，石) 为双二次域，其中d ，d 1 分别为f 的二次子域q ( 怕) ，q ( 伍) 的判别式，则f 恰还有一个二次子域q ( v 忑) ，其中 d 2 ( 整除d d l ) 是判别式如果这三个二次子域所对应的k r o n e c k e r 符号( 实本原特 征) 分别为x ，x 1 ，勋，则f 的d e d e k i n de 一函数为 扫( s ) = ( ( s ) l ( s ，x ) l ( s ，x 1 ) l ( s ，x 2 ) ， 8 河南大学硕士学位论文 ( f ( s ) 所满足明函数万程为 鲫- s ) = ( 丽d f ) ”5r 盟r ( 1 - 8 ) 、j ”( 蒂) “撕 其中1 d r i = l d d l d 2 1 为f 的判别式的绝对值而且r l = 4 ，您= 0 ，如果x ( 一1 ) = ) ( 1 ( 一1 ) ：1 ；其他情况r 1 ：0 ，他：2 再令白( s ) ：曼礼，r e ( s ) i ，其中 表示域f 中范数为n 的整理想的个数，则有0 ，a 舻1 ，( 竹= 1 ，2 ，) 引理2 5 3 ，引理2 记号同引理2 4 ，f 为x x - - 次域，则( f ( s ) 至多有一个实 零点卢满足口 1 一坠l o 业g l d f i 证明：在【1 3 】中引理3 ，我们知道如果s 是白( s ) 的实零点的任一子集，那么 对任意的口 1 有 圭 l 一厕1 ，o = 1 ，2 ) 由( 2 8 ) 式得 忑1 + 而1 击+ ；l o g d 1 北 矿一e l盯一e 2 一 丢磊子2 焉焉 学1 0 9 协1 + j l l 哪乩 1 r r 一 二石一l o g1 d f l + 百l o g1 d f i ； 丽刁两厕十而可研 2 y ( 1 _ _ - fv 互_ 7 ) 再l o g i d f i 业1 。gi d f i ； 2 9 + 、2 + 1 2 4 f ( 1 + 讵) 三 ；芋占芋，或者- 一p ， 三 ；芋群 其中d 耳表示k 的判别式，而且坛i ( d d l ) 2 ，有胁d1 可得 2 ( 以一1 ) 2 、 1 l o gl d g i 一1 1 6 5 7l o gi d i 继而有l 一口 瓦抵，与f i 所在区间矛盾即1 一p 坠l o 鲻g f d k 不成立 从而只有1 一卢1 坠l o g 型i d k 锱成立 引理2 7 f 7 ，引理6 】设) ( 是模的实原特征，m ( x ) 2 峄l m - - - - 1 x ( m ) i 则 ( 胚去娠( 1 哪十2 l 。g l 哪+ l 0 9 4 + 6 + 袅) 引理2 s i s 】设x d 是模d 的实原特征，l ( 1 ，x d ) 是相应的d i r i c h l e tl 一函数 在r _ z e m a n n 猜想成立的前提下有 其中 r = 0 5 7 7 2 是e u l e r 常数 1 0 河南大学硕士学位论文 3定理的证明 5 3 1 定理1 1 的证明 在引理2 6 中我们已经找到了l ( 1 ，x ) 我们认为最好的一个下界是( 7 1 7 4 0l o gi d l ) ， 下面的证明中我们先假定d l 所对应的l ( 1 ，) 1 ) 比上面所给的下界小，也即) ( 1 是 例外特征并且利用这一点找到所有i d l 1 d l i 的l o ，x ) 下界定理1 2 的证明和定 理1 1 的证明只是在最后有所不同，因此我们的证明按照定理1 1 的证明思路进行 设0 e e v 8 和l ( t j x l ) o 8 待定 ( 3 r 2 ) 其中1 d f i = l d d l d 2 i 为f 的判别式的绝对值 已知( f ( s ) = e n ( 4 一，其中a 表示域f 的非零整理想，式中求和是对域f 的所 1 1 河南大学硕士学位论文 有非零整理想求和，利用引理2 2 ，有 r 91 ，2 + ” “2 丽上一 哗型监d 。 n ( s + n ) n = 0 ：竺- 2 佃娑錾坚竺如 2 们k o 。卉( s + 。) = 咐m 罴e 糕出 = 州e 水。n ( a 严- ( 一掣) 9 ( d ) s z 、7 再有引理2 4 可知，任一平方数均是域f 的某个整理想的范数，因此 = a n n ( 矿4 1 ( - 一：) 9 l ( 3 k k l ) o8 ( 3 1 0 1 2 ) o8 2 1 0 。6 利用c a u a h y 留数定理，把 的积分线移至觑( s ) = a 处可得 j 。：兰 z 7 r 2 鱼塑望!鲨d。+9 1 - i ( s + 而 n = 0 9 1 l ( i ，x ) l 0 ，) ( 1 ) 工( 1 ，x 2 ) z 1 4 ， ( 1 一压) 兀( n + 1 一卢- ) n = l + 白( 卢1 ) 一9 白( 一1 + a ) z 一1 + 3 6 ( f ( 一2 + 卢1 ) z 一2 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 悃 啪广l 一塑堕盔堂亟主堂垡丝塞 令s = b + i t ，由o = 一；一卢1 ，则 中的积分可化为 f c + i o o tr 9 n + i t + n ) 出 3 州) i = f ( 媒) 2 。w ( r 书( ；- i 蚴t ) ，”( 鹅) “白( 知f i ( 3 s ) 当x ( 一1 ) = x 1 ( 一1 ) = 1 时，r i = 4 ，r 2 = 0 ，由( 35 ) 得 陪3j = ( 掣) 2 ( 鹅) 4 怫卅 = ( 掣) 2 ( 扣缸怯t t 】) 4 | ( 吒5 刮 = ( 镍) 2 肛悟托怕5 ”f = ( 器) 2 ( 扣) 2 ( 扣) 2 懈埘， 其他情况时7 1 = 0 ，1 2 = 2 ，由( 35 ) 可得 卜3f = ( 鼎) 2 ( 端) 懈刮 = ( 拱) 2 ( 隆弦话1 2 ) 2 隧5 卅) f = ( 攥) 2 阻陪村怕知f = ( 器) 2 ( 扣) 2 ( 扣) 2 怫卅，f ， 悱 堂”栅 处。n 洳 挲黔 佃 x上 | | 塑塑盔兰堡主堂垡堡塞 综合以上两种情况可得 i 白c 一；+ z i = 、。i d 。o ；l ，2 ( ；+ t 2 ) 2 ( ：+ t 2 ) 2 l 白c i t t ， 此外由引理2 1 可计算得 怫刮蚓黔s a 4 s s 。s 从而可估计 中的积分得 罴仁篙如 91 = 一 2 7 r _ r “鱼( 二i 兰2 1 ： fg 。一”n ( o l + n + i t ) j 。i d 。f 。1 2 。i d f l 4 。l 白( ；一让) l 。z + ” ! ! ：；：；! ；! 箜i d ，i 。+ 一a + o o 丽i 孑广i 岬l 。 9 ! x i i 3 i 2 ：3 r 8 6 5 0 1 4 6 7l d l a f 1 2 + n 面犷“ 0 0 2 2 6 d f i a + z * ) - 2 其中式中的积分利用m a t l a b 的积分数值算法得到 ，”! ! 竺些丝 如 o - a 6 7 o ( 警+ t 2 ) ( 譬+ t 2 ) ( 警+ t 2 ) ( 警+ 亡2 ) ( t 1 6 9 + t 2 ) 由卢1 为l ( s ，n ) 的实零点，以及白( s ) 的函数方程可得以下三个式子 白( p 1 ) = ( ( 卢1 ) l ( 卢l ，) ( ) l ( 卢1 ，) ( 1 ) l ( 卢l ，x 2 ) = o ； ( 3 6 ) ( 3 7 ) 浒怕) = r 盟4 r 。7 1 4 、 籼1 ( 器鬻) ”( r c 半2 - a ) 1 柏) 0 ； ( 3 , 8 ) 1 4 河南大学硕士学位论文 3 6 白( 一2 + 卢i ) z _ 2 s e r 、盟4 r 2 7 p 4 p 蝴( 器磊) “( 罨誊) ”( f ( 3 训酬圳，( 3 。， 利用r 一函数的下面两个性质 1 r ( s + 1 ) = 打( s ) ； 2 余元公式 r ( s ) r ( 1 一s ) 可得 s i n ( r s ) 。 器器= 啬描精 一( 2 一口1 ) 2 ( 1 一p 1 ) r ( 1 一p 1 ) r ( 一1 + p 1 ) - ( 2 一口1 ) 2 ( 1 一卢i ) r ( 1 一卢，) r ( 卢1 ) r ( 卢1 ) r ( 卢1 ) ( 一1 + 1 ) ( 2 一卢1 ) 2 ( 1 一岛) 2 7 r r 2 ( p 1 )s i n ( r ( 1 一尻) ) ( 2 一卢) 2 ( 1 一夙) 卢”( 1 一卢1 ) r 2 ( 1 + 风)s i n ( 丌( 1 一n ) ) ，( 2 一n 1 ) 2 ( 1 一肛1 ) 卢 _ 7 r 、 ( o 8 8 5 6 ) 2 2 、，伍 2 2 5 2 0 4 8 v 厄o 8 8 5 6 2 ( 3 1 0 ) 在此过程中我们利用了3 4 胁 l ，因此有 面”( 1 - 柏f t l ) jj s l n 7 。i r 。4 酉= 表面叭卜p 1 j j8 l n i ”酉一i 疆 和当3 4 历 1 时，( 2 一n 1 ) 2 ( 1 一卢1 ) 所在卢1 = 3 4 时达到最大值面甄2 2 5 令 阮= 肪2 ，则3 8 岛 1 2 ，此时利用r 一函数的上面两个性质和l e g e n d r e 公 式 r ( ；) r ( 2 8 ) = 2 u - l f ( s ) 1 1 ( s + 互1 ) 1 5 河南大学硕士学位论文 f i 二鱼! ( 二! 些! ! ! i 二鱼2 r ( 玩) = 塑嗡箫擎f 慨) r ( 2 芋) ：( i 二鱼2 ( 二! 鱼墨坦! ! 二望! 婴! r ( 玩) r ( 1 一2 ) r ( i ) ( 一仍) ( 一1 + 岛) 何- 赢葫掣乎2 4 1 一 面丁一 一、牙( 1 一岛) ( 2 9 1 ) 卢i 1 一互巧i 一币巧玎一i c o s ( 丌岛) 在第二个等号处是因为当s = ( 1 一卢1 ) 2 时的l e g e n d r e 公式 咖c t 咱问帆r ( 半) r ( 竿) z 、 z 、 当3 4 口1 1 时2 口1 ( 2 一卢1 ) 尻的最大值在岛= 1 时达到，因此由上式可得 l 将卜亚4 爷等，一i - 9 1 ，何 21 、一4 0 8 8 5 6 。刁i 磊 ；害；( 3 i i ) 7 0 8 4 8 2 一以 、 上式中的小于号是因为 1 一p l1 一卢l1 一卢1 丽币两一2 c o s ( r 9 1 2 ) 两磁= 网 = ! 二生! = 一 2 s i n ( ( 1 一卢1 ) ) 蔫= 丌s 1 n i7 r 石】 ! ! ! 二望1 2 7 r s i n ( j ( 1 8 1 ) ) 1 由( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 可估计3 6 ( f ( 一2 + z 1 ) x 。的值，当x ( 一1 ) = x , ( - i ) = 1 时，r l = 塑童大堂堡主堂垡丝苎 4 ，仡= 0 ，可得 3 。汁z 悱ks 6 ( 了t d f i ) 2 帅1 ( 罨器) 4 渊州彬4 万3 6 ( 鑫) 4 咱槲扣m m ；3 6 i ( ；i 赤) 4 c - s t s ，4 l a ，1 2 5 2 a 一口l 0 0 0 0 4 4 d f l 2 5 2 4 4 1 当n = o ，r 2 = 2 时 s e 汁z 帕矿：= s 。幽4 2 。4 j 2 钟1 ( 器等) 2 刊协r 4 丽3 6 ( 磊2 2 5 剧v r 2 ( 1 3 4 1 5 “i u a 4 1 0 ) l a f l 5 _ 2 a 呐 丽i 面4 8 以 而9 x 2 2 5 2 7 1 、4 ( 1 3 4 1 5 1 2 0 4 8 2 x2x0 8 8 5 6 4 ) r 2 a 一口l 两芦 7m 0 0 0 0 0 2 9 1 d f l 2 5 2 4 一口1 综合以上两种情况可得 0 3 6 ；f ( 一2 + z 1 ) z 一2 0 0 0 0 4 4 l d f l 2 ，5 2 “一m 式( 3 6 ) 是h 中的重要一项，为对 估值我们对( 3 6 ) 式做如下处理 令a ( ；+ p 1 ) 一2 = 0 ，即a = 耵岳万 则08as8 9 由( 3 ，3 ) ，( 3 4 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 得 1 ，6 4 4 8 而0 硒0 2 2 雨6 + 1 j 6 4 4 8 0 0 2 2 6 + 0 ! l ( 1 , x ) l ( 1 , x ，1 ) l ( 1 , x 2 ) x i 。- 所 9 ( 1 一卢- ) i - i ( n + 1 一p 1 ) n = l l o ，x ) l ( 1 ，x 1 ) l ( 1 ，x 2 ) z 1 4 ， 百j 万一 1 6 2 2 ( 1 一p 1 ) l ( 1 ，x ) l ( 1 ，x 1 ) l ( 1 ，x 2 ) x 1 4 1 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) + o 0 0 0 4 4 d 舻5 2 4 一历 + o 0 0 0 2 0 4 ； ( 3 1 5 ) 河南大学硕士学位论文 这里还用到o 0 0 0 4 4 d f l 25 2 4 一n 0 0 0 0 2 0 4 是因为 从而有 2 5 2 a p - = 2 5 一百7 丽4 一卢1 - ( 9 1 一l 2 ) 2 ，1 21 万万一丽 d f l 2 ，5 2 4 一口1 = i k k l k 2 1 2 5 2 4 4 1 两斋帝 t 一 1 2 1 5 4 1 6 4 。 可得：3 6 白( 一2 + p i ) 。一2 0 0 0 0 4 4 1 d f l 25 2 a 一芦1 0 0 0 0 4 4 甄面1 面 0 0 0 0 2 0 4 由引理2 5 知 咖警群锱( 3 1 6 ， 我们从t a t u z a w a ( 【2 】，l e m m a4a n d5 ) 中知：如果x 是模k 的实非主特征，则 l ( 1 ，) ( ) 1 0 9 m ( x ) + ，y + 赢 其中，y = 0 5 7 7 2 是e u l e r 常数，m ( x ) = m a x l x ( i ) t 由引理2 7 知 m ( x 2 ) s 鲁( 1 。g 如+ 2 l o g l o g k 2 + 1 0 9 4 + 6 + 孺7 1 ) ， 利用上面的两个结论再结合 k k ，可得 l ( 1 , x 2 ) 1 。g m ( ) ( 2 ) + 7 + i 而1 扣+ l o g ( 害( 1 0 9 + 2 l o g l o g k 2 + l 0 9 4 + 6 + 孺7 1 ) ) 扣+ l o g ( 等( 1 0 9 - ) + 2 l o g l o g ( 忱) + 1 0 9 4 + 6 + 去) ) 0 5 8 9 l o g ( k k l ) 若m h 1 0 1 2 ( 3 1 7 ) 塑壹盔堂堡主堂垡堡塞 由前面的假设1 一卢l 霄5 毋硪，( 3 1 4 ) 以及k l 1 6 6 可得 z a ( 1 - 剐= 渊 等， 从而再由( 3 2 ) 得 z 1 一m ：j 如严一口，( k k l ) 2 a ( 1 一p z ) ( k k l ) 丽0 1 3 7 6 由x l 的取法，有l ( 1 ，x 1 ) 百丽 l o g k l ( 1 + 篙簧) 2 ( 1 ) 丽 令q = 蒜， 当1 1 由( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) 可得 己( 1 ，x 卜面露3 3 8 6 再0 8 3 而l o g 丽k 7 l o 丽gk l 而硒1 3 3 8 6 0 8 3 v 1 2 面而阿丽丽一l o g k 0 1 3 9 4 1 - i 石 而丽+ 当 6 5 时，此时2 l o g ( v + 1 ) 1 w l o gk l e o 5 3 7 3 ( 1 却) ( h ) 1 雨 3 3 8 6 0 8 3 2 聂面邪面面泐 、1 ：! ! 竺1 7 ( 1 0 9 k 1 ) k 0 , 6 7 4 9 l o g l ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 河南大学硕士学位论文 当0 y ( 0 6 7 4 9 ) ，因此由 l o g k x ；和( 3 2 2 ) 可得 l ( 1 ，x 卜硒1 7 2 丽4 2 2 e = 毒1 7 2 4 2 2 k 0 3 2 5 1 毒x 1 7 2 4 2 2 e 6 3 2 5 1 下2 8 0 1 5 4 e 综合上面1 6 5 时的结论，就可完成定理1 1 的证明，得到结果为 撇胗曲 丽杀，半) 3 2 定理1 2 的证明 定理1 2 的证明原理和过程与定理1 1 的证明几乎完全一样，只在数据和最后 的计算上有所不同，因此下面的证明过程中我们只给出与前面证明不同的地方为 证明定理1 2 还需要对前面的引理做如下修改， 引理2 37 设x 为模的实本原特征， 1 0 6 如果在区间( p ，1 ) 上l ( s ，x ) 0 ，其中1 一p 1 5 1 3 6 ( 1 一芦) ；如果3 4 s ( 1 5 1 l o g ) 一1 证明：证明过程同引理2 3 在引理2 3 的结论( 2 7 ) 式 罂 丽1 6 4 1 一黑( 觏 0 8 8 ) 1 一口7e a e1 0 6 ( 25 a 一2 ) 、一 中对待定常数a ，c 取适当的值就可得到引理的结论，即 耿a = 0 9 ，c = ( 1 1 6 5 7 ) 一1 可得l ( 1 ，) ( ) 1 5 1 5 4 ( 1 一p ) ， 取a = 0 ，9 3 ，c = 1 可得l ( 1 ，x ) ( 1 5 4 7 6 l o g k ) 引理2 6 ，设d ，d l ，i d i i d l i 1 0 6 是两个二次域的判别式令l ( s ，x ) ，l ( s ，x 1 ) 是相应的l 一级数如果l ( s ，x 1 ) 有一个实零点卢1 则 1 一卢。 ! ；并，或者l ( 1 ，) 亍五百瓣1 证明同引理2 6 2 0 河南大学硕士学位论文 在引理2 67 中已经找到了l ( 1 ，x 、我们认为最好的一个下界是( 7 0 8 1 2 1 0 9 i a l l ) ， 下面的证明中我们先假设d 1 所对应的l ( 1 ，x 1 ) 比上面所给的下界小，即x 1 是例 外特征，并且利用这一点找到所有1 d i 旧dl 的l ( 1 ，x ) 下界 在证明过程中与定理1 1 的证明有差别的地方如下：设0 5 e 班和l ( 1 ，x 1 ) 由引理2 ，8 可得 7 0 8 1 2 l o g h l ( 1 ，x 2 ) ( 2 + d ( 1 ) ) 矿l o g l o g k 2 ( 2 十o ( 1 ) ) 矿l o g l o g ( k k l ) 2 1 e r l o g l o g ( k k l ) 1 当1 可 7 0 8 1 2 l o g k ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 河南大学硕士学位论文 当q 7 5 时，此时2 l o g ( r + 1 ) 0 5 0 3 5 5 q + 1 ) ，故有 三( 1 ，x 卜面而磊4 3 8 1 祷5 1 0 9 l ( 1 + 吉鹫) 2 ( 虹) 丽 4 3 8 1 5 l o g k l k o6 4 “5 1 0 9 h e o 一“1 1 5 2 3 0 7 6 7 7 ( 1 0 9 k 1 ) k o “1 1 5 l o g l ( 3 ，2 6 ) 当0 ( 0 6 4 1 1 5 ) _ 。，因此由 l o g k l 和( 3 2 6 ) 可得 砸 x ) 篙= 舌2 3 0 7 6 7 k 0 3 5 8 8 拈 素妯3 0 7 6 7 e 7 酞“3 5 8 “ 3 4 ，0 4 2 6 e i _ 综合上面1 7 5 时的结论，就可完成定理1 2 的证明，得到结果为 硼，炒咖 志，一3 4 0 4 2 6 e ) 参考文献 1 】s i e g e lc l , o h e rd i ec l a s s e n z a h lq u a d r a t i s c h e rz a h l k s r p e r ，a c t a a r i t h ，1 9 3 5 ，1 ：8